Makalah ini membahas tentang lapangan berhingga dengan menjelaskan pengertian dan sifat-sifatnya, serta cara mengkonstruksinya. Pertama, dibahas tentang materi pendukung seperti group siklik, gelanggang, dan ruang vektor. Kemudian dijelaskan bahwa lapangan berhingga memiliki elemen berjumlah pn dengan p bilangan prima dan n bilangan bulat positif. Terakhir, cara mengkonstruksi lapangan berhingga dengan memanfa

1. tutur widodo : pend. matematika uns
v
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL...........................................................................................i
HALAMAN PERSETUJUAN..........................................................................II
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... III
KATA PENGANTAR......................................................................................IV
DAFTAR ISI..................................................................................................... V
BAB I PENDAHULUAN...................................................................................1
A. LATAR BELAKANG MASALAH..................................................................1
B. PEMBATASAN MASALAH ..........................................................................2
C. PERUMUSAN MASALAH ............................................................................2
D. TUJUAN PENULISAN .................................................................................3
BAB II PEMBAHASAN....................................................................................4
1. MATERI PENDUKUNG ................................................................................4
1.1 Group Siklik ..........................................................................................4
1.2 Gelanggang..........................................................................................8
1.3 Lapangan ............................................................................................16
1.4 Ruang Vektor ......................................................................................21
1.5 Perluasan Lapangan ...........................................................................23
1.6 Suku Banyak (Polinomial) ...................................................................26
2. PEMBAHASAN .........................................................................................33
2.1 Pengertian Lapangan Berhingga.........................................................33
2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga.......................................................34
2.3. Sublapangan ......................................................................................38
2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ ...........................39
2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to
Isomorphisma) ...........................................................................................43

2. tutur widodo : pend. matematika uns
viLapangan Berhingga
BAB III PENUTUP..........................................................................................51
A. KESIMPULAN ..........................................................................................51
B. SARAN....................................................................................................51
LAMPIRAN.....................................................................................................52
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................56

3. tutur widodo : pend. matematika uns
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Lapangan adalah salah satu objek yang dipelajari dalam aljabar abstrak,
salah satu cabang ilmu matematika. Dalam disiplin ilmu matematika sendiri,
lapangan memegang peranan yang sangat penting. Bahkan dalam perkuliahan pun
lapangan memegang peranan penting. Sebagai contoh, ketika belajar kalkulus,
teori bilangan, analisis riil maupun analisis kompleks, lapangan berperan penting
di dalamnya. Mengapa bisa dikatakan demikian. Sebab objek seperti himpunan
bilangan riil ( Թ ), himpunan bilangan kompleks ( ԧ ), himpunan bilangan
rasional ( Է) serta himpunan bilangan bulat modulo p ( Ժ௣ ) dengan operasi
penjumlahan dan perkalian adalah contoh dari lapangan.
Dalam perkuliahan Struktur Aljabar telah dipelajari pengertian awal
tentang lapangan dan beberapa sifatnya. Salah satu objek yang dipelajari di
lapangan yaitu lapangan berhingga. Lapangan berhingga ternyata memiliki sifat-
sifat yang menarik untuk dipelajari, pun lapangan berhingga sendiri memiliki
aplikasi yang cukup luas misalnya di criptografi atau di teorema coding.
Salah satu yang menarik dari lapangan berhingga adalah bahwa dapat
dibuktikan setiap lapangan berhingga memiliki elemen sebanyak pn
dengan p
bilangan prima dan n bilangan bulat positif. Selain itu hal yang menarik penulis
adalah bagaimana mengkonstruksi suatu lapangan berhingga, serta apa saja sifat -
sifat dari lapangan berhingga itu sendiri. Oleh karena itu, berdasarkan latar
belakang tersebut di atas, dalam makalah ini akan dibahas tentang pengertian
lapangan berhingga, sifat - sifat serta cara mengkonstruksinya.

4. tutur widodo : pend. matematika uns
2Lapangan Berhingga
B. Pembatasan Masalah
Pada makalah ini, pembahasan mengenai materi lapangan berhingga
lebih ditekankan pada teori – teori dasar yaitu tentang pengertian dan sifat –
sifatnya. Sedangkan untuk terapannya termasuk mengenai Galois Field tidak
dibahas pada makalah ini. Selain itu, cara mengkonstruksi lapangan berhingga
yang diperkenalkan hanya satu yaitu dengan memanfaatkan gelanggang
polinomial ԺPሾxሿ dan polinomial tak tereduksi pሺxሻ ‫א‬ ԺPሾxሿ. Demikian pula
bagaimana cara mencari polinomial tak tereduksi tersebut tidak dibahas pada
makalah ini.
C. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan pembatasan masalah di atas , penulis
merumuskan permasalahan sebagai berikut :
1. Apakah pengertian lapangan berhingga ?
2. Apasaja sifat – sifat yang dimiliki oleh lapangan berhingga?
3. Bagaimana sifat sublapangan dari lapangan berhingga ?
4. Bagaimana cara mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak
elemen yang dimuatnya ?

5. tutur widodo : pend. matematika uns
3Lapangan Berhingga
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :
1. Mengetahui pengertian lapangan berhingga.
2. Mengetahui sifat – sifat lapangan berhingga.
3. Mengetahui sifat sublapangan dari lapangan berhingga.
4. Dapat mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak elemen
yang dimuatnya.

6. tutur widodo : pend. matematika uns
4
BAB II
PEMBAHASAN
Sebelum memulai pembahasan tentang lapangan berhingga terlebih dahulu
disajikan materi- materi terkait yang menjadi pendukung, sebagai berikut :
1. Materi Pendukung
1.1 Group Siklik
Definisi 1.1.1 ( Definisi group ) Himpunan tak kosong G disebut group jika di
dalam G terdefinisi satu operasi biner ۩ ( operasi biner yaitu fungsi dari
‫ܩ‬ ‫ݔ‬ ‫ܩ‬ ke ‫ܩ‬ ) dan dipenuhi sifat – sifat berikut :
1. Untuk setiap ܽ, ܾ, ܿ ‫א‬ ‫ܩ‬ berlaku ܽ۩ሺܾ۩ܿሻ ൌ ሺܽ۩ܾሻ۩ܿ ( Berlaku sifat
assosiatif )
2. Terdapat elemen ݁ ‫א‬ ‫ܩ‬ sedemikian sehingga ‫ܽ׊‬ ‫א‬ ‫ܩ‬ berlaku ܽ۩݁ ൌ
݁۩ܽ ൌ ܽ ( e disebut elemen identitas di G )
3. Untuk setiap ܽ ‫א‬ ‫ܩ‬ terdapat elemen െܽ ‫א‬ ‫ܩ‬ sedemikian sehingga
ܽ۩ሺെܽሻ ൌ ሺെܽሻ۩ܽ ൌ ݁ (െܽ disebut invers dari ܽ )
(Grillet, 2000 : 8)
Contoh :
Himpunan bilangan bulat Ժ dengan operasi penjumlahan ( + ) yang telah kita
kenal membentuk group.
Definisi 1.1.2 ( Definisi group siklik ) Suatu group G disebut group siklik jika
terdapat elemen ܽ ‫א‬ ‫ܩ‬ sedemikian sehingga ‫ܩ‬ ൌ ሼܽ௡
| ݊ ‫א‬ Ժሽ.

7. tutur widodo : pend. matematika uns
5Lapangan Berhingga
Elemen ܽ ‫א‬ ‫ܩ‬ yang demikian disebut generator dari G. Selanjutnya group siklik
G yang dibangun oleh ܽ ‫א‬ ‫ܩ‬ dinotasikan ‫ܩ‬ ൌ ‫.ۄܽۃ‬
(J.A. Galian, 1990 : 66)
Contoh :
‫ܩ‬ ൌ Ժହ െ ሼ0ሽ ൌ ሼ1, 2, 3, 4ሽ terhadap operasi perkalian di Ժହ adalah contoh group
siklik yang dibangun oleh 3 sebab,
3ଵ
ൌ 3, 3ଶ
ൌ 9 ൌ 4, 3ଷ
ൌ 27 ൌ 2, 3ସ
ൌ 81 ൌ 1.
Definisi 1.1.3 ( Definisi Order ) Misalkan G suatu group, order dari suatu
elemen ߙ ‫א‬ ‫ܩ‬ yaitu bilangan bulat positif terkecil t sedemikian sehingga
ߙ௧
ൌ 1ீ (elemen identitas di G). Order dari elemen ߙ dinotasikan ‫݀ݎ݋‬ሺߙሻ.
Sedangkan order dari group ‫ܩ‬ menyatakan banyaknya elemen yang ada di
‫,ܩ‬ dinotasikan |‫.|ܩ‬
(Fraleigh, 2000 : 408)
Contoh :
Mengacu contoh dari definisi 1.1.2, diperoleh |‫|ܩ‬ ൌ 4 dan ‫݀ݎ݋‬ሺ1ሻ ൌ 1 sebab
1ଵ
ൌ 1 sedangkan ‫݀ݎ݋‬ሺ2ሻ ൌ 4 karena 2ସ
ൌ 16 ൌ 1.
Teorema 1.1.4 Misalkan ‫ܩ‬ ൌ ‫ۄܽۃ‬ adalah group siklik dengan order n. Maka
‫ܩ‬ ൌ ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬ jika dan hanya jika ‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ 1.
(J.A. Galian, 1990 : 69)
Bukti :
Untuk membuktikan teorema di atas harus dibuktikan dua pernyataan yaitu:
1. Jika ‫ܩ‬ ൌ ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬ maka ‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ 1

8. tutur widodo : pend. matematika uns
6Lapangan Berhingga
2. Jika ‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ 1 maka ‫ܩ‬ ൌ ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬
Untuk membuktikan pernyataan 1) digunakan kontradiksi. Andaikan
‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ ‫݌‬ ൐ 1. Diperoleh n = pt dengan t < n dan k = pw dengan w < k.
Maka ሺܽ௞ሻ௧
ൌ ሺܽ௣௪ሻ௧
ൌ ሺܽ௣௧ሻ௪
ൌ ሺܽ௡ሻ௪
ൌ ሺ݁ሻ௪
ൌ ݁.
Jadi, ‫݀ݎ݋‬ሺܽ௞ሻ ൑ ‫ݐ‬ ൏ ݊. Karena ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬ ൌ ቄ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௢௥ௗሺ௔ೖሻቅ berakibat
|‫ܽۃ‬௞‫|ۄ‬ ൌ ‫݀ݎ݋‬ሺܽ௞
ሻ ൑ ‫ݐ‬ ൏ ݊. Dengan kata lain ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬ ് ‫,ܩ‬ sehingga ܽ௞
bukan
generator dari G. Timbul kontradiksi karena diketahui ‫ܩ‬ ൌ ‫ܽۃ‬௞‫.ۄ‬ Jadi, haruslah
‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ 1.
Untuk membuktikan pernyataan 2) digunakan cara langsung. Diketahui
‫ܤܲܨ‬ሺ݊, ݇ሻ ൌ 1 berakibat terdapat ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫א‬ Ժ sehingga ݊‫ݔ‬ ൅ ݇‫ݕ‬ ൌ 1. Oleh karena
itu ܽ ൌ ܽ௡௫ା௞௬
ൌ ܽ௡௫
. ܽ௞௬
ൌ ݁. ܽ௞௬
ൌ ܽ௞௬
ൌ ሺܽ௞ሻ௬
maka ܽ ‫א‬ ‫ܽۃ‬௞‫.ۄ‬ Karena G
dibangun oleh a berakibat ‫ܩ‬ ‫ك‬ ‫ܽۃ‬௞‫.ۄ‬ Diketahui pula bahwa ‫ܽۃ‬௞‫ۄ‬ ‫ك‬ ‫.ܩ‬ Jadi,
‫ܩ‬ ൌ ‫ܽۃ‬௞‫.ۄ‬
Contoh :
Group ‫ܩ‬ ൌ Ժହ െ ሼ0ሽ ൌ ሼ1, 2, 3, 4ሽ. Telah diketahui bahwa 3 adalah generator dari
G. Berdasarkan teorema 1.1.4 diatas, generator dari G yang lain adalah 3ଷ
ൌ
27 ൌ 2. Hal ini benar karena,
1 ൌ 2ସ
, 2 ൌ 2ଵ
, 3 ൌ 2ଷ
, 4 ൌ 2ଶ
Teorema 1.1.5 Misalkan G adalah group berhingga dengan order n, dengan
sifat setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n, terdapat paling
banyak d solusi dari persamaan ‫ݔ‬ௗ
ൌ ࢋ di G. Maka G adalah group siklik. (e
elemen identitas di G)
(Herstein, 1996 : 222)
Bukti :
Misalkan ߰ሺ݀ሻ adalah banyaknya elemen di G yang memiliki order d. Ambil
sebarang d bilangan bulat positif yang membagi habis n. Jika terdapat ܽ ‫א‬ ‫ܩ‬

9. tutur widodo : pend. matematika uns
7Lapangan Berhingga
dimana ord(a) = d maka himpunan penyelesaian dari persamaan ‫ݔ‬ௗ
ൌ ݁ adalah
ሼ݁, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … , ܽௗିଵሽ. Sehingga setiap elemen di G yang berorder d mempunyai
bentuk salah satu dari ሼ݁, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … , ܽௗିଵሽ. Berdasarkan teorema 1.1.4
diperoleh ߰ሺ݀ሻ ൌ ߶ሺ݀ሻ. (߶ሺ݀ሻ adalah fungsi Euler *). Sedangkan bila tidak
terdapat elemen di G yang berorder d maka ߰ሺ݀ሻ ൌ 0. Oleh karena itu, untuk
setiap d yang membagi habis n berlaku ߰ሺ݀ሻ ൑ ߶ሺ݀ሻ.
Karena order dari setiap elemen di G membagi |‫=|ܩ‬ n maka diperoleh
∑ ߰ሺ݀ሻ ൌ ݊ௗ
௡ൗ . Dari teori bilangan didapat ∑ ߶ሺ݀ሻ ൌ ݊ௗ
௡ൗ . Sehingga
෍ ߰ሺ݀ሻ ൌ ݊ ൌ ෍ ߶ሺ݀ሻ
ௗ
௡ൗௗ
௡ൗ
tetapi karena ߰ሺ݀ሻ ൑ ߶ሺ݀ሻ, ‫݀׊‬ yang membagi habis n berakibat ߰ሺ݀ሻ ൌ ߶ሺ݀ሻ.
Karena n membagi n maka ߰ሺ݊ሻ ൌ ߶ሺ݊ሻ ൒ 1, ini berarti terdapat elemen ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫ܩ‬
yang berorder n. Oleh karena itu, elemen – elemen ݁, ‫,ݐ‬ ‫ݐ‬ଶ
, ‫ݐ‬ଷ
, … , ‫ݐ‬௡ିଵ
semuanya
berbeda dan ada di G. Dengan kata lain ‫ܩ‬ ൌ ሼ݁, ‫,ݐ‬ ‫ݐ‬ଶ
, ‫ݐ‬ଷ
, … , ‫ݐ‬௡ିଵሽ adalah group
siklik dengan generator t.
Contoh :
‫ܩ‬ ൌ Ժହ െ ሼ0ሽ ൌ ሼ1, 2, 3, 4ሽ terhadap operasi perkalian di Ժହ membentuk group.
Jelas pula bahwa |‫|ܩ‬ ൌ 4. Perhatikan 1, 2 dan 4 membagi habis 4 dan persamaan
‫ݔ‬ଵ
ൌ 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1 }
‫ݔ‬ଶ
ൌ 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 4 }
‫ݔ‬ସ
ൌ 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 2, 3, 4 } = G
Jadi, G memenuhi kondisi pada teorema 1.1.5 sehingga G merupakan group siklik
( telah dibuktikan pada contoh 1 ).
*penjelasan tentang fungsi Euler terdapat di lampiran.

