CS Calculus, les 3, ppt

1. Captica Selecta Calculus
DT 14-15
Les 3
Gerard van Alst

2. Doelen
• Paragraaf 10.3 Poolcoördinaten:
• Wat zijn poolcoördinaten?
• Samenhang met parametervoorstellingen.
• Het tekenen van kromme in poolcoördinaten.
• Omzetten van poolcoördinaten in
Cartesische coördinaten.

3. Huiswerkbespreking
• Bespreek: 7, 30, 33 (zie volgende sheet),
42 van par. 10.2
• Zijn er nog vragen over de andere
opgaven?

4. Opgave over oppervlakte.
• Opgave 33:
• De grafiek ziet er als volgt uit:

5. Poolcoördinaten (1)
• We kunnen een punt in het x-y-vlak
weergeven met de coördinaten (x,y), maar
ook met behulp van straal (r) en hoek ( ).
• Er geldt: r=straal= afstand
van punt P tot de oorsprong:
dus
• Verder geldt:
• Daarmee is te bepalen.
2 2 2
r x y 
tan( ) .
y
x
 

6. Poolcoördinaten (2)
• Andersom geldt dat
• Net zo:
• In dit boek wordt ook een
negatieve r toegelaten.
• De formules op deze
sheets blijven kloppen.
• Negatieve r: aan de andere kant van de
oorsprong. Zie voorbeelden.
cos( ) , cos( ).
x
dus x r
r
  
sin( ) , sin( ).
y
dus y r
r
  

7. Negatieve r.
• Voorbeeld.
• Stel we nemen het punt met r = 2 en 𝜃 =
1
1
3
𝜋.
• We krijgen hetzelfde punt als we nemen r
= -2 en 𝜃 =
1
3
𝜋.

8. Opgaven (1)
• Opgaven: 1,3,5.

9. Krommen in poolcoördinaten (1)
• We hebben gezien dat we x
en y als functie van t kunnen
geven: x(t) en y(t).
• Bij een kromme in
poolcoördinaten wordt r als
functie van gegeven.
• Bijvoorbeeld: =1:

10. Krommen in poolcoördinaten (1)
• Voorbeeld 2:

11. Krommen in poolcoördinaten (2)
• Het lijkt erop dat r=2cos( ) een cirkel
voorstelt met M=(1,0) en straal 1: dus
• Dit kunnen we controleren: x=rcos( ) en
y=rsin( ), waarbij r=2cos( ), dus x=2cos2( )
en y=2cos( )sin( ). (We zien hier de link
met parametervoorstellingen!)
• Nu is x-1= 2cos2( ) -1= cos(2 ) en
y=2cos( )sin( )=sin(2 ) dus omdat
cos2 (2 ) + sin2 (2 ) =1 geldt dat
, dus het is de gegeven cirkel.
2 2
( 1) 1x y  
2 2
( 1) 1x y  

12. Kromme in poolcoördinaten (3)
• Voorbeeld met negatieve r (blz.658):

13. Opgaven.
• Opg. 11, 16, 19.

14. Van Cartesische coördinaten naar
poolcoördinaten.
• Cartesische coördinaten: (x,y).
• Stel we hebben: x2 + 4y2 = 4
• Dit is een ellips:
• Kunnen we de ver-
gelijking in poolcoör-
dinaten vinden?
• We vullen in: x=rcos( ) en y=rsin( ), dan
krijgen we: 2 2 2 2
cos ( ) 4 sin ( ) 4,r r dus  
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ( ) sin ( ) 3 sin ( ) 4, 3 sin ( ) 4r r r dus r r       

15. Van Cartesische coördinaten naar
poolcoördinaten. (2)
• Wanneer we deze kromme laten tekenen,
waarbij loopt van 0 tot 2 , dan krijgen
we de ellips waarmee we begonnen.
2 2 2
2
1
(1 3sin ( )) 4, ,
1 3sin ( )
Dus r dus r

  

2 2
4 2
.
1 3sin ( ) 1 3sin ( )
Dus r
 
 
 

16. Opgaven.
• Maak opgave 25, 27b, 36.

17. Opgaven en huiswerk.
week Boek
3 §10.3 m.u.v. Tangents to Polar
Curves & Graphing Polar
Curves with Graphing Devices
Opgaven
1, 3, 5, 7, 11, 12, 16, 19, 25, 26, 27, 36, 45

18. Uitwerkingen:
• Opg. 45:
• Opg. 36: