Uploaded bytuongnm
35,268 views

Bài giảng Toán kinh tế

Tài liệu trình bày nội dung bài giảng toán cao cấp cho sinh viên tin học kinh tế, bao gồm các chủ đề như ma trận, định thức, và hệ phương trình tuyến tính. Chương 1 tập trung vào ma trận và các phép toán liên quan, trong khi chương 2 đề cập đến hàm số một biến và các khái niệm liên quan đến giới hạn và tính liên tục. Các mô hình toán học cũng được giới thiệu để áp dụng trong phân tích kinh tế.

Embed presentation

1 / 105
2 / 105
3 / 105
4 / 105
5 / 105
6 / 105
7 / 105
8 / 105
9 / 105
10 / 105
Most read
11 / 105
12 / 105
13 / 105
14 / 105
15 / 105
16 / 105
17 / 105
18 / 105
19 / 105
20 / 105
21 / 105
22 / 105
23 / 105
24 / 105
25 / 105
26 / 105
27 / 105
28 / 105
29 / 105
30 / 105
31 / 105
32 / 105
33 / 105
34 / 105
35 / 105
36 / 105
37 / 105
38 / 105
39 / 105
40 / 105
41 / 105
42 / 105
43 / 105
44 / 105
45 / 105
46 / 105
47 / 105
48 / 105
49 / 105
50 / 105
51 / 105
52 / 105
53 / 105
54 / 105
55 / 105
Most read
56 / 105
Most read
57 / 105
58 / 105
59 / 105
60 / 105
61 / 105
62 / 105
63 / 105
64 / 105
65 / 105
66 / 105
67 / 105
68 / 105
69 / 105
70 / 105
71 / 105
72 / 105
73 / 105
74 / 105
75 / 105
76 / 105
77 / 105
78 / 105
79 / 105
80 / 105
81 / 105
82 / 105
83 / 105
84 / 105
85 / 105
86 / 105
87 / 105
88 / 105
89 / 105
90 / 105
91 / 105
92 / 105
93 / 105
94 / 105
95 / 105
96 / 105
97 / 105
98 / 105
99 / 105
100 / 105
101 / 105
102 / 105
103 / 105
104 / 105
105 / 105
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ——————————————– NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHO TIN HỌC KINH TẾ Thái Nguyên tháng 8 năm 2017
Mục lục Chương 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các phép toán trên ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Định nghĩa định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1. Định nghĩa hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.4. Phương pháp Gauss (khử dần ẩn số). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1. Phép toán trên ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.2. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.3. Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.6. Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7.7. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.Hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.4. Các hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5. Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.6. Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.7. Hàm cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.Giới hạn của dạy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3. Giới hạn vô cùng của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 i
ii MỤC LỤC 2.3.Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Giới hạn các phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.4. Lượng vô cùng bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.5. Lượng Vô cùng lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2. Phân loại điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.3. Tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2. Hàm sản xuất ngắn hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7.2. Tính liên tục của các hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . 53 3.1.Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2. Đạo hàm các phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.3. Bảng đạo hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.4. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.5. Đạo hàm của hàm hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.6. Đạo hàm của hàm ngược. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.7. Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.8. Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.9. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.Vi phân của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.3. Ứng dụng vi phân tính gần đúng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.4. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.5. Vi phân cấp cao của hàm hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1. Các định lý về hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2. Quy tắc Lopitan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3. Khai triển Taylor, Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4. Bài toán khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.4.Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5.1. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.3. Tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.4. Ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 4. TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.Nguyên hàm và tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.1. Nguyên hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.2. Tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.3. Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.Phương pháp tính tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.Phép tính nguyên hàm của một số hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.1. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.2. Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4.Tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.1. Bài toán diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5.Hai phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Cận lấy tích phân là vô hạn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.7.1. Ứng dụng tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.7.2. Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.8.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.8.2. Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.3. Tích phân của hàm số vo tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.4. Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.5. Tính tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.8.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Ngô Mạnh Tưởng iii
Chương 1 Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về ma trận; định thức của ma trận vuông, ma trận nghịch đảo của ma trận vuông, hạng của ma trận. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính; hệ Crame, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cũng như cách giải các hệ phương trình này. Giới thiệu một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế. 1.1. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . 19 1.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Ma trận 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Ma trận cấp m × n là một bảng m × n số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      hoặc viết tắt A = [aij]m×n, (1.1.1) trong đó aij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , m, là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A. • Ma trận hàng: Là ma trận chỉ có một hàng và n cột, ký hiệu là A = a11 a12 . . . a1n = [a1j]1×n, j = 1, 2, . . . , n.
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Ma trận cột: Là ma trận có m hàng và chỉ có một cột, ký hiệu là A =      a11 a21 ... am1      = [ai1]m×1, i = 1, 2, . . . , m. • Ma trận chuyển vị: Xét ma trận A = [aij]m×n. Đổi hàng thành cột và cột thành hàng của ma trận A ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là At . Vậy At = [aji]n×m. • Ma trận vuông cấp n: Là ma trận có số hàng bằng số cột bằng n, ký hiệu là A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      = [aij]n×n. Các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. • Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau, tức là aij = aji, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. • Ma trận chéo: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không, tức là aij = 0, i = j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. • Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, ký hiệu là In. • Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông thỏa mãn aij = 0, i > j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n hay A =      a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... ... ... 0 0 · · · ann      . • Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông thỏa mãn aij = 0, i < j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n hay A =      a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      . • Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không, ký hiệu O. Ngô Mạnh Tưởng 2
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau. Các ví dụ: • Ma trận A = 1 2 3 0 5 4 ; ma trận chuyển vị At =   1 0 2 5 3 4  ; • Ma trận vuông cấp 3: B =   5 −1 0 3 8 2 0 6 4  ; • Ma trận chéo: C =   1 0 0 0 4 0 0 0 −2  ; • Ma trận đối xứng: D =   1 0 5 0 3 7 5 7 2  ; • Ma trận đơn vị cấp 3: I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  . 1.1.2. Các phép toán trên ma trận a. Phép cộng hai ma trận cùng cấp Cho hai ma trận cùng cấp A = [aij]m×n; B = [bij]m×n. Ma trận tổng C = A + B = [cij]m×n; trong đó cij = aij + bij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. b. Phép nhân một ma trận với một số Cho ma trận A = [aij]m×n và số thực k. Ma trận k.A = [k.aij]m×n, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Ví dụ. A = 1 2 3 0 5 4 ; B = 2 0 −4 3 −5 2 . Ta có: A + B = 3 2 −1 3 0 6 ; 2A = 2 4 6 0 10 8 . Ngô Mạnh Tưởng 3
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế c. Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột Giả sử u là ma trận cấp 1 × n, v là ma trận cấp n × 1, u = u1 u2 ... un , v =      v1 v2 ... vn      . Tích của u và v được xác định: u · v = u1.v1 + u2.v2 + · · · + un.vn. Điều kiện để thực hiện phép nhân hai ma trận: Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phải bằng số hàng của B. d. Phép nhân hai ma trận Cho A = [aik]m×p là ma trận cấp m × p, B = [bkj]p×n là ma trận cấp p × n. Ma trận tích C = A.B = [cij]m×n là ma trận cấp m × n, trong đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A) x (Cột j của B) cij = ai1.b1j + ai2.b2j + · · · + aip.bpj, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Ví dụ. Cho các ma trận A = 3 1 4 2 0 5 ; B =   1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1   ; Tìm ma trận tích C = A.B C sẽ là ma trận cấp 2x4 với các phần tử được xác định: c11 = 3 × 1 + 1 × 1 + 4 × 0 = 4; c12 = 3 × 3 + 1 × 1 + 4 × 0 = 10; c13 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c14 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c21 = 2 × 1 + 0 × 1 + 5 × 0 = 2; c22 = 2 × 3 + 0 × 1 + 5 × 0 = 6; c23 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5; c24 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5. hay A.B = 3.1 + 1.1 + 4.0 3.3 + 1.1 + 4.0 3.0 + 1.0 + 4.1 3.0 + 1.0 + 4.1 2.1 + 0.1 + 5.0 2.3 + 0.1 + 5.0 2.0 + 0.0 + 5.1 2.0 + 0.0 + 5.1 = 4 10 4 4 2 6 5 5 . Vậy ma trận tích C = 4 10 4 4 2 6 5 5 . Ngô Mạnh Tưởng 4
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận cấp m×p, B là ma trận loại p×q, C là ma trận cấp q×n thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C) = (A.B).C; • Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán; • Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , Bt cũng thỏa mãn điều kiện nhân và ta có (A.B)t = Bt .At ; • Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0; • Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân với ma trận vuông A cùng cấp ta luôn có I.A = A.I = A. 1.2. Định thức 1.2.1. Định nghĩa định thức • Cho A = [aij]n×n là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|. • Ký hiệu Aij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j của ma trận A, được gọi là định thức con của A. • Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j · Aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.2.1. Tính định thức bằng quy nạp 1. Với k = 1, A = [a11] suy ra |A| = a11. 2. Với k = 2, A = a11 a12 a21 a22 suy ra |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12. 3. Với k = 3, A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   suy ra |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13. Ngô Mạnh Tưởng 5
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Với k = n, A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      suy ra |A| = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n. Trường hợp n = 3 có thể tính trực tiếp |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12. Cách nhớ Hình 1.1: Cách tính định thức cấp 3 Ví dụ. Tính định thức D = 3 1 5 −1 2 1 −2 4 3 . Giải. D = 3A11 + 1A12 + 5A13, A11 = (−1)1+1 2 4 1 3 = 2; A12 = (−1)1+2 −1 1 −2 3 = 1; A13 = (−1)1+3 −1 2 −2 4 = 0; A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7. Cách 2: Tính trực tiếp D = 3 1 5 −1 2 1 −2 4 3 = 3.2.3 + 1.1.(−2) + 5.(−1).4 − (−2).2.5 − 4.1.3 − 3. (−1) .1 = 7. Ngô Mạnh Tưởng 6
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.2.2. Tính chất của định thức Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1, A2, . . . , An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1, A2, . . . , An) . 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B); 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có thể phân tích định thức thành tổng hai định thức D A1, . . . , A1 j + A2 j , . . . , An = D A1, . . . , A1 j , . . . , An + D A1, . . . , A2 j , . . . , An ; 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột ra ngoài dấu định thức D (A1, . . . , kAj, . . . , An) = kD (A1, . . . , Aj, . . . , An) ; 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu D (A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = −D (A1, . . . , Aj, . . . , Ai, . . . , An) ; 5. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không; 6. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức bằng không; 7. Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức không đổi D A1, ..., Aj + αιAi, ..., An = D (A1, ..., Aj, ..., An) . 8. det (At ) = det (A). Các tính chất đã phát biểu trên cột cũng đúng trên hàng. Ví dụ. Tính 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 . Ngô Mạnh Tưởng 7
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải: Áp dụng tính chất ta có 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 h1↔h2 = − −1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 h2+2h1 = h3−h1 h4−h3 − −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 −1 3 0 1 0 0 −5 1 −2 0 −1 −2 0 0 h3+h2 = h5−h3 − −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 −5 1 −2 0 0 −5 0 −1 6h4+5h3 = h5−h4 −1 6 −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 0 21 3 0 0 0 −1 1 = 21h5−h4 −1 6 . 1 21 −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 0 21 3 0 0 0 0 24 = −1 6 . 1 21 . (−1) .1.6.21.24 = 24. 1.3. Ma trận nghịch đảo 1.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấp sao cho A · B = B · A = I. Khi đó ta nói ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1 . 1.3.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý 1.3.1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là det(A) = 0 và A−1 = 1 det (A) Ct = 1 det (A)      C11 C21 · · · Cn1 C12 C22 · · · Cn2 ... ... ... ... C1n C2n · · · Cnn      , trong đó Cij = (−1)i+j det (Mij) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, với Mij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n được suy ra từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j, ma trận Ct được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A khả nghịch, khi đó tồn tại ma trận A−1 để: A·A−1 = I. Theo định lý về định thức của tích hai ma trận ta có: det(A.A−1 ) = det A. det(A−1 ) = det(I) = 1 = 0; suy ra det(A) = 0. Ngô Mạnh Tưởng 8
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Điều kiện đủ: Giả sử det A = 0, do ak1Ci1 + ak2Ci2 + · · · + aknCin = det (A) khi k = i 0 khi k = i nên ta có ACt =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann           C11 C21 · · · Cn1 C12 C22 · · · Cn2 ... ... ... ... C1n C2n · · · Cnn      =      det (A) 0 · · · 0 0 det (A) · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · det (A)      . Mặt khác do a1kC1j + a2kC2j + · · · + ankCnj = det (A) khi k = j 0 khi k = j nên ta cũng có Ct A =      det (A) 0 · · · 0 0 det (A) · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · det (A)      . Vậy ta có 1 det (A) ACt = 1 det (A) Ct A =      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 1      = I. Theo định nghĩa suy ra A khả nghịch. Các bước tìm ma trận nghịch đảo 1. Tính det(A). • Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch. • Nếu det(A) = 0 thì A khả nghịch và thực hiện bước 2. 2. Tìm các phần bù đại số Cij = (−1)i+j det (Mij) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n của phần tử aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, suy ra ma trận phụ hợp Ct . 3. Kết luận A−1 = 1 det (A) Ct . Ví dụ. Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo. A =   1 2 −1 3 0 2 4 −2 5   . Ngô Mạnh Tưởng 9
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ta có: det (A) = 1 2 −1 3 0 2 4 −2 5 = −4. Tìm các phần bù đại số C11 = (−1)1+1 0 2 −2 5 = 4, C12 = (−1)1+2 3 2 4 5 = −7, C13 = (−1)1+3 3 0 4 −2 = −6, C21 = (−1)2+1 2 −1 −2 5 = −8, C22 = (−1)2+2 1 −1 4 5 = 9, C23 = (−1)2+3 1 2 4 −2 = 10, C31 = (−1)3+1 2 −1 0 2 = 4, C32 = (−1)3+2 1 −1 3 2 = −5, C33 = (−1)3+3 1 2 3 0 = −6. Ta được ma trận phụ hợp: Ct =   4 −8 4 −7 9 −5 −6 10 −6   . Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: A−1 = 1 det (A) Ct = − 1 4   4 −8 4 −7 9 −5 −6 −10 −6   . Ví dụ. Ma trận B =   1 1 1 1 2 −1 1 0 3   . Ta có det(B) = 0 nên không khả nghịch. 1.4. Hạng của ma trận 1.4.1. Định nghĩa hạng của ma trận • Cho A là ma trận cấp m × n. Nếu lấy ra k hàng và k cột thì các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy ra đó lập nên một ma trận vuông cấp k. • Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con cấp k trích từ ma trận A. Định nghĩa 1.4.1. Cấp của ma trận con vuông lớn nhất có định thức khác không của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu là r(A) hay rank(A). Ví dụ. Tìm hạng của các ma trận sau: A = 1 2 7 2 4 −1 , B =     1 2 −3 −1 −2 3 4 8 −12 0 0 0     . Ngô Mạnh Tưởng 10
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải • Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có: 1 7 2 −1 = −15 = 0. Vậy r(A) = 2 • det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằng không. Vậy r(B) = 1. 1.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1. Phép chuyển vị ma trận; 2. Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột; 3. Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không; 4. Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng cột khác; 5. Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không; 6. Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác. Dùng các tính chất đã biết của định thức ta có thể chứng tỏ được rằng: thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận. Để tìm hạng của ma trận A cấp m × n ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng ma trận hình thang. Khi đó hạng của ma trận A bằng số hàng khác không. Thật vậy, ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng            a11 a12 ... a1r ... a1n 0 a22 ... a2r ... a2n .. .. ... .. ... .. 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ar r 0 ... ... ... ... ar n 0 ... 0 0 ... 0 ... 0            . Khi đó ma trận con     a11 a12 .. a1r 0 a22 .. a2r .. .. .. .. 0 0 .. arr     Ngô Mạnh Tưởng 11
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế là ma trận tam giác có định thức bằng tích các phần tử năm trên đường chéo chính nên nó khác không. Các định thức con có cấp lớn hơn r đều có một hàng bằng không nên nó bằng không. Vậy ma trận r(A) = r. Ví dụ. Tìm hạng của ma trận, A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     . Ta có A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     h2−2h1 −−−−→ h3+4h1 h4+1h1     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 9 10 −1 0 8 5 2     h3+9h2 −−−−→ h4+8h2     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 −35 26     h4−h3 −−−→     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 0 0    , suy ra r(A) = 3. 1.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1.5.1. Một số khái niệm • Hệ phương trình tuyến tính là hệ m phương trình n ẩn có dạng    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn, (1.5.1) trong đó các số thực aij, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n là các hệ số của n ẩn xi, i = 1, 2, ..., n, các số bi = 1, 2, ..., n là các số hạng tự do. • Nghiệm của hệ (1.5.1) là một bộ n số thực (x1, x2, ..., xn) thoả mãn mọi phương trình của hệ. Hệ (1.5.1) được gọi là tương thích nếu nó có ít nhất một nghiệm. Ngô Mạnh Tưởng 12
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Hệ (1.5.1) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B trong đó A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      ; X =         x1 x2 ... xn         , B =         b1 b2 ... bn         A được gọi là ma trận các hệ số của hệ phương trình, hạng của ma trận A được gọi là hạng của hệ phương trình (1.5.1). 1.5.2. Hệ Cramer a. Định nghĩa Định nghĩa 1.5.1. Xét hệ n phương trình tuyến tính n ẩn:    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + · · · + annx = bn, (1.5.2) trong đó các số thực aij, i = 1, ..., n, j = 1, ..., n là các hệ số của n ẩn xi, i = 1, ..., n, các số bi, i = 1, ..., n là các số hạng tự do. Hệ (1.5.2) được gọi là hệ Cramer nếu định thức của ma trận các hệ số của ẩn khác không, tức là D = det (A) = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann = 0. b. Quy tắc Cramer Định lý 1.5.1. Hệ phương trình (1.5.2) có nghiệm duy nhất (x1, x2, ..., xn) được xác định bởi công thức xj = Dj D ; j = 1, 2, ..., n, trong đó D là định thức của ma trận các hệ số của ẩn và Dj, j = 1, 2, ..., n, là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j bằng cột hệ số tự do; tức là thay cột Aj bởi cột B; Dj = a11 · · · a1j−1 b1 a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 b2 a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 bn anj+1 · · · ann Ngô Mạnh Tưởng 13
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chứng minh. Viết phương trình (1.5.2) dưới dạng ma trận AX = B. Do detA = 0 nên A có ma trận nghịch đảo A−1 . Nhân A−1 vào hai vế của phương trình trên ta được X = A−1 B. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x1, x2, ..., xn) . Thay bi = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn ta được Dj = a11 · · · a1j−1 a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 an1x1 + an2x2 + · · · + annxn anj+1 · · · ann . Do tính chất của định thức nên ta có Dj = x1 a11 · · · a1j−1 a11 a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a21 a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 an1 anj+1 · · · ann + + · · · + xj a11 · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a2j a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann +... + xn a11 · · · a1j−1 a1n a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a2n a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 ann anj+1 · · · ann . Định thức thứ j ở vế phải bằng D còn các định thức khác bằng 0 nên ta có Dj = xjD. Vậy xj = Dj D ; j = 1, 2, ..., n. Chú ý. Đối với hệ Cramer ta có thể sử dụng một trong hai cách giải: Cách 1: Sử dụng ma trận nghịch đảo. Cách 2: Sử dụng công thức Cramer. Ví dụ. Giải hệ phương trình    x1 + x2 + x3 = 6 2x1 − x2 + x3 = 3 x1 − x2 + 2x3 = 5. Ta có D = 1 1 1 2 −1 1 1 −1 2 = −5 = 0 do đó hệ phương trình là hệ Cramer. Áp dụng quy tắc Cramer ta được D1 = 6 1 1 3 −1 1 5 −1 2 = −5; D2 = 1 6 1 2 3 1 1 5 2 = −10; D3 = 1 1 6 2 −1 3 1 −1 5 = −15. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1 = D1 D = 1; x2 = D2 D = 2; x3 = D3 D = 3. Ngô Mạnh Tưởng 14
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.5.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý 1.5.2. (Định lý Kronecker-Capelli (Điều kiện tương thích)) Hệ (1.5.1) là có nghiệm (hay tương thích) khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng A , trong đó A =     a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn bm     . Chứng minh. Thật vậy, bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng và bằng cách đánh số lại các ẩn, tức là đổi chỗ các cột ta đưa ma trận A về dạng bậc thang :              a11 a12 · · · a1r a1r+1 · · · a1n b1 a22 · · · a2r a2r+1 · · · a2n b2 ... ... · · · ... arr arr+1 · · · arn br 0 · · · 0 br+1 0 bm              trong đó r min {m, n}. Khi đó ta có • Nếu r A = r (A) = n thì hệ là hệ có nghiệm duy nhất; • Nếu r A = r (A) = r < n thì hệ có vô số nghiệm, với n − r ẩn tự do; • Nếu r A = r (A) r A > r (A) thì hệ vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi r A = r (A). Chú ý. Từ định lý Kronecker-Capelli ta có kết quả sau: 1. Nếu r (A) < r A thì hệ vô nghiệm; 2. Nếu r (A) = r A = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất; 3. Nếu r (A) = r A = r < n thì hệ vô số nghiệm (phụ thuộc và n − r tham số). 1.5.4. Phương pháp Gauss (khử dần ẩn số) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau lên phương trình của hệ ta được một hệ mới tương đương: Ngô Mạnh Tưởng 15
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Đổi chỗ hai phương trình; • Nhân, chia một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình; • Cộng vào một phương trình tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác. Các phép biến đổi tương đương trên chính là các phép biến đổi sơ cấp theo hàng, biến đổi ma trận mở rộng A của hệ phương trình (1.5.1) thành ma trận bậc thang              a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... ... ... ... · · · 0 arr · · · arn ... 0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 0 · · · 0 b1 b2 ... br br+1 ... bm            . Nếu tồn tại i > r để bi = 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu bi = 0 khi i > r, từ r dòng đầu tiên của ma trận trên ta luôn được một định con dạng chéo cấp r khác 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử a11, ..., arr = 0 thì hệ (1.5.1) tương đương với hệ sau:    a11x1 + a12x2 + ... + a1rxr + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2rxr + ... + a2nxn = b2 ... arrxr + ... + arnxn = br. Để giải hệ này ta chuyển ta chuyển các số hạng chứa các xi với i > r qua vế phải (các ẩn này được gọi là các ẩn tự do). Từ phương trình cuối, tính được xr (qua các ẩn tự do). Thay xr vào phương trình thứ r −1 ta tính được xr−1. Tiếp tục quá trình đó ta tính được xr−2, ..., x2, x1. Ví dụ. Giải hệ phương trình    x1 + x2 + 2x3 = 0 2x1 + x2 − x3 = 3 −4x1 + 5x2 + 2x3 = −1 −x1 + 7x2 + 3x3 = 2. Ta có ¯A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     h2−2h1 −−−−→ h3+4h1 h4+1h1     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 9 10 −1 0 8 5 2     h3+9h2 −−−−→ h4+8h2     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 −35 26     Ngô Mạnh Tưởng 16
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế h4−h3 −−−→     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 0 0     . Suy ra r(A) = r( ¯A) = 3 hệ có nghiệm duy nhất. Từ ma trận cuối ta có hệ    x1 + x2 + 2x3 = 0 − x2 − 5x3 = 3 − 35x3 = 26 ⇔    x1 = 27 35 x2 = 5 7 x3 = −26 35 . Ví dụ. Giải hệ phương trình    x + y + z − t = 1 2x + y + 3z − t = 2 3x + 4y + 6z − 2t = 0 x + 3y + 3z − t = −2. Giải: Ta có A =     1 1 1 −1 2 1 3 −1 3 4 6 −2 1 3 3 −1 1 2 0 −1     −−−−→ h2−2h1 h3−3h1 h4−h1     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 1 3 1 0 2 2 0 1 0 −3 −2     −−−−→ h3+h2 h4−2h3     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 0 4 2 0 0 −4 −2 1 0 −3 4     −−−→ h4+h3     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 0 4 2 0 0 0 0 1 0 −3 1     . Suy ra r (A) = 3 = r ¯A = 4. Vậy hệ vô nghiệm. Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a    x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1 x1 + x2 − 5x3 − x4 + 7x5 = 2 −x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0 −2x1 + 5x2 − 4x3 + 9x4 + 7x5 = a. Ta có ma trận mở rộng của hệ phương trình là     1 −1 −1 −3 1 1 1 −5 −1 7 −1 2 2 2 1 −2 5 −4 9 7 1 2 0 a     −−−−→ h2−h1 h3+h1 h4+2h1     1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 1 1 −1 2 0 3 −6 3 9 1 1 1 a + 2     , tiếp tục biến đổi 2h3 − h2, 1 3 h4 − h3 ta được      1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 0 6 −4 −2 0 0 −3 2 1 1 1 1 a 3 − 1 3      →      1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 0 6 −4 −2 0 0 0 0 0 1 1 1 2a 3 + 1 3      . Ngô Mạnh Tưởng 17
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Vậy ta có - Nếu a = − 1 2 thì r(A) = 3, r( ¯A = 4). Vậy hệ phương trình vô nghiệm; - Nếu a = − 1 2 ta có hệ    x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1 x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = 1 2 3x3 − 2x4 − x5 = 1 2 . Suy ra    x3 = 1 6 + 2 3 x4 + 1 3 x5 x2 = 5 6 + 1 3 x4 − 7 3 x5 x1 = 2 + 4x4 − 3x5, x4, x5 tùy ý. 1.5.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a. Định nghĩa Định nghĩa 1.5.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng (1.5.1), trong đó các hệ số tự do b1 = b2 = · · · = bn = 0 hay có dạng n j=1 aij xj = 0, i = 1, 2, ..., m. (1.5.3) Do ma trận mở rộng chứa một cột gồm toàn phần tử không nên hạng của nó luôn bằng hạng của ma trận A. Vậy hệ (1.5.3) là tương thích. Ta thấy hệ (1.5.3) luôn có một nghiệm là x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 và được gọi là nghiệm tầm thường. b. Điều kiện để hệ có nghiệm khác nghiệm tầm thường Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn tức là n = m. Khi đó, nếu detA = 0, nó là hệ Cramer. Nghiệm duy nhất của nó là nghiệm tầm thường. Như vậy, để hệ thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường thì định thức các hệ số của ẩn phải bằng không: detA = 0. Khi đó hạng của ma trận r(A) = r < n và giải hệ với r ẩn. Ví dụ. Tìm nghiệm khác không của hệ phương trình    2x + y − z = 0 x + 2y + z = 0 3x + y − 2z = 0. Ngô Mạnh Tưởng 18
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải: Ta có   2 1 −1 1 2 1 3 1 −2   −−−−→ 2h2−h1 h3−3h2   2 1 −1 0 3 3 0 −5 −5   −−−−−→ 3h3+5h2   2 1 −1 0 3 3 0 0 0   ⇒ r (A) = 2. Suy ra hệ có vô số nghiệm. Ta có hệ phương trình 2x + y − z = 0 3y + 3z = 0 ⇔ x = z y = −z, z tuỳ ý. 1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường a. Thị trường một loại hàng hóa. Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Ký hiệu: • Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; • Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá; • Giá hàng hóa là p. Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng Qs = S(p); (1.6.1) Qd = D(p). (1.6.2) Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu: Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p trong đó a0, a1, b0, b1 là các hằng số dương. Mô hình cân bằng thị trường có dạng:    Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p Qs = Qd ⇔    Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p −a0 + a1p = b0 − b1p. (1.6.3) Giải hệ phương trình này ta được: Ngô Mạnh Tưởng 19
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Giá cân bằng ¯p = a0 + b0 a1 + b1 ; • Lượng cân bằng ¯Qs = ¯Qd = a1b0 − a0b1 a1 + b1 . b. Thị trường nhiều loại hàng hóa. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác. Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau: • Qsi: Lượng cung hàng hóa thứ i; • Qdi: Lượng cầu hàng hóa thứ i; • pi: Giá hàng hóa thứ i. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng: • Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn(i = 1, 2, ..., n). • Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn(i = 1, 2, ..., n). Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa là:    Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn Qsi = Qdi, i = 1, 2, ..., n. (1.6.4) Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng. Ví dụ. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung và hàm cầu như sau: • Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2; • Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2. Hệ phương trình xác định giá cân bằng −2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2 −1 + 2p2 = 15 + p1 − p2 ⇔ 5p1 − p2 = 12 −p1 + 3p2 = 16. Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa ¯p1 = 26 7 ; ¯p2 = 46 7 . Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng ¯Q1 = 64 7 ; ¯Q2 = 85 7 . Ngô Mạnh Tưởng 20
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.6.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Ký hiệu: • Y: Tổng thu nhập quốc dân; • E: Tổng chi tiêu kế hoạch; Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần sau: • C: Tiêu dùng; • G: Chi tiêu của chính phủ; • I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất. Giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất: C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0). Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:    Y = E E = C + I0 + G0 C = aY + b ⇔ Y = C + I0 + G0 C = aY + b ⇔ Y − C = I0 + G0 −aY + C = b. (1.6.5) Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế: ¯Y = b + I0 + G0 1 − a ; ¯C = b + a (I0 + G0) 1 − a . Ví dụ. Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là ¯Y = 200 + 300 + 400 1 − 0.75 = 3600; ¯C = 200 + 0.75 (300 + 400) 1 − 0.75 = 2900. 1.7. BÀI TẬP 1.7.1. Phép toán trên ma trận Tính 3A2 − 5I, với I là ma trận đơn vị cấp 3 và A =   3 1 1 2 4 0 1 0 −1  . Ngô Mạnh Tưởng 21
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.7.2. Định thức 1. Tính det (A)100 , biết A =   2 1 −1 3 0 4 −2 5 2  . 2. Tính 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 . 3. Giải các phương trình (a) x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x = 0. (b) 1 1 4 4 −1 3 − x2 3 3 7 7 5 5 −7 −7 6 x2 − 3 = 0. (c) 1 2 3 4 −2 2 − x 1 7 3 6 4 + x 12 −4 x − 14 2 3 = 0 1.7.3. Ma trận nghịch đảo 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (a) A =   −1 5 2 1 4 1 1 2 1  . (b) A =   1 4 1 1 1 4 −1 2 2  . (c) A =   3 5 −2 1 −3 2 6 7 −3  . (d) A =   2 0 4 1 −1 −2 −1 2 3  . (e) A =   1 2 2 2 1 −2 2 −2 1  . (f) A =   2 1 −1 3 1 −2 3 1 0  . 2. Cho ma trận A =   −m 3 5m 0 1 2 1 0 m  . (a) Tìm m để A khả nghich. (b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1 khi m = 0. 3. Cho ma trận A =   3 m 2 4 1 m m 1 4  . (a) Tìm m để A khả nghich. (b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1 khi m = −2. Ngô Mạnh Tưởng 22
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Tìm m để A khả nghịch, biết A =     3 −1 2 2 4 0 1 6 2 0 4 1 −3 1 m 4    . 1.7.4. Hạng của ma trận 1. Với giá trị nào của m thì r (A) = 3, biết A =     1 1 1 1 2 3 4 1 3 4 6 6 4 4 m + 4 m + 7    . 2. Với giá trị nào của m thì r (A) = 1, biết A =   m 1 1 1 m 1 1 1 m  . 1.7.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1. Giải các hệ phương trình sau: (a)    3x + 2y + 4z = 1 2x − y + z = 0 x + 2y + 3z = 1 (b)    2x − y − z − t = −1 x − 2y + z + t = −2 x + y − 2z + t = 4 x + y + z − 2t = −8 (c)    2x − y + 3z = 1 −4x + 2y + z = 3 −2x + y + 4z = 4 10x − 5y − 6z = −10 (d)    x + y + z − t = 1 2x + y + 3z − t = 2 3x + 4y + 6z − 2t = 0 x + 3y + 3z − t = −2 2. Giải và biện luận các hệ phương trình (a)    2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m 4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1 (b)    2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6 5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9 − m (c)    mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = 1 x1 + x2 + mx3 = 1 . (d)    x + y + (1 − m)z = m + 2 (1 + m)x − y + 2z = 0 2x − my + 3z = m + 2 (e)    x + y + z = 1 2x + (m + 3) y + 2z = 4 3x + 3y + (m2 + 2) z = m + 4 3. Giải hệ thuần nhất (a)    2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 0 x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0 6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = 0 2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 0 (b)    x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 6 2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 4 6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = −8 2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15 Ngô Mạnh Tưởng 23
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.7.6. Phương trình ma trận 1. Cho phương trình ma trận:   1 −1 λ 2 1 λ 3 1 2λ   X =   1 2 0  . (a) Giải phương trình khi λ = 1 . (b) Tìm λ để phương trình vô nghiệm. 2. Cho phương trình ma trận:   1 2 λ 2 7 2λ + 1 3 9 4λ   X =   −1 2 1  . (a) Giải phương trình khi λ = 0 . (b) Tìm λ để phương trình vô số nghiệm. 3. Cho phương trình ma trận:     −2 1 −3 1 0 5 −3 2 −1 0 1 3     X =     −6 6 λ 2    . (a) Tìm λ để tồn tại X. (b) Tìm X với λ tìm được ở trên. 1.7.7. Mô hình cân bằng thị trường 1. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2; Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 2. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 4p1; Qd1 = 12 − 2p1 + 4p2; Qs2 = −4 + 6p2; Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 3. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 1 − 2p1 + 3p2; Qs2 = −1 + 5p2; Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. Ngô Mạnh Tưởng 24
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −3 + 5p1; Qd1 = 2 − p1 + 4p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 3 + 2p1 − p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 5. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 3 − 4p1 + 5p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 6. Xét mô hình kinh tế vĩ mô Y = C + I0 + G0; C = 60 + 0, 7Yt; Yt = (1 − t) Y. Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 = 140 (triệu dollar) và thuế suất thu nhập t = 40%. Ngô Mạnh Tưởng 25
Chương 2 HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số một biến; giới hạn, liên tục của hàm số một biến. Giới thiệu một số mô hình hàm, ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế. 2.1. Hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Giới hạn của dạy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Hàm số liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . 46 2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1. Hàm số một biến 2.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1. Cho tập hợp số thực R. Một ánh xạ f từ R vào R được gọi là một hàm số thực của một biến số thực, hay hàm số của một biến số, trong đó • Phần tử x được gọi là biến số độc lập. Phần tử y tương ứng với x được gọi là giá trị của hàm số tại x, ký hiệu y = f(x); • Miền xác định: D = {x ∈ R| ∃ f (x) }; • Miền giá trị: Y = {f (x)| x ∈ D }. Ví dụ. Hàm số y = √ 9 − x2 có miền xác định là D = [−3; 3]; miền giá trị là Y = [0; 3]. 2.1.2. Đồ thị của hàm số Định nghĩa 2.1.2. Cho hàm số y = f(x) có miền giá trị D. Tập tất cả các điểm trên mặt phẳng Oxy: G = {M (x, y)| x ∈ D, y = f (x)} được gọi là đồ thị của hàm số.
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.1.3. Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược Định nghĩa 2.1.3. (Định nghĩa hàm 1-1) Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1-1 nếu ∀x1 = x2 ∈ D thì f (x1) = f (x2). Chú ý : Hàm y = f(x) là hàm 1-1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hình 2.1: Hàm 1-1 Định nghĩa 2.1.4. (Định nghĩa hàm ngược) Cho y = f (x) là hàm 1-1 với miền xác định D và miền giá trị Y . Hàm ngược của hàm y = f(x) là hàm từ Y vào D, ký hiệu x = f−1 (y), xác định bởi x = f−1 (y) hayy = f (x). Hình 2.2: Hàm ngược Đồ thị của hàm số ngược: Vì a = f−1 (b) hay b = f (a) nên (a, b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi (b, a) thuộc đồ thị của f−1 . Vậy đồ thị y = f(x) và đồ thị của f−1 đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Ví dụ. Vẽ đồ thị của hàm y = √ −x − 1 và đồ thị của hàm số ngược 2.1.4. Các hàm sơ cấp Định nghĩa 2.1.5. Các hàm sau đây được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản: 1. Hàm hằng ; 2. Hàm lũy thừa y = xα ; Ngô Mạnh Tưởng 27
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.3: Tính chất của đồ thị hàm ngược 3. Hàm mũ y = ax ; a > 0, a = 1; 4. Hàm logarit y = logax; (a > 0, a = 1); 5. Các hàm lượng giác; 6. Các hàm lượng giác ngược; 7. Các hàm hypebolic. Định nghĩa 2.1.6. Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. 2.1.5. Các hàm lượng giác ngược a. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = sin x Xét hàm lượng giác y = sin x. Trên đoạn −π 2 ; π 2 , y = sin x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arcsin x. Hàm arcsinx có miền xác định:[−1; 1]; miền giá trị −π 2 ; π 2 và luôn đồng biến trên tập xác định. Ngô Mạnh Tưởng 28
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.4: Đồ thị hàm sin và hàm arcsin x b. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = cos x Xét hàm lượng giác y = cos x. Trên đoạn [0; π], y = cos x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccos x. Hình 2.5: Đồ thị hàm cos và hàm arccos x Hàm arccos x có miền xác định là[−1; 1]; miền giá trị [0; π] và luôn nghịch biến trên miền xác định. c. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = tan x Xét hàm lượng giác y = tan x. Trên khoảng − π 2 ; π 2 , y = tan x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arctan x. Hình 2.6: Đồ thị hàm tan và hàm arctan x Ngô Mạnh Tưởng 29
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hàm arctan x có miền xác định:R; miền giá trị là − π 2 ; π 2 và là hàm luôn đồng biến trên miền xác định. d. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = cot x Xét hàm lượng giác y = cot x. Trên khoảng (0; π), y = cot x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccotx. Hình 2.7: Đồ thị hàm cot và hàm arccotx Hàm arccotx có miền xác định là R; miền giá trị là (0; π) và là hàm luôn nghịch biến trên miền xác định. 2.1.6. Hàm Hyperbolic Định nghĩa 2.1.7. Các hàm số sau được gọi là hàm Hyperbolic: • Hàm Sin Hyperbolic, ký hiệu là sinh x = ex − e−x 2 ; • Hàm Cos Hyperbolic, ký hiệu là cosh x = ex + e−x 2 ; • Hàm Tan Hyperbolic, ký hiệu là tanh x = sinh x cosh x ; • Hàm Cotan Hyperbolic, ký hiệu là coth x = cosh x sinh x . Một số công thức: • cosh2 a − sinh2 a = 1; • sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2 a + sinh2 a; • cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b; Ngô Mạnh Tưởng 30
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.8: Đồ thị hàm sinh x và hàm cosh x Hình 2.9: Đồ thị hàm tanh x và hàm coth x • cosh (a − b) = cosh a cosh b − sinh a sinh b; • sinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh a; • sinh (a − b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a. Để thu được công thức lượng giác Hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc, ta thay cos bởi cosh và sin bởi sinh. 2.1.7. Hàm cho bởi phương trình tham số Cho hai hàm x = x(t); y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm t0. Giả sử tồn tại hàm ngược của x = x(t) là t = t(x). Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t) và y = y(t). Ví dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số: x = 2 cos t y = 3 sin t chính là phương trình ellipse: x2 4 + y2 9 = 1. Ngô Mạnh Tưởng 31
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.2. Giới hạn của dạy số 2.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1. Một hàm f : N → N xác định trong tập hợp các số tự nhiên N được gọi là một dãy số. Đặt u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Số un được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Ký hiệu dãy số là {un}. Dãy số có thể cho bởi: • Công thức tổng quát: un = f (n); • Công thức truy chứng (truy hồi): u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2). 2.2.2. Giới hạn của dãy số a. Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.2.2. Số a được gọi là giới hạn của dãy số {un} nếu ∀ε > 0, ∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε) , ký hiệu lim un n→+∞ = a. Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn thì dãy được gọi là dãy hội tụ. Ngược lại dãy được gọi là dãy phân kỳ. Ví dụ. Dùng định nghĩa chứng tỏ lim n→+∞ n n + 1 = 1. ε > 0, n n + 1 − 1 < ε ⇔ 1 n + 1 < ε ⇔ n > 1 e − 1. Chọn số tự nhiên n0 > 1 ε − 1. Khi đó ∀n > n0 : |un − 1| = n n + 1 − 1 = 1 n + 1 < 1 n0 + 1 < ε. Vậy theo định nghĩa ta có: lim n→+∞ n n + 1 = 1. Định lý 2.2.1. Nếu dãy {un} hội tụ đến a, dãy {vn} hội tụ đến b thì 1. Dãy tổng {un + vn} hội tụ tới a + b; 2. Dãy tích {un.vn} hội tụ tới a.b; Ngô Mạnh Tưởng 32
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Dãy nghịch đảo 1 vn hội tụ tới 1 b với điều kiện b = 0; 4. Dãy thương un vn hội tụ tới a b với điều kiện b = 0; 5. lim n→∞ |un| = |a|. b. Hai tiêu chuẩn đủ để dãy hội tụ Định lý 2.2.2. (Tiêu chuẩn 1 - Định lý kẹp ) Cho 3 dãy {un} , {vn} , {wn} sao cho ∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn và {vn} , {wn} cùng hội tụ đến a. Khi đó dãy {un} cũng hội tụ tới a. Hình 2.10: Giới hạn kẹp Chứng minh. Cho ε > 0. Vì {vn} , {wn} cùng hội tụ đến a nên ∃n1, n2 ∈ N: ∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε ∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε. Đặt n0 = max {n1, n2}. Khi đó ∀n > n0 ta có |vn − a| < ε |wn − a| < ε ⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε. Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay lim n→∞ un = a. Ví dụ. Tính lim n→∞ 5n nn . Thật vậy ∀n > 6, 0 < 5n nn < 5n 6n , mặt khác lim n→∞ 5n 6n = lim n→∞ 5 6 n = 0. Vậy lim n→∞ 5n nn = 0. Định lý 2.2.3. (Tiêu chuẩn 2 - Định lý Weierstrass) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Các khái niệm tăng, bị chặn được định nghĩa như sau: • Dãy {un} được gọi là đơn điệu tăng nếu ∀n ∈ N, un+1 ≥ un ; • Dãy {un} được gọi là đơn điệu giảm nếu ∀n ∈ N, un+1 ≤ un ; Ngô Mạnh Tưởng 33
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Dãy {un} được gọi là bị chặn trên nếu ∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A ; • Dãy {un} được gọi là bị chặn dưới nếu ∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B. Ví dụ. (Số e) Chứng minh lim n→∞ 1 + 1 n n = e. Sử dụng nhị thứ newton ta có 1 + 1 n n = 1+1+ 1 2! 1 − 1 n + 1 3! 1 − 1 n 1 − 2 n +...+ 1 n! 1 − 1 n 1 − 2 n ... 1 − n − 1 n . Vì 1 − s n < 1 − s n + 1 nên un < un+1. Vậy dãy tăng. Ta có 1 − s n < 1 và 1 n! ≤ 1 2n−1 , ∀n = 1, 2, 3... ⇒ un < 2 + 1 2! + 1 3! + ... + 1 n! ≤ 2 + 1 2 + 1 22 + ... + 1 2n−1 ≤ 2 + 1 − 1 2n−1 < 3. Vậy dãy bị chặn và tăng nên dãy hội tụ. Giới hạn của dãy này được ký hiệu là số e, người ta chứng minh được e là số vô tỷ hay e ≈ 2.718281828 và lim n→∞ 1 + 1 n n = e. 2.2.3. Giới hạn vô cùng của dãy Định nghĩa 2.2.3. Ta nói {un} có giới hạn +∞ nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A) . Ta nói {un} có giới hạn −∞ nếu ∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B) . Ta có un → +∞, vn → +∞ ⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞. un → −∞, vn → −∞ ⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞. un → +∞, vn → −∞ ⇒ unvn → −∞. un → a > 0, vn → +∞ ⇒ unvn → +∞. 2.3. Giới hạn của hàm số 2.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1. Hàm f(x) có giới hạn là h khi x → a nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − h| < ε. Ký hiệu lim x→a f (x) = h. Ngô Mạnh Tưởng 34
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chú ý. Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x = a. Ví dụ. lim x→1 2(x2−1) x−1 = 4 mặc dù f(x) không xác định tại x = 1. Định nghĩa 2.3.2. (Định nghĩa giới hạn ở vô cùng) lim x→+∞ = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0 : ∀x > N, |f (x) − L| < ε. Định nghĩa 2.3.3. lim x→−∞ = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x < N, |f (x) − L| < ε. Định nghĩa 2.3.4. lim x→x0 f(x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒ f(x) > M. Định nghĩa 2.3.5. lim x→x0 f(x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒ f(x) < N. 2.3.2. Giới hạn các phía Định nghĩa 2.3.6. (Giới hạn trái). Số a được gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x = x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − a| < ε. Ký hiệu lim x→x− 0 f(x) = a. Định nghĩa 2.3.7. (Giới hạn phải) Số a được gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x = x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − a| < ε. Ký hiệu lim x→x+ 0 f(x) = a. Ngô Mạnh Tưởng 35
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Định lý 2.3.1. Hàm số y = f(x) có giới hạn tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và các giới hạn đó bằng nhau. Ví dụ. Tìm các giới hạn I = lim x→0 sin x |x| , J = lim x→0 f(x), biết f(x) = 2x + 3, x 0 x sin x x < 0 . 2.3.3. Tính chất Định lý 2.3.2. Nếu f (x) ≥ 0 trong một lân cận của điểm a và lim x→a f (x) = h thì h ≥ 0. Định lý 2.3.3. Giả sử lim x→a f (x) = h; lim x→a g (x) = k. Khi đó ta có: 1. lim x→a (f (x) + g (x)) = h + k; 2. lim x→a mf (x) = mh (m là hằng số); 3. lim x→a f (x) g (x) = hk; 4. lim x→a f (x) g (x) = h k , k = 0. Mệnh đề 2.3.1. Cho lim x→x0 u(x) = a > 0 lim x→x0 v(x) = b Khi đó lim x→x0 (u(x))v(x) = ab Chứng minh. lim x→x0 (u(x))v(x) = lim x→x0 ev(x) ln(u(x)) = e lim x→x0 v(x) ln(u(x)) = eb ln a = ab . Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x → 0 : • lim x→0 sin x x = 1; • lim x→0 ex−1 x = 1; • lim x→0 1−cos x x2 = 1 2 ; • lim x→0 ln(1+x) x = 1; • lim x→0 (1+x)α −1 x = α; • lim x→0 arctan x x = 1; • lim x→0 arcsin x x = 1; • lim x→0 tanx x = 1; • lim x→0 (1 + x)1/x = e; • lim x→0 (1 − x)1/x = 1 e . Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x → ∞: Ngô Mạnh Tưởng 36
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • lim x→+∞ xα = +∞, α > 0; • lim x→+∞ (ln x)α = +∞, α > 0; • lim x→+∞ ax = +∞, a > 1; • lim x→+∞ 1 + 1 x x = e; • lim x→+∞ sin x không tồn tại. Các dạng vô định: • 0 0 ; • 0 · ∞; • 1∞ ; • ∞ ∞ ; • ∞ − ∞ ; • 00 ; • ∞0 . 2.3.4. Lượng vô cùng bé a. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.8. lim x→a f (x) = 0 ⇒ f (x) được gọi là VCB ở lân cận của a. Ví dụ. Do lim x→0 ln (1 + 3x) = 0 nên f(x) = ln (1 + 3x) là VCB ở lân cận của 0. lim x→0 sin 5x = 0 nên f(x) = sin 5x là VCB ở lân cận của 0. b. Tính chất của VCB 1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB; 2. Tích của hai VCB là một VCB; 3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB; 4. Thương của hai VCB có thể không là VCB. c. So sánh các VCB Định lý 2.3.4. Giả sử f(x), g(x) là các VCB khi x → a. • Nếu lim x→a f (x) g (x) = 0 thì f là VCB cấp cao hơn g; • Nếu lim x→a f (x) g (x) = k = 0 thì f và g là hai VCB cùng cấp. Đặc biệt, nếu k = 1 thì f và g là hai VCB tương đương, ký hiệu f ∼ g. Ví dụ. Ta có lim x→0 1 − cos 2x x = lim x→0 2sin2 x x = 0 ⇒ 1 − cos 2x là VCB cấp cao hơn x khi x → 0 Ngô Mạnh Tưởng 37
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế lim x→1 x3 − 1 x − 1 = 3 ⇒ x3 − 1 là VCB cùng bậc với x − 1 khi x → 1. Các vô cùng bé tương đương thường gặp khi x → 0 • sin x ∼ x; • ex − 1 ∼ x; • 1 − cos x ∼ x2 2 ; • ln(1 + x) ∼ x; • (1 + x)α − 1 ∼ αx; • arcsin x ∼ x; • arctan x ∼ x; • tan x ∼ x; • sinh x ∼ x; • cosh x − 1 ∼ x2 2 . d. Khử các dạng vô định Định lý 2.3.5. (Quy tắc 1. ) Giả sử f1 (x) , f2 (x) , g1 (x) , g2 (x) là các VCB khi x → a(∞), Khi đó nếu f1 (x) ∼ f2 (x) ; g1 (x) ∼ g2 (x) thì lim x→a f1 (x) g1 (x) = lim x→a f2 (x) g2 (x) . Định lý 2.3.6. (Quy tắc 2. ) lim x→a TonghuuhancacVCBcuatu TonghuuhancacVCBcuamau = lim x→a VCBbacthapnhatcuatu VCBbacthapnhatcuamau . Ví dụ. Tính giới hạn I = lim x→0 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 x J = lim x→0 ln(cos x) ln(1 + x2) . Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 ; x2 + sin3 x ∼ x2 , suy ra I = lim x→0 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 x = lim x→0 x2 x2 = 1. Ta có J = lim x→0 ln(1 + cos x − 1) ln(1 + x2) = lim x→0 cos x − 1 x2 = lim x→0 −x2 /2 x2 = − 1 2 . Ví dụ. Tính các giới hạn K = lim x→0 ex2 − cos x sin2 x . Ta có L = lim x→0 esin 5x − esin x ln(1 + 2x) . Tương tự M = lim x→1 sin (ex−1 − 1) ln x ; Ngô Mạnh Tưởng 38
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Tương tự N = lim x→0 esinh 3x − esinh x tan x ; Tương tự P = lim x→0 (ex − 1) (cos x − 1) sin3 x + 2x4 ; và Q = lim x→+∞ x2 · e1/x2 − cos(1/x) arctan x . Chú ý. Các trường hợp VCB đúng và sai lim x→0 tan x−sin x x3 = lim x→0 tan x−x x3 SAI lim x→0 tan x−sin x x3 = lim x→0 x−sin x x3 SAI lim x→0 tan x−sin 2x x3 = lim x→0 x−sin 2x x3 ĐÚNG lim x→0 tan x−sin 2x sin x = lim x→0 x−2x x ĐÚNG lim x→0 tan x−sin x sin3x = lim x→0 tan x−sin x x3 ĐÚNG lim x→0 1 x2 − cos2x sin2x = lim x→0 1 x2 − cos2x x2 SAI 2.3.5. Lượng Vô cùng lớn a. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.9. Hàm số y=f(x) được gọi là một Vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu lim x→x0 |f(x)| = +∞. Ví dụ. f(x) = 2x2 + 3 cos x là một VCL khi x → ∞ vì lim x→∞ |2x2 + 3 cos x| = +∞. b. So sánh hai Vô cùng lớn Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi x → x0. Giả sử lim x→x0 f(x) g(x) = k. 1. Nếu k = ∞ thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x), ký hiệu là f(x) = O(g(x)); 2. Nếu k hữu hạn, khác không thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp; 3. Nếu k = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f(x) ≈ g(x). Ngô Mạnh Tưởng 39
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế c. Khử các dạng vô định Định lý 2.3.7. (Quy tắc ngắt bỏ VCL) lim x→x0 TonghuuhancacVCL TonghuuhancacVCL = lim x→x0 VCLbaccaonhatcuatu VCLbaccaonhatcuamau . Ví dụ. Tính I = lim x→+∞ √ x2 + 4 + 2x + 3 √ x √ x2 − 4 + x . Tử là tổng của ba VCL: √ x2 + 4 + 2x + 3 √ x x→+∞ ∼ 3x. Mẫu là tổng của hai VCL: √ x2 − 4 + x x→+∞ ∼ 2x I = lim x→+∞ 3x 2x = 3 2 . 2.4. Hàm số liên tục 2.4.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.4.1. (Hàm liên tục tại một điểm ) Hàm y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu xác định tại điểm này và lim x→x0 f(x) = f(x0). Nếu hàm y = f(x) không liên tục tại điểm x0 ta nói hàm gián đoạn tại điểm x0. Định nghĩa 2.4.2. (Hàm liên tục trên đoạn kín) Ta nói y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ (a; b) và liên tục phải tại a ( lim x→a+ f (x) = f (a)), liên tục trái tại b ( lim x→b− f (x) = f (b)). Ngô Mạnh Tưởng 40
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.4.2. Phân loại điểm gián đoạn Cho x0 là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Điểm gián đoạn loại 1 x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu giới hạn trái (f (x0 − )) và giới hạn phải (f (x0 + )) tồn tại hữu hạn. x0 là điểm khử được nếu f (x0 − ) = f (x0 + ); x0 là điểm nhảy nếu f (x0 − ) = f (x0 + ). Điểm gián đoạn loại 2 Nếu một trong hai giới hạn một phía không tồn tại hoặc bằng vô cùng. 2.4.3. Tính chất của hàm liên tục Cho f (x) , g (x) là hai hàm liên tục tại x0. Khi đó: 1. αf(x); f(x) + g(x); f(x) · g(x) liên tục tại x0; 2. Nếu g(x) = 0 thì f (x) g (x) liên tục tại x0. Định lý 2.4.1. Nếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f(x0) > 0 thì tồn tại một lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này. Định lý 2.4.2. (Định lý Bozano - Cauchy) Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(x) = A; f(b) = B thì ∀C ∈ [a; b] tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) = C. Hệ quả 2.4.1. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) = 0. Định lý 2.4.3. Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của nó. Ngô Mạnh Tưởng 41
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Khảo sát tính liên tục f (x) = sin x x , x = 0 1, x = 0. ∀x = 0, f(x) = sin x x là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXD. Tại x = 0 : lim x→0+ sin x x = 1 = lim x→0− sin x x = f(0). Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R. Ví dụ. Khảo sát tính liên tục f(x) =    sin x |x| , x = 0 1, x = 0 ∀x = 0, f(x) = sin x |x| là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXD. Tại x = 0 : lim x→0+ sin x x = 1; lim x→0− sin x |x| = −1 x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h = f (0+ ) − f (0− ) = 1 − (−1) = 2. Ví dụ. Khảo sát điểm gián đoạn f(x) = arctan 1 x . Tập xác định: Df = R {0}. Tại x = 0 : lim x→0+ arctan 1 x = π 2 , lim x→0− arctan 1 x = − π 2 x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h = f (0+ ) − f (0− ) = π 2 − (−π 2 ) = π. Ví dụ. Khảo sát điểm gián đoạn f(x) = x arctan 1 x . Tập xác định: Df = R {0}. Tại x = 0 : lim x→0+ x arctan 1 x = 0; lim x→0− x arctan 1 x = 0 x = 0 là điểm gián đoạn khử được. Ví dụ. Tìm a, b để hàm số liên tục trên [−π/2; 3π/2] f(x) =    x cos(x/2) sin x , x ∈ [−π/2, 3π/2] , x = 0, x = π a, x = 0 b, x = π Ngô Mạnh Tưởng 42
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế lim x→0 f (x) = lim x→0 x cos(x/2) sin x = 1 ⇒ a = 1. lim x→π f (x) = lim x→π x cos(x/2) sin x = π 2 ⇒ b = π 2 . Ví dụ. Tìm a, b để hàm số liên tục trên toàn miền XD f(x) = x, |x| ≤ 1 x2 + ax + b, |x| > 1. Tập xác định của hàm số là R. Ta có hàm số liên tục ∀x = ±1. • Tại x = 1 ta có: f (1) = 1 và lim x→1+ f (x) = lim x→1 x2 + ax + b = a + b + 1, lim x→1− f (x) = lim x→1 x = 1. Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim x→1+ f (x) = lim x→1− f (x) = f (1) ⇔ a + b + 1 = 1 ⇔ a + b = 0. • Tại x = −1 ta có: f (−1) = −1 và lim x→−1+ f (x) = lim x→−1 x2 + ax + b = −a + b + 1, lim x→−1− f (x) = lim x→−1 x = −1. Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim x→−1+ f (x) = lim x→−1− f (x) = f (−1) ⇔ −a + b + 1 = −1 ⇔ −a + b = −2. • Vậy hàm số liên tục trên miền xác định khi và chỉ khi nó liên tục tại x = ±1 khi và chỉ khi a + b = 0 −a + b = −2 ⇔ a = 1 b = −1. 2.5. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 2.5.1. Hàm cung và hàm cầu Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Ký hiệu: Ngô Mạnh Tưởng 43
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; • Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá; • Giá hàng hóa là p; Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng Qs = S(p); (2.5.1) Qd = D(p). (2.5.2) Chú ý : • Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. • Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu. • Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức giá cân bằng ¯p và lượng cân bằng Qs = Qd = ¯Q ta lập phương trình hoành độ điểm chung S(p) = D(p). • Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng ¯p, người bán sẽ bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa. Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd. Ngược lại Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd. • Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm cung và hàm cầu: p = S−1 (Qs), p = D−1 (Qd). 2.5.2. Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao Ngô Mạnh Tưởng 44
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.11: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu động lần lượt được ký hiệu là K (Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn thì K không đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = f(L). (2.5.3) 2.5.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận Tổng doanh thu ký hiệu TR - Total revenue; Tổng chi phí ký hiệu TC - total cost; Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo quy luật hàm số. Hàm doanh thu: TR = TR(Q). (2.5.4) Hàm chi phí TC = TC(Q). (2.5.5) Hàm lợi nhuận π = π(Q). (2.5.6) Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí: π = TR(Q) − TC(Q) Ngô Mạnh Tưởng 45
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.5.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C- Consumption - vào biến thu nhập Y - Income: C = f(Y ). (2.5.7) Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn nên hàm tiêu dùng là hàm đồng biến. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S - Saving - vào biến thu nhập Y S = S(Y ). (2.5.8) 2.6. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế 2.6.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân Định nghĩa 2.6.1. Cấp số nhân là một dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện x1, x2 = x1q, . . . , xn = xn−1q = x1qn−1 . Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân. • Nếu cho trước công bội q và số hạng ban đầu x1 thì ta sẽ xác định được mọi số hạng của cấp số nhân. • Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: Sn = x1 + x2 + · · · + xn = x1 1 + q + q2 + · · · + qn−1 = x1 (1 − qn ) 1 − q . • Cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó lim n→+∞ qn = 0 và ta có tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bởi công thức S = lim n→+∞ Sn = ∞ n=1 xn = x1 + x1 + · · · + xn + · · · = x1 1 − q . Ngô Mạnh Tưởng 46
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.6.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần trăm một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền lãi). Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay và ngược lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai. Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay. Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay, trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r, biểu diễn dưới dạng thập phân. Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A + rA = A(1 + r). Sau năm thứ hai là B2 = B1 + B1r = A(1 + r)2 . Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với công bội q = (1 + r), suy ra Bt = A(1 + r)t . Vậy công thức tính giá trị tương lai của A sau t năm là: B = A(1 + r)t . (2.6.1) Ngược lại, giá trị hiện tại của B sẽ nhận được sau t năm là: A = B(1 + r)−t . (2.6.2) Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? Giải: Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3 = 119 triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi: 119 − 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án. Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không thực hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3 = 126 triệu đồng. Con số này nhỏ hơn 150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay. Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng Ngô Mạnh Tưởng 47
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là NPV (Net Present Value). Ta có: NPV = B(1 + r)−t − C (2.6.3) Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là NPV > 0, ngoài ra việc so sánh NPV giữa các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất. Ví dụ. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án: • Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải: Ta có NPV1 = 3000(1+0.1)−4 −2000 = 49; NPV2 = 4000(1+0.1)−6 −2000 = 258; NPV3 = 4800(1 + 0.1)−5 = −20. Vậy nên chọn dự án 2. 2.6.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm...). Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản. Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một luồng kỳ khoản. Ví dụ. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó với điều kiện lãi suất 10% một năm. Giải: Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present Value), PV = 5000(1 + 0.1)−1 + 5000(1 + 0.1)−2 + ... + 5000(1 + 0.1)−10 = = 5000 1 1.1 + 1 1.12 + ... + 1 1.110 = 5000 1 1.1 1 − 1 1.1 10 1 − 1 1.1 = 30723. Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$. Ví dụ. Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo Ngô Mạnh Tưởng 48
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được? Giải: Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm hiện tại là: PV = a(1 + 0.01)−1 + a(1 + 0.01)−2 + ... + a(1 + 0.01)−24 = a 1 1.01 1 − 1 1.01 24 1 − 1 1.01 = 21.24a. Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: PV = 21.24a = 2500, hay a = 117.7$. Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn. 2.7. BÀI TẬP 2.7.1. Giới hạn của hàm số Bài tập 1 chương 5. Tính các giới hạn sau: 1. lim x→0 e5x−e7x sin 2x . 2. lim x→0+ √ 1−e−x− √ 1−cos x√ sin x . 3. lim x→0 e2x−e3x+ln(1+x2 ) cos √ 3x−1 . 4. lim x→0 sin 2x+2 arctan 3x+3x2 ln(1+3x+sin2x)+xex . 5. lim x→0 sin23x+3arcsin2x ln(cos x)+sin2x . 6. lim x→0 ln cos x ln(1+x2) . 7. lim x→0 √ 1+3x+ 3√ 1+x− 5√ 1+x− 7√ 1+x 4√ 1+2x+x− 6√ 1+x . 8. lim x→0 3x−2x 2x−1 . 9. lim x→1 n√ x−1 m√ x−1 . 10. lim x→1 x100−2x+1 x50−2x+1 . 11. lim x→a aax −axa ax−xa . 12. lim x→ π 2 (x − π 2 ) tan x. 13. lim x→a ( 2a x2−a2 − 1 x−a ), a = 0. 14. lim x→∞ 2x+3 2x+1 x+1 . 15. lim x→+∞ x2+3x+4 x2−5x+7 3x+8 . 16. lim x→+∞ (x+1)x+1 .(x+2)x+2 .(x+4)x+4 (x+5)3x+7 . 17. lim x→0 (1 + 3tan2 x) cot2x . 18. lim x→0 1 + sin2 x 1 tan2x . Ngô Mạnh Tưởng 49
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.7.2. Tính liên tục của các hàm số Bài 1. Khảo sát tính liên tục của các hàm số? 1. f(x) = sin x x , x = 0 1, x = 0 . 2. f(x) = sin x |x| , x = 0 1, x = 0 . 3. f(x) = arctan 1 x . 4. f(x) = x arctan 1 x . Bài 2. 1. Cho hàm số xác định bởi: f(x) = x + 1 khi x ≤ 1 3 − ax2 khi x > 1 . Tìm a để hàm f liên tục với mọi x? 2. Cho hàm số f(x) = x, |x| ≤ 1 x2 + ax + b, |x| > 1 . Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. 3. Cho hàm số f(x) = ax2 + 2a − 3 khi x < 1 −x2 + 4x − 3 khi x ≥ 1 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 4. Cho hàm số f(x) = −x2+6x−1 2−x khi x ≤ 1 −3x2 + 2ax + 5 khi x > 1 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 5. Cho hàm số f(x) = −x2 + ax − 3 khi x < −2 x2+ax−5 x2+3 khi x ≥ −2 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 6. Cho hàm số f(x) = x2 + 3ax + 2a − 3 khi x ≤ 2 −x2 + 2ax − 3 khi x > 2 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 7. Cho hàm số f(x) = ln(1+x)−ln(1−x) x khi 0 < |x| < 1 a khi x = 0 . Tìm a để f(x) liên tục trên tập xác định? 8. Cho hàm số f(x) =    −2 sin x khi x ≤ −π 2 a sin x + b khi − π 2 < x < π 2 cos x khi x ≥ π 2 . Tìm a, b để f(x) liên tục trên R? 9. Cho hàm số f(x) = arcsin x cot x khi x = 0 a khi x = 0 . Tìm a để hàm số liên tục trên (−1, 1)? Bài 3. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó. Ngô Mạnh Tưởng 50
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1. f(x) =    2 √ 5 − x2 khi 0 ≤ x ≤ 1 −8x2−2x+4 1+2x2 khi 1 < x ≤ 2 −2x2 + 4x − 7 khi 2 < x < +∞. 2. f(x) =    −x2 + 5x − 3 khi 0 ≤ x ≤ 1 3+5x−4x2 3+x2 khi 1 < x < 3 −x2 + x − 3 khi 3 ≤ x < +∞. 3. f(x) =    2 √ x khi 0 ≤ x ≤ 1 4 − 2x khi 1 < x ≤ 5 2 2x − 7 khi 5 2 < x < +∞. 4. f(x) =    1/(x − 1), x < 0 (x + 1)2 , 0 ≤ x ≤ 2 1 − x, x > 2 . 5. f(x) = |x+2| x+2 . 6. f(x) = |x−1| x2−x3 . 7. f(x) = 1 ln |x−1| . 8. f(x) = arctan 1 x2 . 9. f(x) =    2 √ x khi 0 ≤ x ≤ 1 4 − 2x khi 1 < x ≤ 5 2 2x − 7 khi 5 2 < x < +∞ . 2.7.3. Ứng dụng của cấp số nhân Bài tập 2: 1. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 2. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 120 triệu đồng và sẽ đem lại 195 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 3. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 110 triệu đồng và sẽ đem lại 170 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 9% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 4. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 120 triệu đồng và sẽ đem lại 175 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 5. Giả sử gửi tiết kiệm 500$ sau 3 năm thu được 588, 38$. Với lãi suất thịnh hành một năm là r%. Tìm r? 6. Nếu lãi suất thịnh hành là 6% một năm thì cho vay 600$ sau khoảng thời gian bao lâu thu được toàn bộ giá trị là 900$? 7. Nếu sau 3 năm muốn nhận được khoảng tiền tiết kiệm là 1000$, với lãi suất 9% một năm thì bây giờ phải gửi vào tiết kiệm một lượng tiền là bao nhiêu? Ngô Mạnh Tưởng 51
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 8. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành 11.5% một năm. Biết chi phí hiện tại A$ và đem lại 9000$ sau 3 năm. Hỏi A tối đa bằng bao nhiều thì NPV của dự án đạt 2493$? 9. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành 11% một năm. Biết chi phí hiện tại 2500$ và đem lại B$ sau 4 năm. Hỏi dự án cần đem lại tối thiểu B bằng bao nhiều để NPV của dự án đạt 794$? 10. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 10% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? 11. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 12% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 4500$ và đem lại 7000$ sau 3 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 5000$ và đem lại 7000$ sau 2 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 4000$ và đem lại 8000$ sau 4 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? 12. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 85% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 1255$ và đem lại 2750$ sau 3 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2775$ và đem lại 4160$ sau 2 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 1885$ và đem lại 3190$ sau 2 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? Ngô Mạnh Tưởng 52
Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản về đạo hàm, vi phân của hàm số một biến, ứng dụng của đạo hàm vi phân trong việc tính giới hạn, tính gần đúng. Khái niệm về đạo hàm, vi phân cấp cao, công thức khai triên Mac Laurin, công thức khai triển TayLor; Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế. 3.1. Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Vi phân của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1. Đạo hàm của hàm số một biến 3.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 3.1.1. Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm x0 ký hiệu là f (x0) và được tính bởi công thức f (x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x , trong đó ∆x = x − x0, ∆y = f(x − x0) − f(x0) được gọi là số gia hàm số tại điểm x0. Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số y = cos x tại điểm x0. Ta có f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = lim ∆x→0 cos(x0 + ∆x) − cos x0 ∆x = − lim ∆x→0 sin x0 + ∆x 2 · sin ∆x 2 ∆x 2 = − sin(x0) 3.1.2. Đạo hàm các phía Định nghĩa 3.1.2. (Đạo hàm phải) Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm phải của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f+(x0) và được tính bởi công thức f+(x0) = lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x .
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Định nghĩa 3.1.3. (Đạo hàm trái) Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm trái của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f−(x0) và được tính bởi công thức f−(x0) = lim ∆x→0− f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x . Định lý 3.1.1. Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. Định nghĩa 3.1.4. (Định nghĩa đạo hàm vô cùng ) Nếu lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = ∞ thì ta nói f(x) có đạo hàm vô cùng tại điểm x0. Ví dụ. Tìm f+(0); f−(0) biết f (x) =    e 1 x, x = 0 0, x = 0 Ta có f+(0) = lim ∆x→0+ f(0 + ∆x) − f(0) ∆x = lim ∆x→0+ e1/∆x − 0 ∆x = +∞ và f−(0) = lim ∆x→0− f(0 + ∆x) − f(0) ∆x = lim ∆x→0− e1/∆x − 0 ∆x = 0. Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0. Ví dụ. Tìm f (x) biết f(x) = x2 − 3|x| + 2. Ta có f(x) = x2 − 3x + 2, x ≥ 0 x2 + 3x + 2, x < 0 ⇒ f (x) = 2x − 3, x > 0 2x + 3, x < 0. Tại điểm x = 0: f+(0) = −3; f−(0) = 3. Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau suy ra không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0. 3.1.3. Bảng đạo hàm cơ bản 3.1.4. Tính chất Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương: 1. (αu) = αu ; 2. (u ± v) = u ± v ; 3. (u.v) = u.v + u .v; 4. u v = u v − v u v2 . Ngô Mạnh Tưởng 54
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế ĐẠO HÀM HÀM HỢP (a) = 0 (xα ) = αxα−1 , α ∈ R (uα ) = αuα−1 u (ex ) = ex (eu ) = eu u (ax ) = ax ln a (au ) = au u ln a (ln |x|) = 1 x (ln |u|) = u u (loga |x|) = 1 x ln a , a > 0, a = 1 (loga |u|) = u u ln a , a > 0, a = 1 (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = −u sin u (tan x) = 1 cos2x (tan u) = u cos2u (cot x) = − 1 sin2x (cot u) = − u sin2u 3.1.5. Đạo hàm của hàm hợp f = f(u), u = u(x) ⇒ f (x) = f (u) · u (x). 3.1.6. Đạo hàm của hàm ngược x (y) = 1 y (x) . ĐẠO HÀM HÀM HỢP (arcsin x) = 1√ 1−x2 (arcsin u) = u√ 1−u2 (arccos x) = − 1√ 1−x2 (arccos u) = − u√ 1−u2 (arctan x) = 1 1+x2 (arctan u) = u 1+u2 (arc cot x) = 1 1+x2 (arc cot u) = − u 1+u2 (sinh x) = cosh x (sinh u) = u cosh u (cosh x) = sinh x (cosh u) = u sinh u (tanh x) = 1 cosh2 x (tanh u) = u cosh2 u (coth x) = 1 sinh2 x (coth u) = u sinh2 u 3.1.7. Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số Hàm y = y(x) được cho bởi phương trình tham số: x = x(t) y = y(t). Giả sử hàm x = x(t) có hàm ngược t = t(x). Khi đó hàm y = y(t)=y(t(x)) là hàm của y theo biến x. y (x) = dy dx = y (t)dt x (t)dt = y (t) x (t) ⇒ y (x) = y (t) x (t) . Ngô Mạnh Tưởng 55
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.1.8. Đạo hàm của hàm ẩn Hàm y = y(x) với x ∈ (a, b) cho ẩn bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tìm đạo hàm hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế, coi x là biến, y là hàm theo x. Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f(x) = x + x3 . Với f(x) là hàm 1 − 1 trên R, đạo hàm f (x) = 1 + 3x2 = 0, ∀x. Do đó dx dy = 1 y (x) = 1 1 + 3x2 Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số: x = a·cos3 t, y = b·sin3 t, t ∈ (0, π/2). x (t) = −3acos2 t sin t = 0, ∀t ∈ (0, π/2); y (t) = 3bsin2 t cos t; y (x) = y (t) x (t) = 3bsin2 t cos t −3acos2t sin t = − b a tan t. Ví dụ. Tìm y (x) biết y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình e2x+y = x3 + cos y e2x+y (2 + y (x)) = 3x2 − y (x) · sin y ⇒ y (x) = 3x2 − 2e2x+y e2x+y + sin y . 3.1.9. Đạo hàm cấp cao a. Định nghĩa Định nghĩa 3.1.5. Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số Có thể lấy một lần nữa của đạo hàm cấp một ta được khái niệm đạo hàm cấp 2 f (x) = (f (x)) . Tiếp tục quá trình trên ta có đạo hàm cấp n f(n) (x) = f(n−1) (x) . b. Công thức Leibnitz Giả sử y = f.g Dùng quy nạp ta chứng minh được công thức: (f · g)(n) = n k=0 Ck nf(k) · g(n−k) ⇔ (f · g)(n) = C0 nf(0) · g(n) + C1 nf(1) · g(n−1) + · · · + Cn n f(n) · g(0) . Ngô Mạnh Tưởng 56
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Trong đó quy ước f(0) = f; g(0) = g. Phương pháp tính đạo hàm cấp cao 1. Sử dụng đạo hàm cấp cao của một số hàm số đã biết 2. Phân tích thành tổng các hàm đơn giản 3. Sử dụng công thức Leibnitz Đạo hàm cấp cao của một số hàm số 1. ((x + a)α ) (n) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1)(x + a)α−n ; 2. 1 x+a (n) = (−1)n n! 1 (x+a)n+1 ; 3. (eax )(n) = an · eax ; 4. (ln x)(n) = (−1)n−1 · (n−1)! xn ; 5. (sin(ax))(n) = an · sin ax + nπ 2 ; 6. (cos(ax))(n) = an · cos ax + nπ 2 . Chú ý. 1. ((ax + b)α ) (n) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1)(ax + b)α−n · an ; 2. (ln(ax + b))(n) = (−1)n−1 · (n−1)! (ax+b)n · an ; 3. (sin(ax + b))(n) = an · sin ax + b + nπ 2 ; 4. (cos(ax + b))(n) = an · cos ax + b + nπ 2 . Ví dụ. Tính y(n) (x) biết y = 1 x2 − 4 . Ta có y = 1 (x − 2)(x + 2) = 1 4 1 x − 2 − 1 x + 2 Sử dụng công thức 1 x + a (n) = (−1)n n! 1 (x + a)n+1 . Ta được y(n) = (−1)n n! 4 · 1 (x − 2)n+1 − 1 (x + 2)n+1 . Ngô Mạnh Tưởng 57
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính y(100) (0) biết y = 1 x2 + 4 . Ta có y = 1 (x − 2i)(x + 2i) = 1 4i 1 x − 2i − 1 x + 2i Sử dụng công thức 1 x + a (n) = (−1)n n! 1 (x + a)n+1 . Ta được: y(n) = (−1)n n! 4i · 1 (x − 2i)n+1 − 1 (x + 2i)n+1 ⇒ y(100) = (−1)100 100! 4i · 1 (−2i)101 − 1 (2i)101 = 100! 4·2100 . 3.2. Vi phân của hàm số một biến 3.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1. Hàm số f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu f(x0 + ∆x) − f(x0) = A · ∆x + o(∆x). Khi đó, biểu thức A · ∆x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu df(x0) = A · ∆x. Định lý 3.2.1. Hàm số y = f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f (x0). Chứng minh. Nếu f(x) khả vi tại x0, khi đó: f(x0 + ∆x) − f(x0) = A · ∆x + o(∆x) ⇒ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = A + o(∆x) ∆x ⇒ ∃f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = lim ∆x→0 A + o(∆x) ∆x = A Ngược lại, nếu tồn tại f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x ⇒ f(x0+∆x)−f(x0) ∆x − f (x0) → 0. Suy ra f(x) khả vi tại x0. 3.2.2. Tính chất Vi phân của hàm f(x) tại điểm x0: df(x0) = f (x0)dx 1. dα = 0, α ∈ R; Ngô Mạnh Tưởng 58
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2. d (αf) = α · df, α ∈ R; 3. d (f + g) = df + dg; 4. d (f · g) = gdf + fdg; 5. d f g = gdf−fdg g2 . Các tính chất này suy ra trực tiếp từ tính chất của đạo hàm. 3.2.3. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Giả sử y = y(x) là hàm khả vi trong lân cận của x0. f (x0 + ∆x) − f(x0) = f (x0)∆x + o(∆x) ⇒ f (x) − f(x0) ≈ f (x0) (x − x0) ∆f ≈ df. Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1: f (x) ≈ f(x0) + f (x0) (x − x0) . Thay vì tính giá trị ∆f phức tạp, ta tính df đơn giản hơn. Ví dụ. Cho f(x) = x3 + x2 − 2x + 1. a. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01. b. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05. Ta có a. f(2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9 f(2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701 ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(2.01) − f(2) = 0.140701 df = f (x0) (x − x0) = 3.22 + 2.2 − 2 × 0.01 = 0.14. b. Tương tự, ∆f = 0.717625, df = 0.7. Khi x thay đổi nhỏ ∆f và df càng gần nhau. Ví dụ. Tính gần đúng 4 √ 17. Ta xét hàm số f(x) = 4 √ x. Áp dụng công thức tính gần đúng ta có: 4 x0 + ∆x ∼= 4 √ x0 + 1 4 4 √ x0 3 ∆x. Chọn x0 = 16, ∆x = 1 ta có: 4 √ 17 ∼= 4 √ 16 + 1 4 4 √ 163 = 2 + 1 4.23 = 2.031. Ngô Mạnh Tưởng 59
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.2.4. Vi phân cấp cao Cho df (x) = f (x) dx là một hàm theo biến x. Vi phân (nếu có) của df(x) được gọi là vi phân cấp 2 của hàm y = f(x) do đó d2 f (x) = d (df) = d (f (x) dx) = (f (x) dx) dx = f (x) dx2 . Tương tự, vi phân cấp n là vi phân (nếu có) của vi phân cấp n − 1 dn f(x) = f(n) (x)dxn . 3.2.5. Vi phân cấp cao của hàm hợp Cho hàm hợp f = f(u) u = u(x) Vi phân cấp 1 có tính bất biến: df = f (x)dx = f (u)du. Vi phân cấp 2: d2 f = d (df) = d (f (u)du). Chú ý. dx là hằng số, du không phải là hằng số: du = u (x)dx d2 f = d (f (u))×du+f (u)×d(du) = (f (u)) (u)du×du+f (u)×d2 u = f (u)du2 +f (u)d2 u. 3.3. Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến 3.3.1. Các định lý về hàm số khả vi Định lý 3.3.1. (Định lý Rolle) Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng kín [a, b]; khả vi trong khoảng (a, b); f(a) = f(b) thì trong khoảng mở (a, b) có ít nhất một điểm c sao cho f (c) = 0. Chứng minh xem [1], [2], [5]. Định lý 3.3.2. (Định lý Lagrange) Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng kín [a, b], khả vi trên khoảng mở (a, b) thì trong khoảng (a, b) có ít nhất một điểm c sao cho f (b) − f (a) = f (c) (b − a). Chứng minh xem [1], [2], [5]. Định lý 3.3.3. (Định lý Cauchy) Nếu các hàm f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) , g (x) = 0, ∀x ∈ (a, b), thì có ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho: f (b) − f (a) g (b) − g (a) = f (c) g (c) . Ngô Mạnh Tưởng 60
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Để chứng minh định lý Cauchy ta áp dụng định lý Rolle cho hàm phụ F(x) = f(x) − f (b) − f(a) g (b) − g(a) [g(x) − g(a)] . Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy với g(x) = x. 3.3.2. Quy tắc Lopitan Định lý 3.3.4. Giả sử các hàm f(x), g(x) liên tục và khả vi trong một miền nào đó và khi x → a hoặc khi x → ∞ thì cả hai hàm f(x), g(x) cùng tiến tới không (hoặc cùng tiến tới vô cùng). Khi đó nếu giới hạn của tỷ số f (x) g (x) tồn tại thì giới hạn của tỷ số f(x) g(x) cũng tồn tại và lim x→a f (x) g (x) = lim x→a f (x) g (x) , lim x→∞ f(x) g(x) = lim x→∞ f (x) g (x) . Chứng minh xem [1], [2], [5]. Quy tắc Lopitan có ứng dụng quan trọng trong việc tính toán các giới hạn có dạng vô định 0 0 ; ∞ ∞ . Ví dụ. Tính các giới hạn 1. lim x→0 e2x−1−2x 2x2 = lim x→0 2e2x−2 4x = lim x→0 4e2x 4 = 1. 2. lim x→+∞ ln x xα = lim x→+∞ 1 x αxα−1 = lim x→+∞ 1 αxα = 0 (α > 0). 3. lim x→+∞ ax xn = lim x→+∞ ax ln a nxn−1 = ... = lim x→+∞ ax(ln a)n n! = ∞ (a > 1). Chú ý: Khi gặp các dạng vô định 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0∞ , 00 , ∞0 ta tìm cách biến đổi để đưa chúng về dạng 0 0 ; ∞ ∞ rồi áp dụng quy tắc Lopitan. Ví dụ. lim x→0 (x2 ln x) = lim x→0 ln x 1/x2 = lim x→0 1/x −2/x2 = −1 2 lim x→0 x2 = 0. 3.3.3. Khai triển Taylor, Mac Laurin Định lý 3.3.5. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp n trong một miền chứa điểm x0 thì f(x) = f (x0) + f (x0) 1! (x − x0) + f (x0) 2! (x − x0)2 + · · · + f(n) (x0) n! (x − x0)n + Rn, trong đó Rn được gọi là phần dư thứ n. Ngô Mạnh Tưởng 61
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor đến cấp n của hàm số bất f(x) thành đa thức tại x0. Chứng minh xem [1], [2], [5]. Đặc biệt nếu x0 = 0 ta có công thức khai triển Mac Laurin f(x) = f (0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x2 + ... + f(n) (0) n! xn + Rn cho phép khai triển một hàm bất kì (có đạo hàm liên tục tới cấp n) thành đa thức của x. Kết quả khai triển Mac Laurin của một số hàm số sơ cấp: 1. ex = 1 + x 1! + x2 2! + ... + xn n! + Rn. 2. sin x = x − x3 3! + x5 5! − ... + (−1)k−1 x2k−1 (2k−1)! + R2k−1. 3. cos x = x − x2 2! + x4 4! − ... + (−1)k x2k (2k)! + R2k. 3.3.4. Bài toán khảo sát hàm số Xem tài liệu [1], [2], [5]. 3.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 3.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f (x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x . Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: f (x0) ≈ f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x ⇒ ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f (x0) ∆x. Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f (x0). Như vậy đạo hàm f (x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng thêm 1 đơn vị tại điểm x0. Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x0. Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau: • Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), f (L0) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên tại điểm L0. Giá trị này được ký hiệu là MPPL (Marginal Physical Product Ngô Mạnh Tưởng 62
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế of Labor), nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động tại điểm L0. • Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q), TR (Q0) được gọi là doanh thu cận biên tại điểm Q0, ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Đối với hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC (Q0) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0, ký hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C (Y0), ký hiệu là MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu hướng tiết kiệm cận biên là MPS = S (Y0) (Marginal Propensity to Save). Ví dụ. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5 √ L. ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L = 100 là MPPL = Q = 5 2 √ L = 0.25. Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật. 3.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Hệ số co dãn của cầu theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%. Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: ε = ∆Qd Qd .100 ∆p p .100 = ∆Qd ∆p p Qd . Ngô Mạnh Tưởng 63
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p: ε = D (p). p D(p) . (3.4.1) Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công thức: ε = S (p). p S(p) . (3.4.2) Ví dụ. Nếu hàm cầu là Q = 1400 − p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là ε = D (p). p D(p) = (1400 − p2 ) p 1400 − p2 = −2p2 1400 − p2 . Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%. 3.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí TC = TC(Q) biểu diễn tổng chi phí TC ở mỗi mức sản lượng Q. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chí phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên mỗi đơn vị sản phẩm AC = TC(Q) Q . Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm của tổng chi phí MC = TC (Q). Ta có AC (Q) = TC Q = (TC) Q − TC Q2 = (TC) − TC Q Q = MC − AC Q . Do Q > 0 nên dấu của AC (Q) phụ thuộc vào dấu của hiệu MC − AC. Từ đó suy ra • Nếu MC > 0 thì AC (Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng; • Nếu MC < AC thì AC (Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm; • MC = AC khi và chỉ khi AC (Q) = 0, tức là khi chi phí bình quân đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân giảm. Ngô Mạnh Tưởng 64
