Pembuktian Rumus ABC

1. PEMBUKTIAN RUMUS ABC
Secara umum persamaan kuadrat berbentuk 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠
0. Persamaan kuadarat seperti ini memiliki tiga bentuk akar-akar persamaan, yaitu
memiliki dua akar riil dan berbeda (jika 𝐷 > 0), memiliki dua akar riil dan sama
(jika 𝐷 < 0) dan tidak memiliki akar riil atau biasa dikenal dengan tidak memiliki
solusi (jika 𝐷 < 0). Apa D? D adalah singkatan dari Diskriminan yaitu memiliki
rumus 𝐷 = √𝑏2 − 4𝑎𝑐. Dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat biasa dengan
menggunakan rumus abc atau lebih dikenal dengan Rumus Kecap. Penurunan
Rumus Kecap ini menggunakan bantuan mencari akar persamaan kuadrat dengan
Melengkapi Kuadrat
𝑥1,2 = −𝑏 ±
√ 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Bagaimana bisa terjadi rumus kecap tersebut? Tentu semuanya ada asal
usulnya. Sekarang saya mencoba menurunkan rumus tersebut. Perhatikan langkah
demi langkah berikut ini.
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (kali kedua ruas dengan
1
𝑎
)
x2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0 (kurangkan kedua ruas dengan
𝑐
𝑎
)
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
sekarang kita melengkapi kuadrat ruas kiri yaitu menjumlahkan kedua ruas dengan
(
𝑏
2𝑎
)
2

2. 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
(𝑥 +
𝑏
2 𝑎
)
2
= −
2𝑎𝑐
2𝑎2
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
4𝑎.𝑐
4𝑎.𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −𝑏 ±
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 = 𝑏 +
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
atau 𝑥2 = −𝑏 −
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
(rahim, 2012).
rahim, a. (2012, Agustus 29). pembuktian rumus kecap abc mencari
akarpersamaankuadrat.Retrieved oktober 1, 2015,
fromaimprof08.wordpress.com:https://aimprof08.wordpress.com/2012/08/29/pembuk
tian
Seingat saya, sejak kelas 3 SMP (sekitar tahun 1997) saya sudah mulai belajar
tentang persamaan kuadrat yang mempunyai bentuk umum seperti berikut ini.
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0
Waktu itu, kata guru matematika saya, ada tiga cara untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat tersebut. Apa saja?

3. Ya, cara pertama yaitu dengan pemfaktoran, cara kedua dengan
melengkapkan kuadrat, dan cara yang ketiga yaitu menggunakan rumus “abc” (baca:
rumus aaa, beee, ceee).
Seperti apa rumus “abc” itu?
Sebetulnya ketiga cara tersebut sudah standar dan biasa terdapat di buku-buku
pelajaran matematika, lengkap dengan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Di
dunia maya pun kita bisa dengan mudah mencarinya. Cukup dengan mengetikkan
kata/frase “quadratic equation” di mesin pencari (misal google), maka cara-cara
penyelesaian itu akan muncul dengan cepatnya.
Di sini kita akan mendiskusikan cara yang ketiga, yakni menggunakan rumus
“abc”. Rumus “abc” dari persamaan kuadrat 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah seperti berikut
ini.
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh penggunaannya begini. Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan
kuadrat 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = 0. Dari persamaan ini didapat 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, dan 𝑐 = 1.
Sehingga dengan memasukkan (mensubstitusikan) nilai-nilai ini ke rumus tadi, maka
diperoleh penyelesaian berikut ini.
𝑥 =
−3±√32
−4.2.1
2.2
𝑥 =
−3±√9−8
4
=
−3±1
4
Jadi penyelesaiannya yaitu 𝑥 = −1atau 𝑥 = −
1
2

4. Lalu, timbul pertanyaan, dari mana datangnya rumus “abc” tersebut? Apakah
datang dari “langit” begitu saja?
Jawabnya, tentu TIDAK! Semua orang juga setuju akan hal ini.
Ternyata, rumus tersebut tidak datang dari mana-mana, tapi dari persamaan
kuadrat itu sendiri. Nah, ini dia buktinya!
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, karena 𝑎 ≠ 0, maka
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
→ 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
→ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
→ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
) = ±√
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
→ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Nah, baris yang terakhir itulah yang disebut dengan rumus “abc”.
SEBETUL-nya, penggunaan istilah rumus “abc” tidaklah tepat! Namun sudah
telanjur populer di negeri kita. Bahkan populer juga di negeri Belanda. Mungkin,
istilah ini merupakan salah satu warisan dari mantan penjajah negeri kita itu.
Makanya ada kesamaan penyebutan rumus tersebut baik di negeri kita maupun di
negeri Belanda.

