materi kuliah

1. DASAR – DASAR LOGIKA
Ilmu-ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan
hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut.
Tujuannya memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu
kalimat bernilai benar.
Kalimat yang dipelajari bersifat umum baik dengan bahasa sehari-hari maupun bukti
matematika
Jadi ilmu matematika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintaks) dibandingkan arti
kalimat itu sendiri (semantik).
1. Kalimat Deklaratif /Proposisi/Pernyataan
Kalimat yang mengandung nilai kebenaran, yaitu dapat bernilai benar atau salah tetapi
tidak mungkin keduanya.
Merupakan komponen penyusun logika dasar yang dilambangkan dengan huruf kecil
(p,q,r, ...)
Contoh :
p : 9 adalah bilangan ganjil
q : 10 x 8 = 88
r : 4 adalah bilangan prima
Lawan kalimat deklaratif adalah kalimat terbuka, artinya kalimat yang nilai kebenarannya
tidak bisa ditentukan.
Contoh :
1. Ke mana Anda akan pergi?
2. Kerjakan latihan soal ini!
3. Jam berapakah saat ini?
Latihan :
Kalimat berikut termasuk deklaratif atau bukan :
1. 2 + 2 = 4 ( ya )
2. Dimanakah letak pulau Bali? (tidak)
3. Siapakah namamu? (tidak)
4. Jakarta adalah ibukota negara Indonesia ( ya )
5. Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta ( ya )
6. Rina lebih tinggi dari Lina (tidak)
7. x + y = 2 (tidak)
8. 2 mencintai 3 (tidak)
2. Penghubung Kalimat
Seringkali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang.
Contoh :
Kalimat 1 : 4 adalah bilangan genap
Kalimat 2 : 3 adalah bilangan ganjil
Dasar – Dasar Logika Page 1

2. Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari!
Tabel 1.1. Penghubung dalam logika
Simbol Arti Bentuk
¬ Tidak / not / Negasi Tidak ....
˄ Dan / And / Konjungsi ... dan ....
˅ Atau / or / Disjungsi ... atau ....
⇒ Implikasi Jika ... maka ....
⇔ Bi – Implikasi ... bila dan hanya bila ....
Contoh :
p menyatakan “4 adalah bilangan genap”
q menyatakan kalimat “3 adalah bilangan ganjil’
dengan demikian maka kalimat “4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil
dapat dinyatakan dengan simbol p ∧ q.
Latihan :
Misal
p : hari ini panas
q ; hari ini cerah
Nyatakan kalimat di bawah ini dengan simbol logika :
a. Hari ini tidak panas tapi cerah.
b. Hari ini tidak panas dan tidak cerah.
c. Tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah.
Penyelesaian :
a. Kata-kata “tapi” memiliki arti yang sama dengan “dan” sehingga kalimat (a) dapat
dinyatakan dengan : ¬p ∧ q.
b. ¬p ∧¬ q.
c. Kalimat “hari ini panas dan cerah” dapat dinyatakan sebagai p ∧ q sehingga kalimat (c)
bisa dinyatakan sebagai ¬(p ∧ q).
Perhatikan pernyataan berikut:
a. Apabila saya lulus, maka ayah akan membelikan sepeda motor.
b. Apabila kamu tidak belajar, maka kamu tidak akan lulus.
c. jika 2+2=4, maka bunga melati berwarna putih.
Dasar – Dasar Logika Page 2

3. Untuk menghindari terjadinya perbedaan konotasi tersebut penggunaan kata-kata
penghubung harus diatur sehingga hanya memiliki satu arti saja. Tabel nilai akan
mendefinisikan nilai kebenaran keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-
masing kalimat penyusunnya.
Tabel 1.2. Tabel Kebenaran
p q ¬p p∧q pvq p⇒q p⇔q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T
Latihan :
Berikan contoh beberapa pernyataan yang berhubungan dengan tabel di atas.
Kalimat kondisi ganda (biconditional) p ⇔ q dibaca “p bila dan hanya bila q”) berarti
(p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ p). Supaya p ⇔ q bernilai benar maka p ⇒ q maupun q ⇒ p harus
bernilai benar.
Tabel 1.3. Kalimat Kondisi Ganda
p q p⇒q q⇒p p ⇔ q atau (p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ p)
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T
Contoh :
Misal :
k : Monde orang kaya
s : Monde bersuka cita
Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut:
a. Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita
b. Monde orang kaya atau sedih.
c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita.
d. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.
Anggaplah ingkaran dari kaya adalah miskin dan ingkaran dari bersuka cita adalah sedih.
Dasar – Dasar Logika Page 3

