E.E. Essential Knowledge Sereies My Online Courses: https://www.byparams.com/courses 儲能元件

1. 電路學
第四章 儲能元件：感應器與電容器
李健榮 助理教授
Department of Electronic Engineering
National Taipei University of Technology

2. 大綱
• 儲能元件
• 電容器
• 串聯電容器與並聯電容器的等效電容
• 電感器
• 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
Department of Electronic Engineering, NTUT2/21

3. 儲能元件 (Energy-Storage Elements)
• 電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件，因此一般
常稱之為儲能元件。
• 在理想情況下，它們儲存的能量，可在以後某些時候釋回。
換言之，電容器和電感器電路有記憶能力(儲存的能量可
重新叫出 )，因此有時亦稱之為動態 (Dynamic)元件。
Department of Electronic Engineering, NTUT3/21

4. 電容器之電容量及電壓、電流關係
• 電容器上儲存的電荷 q 與外加電壓 v 成正比，因此 q = Cv。
其中 C 為比例常數，稱為電容器的電容量或簡稱電容，由
上式得 ，其中單位為庫侖/伏特，簡稱為法拉(Farad，
縮寫為F)
• 電容器中電壓與電流的關係由
平行板電容器
+
−
v
+q
− q
v
+
−
q
C
v
=
i
+
−
C
+
−
v可得
其中C在一般情況均為定值，又由上式可知，當 v 為定值時，則 i = 0，換
句話說，對直流穩態而言，理想電容器為開路。
q Cv=
dq
i
dt
=及
( )d Cv dv
i C
dt dt
= =
Department of Electronic Engineering, NTUT4/21

5. 範例1
• 例1 ：圖(a)電路中，設 C = 1 F，且外加電壓 v(t) 之波形如
圖(b) 所示，試求電流 i(t) 之波形。
其波形如圖 (c) 所示。
由圖 (b) 可得
因此
−1
0 1 2
1
t
(c)
i(t)( )
( )
0 , 0
,0 1
2 ,1 2
0 ,2
t
t t
v t
t t
t
−∞ < <
 ≤ <
= 
− − ≤ <
 ≤ < ∞
( )
( )
0 , 0
1 ,0 1
1 ,1 2
0 ,2
t
tdv t
i t C
tdt
t
−∞ < <
 ≤ <
= = 
− ≤ <
 ≤ < ∞
v(t)
i(t)
+
−
C
(a)
(b)
t − (t −2)
1
1 20
t
v(t)
0 0
Department of Electronic Engineering, NTUT5/21

6. 範例2
• 例 2：求圖(a)中之電壓 v(t)，其中電流 i(t) 之波形，
如圖(b)所示，且 C = 1 F。
A. t ≤ 0 時，i = 0，
C. t ≥ 時，i = 0，
B. 0 ≤ t ≤ 時，i = K，
1
K
1
1/K0 t
v(t) (c)
( ) ( ) ( )
1
0 0
t
v t dt v
C −∞
= + −∞ =∫
( ) 0v −∞ =其中 ，由此步驟知 ( )0 0v =
( ) ( ) ( )0
1
0
t
v t K dt v Kt
C
= + =∫
由上已知 ，而當 時( )0 0v =
1
t
K
= ( )
1
1 Vv
K
 
= 
 
( ) ( )1
1 1
0 1
t
K
v t dt v
C K
 
= + = 
 
∫
其中
電壓 v(t) 的波形如圖 (c) 所示。
( )
1
1 Vv
K
 
= 
 
(a)
+
−
1 F
+
−
v(t)
i(t)
(b)
K
1/ K0
t
i(t)
1
K
Department of Electronic Engineering, NTUT6/21

7. 儲存於電容器的能量
• 儲存在電容器中的能量 wc(t)：
又依據
由 及
可得電容器中的能量為
因 ，所以
上式亦可表示為
( ) ( )
t
w t vi dt
−∞
= ∫
dv
i C
dt
=
( ) ( )
t t
C
dv
w t vi dt v C dt
dt−∞ −∞
 
= =  
 
∫ ∫ ( ) ( )21
2
t
t
C v dv Cv t
−∞
−∞
= =∫
( ) 0v −∞ = ( ) ( )21
2
Cw t Cv t=
q Cv=
( )
( )
( ) ( )
2
1 1
2 2
C
q t
w t q t v t
C
= =
Department of Electronic Engineering, NTUT7/21

