本章介绍了滤波器设计的基本概念和响应类型，包括高通、低通和带通滤波器。还讨论了不同的近似响应方法，如Butterworth和Chebyshev，并给出了它们的数学表示和特性。设计时需考虑滤波器的规格，包括截止频率、过渡带衰减等因素。

1. 高頻電子電路實驗
第三章 濾波器設計
李健榮 助理教授
Department of Electronic Engineering
National Taipei University of Technology

2. 大綱
Department of Electronic Engineering, NTUT2/53
濾波器規格濾波器規格濾波器規格濾波器規格 響應近似響應近似響應近似響應近似 階數階數階數階數
轉移函數轉移函數轉移函數轉移函數 主動主動主動主動:Biquad
g值表值表值表值表 被動被動被動被動: LC

3. 線性系統與轉移函數
• 還記得我們在網路分析學過的東西嗎?
Department of Electronic Engineering, NTUT
Linear Time-invariant
(LTI) System
( )x t ( )y t
Input
(excitation)
Output
(response)
Linear
system
( )x t ( )y t
( )X s ( )Y s( )G s
Transform into s-domain
(frequency domain)
( ) ( )X s x t=   L
( ) ( )Y s y t=   L
( ) ( ) ( )Y s G s X s=
( )
( )
( )X
Y s
G s
s
=
輸入:
輸出:
轉移函數:
3/53

4. 頻率響應
• 以前，我們談分析。
• 現在，我們談設計。
Department of Electronic Engineering, NTUT
ω
( )X ω
ω
( )Y ω
Transfer function?
s-plane? Frequency Response?
(System)
Linear Network
(Signal) (Signal)
ω
( )X ω
ω
( )Y ω
Transfer function?
s-plane? Frequency Response?
(System)
(Signal) (Signal)
給你一個系統，就可以推敲出
輸出的樣子。
如果我們希望設計「輸出」的
樣子，那麼問題就變成是要如
何找出那個系統。
4/53

5. 濾波器的響應型式
Department of Electronic Engineering, NTUT
高通高通高通高通濾波器濾波器濾波器濾波器
cωsω ω0
( )F jω
帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器
1sω1cω ω0
( )F jω
2sω 2cω
低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器
帶通帶通帶通帶通濾波器濾波器濾波器濾波器
cω sω ω0
( )F jω
通帶
Passband
禁帶
Stopband
過渡帶
Transition band
理想低通
1cω 2sω ω0
( )F jω
2cω1sω
5/53

6. 響應近似法
• 雖然我們無法實現理想的濾波器響應，但總可以找到一種近似
響應，問題在於我們對這個近似與理想的誤差ε容忍度有多少。
• 常見的近似方法：
Butterworth
也稱作最大平坦度(Maximally flat)近似
Chebyshev
也稱作等漣波(Equiripple,)近似
Papoulis
也稱作單調(Monotonic)近似
Cauer
橢圓函式(Elliptic function)近似
自己設計的自己設計的自己設計的自己設計的近似函數近似函數近似函數近似函數。。。。
Department of Electronic Engineering, NTUT
cω sω ω0
( )20log F jω
maxA
minA
6/53

7. 低通濾波器數學近似原型
• 低通濾波響應之近似原型
Department of Electronic Engineering, NTUT
( ) ( )
( )2 2
1
1
F j M
w
ω ω
ε ω
= =
+
理想低理想低理想低理想低通通通通濾波響應濾波響應濾波響應濾波響應
0ε =
( )2 1, when 0 1
0, when 1
w
ω
ω
ω
≤ ≤
= 
>
1cω =
ω
( )F jω
1
Brick Wall
高通、帶通或帶斥濾波器可以藉由一些轉換
方法，從低通原型來得到。所以，濾波器設
計理論都會從低通濾波器開始談起。
0 1ε≤ ≤通帶誤差容忍度：
( )2
0 1w ω≤ ≤權重函數： 0 1ω≤ ≤其中
邊界頻率ω=ωc=1，又稱為截止頻率。
7/53

8. Butterworth低通近似
• Butterworth Approximation
令 且
Department of Electronic Engineering, NTUT
(其中階數n為正整數)1ε = ( ) ( )2 2 2n n
w ω ω ω= =
( ) ( ) 2
1
1 n
F j Mω ω
ω
= =
+
對上式的觀察： (1) 直流增益 。( )0 1M =
(2) 當ω越來越大，M(ω)則跟著變小。
( )
1
1 0.707
2
M = = (即在截止頻率ω = ωc= 1時)
( )
1
20log 1 20log 3 dB
2
M = = −
在ωc時必定會衰減 3 dB，
這件事情跟階數n無關。
階數n越高，會越接近理想濾波響應。
0 1ω≤ ≤在 之間，誤差從0 dB至最大到3 dB。
1ω >>
( )
1
n
M ω
ω
= ( )20log 20 log (dB)M nω ω= −
頻率響應下降斜率
6 (dB/oct)
20 (dB/dec)
n
n
−
= −
(3)
(4)
(5)
(6) 當 時：
8/53