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 3.1: Trên hình vẽ AC(AverageCost) là đường chi phí bình quân, MC(MarginalCost) là đường chi phi cận biên. Đường MC cắt đường AC tại điểm có hoành độ Q0. Về phía Q > Q0 ta thấy MC < AC, do đó AC giảm. Tương tự doanh thu bình quân AR(Q) = TR(Q) Q và doanh thu cận biên MR(Q) = TR (Q) liên hệ với nhau như sau: • Nếu MR > 0 thì AR (Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng; • Nếu MR < AR thì AR (Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân giảm; • MR = AR khi và chỉ khi AR (Q) = 0, tức là doanh thu bình quân đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân giảm. 3.4.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế, việc ra quyết định gắn liền với việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f(x). Bài toán đặt ra là lựa chọn x để y đặt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. Hàm số y = f(x) được gọi là đạt cực trị tại x0 nếu f (x0) = 0 và đổi dấu qua nghiệm đó. • Nếu f (x0) > 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = x0, yCT = f(x0); • Nếu f (x0) < 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = x0, yCD = f(x0). Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận. Ngô Mạnh Tưởng 65
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế a. Chọn mức sản xuất tối ưu Giả sử doanh nghiệp có hàm tổ chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số π = TR(Q) − TC(Q). Bài toán đặt ra là chọn mức sản lượng Q0 để thu được lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để π đạt cực đại tại điểm Q0 là π = TR (Q) − TC (Q) = 0 ⇔ TR (Q) = TC (Q) ⇔ MR = MC. Bằng ngôn ngữ kinh tế, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là doanh thu cận biên bằng chi phi cận biên. Tại điểm MR = MC, điều kiện đủ để π đạt cực đại là π = TR − TC < 0 ⇔ TR < TC . Ví dụ. Giả sử TR = 1400Q − 7, 5Q2 và TC = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750. Ta có MR = 1400 − 15Q, MC = 3Q3 − 12Q + 140. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là MR = MC ⇔ 1400 − 15Q = 3Q2 − 12Q + 140 ⇔ 3Q2 + 3Q − 1260 = 0. Phương trình có nghiệm là Q = 20 ( loại Q = −21 do Q > 0). Với Q = 20 ta có TR = (MR) = −15, TC = (MC) = 6 × 20 − 12 = 108. Điều kiện đủ TR < TC thỏa mãn, do đó Q = 20 là điểm cực đại. Chú ý trong khoảng (0; ∞) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm điểm cực trị duy nhất, do đó mức sản lượng tối ưu là Q = 20 và lợi nhuận tối đa là π = −(20)3 − 1, 5(20)2 + 1260 × 20 − 750 = 15850. b. Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), trong điều kiện giá sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền công) là w. Khi đó tổng lợi nhuận là hàm số của biến số L (lượng lao động được sử dụng) π = pf(L) − wL − C0, C0 là chi phí cố định. Bài toán đặt ra là chọn L để π đặt cực đại. Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là π = pf (L) − w = 0 ⇔ p.MPPL = w. Ngô Mạnh Tưởng 66
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Như vậy, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động. Tại điểm L0 mà điều kiện cần đã được thỏa mãn, điều kiện đủ để đạt lợi nhuận tối đa là π = pf (L0) < 0 ⇔ f (L0) < 0. Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì thì sản phẩm hiện vật cận biên của lao động giảm dần khi L tăng, do đó Q = f (L0) < 0, tức là điều kiện đủ được thỏa mãn. Ví dụ. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn Q = 50 √ L, giá sản phẩm là $4 và giá lào động là $5. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là 4.MPPL = 5 ⇔ 4. 25 √ L = 5 ⇔ L = 400. Điều kiện đủ luôn thỏa mãn Q = − 12,5 L √ L < 0. Để đạt lợi nhuận tối đa doanh nghiệp phải sử dụng 400 đơn vị lao động. Ví dụ. Cho hàm chi phí C(Q) = 4Q3 + 5Q2 + 500(Q > 0) và hàm cầu là Q = 19680 − P. Hãy xác định mức sản lượng Q để cho lợi nhuận đạt được tối đa. Ta có π = R−C = PQ−C = (19680−Q)Q−(4Q3 +5Q2 +500) = −4Q3 −6Q2 +19680Q−500. π (Q) = −12Q2 − 12Q + 19680 = 0 ⇔ Q2 + Q − 1640 = 0 ⇔ Q = 30 ⇒ π(Q) = 476500. π (Q) = −24Q − 12 ⇒ π (30) = −24.30 − 12 = −732 < 0. Vậy, lợi nhuận đạt tối đa khi sản lượng Q = 30. 3.5. BÀI TẬP 3.5.1. Đạo hàm cấp cao 1. Tìm y(100) (0), biết y = 1 x2+4 . 2. Tìm y(100) (1), biết y = (3x2 + 1) ln x. 3. Tìm y(100) (x), biết y = (2x + 3) cos 2x. 4. Tìm y(100) (0), y(101) (0), biết y = arctan x. 5. Tìm y(100) (x), biết y = x2 sin x. 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: (a) y = 1 x2−4 . (b) y = sin2 x. Ngô Mạnh Tưởng 67
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (c) y = ln(x2 − 3x + 2). (d) y = ln x+1 x−1 . (e) y = x ln (x2 − 3x + 2). (f) y = (3 − 2x)2 e2−3x . (g) y = cos4 x + sin4 x. (h) y = 3−2x2 2x2+3x−2 . (i) y = (x2 + x)cos2 x. (j) y = x ln 3+x 3−x . 3.5.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin 1. Tìm khai triển Mac Laurin đến cấp n của các hàm số: (a) f (x) = x2+3ex e2x , n = 3. (b) f (x) = ln2−3x 3+2x , n = 3. (c) f (x) = ln (x2 + 3x + 2) , n = 4. (d) f (x) = (1−x) ln(1+x)−(1+x) ln(1− x), n = 5. (e) f(x) = 1 x2−5x+6 , n = 3. (f) f (x) = ln 3+x 2−x , n = 5. (g) f (x) = 1 1−x−x2+x3 , n = 5. 2. Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n của các hàm số sau: (a) f (x) = ln (2x + 1) , x = 1 2 , n = 3. (b) f(x) = ln(2 + 3x), x = 1, n = 3. (c) f (x) = ln (2x − x2 + 3) , x = 2, n = 5. (d) f (x) = ln(2 + x − x2 ), x = 1, n = 3. (e) f (x) = 2x 1−x2 , x = 2, n = 5. (f) f (x) = x2+3x x+1 , x = 1, n = 3. (g) f (x) = (x2 − 1)e2x , x = −1, n = 3. 3.5.3. Tính giới hạn 1. lim x→0 1 x − 1 ex−1 . 2. lim x→1 1 ln x − 1 x−1 . 3. lim x→0 ex−1−sin x x ln(1+2x) . 4. lim x→0 cot2 x − 1 x2 . 5. lim x→0 1 x2 − 1 x tan x . 6. lim x→0 x2 ln x. 7. lim x→+∞ (x + ex ) 1 x . 8. lim x→0 (cos x) 1 x2 . 9. lim x→0 1+tan x 1+sinx 1 sin x . 10. lim x→0 (1 + x)ln x . 11. lim x→0 (1 + x2 ) 1 ex−1−x . 12. lim x→0 5 2+ √ 9+x 1 sin x . 3.5.4. Ứng dụng của đạo hàm 1. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 5 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. Ngô Mạnh Tưởng 68
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 10 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. 3. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 15 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. 4. Cho hàm cầu Q = 1400 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 5. Cho hàm cầu Q = 1500 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 6. Cho hàm cầu Q = 1300 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 7. Cho hàm cầu Q = 300 − P và hàm chi phí C = Q3 − 19 Q2 + 333 Q + 10. Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Ngô Mạnh Tưởng 69
Chương 4 TÍCH PHÂN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản về nguyên hàm, tích phân, các phương pháp tính tích phân của các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác; tích phân xác định, tích phân suy rộng, các phương pháp tính và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng; Ứng dụng của tích phân trong phân tích kinh tế. 4.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2. Phương pháp tính tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Phép tính nguyên hàm của một số hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5. Hai phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.6. Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.7. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.8. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định 4.1.1. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa 4.1.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F(x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) nếu y = F(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx với mọi x ∈ (a; b). • Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. • Hàm số y = F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng đóng [a; b] nếu – F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a; b) ; – F (a + 0) = f(a); F (b − 0) = f(b). Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 là hàm số F(x) = x3 3 . Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là hàm số F(x) = −cosx.
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.1.2. Tích phân không xác định Định nghĩa 4.1.2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) + C, C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f(x) đó được gọi là tích phân không xác định hay tích phân bất định của f(x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f(x)dx = F(x) + C. Các tính chất đơn giản 1. f(x)dx = f(x); 2. d f(x)dx = f(x)dx; 3. Nếuf(x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f(x) + C; 4. Nếuf(x)là hàm khả vi thì df(x) = f(x) + C; 5. αf(x)dx = α f(x)dx; 6. (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx+ g(x)dx. 4.1.3. Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Ngô Mạnh Tưởng 71
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.2. Phương pháp tính tích phân không xác định 4.2.1. Phương pháp đổi biến số Định nghĩa 4.2.1. Nếu tồn tại hàm hợp f(ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f(ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f(t)dt t=ϕ(x) . Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f(t)dt = f(ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1(t) hay f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1(x) . Ví dụ. Tính I = dx sin x . Ta có I = dx sin x = sin xdx sin2 x = − dcosx 1 − cos2x = − dt 1 − t2 = 1 2 dt t − 1 − dt t + 1 = 1 2 ln cosx − 1 cosx + 1 + C = 1 2 ln tan x 2 + C. Ví dụ. Tính ln(arccos x)dx √ 1 − x2 arccos x . Đặt t = ln(arccos x) ⇒ dt = −dx √ 1 − x2 arccos x . Suy ra ln(arccos x)dx √ 1 − x2 · arccos x = 1 2 ln2 (arccos x) + C. Ví dụ. Tính dx a2 + x2 bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x2 = a2 cos2t , dx = a. dt cos2t dx a2 + x2 = a.dt cos2 t : a2 cos2 t = 1 a dt = 1 a t + C = 1 a arctan x a + C. Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức √ a2 − x2 đặt x = a sin t; khi gặp biểu thức 1 a2 + x2 đặt x = arctan x và sử dụng phép đổi biến số dạng (2). 4.2.2. Phương pháp tích phân từng phần Định nghĩa 4.2.2. Giả sử hai hàm u = u(x), v = v(x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v.u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du. Ngô Mạnh Tưởng 72
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng Pn(x) ln xdx; Pn(x) arcsinxdx; Pn(x) arccos xdx đặt dv = Pn(x)dx, phần còn lại là u. Dạng Pn(x)ex dx; Pn(x)sinxdx; Pn(x)cosxdx đặt u = Pn(x), dv là phần còn lại. Ví dụ. Tính I = arccos2 xdx. Đặt u = arccos2 x ⇒ du = −2 arccos xdx √ 1 − x2 , dv = dx ⇒ v = x. Suy ra I = x arccos2 x − −2x arccos x √ 1 − x2 dx = x arccos2 x + I1, đặt u = arccos x ⇒ du = −dx √ 1 − x2 và dv = xdx √ 1 − x2 ⇒ v = xdx √ 1 − x2 = − √ 1 − x2 + C, suy ra I1 = − √ 1 − x2 arccos x − dx = − √ 1 − x2 arccos x − x + C2. 4.3. Phép tính nguyên hàm của một số hàm số 4.3.1. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Tính Pn(x) Qm(x) dx, trong đó Pn, Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực. Ta thực hiện các bước sau: 1. Chia tử cho mẫu (nếu n ≥ m) và đưa về tích phân các phân thức thực sự, chẳng hạn Rk(x) Qm(x) dx với 0 ≤ k < m; 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai Qm(x) = (x − a1)s1 ... (x − ak)sk · x2 + p1x + q1 t1 · · · x2 + pvx + qv tv ; 3. Phân tích Pk(x) Qm(x) = Pn(x) (x − a1)s1 (x2 + p1x + q1)t1 = A1 (x − a1) + A2 (x − a1)2 +· · ·+ As1 (x − a1)s1 +· · · + B1x + C1 (x2 + p1x + q1) + B2x + C2 (x2 + p1x + q1)2 + · · · + Bt1 x + Ct1 (x2 + p1x + q1)t1 ; 4. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: Ngô Mạnh Tưởng 73
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • dx (x − a)n = 1 (n − 1) (x − a)n−1 + C, n = 1; • (Mx + n) dx x2 + px + q = M 2 2x+p x2+px+q dx + N − Mp 2 dx x2 + px + q ; • In = dx (x2 + a2)n u = 1 (x2 + a2)n ⇒ du = −2nxdx (x2 + a2)n+1 , dv = dx ⇒ v = x. Khi đó In = x (x2 + a2)n + 2n x2 dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n + 2n (x2 + a2 − a2 ) dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n +2n dx (x2 + a2)n −2na2 dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n +2nIn−2na2 In+1. Hệ thức truy hồi In+1 = 1 2na2 x (x2 + a2)n + (2n − 1) In suy ra I1 = dx x2 + a2 = 1 a arctan x a + C. Ví dụ. Tính I = dx (x − 2)3 . Ta có I = d(x − 2) (x − 2)3 = (x − 2)−3 d(x − 2) = − 1 2 (x − 2)−3+1 + C = −1 2(x − 2)2 + C. Ví dụ. Tính I = dx x2 + 2x + 5 . Ta có I = dx (x + 1)2 + 22 = d (x + 1) (x + 1)2 + 22 = 1 2 arctan x + 1 2 + C. Ví dụ. Tính I = (x + 4)dx (x − 2)(x + 1) . Ta có x + 4 (x − 2)(x + 1) = A x − 2 + B x + 1 . Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. I = 2dx x − 2 − dx x + 1 = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln (x − 2)2 x + 1 + C. Ví dụ. Tính I = 2x3 + x2 + 5x + 1 (x2 + 3)(x2 − x + 1) dx. 2x3 + x2 + 5x + 1 (x2 + 3)(x2 − x + 1) = Ax + B x2 + 3 + Cx + D x2 − x + 1 . Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. I = dx x2 + 3 + 2xdx x2 − x + 1 . Ngô Mạnh Tưởng 74
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính I = dx x2 + 2x + 5 . I = dx (x + 1)2 + 22 = d (x + 1) (x + 1)2 + 22 = 1 2 arctan x + 1 2 + C = dx x2 + 3 + (2x − 1) + 1 x2 − x + 1 dx = 1 √ 3 arctan x √ 3 +ln(x2 −x+1)+ 2 √ 3 arctan 2x − 1 √ 3 +C. Ví dụ. Tính I = 4x2 − 8x (x − 1)2(x2 + 1)2 dx. P(x) (x2 + 1)2(x − 1)2 = A x − 1 + B (x − 1)2 + Cx + D x2 + 1 + Ex + F (x2 + 1)2 . Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx (x2 + 1)2 = −2xdx (x2 + 1)2 + 4dx (x2 + 1)2 . Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 4dx (x2 + 1)2 . Để tìm các hệ số A, B, C, ... nhanh, có thể sử dụng khai triển Heaviside: Từ (*) ta có 4x2 − 8x = A(x − 1)(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2 + (Cx + D)(x − 1)2 (x2 + 1) + (Ex + F)(x − 1)2 . Thay x = 1, tìm được B = −1. Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i. Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1. 4.3.2. Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản a. Tích phân có chứa căn thức R   x, ax + b cx + d p1 q1 , ax + b cx + d p2 q2 , · · ·   dx. Cách giải: Đổi biến tn = ax + b cx + d , n là bội chung nhỏ nhất của q1, q2. Ngô Mạnh Tưởng 75
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Tích phân có chứa √ ax2 + bx + c Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt2 + β. Ví dụ. Tính I = dx √ 2x − 1 − 4 √ 2x − 1 . Đổi biến 2x − 1 = t4 ⇒ 2dx = 4t3 dt, suy ra I = 2t2 dt t − 1 = 2 t + 1 + 1 t − 1 dt = t2 + 2t + ln |t − 1| + C. Ví dụ. Tính I = x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 √ x + 1 (x + 1)(1 + 3 √ x + 1) dx. Đổi biến x + 1 = t6 ⇒ dx = 6t5 dt, suy ra I = 6 (t6 + t4 + t)t5 dt t6(1 + t2) = 6 t3 dt + 6 dt t2 + 1 = 3 2 3 √ x2 + 6 arctan 6 √ x + C. 4.3.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a. Dạng chứa R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. Cách giải chung: Đặt t = tan x 2 , x ∈ (−π, π), ⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 dt 1 + t2 , sin x = 2t 1 + t2 , cos x = 1 − t2 1 + t2 , suy ra R (sin x, cos x)dx = 2 R 2t 1 + t2 , 1 − t2 1 + t2 dt 1 + t2 . Ví dụ. Tính I = dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Đổi biến t = tan x 2 , x ∈ (−π, π) ⇒ dx = 2 dt 1 + t2 sin x = 2t 1 + t2 , cos x = 1 − t2 1 + t2 . Ta có I = 2 dt 6t + 4(1 − t2) + 5(1 + t2) = 2 dt t2 + 6t + 9 = 2 (t + 3)−2 d(t + 3) = −2 t + 3 + C = −2 tan(x/2) + 3 + C. Ví dụ. Tính I = dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Đổi biến t = tan x 2 , x ∈ (−π, π), suy ra dx = 2 dt 1 + t2 ; sin x = 2t 1 + t2 , cos x. Vậy I = 1 − t2 1 + t2 = 2 dt 6t + 4(1 − t2) + 5(1 + t2) = 2 dt t2 + 6t + 9 = 2 (t + 3)−2 d(t + 3) = −2 t + 3 + C = −2 tan(x/2) + 3 + C. Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh. Ngô Mạnh Tưởng 76
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Dạng chứa R (sin x, cos x)dx 1. R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ −π 2 , π 2 ; 2. R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π); 3. R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt t = tan x, x ∈ −π 2 , π 2 ; 4. sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x. Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x. Ví dụ. Tính I = (2 sin x + 3 cos x)dx sin2 x cos x + 9 cos3 x . Dạng R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x). Đổi biến t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = dx cos2 x . Chia tử và mẫu cho cos3 x ta được I = (2 tan x + 3)d(tan x) tan2 x + 9 = 2t + 3 t2 + 9 dt = 2t t2 + 9 dt + 3 t2 + 32 dt = ln(t2 + 9) + arctan t 3 + C = ln(tan2 x + 9) + arctan tan x 3 + C. Ví dụ. Tính I = cos3 x · sin8 xdx. Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx, suy ra I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx) = (1 − t2 )t8 dt = t9 9 − t11 11 + C = sin9 x 9 − sin11 x 11 + C. Ví dụ. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dx. Dạng R (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x). Đổi biến t = sinh(x) ⇒ dt = cosh(x))dx, ta có I = (sinh2 x cosh2 x)(cosh x)dx = sinh2 x(sinh2 x + 1)(cosh x)dx = t2 (t2 + 1)dt = t6 6 + t3 3 + C = sinh6 x 6 + sinh3 x 3 + C. c. Dạng I = a1 sin x + b1 cos x a sin x + b cos x dx Phân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x). Đồng nhất hai vế Ab − aB = a1 Aa + Bb = b1 giải tìm A, B. I = A(a sin x + b cos x) dx a sin x + b cos x + Bdx = A ln(a sin x + b cos x) + Bx + C. Ngô Mạnh Tưởng 77
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính I = (2 sin x + 3 cos x)dx sin x + 4 cos x . Phân tích 2 sin x+3 cos x = A(sin x+4 cos x)+B(sin x+4 cos x) , suy ra 2 sin x+3 cos x = (A − 4B) sin x + (4A + B) cos x. Đồng nhất hai vế ta được A − 4B = 2 4A + B = 3 ⇔ A = 1 B = −1/4. Suy ra I = A(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x dx + B(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x dx = A dx + Bd(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x = Ax + B ln (sin x + 4 cos x) + C. d. Tích phân dạng I = a1 sin x + b1 cos x + c1 a sin x + b cos x + c dx Phân tích a1 sin x + b1 cos x + c1 = A (a sin x + b cos x + c) + B (a sin x + b cos x + c) + C = (Aa + Bb) cos x + (Ab − aB) sin x + (Bc + C) . Đồng nhất hai vế suy ra    Ab − aB = a1 Aa + Bb = b1 Bc + C = c1 giải tìm A, B, C. Vậy I = A ln(a sin x + b cos x + c) + Bx + Cdx a sin x + b cos x + c . Tích phân cuối cùng tính bằng cách đổi biến chung t = tan x 2 . Ví dụ. Tính I = (2 sin x + cos x + 3)dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Phân tích 2 sin x + cos x + 3 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 sin x + 4 cos x + 5) + C, suy ra 2 sin x + cos x + 3 = (3A − 4B) sin x + (4A + 3B) cos x + (5A + C). Đồng nhất hai vế ta được    3A − 4B = 2 4A + 3B = 1 5A + C = 3. Vậy I = A dx + B d(3 sin x + 4 cos x + 5) 3 sin x + 4 cos x + 5 + Cdx 3 sin x + 4 cos x + 5 = Ax + ln(3 sin x + 4 cos x + 5) + I1. với I1 đã tính ở ví dụ trước. Ngô Mạnh Tưởng 78
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.4. Tích phân xác định 4.4.1. Bài toán diện tích hình thang cong Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1, S2, ..., Sn Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, ..., Sn bằng các hình chữ nhật Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần Ngô Mạnh Tưởng 79
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác Trên mỗi miền con S1, S2, ..., Sn lấy một điểm tùy ý Ta có S = S1 + S2 + · · · + Sn S f (x∗ 1) (x1 − x0) + f (x∗ 2) (x2 − x1) + · · · f (x∗ n) (xn − xn−1) S n i=1 f (x∗ i ) ∆xi Nếu giới hạn I = lim ∆xi→0 n i=1 f (x∗ i ) ∆xi tồn tại không phụ thuộc cách chia S và cách chọn điểm x∗ i , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a, b] và S = lim max(∆xi)→0 n i=1 f (x∗ i ) ∆xi = b a f (x)dx. Ví dụ. Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1 Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái Ngô Mạnh Tưởng 80
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Chia S thành 10 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Ngô Mạnh Tưởng 81
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chia S thành 30 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Chia S thành 50 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Bảng thống kê một số giá trị 4.4.2. Tính chất 1. Nếu các hàm f(x), g(x) khả tích trên [a, b] thì các hàm f(x) + g(x), k.f(x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và b a [f(x) + g(x)]dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx; b a kf(x)dx = k b a f(x)dx; 2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c, b] thì nó cũng khả tích trên [a, b] và b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx; Ngô Mạnh Tưởng 82
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, b] thì b a f (x) dx 0; 4. Nếu f (x) g (x) , ∀x ∈ [a, b] thì b a f(x)dx b a g(x)dx; 5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f(x) trên [a, b] thì m(b − a) b a f(x)dx M(b − a); 6. Nếu f(x) là hàm lẻ thì a −a f(x)dx = 0. Nếu f(x) là hàm chẵn thì a −a f(x)dx = 2 a 0 f(x)dx; 7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x). Khi đó b a f(x)dx = F(x)|b a = F(b) − F(a); 8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì   x a f(t)dt   = f(x)   ϕ(x) a f(t)dt   = f(x).ϕ (x). 4.5. Hai phương pháp tính tích phân 4.5.1. Phương pháp đổi biến số Nếu f(x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xác định và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì b a f(x)dx = β α f[ϕ(t)].ϕ (t)dt. Ví dụ. Tính I = a 0 √ a2 − x2dx Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có: a2 − x2 = a2 (1 − sin2 t) = a2 cos2 t, dx = a cos tdt. Ngô Mạnh Tưởng 83
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = π 2 . Do đó I = π/2 0 a cos t.a cos tdt = a2 π/2 0 cos2 tdt = a2 2 π/2 0 (1 + cos 2t)dt = a2 2 t + 1 2 sin 2t π/2 0 = πa2 4 . Ví dụ. Tính I = π/2 0 sin x 1 + cos2x dx. Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = π 2 ⇒ t = 0 I = 0 1 −dt 1 + t2 = 1 0 dt 1 + t2 = arctgt|1 0 = π 4 . 4.5.2. Phương pháp tích phân từng phần Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b a f (x) dx = b a udv = uv|b a − b a vdu. Thật vậy, uv|b a = b a d(uv) = b a (vdu + udv) = b a vdu + b a udv. Ví dụ. Tính I = 2 1 ln xdx. Giải: Đặt u = ln x, dv = dx ta có du = dx x , v = x suy ra I = x ln x |2 1 − 2 1 dx = 2 ln 2 − 1. 4.6. Tích phân suy rộng 4.6.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Cận lấy tích phân là vô hạn) a. Bài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f(x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a S = +∞ a f (x) dx = lim b→+∞ b a f (x) dx. Ngô Mạnh Tưởng 84
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Định nghĩa Định nghĩa 4.6.1. Cho hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ a f (x) dx = lim b→+∞ b a f (x) dx được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1 a −∞ f (x) dx = lim b→−∞ a b f (x) dx +∞ −∞ f (x) dx = a −∞ f (x) dx + +∞ a f (x) dx. c. Sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa 4.6.2. Nếu giới hạn lim b→+∞ b a f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân +∞ a f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Định lý 4.6.1. (Công thức Newton-Leibnitz ) Giả sử F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, +∞) khi đó +∞ a f(x)dx = lim b→+∞ b a f(x)dx = lim b→+∞ (F(b) − F(a)) . Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim b→+∞ F(b) := F(∞) +∞ a f(x)dx = F(x)|+∞ a = F(+∞) − F(a). Ngô Mạnh Tưởng 85
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = 1 x , trục hoành, đường thẳng x = 1. Ta có S = +∞ 1 1 x dx = lim a→+∞ a 1 1 x dx = lim a→+∞ (ln |x|) |a 1 = lim a→+∞ (ln |a|) = +∞, S có diện tích là vô hạn. Ví dụ. Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = 1 x2 + 1 và trục hoành S = +∞ −∞ 1 x2 + 2 dx = 2 +∞ 0 1 x2 + 2 dx = 2 lim a→+∞ (arctan x |a 0) = π, S có diện tích là π. Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 1 e−2x dx. Ta có I = +∞ 1 e−2x dx = − 1 2 e−2x |+∞ 1 = − e−∞ 2 − e−2 2 = 1 2e2 . Ví dụ. Tính I = +∞ 4 dx x2 − 5x + 6 . Ta có I = +∞ 4 1 x2 − 5x + 6 dx = +∞ 4 1 x − 3 − 1 x − 2 dx = lim x→∞ ln x − 3 x − 2 −ln 4 − 3 4 − 2 = ln 2. Ngô Mạnh Tưởng 86
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 0 e−2x cos xdx. Đặt u = e−2x ⇒ du = −2e−2x dx dv = cos xdx ⇒ v = sin x ⇒ I = e−2x sin x +∞ 0 + 2 +∞ 0 e−2x sin xdx. Ta có lim x→+∞ (e−2x sin x) = 0 suy ra I = 2 +∞ 0 e−2x sin xdx. Đặt u = e−2x ⇒ du = −2e−2x dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x, suy ra I = −2 e−2x cos x +∞ 0 − 4 +∞ 0 e−2x cos xdx = 2 − 4I ⇒ I = 2 5 . Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 0 arctan x (1 + x2)3/2 dx. Đặt t = arctan x ⇒ dt = dx 1 + x2 , x = tan t ⇒ 1 + x2 = 1 cos2t . Đổi cận    x → 0 ⇒ t → 0 x → +∞ ⇒ t → π 2 Suy ra I = +∞ 0 arctan x (1 + x2)3/2 dx = +∞ 0 arctan x √ 1 + x2 dx 1 + x2 = π/2 0 t cos tdt = π 2 − 1. Ví dụ. Xét tích phân +∞ a 1 xα dx (a > 0). 1. Với α > 1, suy ra +∞ a 1 xα dx = 1 1 − α 1 xα−1 +∞ a = 1 (α − 1) aα−1 hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2. Với α < 1, suy ra +∞ a 1 xα dx = x1−α 1 − α +∞ a = +∞ nên tích phân phân kỳ. Ngô Mạnh Tưởng 87
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Với α = 1, suy ra +∞ a 1 x dx = ln |x||+∞ a = +∞ nên tích phân phân kỳ. Vậy tích phân I = +∞ a 1 xα dx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi α 1. d. Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 4.6.2. (Định lý so sách 1) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó 1. Nếu +∞ a g (x) dx hội tụ thì +∞ a f (x) dx hội tụ; 2. Nếu +∞ a f (x) dx phân kỳ thì +∞ a g (x) dx phân kỳ. Để khảo sát sự hội tụ của I = +∞ a f(x)dx thường so sánh với +∞ a dx xα đã biết kết quả. Chú ý. Trong định lý so sánh 1 1. f (x) , g (x) là các hàm số không âm; 2. Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f(x) g(x); 3. Cận dưới của tích phân +∞ a dx xα là số dương a > 0. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 dx 2x2 + sin2 3x . Ta có f(x) = 1 2x2 + sin2 3x 1 2x2 = g(x). Vì +∞ 1 dx 2x2 hội tụ, theo định lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 ln3 xdx x + 5 . Ta có f (x) = ln3 x x + 5 > 1 x + 5 > 1 2x = g (x) , ∀x > 5. Vì +∞ 1 dx 2x phân kỳ, theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ. Định lý 4.6.3. (Định lý so sách 2) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và lim x→+∞ f (x) g (x) = k. Khi đó • Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân +∞ a f (x) dx và +∞ a g (x) dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ; Ngô Mạnh Tưởng 88
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu k = 0 và tích phân +∞ a g (x) dx hội tụ thì tích phân +∞ a f (x) dx hội tụ; • k = +∞ và tích phân +∞ a g (x) dx phân kỳ thì tích phân +∞ a f (x) dx phân kỳ. Chú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1. Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm; 2. Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞; 3. Tính K = lim x→+∞ f(x) g(x) và kết luận. Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f(x) x→+∞ g(x) thì +∞ a f (x) dx và +∞ a g (x) dx cùng tính chất trên. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 √ x3dx 1 + x2 . Giải: Ta có lim x→+∞     √ x3 1 + x2 1 x     = +∞. Do +∞ 1 dx x phân kỳ, nên theo định lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ. Định nghĩa 4.6.3. Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó • Nếu +∞ a |f (x)| dx hội tụ thì +∞ a f (x) dx hội tụ và được gọi +∞ a f (x) dx hội tụ tuyệt đối; • Nếu +∞ a f (x) dx hội tụ nhưng +∞ a |f (x)| dx phân kỳ thì +∞ a f (x) dx được gọi là bán hội tụ. Chú ý. Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân +∞ a f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm +∞ a |f (x)| dx. Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 sin xdx x2 + ln 2x . Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá f(x) = sin x x2 + ln 2x 1 x2 + ln 2x x→+∞ 1 x2 = g(x), suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f(x) có dấu bất kỳ. Xét tích phân có hàm không âm J = +∞ 1 sin x x2 + ln 2x dx, ta có |f(x)| = sin x x2 + ln 2x 1 x2 + ln 2x x→+∞ 1 x2 . Ngô Mạnh Tưởng 89
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Do +∞ 1 1 x2 dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt đối. Chú ý. 1. Các tích phân a −∞ f (x) dx, +∞ −∞ f (x) dx cũng có kết quả tương tự. 2. Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng +∞ a f(x)dx khi tách có dạng vô định G(x)|+∞ a + H(x)|+∞ a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. 3. Với tích phân có hai điểm suy rộng +∞ −∞ f (x) dx khi tách ra thành các tích phân a −∞ f(x)dx + +∞ a f(x)dx chỉ cần một trong hai tích phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ. 4.6.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân) a. Định nghĩa Định nghĩa 4.6.4. Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f(x) nếu lim x→x0 f(x) = ∞. Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = b Khi đó b a f(x)dx := lim t→0 b−t a f(x)dx (0 < t < b − a) được gọi là tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b]. Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = a Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b] là b a f(x)dx := lim t→0 b a+t f(x)dx trong đó (0 < t < b − a). Ngô Mạnh Tưởng 90
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b] là b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx = lim t→0 c−t a f(x)dx + lim t→0 b c+t f(x)dx. Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. Nhận xét. 1. Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2. Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. 3. Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Ví dụ. Tính I = 0 −1 dx √ 1 − x2 . Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên I = 0 −1 dx √ 1 − x2 = lim ε→0 0 −1+ε dx √ 1 − x2 = lim ε→0 arcsin x |0 −1+ε = lim ε→0 (− arcsin (−1 + ε)) = π 2 . Ví dụ. Tính tích phân I = 3 0 dx x − 1 . Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên I = 1 0 dx x − 1 + 3 1 dx x − 1 = I1 + I2. Mặt khác do I1 = lim t→0 1−t 0 dx x − 1 = lim t→0 ln |x − 1| |1−t 0 = lim t→0 ln |t| = +∞. Vậy I phân kỳ. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = b a 1 (b − x)α dx (a < b, α > 0). Giải: Ta có x = b là điểm bất thường Ngô Mạnh Tưởng 91
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Với α = 1 ta có I = lim ε→0 b−ε a 1 (b − x)α dx = lim ε→0 (b − x)1−α α − 1 |b−ε a = = lim ε→0 1 α − 1 ε1−α + 1 1 − α (b − a)1−α =    +∞ khi α > 1 (b − a)1−α 1 − α khi α < 1. • Với α = 1 ta có b a 1 (b − x)α dx = b a 1 b − x dx = − lim ε→0 ln |b − x| |b−ε a = −∞. • Vậy I hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. Ví dụ. Tương tự tích phân I = b a 1 (x − a)α dx (a < b, α > 0) hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. b. Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 4.6.4. (Định lý so sách 1) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó 1. Nếu b a g (x) dx hội tụ thì b a f (x) dx hội tụ; 2. Nếu b a f (x) dx phân kỳ thì b a g (x) dx phân kỳ. Định lý 4.6.5. (Định lý so sách 2) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất và lim x→a+ f (x) g (x) = k. Khi đó • Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân b a f (x) dx và b a g (x) dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ; • Nếu k = 0 và tích phân b a g (x) dx hội tụ thì tích phân b a f (x) dx hội tụ; • k = +∞ và tích phân b a g (x) dx phân kỳ thì tích phân b a f (x) dx phân kỳ. Định nghĩa 4.6.5. Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó • Nếu b a |f (x)| dx hội tụ thì b a f (x) dx hội tụ và được gọi b a f (x) dx hội tụ tuyệt đối; Ngô Mạnh Tưởng 92
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu b a f (x) dx hội tụ nhưng b a |f (x)| dx phân kỳ thì b a f (x) dx được gọi là bán hội tụ. Tương tự với x = b là điểm bất thường duy nhất. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = 2 1 dx √ x2 − 1 . Giải: Ta có x = 1 là điểm bất thường và f(x) = 1 (x − 1)(x + 1) x→1+ 1 √ 2(x − 1)1/2 . Chọn g(x) = 1 (x − 1)1/2 ⇒ lim x→+∞ f(x) g(x) = 1 √ 2 hữu hạn khác 0, do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mặt khác tích phân 2 1 1 (x − 1)1/2 dx hội tụ, nên I hội tụ. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = 4 0 dx √ x − 2 . Giải: Ta có x = 4 là điểm bất thường và f(x) = 1 √ x − 2 = √ x + 2 x − 4 x→4− 4 (x − 4)1 . Chọn g (x) = 1 x − 4 ⇒ lim x→4 f (x) g (x) = lim x→4 x − 4 √ x − 2 = 4 hữu hạn khác 0, do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mặt khác tích phân 4 0 1 x − 4 dx phân kỳ nên I phân kỳ. 4.7. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 4.7.1. Ứng dụng tích phân không xác định a. Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gian. Xét lượng đầu tư I và quỹ vốn K là các biến phụ thuộc vào thời gian t I = I(t), K = K(t). Lượng đầu tư I tại thời điểm t chính là lượng bổ sung quỹ vốn tại thời điểm đó. Nói cách khác, I(t) là tốc độ tăng của K(t), do đó I(t) = K (t). Ngô Mạnh Tưởng 93
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta có thể xác định được quỹ vốn K(t) bởi công thức K (t) = I (t) dt. Hằng số C trong tích phân không xác định được xác định nếu ta biết quỹ vốn ban đầu K0 = K(0). Ví dụ. Giả sử lượng đầu tại thời điểm t được xác định dưới dạng hàm số I (t) = 140t0,75 và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) = 150. Quỹ vốn tại thời điểm t là K (t) = 140t 3 4 dt = 140. 4 7 t 7 4 + C. Tại thời điểm xuất phát K(0) = C = 150, do đó K (t) = 80 4 √ t7 + 150. b. Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên Giả sử biến kinh tế y mang ý nghĩa (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng số tiêu dùng, ...), được xác định theo giá trị của biến số x: y = f(x). Như ta đã biết đạo hàm y = f (x) là giá trị y cận biên của x (tại mỗi điểm x). Nếu biết được hàm giá trị cận biên y = f (x) = g(x) thì ta có thể xác định được hàm tổng y = f(x) thông qua phép tính tích phân y = f (x) = g (x) dx. Chú ý tích phân không xác định là tập hợp các nguyên hàm, nên để xác định được hàm tổng ta cần quan tâm đến các thông tin bổ sung. Ví dụ. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) ở mỗi mức sản lượng Q là MC = 25 − 30Q + 9Q2 và chi phí cố định (Fixed Cost) là FC = 55. Hàm tổng chi phí được xác định bởi công thức C = 25 − 30Q + 9Q2 dQ = 25Q − 15Q2 + 3Q3 + C0. Chi phí cố định là phần chi phí không phụ thuộc sản lượng Q, do đó FC = 55 = C (0) = C0 ⇒ C = 55 + 25Q − 15Q2 + 3Q3 . Ngô Mạnh Tưởng 94
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chi phí khả biến (Variable Cost) là phần chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q. Đó là hiệu số của tổng chi phí và chi phí cố định. Vậy V C = C − FC = 25Q − 15Q2 + 3Q3 . Ví dụ. Giả sử doanh thu cận biên (Marginal Revenue) ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số MR = 60 − 2Q − 2Q2 . Hãy xác định tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm. Hàm tổng doanh thu R là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên C = 60 − 2Q − 2Q2 dQ = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 + R0. Hiển nhiên là doanh thu bán hàng khi Q = 0 là R0 = 0. Vậy R = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 . Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p). Ta có R = p(Q)Q. Từ đây suy ra p (Q) = R Q = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 . Ví dụ. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) biểu diễn lượng tiêu dùng C theo mức thu nhập Y . Xu hướng tiêu dùng cận biên MPC (Marginal Propensity to consume) ở mức thu nhập Y là đạo hàm của hàm tiêu dùng MPC = C (Y ). Giả sử ở mỗi mức thu nhập Y ta xác định được MPC = 0, 6 + 0, 1 3 √ Y và mức tiêu dùng thiết yếu là 50. Hàm tiêu dùng được xác định như sau C = 0, 6 + 0, 1 3 √ Y dY = 0, 6Y + 0, 15 3 √ Y 2 + C0. Mức tiêu dùng thiết yếu là mức tiêu dùng kể cả khi không có thu nhập C0 = 50 khi Y = 0, khi đó hàm tiêu dùng là C = 0, 6Y + 0, 15 3 √ Y 2 + 50. Ngô Mạnh Tưởng 95
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.7.2. Ứng dụng tích phân xác định a. Tính xác suất Xét biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, gọi là biến ngẫu nhiêu. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị x0 nào đó được tính thông qua một hàm số gọi là hàm mật độ xác suất hay hàm xác suất. Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục x là một hàm số liên tục f(x) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. f (x) ≥ 0 (có xác suất là số không âm); 2. Nếu miền biến thiên của biến số x là đoạn [A; B] thì B A f (x) dx = 1; 3. Xác suất để x nhận giá trị trong đoạn [a; b] được tính bởi công thức P (a ≤ x ≤ b) = b a f (x) dx (A ≤ a ≤ b ≤ B) . Ví dụ. Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn (đo bằng phút). Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng được hàm tần suất f(t) = 4 81 t3 (0 ≤ t ≤ 3). Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng từ 1 đến 2 phút là p = 2 1 4 81 t3 dt = 1 81 t4 2 1 = 15 81 . b. Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Khái niệm hàm cung, hàm cầu và điểm cân bằng thị trường đã được trình bày ở chương 2. Thông qua mô hình thị trường người ta có thể đánh giá được lợi ích của thị trường đối với cả người mua và người bán. Trong mô hình thị trường, hàm cầu Qd = D(p) cho biết lượng hàng hóa Qd mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá p (Qd là lượng cầu của toàn bộ thị trường). Khi biểu diễn bằng đồ thị mối liên hệ giữa giá và lượng cầu, các nhà kinh tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá p và trục hoành biểu diễn lượng Q. Với cách biểu diễn như vậy thì đường cầu là đồ thị của hàm cầu đảo p = D−1 (Qd) (hàm ngược của hàm cầu Qd = D(p)). Giả sử điểm cân bằng thị trường là (p0, Q0) và hàng hóa được bán với giá p0 trên thị Ngô Mạnh Tưởng 96
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 4.1: trường. Khi đó những người mua lẽ ra bằng lòng trả giá p1 > p0 được hưởng một khoản lợi bằng p1 − p0 đối với mỗi đơn vị hàng hóa mua theo giá thị trường (đoạn FM trên hình vẽ). Tổng số hưởng lợi của tất cả những người tiêu dùng bằng diện tích của tam giác cong AEp0. Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của người tiêu dùng (Consumers’ Surplus). Thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức CS = Q0 0 D−1 (Q) dQ − p0Q0. Hàm cung Qs = S(p) của thị trường cho biết lượng hàng hóa Qs mà các nhà sản xuất bằng lòng bán ở mỗi mức giá p. Đường cung là đồ thị của hàm cung đảo p = S−1 (Qs). Nếu hàng hóa được bán trên thị trường ở mức giá cân bằng p0 thì những nhà sản xuất lẽ ra bằng lòng bán ở mức giá cân bằng p2 < p0 được hưởng một khoản lợi nhuận p0 − p2 đối với mỗi đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường (đoạn FN trên hình vẽ). Tổng số hưởng lợi của tất cả các nhà sản xuất bằng diện tích của tam giác cong BEp0. Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus). Thặng dư của nhà sản xuất được tính theo công thức PS = p0Q0 − Q0 0 S−1 (Q) dQ. 4.8. BÀI TẬP 4.8.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ Tính các tích phân sau: Ngô Mạnh Tưởng 97
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1. J = dx x ln x ln(ln x) . 2. J = x4+2x2 x2+1 dx. 3. J = x x2+3x+2 dx. 4. J = x2 x2+4x+5 dx. 5. J = x x3−8 dx. 6. J = x3+x+1 x4−81 dx. 7. J = 3x+2 x2+2x+10 dx. 8. J = dx (x2+a2)2 . 4.8.2. Tích phân của hàm số lượng giác Tính các tích phân sau: 1. J = 1 1+sin x+cos x dx. 2. J = 1 4 sin x+3 cos x+5 dx. 3. J = 1 (2−sin x)(3−sin x) dx. 4. J = dx sin x(2cos2x−1) . 5. J = x3 arctan xdx. 6. J = e5x cos 4xdx. 7. J = cos(ln x)dx. 8. J = xeax cos bxdx. 9. J = arcsin x√ x+1 dx. 10. J = cos4x sin3x dx. 11. J = sin3x 3√ cos2x dx. 12. J = dx a2sin2x+b2cos2x , (a, b = 0). 13. J = 3 sin x+2 cos x 2 sin x+3 cos x dx. 14. J = cot6 xdx. 4.8.3. Tích phân của hàm số vo tỷ 1. J = dx 1+ 3√ x+1 . 2. J = √ x 4√ x3+1 dx. 3. J = 1√ 2−3x−4x2 dx. 4. J = 3x+4√ −x2+6x−8 dx. 5. J = x+3√ 4x2+4x+3 dx. 6. J = 1 x √ 5x2−2x+1 dx. 7. J = a+x a−x dx (a > 0). 8. J = x+1+ 3 √ (x+1)2 + 6√ x+1 (x+1)(1+ 3√ x+1) dx. 9. J = dx x √ 1+x2 . 10. J = dx x2 √ x2−a2 . 11. J = x2dx√ a2−x2 . 12. J = 1 x2. √ a2+x2 dx. 13. J = 1 x2 . x−1 x+1 dx. 14. J = x2dx√ (x2+a2)3 . 15. J = ln( √ 1 − x + √ 1 + x)dx. 4.8.4. Tính tích phân xác định 1. Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: Ngô Mạnh Tưởng 98
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (a) I = π 2 0 4dx 3+5 cos x . (b) I = π/2 0 cos x√ 7+cos 2x dx. (c) I = π 2 0 cos3x cos3x+sin3x dx. (d) I = π/2 0 sin6x sin6x+cos6x dx. (e) I = π/4 0 cos 2x (sin x+cos x+2)3 dx. (f) I = ln 2 0 √ ex − 1dx. (g) I = √ 3 2 1 2 dx x √ 1−x2 . (h) I = √ 3 1 (x3+1) x2 √ 4−x2 dx. (i) I = a 0 x2 a−x a+x dx, a > 0. (j) I = 3 0 x 6−x dx. (k) I = 1 0 ln(1+x) 1+x2 dx. 2. Tính tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: (a) I = π 2 0 e5x sin 4xdx. (b) I = π 3 −π 3 x sin x cos2x dx. (c) I = 1 0 x arctan xdx. (d) I = π 2 0 x2 sin xdx. (e) I = 1 0 arctan √ xdx. (f) I = 1 0 x arctan x√ 1+x2 dx. (g) I = π 3 π 4 xdx sin2x . (h) I = 1 0 e−x ln(ex + 1)dx. 4.8.5. Tính tích phân suy rộng 1. Tính tích phân suy rộng loại 1: (a) I = +∞ 0 xe−x dx. (b) I = +∞ 0 x3 e−x2 dx. (c) I = +∞ 0 e− √ x dx. (d) I = +∞ 1 dx x √ x2+x+1 . (e) I = +∞ √ 2 dx x √ x2−1 . (f) I = +∞ 2 dx x2 √ x2−1 . (g) I = ∞ 1 x2−3 x(x+1)(x2+1) . 2. Tính tích phân suy rộng loại 2: (a) I = 2 0 √ x+2√ 2−x dx. (b) I = 2 0 dx√ |1−x2| . (c) I = 3 1 dx√ 4x−x2−3 . (d) I = 3 −3 x2 √ 9−x2 dx. (e) I = 1 0 x3 arcsin x√ 1−x2 dx. Ngô Mạnh Tưởng 99
Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (f) I = 2 0 x3 √ 4−x2 dx. 4.8.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1. Tích phân suy rộng loại 1: (a) I = +∞ 0 √ xe−x dx. (b) I = +∞ 1 ln(1+x2 ) x dx. (c) I = +∞ 4 dx x ln(ln x) . (d) I = +∞ 3 dx√ x(x−1)(x−2) . (e) I = +∞ 1 1 − cos 1 x dx. (f) I = +∞ 1 (−1)n cos nx x2 dx (n ∈ N). 2. Tích phân suy rộng loại 2: (a) I = 1 0 xndx√ 1−x4 (n ∈ N). (b) I = 1 0 sin 2x√ 1−x2 dx. Ngô Mạnh Tưởng 100
Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Thúy(2007), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 1, 2, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân. [2] Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương và nhóm tác giả (2016), Toán học cao cấp 1, NXB Đại học Thái Nguyên. [3] Trần Trọng Huệ (2001), Đại số tuyến tính và hình giải tích, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. [4] Lê Ngọc Lăng (2003), Bài tập và luyện tập Toán cao cấp, tập 1,2, NXB ĐHSP. [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Toán học cao cấp, Tập 1,2. NXB Giáo dục. [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Bài tập Toán học cao cấp, Tập 1,2. NXB Giáo dục. 101

More Related Content

PDF
Toán cao-cấp-1
byGia_Bang
 
DOCX
-Bài tập chương- TCDN.docx
byDuyMinh82
 
PDF
Bài Tập Thống Kê Doanh Nghiệp
bynataliej4
 
PDF
Bài tập Toán kinh tế
bytuongnm
 
PPT
Bài giảng thống kê (chương ii)
byHọc Huỳnh Bá
 
PDF
Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế
byngTonH1
 
PDF
ĐỀ THI TOÁN KINH TẾ CÁC NĂM.pdf
byssuser50d0bc
 
PDF
Mô hình hồi qui đa biến
byCẩm Thu Ninh
 
Toán cao-cấp-1
byGia_Bang
 
-Bài tập chương- TCDN.docx
byDuyMinh82
 
Bài Tập Thống Kê Doanh Nghiệp
bynataliej4
 
Bài tập Toán kinh tế
bytuongnm
 
Bài giảng thống kê (chương ii)
byHọc Huỳnh Bá
 
Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế
byngTonH1
 
ĐỀ THI TOÁN KINH TẾ CÁC NĂM.pdf
byssuser50d0bc
 
Mô hình hồi qui đa biến
byCẩm Thu Ninh
 

What's hot

PDF
Công thức Tài chính doanh nghiệp
byInternational Business Club
 
DOCX
Quản trị nhân sự là một khoa học đồng thời là một nghệ thuật
byHọc Huỳnh Bá
 
PDF
Mô hình hổi qui đơn biến
byCẩm Thu Ninh
 
DOC
Trac nghiem tai_chinh_tien_te_full_6537
byHong Chau Phung
 
PPT
tiết kiệm, đầu tư và hệ thống tài chính
byLyLy Tran
 
DOCX
Nâng cao hiệu quả sử dụng hàng hóa công cộng
bygamaham3
 
PPT
Tăng trưởng kinh tế
byLyLy Tran
 
DOC
Quản trị học - Ra quyết định quản trị
byHan Nguyen
 
PDF
Nguyên lý thống kê chương 7
byHọc Huỳnh Bá
 
DOC
Bai giang kinh te vĩ mo (2)
byGia Đình Ken
 
DOCX
đáP án ktvm
byluuthaianhoa
 
DOC
Bai tap nguyen ly thong ke
byquynhtrang2723
 
DOCX
Chiến lược đa dạng hóa của công ty Vinamilk_Tình huống số5
byThùy Dung Hoàng
 
DOC
Quản trị sản xuất (Full version)
byLe Nguyen Truong Giang
 
DOC
163 câu trắc nghiệm tài chính tiền tệ
bylehaiau
 
DOCX
Chiến lược giá của vinamilk
byndthien23
 
DOC
Bài tập kế toán doanh nghiệp có lời giải đáp án
byÁc Quỷ Lộng Hành
 
DOC
Bài tập nguyên lý thống kê có đáp án (1)
byRain Snow
 
PPTX
Cơ cấu vốn tối ưu của doanh nghiệp
byPhan Ngoc
 
PDF
Lý thuyết danh mục đầu tư
bymaianhbang
 
Công thức Tài chính doanh nghiệp
byInternational Business Club
 
Quản trị nhân sự là một khoa học đồng thời là một nghệ thuật
byHọc Huỳnh Bá
 
Mô hình hổi qui đơn biến
byCẩm Thu Ninh
 
Trac nghiem tai_chinh_tien_te_full_6537
byHong Chau Phung
 
tiết kiệm, đầu tư và hệ thống tài chính
byLyLy Tran
 
Nâng cao hiệu quả sử dụng hàng hóa công cộng
bygamaham3
 
Tăng trưởng kinh tế
byLyLy Tran
 
Quản trị học - Ra quyết định quản trị
byHan Nguyen
 
Nguyên lý thống kê chương 7
byHọc Huỳnh Bá
 
Bai giang kinh te vĩ mo (2)
byGia Đình Ken
 
đáP án ktvm
byluuthaianhoa
 
Bai tap nguyen ly thong ke
byquynhtrang2723
 
Chiến lược đa dạng hóa của công ty Vinamilk_Tình huống số5
byThùy Dung Hoàng
 
Quản trị sản xuất (Full version)
byLe Nguyen Truong Giang
 
163 câu trắc nghiệm tài chính tiền tệ
bylehaiau
 
Chiến lược giá của vinamilk
byndthien23
 
Bài tập kế toán doanh nghiệp có lời giải đáp án
byÁc Quỷ Lộng Hành
 
Bài tập nguyên lý thống kê có đáp án (1)
byRain Snow
 
Cơ cấu vốn tối ưu của doanh nghiệp
byPhan Ngoc
 
Lý thuyết danh mục đầu tư
bymaianhbang
 

Similar to Bài giảng Toán kinh tế

PDF
OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN V...
byMan_Ebook
 
PDF
Bai giang toan kinh te 2015
byICTU
 
PDF
Toan a2
byChienbinhrong Bj
 
PDF
12 chuyên đề luyện thi Đại Học môn Toán
bytuituhoc
 
PDF
Luận văn: Một số phương pháp giải phương trình hàm, HOT, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PDF
Luận văn: Một số phương pháp giải phương trình hàm, HOT, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PDF
Hình học Oxy
byNguyễn Quang Nghĩa
 
PDF
Chuyên đề LTĐH
byAdagio Huynh
 
PDF
Chuyen de-luyen-thi-dh-2012
byHuynh ICT
 
PDF
Cơ sở toán cho Machine Learning _ DHQGHN
byvucarot2023
 
PDF
Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PDF
Luận văn: Một số lớp bài toán về loại phương trình hàm, HAY - Gửi miễn phí qu...
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PDF
Dethidaihoc 0266
byNguyen Thao Pham Nguyen
 
PDF
Đề thi đại học môn Toán theo chủ đề từ 2002 đến 2012
bySummer Song
 
PDF
[Www.toan capba.net] chuyen-de-luyen-thi-dh-2012-tran-anh-tuan
bytrongphuckhtn
 
PDF
bộ 3 câu hỏi khó phân loại trong đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán​ năm 2015
byLinh Nguyễn
 
PDF
3 câu thi thử;
bynam nam
 
PPTX
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - MA TRẬN - ĐỊNH THỨCNhóm 3.pptx
bynguyenthuylinh601678
 
PDF
Luận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
PDF
Chuyen de toan on thi vao 10
byndphuc910
 
OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN V...
byMan_Ebook
 
Bai giang toan kinh te 2015
byICTU
 
Toan a2
byChienbinhrong Bj
 
12 chuyên đề luyện thi Đại Học môn Toán
bytuituhoc
 
Luận văn: Một số phương pháp giải phương trình hàm, HOT, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Luận văn: Một số phương pháp giải phương trình hàm, HOT, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Hình học Oxy
byNguyễn Quang Nghĩa
 
Chuyên đề LTĐH
byAdagio Huynh
 
Chuyen de-luyen-thi-dh-2012
byHuynh ICT
 
Cơ sở toán cho Machine Learning _ DHQGHN
byvucarot2023
 
Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Luận văn: Một số lớp bài toán về loại phương trình hàm, HAY - Gửi miễn phí qu...
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Dethidaihoc 0266
byNguyen Thao Pham Nguyen
 
Đề thi đại học môn Toán theo chủ đề từ 2002 đến 2012
bySummer Song
 
[Www.toan capba.net] chuyen-de-luyen-thi-dh-2012-tran-anh-tuan
bytrongphuckhtn
 
bộ 3 câu hỏi khó phân loại trong đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán​ năm 2015
byLinh Nguyễn
 
3 câu thi thử;
bynam nam
 
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - MA TRẬN - ĐỊNH THỨCNhóm 3.pptx
bynguyenthuylinh601678
 
Luận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Chuyen de toan on thi vao 10
byndphuc910
 

More from tuongnm

PDF
Dethamkhao toan kte3_5
bytuongnm
 
PDF
Dapan dethamkhao toan_kte3_5
bytuongnm
 
PDF
Dapan dethamkhao toan_kte1_2
bytuongnm
 
PDF
Dethamkhao toan kte
bytuongnm
 
DOC
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
bytuongnm
 
PDF
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
bytuongnm
 
PDF
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
bytuongnm
 
PDF
Ky2 toan kinhte tmdt
bytuongnm
 
PDF
Ky2 toan kinhte htttql
bytuongnm
 
PDF
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
bytuongnm
 
PDF
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
bytuongnm
 
PDF
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
bytuongnm
 
PDF
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
bytuongnm
 
PDF
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
bytuongnm
 
PDF
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
bytuongnm
 
PDF
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
bytuongnm
 
PDF
Lịch dạy Toán cao cấp 2
bytuongnm
 
PDF
Lịchday ky2 n m tuong.26.02
bytuongnm
 
PDF
Toan3 k11qtvp bangdiemthuongxuyen
bytuongnm
 
PDF
Toan3 k11n01 bangdiemthuongxuyen
bytuongnm
 
Dethamkhao toan kte3_5
bytuongnm
 
Dapan dethamkhao toan_kte3_5
bytuongnm
 
Dapan dethamkhao toan_kte1_2
bytuongnm
 
Dethamkhao toan kte
bytuongnm
 
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
bytuongnm
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
bytuongnm
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
bytuongnm
 
Ky2 toan kinhte tmdt
bytuongnm
 
Ky2 toan kinhte htttql
bytuongnm
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
bytuongnm
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
bytuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
bytuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
bytuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
bytuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
bytuongnm
 
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
bytuongnm
 
Lịch dạy Toán cao cấp 2
bytuongnm
 
Lịchday ky2 n m tuong.26.02
bytuongnm
 
Toan3 k11qtvp bangdiemthuongxuyen
bytuongnm
 
Toan3 k11n01 bangdiemthuongxuyen
bytuongnm
 

Recently uploaded

PDF
Trường Anh ngữ IMS Brochure (VN) 2026.pdf
byDu học MICE - Du học tiếng Anh
 
PDF
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG ANH LỚP 9 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025-2026 (THEO CHƯƠ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
DOCX
LỊCH CÔNG TÁC TUẦN 18 (Từ ngày 05/01/2026 đến 11/01/2026)
byQucnh13
 
PPTX
Chương 6 Các phương tiện thanh toán quốc tế [Autosaved].pptx
byesmeraldanelson519
 
PDF
HSK 1 – Lesson 1 | Chinese for Beginners
byHannah
 
PDF
20 ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TIẾNG ANH - HỒ CHÍ MINH ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
DOCX
Tính kế thừa của ý thức xã hội trong quá trình phát triển và sự vận dụng của ...
bylamluanvan.net Hỗ trợ viết luận văn
 
DOCX
NHẬT KÝ THỰC TẬP NGÀNH LUẬT tại công ty - Định Hướng Nghề Nghiệp 1 Ngành Luật...
byViết thuê báo cáo thực tập giá rẻ
 
PPTX
AN TOAN LAO DONG NGUYEN THI THANH NHAN NHOM 4.pptx
bycuongdd223
 
PPTX
nguyễn phan mỹ hảo An toan ve sinh LAO DONG NHOM 3.pptx
bycuongdd223
 
PDF
BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI PHẦN TIẾNG ANH - ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HSA NĂM 2026 - Đ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PPT
BÀI I - PHẦN II LSĐ.pptaaaaaaaaaaaaaaaaaa
bynguyenhuuloc9975448
 
PDF
BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI PHẦN TIẾNG ANH - ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC V-ACT NĂM 2026 -...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PPTX
mỹ hảo nguyễn PHAN An toan ve sinh LAO DONG.pptx
bycuongdd223
 
PDF
20 ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TIẾNG ANH - HỒ CHÍ MINH ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PDF
Sổ tay nghiệp vụ kiểm tra xuất xứ hàng hóa.pdf
byDoan Tran Ngocvu
 
PPTX
mỹ hảo nguyễn PHAN An toan ve sinh LAO DONG NHOM 3.pptx
bycuongdd223
 
PDF
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG ANH LỚP 9 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025-2026 (THEO CHƯƠ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PDF
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SINH HỌC LỚP 12 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025 - 2026 - CÓ LỜI...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PPTX
AN TOAN LAO DONG NGUYEN THANH NHAN NHOM 4.pptx
bycuongdd223
 
Trường Anh ngữ IMS Brochure (VN) 2026.pdf
byDu học MICE - Du học tiếng Anh
 
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG ANH LỚP 9 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025-2026 (THEO CHƯƠ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
LỊCH CÔNG TÁC TUẦN 18 (Từ ngày 05/01/2026 đến 11/01/2026)
byQucnh13
 
Chương 6 Các phương tiện thanh toán quốc tế [Autosaved].pptx
byesmeraldanelson519
 
HSK 1 – Lesson 1 | Chinese for Beginners
byHannah
 
20 ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TIẾNG ANH - HỒ CHÍ MINH ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
Tính kế thừa của ý thức xã hội trong quá trình phát triển và sự vận dụng của ...
bylamluanvan.net Hỗ trợ viết luận văn
 
NHẬT KÝ THỰC TẬP NGÀNH LUẬT tại công ty - Định Hướng Nghề Nghiệp 1 Ngành Luật...
byViết thuê báo cáo thực tập giá rẻ
 
AN TOAN LAO DONG NGUYEN THI THANH NHAN NHOM 4.pptx
bycuongdd223
 
nguyễn phan mỹ hảo An toan ve sinh LAO DONG NHOM 3.pptx
bycuongdd223
 
BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI PHẦN TIẾNG ANH - ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HSA NĂM 2026 - Đ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI I - PHẦN II LSĐ.pptaaaaaaaaaaaaaaaaaa
bynguyenhuuloc9975448
 
BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI PHẦN TIẾNG ANH - ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC V-ACT NĂM 2026 -...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
mỹ hảo nguyễn PHAN An toan ve sinh LAO DONG.pptx
bycuongdd223
 
20 ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TIẾNG ANH - HỒ CHÍ MINH ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
Sổ tay nghiệp vụ kiểm tra xuất xứ hàng hóa.pdf
byDoan Tran Ngocvu
 
mỹ hảo nguyễn PHAN An toan ve sinh LAO DONG NHOM 3.pptx
bycuongdd223
 
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG ANH LỚP 9 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025-2026 (THEO CHƯƠ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
30 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SINH HỌC LỚP 12 CÁC TỈNH NĂM HỌC 2025 - 2026 - CÓ LỜI...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
AN TOAN LAO DONG NGUYEN THANH NHAN NHOM 4.pptx
bycuongdd223
 