10. tutur widodo : pend. matematika uns
8Lapangan Berhingga
1.2 Gelanggang
Definisi 1.2.1( Definisi Gelanggang ) Himpunan R tak kosong disebut
gelanggang jika di dalam R terdapat dua operasi ( umumnya disimbolkan ( + )
dan ( . )) sedemikian sehingga berlaku :
1. jika ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ maka (ܽ ൅ ܾሻ ‫א‬ ܴ.
2. ܽ ൅ ܾ ൌ ܾ ൅ ܽ, ‫,ܽ׊‬ ܾ ‫א‬ ܴ.
3. ሺܽ ൅ ܾ ሻ ൅ ܿ ൌ ܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ, ‫,ܽ׊‬ ܾ, ܿ ‫א‬ ܴ.
4. Terdapat elemen 0R ‫א‬ R sehingga 0R + ܽ ൌ ܽ, ‫ܽ׊‬ ‫א‬ ܴ. Selanjutnya 0R
disebut elemen netral dari R.
5. ‫ܽ׊‬ ‫א‬ ܴ, terdapat ܾ ‫א‬ ܴ ‫ד‬ ܽ ൅ ܾ ൌ 0. Selanjutnya b disebut invers dari ܽ
terhadap penjumlahan di R, biasa ditulis ܾ ൌ െܽ.
6. ‫,ܽ׊‬ ܾ ‫א‬ ܴ maka ܽ. ܾ ‫א‬ ܴ.
7. ܽ. ሺܾ. ܿሻ ൌ ሺܽ. ܾሻ. ܿ, ‫,ܽ׊‬ ܾ, ܿ ‫א‬ ܴ
8. ܽ. ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ܽ. ܾ ൅ ܽ. ܿ dan ሺܾ ൅ ܿሻ. ܽ ൌ ܾ. ܽ ൅ ܿ. ܽ, ‫,ܽ׊‬ ܾ, ܿ ‫א‬ ܴ.
Jika terdapat 1R ‫א‬ R, sehingga 1R. ܽ ൌ ܽ. 1ோ ൌ ܽ, ‫ܽ׊‬ ‫א‬ ܴ . R disebut
gelanggang dengan elemen satuan dan 1R disebut elemen satuan di R.
Apabila di R juga berlaku ܽ. ܾ ൌ ܾ. ܽ, ‫,ܽ׊‬ ܾ ‫א‬ ܴ maka R dinamakan
gelanggang komutatif.
( Herstein, 1996 : 126 )
Contoh :
Himpunan bilangan real Թ dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian
(.) yang sudah dikenal membentuk gelanggang.
Definisi 1.2.2 ( Definisi daerah integral ) Misalkan R gelanggang komutatif, R
disebut daerah integral jika untuk setiap ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ sedemikian sehingga
ܽ. ܾ ൌ 0ோ mengakibatkan ܽ ൌ 0ோ atau ܾ ൌ 0ோ.
( Herstein, 1996 : 127 )

11. tutur widodo : pend. matematika uns
9Lapangan Berhingga
Contoh :
Himpunan bilangan real Թ adalah gelanggang komutatif yang juga merupakan
daerah integral.
Definisi 1.2.3 ( Definisi ideal ) Misalkan R suatu gelanggang. Himpunan tak
kosong I ‫ك‬ ܴ disebut ideal jika berlaku :
1. I subgroup penjumlahan dari R.
2. ‫ݎ׊‬ ‫א‬ ܴ, ܽ ‫א‬ ‫ܫ‬ berlaku ‫ܽݎ‬ ‫א‬ ‫ܫ‬ dan ܽ‫ݎ‬ ‫א‬ ‫.ܫ‬
( Herstein, 1996 : 140)
Contoh :
Himpunan ሼ… , െ4, െ2, 0, 2, 4, … ሽ ൌ 2Ժ ‫ؿ‬ Ժ adalah ideal dari gelanggang Ժ.
Definisi 1.2.4 ( Definisi ideal maksimal ) Misalkan M ideal dari gelanggang R.
M disebut ideal maksimal jika ideal lain di R yang memuat M hanyalah M
sendiri atau R.
(Herstein, 1996 : 148)
Contoh :
Himpunan ሼ… , െ6, െ3, 0, 3, 6, … ሽ ൌ 3Ժ adalah ideal maksimal dari
gelanggang Ժ.