4. Jawab :
a. Kata penghubung “tetapi” memiliki arti yang sama dengan kata penghubung “dan” sehingga
bentuk simbolisnya adalah ¬ k ∧ s.
b. k ∧ ¬ s.
c. Kalimat tersebut berarti bahwa monde tidak kaya dan sekaligus Monde tidak bersuka
cita. Bentuk simbolisnya adalah ¬ k ∧ ¬ s.
Latihan :
Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika di bawah ini!
a. ¬ (¬p v ¬ q)
¬
b. ¬ (¬p ⇔ q)
¬
Penyelesaian :
Pada masing-masing kasus, tabel kebenaran disusun berdasarkan sub-sub bagian. Ingatlah
kembali bahwa jika bentuk simbol logika terdiri dari n variabel, maka tabel kebenaran
terdiri atas 2n baris.
a. ¬ (¬p v ¬ q)
¬
p q ¬p ¬q ¬pv¬q ¬ (¬p v ¬ q)
¬
T T F F F T
T F F T T F
F T T F T F
F F T T T F
b. ¬ (¬p ⇔ q)
¬
P Q ¬p ¬p ⇔ q ¬ (¬p ⇔ q)
¬
T T F F T
T F F T F
F T T T F
F F T F T
Dasar – Dasar Logika Page 4

5. 3. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T), tidak peduli
bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Sebaliknya
kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F), tidak peduli
bagaimanapun nilai masing-masing kalimat penyusunnya.
1. Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah tautologi dengan menggunakan
tabel kebenaran.
a. (p ∧ q) ⇒ q
b. q ⇒ ( p V q)
Penyelesaian :
a. Tabel implikasi . (p ∧ q) ⇒ q adalah :
p Q p∧q (p ∧ q) ⇒ q
T T T T
T F F T
F T F T
F F F T
Oleh karena semua baris pada kolom (p ∧ q) ⇒ q bernilai T, maka (p ∧ q) ⇒ q
merupakan tautologi. (ingat tabel kebenaran implikasi)
b. Tabel kebenaran implikasi q ⇒ ( p V q) adalah :
p Q pVq q ⇒ ( p V q)
T T T T
T F T T
F T T T
F F F T
Oleh karena semua baris pada kolom q ⇒ ( p V q) bernilai T, maka q ⇒ ( p V q)
merupakan Tautologi.
TUGAS :
1. Tentukan pernyataan berikut yang merupakan proposisi:
a. 64 = 26
b. 1024 adalah bilangan bulat 4 digit terkecil yang merupakan kuadrat suatu bilangan bulat.
c. Pascal adalah bahasa pemrogaman yang terbaik.
d. X = 25
Dasar – Dasar Logika Page 5

6. Tuliskan tabel kebenaran :
2. ¬ p ∧ q
3. p ∧ ( q ∧ r )
4. ¬ p ∧ ( q ∧ ¬ r )
5. p ∧ ¬ r ⇔ q V r
1.4. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Misal diketahui implikasi p⇒q
Maka :
Konversnya adalah q⇒p
Inversnya adalah ¬p ⇒ ¬q
Kontraposisinya adalah ¬q ⇒ ¬p
Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu
ekuivalen dengan kontraposisinya. Akan tetapi tidak demikian dengan Invers dan konvers.
Suatu implikasi tidak selalu ekuivalen dengan Invers ataupun konversnya. Hal itu dapat
dilihat pada tabel kebenaran berikut :
p q ¬p ¬q p⇒q q⇒p ¬p ⇒ ¬q ¬q ⇒ ¬p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
Dalam tabel terlihat bahwa nilai kebenaran kolom p ⇒ q selalu sama dengan nilai
kebenaran kolom ¬p ⇒ ¬q, tetapi tidak selalu sama dengan kolom q ⇒ p (konvers)
maupun kolom ¬p ⇒ ¬q (Invers).
Dapat disimpulkan bahwa (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) atau (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) merupakan
¬ ¬
suatu tautologi.
Contoh :
Apakah konvers, invers dan kontraposisi kalimat di bawah ini :
a. Jika A merupakan suatu bujur sangkar maka A merupakan suatu empat persegi
panjang.
b. Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil.
Penyelesaian :
a. Konvers : Jika A merupakan empat persegi panjang maka A adalah suatu
bujursangkar.
Invers : Jika A bukan bujur sangkar maka A bukan empat persegi panjang.
Kontraposisi : Jika A bukan empat persegi panjang maka A bukan bujur sangkar.
Dasar – Dasar Logika Page 6

7. Tampak bahwa konvers tidak selalu benar karena empat persegi panjang belum tentu
merupakan suatu bujursangkar. Demikian juga invers. Jika A bukan bujur sangkar,
maka A mungkin saja merupakan empat persegi panjang.
Sebaliknya kontraposisi selalu bernilai sama seperti implikasi mula-mula (dalam hal ini
bernilai benar).
b. Konvers : Jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima >2.
Invers : Jika n bukan bilangan prima >2 maka n bukan bilangan ganjil.
Kontraposisi : Jika n bukan bilangan ganjil, maka n bukan bilangan prima >2.
Sama seperti contoh a, konvers dan imvers implikasi mula-mula tidak selalu bernilai
benar.
Konvers salah, misalnya n = 9 (ganjil), tetapi n bukan bilangan prima >2.
Invers juga salah. Misalkan n = 9 (bukan bilangan prima >2), tetapi n merupakan
bilangan ganjil.
Sebaliknya kontraposisi selalu bernilai sama seperti implikasi mula-mula (dalam hal ini
bernilai benar).
1.5 Inferensi Logika
Logika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan yang ditentukan nilai
kebenarannya. Seringkali diinginkan untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan
berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai kebenarannya. Dalam subbab ini akan
dipelajarai teknik-teknik penurunan dengan contoh-contoh dalam dunia nyata.
1.5.1 Argumen Valid dan Invalid
Argumen adalah rangkaian kalimat. Semua kalimat tersebut, kecuali yang terakhir disebut
hipotesis (asumsi/premise). Kalimat terakhir adalah kesimpulan (conclusi).
Secara umum, hipotesis dan kesimpulan dapat digambarkan sebagai berikut :
p1
p2
hipotesa
...
pn
∴ q } kesimpulan
(tanda ∴ q dibaca “jadi q”)
Suatu argumen dikatakan valid jika untuk sembarang pernyataan yang disubstitusikan ke
dalam hipotesis, jika semua hipotesis tersebut benar, kesimpulan juga benar. Sebaliknya,
meskipun semua hipotesis benar, tetapi ada kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut
dikatakan Invalid.
Jika suatu argumen dan semua hipotesisnya bernilai benar, maka kebenaran nilai konklusi
dikatakan sebagai “diinferensikan (diturunkan) dari kebenaran hipotesis.”
Dasar – Dasar Logika Page 7

8. Untuk mengecek apakah suatu argumen merupakan kalimat yang valid, dapat dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tentukan hipotesis dan kesimpulan kalimat.
2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesis dan kesimpulan.
3. Carilah baris kritis, yaitu baris di mana semua hipotesis bernilai benar.
4. Dalam baris kritis tersebut jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen itu
valid. jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan kesimpulan yang salah, maka
argumen tersebut adalah invalid.
Contoh 1:
Tentukan apakah argumen di bawah ini Valid/Invalid.
a. p V ( q V r )
¬r
∴ pV q
b. p ⇒ (q V ¬r)
q ⇒ (p ∧ r)
∴ p⇒ r
Penyelesaian :
a. Terdapat 2 hipotesis, masing-masing p V ( q V r ) dan ¬ r. Kesimpulannya adalah
p V q. Jika dimasukkan ke dalam tabel kebenaran hipotesis-hipotesis dan kesimpulan
adalah sebagai berikut (ingat langkah-langkah membuat Tabel kebenaran):
Tabel kebenaran :
Baris ke p q r qVr pV(qVr) ¬r pVq
1 T T T T T F T
2 T T F T T T T
3 T F T T T F T
4 T F F F T T T
5 F T T T T F T
6 F T F T T T T
7 F F T T T F F
8 F F F F F T F
Baris kritis adalah baris 2,4 dan 6 (baris yang semua hipotesisnya bernilai T, ditandai
dengan blok). Pada baris-baris tersebut kesimpulannya juga bernilai T. Dengan demikian,
argumen tersebut Valid.
Dasar – Dasar Logika Page 8

9. b. Hipotesisnya adalah p ⇒ (q V ¬r) dan q ⇒ (p ∧ r) sedangkan kesimpulannya p ⇒ r
Tabel kebenaran
Baris ke p q r ¬r q V ¬r p∧r p ⇒ (q V ¬r) q ⇒ (p ∧ r) p⇒ r
1 T T T F T T T T T
2 T T F T T F T F F
3 T F T F T T F T T
4 T F F T T F T T F
5 F T T F T F T F T
6 F T F T T F T F T
7 F F T F F F T T T
8 F F F T T F T T T
Baris kritis adalah baris ke – 1,4,7 dan 8 (baris yang di blok). Pada baris ke-4 nilai nilai
konklusinya adalah F. Dengan demikian argumen tersebut adalah Invalid.
1.5.2 Metode-metode Inferensi
Metode inferensi yaitu teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesis yang
ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran. Metode inferensi meliputi:
a. Modus Ponens
Perhatikan implikasi “bila p maka q” yang diasumsikan bernilai benar. Apabila
selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi p ⇒ q benar, maka q
juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens.
Secara simbolis, Modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut:
p⇒q
p
∴ q
Hal ini dapat dilihat pada tabel kebenaran:
Baris ke p q p⇒q p Q
1 T T T T T
2 T F F T F
3 F T T F T
4 F F T F F
Baris kritis adalah baris pertama. Pada baris tersebut, konklusi (q) bernilai T sehingga
argumennya valid.
Dasar – Dasar Logika Page 9