Bài giảng Toán kinh tế

  • 1.
    TRƯỜNG ĐẠI HỌCCÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ——————————————– NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHO TIN HỌC KINH TẾ Thái Nguyên tháng 8 năm 2017
  • 2.
    Mục lục Chương 1.Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các phép toán trên ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Định nghĩa định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1. Định nghĩa hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.4. Phương pháp Gauss (khử dần ẩn số). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1. Phép toán trên ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.2. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.3. Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.6. Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7.7. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.Hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.4. Các hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5. Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.6. Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.7. Hàm cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.Giới hạn của dạy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3. Giới hạn vô cùng của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 i
  • 3.
    ii MỤC LỤC 2.3.Giớihạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Giới hạn các phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.4. Lượng vô cùng bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.5. Lượng Vô cùng lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2. Phân loại điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.3. Tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2. Hàm sản xuất ngắn hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7.2. Tính liên tục của các hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . 53 3.1.Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2. Đạo hàm các phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.3. Bảng đạo hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.4. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.5. Đạo hàm của hàm hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.6. Đạo hàm của hàm ngược. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.7. Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.8. Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.9. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.Vi phân của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.3. Ứng dụng vi phân tính gần đúng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.4. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.5. Vi phân cấp cao của hàm hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1. Các định lý về hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2. Quy tắc Lopitan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3. Khai triển Taylor, Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4. Bài toán khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
  • 4.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.4.Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5.1. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.3. Tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.4. Ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 4. TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.Nguyên hàm và tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.1. Nguyên hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.2. Tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.3. Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.Phương pháp tính tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.Phép tính nguyên hàm của một số hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.1. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.2. Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4.Tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.1. Bài toán diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5.Hai phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Cận lấy tích phân là vô hạn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.7.1. Ứng dụng tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.7.2. Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.8.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.8.2. Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.3. Tích phân của hàm số vo tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.4. Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.8.5. Tính tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.8.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Ngô Mạnh Tưởng iii
  • 5.
    Chương 1 Ma trận,định thức, hệ phương trình tuyến tính Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về ma trận; định thức của ma trận vuông, ma trận nghịch đảo của ma trận vuông, hạng của ma trận. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính; hệ Crame, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cũng như cách giải các hệ phương trình này. Giới thiệu một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế. 1.1. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . 19 1.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Ma trận 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Ma trận cấp m × n là một bảng m × n số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      hoặc viết tắt A = [aij]m×n, (1.1.1) trong đó aij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , m, là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A. • Ma trận hàng: Là ma trận chỉ có một hàng và n cột, ký hiệu là A = a11 a12 . . . a1n = [a1j]1×n, j = 1, 2, . . . , n.
  • 6.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Ma trận cột: Là ma trận có m hàng và chỉ có một cột, ký hiệu là A =      a11 a21 ... am1      = [ai1]m×1, i = 1, 2, . . . , m. • Ma trận chuyển vị: Xét ma trận A = [aij]m×n. Đổi hàng thành cột và cột thành hàng của ma trận A ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là At . Vậy At = [aji]n×m. • Ma trận vuông cấp n: Là ma trận có số hàng bằng số cột bằng n, ký hiệu là A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      = [aij]n×n. Các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. • Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau, tức là aij = aji, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. • Ma trận chéo: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không, tức là aij = 0, i = j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. • Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, ký hiệu là In. • Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông thỏa mãn aij = 0, i > j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n hay A =      a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... ... ... 0 0 · · · ann      . • Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông thỏa mãn aij = 0, i < j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n hay A =      a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      . • Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không, ký hiệu O. Ngô Mạnh Tưởng 2
  • 7.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau. Các ví dụ: • Ma trận A = 1 2 3 0 5 4 ; ma trận chuyển vị At =   1 0 2 5 3 4  ; • Ma trận vuông cấp 3: B =   5 −1 0 3 8 2 0 6 4  ; • Ma trận chéo: C =   1 0 0 0 4 0 0 0 −2  ; • Ma trận đối xứng: D =   1 0 5 0 3 7 5 7 2  ; • Ma trận đơn vị cấp 3: I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  . 1.1.2. Các phép toán trên ma trận a. Phép cộng hai ma trận cùng cấp Cho hai ma trận cùng cấp A = [aij]m×n; B = [bij]m×n. Ma trận tổng C = A + B = [cij]m×n; trong đó cij = aij + bij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. b. Phép nhân một ma trận với một số Cho ma trận A = [aij]m×n và số thực k. Ma trận k.A = [k.aij]m×n, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Ví dụ. A = 1 2 3 0 5 4 ; B = 2 0 −4 3 −5 2 . Ta có: A + B = 3 2 −1 3 0 6 ; 2A = 2 4 6 0 10 8 . Ngô Mạnh Tưởng 3
  • 8.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế c. Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột Giả sử u là ma trận cấp 1 × n, v là ma trận cấp n × 1, u = u1 u2 ... un , v =      v1 v2 ... vn      . Tích của u và v được xác định: u · v = u1.v1 + u2.v2 + · · · + un.vn. Điều kiện để thực hiện phép nhân hai ma trận: Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phải bằng số hàng của B. d. Phép nhân hai ma trận Cho A = [aik]m×p là ma trận cấp m × p, B = [bkj]p×n là ma trận cấp p × n. Ma trận tích C = A.B = [cij]m×n là ma trận cấp m × n, trong đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A) x (Cột j của B) cij = ai1.b1j + ai2.b2j + · · · + aip.bpj, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Ví dụ. Cho các ma trận A = 3 1 4 2 0 5 ; B =   1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1   ; Tìm ma trận tích C = A.B C sẽ là ma trận cấp 2x4 với các phần tử được xác định: c11 = 3 × 1 + 1 × 1 + 4 × 0 = 4; c12 = 3 × 3 + 1 × 1 + 4 × 0 = 10; c13 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c14 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c21 = 2 × 1 + 0 × 1 + 5 × 0 = 2; c22 = 2 × 3 + 0 × 1 + 5 × 0 = 6; c23 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5; c24 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5. hay A.B = 3.1 + 1.1 + 4.0 3.3 + 1.1 + 4.0 3.0 + 1.0 + 4.1 3.0 + 1.0 + 4.1 2.1 + 0.1 + 5.0 2.3 + 0.1 + 5.0 2.0 + 0.0 + 5.1 2.0 + 0.0 + 5.1 = 4 10 4 4 2 6 5 5 . Vậy ma trận tích C = 4 10 4 4 2 6 5 5 . Ngô Mạnh Tưởng 4
  • 9.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận cấp m×p, B là ma trận loại p×q, C là ma trận cấp q×n thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C) = (A.B).C; • Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán; • Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , Bt cũng thỏa mãn điều kiện nhân và ta có (A.B)t = Bt .At ; • Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0; • Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân với ma trận vuông A cùng cấp ta luôn có I.A = A.I = A. 1.2. Định thức 1.2.1. Định nghĩa định thức • Cho A = [aij]n×n là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|. • Ký hiệu Aij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j của ma trận A, được gọi là định thức con của A. • Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j · Aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.2.1. Tính định thức bằng quy nạp 1. Với k = 1, A = [a11] suy ra |A| = a11. 2. Với k = 2, A = a11 a12 a21 a22 suy ra |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12. 3. Với k = 3, A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   suy ra |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13. Ngô Mạnh Tưởng 5
  • 10.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Với k = n, A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      suy ra |A| = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n. Trường hợp n = 3 có thể tính trực tiếp |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12. Cách nhớ Hình 1.1: Cách tính định thức cấp 3 Ví dụ. Tính định thức D = 3 1 5 −1 2 1 −2 4 3 . Giải. D = 3A11 + 1A12 + 5A13, A11 = (−1)1+1 2 4 1 3 = 2; A12 = (−1)1+2 −1 1 −2 3 = 1; A13 = (−1)1+3 −1 2 −2 4 = 0; A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7. Cách 2: Tính trực tiếp D = 3 1 5 −1 2 1 −2 4 3 = 3.2.3 + 1.1.(−2) + 5.(−1).4 − (−2).2.5 − 4.1.3 − 3. (−1) .1 = 7. Ngô Mạnh Tưởng 6
  • 11.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.2.2. Tính chất của định thức Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1, A2, . . . , An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1, A2, . . . , An) . 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B); 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có thể phân tích định thức thành tổng hai định thức D A1, . . . , A1 j + A2 j , . . . , An = D A1, . . . , A1 j , . . . , An + D A1, . . . , A2 j , . . . , An ; 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột ra ngoài dấu định thức D (A1, . . . , kAj, . . . , An) = kD (A1, . . . , Aj, . . . , An) ; 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu D (A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = −D (A1, . . . , Aj, . . . , Ai, . . . , An) ; 5. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không; 6. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức bằng không; 7. Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức không đổi D A1, ..., Aj + αιAi, ..., An = D (A1, ..., Aj, ..., An) . 8. det (At ) = det (A). Các tính chất đã phát biểu trên cột cũng đúng trên hàng. Ví dụ. Tính 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 . Ngô Mạnh Tưởng 7
  • 12.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải: Áp dụng tính chất ta có 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 h1↔h2 = − −1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 h2+2h1 = h3−h1 h4−h3 − −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 −1 3 0 1 0 0 −5 1 −2 0 −1 −2 0 0 h3+h2 = h5−h3 − −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 −5 1 −2 0 0 −5 0 −1 6h4+5h3 = h5−h4 −1 6 −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 0 21 3 0 0 0 −1 1 = 21h5−h4 −1 6 . 1 21 −1 0 1 1 1 0 1 3 3 2 0 0 6 3 3 0 0 0 21 3 0 0 0 0 24 = −1 6 . 1 21 . (−1) .1.6.21.24 = 24. 1.3. Ma trận nghịch đảo 1.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấp sao cho A · B = B · A = I. Khi đó ta nói ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1 . 1.3.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý 1.3.1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là det(A) = 0 và A−1 = 1 det (A) Ct = 1 det (A)      C11 C21 · · · Cn1 C12 C22 · · · Cn2 ... ... ... ... C1n C2n · · · Cnn      , trong đó Cij = (−1)i+j det (Mij) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, với Mij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n được suy ra từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j, ma trận Ct được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A khả nghịch, khi đó tồn tại ma trận A−1 để: A·A−1 = I. Theo định lý về định thức của tích hai ma trận ta có: det(A.A−1 ) = det A. det(A−1 ) = det(I) = 1 = 0; suy ra det(A) = 0. Ngô Mạnh Tưởng 8
  • 13.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Điều kiện đủ: Giả sử det A = 0, do ak1Ci1 + ak2Ci2 + · · · + aknCin = det (A) khi k = i 0 khi k = i nên ta có ACt =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann           C11 C21 · · · Cn1 C12 C22 · · · Cn2 ... ... ... ... C1n C2n · · · Cnn      =      det (A) 0 · · · 0 0 det (A) · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · det (A)      . Mặt khác do a1kC1j + a2kC2j + · · · + ankCnj = det (A) khi k = j 0 khi k = j nên ta cũng có Ct A =      det (A) 0 · · · 0 0 det (A) · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · det (A)      . Vậy ta có 1 det (A) ACt = 1 det (A) Ct A =      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 1      = I. Theo định nghĩa suy ra A khả nghịch. Các bước tìm ma trận nghịch đảo 1. Tính det(A). • Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch. • Nếu det(A) = 0 thì A khả nghịch và thực hiện bước 2. 2. Tìm các phần bù đại số Cij = (−1)i+j det (Mij) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n của phần tử aij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, suy ra ma trận phụ hợp Ct . 3. Kết luận A−1 = 1 det (A) Ct . Ví dụ. Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo. A =   1 2 −1 3 0 2 4 −2 5   . Ngô Mạnh Tưởng 9
  • 14.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ta có: det (A) = 1 2 −1 3 0 2 4 −2 5 = −4. Tìm các phần bù đại số C11 = (−1)1+1 0 2 −2 5 = 4, C12 = (−1)1+2 3 2 4 5 = −7, C13 = (−1)1+3 3 0 4 −2 = −6, C21 = (−1)2+1 2 −1 −2 5 = −8, C22 = (−1)2+2 1 −1 4 5 = 9, C23 = (−1)2+3 1 2 4 −2 = 10, C31 = (−1)3+1 2 −1 0 2 = 4, C32 = (−1)3+2 1 −1 3 2 = −5, C33 = (−1)3+3 1 2 3 0 = −6. Ta được ma trận phụ hợp: Ct =   4 −8 4 −7 9 −5 −6 10 −6   . Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: A−1 = 1 det (A) Ct = − 1 4   4 −8 4 −7 9 −5 −6 −10 −6   . Ví dụ. Ma trận B =   1 1 1 1 2 −1 1 0 3   . Ta có det(B) = 0 nên không khả nghịch. 1.4. Hạng của ma trận 1.4.1. Định nghĩa hạng của ma trận • Cho A là ma trận cấp m × n. Nếu lấy ra k hàng và k cột thì các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy ra đó lập nên một ma trận vuông cấp k. • Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con cấp k trích từ ma trận A. Định nghĩa 1.4.1. Cấp của ma trận con vuông lớn nhất có định thức khác không của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu là r(A) hay rank(A). Ví dụ. Tìm hạng của các ma trận sau: A = 1 2 7 2 4 −1 , B =     1 2 −3 −1 −2 3 4 8 −12 0 0 0     . Ngô Mạnh Tưởng 10
  • 15.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải • Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có: 1 7 2 −1 = −15 = 0. Vậy r(A) = 2 • det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằng không. Vậy r(B) = 1. 1.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1. Phép chuyển vị ma trận; 2. Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột; 3. Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không; 4. Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng cột khác; 5. Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không; 6. Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác. Dùng các tính chất đã biết của định thức ta có thể chứng tỏ được rằng: thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận. Để tìm hạng của ma trận A cấp m × n ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng ma trận hình thang. Khi đó hạng của ma trận A bằng số hàng khác không. Thật vậy, ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng            a11 a12 ... a1r ... a1n 0 a22 ... a2r ... a2n .. .. ... .. ... .. 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ar r 0 ... ... ... ... ar n 0 ... 0 0 ... 0 ... 0            . Khi đó ma trận con     a11 a12 .. a1r 0 a22 .. a2r .. .. .. .. 0 0 .. arr     Ngô Mạnh Tưởng 11
  • 16.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế là ma trận tam giác có định thức bằng tích các phần tử năm trên đường chéo chính nên nó khác không. Các định thức con có cấp lớn hơn r đều có một hàng bằng không nên nó bằng không. Vậy ma trận r(A) = r. Ví dụ. Tìm hạng của ma trận, A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     . Ta có A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     h2−2h1 −−−−→ h3+4h1 h4+1h1     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 9 10 −1 0 8 5 2     h3+9h2 −−−−→ h4+8h2     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 −35 26     h4−h3 −−−→     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 0 0    , suy ra r(A) = 3. 1.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1.5.1. Một số khái niệm • Hệ phương trình tuyến tính là hệ m phương trình n ẩn có dạng    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn, (1.5.1) trong đó các số thực aij, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n là các hệ số của n ẩn xi, i = 1, 2, ..., n, các số bi = 1, 2, ..., n là các số hạng tự do. • Nghiệm của hệ (1.5.1) là một bộ n số thực (x1, x2, ..., xn) thoả mãn mọi phương trình của hệ. Hệ (1.5.1) được gọi là tương thích nếu nó có ít nhất một nghiệm. Ngô Mạnh Tưởng 12
  • 17.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Hệ (1.5.1) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B trong đó A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      ; X =         x1 x2 ... xn         , B =         b1 b2 ... bn         A được gọi là ma trận các hệ số của hệ phương trình, hạng của ma trận A được gọi là hạng của hệ phương trình (1.5.1). 1.5.2. Hệ Cramer a. Định nghĩa Định nghĩa 1.5.1. Xét hệ n phương trình tuyến tính n ẩn:    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + · · · + annx = bn, (1.5.2) trong đó các số thực aij, i = 1, ..., n, j = 1, ..., n là các hệ số của n ẩn xi, i = 1, ..., n, các số bi, i = 1, ..., n là các số hạng tự do. Hệ (1.5.2) được gọi là hệ Cramer nếu định thức của ma trận các hệ số của ẩn khác không, tức là D = det (A) = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann = 0. b. Quy tắc Cramer Định lý 1.5.1. Hệ phương trình (1.5.2) có nghiệm duy nhất (x1, x2, ..., xn) được xác định bởi công thức xj = Dj D ; j = 1, 2, ..., n, trong đó D là định thức của ma trận các hệ số của ẩn và Dj, j = 1, 2, ..., n, là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j bằng cột hệ số tự do; tức là thay cột Aj bởi cột B; Dj = a11 · · · a1j−1 b1 a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 b2 a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 bn anj+1 · · · ann Ngô Mạnh Tưởng 13
  • 18.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chứng minh. Viết phương trình (1.5.2) dưới dạng ma trận AX = B. Do detA = 0 nên A có ma trận nghịch đảo A−1 . Nhân A−1 vào hai vế của phương trình trên ta được X = A−1 B. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x1, x2, ..., xn) . Thay bi = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn ta được Dj = a11 · · · a1j−1 a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 an1x1 + an2x2 + · · · + annxn anj+1 · · · ann . Do tính chất của định thức nên ta có Dj = x1 a11 · · · a1j−1 a11 a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a21 a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 an1 anj+1 · · · ann + + · · · + xj a11 · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a2j a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann +... + xn a11 · · · a1j−1 a1n a1j+1 · · · a1n a21 · · · a2j−1 a2n a2j+1 · · · a2n ... · · · ... ... ... ... ... an1 · · · anj−1 ann anj+1 · · · ann . Định thức thứ j ở vế phải bằng D còn các định thức khác bằng 0 nên ta có Dj = xjD. Vậy xj = Dj D ; j = 1, 2, ..., n. Chú ý. Đối với hệ Cramer ta có thể sử dụng một trong hai cách giải: Cách 1: Sử dụng ma trận nghịch đảo. Cách 2: Sử dụng công thức Cramer. Ví dụ. Giải hệ phương trình    x1 + x2 + x3 = 6 2x1 − x2 + x3 = 3 x1 − x2 + 2x3 = 5. Ta có D = 1 1 1 2 −1 1 1 −1 2 = −5 = 0 do đó hệ phương trình là hệ Cramer. Áp dụng quy tắc Cramer ta được D1 = 6 1 1 3 −1 1 5 −1 2 = −5; D2 = 1 6 1 2 3 1 1 5 2 = −10; D3 = 1 1 6 2 −1 3 1 −1 5 = −15. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1 = D1 D = 1; x2 = D2 D = 2; x3 = D3 D = 3. Ngô Mạnh Tưởng 14
  • 19.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.5.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý 1.5.2. (Định lý Kronecker-Capelli (Điều kiện tương thích)) Hệ (1.5.1) là có nghiệm (hay tương thích) khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng A , trong đó A =     a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn bm     . Chứng minh. Thật vậy, bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng và bằng cách đánh số lại các ẩn, tức là đổi chỗ các cột ta đưa ma trận A về dạng bậc thang :              a11 a12 · · · a1r a1r+1 · · · a1n b1 a22 · · · a2r a2r+1 · · · a2n b2 ... ... · · · ... arr arr+1 · · · arn br 0 · · · 0 br+1 0 bm              trong đó r min {m, n}. Khi đó ta có • Nếu r A = r (A) = n thì hệ là hệ có nghiệm duy nhất; • Nếu r A = r (A) = r < n thì hệ có vô số nghiệm, với n − r ẩn tự do; • Nếu r A = r (A) r A > r (A) thì hệ vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi r A = r (A). Chú ý. Từ định lý Kronecker-Capelli ta có kết quả sau: 1. Nếu r (A) < r A thì hệ vô nghiệm; 2. Nếu r (A) = r A = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất; 3. Nếu r (A) = r A = r < n thì hệ vô số nghiệm (phụ thuộc và n − r tham số). 1.5.4. Phương pháp Gauss (khử dần ẩn số) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau lên phương trình của hệ ta được một hệ mới tương đương: Ngô Mạnh Tưởng 15
  • 20.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Đổi chỗ hai phương trình; • Nhân, chia một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình; • Cộng vào một phương trình tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác. Các phép biến đổi tương đương trên chính là các phép biến đổi sơ cấp theo hàng, biến đổi ma trận mở rộng A của hệ phương trình (1.5.1) thành ma trận bậc thang              a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... ... ... ... · · · 0 arr · · · arn ... 0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 0 · · · 0 b1 b2 ... br br+1 ... bm            . Nếu tồn tại i > r để bi = 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu bi = 0 khi i > r, từ r dòng đầu tiên của ma trận trên ta luôn được một định con dạng chéo cấp r khác 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử a11, ..., arr = 0 thì hệ (1.5.1) tương đương với hệ sau:    a11x1 + a12x2 + ... + a1rxr + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2rxr + ... + a2nxn = b2 ... arrxr + ... + arnxn = br. Để giải hệ này ta chuyển ta chuyển các số hạng chứa các xi với i > r qua vế phải (các ẩn này được gọi là các ẩn tự do). Từ phương trình cuối, tính được xr (qua các ẩn tự do). Thay xr vào phương trình thứ r −1 ta tính được xr−1. Tiếp tục quá trình đó ta tính được xr−2, ..., x2, x1. Ví dụ. Giải hệ phương trình    x1 + x2 + 2x3 = 0 2x1 + x2 − x3 = 3 −4x1 + 5x2 + 2x3 = −1 −x1 + 7x2 + 3x3 = 2. Ta có ¯A =     1 1 2 0 2 1 −1 3 −4 5 2 −1 −1 7 3 2     h2−2h1 −−−−→ h3+4h1 h4+1h1     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 9 10 −1 0 8 5 2     h3+9h2 −−−−→ h4+8h2     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 −35 26     Ngô Mạnh Tưởng 16
  • 21.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế h4−h3 −−−→     1 1 2 0 0 −1 −5 3 0 0 −35 26 0 0 0 0     . Suy ra r(A) = r( ¯A) = 3 hệ có nghiệm duy nhất. Từ ma trận cuối ta có hệ    x1 + x2 + 2x3 = 0 − x2 − 5x3 = 3 − 35x3 = 26 ⇔    x1 = 27 35 x2 = 5 7 x3 = −26 35 . Ví dụ. Giải hệ phương trình    x + y + z − t = 1 2x + y + 3z − t = 2 3x + 4y + 6z − 2t = 0 x + 3y + 3z − t = −2. Giải: Ta có A =     1 1 1 −1 2 1 3 −1 3 4 6 −2 1 3 3 −1 1 2 0 −1     −−−−→ h2−2h1 h3−3h1 h4−h1     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 1 3 1 0 2 2 0 1 0 −3 −2     −−−−→ h3+h2 h4−2h3     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 0 4 2 0 0 −4 −2 1 0 −3 4     −−−→ h4+h3     1 1 1 −1 0 −1 1 1 0 0 4 2 0 0 0 0 1 0 −3 1     . Suy ra r (A) = 3 = r ¯A = 4. Vậy hệ vô nghiệm. Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a    x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1 x1 + x2 − 5x3 − x4 + 7x5 = 2 −x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0 −2x1 + 5x2 − 4x3 + 9x4 + 7x5 = a. Ta có ma trận mở rộng của hệ phương trình là     1 −1 −1 −3 1 1 1 −5 −1 7 −1 2 2 2 1 −2 5 −4 9 7 1 2 0 a     −−−−→ h2−h1 h3+h1 h4+2h1     1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 1 1 −1 2 0 3 −6 3 9 1 1 1 a + 2     , tiếp tục biến đổi 2h3 − h2, 1 3 h4 − h3 ta được      1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 0 6 −4 −2 0 0 −3 2 1 1 1 1 a 3 − 1 3      →      1 −1 −1 −3 1 0 2 −4 2 6 0 0 6 −4 −2 0 0 0 0 0 1 1 1 2a 3 + 1 3      . Ngô Mạnh Tưởng 17
  • 22.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Vậy ta có - Nếu a = − 1 2 thì r(A) = 3, r( ¯A = 4). Vậy hệ phương trình vô nghiệm; - Nếu a = − 1 2 ta có hệ    x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1 x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = 1 2 3x3 − 2x4 − x5 = 1 2 . Suy ra    x3 = 1 6 + 2 3 x4 + 1 3 x5 x2 = 5 6 + 1 3 x4 − 7 3 x5 x1 = 2 + 4x4 − 3x5, x4, x5 tùy ý. 1.5.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a. Định nghĩa Định nghĩa 1.5.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng (1.5.1), trong đó các hệ số tự do b1 = b2 = · · · = bn = 0 hay có dạng n j=1 aij xj = 0, i = 1, 2, ..., m. (1.5.3) Do ma trận mở rộng chứa một cột gồm toàn phần tử không nên hạng của nó luôn bằng hạng của ma trận A. Vậy hệ (1.5.3) là tương thích. Ta thấy hệ (1.5.3) luôn có một nghiệm là x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 và được gọi là nghiệm tầm thường. b. Điều kiện để hệ có nghiệm khác nghiệm tầm thường Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn tức là n = m. Khi đó, nếu detA = 0, nó là hệ Cramer. Nghiệm duy nhất của nó là nghiệm tầm thường. Như vậy, để hệ thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường thì định thức các hệ số của ẩn phải bằng không: detA = 0. Khi đó hạng của ma trận r(A) = r < n và giải hệ với r ẩn. Ví dụ. Tìm nghiệm khác không của hệ phương trình    2x + y − z = 0 x + 2y + z = 0 3x + y − 2z = 0. Ngô Mạnh Tưởng 18
  • 23.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giải: Ta có   2 1 −1 1 2 1 3 1 −2   −−−−→ 2h2−h1 h3−3h2   2 1 −1 0 3 3 0 −5 −5   −−−−−→ 3h3+5h2   2 1 −1 0 3 3 0 0 0   ⇒ r (A) = 2. Suy ra hệ có vô số nghiệm. Ta có hệ phương trình 2x + y − z = 0 3y + 3z = 0 ⇔ x = z y = −z, z tuỳ ý. 1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường a. Thị trường một loại hàng hóa. Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Ký hiệu: • Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; • Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá; • Giá hàng hóa là p. Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng Qs = S(p); (1.6.1) Qd = D(p). (1.6.2) Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu: Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p trong đó a0, a1, b0, b1 là các hằng số dương. Mô hình cân bằng thị trường có dạng:    Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p Qs = Qd ⇔    Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p −a0 + a1p = b0 − b1p. (1.6.3) Giải hệ phương trình này ta được: Ngô Mạnh Tưởng 19
  • 24.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Giá cân bằng ¯p = a0 + b0 a1 + b1 ; • Lượng cân bằng ¯Qs = ¯Qd = a1b0 − a0b1 a1 + b1 . b. Thị trường nhiều loại hàng hóa. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác. Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau: • Qsi: Lượng cung hàng hóa thứ i; • Qdi: Lượng cầu hàng hóa thứ i; • pi: Giá hàng hóa thứ i. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng: • Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn(i = 1, 2, ..., n). • Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn(i = 1, 2, ..., n). Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa là:    Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn Qsi = Qdi, i = 1, 2, ..., n. (1.6.4) Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng. Ví dụ. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung và hàm cầu như sau: • Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2; • Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2. Hệ phương trình xác định giá cân bằng −2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2 −1 + 2p2 = 15 + p1 − p2 ⇔ 5p1 − p2 = 12 −p1 + 3p2 = 16. Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa ¯p1 = 26 7 ; ¯p2 = 46 7 . Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng ¯Q1 = 64 7 ; ¯Q2 = 85 7 . Ngô Mạnh Tưởng 20
  • 25.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.6.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Ký hiệu: • Y: Tổng thu nhập quốc dân; • E: Tổng chi tiêu kế hoạch; Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần sau: • C: Tiêu dùng; • G: Chi tiêu của chính phủ; • I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất. Giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất: C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0). Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:    Y = E E = C + I0 + G0 C = aY + b ⇔ Y = C + I0 + G0 C = aY + b ⇔ Y − C = I0 + G0 −aY + C = b. (1.6.5) Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế: ¯Y = b + I0 + G0 1 − a ; ¯C = b + a (I0 + G0) 1 − a . Ví dụ. Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là ¯Y = 200 + 300 + 400 1 − 0.75 = 3600; ¯C = 200 + 0.75 (300 + 400) 1 − 0.75 = 2900. 1.7. BÀI TẬP 1.7.1. Phép toán trên ma trận Tính 3A2 − 5I, với I là ma trận đơn vị cấp 3 và A =   3 1 1 2 4 0 1 0 −1  . Ngô Mạnh Tưởng 21
  • 26.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.7.2. Định thức 1. Tính det (A)100 , biết A =   2 1 −1 3 0 4 −2 5 2  . 2. Tính 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 −1 4 1 2 −1 −1 −1 2 0 0 −1 −2 0 0 . 3. Giải các phương trình (a) x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x = 0. (b) 1 1 4 4 −1 3 − x2 3 3 7 7 5 5 −7 −7 6 x2 − 3 = 0. (c) 1 2 3 4 −2 2 − x 1 7 3 6 4 + x 12 −4 x − 14 2 3 = 0 1.7.3. Ma trận nghịch đảo 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (a) A =   −1 5 2 1 4 1 1 2 1  . (b) A =   1 4 1 1 1 4 −1 2 2  . (c) A =   3 5 −2 1 −3 2 6 7 −3  . (d) A =   2 0 4 1 −1 −2 −1 2 3  . (e) A =   1 2 2 2 1 −2 2 −2 1  . (f) A =   2 1 −1 3 1 −2 3 1 0  . 2. Cho ma trận A =   −m 3 5m 0 1 2 1 0 m  . (a) Tìm m để A khả nghich. (b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1 khi m = 0. 3. Cho ma trận A =   3 m 2 4 1 m m 1 4  . (a) Tìm m để A khả nghich. (b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1 khi m = −2. Ngô Mạnh Tưởng 22
  • 27.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Tìm m để A khả nghịch, biết A =     3 −1 2 2 4 0 1 6 2 0 4 1 −3 1 m 4    . 1.7.4. Hạng của ma trận 1. Với giá trị nào của m thì r (A) = 3, biết A =     1 1 1 1 2 3 4 1 3 4 6 6 4 4 m + 4 m + 7    . 2. Với giá trị nào của m thì r (A) = 1, biết A =   m 1 1 1 m 1 1 1 m  . 1.7.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1. Giải các hệ phương trình sau: (a)    3x + 2y + 4z = 1 2x − y + z = 0 x + 2y + 3z = 1 (b)    2x − y − z − t = −1 x − 2y + z + t = −2 x + y − 2z + t = 4 x + y + z − 2t = −8 (c)    2x − y + 3z = 1 −4x + 2y + z = 3 −2x + y + 4z = 4 10x − 5y − 6z = −10 (d)    x + y + z − t = 1 2x + y + 3z − t = 2 3x + 4y + 6z − 2t = 0 x + 3y + 3z − t = −2 2. Giải và biện luận các hệ phương trình (a)    2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m 4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1 (b)    2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6 5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9 − m (c)    mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = 1 x1 + x2 + mx3 = 1 . (d)    x + y + (1 − m)z = m + 2 (1 + m)x − y + 2z = 0 2x − my + 3z = m + 2 (e)    x + y + z = 1 2x + (m + 3) y + 2z = 4 3x + 3y + (m2 + 2) z = m + 4 3. Giải hệ thuần nhất (a)    2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 0 x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0 6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = 0 2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 0 (b)    x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 6 2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 4 6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = −8 2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15 Ngô Mạnh Tưởng 23
  • 28.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1.7.6. Phương trình ma trận 1. Cho phương trình ma trận:   1 −1 λ 2 1 λ 3 1 2λ   X =   1 2 0  . (a) Giải phương trình khi λ = 1 . (b) Tìm λ để phương trình vô nghiệm. 2. Cho phương trình ma trận:   1 2 λ 2 7 2λ + 1 3 9 4λ   X =   −1 2 1  . (a) Giải phương trình khi λ = 0 . (b) Tìm λ để phương trình vô số nghiệm. 3. Cho phương trình ma trận:     −2 1 −3 1 0 5 −3 2 −1 0 1 3     X =     −6 6 λ 2    . (a) Tìm λ để tồn tại X. (b) Tìm X với λ tìm được ở trên. 1.7.7. Mô hình cân bằng thị trường 1. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2; Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 2. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 4p1; Qd1 = 12 − 2p1 + 4p2; Qs2 = −4 + 6p2; Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 3. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 1 − 2p1 + 3p2; Qs2 = −1 + 5p2; Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. Ngô Mạnh Tưởng 24
  • 29.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −3 + 5p1; Qd1 = 2 − p1 + 4p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 3 + 2p1 − p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 5. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 3 − 4p1 + 5p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2 Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng thị trường. 6. Xét mô hình kinh tế vĩ mô Y = C + I0 + G0; C = 60 + 0, 7Yt; Yt = (1 − t) Y. Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 = 140 (triệu dollar) và thuế suất thu nhập t = 40%. Ngô Mạnh Tưởng 25
  • 30.
    Chương 2 HÀM SỐMỘT BIẾN Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số một biến; giới hạn, liên tục của hàm số một biến. Giới thiệu một số mô hình hàm, ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế. 2.1. Hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Giới hạn của dạy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Hàm số liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . 46 2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1. Hàm số một biến 2.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1. Cho tập hợp số thực R. Một ánh xạ f từ R vào R được gọi là một hàm số thực của một biến số thực, hay hàm số của một biến số, trong đó • Phần tử x được gọi là biến số độc lập. Phần tử y tương ứng với x được gọi là giá trị của hàm số tại x, ký hiệu y = f(x); • Miền xác định: D = {x ∈ R| ∃ f (x) }; • Miền giá trị: Y = {f (x)| x ∈ D }. Ví dụ. Hàm số y = √ 9 − x2 có miền xác định là D = [−3; 3]; miền giá trị là Y = [0; 3]. 2.1.2. Đồ thị của hàm số Định nghĩa 2.1.2. Cho hàm số y = f(x) có miền giá trị D. Tập tất cả các điểm trên mặt phẳng Oxy: G = {M (x, y)| x ∈ D, y = f (x)} được gọi là đồ thị của hàm số.
  • 31.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.1.3. Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược Định nghĩa 2.1.3. (Định nghĩa hàm 1-1) Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1-1 nếu ∀x1 = x2 ∈ D thì f (x1) = f (x2). Chú ý : Hàm y = f(x) là hàm 1-1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hình 2.1: Hàm 1-1 Định nghĩa 2.1.4. (Định nghĩa hàm ngược) Cho y = f (x) là hàm 1-1 với miền xác định D và miền giá trị Y . Hàm ngược của hàm y = f(x) là hàm từ Y vào D, ký hiệu x = f−1 (y), xác định bởi x = f−1 (y) hayy = f (x). Hình 2.2: Hàm ngược Đồ thị của hàm số ngược: Vì a = f−1 (b) hay b = f (a) nên (a, b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi (b, a) thuộc đồ thị của f−1 . Vậy đồ thị y = f(x) và đồ thị của f−1 đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Ví dụ. Vẽ đồ thị của hàm y = √ −x − 1 và đồ thị của hàm số ngược 2.1.4. Các hàm sơ cấp Định nghĩa 2.1.5. Các hàm sau đây được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản: 1. Hàm hằng ; 2. Hàm lũy thừa y = xα ; Ngô Mạnh Tưởng 27
  • 32.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.3: Tính chất của đồ thị hàm ngược 3. Hàm mũ y = ax ; a > 0, a = 1; 4. Hàm logarit y = logax; (a > 0, a = 1); 5. Các hàm lượng giác; 6. Các hàm lượng giác ngược; 7. Các hàm hypebolic. Định nghĩa 2.1.6. Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. 2.1.5. Các hàm lượng giác ngược a. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = sin x Xét hàm lượng giác y = sin x. Trên đoạn −π 2 ; π 2 , y = sin x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arcsin x. Hàm arcsinx có miền xác định:[−1; 1]; miền giá trị −π 2 ; π 2 và luôn đồng biến trên tập xác định. Ngô Mạnh Tưởng 28
  • 33.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.4: Đồ thị hàm sin và hàm arcsin x b. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = cos x Xét hàm lượng giác y = cos x. Trên đoạn [0; π], y = cos x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccos x. Hình 2.5: Đồ thị hàm cos và hàm arccos x Hàm arccos x có miền xác định là[−1; 1]; miền giá trị [0; π] và luôn nghịch biến trên miền xác định. c. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = tan x Xét hàm lượng giác y = tan x. Trên khoảng − π 2 ; π 2 , y = tan x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arctan x. Hình 2.6: Đồ thị hàm tan và hàm arctan x Ngô Mạnh Tưởng 29
  • 34.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hàm arctan x có miền xác định:R; miền giá trị là − π 2 ; π 2 và là hàm luôn đồng biến trên miền xác định. d. Hàm lượng giác ngược của hàm số y = cot x Xét hàm lượng giác y = cot x. Trên khoảng (0; π), y = cot x là hàm 1-1. Do đó tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccotx. Hình 2.7: Đồ thị hàm cot và hàm arccotx Hàm arccotx có miền xác định là R; miền giá trị là (0; π) và là hàm luôn nghịch biến trên miền xác định. 2.1.6. Hàm Hyperbolic Định nghĩa 2.1.7. Các hàm số sau được gọi là hàm Hyperbolic: • Hàm Sin Hyperbolic, ký hiệu là sinh x = ex − e−x 2 ; • Hàm Cos Hyperbolic, ký hiệu là cosh x = ex + e−x 2 ; • Hàm Tan Hyperbolic, ký hiệu là tanh x = sinh x cosh x ; • Hàm Cotan Hyperbolic, ký hiệu là coth x = cosh x sinh x . Một số công thức: • cosh2 a − sinh2 a = 1; • sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2 a + sinh2 a; • cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b; Ngô Mạnh Tưởng 30
  • 35.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.8: Đồ thị hàm sinh x và hàm cosh x Hình 2.9: Đồ thị hàm tanh x và hàm coth x • cosh (a − b) = cosh a cosh b − sinh a sinh b; • sinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh a; • sinh (a − b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a. Để thu được công thức lượng giác Hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc, ta thay cos bởi cosh và sin bởi sinh. 2.1.7. Hàm cho bởi phương trình tham số Cho hai hàm x = x(t); y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm t0. Giả sử tồn tại hàm ngược của x = x(t) là t = t(x). Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t) và y = y(t). Ví dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số: x = 2 cos t y = 3 sin t chính là phương trình ellipse: x2 4 + y2 9 = 1. Ngô Mạnh Tưởng 31
