Werkgroep voor de JCU-Docentenconferentie van 24 maart 2009 door Aad Goddijn, Joost van Hoof, Piet van de Fliert en Johan Haasakker over de NLT/Wiskunde-D-module Complexe Stromen.
Werkgroep voor de JCU-Docentenconferentie van 24 maart 2009 door Aad Goddijn, Joost van Hoof, Piet van de Fliert en Johan Haasakker over de NLT/Wiskunde-D-module Complexe Stromen.
Similar to Integraalrekening 2 les 3 dt gv alst (20)
2. Doelen
β’ Paragraaf 7.3: gonio-substitutie als je het
niet verwacht: alleen de eerste.
β’ Paragraaf 7.4: breuksplitsing.
3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over
standaardafgeleiden en standaardintegralen
β’ 1. Wat is de afgeleide van arccos(π₯)?
β’ 2. Bereken de afgeleide van ln 1 + π₯ .
β’ 3. Wat is de primitieve van
1
1+π₯2?
β’ 4. Wat is de primitieve van
1
πππ 2(π₯)
?
β’ 5. Wat is de primitieve van cos(π₯)?
4. Weten we nog?
2
Bereken tan( ) en cot( ) .
Probeer nu ook: tan ( ) .
x dx x dx
x dx
ο² ο²
ο²
5. Paragraaf 7.3
β’ Je ziet: nogal bewerkelijk!
2
2 2 2
2 2
We bekijken: 1 . Dit heeft alles met een cirkel te maken. Waarom?
We substitueren: sin( ), dan krijgen we: 1 1 sin ( ) cos ( ) en cos( ) , dus
1
1 cos( )cos( ) cos ( ) ( cos(2 )
2
x dx
x t x t t dx t dt
x dx t t dt t dt t
ο
ο½ ο ο½ ο ο½ ο½
ο ο½ ο½ ο½
ο²
ο² ο² ο²
2
1 1 1
) sin(2 )
2 4 2
1 1 1 1
sin( )cos( ) 1 arcsin( )
2 2 2 2
dt t t C
t t t C x x x C
ο« ο½ ο« ο« ο½
ο ο« ο« ο½ ο ο« ο«
ο²
6. Par. 7.3 (2)
β’ We hebben nu een voorbeeld van de
eerste substitutie gezien. De andere twee
substituties doen we niet.
9. De techniek.
β’ Stel π π₯ =
π(π₯)
π(π₯)
, waarbij π(π₯) en
π(π₯) polynomen zijn.
β’ Dan:
β’ 1. Als de graad van P groter of gelijk is
aan de graad van Q: deel dan uit.
β’ 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind
Q(x) zoveel als mogelijk is.
β’ We onderscheiden verschillende gevallen.
10. De techniek (2)
β’ Geval 1: Q(x) is product van verschillende
lineaire factoren.
β’ Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren,
maar er zitten dezelfde tussen.
β’ Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische
factoren.
β’ Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele meervoudige kwadratische
factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.
11. Voorbeelden:
β’ Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).
β’ Geval 2: Q(x)=x2(x+4).
β’ Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een
irreducibele factor is een factor zonder dat
die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen
nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te
ontbinden.
β’ Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.
12. Oefening.
β’ Welk geval betreft het?
β’ A. Q(x)=x3+x.
β’ B. Q(x)=x2-5x+6
β’ C. Q(x)=x3-4x2+4x
β’ D. Q(x)=x4-1
β’ E. Q(x)=(x-1)3
13. Geval 1.
β’ Bijvoorbeeld: Q(x)=(x-2)(x+3).
β’ In dat geval is
π(π₯)
π(π₯)
te schrijven als
π΄
π₯β2
+
π΅
π₯+3
.
β’ Bijvoorbeeld:
1
π₯2+π₯β6
.
β’ We zoeken nu A en B:
1
π₯2+π₯β6
=
1
(π₯β2)(π₯+3)
=
π΄
π₯β2
+
π΅
π₯+3
. Vermenigvuldig aan beide kanten
met π₯ β 2 π₯ + 3 :
β’ 1 = π΄ π₯ + 3 + π΅ π₯ β 2 = π΄ + π΅ π₯ + (3π΄ β
2π΅)
15. Geval 2.
β’ Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.
β’ Dan:
3
π₯(π₯β1)2 =
π΄
π₯
+
π΅
π₯β1
+
πΆ
(π₯β1)2.
β’ Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden.
β’ Dan kunnen we de gevonden functie
integreren.