1. The document discusses quadratic equations in the form of n^2 + an = b, where a and b are constants.
2. It provides three cases for solving the equation based on the value of a: a = 0, a > 0, and a < 0.
3. Examples are worked through to demonstrate solving for n in each case. Solutions are provided algebraically and through worked examples.
13. เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 1
คูอันดับ ( Ordered pairs ) หมายถึง การจับคูสิ่งของสองสิ่ง โดยถือลําดับเปนสําคัญ
ถา a , b เปนสิ่งของ 2 สิ่ง คูอันดับ a , b เขียนแทนดวย ( a , b )
เรียก a วา สมาชิกตัวหนา และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง
( a , b ) ¹ ( b , a ) ยกเวน a = b
นิยาม การเทากันของคูอนดับ
ั
( a , b ) = ( c , d ) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d
กิจกรรมที่ 1
จงหาคา x และ y ในแตละคูอันดับตอไปนี้
1. ( x , y ) = ( 3 , 4 )
2. ( x , 3 ) = ( 4 , y )
3. ( x , y ) = ( 5 , 6 )
4. ( 2 , y ) = ( x , 3 )
5. ( x , 1 ) = ( 1 , y )
6. ( x , 0 ) = ( 4 , y )
7. ( 2 , 5 ) = ( x , y )
8. ( x+1 , 3 ) = ( 2 , y-1 )
9. ( x , y+1 ) = ( x-2 , 3 )
10. ( x-2 , 5 ) = ( 4 , y-3 )
14. เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 2
ผลคูณคารทีเซียน ( Cartesian Product )
นิยาม ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และ เซต B คือ เซตของคูอันดับ ( a , b ) ทั้งหมด
โดยที่ A เปนสมาชิกของเซต A และ b เปนสมาชิกของเซต B ผลคูณคารทีเซียนของเซต
A และ เซต B เขียนแทนดวย A ´ B
ตัวอยาง กําหนดให A = { a , b , c } , B = { e , f }
จะไดวา A ´ B = { (a , e ) , (a , f ) , (b , e ) , (b , f ) , (c , e ) , (c , f ) }
กิจกรรมที่ 2
จงหา A ´ B , B ´ A , A ´ A และ B ´ B เมื่อกําหนดเซต A และ เซต B ให
ในแตละขอ
(1) กําหนดให A = { 3 , 4 } และ B = { 2 , 3 }
A ´ B = ………………………………..
{ (3, 2 ) , (3 , 3 ) , (4 , 2 ) , (4 , 3 ) }
B ´ A = ………………………………..
{ (2 , 3 ) , (2 , 4 ) , (3 , 3 ) , (3 , 4 ) }
A ´ A = ………………………………..
{ (3, 3 ) , (3 , 4 ) , (4 , 3 ) , (4 , 4 ) }
B ´ B = ………………………………..
{ (2 , 2 ) , (2 , 3 ) , (3 , 2 ) , (3 , 3 ) }
(2) กําหนดให A = { 0 , 1 , 2 } และ B = { 2 , 5 }
A ´ B = ………………………………..
B ´ A = ………………………………..
A ´ A = ………………………………..
B ´ B = ………………………………..
15. เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 3 - 4
ความสัมพันธ ( Relation )
กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ
นิยาม r เปนความสัมพันธจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ r Ì A ´ B
1. r เปนความสัมพันธจาก A ไป A หรือเรียกวา ความสัมพันธใน A ก็ตอเมื่อ r
Ì A ´ A
2. ถา ( x , y ) Î r หมายความวา x มีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r
y
3. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลวจํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B
เทากับ 2 mn
ความสัมพันธ
Ex 1. ถา A = {1 , 2 , 3 } และ r = { (1 , ) , (1 , 2 ) , (2 , 3 ) , (2 , 2 ) , (3 , 3 ) , (2 , ) }
1 1
R เปนความสัมพันธใน A หรือไม
วิธีทํา หา A ´ A = { (1, ) , (1 , 2 ) , (1 , 3 ) , (2 , ) , (2 , 2 ) , (2 , 3 ) , (3 , ) , (3 , 2 ) , (3 , 3 ) }
1 1 1
r Ì A ´ A
r เปนความสัมพันธใน A ###
Ex 2. กําหนดให A = {1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 } จงหาความสัมพันธในแต
ละขอตอไปนี้
1) r 1 เปนความสัมพันธ “ นอยกวา ” จาก A ไป B
วิธีทํา หา A ´ B = { (1, 2 ) , (1 , 3 ) , (2 , 2 ) , (2 , 3 ) , (3 , 2 ) , (3 , 3 ) }
จาก r 1 เปนความสัมพันธ “ นอยกวา ” จาก A ไป B ก็จะได
r 1 = { (1 , 2 ) , (1 , 3 ) , (2 , 3 ) } ###
2) r 2 เปนความสัมพันธ “ มากกวา ” จาก A ไป B
r 2 = { (3 , 2 ) } ###
3) r 3 เปนความสัมพันธ “ เทากับ ” จาก A ไป B