10. contoh
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10.
Digit terakhir bilangan 1470 adalah 0
∴ bilangan 1470 habis dibagi 10
b. Modus Tollens
Bentuk Modus Tollens mirip dengan Modus Ponens, hanya saja hipotesis kedua dan
kesimpulan merupakan kontraposisi hipotesis pertama Modus Ponens. Kevalidan
hipotesis diperoleh mengingat kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan
kontraposisinya.
Secara simbolis, bentuk inferensi modus tollens adalah sebagai berikut:
p⇒q
¬q
∴ ¬p
Contoh :
Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati
Zeus tidak dapat mati
∴ Zeus bukan seorang manusia
c. Penambahan Disjungtif
Inferensi Penambahan Disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat
digeneralisasikan dengan penghubung “V”. Alasannya adalah karena penghubung “V”
bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.
Bentuk simbolis metode Inferensi Penambahan Disjungtif adalah:
a. p b. q
∴pVq ∴pVq
Contoh :
Simon adalah siswa SMA
∴ Simon adalah siswa sekolah menengah (SMA atau SMP)
d. Penyederhanaan Konjungtif
Inferensi Penyederhanaan Konjungtif merupakan kebalikan dari inferensi Disjungtif.
Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan penghubung “∧”, maka kalimat tersebut
dapat diambil salah satunya secara khusus. Penyempitan kalimat itu merupakan
kebalikan dari penambahan disjungtif yang merupakan perluasan suatu kalimat.
Bentuk simbolis metode inferensi penyederhanaan konjungtif adalah sebagai berikut:
a. p∧q b. p∧ q
∴p ∴q
Contoh :
Lina menguasai bahasa Basic dan Pascal
∴ Lina menguasai bahasa Basic
Dasar – Dasar Logika Page 10

11. e. Silogisme Disjungtif
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif adalah kenyataan bahwa apabila kita diperhadapkan
pada satu diantara 2 pilihan yang ditawarkan (A atau B), sedangkan kita tidak memilih
A, maka satu-satunya pilihan yang mungkin adalah B.
Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Disjungtif adalah sebagai berikut:
a. pVq b. pV q
¬p ¬q
∴q ∴p
Contoh :
Kunci Kamarku ada di sakuku atau tertinggal di rumah
Kunci kamarku tidak ada di sakuku
∴ Kunci kamarku tertinggal di rumah
f. Silogisme Hipotesis
Prinsip inferensi Silogisme Hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi
p ⇒ q maupun q ⇒ r bernilai benar, maka implikasi p ⇒ r bernilai benar pula.
Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Hipotesis adalah sebagai berikut:
p⇒q
q⇒r
∴ p⇒r
Contoh:
Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis dibagi 9
Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 9
∴ Jika 18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 9
g. Dilema (Pembagian dalam Beberapa Kasus)
Kadang-kadang dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung “V”, masing-
masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu, suatu
kesimpulan dapat diambil.
Secara simbolis, bentuk metode inferensi Dilema adalah sebagai berikut:
pVq
p⇒r
q⇒r
∴ r
Contoh :
Nanti malam Adi akan mengajak saya nonton atau mengajak saya makan di restoran.
Jika Adi mengajak saya nonton, maka saya akan senang
Jika Adi mengajak saya makan di restoran, maka saya akan senang
∴ Nanti malam saya akan senang
Dasar – Dasar Logika Page 11

12. h. Konjungsi
Inferensi Konjungsi sebenarnya sudah dibahas pada subbab awal. Jika ada 2 kalimat
yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan
menggunakan penghubung “∧” (Konjungsi) juga bernilai benar.
Bentuk inferensi dengan konjungsi adalah sbb:
p
q
∴ p∧q
TUGAS :
1. Buktikan kevalidan argumen di bawah ini menggunakan prinsip-prinsip inferensi
logika:
p∧q
(p V q) ⇒ r
∴ r
2. Gunakan tabel kebenaran untuk menentukan apakah inferensi berikut ini valid!
a. p ⇒q
q⇒p
∴ pV q
b. p V q
p⇒¬q
p⇒r
∴ r
c. p
p⇒q
¬q V r
∴ r
Dasar – Dasar Logika Page 12