Integraalrekening 2, DT, 14-15, G v Alst

1. Integraalrekening 2
Les 4 DT
Gerard van Alst
Mei 2015

2. Doelen
• Paragraaf 7.4: breuksplitsing: vervolg.
• Paragraaf 7.5: overzicht van de methoden
die we tot nu toe gehad hebben.

3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over
standaardafgeleiden en standaardintegralen
• 1. Wat is de afgeleide van arccos(𝑥)?
• 2. Bereken de afgeleide van ln 1 + 𝑥 .
• 3. Wat is de primitieve van
1
(𝑥+3)2?
• 4. Wat is de primitieve van
1
𝑒 𝑥?
• 5. Wat is de primitieve van cos(𝑥)?

4. Par. 7.3 (2)
• We hebben nu een voorbeeld van de
eerste substitutie gezien. De andere twee
substituties doen we niet.

5. De techniek van breuksplitsing.
• Stel 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, waarbij 𝑃(𝑥) en
𝑄(𝑥) polynomen zijn.
• Dan:
• 1. Als de graad van P groter of gelijk is
aan de graad van Q: deel dan uit.
• 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind
Q(x) zoveel als mogelijk is.
• We onderscheiden verschillende gevallen.

6. De techniek (2)
• Geval 1: Q(x) is product van verschillende
lineaire factoren.
• Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren,
maar er zitten dezelfde tussen.
• Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische
factoren.
• Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele meervoudige kwadratische
factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.

7. Voorbeelden:
• Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).
• Geval 2: Q(x)=x2(x+4).
• Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een
irreducibele factor is een factor zonder dat
die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen
nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te
ontbinden.
• Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.

8. Geval 2.
• Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.
• Dan:
3
𝑥(𝑥−1)2 =
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥−1
+
𝐶
(𝑥−1)2.
• Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden.
• Dan kunnen we de gevonden functie
integreren.

9. Behandeling huiswerk
• Zijn er nog andere vragen over het
huiswerk?
• §7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.

10. Geval 3.
• Bijvoorbeeld:
4𝑥+12
𝑥4−1
𝑑𝑥
• Dan Q(x)=x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1).
• Dan:
4𝑥+12
𝑥−1 𝑥+1 (𝑥2+1)
=
𝐴
𝑥−1
+
𝐵
𝑥+1
+
𝐶𝑥+𝐷
𝑥2+1
.
• Daarna verder uitwerken en A,B,C,D
vinden: 4𝑥 + 12 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥2
+ 1 +
𝐵 𝑥 − 1 𝑥2
+ 1 + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
• Uitwerken of getallen invullen (-1,0,1,2
bijv).

11. Geval 3, vervolg.
• Er volgt als je uitwerkt (en niet invult):
• 0=A+B+C,
• 0=A-B+D,
• 4=A+B-C,
• 12=A-B-D.
• Hieruit volgt: A+B=-C invullen:C=-2, en
• A-B=-D invullen: D=-6. Dan volgt: A=4 en
B=-2.

12. Geval 3, vervolg 2:
• Dus
4𝑥+12
𝑥−1 𝑥+1 (𝑥2+1)
=
4
𝑥−1
−
2
𝑥+1
−
2𝑥+6
𝑥2+1
,
• dus
4𝑥+12
𝑥4−1
𝑑𝑥=
4
𝑥−1
−
2
𝑥+1
−
2𝑥+6
𝑥2+1
𝑑𝑥 =
• (
4
𝑥−1
−
2
𝑥+1
−
2𝑥
𝑥2+1
−
6
𝑥2+1
)𝑑𝑥 =
• 4ln 𝑥 − 1 − 2ln 𝑥 + 1 − ln 𝑥2
+ 1 −
6 arctan 𝑥 + 𝐶

13. Opgave.
• Bereken:
3𝑥+1
𝑥3+𝑥
𝑑𝑥.

14. Uitleg.
• We kijken naar:
1
𝑥2+4
𝑑𝑥 en naar
𝑑𝑥
𝑥2+2𝑥+5
.
• We zien dat zowel 𝑥2
+ 4 als 𝑥2
+ 2𝑥 + 5
niet te ontbinden zijn (geen nulpunten,
discriminant is negatief).
• Hoe kunnen we deze integralen
berekenen?

15. Opgave

16. Paragraaf 7.5.
Kunnen
afleiden
Kunnen
afleiden, met
a=1 kennen
Kunnen
afleiden

17. Paragraaf 7.5 (2)
• 1. Vereenvoudig of schrijf anders.
Bijvoorbeeld: 𝑥( 𝑥 + 1)𝑑𝑥 of
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
• 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen.
Bijv.
2𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
• 3. Kijk naar de vorm:
–
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 waarbij 𝑃(𝑥) en 𝑄(𝑥) polynomen zijn:
volg de procedure uit paragraaf 7.4.

18. Paragraaf 7.5 (3)
• Vervolg “kijk naar de vorm”:
– 𝑠𝑖𝑛 𝑛
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑥 𝑑𝑥 : volg de procedure uit
paragraaf 7.2 (blz. 473)
– Indien er 𝑎2 − 𝑥2 in de integraal staat en
substitutie is niet mogelijk: probeer dan 𝑥 = 𝑎 sin(𝑡)
– Kijk of partiële integratie mogelijk is.
• Indien het niet gelukt is, kan “herschrijven,
anders schrijven” misschien helpen. Zie
voorbeelden boek.
• P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet
integreerbaar zijn!

19. Opgaven.
• §7.4: 21, 23, 29, 64

20. Opgaven.
• §7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45

21. Huiswerk
• §7.4: 21, 23, 29, 64
• §7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45