12. tutur widodo : pend. matematika uns
10Lapangan Berhingga
Lemma 1.2.5 Misalkan R gelanggang dan I ideal dari R, maka ܴ
‫ܫ‬ൗ ൌ
ሼ‫ݎ‬ ൅ ‫ܫ‬ | ‫ݎ‬ ‫א‬ ܴሽ merupakan gelanggang terhadap operasi yang didefinisikan
sebagai berikut :
untuk setiap ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ݀ܽ݊ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ ,
ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬ dan ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬
(Herstein, 1990 : 135)
Bukti :
Pertama dibuktikan operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.
Yaitu harus ditunjukkan untuk setiap ܽଵ ൅ ‫,ܫ‬ ܽଶ ൅ ‫ܫ‬ , ܾଵ ൅ ‫,ܫ‬ ܾଶ ൅ ‫ܫ‬ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ jika
ܽଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽଶ ൅ ‫ܫ‬ dan ܾଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܾଶ ൅ ‫ܫ‬ maka
ሺܽଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺܾଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺܽଵ ൅ ܾଵሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺܽଶ ൅ ܾଶሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺܽଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺܾଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ
serta,
ሺܽଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ሺܾଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺܽଵܾଵሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺܽଶܾଶሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺܽଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ሺܾଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ.
Untuk keperluan di atas terlebih dahulu dibuktikan pernyataan berikut :
Untuk setiap ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ ݀ܽ݊ ‫ݓ‬ ൅ ‫ܫ‬ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ , ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ‫ݓ‬ ൅ ‫ܫ‬ jika dan hanya jika
ሺ‫ݐ‬ െ ‫ݓ‬ሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬
ฺ Jika ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ‫ݓ‬ ൅ ‫ܫ‬ berakibat untuk ‫ݐ‬ ൅ ݅௢ ‫א‬ ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ terdapat ‫ݓ‬ ൅ ݅‫כ‬ ‫א‬ ‫ݓ‬ ൅ ‫ܫ‬
dengan ݅௢, ݅‫כ‬ ‫א‬ ‫,ܫ‬ sehingga berlaku ‫ݐ‬ ൅ ݅௢ ൌ ‫ݓ‬ ൅ ݅‫כ‬ atau ‫ݐ‬ െ ‫ݓ‬ ൌ ሺെ݅௢ ൅ ݅‫כ‬ሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬
ู Jika ሺ‫ݐ‬ െ ‫ݓ‬ሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ berakibat ‫ݐ‬ െ ‫ݓ‬ ൌ ݅, ݅ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Sehingga diperoleh ‫ݐ‬ ൌ ‫ݓ‬ ൅ ݅
dan berikutnya diperoleh ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺ‫ݓ‬ ൅ ݅ሻ ൅ ‫ܫ‬ atau ‫ݐ‬ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ‫ݓ‬ ൅ ‫.ܫ‬
Sekarang kembali kepermasalahan, jika ܽଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽଶ ൅ ‫ܫ‬ berakibat ሺܽଵ െ ܽଶሻ ‫א‬ ‫ܫ‬
demikian pula jika ܾଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܾଶ ൅ ‫ܫ‬ berakibat ሺܾଵ െ ܾଶሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ sehingga diperoleh,
൫ሺܽଵ ൅ ܾଵሻ െ ሺܽଶ ൅ ܾଶሻ൯ ൌ ൫ሺܽଵ െ ܽଶሻ ൅ ሺܾଵ െ ܾଶሻ൯ ‫א‬ ‫ܫ‬ .
Akibatnya ሺܽଵ ൅ ܾଵሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺܽଶ ൅ ܾଶሻ ൅ ‫.ܫ‬

13. tutur widodo : pend. matematika uns
11Lapangan Berhingga
Sekarang perhatikan,
ܽଵሺܾଵ െ ܾଶሻ ൌ ሺܽଵܾଵ െ ܽଵܾଶሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ ……………………..1)
ሺܽଵ െ ܽଶሻܾଶ ൌ ሺܽଵܾଶ െ ܽଶܾଶሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ ……………………..2)
dari 1) dan 2) didapat ሺܽଵܾଵ െ ܽଶܾଶሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Jadi, ܽଵܾଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽଶܾଶ ൅ ‫.ܫ‬
Terbukti, operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.
Kedua, dibuktikan ܴ
‫ܫ‬ൗ adalah gelanggang (dengan memanfaatkan definisi
gelanggang).
Ambil sebarang ܽ, ܾ, ܿ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ , misalkan pula ܽ ൌ ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫,ܫ‬ ܾ ൌ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ dan
ܿ ൌ ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ dengan ‫ݎ‬ଵ, ‫ݎ‬ଶ, ‫ݎ‬ଷ ‫א‬ ܴ. Selanjutnya perhatikan,
1. ܽ ൅ ܾ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ൅‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬ karena R gelanggang maka
ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ‫א‬ ܴ. Jadi, ܽ ൅ ܾ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ .
2. ܽ ൅ ܾ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ݎ‬ଵሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅
ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ܾ ൅ ܽ .
3. ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ ൌ ൫ሺ‫ݎ‬1 ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬2 ൅ ‫ܫ‬ሻ൯ ൅ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬൯ ൅ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ൫‫ݎ‬ଵ ൅ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ݎ‬ଷሻ൯ ൅ ‫ܫ‬
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ൫ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬൯
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ൫ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ሻ൯ ൌ ܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ
4. Misalkan 0ோ elemen netral di R, maka pilih ݁ ൌ ሺ0ோ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ dan untuk
setiap ܽ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ berlaku ݁ ൅ ܽ ൌ ሺ0ோ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽ ൌ
ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ0ோ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ܽ ൅ ݁. Jadi, e elemen netral di ܴ
‫ܫ‬ൗ .
5. Untuk setiap ܽ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ pilih – ܽ ൌ ሺെ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ sedemikian hingga
berlaku ܽ ൅ ሺെܽሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺെ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ െ ‫ݎ‬ଵሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ 0ோ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ݁.
6. ܽ ‫כ‬ ܾ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬ karena R gelanggang maka
‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶ ‫א‬ ܴ. Jadi, ܽ ‫כ‬ ܾ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ .
7. ሺܽ ‫כ‬ ܾሻ ‫כ‬ ܿ ൌ ൫ሺ‫ݎ‬1 ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬2 ൅ ‫ܫ‬ሻ൯ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬൯ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
karena I ideal