9. Butterworth轉移函數
• Butterworth的近似頻率響應為
轉移函數F(s)應該長甚麼樣子呢？
Department of Electronic Engineering, NTUT
( ) ( ) 2
1
1 n
F j Mω ω
ω
= =
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 1
1 1 1
nns j s j n
s j
F s M F j F j F s F s
sω ω
ω
ω ω ω
ω= =
=
= = − = − = =
+ + −
定義 ( ) ( ) ( )2
P s F s F s= − ( ) ( )2 2
M Pω ω= −我們可以得到 ( )
( )
2
2
1
1 1
n n
P s
s
=
+ −
P(s2)的根可令分母 求出，其中( ) 2
1 1 0
n n
s+ − =
2 1 2 1
sin cos
2 2
k k k
k k
s j j
n n
σ ω π π
− −   
= + = +   
   
1,2,3, ,2k n= ⋯
下一頁，我們用一個4階的Butterworth響應來說明會更清楚。
一半數量的根在s平面左半邊，由F(s)貢獻；
另一半數量的根在s平面右半邊，由F(−s)貢獻。
9/53

10. 範例：4階Butterworth低通響應
• 4階Butterworth低通響應
Department of Electronic Engineering, NTUT
1,2,3, ,8k = ⋯
F(s)的4個根為：
( )
2
2
82 4
1 1
11
M ω
ωω ×
 
= = 
++ 
( ) ( ) ( )2
8
1
1
P s F s F s
s
= − =
+
1 0.3827 0.9239s j= − +
4 0.3827 0.9239s j= − −
2 0.9239 0.3827s j= − +
3 0.9239 0.3827s j= − −
( )
( )( )( )( )1 2 3 4
1
F s
s s s s s s s s
=
− − − −
( )
( )( ) 4 3 22 2
1 1
2.613 3.414 2.613 10.7654 1 1.8478 1
F s
s s s ss s s s
= =
+ + + ++ + + +
分母稱為Butterworth Polynomial
σ
jω
45
( ) ( ) 2
1
1 n
F j Mω ω
ω
= =
+
(令階數n = 4)
P(s2)共有8個根，
P(s2)的8個根
σ
jω
F(s)貢獻的4個根
10/53

11. 不同階數的Butterworth多項式
• 從Butterworth的低通原型所求得，這些多項式代表不同階數下轉移函
數F(s)的分母多項式(也代表根於s平面的位置)。
• 由於這些多項式由原型導出後，都是必然而且制式的結果，所以進行
濾 波 器 設 計 時 可 直 接 參 考 此 表 找 到 轉 移 函 數 ， 而 不 必 重 新 由
Butterworth的函數原型從頭推導起(因為推導完就是得到下表的結論)。
Department of Electronic Engineering, NTUT11/53

12. 柴比雪夫(等漣波)低通近似
• Chebyshev Approximation
Department of Electronic Engineering, NTUT
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1
1 n
F j M
C
ω ω
ε ω
= =
+
( )
( )
( )
1
1
cos cos ,0 1
1cosh cosh
n
n
C
n
ω ω
ω
ωω
−
−
 ≤ ≤
= 
≥
(在通帶內是正負1)
(頻率大於1之後快速上升)
( )2
2
1
20log 10log 1 (dB)
1
ε
ε
= +
+
通帶內的最大增益誤差：
如果我們規範了通帶內的最大增益
誤差量，ε的值就可以被決定了。
0.01 0.1 1 10 100
正規化頻率ω/ωc
( )F jω
0
0.4
0.8
1.2
Butterworth
Chebyshev
0 1ε≤ ≤(其中 ，
階數n為正整數)
( ) ( ) ( )1 12n n nC C Cω ω ω ω+ −= −
( ) 1
1
2n n
M ω
ε ω−
≃時1ω >>
( )0 1C ω =
( )1C ω ω=
( )
2
1
, odd
0 1
, even
1
n
M
n
ε


= 

+
直流：
( ) 2
2 2 1C ω ω= −
常用奇數階
高頻：
ω
1
1
2C
1C
3C 1−
1−
12/53

13. • 轉移函數之極點：
Chebyshev的轉移函數
Department of Electronic Engineering, NTUT
k k ks jσ ω= ±
2 1
sinh sin
2
k k
k
n
σ β π
− 
= ⋅  
 
2 1
cosh cos
2
k k
k
n
ω β π
− 
= ⋅  
 
11 1
sinhk
n
β
ε
−
= , 1,2,3, ,2k n= ⋯
2 2
2 2
1
sinh cosh
k k
k k
σ ω
β β
+ =
其中 而
jω
σ
Butterworth
Chebyshev
0.01 0.1 1 10
正規化頻率ω/ωc
0
0.4
0.8
Butterworth
3 dB Chebyshev
( )F jω
1 dB Chebyshev
13/53

14. 柴比雪夫多項式表 (I)
Department of Electronic Engineering, NTUT14/53

15. 柴比雪夫多項式表 (II)
Department of Electronic Engineering, NTUT15/53

16. 低通的其他近似響應
• 反柴比雪夫(Inverse Chebyshev)：
• 單調遞減(Papoulis, Legendre, Filter L)
• 橢圓近似 (Elliptic, Cauer)
Department of Electronic Engineering, NTUT
反柴比雪夫把漣波效果
轉到禁帶去。
0.01 0.1 1 10 100
正規化頻率ω/ωc
( )F jω
0
0.4
0.8
1.2
Inverse Chebyshev
Chebyshev
1ε = ( ) ( )2 2
nw Lω ω=而
( )
( )
( )( )
2 2
0
2
K s
F s
s s s
ω
α β γ
+
=
+ + +
( )
( )
2
2 2
1
1 n
F j
R
ω
ε ω
=
+
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
, even ( 2 )
1 1 1
k
n
k
R n n k
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
− − −
= =
− − −
⋯
⋯
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
, odd ( 2 1)
1 1 1
k
n
k
R n n k
ω ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
− − −
= = +
− − −
⋯
⋯
轉換帶下降率最快，通帶跟禁帶都有等漣波的效果。
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1
1
1
n
n
C
F j M
C
ε
ω
ω ω
ε
ω
 
