102學年度輔仁大學物理系光電物理組二年級，電路學課程。授課老師：張敏娟

1. 電路學第六章
二階的微分電路
授課老師: 張敏娟 1

2. 2

3. 3

4. 內容大綱 4

5. 一、定義二階微分電路
一個電感與一個電容 5

6. 一、定義二階微分電路
一個電感與一個電容
兩個電感
兩個電容 6

7. 二、微分方程式如何寫?
並聯
端點電壓分析法 7

8. 二、微分方程式如何寫?
(1)
(2)
並聯
端點電壓分析法 8

9. 二、微分方程式如何寫?
(1)
(2)
(3)
並聯
端點電壓分析法
直接帶入 9

10. 微分方程式如何寫? 10
網目電流分析法

11. 微分方程式如何寫?
(1)
(2) 11
網目電流分析法

12. 微分方程式如何寫?
(1)
(2)
運算子法，化簡
令 12
網目電流分析法

13. 微分方程式如何寫?
(1)
(2)
令
把(5)(6)式做變數消去法，可得到i1或是i2的二次微分方程式 13
(3)
(4)
(5)
(6)
網目電流分析法

14. 微分方程式如何寫? 14
(5)
(6)
由(6)
帶入(5)
(7)
(8)
網目電流分析法

15. 微分方程式如何寫? 15
網目電流分析法
퐿1푠+푅1+ 퐿2푠 푅 −푅푖2=푣푠
퐿1퐿2 푅 푠2+퐿1+퐿2푠+푅−푅푖2=푣푠
퐿1퐿2 푅 푑2 푑푑2+퐿1+퐿2 푑 푑푑 푖2=푣푠
퐿1퐿2 푅 푑2푖2 푑푑2+퐿1+퐿2 푑 푑푑 푖2=푣푠
i2的二次微分方程式
(8)

16. 三、二階微分方程式的解
自然響應
無電壓電流源
過阻尼（兩個實根）
臨界阻尼（兩個相等實根）
欠阻尼（兩個虛數根）
完全響應
通解
特殊解
有電壓 電流源
激勵響應 16

17. 無電壓電流源的自然響應 17

18. 無電壓電流源的自然響應
初始條件 18

19. 無電壓電流源的自然響應
KVL
初始條件 19

20. 無電壓電流源的自然響應
KVL
二階微分方程式
初始條件 20

21. 無電壓電流源的自然響應:解題 21

22. 無電壓電流源的自然響應:解題
i=Aest 22

23. 無電壓電流源的自然響應:解題
i=Aest
一元二次方程式的求解法 23

24. 解的形式:指數函數
i=Aest
一元二次方程式的求解法
令 24

25. 過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼
(α>ω0)
(α=ω0)
(α<ω0)
欠阻尼:兩相異虛根。改變函 數表示法。 25
臨界阻尼:兩相同實根。
過阻尼:兩相異實根。

26. 有電壓電流源的激勵響應
以固定源的例子： 特殊解(源激勵響應)+通解(自然響應)
過阻尼
過阻尼
臨界阻尼
臨界阻尼
欠阻尼
欠阻尼
t 26

27. 如何使用兩個初始條件?
1. 初始電流。可以直接使用。
2. 初始電壓。要換算。
以電流源為例 27
1. 初始電壓。可以直接使用。
2. 初始電流。要換算。
以電壓源為例

28. 四、解題大作戰 28
開關打開前，電路處於穩定態。求v(t)

29. 29
(1) 푡<0
穩定態 電感:短路 電容:斷路

30. 1. 求出起始條件 t=0 30
(1) 푡<0
穩定態 電感:短路 電容:斷路
푖= 104+6=1
푣=10×64+6=6

31. 31
(2) 푡>0
KCL
(1)