14. tutur widodo : pend. matematika uns
12Lapangan Berhingga
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ൫‫ݎ‬ଵሺ‫ݎ‬ଶ‫ݎ‬ଷሻ൯ ൅ ‫ܫ‬
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ൫ሺ‫ݎ‬ଶ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬൯
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ൫ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ሻ൯ ൌ ܽ ‫כ‬ ሺܾ ‫כ‬ ܿሻ
8. ሺܽ ൅ ܾሻ ‫כ‬ ܿ ൌ ൫ሺ‫ݎ‬1 ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬2 ൅ ‫ܫ‬ሻ൯ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ‫ܫ‬൯ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ଷ ൅ ‫ܫ‬ ሻ
ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ൅‫ݎ‬ଶሻ‫ݎ‬ଷ൯ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ൯ ൅ ‫ܫ‬
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ ൅ I ൅ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽ ‫כ‬ ܿ ൅ ܾ ‫כ‬ ܿ
dan
ܽ ‫כ‬ ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ሻ ‫כ‬ ൫ሺ‫ݎ‬2 ൅ ‫ܫ‬ሻ ൅ ሺ‫ݎ‬3 ൅ ‫ܫ‬ሻ൯
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ሻ ‫כ‬ ൫ሺ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬൯
ൌ ൫‫ݎ‬ଵሺ‫ݎ‬ଶ൅‫ݎ‬ଷሻ൯ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ൫ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൅ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ൯ ൅ ‫ܫ‬
ൌ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൅ I ൅ ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଷሻ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ܽ ‫כ‬ ܾ ൅ ܽ ‫כ‬ ܿ
Berdasarkan sifat – sifat 1 sampai 8, terbukti bahwa ܴ
‫ܫ‬ൗ adalah gelanggang.
Contoh :
Telah diketahui bahwa Ժ adalah gelanggang dan 2Ժ merupakan ideal dari Ժ.
Berdasarkan lemma 1.2.5 di atas diperoleh Ժ
2Ժൗ ൌ ሼሾ0ሿ, ሾ1ሿሽ ൌ Ժଶ merupakan
suatu gelanggang.
Catatan : Ժ௡ adalah himpunan bilangan bulat modulo n. Operasi penjumlahan
dan perkalian di Ժ௡ seperti yang telah dipelajari di teori bilangan.
Definisi 1.2.6 ( Definisi homomorphisma ) Misalkan R dan R’ suatu gelanggang,
pemetaan ݂ dari R ke R’ disebut homomorphisma jika berlaku :
1. ݂ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ݂ሺܾሻ
2. ݂ሺܾܽሻ ൌ ݂ሺܽሻ݂ሺܾሻ
untuk setiap ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ.
(Herstein, 1990 : 131)

15. tutur widodo : pend. matematika uns
13Lapangan Berhingga
Didefinisikan pula Kernel dari ݂ dinotasikan ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ሻ, yaitu
‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ሻ ൌ ሼ‫ݔ‬ ‫א‬ ܴ | ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0ோᇲ ሺ݈݁݁݉݁݊ ݊݁‫݈ܽݎݐ‬ ݀݅ ܴԢሻሽ. Sedangkan bayangan
dari ݂ dinotasikan ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ didefinisikan ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ ൌ ሼ‫ݕ‬ ‫א‬ ܴᇱ
| ‫ݔ׌‬ ‫א‬ ܴ ‫ד‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬ሽ.
Apabila ݂ suatu homomorphisma dan sekaligus injektif, ݂ disebut
isomorphisma. Selanjutnya gelanggang R dan R’ disebut isomorphic jika terdapat
isomorphisma dari R onto R’. Gelanggang R isomorphic dengan R’ disimbolkan
ܴ ؆ ܴԢ.
Lemma 1.2.7 Misalkan R gelanggang dan M ideal dari R, didefinisikan
pemetaan ݂ ‫׷‬ ܴ ՜ ܴ
‫ܯ‬ൗ yaitu ݂ሺܽሻ ൌ ܽ ൅ ‫,ܯ‬ ‫ܽ׊‬ ‫א‬ ܴ maka ݂ suatu
homomorphisma dari R onto ܴ
‫ܯ‬ൗ .
(Herstein 1990 :135 )
Bukti :
Pertama, dibuktikan ݂ well defined. Untuk itu, ambil sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ dengan
ܽ ൌ ܾ akan ditunjukkan ݂ሺܽሻ ൌ ݂ሺܾሻ. Perhatikan, karena ܽ െ ܾ ൌ 0ோ(elemen
netral di R) dan M ideal di R berakibat ሺܽ െ ܾሻ ‫א‬ ‫ܯ‬ sehingga ݂ሺܽሻ ൌ ܽ ൅ ‫ܯ‬ ൌ
ܾ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ݂ሺܾሻ. Jadi, ݂ well defined.
Untuk membuktikan ݂ suatu homomorphisma ambil sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ.
Perhatikan,
݂ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൅ ሺܾ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ݂ሺܾሻ, serta
݂ሺܾܽሻ ൌ ሺܾܽሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺܾ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൌ ݂ሺܽሻ ‫כ‬ ݂ሺܾሻ .
Terbukti ݂ homomorphisma.
Untuk membuktikan ݂ surjektif, ambil sebarang ܿ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ berarti c dapat
dinyatakan c = r + M untuk suatu ‫ݎ‬ ‫א‬ ܴ. Dengan kata lain ܿ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ. Jadi, ݂
surjektif.
Jadi, terbukti ݂ homomorphisma dari R onto ܴ
‫ܯ‬ൗ .