 
 = =
 
+  
 
16/53

17. 濾波器規格
• 正規化截止頻率(Normalized cut-off frequency)：
大家都以截止頻率做為參考基準，如此就可以用頻率的
伸縮(scalable)來進行任意頻率響應的設計。
• 過渡帶的衰減率(Transition band fall-rate)：
• 濾波器濾波器濾波器濾波器規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述：
通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減在ωp 時不得超過Amax(<3dB)，在ωs最少要有As (dB)的衰減量。
• 依據規格找出濾波器的階數
Department of Electronic Engineering, NTUT
1cΩ =
6 dB/octN−
1cΩ =
cω
pΩ sΩ
pω sω
p
c
ω
ω
s
c
ω
ω
正規化頻率
pω sω ω0
maxA
sA
真實頻率
把ω這個符號留給「真實
頻率」，把參考基準頻率
用 表示來避免混淆。
17/53

18. 從規格找出濾波器的階數
• 濾波規格越嚴格(越接近理想濾波響應)，所需要的階數也
就越高，當然也就代表需要用元件數量來換取性能規格。
• 以Butterworth為例：
Department of Electronic Engineering, NTUT
( )2 2
(dB) 20log 1 10log 1n n
p p pA = + Ω = + Ω
由上式可知頻率 p與衰減量Ap之間的關係為 0.12
10 1pAn
pΩ = −
同樣道理，達到衰減量As的頻率 s為 0.12
10 1sAn
sΩ = −
將上面兩式相除
2 2
0.1
0.1
10 1
10 1
s
p
n n
A
s s
A
p p
ω
ω
   Ω −
= =      Ω −   
0.1
0.1
10 1
log
1 10 1
2
log
s
p
A
A
s
p
n
ω
ω
 −
 
− =
 
  
 解出來的階數n通常不會剛好是整數，我們要找一個比他還大的來實現。
例如解出的n = 2.34，那麼我們就要使用3階的設計來達到規格要求。
下一步找截止頻率 cω
( ) ( ) 2
1
1 n
F j Mω ω
ω
= =
+
( ) 2
20log 20log 1 n
M ω ω= − + ( ) 2
20log 20log 1 n
M Ω = − + Ω
在某個頻率 p的衰減量為
通常用 找到的 跟用 找到的 會不一樣，不過都會符合
規格的要求。所以取兩個 的平均值也會符合規格。
pΩ cω sΩ
cω
cω
18/53

19. Butterworth範例
• 一低通濾波器之規格要求為
請問至少需使用幾階的Butterworth濾波器來實現？
Department of Electronic Engineering, NTUT
，所以至少要用5階。
3 kHz, 1 dB, 6 kHz, 20 dBp p s sf A f A= ≤ = ≥
0.1
0.1
10 1
log
1 10 1
4.3
2
log
s
p
A
A
s
p
n
ω
ω
 −
 
− = =
 
  
 
5
0.12
10 1 0.87361p
n
An
p p
=
Ω = − → Ω =
5
0.12
10 1 1.5833s
n
An
s s
=
Ω = − → Ω =
_
_
2 3 kHz
2 3.434 krad/sc p
c p
π
ω π
⋅
= = ⋅
Ω
_
_
2 6 kHz
2 3.78955 krad/sc s
c s
π
ω π
⋅
= = ⋅
Ω
_ _
2 3.61148 krad/s
2
c p c s
c
ω ω
ω π
+
= = ⋅
步驟一步驟一步驟一步驟一：從規格要求找濾波器階數
步驟二步驟二步驟二步驟二：從 p與 s找截止頻率ωc
fc (kHz) Ap (dB) As (dB)
3.434 1 24.25
3.78955 0.401 20
3.61148 0.63 22.1
從 p推得
從 s推得
兩者平均
19/53

20. Chebyshev範例
• 對於柴比雪夫任何階數n的Cn(1)=1
Department of Electronic Engineering, NTUT
max 1 dBpA A= =
0.1
10 1pA
ε = −
0.505ε =
在頻率 s： ( )
11
2n n
ε
−−
Ω ( )20log 6 1 20 logsA n nε + − + Ω≃
2sΩ = Ω =
( )20 20log0.505 6 1 20 log 2n n= + − +
2.69n = 3n =
要達到同樣規格，柴比雪夫只要用3階，
而Butterworth要5階才行。柴比雪夫用通
帶平坦度來換取禁帶衰減率。
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1
1 n
F j M
C
ω ω
ε ω
= =
+
( )
( )
( )
1
1
cos cos ,0 1
1cosh cosh
n
n
C
n
ω ω
ω
ωω
−
−
 ≤ ≤
= 
≥
( )2
2
1
20log 10log 1 (dB)
1
ε
ε
= +
+
且
令 c pω ω= 1c pΩ = Ω =
在頻率 p：
，n要為正整數，所以選擇
20/53