5. Lalu yang tepat itu disebut rumus apa? Yang tepat istilahnya adalah rumus
quadrat. Kenapa penggunaan istilah rumus”abc” tidak tepat? Sederhana saja
jawabnya. Bila kita punya persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 =
0, maka penyelesaiannya adalah
𝑥 = −𝑞 ±
√𝑞2 − 4𝑝𝑟
2𝑝
Apakah masih tepat menyebut rumus ini dengan rumus “abc”? Tentu tidak,
bukan? Namun demikian, terserah saja menyebutnya. Mau rumus “abc” kek, rumus
“pqr” kek, rumus kuadrat kek, atau rumus “kecap”. Yang penting adalah kita
mengerti dan dapat menggunakannya. Betul?
Oh, iya. Kenapa juga ada yang menyebut rumus quadrat itu dengan rumus
“kecap” (paling tidak saya yang menyebut begitu). Ya, gara-garanya ada produk
kecap bermerek sama dengan panggilan populer rumus quadrat tersebut (jupri, 2007).
1
1 jupri,a.(2007, 11 21). asal usulrumuskecap.Retrieved101, 2015, from
mathematicse.wordpress.com:https://mathematicse.wordpress.com/2007/11/21/asal-
usul-rumus-kecap/
rahim,a. (2012, Agustus29). pembuktian rumuskecap abcmencari
akarpersamaankuadrat.Retrievedoktober1,2015,
fromaimprof08.wordpress.com:https://aimprof08.wordpress.com/2012/08/29/pembuktian
-rumus-kecap-abc-mencari-akar-persamaan-kuadrat/

6. Banyak cara yang digunakan untuk mencari akar persamaan
kuadrat, diantaranya adalah dengan cara memfaktorkan, melengkapkan
kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus kuadrat. Kali ini kita
akan mencari tahu dari mana asal rumus ABC tersebut sehingga bisa kita
gunakan dengan mudah untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat.
Oleh karenanya, simak uraian berikut ini :
Akan dibuktikan :
𝑥 =
−𝑏 ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Penyelesaian :
Misalkan terdapat persamaan kuadrat
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
kemudian kedua ruas dibagi dengan a
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
=
0
𝑎
𝑎𝑥2
𝑎
+
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
=
0
𝑎
𝑥2
+
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
= 0

7. Kedua ruas dikurangi dengan
𝑐
𝑎
𝑥2
+
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
−
𝑐
𝑎
= 0 −
𝑐
𝑎
𝑥2
+
𝑏𝑥
𝑎
= −
𝑐
𝑎
Lengkapkan kuadrat sempurna dengan cara menambahkan kuadrat
dari setengah kali koefisien x, agar nantinya kita dapat memfaktorkan
ruas sebelah,
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
4𝑎2
𝑐 + 𝑎𝑏2
4𝑎3
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
4𝑎𝑐 + 𝑏2
4𝑎2
Akarkan kedua ruas
√(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= √−
4𝑎𝑐 + 𝑏2
4𝑎2

8. 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±√
−4𝑎𝑐 + 𝑏2
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
1
2𝑎
√−4𝑎𝑐 + 𝑏2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
1
2𝑎
√ 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Kurangkan kedua ruas dengan
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
−
𝑏
2𝑎
= ±
1
2𝑎
√ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 −
𝑏
2𝑎
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
1
2𝑎
√ 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
± √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
(rifandi, 2014)2
rifandi,m. (2014, 10 04). pembuktian rumus kuadrat rumus abc. Retrieved 10 1, 2015, from
rifandy23.blogspot.co.id: http://rifandy23.blogspot.co.id/2014/10/pembuktian-rumus-
kuadrat-rumus-abc.html