16. tutur widodo : pend. matematika uns
14Lapangan Berhingga
Teorema 1.2.8 Misalkan R dan R’ gelanggang. Jika pemetaan ݂ ‫׷‬ ܴ ՜ ܴԢ
adalah suatu homomorphisma, maka ܴ
‫ܫ‬ൗ ؆ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ dengan ‫ܫ‬ ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ሻ.
(Herstein,1990 :135 )
Bukti :
Untuk menunjukkan ܴ
‫ܫ‬ൗ ؆ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ berarti harus ditunjukkan terdapat
isomorphisma dari ܴ
‫ܫ‬ൗ onto ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ. Terlebih dahulu dibuktikan bahwa
‫ܫ‬ ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ሻ ideal dari R. Berdasarkan definisi kernel, didapat ‫ܫ‬ ‫ك‬ ܴ dan karena
݂ homomorphisma berlaku ݂ሺ0ோሻ ൌ 0ோᇱ jadi ‫ܫ‬ ് ‫.׎‬ Selanjutnya ambil sebarang
ܽ, ܾ ‫א‬ ‫ܫ‬ dan sebarang ‫ݎ‬ ‫א‬ ܴ maka berlaku,
݂ሺܽ െ ܾሻ ൌ ݂൫ܽ ൅ ሺെܾሻ൯ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ݂ሺെܾሻ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ൫െ݂ሺܾሻ൯
ൌ 0ோᇱ ൅ 0ோᇱ ൌ 0ோᇱ
Jadi, ሺܽ െ ܾሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬
݂ሺܽ‫ݎ‬ሻ ൌ ݂ሺܽሻ ‫כ‬ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ 0ோᇱ ‫כ‬ 0ோᇱ ൌ 0ோᇱ serta berlaku pula
݂ሺ‫ܽݎ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ ‫כ‬ ݂ሺܽሻ ൌ 0ோᇱ ‫כ‬ 0ோᇱ ൌ 0ோᇱ
Sehingga ܽ‫,ݎ‬ ‫ܽݎ‬ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Oleh karena itu, terbukti I ideal dari R.
Dari lemma 1.2.7 diperoleh, terdapat homomorphisma ߮ dari R onto ܴ
‫ܫ‬ൗ yaitu
߮ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ ൅ ‫.ܫ‬ Selanjutnya didefinisikan pemetaan ߬ ‫׷‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ ՜ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ yaitu
߬ሺܽሻ ൌ ߬൫߮ሺ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ untuk setiap ܽ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ dan suatu ‫ݎ‬ ‫א‬ ܴ. Akan
dibuktikan bahwa ߬ adalah isomorphisma dari ܴ
‫ܫ‬ൗ onto ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ.
Pertama, dibuktikan bahwa pemetaan ߬ well defined. Untuk itu ambil sebarang
ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ dengan ܽ ൌ ܾ. Karena ߮ surjektif, berarti ܽ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ dan ܾ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ
untuk suatu ‫ݎ‬ଵ ,‫ݎ‬ଶ ‫א‬ ܴ. Sehingga ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ berakibat
ሺ‫ݎ‬ଵ െ ‫ݎ‬ଶሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ atau ‫ݎ‬ଵ െ ‫ݎ‬ଶ ൌ ݅ ฻ ‫ݎ‬ଵ ൌ ݅ ൅ ‫ݎ‬ଶ untuk suatu ݅ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Oleh karena itu
diperoleh,
݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൌ ݂ሺ݅ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ݂ሺ݅ሻ ൅ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ 0ோᇱ ൅ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ.

17. tutur widodo : pend. matematika uns
15Lapangan Berhingga
Jadi, ߬ሺܽሻ ൌ ߬൫߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ߬൫߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ൯ ൌ ߬ሺܾሻ. Sehingga terbukti
߬ well defined.
Kedua, ditunjukkan ߬ suatu homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ
sehingga dapat dinyatakan ܽ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ dan ܾ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ untuk suatu ‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ ‫א‬ ܴ.
Diperoleh pula ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൅ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ dan
ሺܾܽሻ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ ‫כ‬ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ
Perhatikan,
߬ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ߬൫߮ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൅ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ߬ሺܽሻ ൅ ߬ሺܾሻ serta
߬ሺܾܽሻ ൌ ߬ሺ߮ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ ‫כ‬ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ߬ሺܽሻ ‫כ‬ ߬ሺܾሻ .
Terbukti, ߬ homomorphisma.
Terakhir, tinggal ditunjukkan ߬ injektif sekaligus surjektif.
Untuk menunjukkan ߬ injektif , ambil sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ sehingga dapat
dinyatakan ܽ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ dan ܾ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ untuk suatu ‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ ‫א‬ ܴ. Jika ߬ሺܽሻ ൌ ߬ሺܾሻ
harus ditunjukkan ܽ ൌ ܾ. Karena ߬ሺܽሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ dan ߬ሺܾሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ serta ߬ሺܽሻ ൌ
߬ሺܾሻ berakibat ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ. Sehingga ݂ሺ‫ݎ‬ଵ െ ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ଵሻ െ ݂ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ 0ோᇱ. Oleh
karena itu, ሺ‫ݎ‬ଵ െ ‫ݎ‬ଶሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Hal ini berakibat ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ yang berarti
ܽ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଵሻ ൌ ‫ݎ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ‫ݎ‬ଶ ൅ ‫ܫ‬ ൌ ߮ሺ‫ݎ‬ଶሻ ൌ ܾ. Jadi, terbukti ߬ injektif.
Untuk menunjukkan ߬ surjektif, ambil sebarang ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ akan ditunjukkan
terdapat ܽ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ sedemikian hingga ߬ሺܽሻ ൌ ‫.ݐ‬ Perhatikan, karena ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ
berarti ‫ݎ׌‬ ‫א‬ ܴ sedemikian hingga berlaku ݂ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫.ݐ‬ Demikian pula dengan
memanfaatkan homomorphisma ߮, ‫ݓ׌‬ ‫א‬ ܴ
‫ܫ‬ൗ sehingga ߮ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫.ݓ‬ Oleh karena
itu pilih ܽ ൌ ‫,ݓ‬ sehingga berlaku ߬ሺܽሻ ൌ ߬ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ ߬൫߮ሺ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫.ݐ‬ Terbukti
߬ surjektif.
Oleh karena itu, ߬ adalah isomorphisma dari ܴ
‫ܫ‬ൗ onto ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ yang berarti
ܴ
‫ܫ‬ൗ ؆ ‫݉ܫ‬ሺ݂ሻ.