21. 低通原型轉真實低通濾波器
• 低通響應原型的正規化函數：
• 真正的頻率響應 (去正規化)：
• 頻率對應：
Department of Electronic Engineering, NTUT
( )
1
1
n
n
F s
s
=
+
n
c
s
s j
ω
= = Ω
( )
1
1
c
c
c
F s
s s
ω
ω
ω
= =
++
這表示一個截止頻率
為ωc的低通響應
0 1≤ Ω ≤ 0 cω ω≤ ≤
正規化頻率
實際頻率
cωcω− 0 ωω−
cΩc−Ω 0 Ω−Ω
其中
正規化複頻率, n為normalized的意思。
真實複頻率
1Ω0 Ω1
cω 1 1 cω ω= Ω ω
( )F jω
正規化與去正規化後「響應的樣子」不會有
任何變動，只是頻率軸的對應發生了改變。
21/53

22. 低通原型轉高通濾波器
• 頻率轉換：
• 真正的頻率響應 (去正規化)：
• 頻率對應：
Department of Electronic Engineering, NTUT
1
n
n
s
s
′ →
c
ns
s
ω
′ =
( )
1 1
1 1cn c
s
F s
s s
s
ω ω
= = =
′ + ++
0 1≤ Ω ≤
cωcω− 0 ωω−
11− 0 LΩL−Ω
cωcω− 0 ωω−
11− 0 HΩH−Ω
頻率響應左右翻轉
n
c
s
s
ω
=
cω ω≤ ≤ ∞
0 1 0 ′≤ Ω ≤ → ≤ Ω ≤ ∞
Ω
10
′Ω
10 ∞∞
22/53

23. 低通原型轉帶通濾波器
• 頻率轉換：
• 真正的頻率響應 (去正規化)：
Department of Electronic Engineering, NTUT
2
11 n
n n
n n
s
s s
s s
+
′ → + =
0
n
s
s
ω
=
1 2 1c cΩ Ω =
2
0 1 2 1c cΩ = Ω Ω =
2 1 1c cΩ − Ω =通帶頻寬: 1
1 5
2 2
cΩ = − + 2
1 5
2 2
cΩ = +
( )
0
2
1
n
n
sn n s
s
F s
s s
ω
=
=
+ +
cωcω− 0 ωω−
11− 0 LΩL−Ω
其中
2cΩ1cΩ 0Ω
2cω−ω− 0ω− 1cω− 0 2cω0ω1cω ω
2c−Ω 0−Ω 1c−Ω 2cΩ0Ω1cΩ
11−
0
2 1 0c cB ω ω ω= − =
通帶頻寬： 0 0
0
n
s
s
B s
ω ω
ω
 
→ + 
 
2
0 1 2c cω ω ω=
2 1c cB ω ω= −
若要設計不等於 的頻寬B，只要按比例伸縮0ω
c通帶
c0稱作正規化中心頻率
(normalized center frequency)
23/53

24. c
低通原型轉帶斥濾波器
• 頻率轉換：
• ω0是禁帶的中心頻率，B是頻寬
• 正規化的帶斥轉移函數
Department of Electronic Engineering, NTUT
2
1
1 1
n
n
n
n
n
s
s
ss
s
′ → =
++
0
0
0
n
B
s
s
s
ω
ω
ω
→
 
+ 
 
2cΩ1cΩ 0Ω 1cΩ 0Ω 2cΩ0
cωcω− 0 ωω−
11− 0 LΩL−Ω
2cω−ω− 0ω− 1cω− 0 2cω0ω1cω ω
2c−Ω 0−Ω 1c−Ω 2cΩ0Ω1cΩ
11−
2 1c cB ω ω= −2
0 1 2c cω ω ω=
( )
2
2
1
1
n
n
n n
s
F s
s s
+
=
+ +
c禁帶
去正規化，代入
24/53

25. 簡單被動RC濾波器
• 簡單RC低通低通低通低通電路
• 轉移函數
Department of Electronic Engineering, NTUT
• 簡單RC高通高通高通高通電路
• 轉移函數
1V 2V
R
C
C′
R′1V 2V
RC C R′ ′=
RC:CR轉換
簡單RC電路是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。
( ) 2
1
1
1
1
1
1
V sCF s
sV R
sC RC
= = =
+ +
( ) 2
1
1
1
1
V R s
F s R C
sV R
sC R C
′ ′
′ ′ ′= = =
′ ′+ +
′ ′ ′
25/53

26. 簡單主動RC濾波器
• 主動RC低通低通低通低通濾波器
• 轉移函數
Department of Electronic Engineering, NTUT
( )
2
2 2
1 1 1
2
2
1
1 1
1
1
1
R
V RsCF s
sV R RR
sC R C
= = − = −
+ +
• 主動RC高通高通高通高通濾波器
• 轉移函數
1V
1R
C
2V
2R
1V
1C
R
2V
2C
2 2R C C R=
RC:CR轉換
1i iC R=
頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮：若去正規化後之截止頻率為ωc，時間常數RC則要再除以ωc，可選擇R
或C其中一個去除ωc即可。
簡單主動RC是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。
( ) 2 2 1
1
1
2 2
1
1
1
1
R
V sC sRC
F s sC
sV R
sC RC
′
′ = = − = −
′
+ +
26/53