  • 36.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.2. Giới hạn của dạy số 2.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1. Một hàm f : N → N xác định trong tập hợp các số tự nhiên N được gọi là một dãy số. Đặt u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Số un được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Ký hiệu dãy số là {un}. Dãy số có thể cho bởi: • Công thức tổng quát: un = f (n); • Công thức truy chứng (truy hồi): u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2). 2.2.2. Giới hạn của dãy số a. Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.2.2. Số a được gọi là giới hạn của dãy số {un} nếu ∀ε > 0, ∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε) , ký hiệu lim un n→+∞ = a. Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn thì dãy được gọi là dãy hội tụ. Ngược lại dãy được gọi là dãy phân kỳ. Ví dụ. Dùng định nghĩa chứng tỏ lim n→+∞ n n + 1 = 1. ε > 0, n n + 1 − 1 < ε ⇔ 1 n + 1 < ε ⇔ n > 1 e − 1. Chọn số tự nhiên n0 > 1 ε − 1. Khi đó ∀n > n0 : |un − 1| = n n + 1 − 1 = 1 n + 1 < 1 n0 + 1 < ε. Vậy theo định nghĩa ta có: lim n→+∞ n n + 1 = 1. Định lý 2.2.1. Nếu dãy {un} hội tụ đến a, dãy {vn} hội tụ đến b thì 1. Dãy tổng {un + vn} hội tụ tới a + b; 2. Dãy tích {un.vn} hội tụ tới a.b; Ngô Mạnh Tưởng 32
  • 37.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Dãy nghịch đảo 1 vn hội tụ tới 1 b với điều kiện b = 0; 4. Dãy thương un vn hội tụ tới a b với điều kiện b = 0; 5. lim n→∞ |un| = |a|. b. Hai tiêu chuẩn đủ để dãy hội tụ Định lý 2.2.2. (Tiêu chuẩn 1 - Định lý kẹp ) Cho 3 dãy {un} , {vn} , {wn} sao cho ∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn và {vn} , {wn} cùng hội tụ đến a. Khi đó dãy {un} cũng hội tụ tới a. Hình 2.10: Giới hạn kẹp Chứng minh. Cho ε > 0. Vì {vn} , {wn} cùng hội tụ đến a nên ∃n1, n2 ∈ N: ∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε ∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε. Đặt n0 = max {n1, n2}. Khi đó ∀n > n0 ta có |vn − a| < ε |wn − a| < ε ⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε. Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay lim n→∞ un = a. Ví dụ. Tính lim n→∞ 5n nn . Thật vậy ∀n > 6, 0 < 5n nn < 5n 6n , mặt khác lim n→∞ 5n 6n = lim n→∞ 5 6 n = 0. Vậy lim n→∞ 5n nn = 0. Định lý 2.2.3. (Tiêu chuẩn 2 - Định lý Weierstrass) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Các khái niệm tăng, bị chặn được định nghĩa như sau: • Dãy {un} được gọi là đơn điệu tăng nếu ∀n ∈ N, un+1 ≥ un ; • Dãy {un} được gọi là đơn điệu giảm nếu ∀n ∈ N, un+1 ≤ un ; Ngô Mạnh Tưởng 33
  • 38.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Dãy {un} được gọi là bị chặn trên nếu ∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A ; • Dãy {un} được gọi là bị chặn dưới nếu ∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B. Ví dụ. (Số e) Chứng minh lim n→∞ 1 + 1 n n = e. Sử dụng nhị thứ newton ta có 1 + 1 n n = 1+1+ 1 2! 1 − 1 n + 1 3! 1 − 1 n 1 − 2 n +...+ 1 n! 1 − 1 n 1 − 2 n ... 1 − n − 1 n . Vì 1 − s n < 1 − s n + 1 nên un < un+1. Vậy dãy tăng. Ta có 1 − s n < 1 và 1 n! ≤ 1 2n−1 , ∀n = 1, 2, 3... ⇒ un < 2 + 1 2! + 1 3! + ... + 1 n! ≤ 2 + 1 2 + 1 22 + ... + 1 2n−1 ≤ 2 + 1 − 1 2n−1 < 3. Vậy dãy bị chặn và tăng nên dãy hội tụ. Giới hạn của dãy này được ký hiệu là số e, người ta chứng minh được e là số vô tỷ hay e ≈ 2.718281828 và lim n→∞ 1 + 1 n n = e. 2.2.3. Giới hạn vô cùng của dãy Định nghĩa 2.2.3. Ta nói {un} có giới hạn +∞ nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A) . Ta nói {un} có giới hạn −∞ nếu ∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B) . Ta có un → +∞, vn → +∞ ⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞. un → −∞, vn → −∞ ⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞. un → +∞, vn → −∞ ⇒ unvn → −∞. un → a > 0, vn → +∞ ⇒ unvn → +∞. 2.3. Giới hạn của hàm số 2.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1. Hàm f(x) có giới hạn là h khi x → a nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − h| < ε. Ký hiệu lim x→a f (x) = h. Ngô Mạnh Tưởng 34
  • 39.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chú ý. Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x = a. Ví dụ. lim x→1 2(x2−1) x−1 = 4 mặc dù f(x) không xác định tại x = 1. Định nghĩa 2.3.2. (Định nghĩa giới hạn ở vô cùng) lim x→+∞ = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0 : ∀x > N, |f (x) − L| < ε. Định nghĩa 2.3.3. lim x→−∞ = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x < N, |f (x) − L| < ε. Định nghĩa 2.3.4. lim x→x0 f(x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒ f(x) > M. Định nghĩa 2.3.5. lim x→x0 f(x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒ f(x) < N. 2.3.2. Giới hạn các phía Định nghĩa 2.3.6. (Giới hạn trái). Số a được gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x = x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − a| < ε. Ký hiệu lim x→x− 0 f(x) = a. Định nghĩa 2.3.7. (Giới hạn phải) Số a được gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x = x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − a| < ε. Ký hiệu lim x→x+ 0 f(x) = a. Ngô Mạnh Tưởng 35
  • 40.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Định lý 2.3.1. Hàm số y = f(x) có giới hạn tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và các giới hạn đó bằng nhau. Ví dụ. Tìm các giới hạn I = lim x→0 sin x |x| , J = lim x→0 f(x), biết f(x) = 2x + 3, x 0 x sin x x < 0 . 2.3.3. Tính chất Định lý 2.3.2. Nếu f (x) ≥ 0 trong một lân cận của điểm a và lim x→a f (x) = h thì h ≥ 0. Định lý 2.3.3. Giả sử lim x→a f (x) = h; lim x→a g (x) = k. Khi đó ta có: 1. lim x→a (f (x) + g (x)) = h + k; 2. lim x→a mf (x) = mh (m là hằng số); 3. lim x→a f (x) g (x) = hk; 4. lim x→a f (x) g (x) = h k , k = 0. Mệnh đề 2.3.1. Cho lim x→x0 u(x) = a > 0 lim x→x0 v(x) = b Khi đó lim x→x0 (u(x))v(x) = ab Chứng minh. lim x→x0 (u(x))v(x) = lim x→x0 ev(x) ln(u(x)) = e lim x→x0 v(x) ln(u(x)) = eb ln a = ab . Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x → 0 : • lim x→0 sin x x = 1; • lim x→0 ex−1 x = 1; • lim x→0 1−cos x x2 = 1 2 ; • lim x→0 ln(1+x) x = 1; • lim x→0 (1+x)α −1 x = α; • lim x→0 arctan x x = 1; • lim x→0 arcsin x x = 1; • lim x→0 tanx x = 1; • lim x→0 (1 + x)1/x = e; • lim x→0 (1 − x)1/x = 1 e . Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x → ∞: Ngô Mạnh Tưởng 36
  • 41.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • lim x→+∞ xα = +∞, α > 0; • lim x→+∞ (ln x)α = +∞, α > 0; • lim x→+∞ ax = +∞, a > 1; • lim x→+∞ 1 + 1 x x = e; • lim x→+∞ sin x không tồn tại. Các dạng vô định: • 0 0 ; • 0 · ∞; • 1∞ ; • ∞ ∞ ; • ∞ − ∞ ; • 00 ; • ∞0 . 2.3.4. Lượng vô cùng bé a. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.8. lim x→a f (x) = 0 ⇒ f (x) được gọi là VCB ở lân cận của a. Ví dụ. Do lim x→0 ln (1 + 3x) = 0 nên f(x) = ln (1 + 3x) là VCB ở lân cận của 0. lim x→0 sin 5x = 0 nên f(x) = sin 5x là VCB ở lân cận của 0. b. Tính chất của VCB 1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB; 2. Tích của hai VCB là một VCB; 3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB; 4. Thương của hai VCB có thể không là VCB. c. So sánh các VCB Định lý 2.3.4. Giả sử f(x), g(x) là các VCB khi x → a. • Nếu lim x→a f (x) g (x) = 0 thì f là VCB cấp cao hơn g; • Nếu lim x→a f (x) g (x) = k = 0 thì f và g là hai VCB cùng cấp. Đặc biệt, nếu k = 1 thì f và g là hai VCB tương đương, ký hiệu f ∼ g. Ví dụ. Ta có lim x→0 1 − cos 2x x = lim x→0 2sin2 x x = 0 ⇒ 1 − cos 2x là VCB cấp cao hơn x khi x → 0 Ngô Mạnh Tưởng 37
  • 42.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế lim x→1 x3 − 1 x − 1 = 3 ⇒ x3 − 1 là VCB cùng bậc với x − 1 khi x → 1. Các vô cùng bé tương đương thường gặp khi x → 0 • sin x ∼ x; • ex − 1 ∼ x; • 1 − cos x ∼ x2 2 ; • ln(1 + x) ∼ x; • (1 + x)α − 1 ∼ αx; • arcsin x ∼ x; • arctan x ∼ x; • tan x ∼ x; • sinh x ∼ x; • cosh x − 1 ∼ x2 2 . d. Khử các dạng vô định Định lý 2.3.5. (Quy tắc 1. ) Giả sử f1 (x) , f2 (x) , g1 (x) , g2 (x) là các VCB khi x → a(∞), Khi đó nếu f1 (x) ∼ f2 (x) ; g1 (x) ∼ g2 (x) thì lim x→a f1 (x) g1 (x) = lim x→a f2 (x) g2 (x) . Định lý 2.3.6. (Quy tắc 2. ) lim x→a TonghuuhancacVCBcuatu TonghuuhancacVCBcuamau = lim x→a VCBbacthapnhatcuatu VCBbacthapnhatcuamau . Ví dụ. Tính giới hạn I = lim x→0 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 x J = lim x→0 ln(cos x) ln(1 + x2) . Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 ; x2 + sin3 x ∼ x2 , suy ra I = lim x→0 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 x = lim x→0 x2 x2 = 1. Ta có J = lim x→0 ln(1 + cos x − 1) ln(1 + x2) = lim x→0 cos x − 1 x2 = lim x→0 −x2 /2 x2 = − 1 2 . Ví dụ. Tính các giới hạn K = lim x→0 ex2 − cos x sin2 x . Ta có L = lim x→0 esin 5x − esin x ln(1 + 2x) . Tương tự M = lim x→1 sin (ex−1 − 1) ln x ; Ngô Mạnh Tưởng 38
  • 43.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Tương tự N = lim x→0 esinh 3x − esinh x tan x ; Tương tự P = lim x→0 (ex − 1) (cos x − 1) sin3 x + 2x4 ; và Q = lim x→+∞ x2 · e1/x2 − cos(1/x) arctan x . Chú ý. Các trường hợp VCB đúng và sai lim x→0 tan x−sin x x3 = lim x→0 tan x−x x3 SAI lim x→0 tan x−sin x x3 = lim x→0 x−sin x x3 SAI lim x→0 tan x−sin 2x x3 = lim x→0 x−sin 2x x3 ĐÚNG lim x→0 tan x−sin 2x sin x = lim x→0 x−2x x ĐÚNG lim x→0 tan x−sin x sin3x = lim x→0 tan x−sin x x3 ĐÚNG lim x→0 1 x2 − cos2x sin2x = lim x→0 1 x2 − cos2x x2 SAI 2.3.5. Lượng Vô cùng lớn a. Định nghĩa Định nghĩa 2.3.9. Hàm số y=f(x) được gọi là một Vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu lim x→x0 |f(x)| = +∞. Ví dụ. f(x) = 2x2 + 3 cos x là một VCL khi x → ∞ vì lim x→∞ |2x2 + 3 cos x| = +∞. b. So sánh hai Vô cùng lớn Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi x → x0. Giả sử lim x→x0 f(x) g(x) = k. 1. Nếu k = ∞ thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x), ký hiệu là f(x) = O(g(x)); 2. Nếu k hữu hạn, khác không thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp; 3. Nếu k = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f(x) ≈ g(x). Ngô Mạnh Tưởng 39
  • 44.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế c. Khử các dạng vô định Định lý 2.3.7. (Quy tắc ngắt bỏ VCL) lim x→x0 TonghuuhancacVCL TonghuuhancacVCL = lim x→x0 VCLbaccaonhatcuatu VCLbaccaonhatcuamau . Ví dụ. Tính I = lim x→+∞ √ x2 + 4 + 2x + 3 √ x √ x2 − 4 + x . Tử là tổng của ba VCL: √ x2 + 4 + 2x + 3 √ x x→+∞ ∼ 3x. Mẫu là tổng của hai VCL: √ x2 − 4 + x x→+∞ ∼ 2x I = lim x→+∞ 3x 2x = 3 2 . 2.4. Hàm số liên tục 2.4.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.4.1. (Hàm liên tục tại một điểm ) Hàm y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu xác định tại điểm này và lim x→x0 f(x) = f(x0). Nếu hàm y = f(x) không liên tục tại điểm x0 ta nói hàm gián đoạn tại điểm x0. Định nghĩa 2.4.2. (Hàm liên tục trên đoạn kín) Ta nói y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ (a; b) và liên tục phải tại a ( lim x→a+ f (x) = f (a)), liên tục trái tại b ( lim x→b− f (x) = f (b)). Ngô Mạnh Tưởng 40
  • 45.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.4.2. Phân loại điểm gián đoạn Cho x0 là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Điểm gián đoạn loại 1 x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu giới hạn trái (f (x0 − )) và giới hạn phải (f (x0 + )) tồn tại hữu hạn. x0 là điểm khử được nếu f (x0 − ) = f (x0 + ); x0 là điểm nhảy nếu f (x0 − ) = f (x0 + ). Điểm gián đoạn loại 2 Nếu một trong hai giới hạn một phía không tồn tại hoặc bằng vô cùng. 2.4.3. Tính chất của hàm liên tục Cho f (x) , g (x) là hai hàm liên tục tại x0. Khi đó: 1. αf(x); f(x) + g(x); f(x) · g(x) liên tục tại x0; 2. Nếu g(x) = 0 thì f (x) g (x) liên tục tại x0. Định lý 2.4.1. Nếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f(x0) > 0 thì tồn tại một lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này. Định lý 2.4.2. (Định lý Bozano - Cauchy) Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(x) = A; f(b) = B thì ∀C ∈ [a; b] tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) = C. Hệ quả 2.4.1. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) = 0. Định lý 2.4.3. Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của nó. Ngô Mạnh Tưởng 41
  • 46.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Khảo sát tính liên tục f (x) = sin x x , x = 0 1, x = 0. ∀x = 0, f(x) = sin x x là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXD. Tại x = 0 : lim x→0+ sin x x = 1 = lim x→0− sin x x = f(0). Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R. Ví dụ. Khảo sát tính liên tục f(x) =    sin x |x| , x = 0 1, x = 0 ∀x = 0, f(x) = sin x |x| là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXD. Tại x = 0 : lim x→0+ sin x x = 1; lim x→0− sin x |x| = −1 x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h = f (0+ ) − f (0− ) = 1 − (−1) = 2. Ví dụ. Khảo sát điểm gián đoạn f(x) = arctan 1 x . Tập xác định: Df = R {0}. Tại x = 0 : lim x→0+ arctan 1 x = π 2 , lim x→0− arctan 1 x = − π 2 x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h = f (0+ ) − f (0− ) = π 2 − (−π 2 ) = π. Ví dụ. Khảo sát điểm gián đoạn f(x) = x arctan 1 x . Tập xác định: Df = R {0}. Tại x = 0 : lim x→0+ x arctan 1 x = 0; lim x→0− x arctan 1 x = 0 x = 0 là điểm gián đoạn khử được. Ví dụ. Tìm a, b để hàm số liên tục trên [−π/2; 3π/2] f(x) =    x cos(x/2) sin x , x ∈ [−π/2, 3π/2] , x = 0, x = π a, x = 0 b, x = π Ngô Mạnh Tưởng 42
  • 47.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế lim x→0 f (x) = lim x→0 x cos(x/2) sin x = 1 ⇒ a = 1. lim x→π f (x) = lim x→π x cos(x/2) sin x = π 2 ⇒ b = π 2 . Ví dụ. Tìm a, b để hàm số liên tục trên toàn miền XD f(x) = x, |x| ≤ 1 x2 + ax + b, |x| > 1. Tập xác định của hàm số là R. Ta có hàm số liên tục ∀x = ±1. • Tại x = 1 ta có: f (1) = 1 và lim x→1+ f (x) = lim x→1 x2 + ax + b = a + b + 1, lim x→1− f (x) = lim x→1 x = 1. Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim x→1+ f (x) = lim x→1− f (x) = f (1) ⇔ a + b + 1 = 1 ⇔ a + b = 0. • Tại x = −1 ta có: f (−1) = −1 và lim x→−1+ f (x) = lim x→−1 x2 + ax + b = −a + b + 1, lim x→−1− f (x) = lim x→−1 x = −1. Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim x→−1+ f (x) = lim x→−1− f (x) = f (−1) ⇔ −a + b + 1 = −1 ⇔ −a + b = −2. • Vậy hàm số liên tục trên miền xác định khi và chỉ khi nó liên tục tại x = ±1 khi và chỉ khi a + b = 0 −a + b = −2 ⇔ a = 1 b = −1. 2.5. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 2.5.1. Hàm cung và hàm cầu Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Ký hiệu: Ngô Mạnh Tưởng 43
  • 48.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; • Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá; • Giá hàng hóa là p; Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng Qs = S(p); (2.5.1) Qd = D(p). (2.5.2) Chú ý : • Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. • Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu. • Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức giá cân bằng ¯p và lượng cân bằng Qs = Qd = ¯Q ta lập phương trình hoành độ điểm chung S(p) = D(p). • Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng ¯p, người bán sẽ bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa. Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd. Ngược lại Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd. • Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm cung và hàm cầu: p = S−1 (Qs), p = D−1 (Qd). 2.5.2. Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao Ngô Mạnh Tưởng 44
  • 49.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 2.11: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu động lần lượt được ký hiệu là K (Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn thì K không đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = f(L). (2.5.3) 2.5.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận Tổng doanh thu ký hiệu TR - Total revenue; Tổng chi phí ký hiệu TC - total cost; Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo quy luật hàm số. Hàm doanh thu: TR = TR(Q). (2.5.4) Hàm chi phí TC = TC(Q). (2.5.5) Hàm lợi nhuận π = π(Q). (2.5.6) Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí: π = TR(Q) − TC(Q) Ngô Mạnh Tưởng 45
  • 50.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.5.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C- Consumption - vào biến thu nhập Y - Income: C = f(Y ). (2.5.7) Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn nên hàm tiêu dùng là hàm đồng biến. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S - Saving - vào biến thu nhập Y S = S(Y ). (2.5.8) 2.6. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế 2.6.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân Định nghĩa 2.6.1. Cấp số nhân là một dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện x1, x2 = x1q, . . . , xn = xn−1q = x1qn−1 . Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân. • Nếu cho trước công bội q và số hạng ban đầu x1 thì ta sẽ xác định được mọi số hạng của cấp số nhân. • Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: Sn = x1 + x2 + · · · + xn = x1 1 + q + q2 + · · · + qn−1 = x1 (1 − qn ) 1 − q . • Cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó lim n→+∞ qn = 0 và ta có tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bởi công thức S = lim n→+∞ Sn = ∞ n=1 xn = x1 + x1 + · · · + xn + · · · = x1 1 − q . Ngô Mạnh Tưởng 46
  • 51.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.6.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần trăm một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền lãi). Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay và ngược lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai. Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay. Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay, trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r, biểu diễn dưới dạng thập phân. Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A + rA = A(1 + r). Sau năm thứ hai là B2 = B1 + B1r = A(1 + r)2 . Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với công bội q = (1 + r), suy ra Bt = A(1 + r)t . Vậy công thức tính giá trị tương lai của A sau t năm là: B = A(1 + r)t . (2.6.1) Ngược lại, giá trị hiện tại của B sẽ nhận được sau t năm là: A = B(1 + r)−t . (2.6.2) Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? Giải: Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3 = 119 triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi: 119 − 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án. Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không thực hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3 = 126 triệu đồng. Con số này nhỏ hơn 150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay. Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng Ngô Mạnh Tưởng 47
  • 52.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là NPV (Net Present Value). Ta có: NPV = B(1 + r)−t − C (2.6.3) Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là NPV > 0, ngoài ra việc so sánh NPV giữa các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất. Ví dụ. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án: • Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải: Ta có NPV1 = 3000(1+0.1)−4 −2000 = 49; NPV2 = 4000(1+0.1)−6 −2000 = 258; NPV3 = 4800(1 + 0.1)−5 = −20. Vậy nên chọn dự án 2. 2.6.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm...). Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản. Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một luồng kỳ khoản. Ví dụ. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó với điều kiện lãi suất 10% một năm. Giải: Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present Value), PV = 5000(1 + 0.1)−1 + 5000(1 + 0.1)−2 + ... + 5000(1 + 0.1)−10 = = 5000 1 1.1 + 1 1.12 + ... + 1 1.110 = 5000 1 1.1 1 − 1 1.1 10 1 − 1 1.1 = 30723. Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$. Ví dụ. Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo Ngô Mạnh Tưởng 48
  • 53.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được? Giải: Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm hiện tại là: PV = a(1 + 0.01)−1 + a(1 + 0.01)−2 + ... + a(1 + 0.01)−24 = a 1 1.01 1 − 1 1.01 24 1 − 1 1.01 = 21.24a. Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: PV = 21.24a = 2500, hay a = 117.7$. Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn. 2.7. BÀI TẬP 2.7.1. Giới hạn của hàm số Bài tập 1 chương 5. Tính các giới hạn sau: 1. lim x→0 e5x−e7x sin 2x . 2. lim x→0+ √ 1−e−x− √ 1−cos x√ sin x . 3. lim x→0 e2x−e3x+ln(1+x2 ) cos √ 3x−1 . 4. lim x→0 sin 2x+2 arctan 3x+3x2 ln(1+3x+sin2x)+xex . 5. lim x→0 sin23x+3arcsin2x ln(cos x)+sin2x . 6. lim x→0 ln cos x ln(1+x2) . 7. lim x→0 √ 1+3x+ 3√ 1+x− 5√ 1+x− 7√ 1+x 4√ 1+2x+x− 6√ 1+x . 8. lim x→0 3x−2x 2x−1 . 9. lim x→1 n√ x−1 m√ x−1 . 10. lim x→1 x100−2x+1 x50−2x+1 . 11. lim x→a aax −axa ax−xa . 12. lim x→ π 2 (x − π 2 ) tan x. 13. lim x→a ( 2a x2−a2 − 1 x−a ), a = 0. 14. lim x→∞ 2x+3 2x+1 x+1 . 15. lim x→+∞ x2+3x+4 x2−5x+7 3x+8 . 16. lim x→+∞ (x+1)x+1 .(x+2)x+2 .(x+4)x+4 (x+5)3x+7 . 17. lim x→0 (1 + 3tan2 x) cot2x . 18. lim x→0 1 + sin2 x 1 tan2x . Ngô Mạnh Tưởng 49
  • 54.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2.7.2. Tính liên tục của các hàm số Bài 1. Khảo sát tính liên tục của các hàm số? 1. f(x) = sin x x , x = 0 1, x = 0 . 2. f(x) = sin x |x| , x = 0 1, x = 0 . 3. f(x) = arctan 1 x . 4. f(x) = x arctan 1 x . Bài 2. 1. Cho hàm số xác định bởi: f(x) = x + 1 khi x ≤ 1 3 − ax2 khi x > 1 . Tìm a để hàm f liên tục với mọi x? 2. Cho hàm số f(x) = x, |x| ≤ 1 x2 + ax + b, |x| > 1 . Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. 3. Cho hàm số f(x) = ax2 + 2a − 3 khi x < 1 −x2 + 4x − 3 khi x ≥ 1 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 4. Cho hàm số f(x) = −x2+6x−1 2−x khi x ≤ 1 −3x2 + 2ax + 5 khi x > 1 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 5. Cho hàm số f(x) = −x2 + ax − 3 khi x < −2 x2+ax−5 x2+3 khi x ≥ −2 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 6. Cho hàm số f(x) = x2 + 3ax + 2a − 3 khi x ≤ 2 −x2 + 2ax − 3 khi x > 2 . Tìm a để f(x) liên tục trên R. 7. Cho hàm số f(x) = ln(1+x)−ln(1−x) x khi 0 < |x| < 1 a khi x = 0 . Tìm a để f(x) liên tục trên tập xác định? 8. Cho hàm số f(x) =    −2 sin x khi x ≤ −π 2 a sin x + b khi − π 2 < x < π 2 cos x khi x ≥ π 2 . Tìm a, b để f(x) liên tục trên R? 9. Cho hàm số f(x) = arcsin x cot x khi x = 0 a khi x = 0 . Tìm a để hàm số liên tục trên (−1, 1)? Bài 3. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó. Ngô Mạnh Tưởng 50
  • 55.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1. f(x) =    2 √ 5 − x2 khi 0 ≤ x ≤ 1 −8x2−2x+4 1+2x2 khi 1 < x ≤ 2 −2x2 + 4x − 7 khi 2 < x < +∞. 2. f(x) =    −x2 + 5x − 3 khi 0 ≤ x ≤ 1 3+5x−4x2 3+x2 khi 1 < x < 3 −x2 + x − 3 khi 3 ≤ x < +∞. 3. f(x) =    2 √ x khi 0 ≤ x ≤ 1 4 − 2x khi 1 < x ≤ 5 2 2x − 7 khi 5 2 < x < +∞. 4. f(x) =    1/(x − 1), x < 0 (x + 1)2 , 0 ≤ x ≤ 2 1 − x, x > 2 . 5. f(x) = |x+2| x+2 . 6. f(x) = |x−1| x2−x3 . 7. f(x) = 1 ln |x−1| . 8. f(x) = arctan 1 x2 . 9. f(x) =    2 √ x khi 0 ≤ x ≤ 1 4 − 2x khi 1 < x ≤ 5 2 2x − 7 khi 5 2 < x < +∞ . 2.7.3. Ứng dụng của cấp số nhân Bài tập 2: 1. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 2. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 120 triệu đồng và sẽ đem lại 195 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 3. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 110 triệu đồng và sẽ đem lại 170 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 9% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 4. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 120 triệu đồng và sẽ đem lại 175 triệu đồng sau 4 năm. Với lãi suất thịnh hành 10% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? 5. Giả sử gửi tiết kiệm 500$ sau 3 năm thu được 588, 38$. Với lãi suất thịnh hành một năm là r%. Tìm r? 6. Nếu lãi suất thịnh hành là 6% một năm thì cho vay 600$ sau khoảng thời gian bao lâu thu được toàn bộ giá trị là 900$? 7. Nếu sau 3 năm muốn nhận được khoảng tiền tiết kiệm là 1000$, với lãi suất 9% một năm thì bây giờ phải gửi vào tiết kiệm một lượng tiền là bao nhiêu? Ngô Mạnh Tưởng 51
  • 56.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 8. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành 11.5% một năm. Biết chi phí hiện tại A$ và đem lại 9000$ sau 3 năm. Hỏi A tối đa bằng bao nhiều thì NPV của dự án đạt 2493$? 9. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành 11% một năm. Biết chi phí hiện tại 2500$ và đem lại B$ sau 4 năm. Hỏi dự án cần đem lại tối thiểu B bằng bao nhiều để NPV của dự án đạt 794$? 10. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 10% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? 11. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 12% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 4500$ và đem lại 7000$ sau 3 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 5000$ và đem lại 7000$ sau 2 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 4000$ và đem lại 8000$ sau 4 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? 12. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh hành 85% một năm. • Dự án 1: Chi phí hiện tại 1255$ và đem lại 2750$ sau 3 năm; • Dự án 2: Chi phí hiện tại 2775$ và đem lại 4160$ sau 2 năm; • Dự án 3: Chi phí hiện tại 1885$ và đem lại 3190$ sau 2 năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào? Ngô Mạnh Tưởng 52
  • 57.
    Chương 3 PHÉP TÍNHVI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản về đạo hàm, vi phân của hàm số một biến, ứng dụng của đạo hàm vi phân trong việc tính giới hạn, tính gần đúng. Khái niệm về đạo hàm, vi phân cấp cao, công thức khai triên Mac Laurin, công thức khai triển TayLor; Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế. 3.1. Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Vi phân của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1. Đạo hàm của hàm số một biến 3.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 3.1.1. Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm x0 ký hiệu là f (x0) và được tính bởi công thức f (x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x , trong đó ∆x = x − x0, ∆y = f(x − x0) − f(x0) được gọi là số gia hàm số tại điểm x0. Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số y = cos x tại điểm x0. Ta có f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = lim ∆x→0 cos(x0 + ∆x) − cos x0 ∆x = − lim ∆x→0 sin x0 + ∆x 2 · sin ∆x 2 ∆x 2 = − sin(x0) 3.1.2. Đạo hàm các phía Định nghĩa 3.1.2. (Đạo hàm phải) Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm phải của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f+(x0) và được tính bởi công thức f+(x0) = lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x .
  • 58.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Định nghĩa 3.1.3. (Đạo hàm trái) Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Đạo hàm trái của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f−(x0) và được tính bởi công thức f−(x0) = lim ∆x→0− f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x . Định lý 3.1.1. Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. Định nghĩa 3.1.4. (Định nghĩa đạo hàm vô cùng ) Nếu lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = ∞ thì ta nói f(x) có đạo hàm vô cùng tại điểm x0. Ví dụ. Tìm f+(0); f−(0) biết f (x) =    e 1 x, x = 0 0, x = 0 Ta có f+(0) = lim ∆x→0+ f(0 + ∆x) − f(0) ∆x = lim ∆x→0+ e1/∆x − 0 ∆x = +∞ và f−(0) = lim ∆x→0− f(0 + ∆x) − f(0) ∆x = lim ∆x→0− e1/∆x − 0 ∆x = 0. Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0. Ví dụ. Tìm f (x) biết f(x) = x2 − 3|x| + 2. Ta có f(x) = x2 − 3x + 2, x ≥ 0 x2 + 3x + 2, x < 0 ⇒ f (x) = 2x − 3, x > 0 2x + 3, x < 0. Tại điểm x = 0: f+(0) = −3; f−(0) = 3. Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau suy ra không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0. 3.1.3. Bảng đạo hàm cơ bản 3.1.4. Tính chất Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương: 1. (αu) = αu ; 2. (u ± v) = u ± v ; 3. (u.v) = u.v + u .v; 4. u v = u v − v u v2 . Ngô Mạnh Tưởng 54
  • 59.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế ĐẠO HÀM HÀM HỢP (a) = 0 (xα ) = αxα−1 , α ∈ R (uα ) = αuα−1 u (ex ) = ex (eu ) = eu u (ax ) = ax ln a (au ) = au u ln a (ln |x|) = 1 x (ln |u|) = u u (loga |x|) = 1 x ln a , a > 0, a = 1 (loga |u|) = u u ln a , a > 0, a = 1 (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = −u sin u (tan x) = 1 cos2x (tan u) = u cos2u (cot x) = − 1 sin2x (cot u) = − u sin2u 3.1.5. Đạo hàm của hàm hợp f = f(u), u = u(x) ⇒ f (x) = f (u) · u (x). 3.1.6. Đạo hàm của hàm ngược x (y) = 1 y (x) . ĐẠO HÀM HÀM HỢP (arcsin x) = 1√ 1−x2 (arcsin u) = u√ 1−u2 (arccos x) = − 1√ 1−x2 (arccos u) = − u√ 1−u2 (arctan x) = 1 1+x2 (arctan u) = u 1+u2 (arc cot x) = 1 1+x2 (arc cot u) = − u 1+u2 (sinh x) = cosh x (sinh u) = u cosh u (cosh x) = sinh x (cosh u) = u sinh u (tanh x) = 1 cosh2 x (tanh u) = u cosh2 u (coth x) = 1 sinh2 x (coth u) = u sinh2 u 3.1.7. Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số Hàm y = y(x) được cho bởi phương trình tham số: x = x(t) y = y(t). Giả sử hàm x = x(t) có hàm ngược t = t(x). Khi đó hàm y = y(t)=y(t(x)) là hàm của y theo biến x. y (x) = dy dx = y (t)dt x (t)dt = y (t) x (t) ⇒ y (x) = y (t) x (t) . Ngô Mạnh Tưởng 55
  • 60.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.1.8. Đạo hàm của hàm ẩn Hàm y = y(x) với x ∈ (a, b) cho ẩn bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tìm đạo hàm hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế, coi x là biến, y là hàm theo x. Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f(x) = x + x3 . Với f(x) là hàm 1 − 1 trên R, đạo hàm f (x) = 1 + 3x2 = 0, ∀x. Do đó dx dy = 1 y (x) = 1 1 + 3x2 Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số: x = a·cos3 t, y = b·sin3 t, t ∈ (0, π/2). x (t) = −3acos2 t sin t = 0, ∀t ∈ (0, π/2); y (t) = 3bsin2 t cos t; y (x) = y (t) x (t) = 3bsin2 t cos t −3acos2t sin t = − b a tan t. Ví dụ. Tìm y (x) biết y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình e2x+y = x3 + cos y e2x+y (2 + y (x)) = 3x2 − y (x) · sin y ⇒ y (x) = 3x2 − 2e2x+y e2x+y + sin y . 3.1.9. Đạo hàm cấp cao a. Định nghĩa Định nghĩa 3.1.5. Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số Có thể lấy một lần nữa của đạo hàm cấp một ta được khái niệm đạo hàm cấp 2 f (x) = (f (x)) . Tiếp tục quá trình trên ta có đạo hàm cấp n f(n) (x) = f(n−1) (x) . b. Công thức Leibnitz Giả sử y = f.g Dùng quy nạp ta chứng minh được công thức: (f · g)(n) = n k=0 Ck nf(k) · g(n−k) ⇔ (f · g)(n) = C0 nf(0) · g(n) + C1 nf(1) · g(n−1) + · · · + Cn n f(n) · g(0) . Ngô Mạnh Tưởng 56
  • 61.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Trong đó quy ước f(0) = f; g(0) = g. Phương pháp tính đạo hàm cấp cao 1. Sử dụng đạo hàm cấp cao của một số hàm số đã biết 2. Phân tích thành tổng các hàm đơn giản 3. Sử dụng công thức Leibnitz Đạo hàm cấp cao của một số hàm số 1. ((x + a)α ) (n) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1)(x + a)α−n ; 2. 1 x+a (n) = (−1)n n! 1 (x+a)n+1 ; 3. (eax )(n) = an · eax ; 4. (ln x)(n) = (−1)n−1 · (n−1)! xn ; 5. (sin(ax))(n) = an · sin ax + nπ 2 ; 6. (cos(ax))(n) = an · cos ax + nπ 2 . Chú ý. 1. ((ax + b)α ) (n) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1)(ax + b)α−n · an ; 2. (ln(ax + b))(n) = (−1)n−1 · (n−1)! (ax+b)n · an ; 3. (sin(ax + b))(n) = an · sin ax + b + nπ 2 ; 4. (cos(ax + b))(n) = an · cos ax + b + nπ 2 . Ví dụ. Tính y(n) (x) biết y = 1 x2 − 4 . Ta có y = 1 (x − 2)(x + 2) = 1 4 1 x − 2 − 1 x + 2 Sử dụng công thức 1 x + a (n) = (−1)n n! 1 (x + a)n+1 . Ta được y(n) = (−1)n n! 4 · 1 (x − 2)n+1 − 1 (x + 2)n+1 . Ngô Mạnh Tưởng 57
  • 62.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính y(100) (0) biết y = 1 x2 + 4 . Ta có y = 1 (x − 2i)(x + 2i) = 1 4i 1 x − 2i − 1 x + 2i Sử dụng công thức 1 x + a (n) = (−1)n n! 1 (x + a)n+1 . Ta được: y(n) = (−1)n n! 4i · 1 (x − 2i)n+1 − 1 (x + 2i)n+1 ⇒ y(100) = (−1)100 100! 4i · 1 (−2i)101 − 1 (2i)101 = 100! 4·2100 . 3.2. Vi phân của hàm số một biến 3.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1. Hàm số f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu f(x0 + ∆x) − f(x0) = A · ∆x + o(∆x). Khi đó, biểu thức A · ∆x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0, ký hiệu df(x0) = A · ∆x. Định lý 3.2.1. Hàm số y = f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f (x0). Chứng minh. Nếu f(x) khả vi tại x0, khi đó: f(x0 + ∆x) − f(x0) = A · ∆x + o(∆x) ⇒ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = A + o(∆x) ∆x ⇒ ∃f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = lim ∆x→0 A + o(∆x) ∆x = A Ngược lại, nếu tồn tại f (x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x ⇒ f(x0+∆x)−f(x0) ∆x − f (x0) → 0. Suy ra f(x) khả vi tại x0. 3.2.2. Tính chất Vi phân của hàm f(x) tại điểm x0: df(x0) = f (x0)dx 1. dα = 0, α ∈ R; Ngô Mạnh Tưởng 58
  • 63.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2. d (αf) = α · df, α ∈ R; 3. d (f + g) = df + dg; 4. d (f · g) = gdf + fdg; 5. d f g = gdf−fdg g2 . Các tính chất này suy ra trực tiếp từ tính chất của đạo hàm. 3.2.3. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Giả sử y = y(x) là hàm khả vi trong lân cận của x0. f (x0 + ∆x) − f(x0) = f (x0)∆x + o(∆x) ⇒ f (x) − f(x0) ≈ f (x0) (x − x0) ∆f ≈ df. Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1: f (x) ≈ f(x0) + f (x0) (x − x0) . Thay vì tính giá trị ∆f phức tạp, ta tính df đơn giản hơn. Ví dụ. Cho f(x) = x3 + x2 − 2x + 1. a. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01. b. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05. Ta có a. f(2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9 f(2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701 ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(2.01) − f(2) = 0.140701 df = f (x0) (x − x0) = 3.22 + 2.2 − 2 × 0.01 = 0.14. b. Tương tự, ∆f = 0.717625, df = 0.7. Khi x thay đổi nhỏ ∆f và df càng gần nhau. Ví dụ. Tính gần đúng 4 √ 17. Ta xét hàm số f(x) = 4 √ x. Áp dụng công thức tính gần đúng ta có: 4 x0 + ∆x ∼= 4 √ x0 + 1 4 4 √ x0 3 ∆x. Chọn x0 = 16, ∆x = 1 ta có: 4 √ 17 ∼= 4 √ 16 + 1 4 4 √ 163 = 2 + 1 4.23 = 2.031. Ngô Mạnh Tưởng 59
  • 64.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3.2.4. Vi phân cấp cao Cho df (x) = f (x) dx là một hàm theo biến x. Vi phân (nếu có) của df(x) được gọi là vi phân cấp 2 của hàm y = f(x) do đó d2 f (x) = d (df) = d (f (x) dx) = (f (x) dx) dx = f (x) dx2 . Tương tự, vi phân cấp n là vi phân (nếu có) của vi phân cấp n − 1 dn f(x) = f(n) (x)dxn . 3.2.5. Vi phân cấp cao của hàm hợp Cho hàm hợp f = f(u) u = u(x) Vi phân cấp 1 có tính bất biến: df = f (x)dx = f (u)du. Vi phân cấp 2: d2 f = d (df) = d (f (u)du). Chú ý. dx là hằng số, du không phải là hằng số: du = u (x)dx d2 f = d (f (u))×du+f (u)×d(du) = (f (u)) (u)du×du+f (u)×d2 u = f (u)du2 +f (u)d2 u. 3.3. Ứng dụng của đạo hàm của hàm số một biến 3.3.1. Các định lý về hàm số khả vi Định lý 3.3.1. (Định lý Rolle) Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng kín [a, b]; khả vi trong khoảng (a, b); f(a) = f(b) thì trong khoảng mở (a, b) có ít nhất một điểm c sao cho f (c) = 0. Chứng minh xem [1], [2], [5]. Định lý 3.3.2. (Định lý Lagrange) Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng kín [a, b], khả vi trên khoảng mở (a, b) thì trong khoảng (a, b) có ít nhất một điểm c sao cho f (b) − f (a) = f (c) (b − a). Chứng minh xem [1], [2], [5]. Định lý 3.3.3. (Định lý Cauchy) Nếu các hàm f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) , g (x) = 0, ∀x ∈ (a, b), thì có ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho: f (b) − f (a) g (b) − g (a) = f (c) g (c) . Ngô Mạnh Tưởng 60
  • 65.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Để chứng minh định lý Cauchy ta áp dụng định lý Rolle cho hàm phụ F(x) = f(x) − f (b) − f(a) g (b) − g(a) [g(x) − g(a)] . Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy với g(x) = x. 3.3.2. Quy tắc Lopitan Định lý 3.3.4. Giả sử các hàm f(x), g(x) liên tục và khả vi trong một miền nào đó và khi x → a hoặc khi x → ∞ thì cả hai hàm f(x), g(x) cùng tiến tới không (hoặc cùng tiến tới vô cùng). Khi đó nếu giới hạn của tỷ số f (x) g (x) tồn tại thì giới hạn của tỷ số f(x) g(x) cũng tồn tại và lim x→a f (x) g (x) = lim x→a f (x) g (x) , lim x→∞ f(x) g(x) = lim x→∞ f (x) g (x) . Chứng minh xem [1], [2], [5]. Quy tắc Lopitan có ứng dụng quan trọng trong việc tính toán các giới hạn có dạng vô định 0 0 ; ∞ ∞ . Ví dụ. Tính các giới hạn 1. lim x→0 e2x−1−2x 2x2 = lim x→0 2e2x−2 4x = lim x→0 4e2x 4 = 1. 2. lim x→+∞ ln x xα = lim x→+∞ 1 x αxα−1 = lim x→+∞ 1 αxα = 0 (α > 0). 3. lim x→+∞ ax xn = lim x→+∞ ax ln a nxn−1 = ... = lim x→+∞ ax(ln a)n n! = ∞ (a > 1). Chú ý: Khi gặp các dạng vô định 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0∞ , 00 , ∞0 ta tìm cách biến đổi để đưa chúng về dạng 0 0 ; ∞ ∞ rồi áp dụng quy tắc Lopitan. Ví dụ. lim x→0 (x2 ln x) = lim x→0 ln x 1/x2 = lim x→0 1/x −2/x2 = −1 2 lim x→0 x2 = 0. 3.3.3. Khai triển Taylor, Mac Laurin Định lý 3.3.5. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp n trong một miền chứa điểm x0 thì f(x) = f (x0) + f (x0) 1! (x − x0) + f (x0) 2! (x − x0)2 + · · · + f(n) (x0) n! (x − x0)n + Rn, trong đó Rn được gọi là phần dư thứ n. Ngô Mạnh Tưởng 61
  • 66.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor đến cấp n của hàm số bất f(x) thành đa thức tại x0. Chứng minh xem [1], [2], [5]. Đặc biệt nếu x0 = 0 ta có công thức khai triển Mac Laurin f(x) = f (0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x2 + ... + f(n) (0) n! xn + Rn cho phép khai triển một hàm bất kì (có đạo hàm liên tục tới cấp n) thành đa thức của x. Kết quả khai triển Mac Laurin của một số hàm số sơ cấp: 1. ex = 1 + x 1! + x2 2! + ... + xn n! + Rn. 2. sin x = x − x3 3! + x5 5! − ... + (−1)k−1 x2k−1 (2k−1)! + R2k−1. 3. cos x = x − x2 2! + x4 4! − ... + (−1)k x2k (2k)! + R2k. 3.3.4. Bài toán khảo sát hàm số Xem tài liệu [1], [2], [5]. 3.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 3.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f (x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x . Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: f (x0) ≈ f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x ⇒ ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f (x0) ∆x. Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f (x0). Như vậy đạo hàm f (x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng thêm 1 đơn vị tại điểm x0. Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x0. Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau: • Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), f (L0) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên tại điểm L0. Giá trị này được ký hiệu là MPPL (Marginal Physical Product Ngô Mạnh Tưởng 62
  • 67.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế of Labor), nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động tại điểm L0. • Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q), TR (Q0) được gọi là doanh thu cận biên tại điểm Q0, ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Đối với hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC (Q0) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0, ký hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C (Y0), ký hiệu là MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu hướng tiết kiệm cận biên là MPS = S (Y0) (Marginal Propensity to Save). Ví dụ. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5 √ L. ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L = 100 là MPPL = Q = 5 2 √ L = 0.25. Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật. 3.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Hệ số co dãn của cầu theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%. Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: ε = ∆Qd Qd .100 ∆p p .100 = ∆Qd ∆p p Qd . Ngô Mạnh Tưởng 63
  • 68.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p: ε = D (p). p D(p) . (3.4.1) Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công thức: ε = S (p). p S(p) . (3.4.2) Ví dụ. Nếu hàm cầu là Q = 1400 − p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là ε = D (p). p D(p) = (1400 − p2 ) p 1400 − p2 = −2p2 1400 − p2 . Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%. 3.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí TC = TC(Q) biểu diễn tổng chi phí TC ở mỗi mức sản lượng Q. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chí phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên mỗi đơn vị sản phẩm AC = TC(Q) Q . Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm của tổng chi phí MC = TC (Q). Ta có AC (Q) = TC Q = (TC) Q − TC Q2 = (TC) − TC Q Q = MC − AC Q . Do Q > 0 nên dấu của AC (Q) phụ thuộc vào dấu của hiệu MC − AC. Từ đó suy ra • Nếu MC > 0 thì AC (Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng; • Nếu MC < AC thì AC (Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm; • MC = AC khi và chỉ khi AC (Q) = 0, tức là khi chi phí bình quân đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân giảm. Ngô Mạnh Tưởng 64
  • 69.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 3.1: Trên hình vẽ AC(AverageCost) là đường chi phí bình quân, MC(MarginalCost) là đường chi phi cận biên. Đường MC cắt đường AC tại điểm có hoành độ Q0. Về phía Q > Q0 ta thấy MC < AC, do đó AC giảm. Tương tự doanh thu bình quân AR(Q) = TR(Q) Q và doanh thu cận biên MR(Q) = TR (Q) liên hệ với nhau như sau: • Nếu MR > 0 thì AR (Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng; • Nếu MR < AR thì AR (Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân giảm; • MR = AR khi và chỉ khi AR (Q) = 0, tức là doanh thu bình quân đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân giảm. 3.4.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế, việc ra quyết định gắn liền với việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f(x). Bài toán đặt ra là lựa chọn x để y đặt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. Hàm số y = f(x) được gọi là đạt cực trị tại x0 nếu f (x0) = 0 và đổi dấu qua nghiệm đó. • Nếu f (x0) > 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = x0, yCT = f(x0); • Nếu f (x0) < 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = x0, yCD = f(x0). Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận. Ngô Mạnh Tưởng 65
