Integraalrekening 1 les 6

1. Bespreken: §6.1: 23, 29 en 51, lesuur 1, les 6
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven

2. §6.1: 23 (blz. 427)
Gegeven zijn de formules y = cos(x), y = sin (2x), x = 0 en x = .
Teken de formules in één figuur
en bereken de ingesloten oppervlakte.
π
2
cos(x) = sin(2x)
y = cos(x) y = sin(2x)
x = π
2
x = 0
cos(x) = 2sin(x)cos(x)
cos(x)− 2sin(x)cos(x) = 0
cos(x)(1− 2sin(x)) = 0
cos(x) = 0 ∨ sin(x) = 1
2
x = 1
2 π + k ⋅π ∨ x = 1
6 π + k ⋅2π ∨ x = 5
6 π + k ⋅2π
cos(x)− (sin(2x))dx
0
1
6π
∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =
1
6π
1
2π
∫

3. §6.1: 23 (blz. 427)
cos(x)− (sin(2x))dx
0
1
6π
∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =
1
6π
1
2π
∫
sin(x)+ 1
2 cos(2x)[ ]0
1
6π
+ − 1
2 cos(2x)− sin(x)[ ]1
6π
1
2π
=
sin(1
6 π)+ 1
2 cos(1
3 π)− (sin(0)+ 1
2 cos(0))+ − 1
2 cos(π)− sin(1
2 π)− (− 1
2 cos(1
3 π)− sin(1
6 π)) =
1
2 + 1
4 − 0 − 1
2 + 1
2 −1+ 1
4 + 1
2 = 1
2

4. §6.1: 29 (blz. 414)
Bereken met behulp van integralen de oppervlakte van de
driehoek waarvan de hoekpunten de coördinaten (0,0), (3,1) en
(1,2) hebben.
Bepaal eerst de formules.
y = 2x
y = 1
3 x
y = 5
2 − 1
2 x
2x − (1
3 x)dx
0
1
∫ + 5
2 − 1
2 x − (1
3 x)dx
1
3
∫ =
5
3 xdx
0
1
∫ + 5
2 − 5
6 xdx
1
3
∫ =
5
6 x2
⎡⎣ ⎤⎦0
1
+ 5
2 x − 5
12 x2
⎡⎣ ⎤⎦1
3
= 5
6 − 0 + 15
2 − 45
12 − 5
2 + 5
12 = 5
2

5. §6.1: 51 (blz. 428)
Vind de waarde b, zodat y = b de oppervlakte tussen y = x2 en
y = 4 verdeeld wordt in twee gelijke delen.
Vanwege symmetrie:
x2
= 4
x = −2 ∨ x = 2
y = x2
y = 4
4 − x2
0
2
∫ dx =
2
3 x x⎡
⎣
⎤
⎦0
4
=x dx
0
4
∫ = 2
3 ⋅4 4 − 0 = 16
3

6. §6.1: 51 (blz. 428)
y = x2
y = 4
x dx
0
b
∫ = 1
2 ⋅ 16
3
2
3 b b = 8
3
b b = 4
b3
= 16
b = 163

7. lesuur 2, les 6
§6.1 met een
(veel) moeilijkere
functie…
Extra oefening

8. Voorbeeld 1
De functies , en
sluiten een oppervlakte A in.
Bereken de oppervlakte
als je weet dat f en h
elkaar snijden in x = 1 en
f en g elkaar snijden
in x ≈ 1,9.
Rond je eindantwoord
af op één decimaal.
f (x) = x⋅22x2
− 2 g(x) = 2−2x+12
h(x) = 2

9. Voorbeeld 1
Dus:
2−2x+12
= 2
−2x +12 = 1
−2x = −11
x = 11
2
A ≈ x ⋅22x2
− 2 − 2dx
1
1,9
∫ + 2−2x+12
− 2dx
1,9
5,5
∫

10. Voorbeeld 1
stel: u = x2
, dan:
du
dx
= 2x, dus: dx =
du
2x
x⋅22x2
− 2 − 2dx
1
1,9
∫ + 2−2x+12
− 2dx
1,9
5,5
∫ =
x ⋅4x2
− 4dx
1
1,9
∫ + 4−x
⋅46
− 2dx
1,9
5,5
∫ =
x ⋅4x2
dx
1
1,9
∫ − 4dx
1
1,9
∫ + 4096 4−x
dx
1,9
5,5
∫ − 2dx
1,9
5,5
∫ =
1
2 4u
du
1
3,61
∫ − 4dx
1
1,9
∫ + 4096 4−x
dx
1,9
5,5
∫ − 2dx
1,9
5,5
∫ =