27. 阻抗的伸縮(Impedance Scaling)
• 以簡單被動RC低通濾波器為例：
• 若截止頻率ωc=1 rad/s，可得RC=1，所以R跟C的值可以是
Department of Electronic Engineering, NTUT
1V 2V
R
C
1 F
1
C
R
=

= Ω
1 mF
1 k
C
R
=

= Ω
1 µF
1 M
C
R
=

= Ω
也可以是 ，當然，若要這樣配 也是可以。
範例：若參考阻抗R0=5 k ，阻抗升高5000倍
阻抗乘106倍
1 F
1
C
R
=

= Ω
( ) 2
1
1
1 1
1 11
1
V sCF s
sV sRCR
sC RC
= = = =
++ +
1 1 1
1 1 1c
c c
F j
RCsRC j RC j
ω
ωω ω
ω ω
 
= = = 
+  + +
0
0
1 F
200 µF
1 5 k
C
R
R R

= =

 = Ω× = Ω
200 µF 5 k 1RC = × Ω =
阻抗乘103倍
27/53

28. 一階轉移函數的實現 (I)
• 主動RC一階低通低通低通低通濾波器：
Department of Electronic Engineering, NTUT
反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法
( )
2
2
1 1
2
2
1
1 1
1
1
1
o
i
R
V RsCH s
sV R RR
sC R C
≡ = − = −
+ +
( )
( ) 1
a a b
F s
s b s b
= =
+ +
( ) 2 2
1 1
1
1
1 1
1
1
1
o
i
V R RsCH s
sV R RR
sC RC
   
≡ = + = +   
   + +
iV
1R
2R
C
oV
iV
R
2R
C
oV
1R
非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法
直流增益
直流增益
28/53

29. 一階轉移函數的實現 (II)
• 主動RC一階高高高高通通通通濾波器：
Department of Electronic Engineering, NTUT
iV
1R
2R
C
oV
iV
R
C
oV
aR
bR
( )
( )
( ) 1
a b sas
F s
s b s b
= =
+ +
反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法 非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法
( ) 2 2
1
1
1
1
1
1
s
H s R R C
s
R
sC R C
= − = −
+ +
( ) 1 1
1
1
1
b b
a a
R RR s
H s RC
sR RR
sC RC
   
= + = +   
   + +
29/53

30. 二階轉移函數的通式(Generalized Form)
• 二階轉移函數：
當 (共軛根)只能用被動RLC或主動RC電路實現。
• 二階轉移函數之通式(Biquadratic general form)：
Department of Electronic Engineering, NTUT
( )
2
2 1 0
2
a s a s a
F s
s sβ γ
+ +
=
+ +
0.5γ β>
( )
( ) ( )
2 2
22
1 2 0 22 1 0
2 2 2
2 22
z
z
z
nn n
n
p
s s
s a a s a aa s a s a Q
F s K K
s s s s s s
Q
ω
ω
ωβ γ ζω ω ω
+ +
+ ++ +
= = =
+ + + + + + pQ
γ
β
=
0 pω γ=
2
1,2
4
2
s
β β γ− ± −
=
分母的根
還記得電路學嗎？
1. 共軛根 衰減弦波
2. 為什麼會有弦波?
3. 一階被動被動被動被動RC或RL電路
，不可能有共軛根。
30/53

31. 使用SAB實現二階轉移函數
• 利用主動RC電路來實現二階(biquadratic)轉移函數稱為「Biquad」電路。
只用一個放大器來實現又稱為SAB(Single Amplifier Biquad)。SAB有
兩種類型：
Department of Electronic Engineering, NTUT
增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組態態態態 EPF
(Enhanced positive feedback)
增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組態態態態 ENF
(Enhanced negative feedback)
電壓
輸入端點
aR
RC
a
b
c
bR RC
a b
c
bR′aR′
電壓輸入
端點 RC網路用來產生複
數極點與零點，可
為二階或三階。
Ra跟Rb所形成的回授，
改變他們的值可以用來
改變複數極點的位置。
31/53

32. EPF與ENF的互補轉換(CT)
• EPF與ENF使用一樣的RC網路，他們可以互相轉換(兩者稱
為互補)。互補的EPF與ENF實現的同樣的轉移函數。
• 步驟一：將原來的回授端點改成接地。
• 步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。
Department of Electronic Engineering, NTUT
aR
RC
a
b
c
bR RC
a b
c
aRbREPF ENF
c b
CT轉換
32/53

33. EPF與ENF的互補轉換範例
• 步驟一：將原來的回授端點改成接地。
• 步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。
Department of Electronic Engineering, NTUT
2R
bR
aR
1R1C 2C
aR
bR
2C
1R1C
2R
aRbR
1R
1C
2C2R
EPF ENF ENFa
b
c
c
b
b
c
a
CT轉換 重新排列
33/53

34. 低通SAB – Sallen-Key二階低通電路
• Sallen-Key二階低通
Department of Electronic Engineering, NTUT
(EPF, VCVS, DC Gain )
( ) 1 2 1 2
2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
o
i
G
V R R C C
H s
V G
s s
R C R C R C R R C C
= =
 −
+ + + + 
 