r 3 = { (2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } ###
16. ใบกิจกรรมที่ 3
1. กําหนดให A = { 0 , 1 , 2 } , B = {1 , 4 } จงหาความสัมพันธในแตละขอ
1.1) r 1 เปนความสัมพันธ “ นอยกวา ” จาก A ไป B
1.2) r 2 เปนความสัมพันธ “ มากกวา ” จาก A ไป B
1.3) r 1 เปนความสัมพันธ “ เทากัน ” จาก A ไป B
2. กําหนด A = {1 , 2 , 3 } , B = { 4 , 5 , 6 } ความสัมพันธในแตละขอเปน
ความสัมพันธจากเซตใดไปเซตใด
1) r 1 = { ( 1 , 4 ) , ( 2 , ) , ( 3 , 6 ) }
5
2) r 2 = { ( 1 , ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
1
3) r 3 = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , ) , ( 2 , 2 ) }
1
4) r 4 = { ( 4 , 6 ) , ( 5 , 6 ) }
5) r 5 = { ( 4 , ) , ( 2 , 6 ) }
1
6) r 6 = { ( 1 , 6 ) }
3. กําหนดให A = { 0 , 1 , 2 } , B = {1 , 4 } จงหาจํานวนความสัมพันธทั้งหมดที่
เปนไปไดในแตละขอ
1) ความสัมพันธจาก A ไป B
2) ความสัมพันธจาก B ไป A
3) ความสัมพันธใน A
4) ความสัมพันธใน B
17. เอกสารประกอบการเรียนการสอนที่ 4
โดเมนและเรนจของความสัมพันธ
ถา r เปนความสัมพันธ
โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับทีอยูใน r ( D r )
่
เรนจของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับที่อยูใน r ( R r )
นั่นคือ D r = {x | (x , y )Î r } , R r = { y | (x , y ) Î r }
ตัวอยาง ถา r = { (a , b ) , (c , d ) , (e , f ) }
จะไดวา D r = { a , c , e } , R r = {b , d , f }
กิจกรรมที่ 4
จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธตอไปนี้
1) r = { (4 , 5 ) , (6 , 7 ) , (8 , 9 ) }
D r = …………………………………………………….
R r = …………………………………………………….
2) r = { (x , y )ÎR ´ R | y = x + 1 }
D r = …………………………………………………….
R r = …………………………………………………….
3) r = { (X ,Y ) Î N ´ N | x + y = 9 }
D r = …………………………………………………….
R r = …………………………………………………….
18. อินเวอรสของความสัมพันธ ( Inveres of relation )
อินเวอรสของความสัมพันธ คือ ความสัมพันธใหมที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัว
หนาและสมาชิกตัวหลังของทุก ๆ คูอันดับ ในความสัมพันธที่กําหนดให
อินเวอรสของความสัมพันธ r ใชสัญลักษณ r -1
-1
r = {(y , x ) | (x , y )Î r }
หรือ r -1 = {(x , y ) | (y , x )Î r }
การหาอินเวอรสของความสัมพันธ r ทําไดดังนี้
1. ถาความสัมพันธกําหนดเปนเซตแจกแจง อินเวอรสของความสัมพันธ คือ เซตที่
ประกอบดวยคูอันดับที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหนาและตัวหลังของทุก ๆ คูอันดับ ใน
ความสัมพันธที่กําหนด
เชน r = { (1 , 2 ) , (3 , 4 ) } จะได r -1 = { (2 , ) , (4 , 3 ) }
1
2. ถาความสัมพันธกําหนดเปนเซตเงื่อนไข อินเวอรสของความสัมพันธหาได 2 วิธี
2.1) สลับที่ระหวาง x กับ y ที่คูอันดับ
เชน r = { (x , y )| y = 3 x + 1 จะได
} r -1 =
{ (y , x )| y = 3 x + 1
}
2.2) สลับที่ระหวาง x กับ y ที่เงื่อนไข
เชน r = { (x , y )| y = 3 x + 1 }
จะได r -1 = { (x , y )| x = 3 y + 1
} หรือ r -1 =
ì x - 1 ü
í (x , y ) | y = ý
î 3 þ
3. ถาความสัมพันธกําหนดเปนกราฟ
อินเวิรสของความสัมพันธ คือ กราฟที่สมมาตรกับกราฟของความสัมพันธ
โดยมีเสนตรง
y = x เปนแกนสมมาตร
19. แบบฝกทักษะ
1. จงหาอินเวอรสของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้
1) r = { (1, 2 ) , (3 , 4 ) , (5 , 6 ) }
r -1 = ……………………………………………………………………..
2) r = { (- 3, ) , (- 2 , 7 ) , (- 1 , 9 ) }
5
r = ……………………………………………………………………..
-1
2. จงหาอินเวรสของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้
1) r = { (x , y )| y = 5 x - 3 }
r -1 = ……………………………………………………………………..
2) r = { (x , y )| y = 2 x + 9 }
r -1 = ……………………………………………………………………..
3. จงหาอินเวอรสของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้
1) r = { (x , y )| y = x + 7 }
r -1 = ……………………………………………………………………..
2) r = { (x , y )| y = 2 x + 3 }
r -1 = ……………………………………………………………………..