8. 電容器電壓之連續性
• 電容器上的電壓具有連續的特性，亦即電容器上的電壓，
在正常情況下其值不會瞬間改變。
• 電容器電壓之所以具連續性，可由 解釋，因若
欲瞬間 (dt→0) 改變電容器電壓值，則 項會趨近無限
大，亦即會有無限大之電流通過電容器，也就是需要無限
大的功率。但此在物理上為一不可能之事，因而跨在電容
器上的電壓不能瞬間改變，但電流可以不連續，亦即可以
瞬間改變。
( )i C dv dt=
( )dv dt
Department of Electronic Engineering, NTUT8/21

9. 範例3
• 例3：下圖電路中已知 , , 開關在 t = 0
時關上，求 , 及 之值。
1.電容器上的電壓為連續，即 v(0+) = v(0－)。
2.電容器上的電流可為不連續，例如本例題 i(0－) = 2A 但 i(0+) = 4A，
即電流瞬間自 2A 變為 4A。
3.關上開關一段時間後，電容上的電壓因釋放能量到電阻而逐漸降至零，
此即電容器的放電行為，此種特性在下一章將進一步分析。
4.電容器上的電壓達一穩定直流值時，其電流將為零。
( )1 0 14 Vv −
= ( )2 0 6 Vv −
=
( )1 0v +
( )2 0v +
( )0i +
( ) ( ) ( )1 10 0 14 Vv v+ −
= =
( ) ( ) ( )2 20 0 6 Vv v+ −
= =
( ) ( )1
14
0 2 A
2 5
i −
= =
+
( ) ( )1
14 6
0 4 A
2
i + −
= =
4µF
+
−
+
−
v1
t =02 Ω
5 Ω1µF
i
v2
Department of Electronic Engineering, NTUT9/21

10. 僅含電容器的奇異電路
• 僅含電容器的奇異電路(Singularity Circuits with Capacitors)：
雖然在大部分的情況中，電容器上的電壓具有連續性，
但在一些特殊電路中，由於開關的強迫閉合，會使得電容
器上的電壓有不連續性現象，此種電路一般稱為奇異電路。
V
+
−
C
t =0
Department of Electronic Engineering, NTUT10/21

11. 串聯電容器的等效電容
• 串聯電容器的等效電容
+
−
i
+
−
v CT
v
(b) 等效電路
+
−
+
−
+
−
v1
+
−
v
(a) 串聯電容器
i
v2
vN
C1
C2
CN
且
若圖 (b)為圖 (a) 之等效電路，則
1 2
1 1 1 1
T NC C C C
= + + +⋯
( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Nv t v t v t v t= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT11/21

12. 並聯電容器的等效電容
• 並聯電容器的等效電容
若圖(b) 為圖(a)之等效電路，則 1 2T NC C C C= + + +⋯
i2
C2
i1
C1
i
iN
CN
+
−
v
(a)並聯電容器
CT
+
−
vi
(b)等效電路
Department of Electronic Engineering, NTUT12/21

13. 電感器之電感值
• 設磁通 f 通過每一匝線圈，則此 N 匝線圈所交鏈到的全部
磁通量為 ϕ = N f
• 在一個線性電感器內， ϕ 與通過電感器之電流 i 成正比，
即 ϕ = Li
• 其中比例常數 L 即為電感，其單位為韋伯 / 安培，一般簡
稱為亨利 ( Henry，縮寫為 H )，因此 1 Wb/A 即為 1 H。
電感器電流與磁通
f
N 匝
i
i
+
v
−
ϕ = N f
Department of Electronic Engineering, NTUT13/21

14. 電感器中電壓與電流的關係
• 法拉第電磁感應定律：只要 ϕ 有變化，則會在線圈兩端感
應出電壓即
• 電感器的電路符號如右圖所示，
當電感器外接直流電流源時，則 vL = 0
因此一個理想的電感器對直流穩態而言，相當於短路。
• 藉由積分 ，可求出電感器在 t0 至 t 所產生的電流
其中 為 至 所累積之電流，又 故
電感器之電路符號
L
vL
−+
i( )
L
d Nfd di
v L
dt dt dt
φ
= = =
( ) ( ) ( )0
0
1 t
t
i t v t dt i t
L
= +∫
( ) ( )
1 t
i t v t dt
L −∞
= ∫
L
di
v L
dt
=
( )0i t t = −∞ 0t t= ( ) 0i −∞ =
Department of Electronic Engineering, NTUT14/21