1 b
a
R
G
R
= +
( ) 2
K
F s
s sβ γ
=
+ + 1 1 2 1 2 2
1 1 1 G
R C R C R C
β
−
+ + =
1 2 1 2
1
R R C C
γ=
1 2 1 2
G
K
R R C C
=
1
2
RC
β=
1
2
R
C
β
=
2
2
C
R
β
γ
=
2R1R
2C
1C
aR
bR
iV
oV
轉移函數中的多項式係數：設計時是由近似
型式(Butterworth, Chebyshev等)與階數決定；
實現時是由R1、R2、C1與C2等元件值所決定。
我們可先自己決定幾個未知數的值，通常會
使用 ，此時
OPA為隨耦器，頻寬最寬。
( )1 2 and 1 aR R R G R= = = = ∞
1 2 , 1R R R G= = =
34/53

35. 範例
• 如果要實現Butterworth二階低通轉移函數：
Department of Electronic Engineering, NTUT
( ) 2
1
2 1
F s
s s
=
+ +
1 2C = 2
1
2
C =
1
0
2
c
C
Rω
=
2
0
1
2 c
C
Rω
=
1
0
2
C
R
=
2
0
1
2
C
R
=
0
1 2
c
R
R R
ω
= =
02 whileb aR R R= = ∞
1 2 0R R R= =
2R1R
2C
1C
aR
bR
iV
oV
令 ( )1 2 1 and 1 aR R R G R= = = = = ∞
第一組解 第二組解
and
若參考阻抗為R0，截止頻率為ωc：
選擇
以抵銷DC offset
• 若為R0 =10 k ，截止頻率為1 kHz：
1 2 10 kR R= = Ω
1 3 4
2
22.5 nF
2 10 10
C
π
= =
⋅ ⋅
2 3 4
1
11.25 nF
2 2 10 10
C
π
= =
⋅ ⋅ ⋅ 2 4
1
70.1 µF
2 10
C = =
⋅
4
1 2 3
10
1.59
2 10
R R
π
= = = Ω
⋅
1 4
2
141.4 µF
10
C = =
20 kbR = Ω 3.18bR = Ω
第一組解 第二組解
第二組解在實作上
較不合理，故可選
第一組解進行實作。
35/53

36. 其他實現的方法
• 濾波器的實現方法百百種，但最基本的轉移函數型式不外
乎就是那幾種，如Butterworth、Chebyshev與Eclliptic等等。
• 為了要實現那一堆轉移函數，我們可以用被動LC的方式，
也可以用主動RC的電路來實現。
• 主動的實現方式還有雙OP Biqaud、Bach’s電路、三OP
Biquad、雙積分器迴路Biquad, KHN (Kerwin, Huelsman,
Newcomb) Biquad 、 Tow-Thomas Biquad 、 Åkerberg-
Mossberg Biquad、WAE、Multiple Feedback、Twin-T等等。
Department of Electronic Engineering, NTUT36/53

37. 濾波器設計軟體
• 由本章的討論可以知道，濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一
種數學過程種數學過程種數學過程種數學過程。很多廠商皆有提供免費的濾波器設計軟體，
使用者只要將濾波器規格參數鍵入，軟體就能自動幫我們
設計出想要的濾波器出來。
Department of Electronic Engineering, NTUT
Microchip FilterLab TI FilterPro
37/53

38. 範例-主動式低通濾波器設計 (I)
• 設計一個低通濾波器，截止頻率為5 kHz，在20 kHz時衰
減量要達到40 dB。
Department of Electronic Engineering, NTUT
1.Filter Design
直流增益
使用使用使用使用Microchip FilterLab
38/53

39. 範例-主動式低通濾波器設計 (II)
Department of Electronic Engineering, NTUT
1. 頻率響應圖 3. 電路設計 4. 也能產生SPICE Netlist
2. 三階設計，可隨時改變
此值增減階數。
39/53

40. 範例-主動式低通濾波器設計 (III)
Department of Electronic Engineering, NTUT
使用使用使用使用TI FilterPro
40/53

41. 範例-主動式低通濾波器設計 (IV)
Department of Electronic Engineering, NTUT41/53

42. 被動階梯式LC濾波器(LC Ladder)
• 本章所介紹之濾波器都可以使用LC被動元件來實現。
• 被動式濾波器的增益永遠小於1。
• 階梯式LC低通濾波器：
Department of Electronic Engineering, NTUT
先並先並先並先並C再串再串再串再串L
先串先串先串先串L再並再並再並再並C
0g 1g 3g 5g 1ng −
2g 4g 6g ng 1ng +
0g
1 1L g=
2 2C g= 4 4C g= 6 6C g=
3 3L g= 5 5L g=
1ng +
ng
ng 為並電容： 1ng + 為負載電阻。
ng 為串電感： 1ng + 為負載電導。
kg 為串聯電感值或並聯電容值。
1g 為串電感： 0g 為源並聯電導。
1g 為並電容： 0g 為源串聯電阻。
42/53

43. 以二階Butterworh為例
• 考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導最大平坦度設計之
正規化L, C值。假設源阻抗為1 ，截止頻率為1 rad/s。
Department of Electronic Engineering, NTUT
4
1LRP ω= +
( )
2 2 2
1
1
in
R j C
Z j L
R C
ω
ω
ω
−
= +
+
1
1
in
in
Z
Z
−
Γ =
+
( )
2
2
11 1
21 11
1
1 1
in
LR
in inin in
in in
Z
P
Z ZZ Z
Z Z
∗∗
∗
+
= = =
   +− −− Γ
−  
+ +  
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 41
1 1 2 1
4
LRP R R C L LCR L C R
R
ω ω ω = + − + + − + = +
 
