statistik matematika

1. PENGUJIAN NORMALITAS DATA
Dr. Zulkifi Matondang, M.Si
A. Pengantar
Pengujian normalitas dimaksudkan untuk mendeteksi apakah data
yang akan digunakan sebagai pangkal tolak pengujian hipotesis meru-
pakan data empirik yang memenuhi hakikat naturalistik. Hakikat
naturalistik menganut faham bahwa penomena (gejala) yang terjadi di
alam ini berlangsung secara wajar dan dengan kecenderungan berpola.
Statistika berupaya memelihara kewajaran tersebut dengan proses
randomisasi pengambilan sampel, dengan harapan bahwa data yang diperoleh
merupakan cerminan dari kondisi yang wajar dari pada penomena alami aspek
yang diukur. Melalui proses pengambilan sampel yang memenuhi tabiat
random, respon dari sampel penelitian sebagai wakil populasi, diasumsikan
wajar. Kecenderungan penomena alami yang berpola seragam dan respon yang
wajar tersebut memberikan data yang tidak jauh menyimpang dari
kecenderungannya, yaitu kecenderungan terpola/terpusat. Untuk menguji hal
itu, perlu ditempuh suatu pengujian normalitas populasi.
Dalam pendekatan statistika parametrik, setidak-tidaknya ada dua teknik
statistika yang dapat digunakan untuk pengujian normalitas, yaitu Uji Liliefors
dan chi kuadrat. Teknik Liliefors menggunakan pendekatan pemeriksaan data
individu dalam keseluruhan (kelompok). Prosedurnya akan jadi rumit apabila
jumlah data cukup banyak. Karena itu, teknik Liliefors biasanya digunakan untuk
rentang data yang relatif sedikit. Sedangkan untuk rentangan yang lebih besar
digunakan teknik chi kuadrat, dengan menguji data berkelompok. Karena
asumsinya normal, maka pengujian didasarkan pada pendekatan Stanine.
Dalam tulisan ini teknik pengujian normalitas yang dicontohkan adalah
teknik Liliefors dengan hipotesis pengujian sebagai berikut:
Ho: Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal.
H1: Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal.

2. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 2
Kriteria Pengujian: Tolak Ho, jika Lo > L kritis, selain itu Ho diterima.
B. Langkah-Langkah Perhitungan
Untuk pengujian hipotesis pengujian kenormalan data dapat ditempuh
prosedur berikut:
a. Hitung rata-rata (Mean) dan standar deviasi (s) untuk masing-masing
kelompok data sampel
b. Pengamtan x1 , x2 , x3 , ….., xn dijadikan angka baku dimana z1 , z2 , z3 , ….,
zn dengan rumus sebagai berikut :
SD
XX
Z i
skor

 .
c. Untuk tiap angka baku, dengan menggunakan daftar distribusi normal baku
dihitung peluang : F (zi ) = P(Zskor <= zi )
d. Dihitung proporsi z1 , z2 , z3 , …., zn yang lebih atau sama dengan zi . Jika
proporsi dinyatakan dengan S (zi ), maka :
S (z ) =
n
zyangzzzzbanyaknya in ,.....,,, 321
e. Dihitung |F(zi ) – S(zi)| dan ambil nilai |F(zi ) – S(zi)| yang terbesar disebut Lo,
lalu dibandingkan dengan harga kritis L tabel Liliefors pada alpha tertentu.
C. Contoh Pehitungan
Dalam menguji kenormalan data, ada dua pendekatan yang dapat
dilakukan. Bila konstalasi penelitian dalam bentuk korelasi (hubungan) dan
pengaruh antar variable, maka kenormalan yang diuji yaitu kenormalan galat
data taksiran. Galat taksiran merupakan selisih skor amatan dengan skor idel
(teoretis) variabel terikan (endogenus) dari setiap persamaan regresi yang
dibentuk. Sedangkan untuk konstalasi penelitian komparasi (perbandingan),
maka kenormalan yang diuji yaitu kenormalan data amatan.
Berikut merupakan contoh perhitungan kenormalan galat data yang
dibentuk oleh variabel Y atas X1. Dalam hal ini data yang diuji kenormalannya

3. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 3
yaitu galat taksiran. Untuk itu perlu dihitung terlebih dahulu persamaan regresi
yang dibentuk Y atas X1, dengan mencari koefisien a dan b.
Dalam hal ini terlebih dahulu dicari persamaan regresi sederhana
antara kinerja pegawai (Y) atas budaya organisasi (X1), yaitu:
Y = a + bX1
Ket : Y = Variabel terikat. (endegonus)
X1 = Variabel bebas (eksegonus)
a = Konstanta intersep
b = Koefisien regresi Y atas X1.
Harga koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus :
a =

   


 2)( 1
2
1
1
2
1
).(
))(())((
XXN
XYXXY
b =
 
  


2
1
2
1
11
)().(
))(().(
XXN
YXYXN
Adapun contoh perhitungan uji kenormalan galat taksiran Y atas X1
dirangkum seperti pada tabel di bawah ini. (perhitungan dapat dilakukan dengan
bantuan program exel)
1. Perhitungan Uji Normalitas Galat Taksiran Y atas X1
a = 50,440 b = 0,590
No Y X1 Y=a+bX (Y-Y) Galat T Z F(Zi) S(Zi) |F(Zi)-S(Zi)|
1 121 111 115,924 5,076 -17,744 -3,181 0,001 0,024 0,024
2 114 101 110,024 3,976 -8,894 -1,595 0,055 0,049 0,007
3 108 92 104,715 3,285 -8,794 -1,577 0,057 0,073 0,016
4 105 95 106,484 -1,484 -7,744 -1,388 0,083 0,098 0,015
5 113 106 112,974 0,026 -6,384 -1,145 0,126 0,122 0,004
6 105 96 107,074 -2,074 -6,254 -1,121 0,131 0,146 0,015
7 106 95 106,484 -0,484 -4,024 -0,722 0,235 0,171 0,065
8 109 105 112,384 -3,384 -3,765 -0,675 0,250 0,195 0,055
9 102 90 103,535 -1,535 -3,384 -0,607 0,272 0,220 0,053
10 102 93 105,305 -3,305 -3,355 -0,602 0,274 0,244 0,030

4. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 4
11 106 101 110,024 -4,024 -3,305 -0,592 0,277 0,268 0,008
12 111 99 108,844 2,156 -2,715 -0,487 0,313 0,293 0,021
13 114 97 107,664 6,336 -2,074 -0,372 0,355 0,317 0,038
14 105 95 106,484 -1,484 -1,535 -0,275 0,392 0,341 0,050
15 103 91 104,125 -1,125 -1,484 -0,266 0,395 0,366 0,029
16 97 109 114,744 -17,744 -1,484 -0,266 0,395 0,390 0,005
17 113 100 109,434 3,566 -1,125 -0,202 0,420 0,415 0,005
18 110 102 110,614 -0,614 -1,024 -0,184 0,427 0,439 0,012
19 116 100 109,434 6,566 -0,614 -0,110 0,456 0,463 0,007
20 110 101 110,024 -0,024 -0,564 -0,101 0,460 0,488 0,028
21 115 102 110,614 4,386 -0,484 -0,087 0,465 0,512 0,047
22 113 103 111,204 1,796 -0,024 -0,004 0,498 0,537 0,038
23 107 109 114,744 -7,744 0,026 0,005 0,502 0,561 0,059
24 97 94 105,894 -8,894 1,336 0,239 0,595 0,585 0,009
25 117 93 105,305 11,695 1,796 0,322 0,626 0,610 0,017
26 103 104 111,794 -8,794 2,156 0,387 0,650 0,634 0,016
27 102 98 108,254 -6,254 2,566 0,460 0,677 0,659 0,019
28 113 107 113,564 -0,564 2,926 0,525 0,700 0,683 0,017
29 110 94 105,894 4,106 3,285 0,589 0,722 0,707 0,015
30 102 92 104,715 -2,715 3,487 0,625 0,734 0,732 0,002
31 124 114 117,693 6,307 3,566 0,639 0,739 0,756 0,017
32 112 100 109,434 2,566 3,976 0,713 0,762 0,780 0,018
33 120 105 112,384 7,616 4,106 0,736 0,769 0,805 0,036
34 110 96 107,074 2,926 4,386 0,786 0,784 0,829 0,045
35 120 112 116,513 3,487 5,076 0,910 0,819 0,854 0,035
36 109 101 110,024 -1,024 6,307 1,131 0,871 0,878 0,007
37 99 88 102,355 -3,355 6,336 1,136 0,872 0,902 0,030
38 119 100 109,434 9,566 6,566 1,177 0,880 0,927 0,046
39 106 105 112,384 -6,384 7,616 1,366 0,914 0,951 0,037
40 109 97 107,664 1,336 9,566 1,715 0,957 0,976 0,019
41 98 87 101,765 -3,765 11,695 2,097 0,982 1,000 0,018
Jumlah 4475 4080 rata-rata= 0,000 L hitung = 0,065
stdev = 5,577
Kesimpulan :
L hitung = 0,065
L tabel = 0,138 ; Karena L hitung < L tabel
Simpulan : Galat Taksiran Berdistribusi Normal
Dengan menggunakan program exel diperoleh persamaan regresi,
dengan koefisien a = 50,440 dan b = 0,590. Sehingga persamaan regresi yang
dibentuk yaitu Y = 50,440 + 0,590 X1.

5. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 5
Lebih lanjut berdasarkan uji kenormalan galat data diperoleh L hitung
sebesar 0,065 sedangkan L tabel (db=41 dan α = 5%) = 0,138.
D. Kesimpulan
Berdasarkan perhitungan pada tabel di atas didapat harga Liliefors hitung
sebesar 0,065, sedangkan harga Liliefors tabel pada  = 5% dengan dk = 41
yaitu sebesar 0,138. Dengan demikian Lo < Lt yaitu 0,065 < 0,138, hasil ini
dapat disimpulkan bahwa skor galat taksiran Y atas X1 berasal dari populasi
yang berdistribusi normal.

6. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 6
E. Latihan
Suatu data penelitian dengan sampel 15 orang seperti pada tabel
berikut, ujilah kenormalan galat data variabel Y atas X1 tersebut.
Data Mentah
No Y X1
1 120 111
2 107 101
3 104 92
4 107 95
5 114 106
6 114 96
7 104 95
8 118 105
9 106 90
10 96 93
11 103 101
12 114 99
13 111 97
14 101 95
15 94 87
Jumlah 1613 1463
1. Langkah pertama, hitung persamaan garis regresi Y atas X1 dengan
rumus berikut:
Harga koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus :

7. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 7
a =

   


 2)( 1
2
1
1
2
1
).(
))(())((
XXN
XYXXY
b =
 
  


2
1
2
1
11
)().(
))(().(
XXN
YXYXN
Untuk mempermudah perhitungan, dibantu dengan tabel berikut:
No Y X1 X2
2
X1
2
X1*X2
1 120 111 14400 12321 13320
2 107 101 11449 10201 10807
3 104 92 10816 8464 9568
4 107 95 11449 9025 10165
5 114 106 12996 11236 12084
6 114 96 12996 9216 10944
7 104 95 10816 9025 9880
8 118 105 13924 11025 12390
9 106 90 11236 8100 9540
10 96 93 9216 8649 8928
11 103 101 10609 10201 10403
12 114 99 12996 9801 11286
13 111 97 12321 9409 10767
14 101 95 10201 9025 9595
15 94 87 8836 7569 8178
Jumlah 1613 1463 174261 143267 157855
Didapat jumlah
Latihan Perhitungan Uji Normalitas Galat Taksiran Y atas X1
a = 17,115 b = 0,927

8. Pengujian Kenormalan Data
By. Zulkifli Matondang – Prodi AP PPs Unimed 8
No Y X1 Y=a+bX (Y-Y) Galat T Z F(Zi) S(Zi) |F(Zi)-S(Zi)|
1 120 111 120,018 -0,018 -7,747 -1,633 0,051 0,067 0,015
2 107 101 110,747 -3,747 -7,331 -1,546 0,061 0,133 0,072
3 104 92 102,404 1,596 -4,185 -0,882 0,189 0,200 0,011
4 107 95 105,185 1,815 -3,768 -0,795 0,213 0,267 0,053
5 114 106 115,382 -1,382 -3,747 -0,790 0,215 0,333 0,119
6 114 96 106,112 7,888 -1,382 -0,291 0,385 0,400 0,015
7 104 95 105,185 -1,185 -1,185 -0,250 0,401 0,467 0,065
8 118 105 114,455 3,545 -0,018 -0,004 0,499 0,533 0,035
9 106 90 100,550 5,450 1,596 0,337 0,632 0,600 0,032
10 96 93 103,331 -7,331 1,815 0,383 0,649 0,667 0,018
11 103 101 110,747 -7,747 3,545 0,747 0,773 0,733 0,039
12 114 99 108,893 5,107 3,961 0,835 0,798 0,800 0,002
13 111 97 107,039 3,961 5,107 1,077 0,859 0,867 0,007
14 101 95 105,185 -4,185 5,450 1,149 0,875 0,933 0,059
15 94 87 97,768 -3,768 7,888 1,663 0,952 1,000 0,048
Jumlah 1613 1463 rata-rata= 0,000 L hitung = 0,119
stdev = 4,743
Kesimpulan :
L hitung = 0,119
L tabel = 0,229 ; Karena L hitung < L tabel