  • 70.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế a. Chọn mức sản xuất tối ưu Giả sử doanh nghiệp có hàm tổ chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số π = TR(Q) − TC(Q). Bài toán đặt ra là chọn mức sản lượng Q0 để thu được lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để π đạt cực đại tại điểm Q0 là π = TR (Q) − TC (Q) = 0 ⇔ TR (Q) = TC (Q) ⇔ MR = MC. Bằng ngôn ngữ kinh tế, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là doanh thu cận biên bằng chi phi cận biên. Tại điểm MR = MC, điều kiện đủ để π đạt cực đại là π = TR − TC < 0 ⇔ TR < TC . Ví dụ. Giả sử TR = 1400Q − 7, 5Q2 và TC = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750. Ta có MR = 1400 − 15Q, MC = 3Q3 − 12Q + 140. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là MR = MC ⇔ 1400 − 15Q = 3Q2 − 12Q + 140 ⇔ 3Q2 + 3Q − 1260 = 0. Phương trình có nghiệm là Q = 20 ( loại Q = −21 do Q > 0). Với Q = 20 ta có TR = (MR) = −15, TC = (MC) = 6 × 20 − 12 = 108. Điều kiện đủ TR < TC thỏa mãn, do đó Q = 20 là điểm cực đại. Chú ý trong khoảng (0; ∞) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm điểm cực trị duy nhất, do đó mức sản lượng tối ưu là Q = 20 và lợi nhuận tối đa là π = −(20)3 − 1, 5(20)2 + 1260 × 20 − 750 = 15850. b. Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), trong điều kiện giá sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền công) là w. Khi đó tổng lợi nhuận là hàm số của biến số L (lượng lao động được sử dụng) π = pf(L) − wL − C0, C0 là chi phí cố định. Bài toán đặt ra là chọn L để π đặt cực đại. Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là π = pf (L) − w = 0 ⇔ p.MPPL = w. Ngô Mạnh Tưởng 66
  • 71.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Như vậy, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động. Tại điểm L0 mà điều kiện cần đã được thỏa mãn, điều kiện đủ để đạt lợi nhuận tối đa là π = pf (L0) < 0 ⇔ f (L0) < 0. Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì thì sản phẩm hiện vật cận biên của lao động giảm dần khi L tăng, do đó Q = f (L0) < 0, tức là điều kiện đủ được thỏa mãn. Ví dụ. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn Q = 50 √ L, giá sản phẩm là $4 và giá lào động là $5. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là 4.MPPL = 5 ⇔ 4. 25 √ L = 5 ⇔ L = 400. Điều kiện đủ luôn thỏa mãn Q = − 12,5 L √ L < 0. Để đạt lợi nhuận tối đa doanh nghiệp phải sử dụng 400 đơn vị lao động. Ví dụ. Cho hàm chi phí C(Q) = 4Q3 + 5Q2 + 500(Q > 0) và hàm cầu là Q = 19680 − P. Hãy xác định mức sản lượng Q để cho lợi nhuận đạt được tối đa. Ta có π = R−C = PQ−C = (19680−Q)Q−(4Q3 +5Q2 +500) = −4Q3 −6Q2 +19680Q−500. π (Q) = −12Q2 − 12Q + 19680 = 0 ⇔ Q2 + Q − 1640 = 0 ⇔ Q = 30 ⇒ π(Q) = 476500. π (Q) = −24Q − 12 ⇒ π (30) = −24.30 − 12 = −732 < 0. Vậy, lợi nhuận đạt tối đa khi sản lượng Q = 30. 3.5. BÀI TẬP 3.5.1. Đạo hàm cấp cao 1. Tìm y(100) (0), biết y = 1 x2+4 . 2. Tìm y(100) (1), biết y = (3x2 + 1) ln x. 3. Tìm y(100) (x), biết y = (2x + 3) cos 2x. 4. Tìm y(100) (0), y(101) (0), biết y = arctan x. 5. Tìm y(100) (x), biết y = x2 sin x. 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: (a) y = 1 x2−4 . (b) y = sin2 x. Ngô Mạnh Tưởng 67
  • 72.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (c) y = ln(x2 − 3x + 2). (d) y = ln x+1 x−1 . (e) y = x ln (x2 − 3x + 2). (f) y = (3 − 2x)2 e2−3x . (g) y = cos4 x + sin4 x. (h) y = 3−2x2 2x2+3x−2 . (i) y = (x2 + x)cos2 x. (j) y = x ln 3+x 3−x . 3.5.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin 1. Tìm khai triển Mac Laurin đến cấp n của các hàm số: (a) f (x) = x2+3ex e2x , n = 3. (b) f (x) = ln2−3x 3+2x , n = 3. (c) f (x) = ln (x2 + 3x + 2) , n = 4. (d) f (x) = (1−x) ln(1+x)−(1+x) ln(1− x), n = 5. (e) f(x) = 1 x2−5x+6 , n = 3. (f) f (x) = ln 3+x 2−x , n = 5. (g) f (x) = 1 1−x−x2+x3 , n = 5. 2. Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n của các hàm số sau: (a) f (x) = ln (2x + 1) , x = 1 2 , n = 3. (b) f(x) = ln(2 + 3x), x = 1, n = 3. (c) f (x) = ln (2x − x2 + 3) , x = 2, n = 5. (d) f (x) = ln(2 + x − x2 ), x = 1, n = 3. (e) f (x) = 2x 1−x2 , x = 2, n = 5. (f) f (x) = x2+3x x+1 , x = 1, n = 3. (g) f (x) = (x2 − 1)e2x , x = −1, n = 3. 3.5.3. Tính giới hạn 1. lim x→0 1 x − 1 ex−1 . 2. lim x→1 1 ln x − 1 x−1 . 3. lim x→0 ex−1−sin x x ln(1+2x) . 4. lim x→0 cot2 x − 1 x2 . 5. lim x→0 1 x2 − 1 x tan x . 6. lim x→0 x2 ln x. 7. lim x→+∞ (x + ex ) 1 x . 8. lim x→0 (cos x) 1 x2 . 9. lim x→0 1+tan x 1+sinx 1 sin x . 10. lim x→0 (1 + x)ln x . 11. lim x→0 (1 + x2 ) 1 ex−1−x . 12. lim x→0 5 2+ √ 9+x 1 sin x . 3.5.4. Ứng dụng của đạo hàm 1. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 5 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. Ngô Mạnh Tưởng 68
  • 73.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 2. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 10 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. 3. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 15 √ L. Tính MPPL tại điểm L = 100 và nêu ý nghĩa. 4. Cho hàm cầu Q = 1400 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 5. Cho hàm cầu Q = 1500 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 6. Cho hàm cầu Q = 1300 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa. 7. Cho hàm cầu Q = 300 − P và hàm chi phí C = Q3 − 19 Q2 + 333 Q + 10. Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Ngô Mạnh Tưởng 69
  • 74.
    Chương 4 TÍCH PHÂN Trongchương trình bày một số khái niệm cơ bản về nguyên hàm, tích phân, các phương pháp tính tích phân của các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác; tích phân xác định, tích phân suy rộng, các phương pháp tính và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng; Ứng dụng của tích phân trong phân tích kinh tế. 4.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2. Phương pháp tính tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Phép tính nguyên hàm của một số hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5. Hai phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.6. Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.7. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.8. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định 4.1.1. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa 4.1.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F(x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) nếu y = F(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx với mọi x ∈ (a; b). • Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. • Hàm số y = F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng đóng [a; b] nếu – F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a; b) ; – F (a + 0) = f(a); F (b − 0) = f(b). Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 là hàm số F(x) = x3 3 . Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là hàm số F(x) = −cosx.
  • 75.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.1.2. Tích phân không xác định Định nghĩa 4.1.2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) + C, C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f(x) đó được gọi là tích phân không xác định hay tích phân bất định của f(x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f(x)dx = F(x) + C. Các tính chất đơn giản 1. f(x)dx = f(x); 2. d f(x)dx = f(x)dx; 3. Nếuf(x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f(x) + C; 4. Nếuf(x)là hàm khả vi thì df(x) = f(x) + C; 5. αf(x)dx = α f(x)dx; 6. (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx+ g(x)dx. 4.1.3. Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Ngô Mạnh Tưởng 71
  • 76.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.2. Phương pháp tính tích phân không xác định 4.2.1. Phương pháp đổi biến số Định nghĩa 4.2.1. Nếu tồn tại hàm hợp f(ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f(ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f(t)dt t=ϕ(x) . Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f(t)dt = f(ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1(t) hay f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1(x) . Ví dụ. Tính I = dx sin x . Ta có I = dx sin x = sin xdx sin2 x = − dcosx 1 − cos2x = − dt 1 − t2 = 1 2 dt t − 1 − dt t + 1 = 1 2 ln cosx − 1 cosx + 1 + C = 1 2 ln tan x 2 + C. Ví dụ. Tính ln(arccos x)dx √ 1 − x2 arccos x . Đặt t = ln(arccos x) ⇒ dt = −dx √ 1 − x2 arccos x . Suy ra ln(arccos x)dx √ 1 − x2 · arccos x = 1 2 ln2 (arccos x) + C. Ví dụ. Tính dx a2 + x2 bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x2 = a2 cos2t , dx = a. dt cos2t dx a2 + x2 = a.dt cos2 t : a2 cos2 t = 1 a dt = 1 a t + C = 1 a arctan x a + C. Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức √ a2 − x2 đặt x = a sin t; khi gặp biểu thức 1 a2 + x2 đặt x = arctan x và sử dụng phép đổi biến số dạng (2). 4.2.2. Phương pháp tích phân từng phần Định nghĩa 4.2.2. Giả sử hai hàm u = u(x), v = v(x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v.u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du. Ngô Mạnh Tưởng 72
  • 77.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng Pn(x) ln xdx; Pn(x) arcsinxdx; Pn(x) arccos xdx đặt dv = Pn(x)dx, phần còn lại là u. Dạng Pn(x)ex dx; Pn(x)sinxdx; Pn(x)cosxdx đặt u = Pn(x), dv là phần còn lại. Ví dụ. Tính I = arccos2 xdx. Đặt u = arccos2 x ⇒ du = −2 arccos xdx √ 1 − x2 , dv = dx ⇒ v = x. Suy ra I = x arccos2 x − −2x arccos x √ 1 − x2 dx = x arccos2 x + I1, đặt u = arccos x ⇒ du = −dx √ 1 − x2 và dv = xdx √ 1 − x2 ⇒ v = xdx √ 1 − x2 = − √ 1 − x2 + C, suy ra I1 = − √ 1 − x2 arccos x − dx = − √ 1 − x2 arccos x − x + C2. 4.3. Phép tính nguyên hàm của một số hàm số 4.3.1. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Tính Pn(x) Qm(x) dx, trong đó Pn, Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực. Ta thực hiện các bước sau: 1. Chia tử cho mẫu (nếu n ≥ m) và đưa về tích phân các phân thức thực sự, chẳng hạn Rk(x) Qm(x) dx với 0 ≤ k < m; 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai Qm(x) = (x − a1)s1 ... (x − ak)sk · x2 + p1x + q1 t1 · · · x2 + pvx + qv tv ; 3. Phân tích Pk(x) Qm(x) = Pn(x) (x − a1)s1 (x2 + p1x + q1)t1 = A1 (x − a1) + A2 (x − a1)2 +· · ·+ As1 (x − a1)s1 +· · · + B1x + C1 (x2 + p1x + q1) + B2x + C2 (x2 + p1x + q1)2 + · · · + Bt1 x + Ct1 (x2 + p1x + q1)t1 ; 4. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: Ngô Mạnh Tưởng 73
  • 78.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • dx (x − a)n = 1 (n − 1) (x − a)n−1 + C, n = 1; • (Mx + n) dx x2 + px + q = M 2 2x+p x2+px+q dx + N − Mp 2 dx x2 + px + q ; • In = dx (x2 + a2)n u = 1 (x2 + a2)n ⇒ du = −2nxdx (x2 + a2)n+1 , dv = dx ⇒ v = x. Khi đó In = x (x2 + a2)n + 2n x2 dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n + 2n (x2 + a2 − a2 ) dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n +2n dx (x2 + a2)n −2na2 dx (x2 + a2)n+1 = x (x2 + a2)n +2nIn−2na2 In+1. Hệ thức truy hồi In+1 = 1 2na2 x (x2 + a2)n + (2n − 1) In suy ra I1 = dx x2 + a2 = 1 a arctan x a + C. Ví dụ. Tính I = dx (x − 2)3 . Ta có I = d(x − 2) (x − 2)3 = (x − 2)−3 d(x − 2) = − 1 2 (x − 2)−3+1 + C = −1 2(x − 2)2 + C. Ví dụ. Tính I = dx x2 + 2x + 5 . Ta có I = dx (x + 1)2 + 22 = d (x + 1) (x + 1)2 + 22 = 1 2 arctan x + 1 2 + C. Ví dụ. Tính I = (x + 4)dx (x − 2)(x + 1) . Ta có x + 4 (x − 2)(x + 1) = A x − 2 + B x + 1 . Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. I = 2dx x − 2 − dx x + 1 = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln (x − 2)2 x + 1 + C. Ví dụ. Tính I = 2x3 + x2 + 5x + 1 (x2 + 3)(x2 − x + 1) dx. 2x3 + x2 + 5x + 1 (x2 + 3)(x2 − x + 1) = Ax + B x2 + 3 + Cx + D x2 − x + 1 . Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. I = dx x2 + 3 + 2xdx x2 − x + 1 . Ngô Mạnh Tưởng 74
  • 79.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính I = dx x2 + 2x + 5 . I = dx (x + 1)2 + 22 = d (x + 1) (x + 1)2 + 22 = 1 2 arctan x + 1 2 + C = dx x2 + 3 + (2x − 1) + 1 x2 − x + 1 dx = 1 √ 3 arctan x √ 3 +ln(x2 −x+1)+ 2 √ 3 arctan 2x − 1 √ 3 +C. Ví dụ. Tính I = 4x2 − 8x (x − 1)2(x2 + 1)2 dx. P(x) (x2 + 1)2(x − 1)2 = A x − 1 + B (x − 1)2 + Cx + D x2 + 1 + Ex + F (x2 + 1)2 . Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx (x2 + 1)2 = −2xdx (x2 + 1)2 + 4dx (x2 + 1)2 . Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 4dx (x2 + 1)2 . Để tìm các hệ số A, B, C, ... nhanh, có thể sử dụng khai triển Heaviside: Từ (*) ta có 4x2 − 8x = A(x − 1)(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2 + (Cx + D)(x − 1)2 (x2 + 1) + (Ex + F)(x − 1)2 . Thay x = 1, tìm được B = −1. Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i. Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1. 4.3.2. Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản a. Tích phân có chứa căn thức R   x, ax + b cx + d p1 q1 , ax + b cx + d p2 q2 , · · ·   dx. Cách giải: Đổi biến tn = ax + b cx + d , n là bội chung nhỏ nhất của q1, q2. Ngô Mạnh Tưởng 75
  • 80.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Tích phân có chứa √ ax2 + bx + c Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt2 + β. Ví dụ. Tính I = dx √ 2x − 1 − 4 √ 2x − 1 . Đổi biến 2x − 1 = t4 ⇒ 2dx = 4t3 dt, suy ra I = 2t2 dt t − 1 = 2 t + 1 + 1 t − 1 dt = t2 + 2t + ln |t − 1| + C. Ví dụ. Tính I = x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 √ x + 1 (x + 1)(1 + 3 √ x + 1) dx. Đổi biến x + 1 = t6 ⇒ dx = 6t5 dt, suy ra I = 6 (t6 + t4 + t)t5 dt t6(1 + t2) = 6 t3 dt + 6 dt t2 + 1 = 3 2 3 √ x2 + 6 arctan 6 √ x + C. 4.3.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a. Dạng chứa R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. Cách giải chung: Đặt t = tan x 2 , x ∈ (−π, π), ⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 dt 1 + t2 , sin x = 2t 1 + t2 , cos x = 1 − t2 1 + t2 , suy ra R (sin x, cos x)dx = 2 R 2t 1 + t2 , 1 − t2 1 + t2 dt 1 + t2 . Ví dụ. Tính I = dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Đổi biến t = tan x 2 , x ∈ (−π, π) ⇒ dx = 2 dt 1 + t2 sin x = 2t 1 + t2 , cos x = 1 − t2 1 + t2 . Ta có I = 2 dt 6t + 4(1 − t2) + 5(1 + t2) = 2 dt t2 + 6t + 9 = 2 (t + 3)−2 d(t + 3) = −2 t + 3 + C = −2 tan(x/2) + 3 + C. Ví dụ. Tính I = dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Đổi biến t = tan x 2 , x ∈ (−π, π), suy ra dx = 2 dt 1 + t2 ; sin x = 2t 1 + t2 , cos x. Vậy I = 1 − t2 1 + t2 = 2 dt 6t + 4(1 − t2) + 5(1 + t2) = 2 dt t2 + 6t + 9 = 2 (t + 3)−2 d(t + 3) = −2 t + 3 + C = −2 tan(x/2) + 3 + C. Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh. Ngô Mạnh Tưởng 76
  • 81.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Dạng chứa R (sin x, cos x)dx 1. R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ −π 2 , π 2 ; 2. R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π); 3. R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt t = tan x, x ∈ −π 2 , π 2 ; 4. sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x. Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x. Ví dụ. Tính I = (2 sin x + 3 cos x)dx sin2 x cos x + 9 cos3 x . Dạng R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x). Đổi biến t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = dx cos2 x . Chia tử và mẫu cho cos3 x ta được I = (2 tan x + 3)d(tan x) tan2 x + 9 = 2t + 3 t2 + 9 dt = 2t t2 + 9 dt + 3 t2 + 32 dt = ln(t2 + 9) + arctan t 3 + C = ln(tan2 x + 9) + arctan tan x 3 + C. Ví dụ. Tính I = cos3 x · sin8 xdx. Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx, suy ra I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx) = (1 − t2 )t8 dt = t9 9 − t11 11 + C = sin9 x 9 − sin11 x 11 + C. Ví dụ. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dx. Dạng R (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x). Đổi biến t = sinh(x) ⇒ dt = cosh(x))dx, ta có I = (sinh2 x cosh2 x)(cosh x)dx = sinh2 x(sinh2 x + 1)(cosh x)dx = t2 (t2 + 1)dt = t6 6 + t3 3 + C = sinh6 x 6 + sinh3 x 3 + C. c. Dạng I = a1 sin x + b1 cos x a sin x + b cos x dx Phân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x). Đồng nhất hai vế Ab − aB = a1 Aa + Bb = b1 giải tìm A, B. I = A(a sin x + b cos x) dx a sin x + b cos x + Bdx = A ln(a sin x + b cos x) + Bx + C. Ngô Mạnh Tưởng 77
  • 82.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính I = (2 sin x + 3 cos x)dx sin x + 4 cos x . Phân tích 2 sin x+3 cos x = A(sin x+4 cos x)+B(sin x+4 cos x) , suy ra 2 sin x+3 cos x = (A − 4B) sin x + (4A + B) cos x. Đồng nhất hai vế ta được A − 4B = 2 4A + B = 3 ⇔ A = 1 B = −1/4. Suy ra I = A(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x dx + B(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x dx = A dx + Bd(sin x + 4 cos x) sin x + 4 cos x = Ax + B ln (sin x + 4 cos x) + C. d. Tích phân dạng I = a1 sin x + b1 cos x + c1 a sin x + b cos x + c dx Phân tích a1 sin x + b1 cos x + c1 = A (a sin x + b cos x + c) + B (a sin x + b cos x + c) + C = (Aa + Bb) cos x + (Ab − aB) sin x + (Bc + C) . Đồng nhất hai vế suy ra    Ab − aB = a1 Aa + Bb = b1 Bc + C = c1 giải tìm A, B, C. Vậy I = A ln(a sin x + b cos x + c) + Bx + Cdx a sin x + b cos x + c . Tích phân cuối cùng tính bằng cách đổi biến chung t = tan x 2 . Ví dụ. Tính I = (2 sin x + cos x + 3)dx 3 sin x + 4 cos x + 5 . Phân tích 2 sin x + cos x + 3 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 sin x + 4 cos x + 5) + C, suy ra 2 sin x + cos x + 3 = (3A − 4B) sin x + (4A + 3B) cos x + (5A + C). Đồng nhất hai vế ta được    3A − 4B = 2 4A + 3B = 1 5A + C = 3. Vậy I = A dx + B d(3 sin x + 4 cos x + 5) 3 sin x + 4 cos x + 5 + Cdx 3 sin x + 4 cos x + 5 = Ax + ln(3 sin x + 4 cos x + 5) + I1. với I1 đã tính ở ví dụ trước. Ngô Mạnh Tưởng 78
  • 83.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.4. Tích phân xác định 4.4.1. Bài toán diện tích hình thang cong Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1, S2, ..., Sn Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, ..., Sn bằng các hình chữ nhật Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần Ngô Mạnh Tưởng 79
  • 84.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác Trên mỗi miền con S1, S2, ..., Sn lấy một điểm tùy ý Ta có S = S1 + S2 + · · · + Sn S f (x∗ 1) (x1 − x0) + f (x∗ 2) (x2 − x1) + · · · f (x∗ n) (xn − xn−1) S n i=1 f (x∗ i ) ∆xi Nếu giới hạn I = lim ∆xi→0 n i=1 f (x∗ i ) ∆xi tồn tại không phụ thuộc cách chia S và cách chọn điểm x∗ i , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a, b] và S = lim max(∆xi)→0 n i=1 f (x∗ i ) ∆xi = b a f (x)dx. Ví dụ. Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1 Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái Ngô Mạnh Tưởng 80
  • 85.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Chia S thành 10 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Ngô Mạnh Tưởng 81
  • 86.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chia S thành 30 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Chia S thành 50 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Bảng thống kê một số giá trị 4.4.2. Tính chất 1. Nếu các hàm f(x), g(x) khả tích trên [a, b] thì các hàm f(x) + g(x), k.f(x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và b a [f(x) + g(x)]dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx; b a kf(x)dx = k b a f(x)dx; 2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c, b] thì nó cũng khả tích trên [a, b] và b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx; Ngô Mạnh Tưởng 82
  • 87.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, b] thì b a f (x) dx 0; 4. Nếu f (x) g (x) , ∀x ∈ [a, b] thì b a f(x)dx b a g(x)dx; 5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f(x) trên [a, b] thì m(b − a) b a f(x)dx M(b − a); 6. Nếu f(x) là hàm lẻ thì a −a f(x)dx = 0. Nếu f(x) là hàm chẵn thì a −a f(x)dx = 2 a 0 f(x)dx; 7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x). Khi đó b a f(x)dx = F(x)|b a = F(b) − F(a); 8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì   x a f(t)dt   = f(x)   ϕ(x) a f(t)dt   = f(x).ϕ (x). 4.5. Hai phương pháp tính tích phân 4.5.1. Phương pháp đổi biến số Nếu f(x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xác định và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì b a f(x)dx = β α f[ϕ(t)].ϕ (t)dt. Ví dụ. Tính I = a 0 √ a2 − x2dx Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có: a2 − x2 = a2 (1 − sin2 t) = a2 cos2 t, dx = a cos tdt. Ngô Mạnh Tưởng 83
  • 88.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = π 2 . Do đó I = π/2 0 a cos t.a cos tdt = a2 π/2 0 cos2 tdt = a2 2 π/2 0 (1 + cos 2t)dt = a2 2 t + 1 2 sin 2t π/2 0 = πa2 4 . Ví dụ. Tính I = π/2 0 sin x 1 + cos2x dx. Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = π 2 ⇒ t = 0 I = 0 1 −dt 1 + t2 = 1 0 dt 1 + t2 = arctgt|1 0 = π 4 . 4.5.2. Phương pháp tích phân từng phần Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b a f (x) dx = b a udv = uv|b a − b a vdu. Thật vậy, uv|b a = b a d(uv) = b a (vdu + udv) = b a vdu + b a udv. Ví dụ. Tính I = 2 1 ln xdx. Giải: Đặt u = ln x, dv = dx ta có du = dx x , v = x suy ra I = x ln x |2 1 − 2 1 dx = 2 ln 2 − 1. 4.6. Tích phân suy rộng 4.6.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Cận lấy tích phân là vô hạn) a. Bài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f(x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a S = +∞ a f (x) dx = lim b→+∞ b a f (x) dx. Ngô Mạnh Tưởng 84
  • 89.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế b. Định nghĩa Định nghĩa 4.6.1. Cho hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ a f (x) dx = lim b→+∞ b a f (x) dx được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1 a −∞ f (x) dx = lim b→−∞ a b f (x) dx +∞ −∞ f (x) dx = a −∞ f (x) dx + +∞ a f (x) dx. c. Sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa 4.6.2. Nếu giới hạn lim b→+∞ b a f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân +∞ a f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Định lý 4.6.1. (Công thức Newton-Leibnitz ) Giả sử F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, +∞) khi đó +∞ a f(x)dx = lim b→+∞ b a f(x)dx = lim b→+∞ (F(b) − F(a)) . Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim b→+∞ F(b) := F(∞) +∞ a f(x)dx = F(x)|+∞ a = F(+∞) − F(a). Ngô Mạnh Tưởng 85
  • 90.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = 1 x , trục hoành, đường thẳng x = 1. Ta có S = +∞ 1 1 x dx = lim a→+∞ a 1 1 x dx = lim a→+∞ (ln |x|) |a 1 = lim a→+∞ (ln |a|) = +∞, S có diện tích là vô hạn. Ví dụ. Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = 1 x2 + 1 và trục hoành S = +∞ −∞ 1 x2 + 2 dx = 2 +∞ 0 1 x2 + 2 dx = 2 lim a→+∞ (arctan x |a 0) = π, S có diện tích là π. Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 1 e−2x dx. Ta có I = +∞ 1 e−2x dx = − 1 2 e−2x |+∞ 1 = − e−∞ 2 − e−2 2 = 1 2e2 . Ví dụ. Tính I = +∞ 4 dx x2 − 5x + 6 . Ta có I = +∞ 4 1 x2 − 5x + 6 dx = +∞ 4 1 x − 3 − 1 x − 2 dx = lim x→∞ ln x − 3 x − 2 −ln 4 − 3 4 − 2 = ln 2. Ngô Mạnh Tưởng 86
  • 91.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 0 e−2x cos xdx. Đặt u = e−2x ⇒ du = −2e−2x dx dv = cos xdx ⇒ v = sin x ⇒ I = e−2x sin x +∞ 0 + 2 +∞ 0 e−2x sin xdx. Ta có lim x→+∞ (e−2x sin x) = 0 suy ra I = 2 +∞ 0 e−2x sin xdx. Đặt u = e−2x ⇒ du = −2e−2x dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x, suy ra I = −2 e−2x cos x +∞ 0 − 4 +∞ 0 e−2x cos xdx = 2 − 4I ⇒ I = 2 5 . Ví dụ. Tính tích phân I = +∞ 0 arctan x (1 + x2)3/2 dx. Đặt t = arctan x ⇒ dt = dx 1 + x2 , x = tan t ⇒ 1 + x2 = 1 cos2t . Đổi cận    x → 0 ⇒ t → 0 x → +∞ ⇒ t → π 2 Suy ra I = +∞ 0 arctan x (1 + x2)3/2 dx = +∞ 0 arctan x √ 1 + x2 dx 1 + x2 = π/2 0 t cos tdt = π 2 − 1. Ví dụ. Xét tích phân +∞ a 1 xα dx (a > 0). 1. Với α > 1, suy ra +∞ a 1 xα dx = 1 1 − α 1 xα−1 +∞ a = 1 (α − 1) aα−1 hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2. Với α < 1, suy ra +∞ a 1 xα dx = x1−α 1 − α +∞ a = +∞ nên tích phân phân kỳ. Ngô Mạnh Tưởng 87
  • 92.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 3. Với α = 1, suy ra +∞ a 1 x dx = ln |x||+∞ a = +∞ nên tích phân phân kỳ. Vậy tích phân I = +∞ a 1 xα dx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi α 1. d. Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 4.6.2. (Định lý so sách 1) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó 1. Nếu +∞ a g (x) dx hội tụ thì +∞ a f (x) dx hội tụ; 2. Nếu +∞ a f (x) dx phân kỳ thì +∞ a g (x) dx phân kỳ. Để khảo sát sự hội tụ của I = +∞ a f(x)dx thường so sánh với +∞ a dx xα đã biết kết quả. Chú ý. Trong định lý so sánh 1 1. f (x) , g (x) là các hàm số không âm; 2. Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f(x) g(x); 3. Cận dưới của tích phân +∞ a dx xα là số dương a > 0. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 dx 2x2 + sin2 3x . Ta có f(x) = 1 2x2 + sin2 3x 1 2x2 = g(x). Vì +∞ 1 dx 2x2 hội tụ, theo định lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 ln3 xdx x + 5 . Ta có f (x) = ln3 x x + 5 > 1 x + 5 > 1 2x = g (x) , ∀x > 5. Vì +∞ 1 dx 2x phân kỳ, theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ. Định lý 4.6.3. (Định lý so sách 2) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và lim x→+∞ f (x) g (x) = k. Khi đó • Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân +∞ a f (x) dx và +∞ a g (x) dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ; Ngô Mạnh Tưởng 88
  • 93.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu k = 0 và tích phân +∞ a g (x) dx hội tụ thì tích phân +∞ a f (x) dx hội tụ; • k = +∞ và tích phân +∞ a g (x) dx phân kỳ thì tích phân +∞ a f (x) dx phân kỳ. Chú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1. Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm; 2. Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞; 3. Tính K = lim x→+∞ f(x) g(x) và kết luận. Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f(x) x→+∞ g(x) thì +∞ a f (x) dx và +∞ a g (x) dx cùng tính chất trên. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 √ x3dx 1 + x2 . Giải: Ta có lim x→+∞     √ x3 1 + x2 1 x     = +∞. Do +∞ 1 dx x phân kỳ, nên theo định lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ. Định nghĩa 4.6.3. Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó • Nếu +∞ a |f (x)| dx hội tụ thì +∞ a f (x) dx hội tụ và được gọi +∞ a f (x) dx hội tụ tuyệt đối; • Nếu +∞ a f (x) dx hội tụ nhưng +∞ a |f (x)| dx phân kỳ thì +∞ a f (x) dx được gọi là bán hội tụ. Chú ý. Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân +∞ a f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm +∞ a |f (x)| dx. Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = +∞ 1 sin xdx x2 + ln 2x . Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá f(x) = sin x x2 + ln 2x 1 x2 + ln 2x x→+∞ 1 x2 = g(x), suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f(x) có dấu bất kỳ. Xét tích phân có hàm không âm J = +∞ 1 sin x x2 + ln 2x dx, ta có |f(x)| = sin x x2 + ln 2x 1 x2 + ln 2x x→+∞ 1 x2 . Ngô Mạnh Tưởng 89
  • 94.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Do +∞ 1 1 x2 dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt đối. Chú ý. 1. Các tích phân a −∞ f (x) dx, +∞ −∞ f (x) dx cũng có kết quả tương tự. 2. Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng +∞ a f(x)dx khi tách có dạng vô định G(x)|+∞ a + H(x)|+∞ a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. 3. Với tích phân có hai điểm suy rộng +∞ −∞ f (x) dx khi tách ra thành các tích phân a −∞ f(x)dx + +∞ a f(x)dx chỉ cần một trong hai tích phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ. 4.6.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân) a. Định nghĩa Định nghĩa 4.6.4. Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f(x) nếu lim x→x0 f(x) = ∞. Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = b Khi đó b a f(x)dx := lim t→0 b−t a f(x)dx (0 < t < b − a) được gọi là tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b]. Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = a Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b] là b a f(x)dx := lim t→0 b a+t f(x)dx trong đó (0 < t < b − a). Ngô Mạnh Tưởng 90
  • 95.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Giả sử trên [a, b] hàm số y = f(x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên [a, b] là b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx = lim t→0 c−t a f(x)dx + lim t→0 b c+t f(x)dx. Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. Nhận xét. 1. Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2. Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. 3. Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Ví dụ. Tính I = 0 −1 dx √ 1 − x2 . Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên I = 0 −1 dx √ 1 − x2 = lim ε→0 0 −1+ε dx √ 1 − x2 = lim ε→0 arcsin x |0 −1+ε = lim ε→0 (− arcsin (−1 + ε)) = π 2 . Ví dụ. Tính tích phân I = 3 0 dx x − 1 . Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên I = 1 0 dx x − 1 + 3 1 dx x − 1 = I1 + I2. Mặt khác do I1 = lim t→0 1−t 0 dx x − 1 = lim t→0 ln |x − 1| |1−t 0 = lim t→0 ln |t| = +∞. Vậy I phân kỳ. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = b a 1 (b − x)α dx (a < b, α > 0). Giải: Ta có x = b là điểm bất thường Ngô Mạnh Tưởng 91
  • 96.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Với α = 1 ta có I = lim ε→0 b−ε a 1 (b − x)α dx = lim ε→0 (b − x)1−α α − 1 |b−ε a = = lim ε→0 1 α − 1 ε1−α + 1 1 − α (b − a)1−α =    +∞ khi α > 1 (b − a)1−α 1 − α khi α < 1. • Với α = 1 ta có b a 1 (b − x)α dx = b a 1 b − x dx = − lim ε→0 ln |b − x| |b−ε a = −∞. • Vậy I hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. Ví dụ. Tương tự tích phân I = b a 1 (x − a)α dx (a < b, α > 0) hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. b. Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 4.6.4. (Định lý so sách 1) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó 1. Nếu b a g (x) dx hội tụ thì b a f (x) dx hội tụ; 2. Nếu b a f (x) dx phân kỳ thì b a g (x) dx phân kỳ. Định lý 4.6.5. (Định lý so sách 2) Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất và lim x→a+ f (x) g (x) = k. Khi đó • Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân b a f (x) dx và b a g (x) dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ; • Nếu k = 0 và tích phân b a g (x) dx hội tụ thì tích phân b a f (x) dx hội tụ; • k = +∞ và tích phân b a g (x) dx phân kỳ thì tích phân b a f (x) dx phân kỳ. Định nghĩa 4.6.5. Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó • Nếu b a |f (x)| dx hội tụ thì b a f (x) dx hội tụ và được gọi b a f (x) dx hội tụ tuyệt đối; Ngô Mạnh Tưởng 92
  • 97.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế • Nếu b a f (x) dx hội tụ nhưng b a |f (x)| dx phân kỳ thì b a f (x) dx được gọi là bán hội tụ. Tương tự với x = b là điểm bất thường duy nhất. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = 2 1 dx √ x2 − 1 . Giải: Ta có x = 1 là điểm bất thường và f(x) = 1 (x − 1)(x + 1) x→1+ 1 √ 2(x − 1)1/2 . Chọn g(x) = 1 (x − 1)1/2 ⇒ lim x→+∞ f(x) g(x) = 1 √ 2 hữu hạn khác 0, do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mặt khác tích phân 2 1 1 (x − 1)1/2 dx hội tụ, nên I hội tụ. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân I = 4 0 dx √ x − 2 . Giải: Ta có x = 4 là điểm bất thường và f(x) = 1 √ x − 2 = √ x + 2 x − 4 x→4− 4 (x − 4)1 . Chọn g (x) = 1 x − 4 ⇒ lim x→4 f (x) g (x) = lim x→4 x − 4 √ x − 2 = 4 hữu hạn khác 0, do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mặt khác tích phân 4 0 1 x − 4 dx phân kỳ nên I phân kỳ. 4.7. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 4.7.1. Ứng dụng tích phân không xác định a. Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gian. Xét lượng đầu tư I và quỹ vốn K là các biến phụ thuộc vào thời gian t I = I(t), K = K(t). Lượng đầu tư I tại thời điểm t chính là lượng bổ sung quỹ vốn tại thời điểm đó. Nói cách khác, I(t) là tốc độ tăng của K(t), do đó I(t) = K (t). Ngô Mạnh Tưởng 93
  • 98.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta có thể xác định được quỹ vốn K(t) bởi công thức K (t) = I (t) dt. Hằng số C trong tích phân không xác định được xác định nếu ta biết quỹ vốn ban đầu K0 = K(0). Ví dụ. Giả sử lượng đầu tại thời điểm t được xác định dưới dạng hàm số I (t) = 140t0,75 và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) = 150. Quỹ vốn tại thời điểm t là K (t) = 140t 3 4 dt = 140. 4 7 t 7 4 + C. Tại thời điểm xuất phát K(0) = C = 150, do đó K (t) = 80 4 √ t7 + 150. b. Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên Giả sử biến kinh tế y mang ý nghĩa (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng số tiêu dùng, ...), được xác định theo giá trị của biến số x: y = f(x). Như ta đã biết đạo hàm y = f (x) là giá trị y cận biên của x (tại mỗi điểm x). Nếu biết được hàm giá trị cận biên y = f (x) = g(x) thì ta có thể xác định được hàm tổng y = f(x) thông qua phép tính tích phân y = f (x) = g (x) dx. Chú ý tích phân không xác định là tập hợp các nguyên hàm, nên để xác định được hàm tổng ta cần quan tâm đến các thông tin bổ sung. Ví dụ. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) ở mỗi mức sản lượng Q là MC = 25 − 30Q + 9Q2 và chi phí cố định (Fixed Cost) là FC = 55. Hàm tổng chi phí được xác định bởi công thức C = 25 − 30Q + 9Q2 dQ = 25Q − 15Q2 + 3Q3 + C0. Chi phí cố định là phần chi phí không phụ thuộc sản lượng Q, do đó FC = 55 = C (0) = C0 ⇒ C = 55 + 25Q − 15Q2 + 3Q3 . Ngô Mạnh Tưởng 94
  • 99.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Chi phí khả biến (Variable Cost) là phần chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q. Đó là hiệu số của tổng chi phí và chi phí cố định. Vậy V C = C − FC = 25Q − 15Q2 + 3Q3 . Ví dụ. Giả sử doanh thu cận biên (Marginal Revenue) ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số MR = 60 − 2Q − 2Q2 . Hãy xác định tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm. Hàm tổng doanh thu R là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên C = 60 − 2Q − 2Q2 dQ = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 + R0. Hiển nhiên là doanh thu bán hàng khi Q = 0 là R0 = 0. Vậy R = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 . Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p). Ta có R = p(Q)Q. Từ đây suy ra p (Q) = R Q = 60Q − Q2 − 2 3 Q3 . Ví dụ. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) biểu diễn lượng tiêu dùng C theo mức thu nhập Y . Xu hướng tiêu dùng cận biên MPC (Marginal Propensity to consume) ở mức thu nhập Y là đạo hàm của hàm tiêu dùng MPC = C (Y ). Giả sử ở mỗi mức thu nhập Y ta xác định được MPC = 0, 6 + 0, 1 3 √ Y và mức tiêu dùng thiết yếu là 50. Hàm tiêu dùng được xác định như sau C = 0, 6 + 0, 1 3 √ Y dY = 0, 6Y + 0, 15 3 √ Y 2 + C0. Mức tiêu dùng thiết yếu là mức tiêu dùng kể cả khi không có thu nhập C0 = 50 khi Y = 0, khi đó hàm tiêu dùng là C = 0, 6Y + 0, 15 3 √ Y 2 + 50. Ngô Mạnh Tưởng 95
  • 100.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 4.7.2. Ứng dụng tích phân xác định a. Tính xác suất Xét biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, gọi là biến ngẫu nhiêu. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị x0 nào đó được tính thông qua một hàm số gọi là hàm mật độ xác suất hay hàm xác suất. Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục x là một hàm số liên tục f(x) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. f (x) ≥ 0 (có xác suất là số không âm); 2. Nếu miền biến thiên của biến số x là đoạn [A; B] thì B A f (x) dx = 1; 3. Xác suất để x nhận giá trị trong đoạn [a; b] được tính bởi công thức P (a ≤ x ≤ b) = b a f (x) dx (A ≤ a ≤ b ≤ B) . Ví dụ. Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn (đo bằng phút). Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng được hàm tần suất f(t) = 4 81 t3 (0 ≤ t ≤ 3). Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng từ 1 đến 2 phút là p = 2 1 4 81 t3 dt = 1 81 t4 2 1 = 15 81 . b. Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Khái niệm hàm cung, hàm cầu và điểm cân bằng thị trường đã được trình bày ở chương 2. Thông qua mô hình thị trường người ta có thể đánh giá được lợi ích của thị trường đối với cả người mua và người bán. Trong mô hình thị trường, hàm cầu Qd = D(p) cho biết lượng hàng hóa Qd mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá p (Qd là lượng cầu của toàn bộ thị trường). Khi biểu diễn bằng đồ thị mối liên hệ giữa giá và lượng cầu, các nhà kinh tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá p và trục hoành biểu diễn lượng Q. Với cách biểu diễn như vậy thì đường cầu là đồ thị của hàm cầu đảo p = D−1 (Qd) (hàm ngược của hàm cầu Qd = D(p)). Giả sử điểm cân bằng thị trường là (p0, Q0) và hàng hóa được bán với giá p0 trên thị Ngô Mạnh Tưởng 96
  • 101.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế Hình 4.1: trường. Khi đó những người mua lẽ ra bằng lòng trả giá p1 > p0 được hưởng một khoản lợi bằng p1 − p0 đối với mỗi đơn vị hàng hóa mua theo giá thị trường (đoạn FM trên hình vẽ). Tổng số hưởng lợi của tất cả những người tiêu dùng bằng diện tích của tam giác cong AEp0. Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của người tiêu dùng (Consumers’ Surplus). Thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức CS = Q0 0 D−1 (Q) dQ − p0Q0. Hàm cung Qs = S(p) của thị trường cho biết lượng hàng hóa Qs mà các nhà sản xuất bằng lòng bán ở mỗi mức giá p. Đường cung là đồ thị của hàm cung đảo p = S−1 (Qs). Nếu hàng hóa được bán trên thị trường ở mức giá cân bằng p0 thì những nhà sản xuất lẽ ra bằng lòng bán ở mức giá cân bằng p2 < p0 được hưởng một khoản lợi nhuận p0 − p2 đối với mỗi đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường (đoạn FN trên hình vẽ). Tổng số hưởng lợi của tất cả các nhà sản xuất bằng diện tích của tam giác cong BEp0. Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus). Thặng dư của nhà sản xuất được tính theo công thức PS = p0Q0 − Q0 0 S−1 (Q) dQ. 4.8. BÀI TẬP 4.8.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ Tính các tích phân sau: Ngô Mạnh Tưởng 97
  • 102.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế 1. J = dx x ln x ln(ln x) . 2. J = x4+2x2 x2+1 dx. 3. J = x x2+3x+2 dx. 4. J = x2 x2+4x+5 dx. 5. J = x x3−8 dx. 6. J = x3+x+1 x4−81 dx. 7. J = 3x+2 x2+2x+10 dx. 8. J = dx (x2+a2)2 . 4.8.2. Tích phân của hàm số lượng giác Tính các tích phân sau: 1. J = 1 1+sin x+cos x dx. 2. J = 1 4 sin x+3 cos x+5 dx. 3. J = 1 (2−sin x)(3−sin x) dx. 4. J = dx sin x(2cos2x−1) . 5. J = x3 arctan xdx. 6. J = e5x cos 4xdx. 7. J = cos(ln x)dx. 8. J = xeax cos bxdx. 9. J = arcsin x√ x+1 dx. 10. J = cos4x sin3x dx. 11. J = sin3x 3√ cos2x dx. 12. J = dx a2sin2x+b2cos2x , (a, b = 0). 13. J = 3 sin x+2 cos x 2 sin x+3 cos x dx. 14. J = cot6 xdx. 4.8.3. Tích phân của hàm số vo tỷ 1. J = dx 1+ 3√ x+1 . 2. J = √ x 4√ x3+1 dx. 3. J = 1√ 2−3x−4x2 dx. 4. J = 3x+4√ −x2+6x−8 dx. 5. J = x+3√ 4x2+4x+3 dx. 6. J = 1 x √ 5x2−2x+1 dx. 7. J = a+x a−x dx (a > 0). 8. J = x+1+ 3 √ (x+1)2 + 6√ x+1 (x+1)(1+ 3√ x+1) dx. 9. J = dx x √ 1+x2 . 10. J = dx x2 √ x2−a2 . 11. J = x2dx√ a2−x2 . 12. J = 1 x2. √ a2+x2 dx. 13. J = 1 x2 . x−1 x+1 dx. 14. J = x2dx√ (x2+a2)3 . 15. J = ln( √ 1 − x + √ 1 + x)dx. 4.8.4. Tính tích phân xác định 1. Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: Ngô Mạnh Tưởng 98
  • 103.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (a) I = π 2 0 4dx 3+5 cos x . (b) I = π/2 0 cos x√ 7+cos 2x dx. (c) I = π 2 0 cos3x cos3x+sin3x dx. (d) I = π/2 0 sin6x sin6x+cos6x dx. (e) I = π/4 0 cos 2x (sin x+cos x+2)3 dx. (f) I = ln 2 0 √ ex − 1dx. (g) I = √ 3 2 1 2 dx x √ 1−x2 . (h) I = √ 3 1 (x3+1) x2 √ 4−x2 dx. (i) I = a 0 x2 a−x a+x dx, a > 0. (j) I = 3 0 x 6−x dx. (k) I = 1 0 ln(1+x) 1+x2 dx. 2. Tính tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: (a) I = π 2 0 e5x sin 4xdx. (b) I = π 3 −π 3 x sin x cos2x dx. (c) I = 1 0 x arctan xdx. (d) I = π 2 0 x2 sin xdx. (e) I = 1 0 arctan √ xdx. (f) I = 1 0 x arctan x√ 1+x2 dx. (g) I = π 3 π 4 xdx sin2x . (h) I = 1 0 e−x ln(ex + 1)dx. 4.8.5. Tính tích phân suy rộng 1. Tính tích phân suy rộng loại 1: (a) I = +∞ 0 xe−x dx. (b) I = +∞ 0 x3 e−x2 dx. (c) I = +∞ 0 e− √ x dx. (d) I = +∞ 1 dx x √ x2+x+1 . (e) I = +∞ √ 2 dx x √ x2−1 . (f) I = +∞ 2 dx x2 √ x2−1 . (g) I = ∞ 1 x2−3 x(x+1)(x2+1) . 2. Tính tích phân suy rộng loại 2: (a) I = 2 0 √ x+2√ 2−x dx. (b) I = 2 0 dx√ |1−x2| . (c) I = 3 1 dx√ 4x−x2−3 . (d) I = 3 −3 x2 √ 9−x2 dx. (e) I = 1 0 x3 arcsin x√ 1−x2 dx. Ngô Mạnh Tưởng 99
  • 104.
    Khoa Khoa họccơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế (f) I = 2 0 x3 √ 4−x2 dx. 4.8.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1. Tích phân suy rộng loại 1: (a) I = +∞ 0 √ xe−x dx. (b) I = +∞ 1 ln(1+x2 ) x dx. (c) I = +∞ 4 dx x ln(ln x) . (d) I = +∞ 3 dx√ x(x−1)(x−2) . (e) I = +∞ 1 1 − cos 1 x dx. (f) I = +∞ 1 (−1)n cos nx x2 dx (n ∈ N). 2. Tích phân suy rộng loại 2: (a) I = 1 0 xndx√ 1−x4 (n ∈ N). (b) I = 1 0 sin 2x√ 1−x2 dx. Ngô Mạnh Tưởng 100
  • 105.
    Tài liệu thamkhảo [1] Lê Đình Thúy(2007), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 1, 2, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân. [2] Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương và nhóm tác giả (2016), Toán học cao cấp 1, NXB Đại học Thái Nguyên. [3] Trần Trọng Huệ (2001), Đại số tuyến tính và hình giải tích, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. [4] Lê Ngọc Lăng (2003), Bài tập và luyện tập Toán cao cấp, tập 1,2, NXB ĐHSP. [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Toán học cao cấp, Tập 1,2. NXB Giáo dục. [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Bài tập Toán học cao cấp, Tập 1,2. NXB Giáo dục. 101