11. Voorbeeld 1
1
2 4u
du
1
3,61
∫ − 4dx
1
1,9
∫ + 4096 4−x
dx
1,9
5,5
∫ − 2dx
1,9
5,5
∫ =
1
2
4u
ln(4)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
3,61
− 4x[ ]1
1,9
+ 4096
−4−x
ln(4)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1,9
5,5
− 2x[ ]1,9
5,5
=
1
2 107,54...− 2,88...( )− (7,6 − 4)+ 4096(−0,000352...− −10,047...)− (11− 3,8) =
52,32...− 3,6 + 210,68...− 7,2 ≈ 252,2

12. lesuur 2, 3, les 6
§6.2Volumes
Chapter 6 Applications of Integration

13. Als we een gedeelte van een grafiek om een as wentelen
krijgen we een drie dimensionaal figuur.
Hiernaast wentelde we een
sinusoïde om de y-as. Wij gaan nu
beginnen met een functie om de
x-as te wentelen.
Volumes

14. Gegeven is de lijn y = 2 op het interval [1, 5].
Wanneer we deze lijn om de x-as gaan wentelen krijgen we
een cilinder.
De inhoud van de cilinder
is gelijk aan:
Waar zien we die y = 2 terug in de
formule?
Volumes
Icilinder = π ⋅r2
⋅h = π ⋅22
⋅4 = 16π
y = 2
y
x510

15. Als we van een omwentelingslichaam L de inhoud willen
berekenen, dan gaan we eerst de oppervlakte onder de functie
bepalen.
Jullie weten dat deze oppervlakte
eigenlijk uit oneindig veel
rechthoekjes bestaat.
Als we deze rechthoekjes nu om de
x-as wentelen krijgen we oneindig
veel kleine cilinders.
Volumes

16. Volumes
Deze cilinders hebben een straal van f(xa) en een hoogte van
Δx.
De formule van de inhoud van één
cilinder is: .
Ofwel nu:
De totale inhoud L van het
omwentelingslichaam is te
benaderen met een Riemannsom.
Icilinder = π ⋅r2
⋅h
Icilinder = π ⋅( f (xa ))2
⋅Δx

17. Volumes
Die Riemannsom is:
Echter willen we deze inhoud ook
exact kunnen berekenen en
daarvoor laten we Δx naar 0 gaan:
Maar dat is een integraal:
I(L) ≈ π ⋅( f (xk ))2
⋅Δx
k=1
n
∑
I(L) = lim
Δx→0
π ⋅( f (xk ))2
⋅Δx
k=1
n
∑
I(L) = π ⋅( f (x))2
a
b
∫ dx

18. Voorbeeld 2
Het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de lijnen x = 1, x = 3,
de x-as en de functie , wordt om de x-as
gewenteld.
Bereken de inhoud van dit
omwentelingslichaam L.
f (x) = − 1
2 x2
+ 3x − 2

19. Voorbeeld 2
f (x) = − 1
2 x2
+ 3x − 2
π ⋅(− 1
2 x2
+ 3x − 2)2
dx =
1
3
∫
π 1
4 x4
− 3x3
+11x2
−12x + 4dx =
1
3
∫
π 1
20 x5
− 3
4 x4
+ 11
3 x3
− 6x2
+ 4x⎡⎣ ⎤⎦1
3
=
π 42
5 − 29
30( )= 223
30 π

20. Volumes
Op deze manier kunnen we ook de inhoudsfunctie van figuren
met een ’ronde’ vorm bewijzen.
Gegeven is de lijn y = ax op het
interval [0, h].
Als we deze formule om de x-as gaan
wentelen, dan krijgen we een kegel.
De inhoud hiervan berekenen we door
de volgende integraal op te lossen:
y = ax
y
xh
Ikegel = π ⋅(y)2
0
h
∫ dx = π ⋅(ax)2
0
h
∫ dx

21. Volumes
y = ax
y
xh
Ikegel = π ⋅(y)2
0
h
∫ dx = π ⋅(ax)2
0
h
∫ dx
Ikegel = πa2
x2
0
h
∫ dx
Ikegel = 1
3 πa2
x3
⎡⎣ ⎤⎦0
h
Ikegel = 1
3 πa2
h3
− 1
3 πa2
03
= 1
3 πa2
h3
r = ah dus r2
= a2
h2
Ikegel = 1
3 πa2
h2
h = 1
3 πr2
h

22. Voorbeeld 3
Gegeven is een bol met straal 10. Bepaal met behulp van een
middensom en Δx = 4 de inhoud van de bol in één decimaal.
De formule van de cirkel is:
dus
Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 1
2 Δx + i⋅Δx)2
⋅Δx
i=0
4
∑
x2
+ y2
= 100
Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 2 + 4i)2
⋅4
i=0
4
∑
Ibol ≈ 4π ⋅( f (−8)2
+ f (−4)2
+ f (0)2
+ f (4)2
+ f (8)2
)
y = 100 − x2
Ibol ≈ 4π ⋅(36 + 84 +100 + 84 + 36) = 1360π ≈ 4272,6

23. Voorbeeld 4
Een groot cognacglas heeft bij benadering de vorm van een bol
met een diameter van 10 cm. Een goed gevuld cognacglas dient
zo gevuld te worden dat wanneer je het op zijn kant legt de
cognac er net niet uit mag stromen.
Hoeveel cognac zit er exact in het glas?

24. Voorbeeld 4
De cognac staat 2 cm
hoog.
We kunnen dus voor ons gemak
de bol draaien en het stuk van
x = 3 tot x = 5 wentelen om
de x-as.
x2
+ y2
= 25
y = 25 − x2
5-5
3
10 − 6
2
=
π(25 − x2
)dx
3
5
∫ = π 25x − 1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦3
5
= π 125 − 125
3 − (75 − 9)( )= 52
3 π

25. Even herhalen
Als je de oppervlakte S tussen twee functies f en g moet
berekenen op een interval [a, b], waarbij f en g continu zijn en
f(x) ≧ g(x) op het hele interval, dan geldt:
(Het is dus altijd de ’bovenste’functie minus de ’onderste’
functie.)
(Tip: maak altijd een schets voor jezelf!)
S = f (x)− g(x)dx
a
b
∫ = f (x)dx
a
b
∫ − g(x)dx
a
b
∫

26. Volumes
Ook voor ruimtefiguren geldt dit zo. Bij wentelen om de x-as zul
je altijd de inhoud van de grootste figuur (de bovenste / de
buitenste) de inhoud van de kleinste figuur (de onderste / de
binnenste) afhalen.
I = π(( f (x))2
− (g(x))2
)dx
a
b
∫ = π( f (x))2
dx
a
b
∫ − π(g(x))2
dx
a
b
∫

27. Voorbeeld 5
Gegeven is de cirkel en de lijn y = 2.
Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat wanneer
we het deel van de cirkel dat boven de lijn y = 2 ligt
omwentelen om de x-as.
Dus de grenzen van de integraal zijn
-2 en 2.
x2
+ 22
= 8 dus x2
= 4 dus x = −2 ∨ x = 2
x2
+ y2
= 8
4
3
y
x0
y = 2
x2
+ y2
= 8
π 8 − x2
− (22
)( )dx =
−2
2
∫ π 4 − x2
dx =
−2
2
∫
π 4x − 1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦−2
2
= π(8 − 8
3 − (−8 − − 8
3 )) = 32
3 π

28. Wentelen om de y-as kan door in plaats van naar x te integreren
naar y te integreren:
Of je spiegelt de functie eerst in de lijn y = x en integreert dan
gewoon naar x.
Wentelen om de y-as
I(L) = π x2
dy∫

29. Wanneer een parabool om de y-as wordt gewenteld ontstaat
een paraboloïde.
Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel
van de grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit
deel van de paraboloïde.
Wentelen om de y-as
f (x) = 12x2
f (2) = 12⋅22
= 48
y = 12x2
f (0) = 12⋅02
= 0
x2
=
y
12 0
x
2
y
48

30. Wentelen om de y-as
0
x
2
y
48
x2
=
y
12
I(paraboloïde) = π x2
dy
a
b
∫ = π
y
12
dy
0
48
∫ =
π y2
24
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
48
=
π ⋅482
24
−
π ⋅02
24
= 96π