( ) ( )
22 2
2 0C L LC L C+ − = − = L C=
2 2 4
1
4 4
L C L
= = 2L C= =
L
C R
1 Ω
inZ
1R =
0g 1g
2g
3 1g =
對 於 3 階 、 4 階 … 等 更 高 階 的
Butterworth低通濾波器，要找出
其正規化LC值也是運用同樣的
手法。所幸，這個工作已經有
人先幫我們做好並製成表格了。
因此工程師在設計時只要直接
查表即可(你也可以自己慢慢計
算，但是算出來的結果就跟g值
表一模一樣，何必多此一舉呢?)。
43/53

44. Butterworth響應LC低通濾波器g值表
Department of Electronic Engineering, NTUT44/53

45. 以二階Chebyshev為例
• 考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導等漣波設計之正規
化L, C值。假設源阻抗為1 ，截止頻率為1 rad/s。
Department of Electronic Engineering, NTUT
L
C R
1 Ω
inZ
0g 1g
2g
3 1g =
( )2 2
1LR nP Cε ω= + ( )
0 ,for odd
0
1,for even
n
n
C
n

= 

( ) 2
1 , odd
0
1 , even
LR
n
P
nε

= 
+
( ) 2
2 2 1C ω ω= −
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2
1
1 1 4 4 1 1 1 2
4
LRP C R R C L LCR L C R
R
ε ω ε ω ω ω ω = + = + − + = + − + + − +
 
如果ripple level ε已知，RLC就可以解出來：
0ω =
( )
2
2 1
4
R
R
ε
−
=
2 2
1 2 2 1 (for = even)R nε ε ε= + ± +或
2 2 2 21
4
4
L C R
R
ε =
( )2 2 2 2 21
4 2
4
R C L LCR
R
ε− = + −
可找出LC
n為奇數或偶數
要分開考慮。
當n為偶數時，計算出來的R不會
等於1。若正規化負載阻抗為1，
那麼彼此就不匹配。這可以用1/4
波長阻抗轉換器或使用奇次階來
解決。
45/53

46. Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(I)
Department of Electronic Engineering, NTUT46/53

47. Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(II)
Department of Electronic Engineering, NTUT47/53

48. 範例-Butterworth (I)
• 設計一個Butterwoth低通濾波器，截止頻率為2 GHz，參考
阻抗為50 。在3 GHz時至少有15 dB的損耗。
Department of Electronic Engineering, NTUT
1 0.618g =
2 1.618g =
3 2g =
4 1.618g =
5 0.618g =
0.1 0.1 15
0.1 0.1 3
10 1 10 1
log log
10 11 110 1
4.225
3 GHz2 2
loglog 2 GHz
s
p
A
A
s
p
n
ω
ω
×
×
   − −
   
−−   = = =
   
     
 
0 1g =
1g
2g
3g
4g 6g
5g
50sR = Ω
1C
2L
3C
4L
LR
50 Ω
5C
1
0.618
0.984 pF
50 2 2 GHz
C
π
=
⋅ ⋅
≃
2
1.618 50
6.438 nH
2 2 GHz
L
π
⋅
=
⋅
≃
3
2
3.183 pF
50 2 2 GHz
C
π
=
⋅ ⋅
≃
4
1.618 50
6.438 nH
2 2 GHz
L
π
⋅
=
⋅
≃
5
0.618
0.984 pF
50 2 2 GHz
C
π
=
⋅ ⋅
≃
Term
Term2
Z=50 Ohm
Num=2
C
C3
C=0.984 pF
L
L2
R=
L=6.438 nH
C
C2
C=3.183 pF
L
L1
R=
L=6.438 nH
C
C1
C=0.984 pF
S_Param
SP1
Step=0.1 GHz
Stop=6.0 GHz
Start=0.1 GHz
S-PARAMETERS
Term
Term1
Z=50 Ohm
Num=1
m1
freq=
dB(S(2,1))=-3.009
2.000GHz
m2
freq=
dB(S(2,1))=-17.686
3.000GHz
1 2 3 4 50 6
-40
-30
-20
-10
0
-50
10
freq, GHz
dB(S(2,1))
m1
m2
m1
freq=
dB(S(2,1))=-3.009
2.000GHz
m2
freq=
dB(S(2,1))=-17.686
3.000GHz
至少用5階
查表可得
48/53

49. 範例-Butterworth (II)
• 使用先串L再並C：
Department of Electronic Engineering, NTUT
0 1g =
1g
2g
3g
4g 6g
5g1 50sG = Ω
50 Ω
1
0.618 50
2.459 nH
2 2 GHz
L
π
⋅
=
⋅
≃
2
1.618
2.575 pF
50 2 2 GHz
C
π
=
⋅ ⋅
≃
3
2 50
7.958 nH
2 2 GHz
L
π
⋅
=
⋅
≃
4
1.618
2.575 pF
50 2 2 GHz
C
π
=
⋅ ⋅
≃
5
0.618 50
2.459 nH
2 2 GHz
L
π
⋅
=
⋅
≃
如果改用Chebyshev設計呢？
m1
freq=
dB(S(2,1))=-3.010
2.000GHz
m2
freq=
dB(S(2,1))=-17.682
3.000GHz
1 2 3 4 50 6
-40
-30
-20
-10
0
-50
10
freq, GHz
dB(S(2,1))
m1
m2
m1
freq=
dB(S(2,1))=-3.010
2.000GHz
m2
freq=
dB(S(2,1))=-17.682
3.000GHz
S_Param
SP1
Step=0.1 GHz
Stop=6.0 GHz
Start=0.1 GHz
S-PARAMETERS L
L3
R=
L=2.459 nH
C
C4
C=2.575 pF
L
L4
R=
L=7.958 nH
L
L5
R=
L=2.459 nH
Term
Term2
Z=50 Ohm
Num=2
C
C5
C=2.575 pF
Term
Term1
Z=50 Ohm
Num=1
1 0.618g =
2 1.618g =
3 2g =
4 1.618g =
5 0.618g =
查表可得
請同學自己練習。
49/53

