Integraalrekening 1 les 7

1. Bespreken: §6.2: 11 en 51, lesuur 1, les 7
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven

2. Gegeven zijn de formules y = x2 en x = y2. Bereken de inhoud
van het figuur wanneer we het door de formules ingesloten
gebied wentelen om de lijn y = 1. Maak eerst een schets.
Wanneer we y = x2 en x = y2 1 laten ’zakken’ kunnen we het
gebied wentelen om de x-as.
We krijgen dan: y = x2 -1 en x = (y+1)2.
Deze functies kunnen we nu gaan wentelen
om de x-as.
§6.2: 11 (blz. 438)

3. §6.1: 23 (blz. 427)
π(x2
−1)2
−π( x −1)2
dx
0
1
∫ =
π x4
− 2x2
+1− x + 2 x −1dx
0
1
∫ =
π x4
− 2x2
− x + 2 x dx
0
1
∫ =
π 1
5 x5
− 2
3 x3
− 1
2 x2
+ 4
3 x x⎡
⎣
⎤
⎦0
1
=
π 1
5 − 2
3 − 1
2 + 4
3 − 0( )= π 6
30 − 20
30 − 15
30 + 40
30( )= 11
30 π

4. Bereken de inhoud van een piramide met een hoogte van h en
een rechthoekig grondvlak van b bij 2b door gebruik te maken
van integreren.
stap 1: Probeer de inhoud te berekenen, zodat je het antwoord al
hebt.
§6.2: 51 (blz. 440)
Ipiramide = 1
3 ⋅G ⋅h = 1
3 ⋅b⋅2b⋅h = 2
3 b2
h

5. stap 2: Teken een dwarsdoorsnede van het figuur.
Stap 3: Bereken de oppervlakte op een willekeurige hoogte.
Vanwege gelijkvormigheid geldt:
dus
De oppervlakte op punt x is:
§6.2: 51 (blz. 440)
x-as
y-as
s
h
0
x
2b
s
2b
=
x
h
A(x) = 1
2 s⋅s = 1
2 s2
s =
2bx
h
= 1
2
2bx
h
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
=
2b2
x2
h2

6. §6.2: 51 (blz. 440)
A(x) =
2b2
x2
h2
Ipiramide = A(x)dx
a
b
∫
Ipiramide =
2b2
x2
h2
dx
0
h
∫ =
2b2
h2
x2
dx
0
h
∫ =
2b2
h2
1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦0
h
=
2b2
h2
⋅ 1
3 h3
=
2b2
h3
3h2
= 2
3 b2
h
stap 4: Bereken de integraal

7. lesuur 2, les 6
§6.2 nog een
keer!!!
Extra oefening

8. Gegeven is een piramide met een hoogte van h en een driehoekig
grondvlak dat gelijkbenig en rechthoekig is en waarbij de
rechthoekszijden lengte b hebben.
Bereken m.b.v integreren de inhoud van de piramide.
stap 1: Probeer de inhoud te berekenen, zodat je het antwoord al
hebt.
Voorbeeld 1 (15 minuten)
Ipiramide = 1
3 ⋅G ⋅h = 1
3 ⋅ 1
2 ⋅b⋅b⋅h = 1
6 b2
h

9. stap 2: Teken een dwarsdoorsnede van het figuur.
Stap 3: Bereken de oppervlakte op een willekeurige hoogte.
Vanwege gelijkvormigheid geldt:
dus
De oppervlakte op punt x is:
Voorbeeld 1
x-as
y-as
s
h
0
x
b
s
b
=
x
h
A(x) = 1
2 s⋅s = 1
2 s2
s =
bx
h
= 1
2
bx
h
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
=
b2
x2
2h2

10. Voorbeeld 1
A(x) =
b2
x2
2h2
Ipiramide = A(x)dx
a
b
∫
Ipiramide =
b2
x2
2h2
dx
0
h
∫ =
b2
2h2
x2
dx
0
h
∫ =
b2
2h2
1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦0
h
=
b2
2h2
⋅ 1
3 h3
=
b2
h3
6h2
= 1
6 b2
h
stap 4: Bereken de integraal

11. lesuur 2, 3, les 7
§6.5 Average value of a function
Chapter 6 Applications of Integration