32. 32
KCL
KVL
(1)
(2)
(2) 푡>0

33. 33
(1)
(2)
移項
利用
改寫(1) 、(2)
(1)
(2)
(2) 푡>0

34. (3)
(4) 34
(1)
(2)
把(3)的i代入(4)，減少變數
푖+ 141+푠푣= 푣푠 4
푠+6푖−푣=0
利用
(2) 푡>0

35. (5) 35
二階電路解題，先求自然解。令等號右邊為0的解。
(2) 푡>0

36. (5) 36
二階電路解題， 先求自然解。
=0
푠2+7푠+10=0
푠+2푠+5=0
푠=−2,−5
假設vn=est
兩相異實根
(2) 푡>0

37. (5)
(6)
(7)
自然解，通解
激勵解，特殊解 37
二階電路解題， 求出自然解後， 觀察激勵解。
푡
>0
(2) 푡>0

38. (5)
(6)
(7)
通解
特殊解 38
푣푠=6푒−3푡
比較係數
(2) 푡>0

39. (5)
(6)
(7)
通解
特殊解 39
完全響應
(8)
剩下兩個未知數，需要靠兩個初始條件。
電容電壓初始條件，可以直接用。
電感電流初始條件，要改寫。
(2) 푡>0

40. 40
푖= 104+6=1
푣=10×64+6=6
一開始的時候
電容電壓初始條件，可以直接用。
電感電流初始條件，要改寫。
(3)初始條件

41. 41
完全響應
(8)
(9)
初始條件1
由(8)
電容電壓初始條件，可以直接用。
(3)初始條件

42. 初始條件2 42
電感電流初始條件，要改寫。
푡>0
KCL
KVL
(1)
(2)
因為(1)只包含i 的原本形式，而 (2)含有i的微分 形式。所以選(1)
(3)初始條件

43. 由(1)
整理可得
初始條件2 43
電感電流初始條件，要改寫。
푣푠0=6
帶入初始條件2
(10)
(3)初始條件

44. 對(8)微分得 44
完全響應
(8)
(10)
帶入初始條件(10)
2퐴1+5퐴2=31
(11)
(3)初始條件

45. 由
(11)
(9) 45
解出
代入
解答
(3)初始條件

46. 小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則 A=_____, B=_____, C=_____.(都是整數) 46

47. 答案：A=24,B =1,C =-25﹐ 47

48. 0)451()4516( (1)(3) )3(451514)2(4)1(06=+−+− −=⇒=+    =+ =++ vdtdvdtddtdvdtdvidtdvidtdvCivdtdiLi 代入   
詳解：
小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則A=_____, B=_____, C=_____.
(都是整數) 48
i
KCL
KVL
(4)

49. 05)6( (4)'',', )4(056: 12056051245622222222=++∴ === =++ =++ =++− λλλλλλλλ tttteevevevvdtdvdtvdvdtdvdtvdvdtvddtdv 代入另 常解 
小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則A=_____, B=_____, C=_____.
(都是整數) 49
(4)
(5)
整理
(6)
(6)
常數
vn

50. 2424,A(4) : 5 -105605552++==∴ ++= += −= =++∴ ≠ −− −− −− tttttttBeCevABeCevBeCevore 代回 特解 λλλλ
小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則A=_____, B=_____, C=_____.
(都是整數) 50
常數。由(5)式得知
將vf=A帶入(5)， 5A=120,
得A=24
vn
Vf=A
vf
(7)

51. )5(2.0(t)4)24(2.0(t)4)2(4)5(024)0( 55ttttBeCeiBeCedtdidtdvCiBCv−− −− −−=+ ++=+ =+ =++=  
小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則A=_____, B=_____, C=_____.
(都是整數) 51
初始條件
由(7)
(8)
v(0)=0, i(0)=0
4=−0.2퐶−퐵
當t=0
(9)
v(0)=0
i(0)=0

52. 小問題：C=0.2F. 當t>0時，電容上的電壓
v(t)= A + Bexp(-5t)+Cexp(-t)。則A=_____, B=_____, C=_____.
(都是整數) 52
(9)
(8)

53. Summary

二階微分電路的定義

微分方程式的寫法

微分方程式的解法: 通解 與特殊解

解題大作戰 53