15. 範例4
• 例4：圖 (a) 之電路，其電流源之波形如圖 (b) 所示，試求
其電壓之波形。
v(t)波形如圖 (c) 所示i(t) 可表示成
可得
(a)
+
−
i(t) 1 H v(t)
t −(t − 2)
0 01
1 20
t
(b)
i(t)
(c)−1
0 1 2
1
t
v(t)
( )
( )
0 , 0
,0 1
2 ,1 2
0 ,2
t
t t
i t
t t
t
−∞ < <
 ≤ <
= 
− − ≤ <
 ≤ < ∞
( )
( )
0 , 0
1 ,0 1
1 ,1 2
0 ,2
t
tdi t
v t L
tdt
t
−∞ < <
 ≤ <
= = 
− ≤ <
 ≤ < ∞
Department of Electronic Engineering, NTUT15/21

16. 儲存於電感器的能量
• 儲存在電感器中的能量wL(t)：
依 及
可得
因 ，所以
( ) ( )
t
w t vi dt
−∞
= ∫
di
v L
dt
=
( ) ( ) ( )21
2
t t t t
L
dv
w t vi dt C idt L idi Li t
dt −∞−∞ −∞ −∞
 
= = = = 
 
∫ ∫ ∫
( ) 0i −∞ = ( ) ( )21
2
Lw t Li t=
( ) ( )21
2
Cw t Cv t=
儲存在電容器中的能量wC(t)：
Department of Electronic Engineering, NTUT16/21

17. 電感器電流之連續性 (範例5)
• 電感器中的電流具有連續性的特性，亦即是電感器中的電
流，在正常情況下，其值不會瞬間改變。
• 例6：下圖電路中，已知 i1(0－) = 3 A，若開關在 t = 0 時
打開，求 i2(0－) , i1(0+) , i2(0+) , v(0－) 及 v(0+) 。
此時由 KVL 可得
即電感器形同短路，所以
在 t = 0 之前 (t = 0+) 瞬間，電感器電流 i1 為 3A ，
所以
6 Ω
+
−
30V
t =02 Ω
+ −v
6 Ω
1H i1
i2
( ) ( )1 10 0 3 Ai i+ −
= =
L
di
v L
dt
=
( ) ( )3
0 1 0 V
d
v
dt
−
= =
( ) ( )
30
0 6 A
2 6//6
i −
= =
+
( ) ( ) ( )2 10 0 0 6 3 3 Ai i i− − −
= − = − = ( ) ( ) ( )0 3 6 3 6 36 Vv +
= − ⋅ + − ⋅ = −
( ) ( )2 10 0 3 Ai i+ +
= − = −
Department of Electronic Engineering, NTUT17/21
在開關打開之前的瞬間：

18. 僅含電感器的奇異電路
• 和一些電容器組成的奇異電路相同，一些電感器組成的奇
異電路中， 亦會發生電流不連續性的情況。
I L
t =0
Department of Electronic Engineering, NTUT18/21

19. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
• 串聯電感器的等效電感
若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路，則比較
及
可得
+
− LT
i
v
+
−v
LN
L2
L1
+
−
vN
+
−
v2
+
−
v1
i
(a) 串聯電感器 (b) 等效電路
1 2 Nv v v v= + + +⋯ 1 2 N
di di di
L L L
dt dt dt
= + + +⋯ ( )1 2 N
di
L L L
dt
= + + + ⋅⋯ T
di
v L
dt
=
( )1 2T NL L L L= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT19/21

20. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
• 並聯電感器的等效電感
欲使圖 (b) 與圖 (a) 為等效電路，則由
可得 且
及
i L1 L2 LN
iN
+
−
v
i1 i2
(a) 並聯電感器
+
−
v LTi
(b) 等效電路
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
1 0 2 0 0
1 2
1 1 1t t t
N
t t t
N
i t vdt i t vdt i t vdt i t
L L L
= + + + + + +∫ ∫ ∫⋯
( ) ( ) ( )0
1 0 2 0 0
1 2
1 1 1 t
N
t
N
vdt i t i t i t
L L L
  
= − + + + + + + +     
  
∫⋯ ⋯ ( ) ( )0
0
1 t
t
T
i t vdt i t
L
= +∫
1 2
1 1 1 1
T NL L L L
= + + +⋯ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Ni t i t i t i t= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT20/21

21. 本章總結
• 本章旨在讓同學了解到電容器與電感器乃儲能元件，並且
電容器之電壓具有連續性而流經電感器的電流具有連續性。
因此電路中若具有開關時，可利用電壓或電流的連續性質
來得知開關前後一瞬間元件上之電壓或電流。
• 電容串聯：
• 電容並聯：
• 電感串聯：
• 電感並聯：
Department of Electronic Engineering, NTUT21/21
1 2
1 1 1 1
T NC C C C
= + + +⋯
1 2T NC C C C= + + +⋯
( )1 2T NL L L L= + + +⋯
1 2
1 1 1 1
T NL L L L
= + + +⋯