50. 各種濾波器LC轉換表(由低通轉過去)
Department of Electronic Engineering, NTUT
nL
低通轉低低通轉低低通轉低低通轉低通通通通：：：：頻率轉換
元件g值 阻抗 元件值
nC
n n n
c
s
s L L
ω
= n
c
L
L
ω
=
1 c
n n ns C sC
ω
= n
c
C
C
ω
=
n cs s ω→
nL
低通低通低通低通轉高通轉高通轉高通轉高通：：：：頻率轉換
元件g值 阻抗 元件值
nC
c
n n ns L L
s
ω
=
1
c n
C
Lω
=
1
n n c n
s
s C Cω
=
1
c n
L
Cω
=
n cs sω→
nL
低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換
元件g值 阻抗 元件值
nC
0 0
0
n n n
s
s L L
B s
ω ω
ω
 
= + 
 
nL
L
B
=
0 0
0
1 1
n n
n
s C s
C
B s
ω ω
ω
=
 
+ 
 
nC
C
B
=
0 0
0
n
s
s
B s
ω ω
ω
 
→ + 
 
2
0 n
B
C
Lω
=
2
0 n
B
L
Cω
=
LC串聯
LC並聯
nL
低通低通低通低通轉帶斥轉帶斥轉帶斥轉帶斥：：：：頻率轉換
元件g值 阻抗 元件值
nC
1
0 0
0
n n n
s
s L L
B s
ω ω
ω
−
  
= +  
  
2
0
nBL
L
ω
=
0 0
01
n n n
s
B s
s C C
ω ω
ω
 
+ 
 = 2
0
nBC
C
ω
=
1
0 0
0
n
s
s
B s
ω ω
ω
−
  
→ +  
  
1
n
C
BL
=
1
n
L
BC
=
LC並聯
LC串聯
設計時直接參考轉換表即可。
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51. 各種濾波器LC轉換對應圖
Department of Electronic Engineering, NTUT
低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器
nL
nC
高通濾波器高通濾波器高通濾波器高通濾波器
1
c n
C
Lω
=
1
c n
L
Cω
=
帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器 帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器
nL
L
B
=
nC
C
B
=
2
0 n
B
C
Lω
=
2
0 n
B
L
Cω
=
2
0
nBL
L
ω
=
2
0
nBC
C
ω
=
1
n
C
BL
=
1
n
L
BC
=
51/53

52. 範例-帶通濾波器
• 設計一個三階帶通濾波器(使用Butterworth低通為原型再做轉換)，其
中心頻率為1 krad/s、頻寬為100 rad/s且參考阻抗為600歐姆。
Department of Electronic Engineering, NTUT
0 1g =
1 1g =
2 2g =
3 1g = 4 1g =
( )
600
,1 1 1 1 12
100 1 10 mF
1 0.1 mH, 10 mF 600 0.1 mH 60 mH, 16.67 µF
100 6001 k 1
nC L C L C
Ω
= ⇒ = = = = ⇒ = × = = =
⋅
( )
600
,2 2 2 2 22
100 2 50 µF
2 50 µF, 20 mH 83.33 nF, 600 20 mH 12 H
100 6001 k 2
nL C L C L
Ω
= ⇒ = = = = ⇒ = = = × =
⋅
( )
600
,3 1 1 3 32
100 1 10 mF
1 0.1 mH, 10 mF 600 0.1 mH 60 mH, 16.67 µF
100 6001 k 1
nC L C L C
Ω
= ⇒ = = = = ⇒ = × = = =
⋅
600 Ω
60 mH 16.67 µF
16.67 µF
60 mH
12 H 83.33 nF
600 Ω0 1 krad/s, 100 rad/sBω = =
nL
低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換
g值 阻抗 元件值
nC
0 0
0
n n n
s
s L L
B s
ω ω
ω
 
= + 
 
nL
L
B
=
0 0
0
1 1
n n
n
s C s
C
B s
ω ω
ω
=
 
+ 
 
nC
C
B
=
0 0
0
n
s
s
B s
ω ω
ω
 
→ + 
 
2
0 n
B
C
Lω
=
2
0 n
B
L
Cω
=
LC串聯
LC並聯
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53. 結論
Department of Electronic Engineering, NTUT
濾波器規格濾波器規格濾波器規格濾波器規格 響應近似響應近似響應近似響應近似 階數階數階數階數
轉移函數轉移函數轉移函數轉移函數 主動主動主動主動:Biquad
g值表值表值表值表 被動被動被動被動: LC
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