31. Wentelen om de y-as
0
x
2
y48
0
x
2
y
48
0
y
2
x48
Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel van de
grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit deel van de
paraboloïde.
f (x) = 12x2
y = 12x2
x = 12y2
y2
=
x
12
y =
x
12
= f *
(x)
I(paraboloïde) = π( f *
(x))2
dx
a
b
∫
= π
x
12
dx
0
48
∫ =
π x2
24
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
48
=
π ⋅482
24
−
π ⋅02
24
= 96π
f *
(48) =
48
12
= 2f *
(0) =
0
12
= 0

32. Voorbeeld 6
Gegeven zijn de functies en
Wentel de oppervlakte die de functies insluiten om de y-as.
f (x) = x4
g(x) = x
sin(x) = cos(x)+1
2
f (x) =
g(x) = x
y = x4
x = y4
y = x4
π(x2
− x8
)dx =
0
1
∫ π 1
3 x3
− 1
9 x9
⎡⎣ ⎤⎦0
1
=
π 1
3 − 1
9( )= 2
9 π
sin(x)=cos(x)+1
2
y = x4
y = x

33. Wanneer de figuur geen ronde vormen heeft, dan kunnen we
niet meer wentelen met de eerder genoemde integraal. Het
opdelen in oneindig veel cilinders heeft dan geen zin.
Maar hoe berekenen we dan met behulp van een integraal de
inhoud van deze piramide?
Volumes

34. We gaan nu de formule nog algemener maken.
We hadden:
Waarin de formule van een cirkel te zien is.
Laten we deze oppervlakte eens A(x) noemen,
dan krijgen we:
Volumes
I(L) = π ⋅( f (x))2
a
b
∫ dx
I(L) = A(x)dx
a
b
∫

35. Wat betekent dat voor onze piramide als we het assenstelsel zo
centreren dat de top in de oorsprong ligt en de ’hoogte’ van de
piramide h is.
Nu moeten we de oppervlakte van A(x) gaan
berekenen.
En dat is heel lastig…
Volumes
x

36. A(x) is de oppervlakte op een bepaald punt x.
Laten we eens een dwarsdoorsnede maken.
Vanwege gelijkvormigheid geldt:
dus
De oppervlakte op punt x is:
Volumes
x-as
y-as
s
h
0
x
1
2 a 3s
1
2 a 3
=
x
h
A(x) = 1
2 ⋅ 2s
3
⋅s =
s2
3
s =
x⋅ 1
2 a 3
h
=
x⋅ 1
2 a 3
h
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
=
x2
⋅a2
⋅3
h2
⋅4 3
=
a2
3x2
4h2

37. Volumes
A(x) =
a2
3x2
4h2
Ipiramide = A(x)dx
a
b
∫
Ipiramide =
a2
3x2
4h2
dx
0
h
∫ =
a2
3
4h2
x2
dx
0
h
∫ =
a2
3
4h2
1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦0
h
=
a2
3
4h2
⋅ 1
3 h3
=
1
3 h3
a2
3
4h2
= 1
12 a2
3h

38. Gegeven is een ruimtefiguur waarvan het grondvlak een cirkel
is met straal 4. De hoogte op een bepaald punt x is gelijk aan de
lengte van de doorsnede van de cirkel op dat punt. Dat bekent
dat loodrecht op het grondvlak allemaal vierkanten ’staan’.
Bereken met behulp van integreren
de inhoud van het ruimtefiguur.
Tip 1: plaatje!
Tip 2: hoe breed is die doorsnede s?
Voorbeeld 7

39. Vanuit het bovenaanzicht zien we:
De basis van ieder vierkant is gelijk aan
de doorsnede van de cirkel, dus:
Voorbeeld 7
s = 16 − x2
− − 16 − x2
= 2 16 − x2
y = 16 − x2
y = − 16 − x2
s
A(x) = s2
= 2 16 − x2
( )
2
= 4 16 − x2
( )= 64 − 4x2
Ilichaam = A(x)dx
a
b
∫ = 64 − 4x2
dx
−4
4
∫
= 64x − 4
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦−4
4
= 512
3 − − 512
3 = 1024
3

40. Einde les 6
Huiswerk: §6.2
§6.2: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 21, 47, 49 en 51