Dokumen tersebut membahas tentang sistem tertentu yang diabstraksikan dari bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan +. Diberikan contoh grup Abelian seperti (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (C, +) serta definisi subgrup. Juga dibahas cara menentukan suatu himpunan merupakan subgrup dengan memenuhi sifat tertentu.

3. ℤ, +
Membentuk suatu sistem
tertentu
Jika kita sama-sama abstraksikan
dalam bentuk yg lebih luas,
sebagai berikut:
 Bilangan Bulat ℤ
diabstraksikan pada sebarang
Himpunan tak kosong G
 Operasi + diabstraksikan
menjadi sebarang operasi
biner *
𝐺,∗

4. CONTOH
 (ℤ,+), (ℚ,+) (ℝ,+) dan (ℂ,+)
adalah Grup Abelian.
 ℚ, . bukanlah sebuah grup
karena ada 0 ∈ ℚ dan tidak
memiliki invers (balikan)
 ℚ ∖ 0 , . , ℝ ∖ 0 , . ,
ℂ ∖ 0 , . adalah grup
Abelian.
 𝑀𝑛𝑥𝑛 ℝ dengan operasi
penjumlahan matriks adalah
Grup Komutatif.
 ℤ𝑛, + adalah Grup Abelian

10.  Mudah dipahami bahwa 2ℤ merupakan subgrup dari grup ℤ. Secara umum,
untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ≥0
, 𝑛ℤ merupakan subgrup dari grup ℤ, +
 Karena ℤ, + dan ℝ, + keduanya merupakan grup dan ℤ ⊂ ℝ,
maka ℤ merupakan subgrup dari grup ℝ.
 Himpunan semua matriks diagonal berukuran 2 × 2, yaitu 𝐷 =
𝑥 0
0 𝑦
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , merupakan subgrup dari grup 𝑀2𝑥2 𝑅 , + .
 Setiap grup 𝐺,∗ selalu memuat subgrup, yaitu paling tidak
memuat subgrup 𝑒 dan subgrup 𝐺. Kedua subgrup itu
disebut subgrup trivial.

11. Preposisi 3. Misalkan 𝐺 adalah grup
dan 𝐻 adalah suatu himpunan tak kosong
dari 𝐺 . Himpunan 𝐻 merupakan subgrup
dari 𝐺 jika dan hanya jika pada 𝐻dipenuhi
sifat-sifat berikut:
1. untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 berlaku 𝑥𝑦 ∈ 𝐻;
2. terdapat 𝑒 ∈ 𝐻 sehingga untuk semua 𝑥 ∈
𝐻 berlaku 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 = 𝑥;
3. untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐻 terdapat 𝑥−1 ∈
𝐻 sedemikian sehingga 𝑥𝑥−1
= 𝑒 = 𝑥−1
𝑥.
Teorema 4.
Diberikan grup 𝐺 dan
himpunan bagian tak
kosong 𝐻 dari 𝐺 .
Himpunan 𝐻 merupakan
subgrup dari 𝐺 jika dan
hanya jika untuk setiap
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 berlaku 𝑥𝑦−1
∈
𝐻 .

12. Diketahui bahwa himpunan 𝑀2𝑥2 ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan
matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga atas 𝑇2𝑥2 ℝ =
𝑎 𝑏
0 𝑐
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ merupakan subgrup 𝑀2𝑥2 ℝ , +
Bukti.
i. Himpunan 𝑇2𝑥2 ℝ ≠ ∅, sebab
1 1
0 1
∈ 𝑇2𝑥2 ℝ .
ii. Diambil sebarang 𝐴 =
𝑎 𝑏
0 𝑐
dan 𝐵 =
𝑥 𝑦
0 𝑧
∈ 𝑇2𝑥2 ℝ .
𝐴 + 𝐵−1 = 𝐴 + −𝐵 =
𝑎 𝑏
0 𝑐
+ −
𝑥 𝑦
0 𝑧
=
𝑎 − 𝑥 𝑏 − 𝑦
0 𝑐 − 𝑧
∈ 𝑇2𝑥2 ℝ
Berdasarkan syarat perlu dan cukup subgrup, diperoleh kesimpulan bahwa
himpunan 𝑇2𝑥2 ℝ merupakan subgrup dari 𝑀2𝑥2 ℝ dengan operasi penjumlahan
matriks.