12. Het KNMI houdt het weer voor Nederland in de gaten.
Maar hoe berekent het KNMI het maandgemiddelde?
Het weer

13. Het weer

14. Ze pakken niet het gemiddelde van de maximum en minimum
temperatuur van een dag.
Meten ze 1 keer per dag, 1 keer per uur, 1 keer per seconde of
zelfs continu (kan dat?)?
Ik weet het niet!!!
Het weer

15. We kunnen het gemiddelde van een continue functie berekenen.
Gedurende het koken van mijn soep gaat het water van 20 ◦C
naar 100 ◦C. Daarna koelde de soep in 4 uur weer af naar een
kamertemperatuur van 20 ◦C.
Wanneer we dit in een functie-
voorschrift konden vatten, dan
zou deze functie continu zijn:
Gemiddelde berekenen
t-as
T-as
0

16. Als we nu de tijd in gelijke stukjes verdelen en in ieder stukje 1
meetmoment nemen en vervolgens delen door het aantal
meetmomenten, dan hebben we een schatting van het
gemiddelde.
Ofwel: gegeven het interval [a, b] met n stukjes waarbij de
breedte van het stukje gelijk is aan en in ieder interval
een waarde kiezen.
Dan is het gemiddelde bij benadering:
Gemiddelde berekenen
Δt =
b − a
n
T(ti )
T(t1)+...+T(tn−1)+T(tn )
n

17. Dus het gemiddelde bij benadering is:
Maar en dus . Als we dit combineren.
Dan krijgen we:
En als we n nu naar oneindig laten gaan:
Gemiddelde berekenen
Δt =
b − a
n
T(t1)+...+T(tn−1)+T(tn )
n
n =
b − a
Δt
T(t1)+...+T(tn−1)+T(tn )
b − a
Δt
=
1
b − a
T(t1)+...+T(tn−1)+T(tn )( )Δt =
1
b − a
T(ti )
i=1
n
∑ ⋅Δt
1
b − a
T(ti )
i=1
n=∞
∑ ⋅Δt =
1
b − a
T(t)dt
a
b
∫ = fave

18. Ofwel algemeen:
Om het gemiddelde van een functie f te bereken op [a, b]
berekenen we:
Gemiddelde berekenen
fave =
1
b − a
f (x)dx
a
b
∫

19. Bereken het gemiddelde van op .
Voorbeeld 2 (10 minuten)
f (x) = 2sin(x)− sin(2x) [0,π]
fave =
1
b − a
f (x)dx
a
b
∫ =
1
π − 0
2sin(x)− sin(2x)dx
0
π
∫ =
1
π
−2cos(x)+ 1
2 cos(2x)[ ]0
π
=
1
π
(2 + 1
2 )− (−2 + 1
2 )( )=
1
π
2 1
2 +11
2( )=
4
π

20. Bereken het gemiddelde van op .
Voorbeeld 3 (10 minuten)
f (x) =
2x
1+ x2
[0,2]
fave =
1
b − a
f (x)dx
a
b
∫ =
1
2 − 0
2x
1+ x2
dx
0
2
∫ =
1
2
1
u
du
1
5
∫ =
u = 1+ x2
du
dx
= 2x
dx =
du
2x1
2
ln(u)[ ]1
5
=
1
2
ln(5)− ln(1)( )= 1
2 ln(5)

21. Het gemiddelde ligt ergens midden in. Dat betekent dus ook dat
er een waarde c moet zijn waarvoor geldt dat:
en dus dat
Gemiddelde waarde
f (c) =
1
b − a
f (x)dx
a
b
∫ f (c)⋅(b − a) = f (x)dx
a
b
∫

22. Bereken c, zodat f(c) = fave voor op .
Dus:
Voorbeeld 4 (10 minuten)
f (x) =
1
x
[1,3]
fave =
1
b − a
f (x)dx
a
b
∫ =
1
3−1
1
x
dx
1
3
∫ =
1
2
ln(x)[ ]1
3
= 1
2 ln(3)
f (c) = 1
2 ln(3)
1
c
= 1
2 ln(3)
c =
1
1
2 ln(3)
=
2
ln(3)

23. Einde les 7
Huiswerk: §6.5 en review H6
§6.5: 1, 5, 9, 15 & review H6: 1, 3, 5,7, 9, 11, 13 en 30

24. Van het tentamen calculus 3 8 april 2013 zijn de volgende
opgaven op de huidige stof van toepassing:
2, 3, 4 en 5
Van het tentamen calculus 3 2 juli 2013 zijn de volgende
opgaven op de huidige stof van toepassing:
1, 2, 3 en 4
Oefententamens