18. tutur widodo : pend. matematika uns
16Lapangan Berhingga
1.3 Lapangan
Definisi 1.3.1( Definisi Lapangan ) Gelanggang F disebut lapangan jika berlaku
sifat – sifat sebagai berikut :
1. F gelanggang komutatif dan F memiliki elemen satuan.
2. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers terhadap operasi perkalian di F.
(Grillet, 2000:116)
Contoh :
Himpunan bilangan rasional Է dan himpunan bilangan real Թ dengan operasi
penjumlahan dan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk lapangan.
Definisi 1.3.2( Definisi Sublapangan ) Misalkan F suatu lapangan dan ‫׎‬ ് ܶ ‫ك‬
‫.ܨ‬ T disebut sublapangan dari F jika T sendiri membentuk lapangan terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian yang ada di F.
(Grillet, 2000:118)
Contoh :
Himpunan Է adalah sublapangan dari lapangan Թ.
Teorema 1.3.3 Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, dan M
ideal maksimal dari R, maka ܴ
‫ܯ‬ൗ = {r + M | r ‫א‬ ܴ} adalah lapangan.
(Herstein, 1996 : 149)
Bukti :
Untuk menunjukkan ܴ
‫ܯ‬ൗ lapangan, harus dibuktikan ܴ
‫ܯ‬ൗ adalah gelanggang
komutatif dengan elemen satuan serta setiap elemen tak nol di ܴ
‫ܯ‬ൗ memiliki
invers terhadap operasi perkalian di ܴ
‫ܯ‬ൗ .

19. tutur widodo : pend. matematika uns
17Lapangan Berhingga
Apabila (+) dan (*) menyatakan operasi seperti pada lemma 1.2.5 maka telah
dibuktikan ൫ܴ
‫ܯ‬ൗ , ൅, ‫כ‬൯ adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan ܴ
‫ܯ‬ൗ
komutatif dan memiliki elemen satuan. Perhatikan,
untuk setiap ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ, ሺܾ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ , ܽ, ܾ ‫א‬ ܴ berlaku,
ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺܾ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൌ ሺܾܽሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ሺܾܽሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ሺܾ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ.
Misalkan pula, 1ோ elemen satuan di R. Sehingga ሺ1ோ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ dan untuk
setiap ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ berlaku ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺ1ோ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൌ ሺ1ோ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ൌ
ሺ1ோܽሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ܽ ൅ ‫.ܯ‬ Berarti 1ோ ൅ ‫ܯ‬ adalah elemen satuan di ܴ
‫ܯ‬ൗ .
Jadi, terbukti ܴ
‫ܯ‬ൗ gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Oleh karena itu, tinggal dibuktikan untuk setiap elemen tak nol di ܴ
‫ܯ‬ൗ memiliki
invers. Untuk keperluan ini, sebelumnya dibuktikan terlebih dahulu ideal di ܴ
‫ܯ‬ൗ
hanya { M } dan ܴ
‫ܯ‬ൗ . Untuk membuktikannya andaikan terdapat ideal lain misal
N di ܴ
‫ܯ‬ൗ harus ditunjukkan N = { M } atau N = ܴ
‫ܯ‬ൗ .
Ambil sebarang N ideal di ܴ
‫ܯ‬ൗ . Apabila N = { M } maka terbukti, oleh karena
itu andaikan ܰ ് ሼ ‫ܯ‬ ሽ. Ini berarti terdapat elemen ݊ ൌ ሺ‫ݐ‬௢ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܰ dengan
‫ݐ‬௢ ‫א‬ ܴ tetapi ‫ݐ‬௢ ‫ב‬ ‫.ܯ‬
Berdasarkan lemma 1.2.7 terdapat homomorphisma ݂ ‫׷‬ ܴ ՜ ܴ
‫ܯ‬ൗ yaitu
݂ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ ൅ ‫,ܯ‬ ‫ݎ׊‬ ‫א‬ ܴ. Selanjutnya misalkan ܶ ൌ ሼ‫ݐ‬ ‫א‬ ܴ | ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ‫א‬ ܰሽ berarti
ܶ ് ‫ܯ‬ dan ‫ܯ‬ ‫ؿ‬ ܶ. Akan dibuktikan T ideal dari R.
Jelas T tak kosong dan ܶ ‫ك‬ ܴ. Demikian pula untuk sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ܶ diperoleh
݂ሺܽ െ ܾሻ ൌ ݂൫ܽ ൅ ሺെܾሻ൯ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ݂ሺെܾሻ ൌ ݂ሺܽሻ ൅ ሺെ݂ሺܾሻሻ. Karena N ideal,
berakibat ሺ݂ሺܽሻ ൅ ሺെ݂ሺܾሻሻሻ ‫א‬ ܰ sehingga ሺܽ െ ܾሻ ‫א‬ ܶ.
Selanjutnya, ambil sebarang ‫ݎ‬ ‫א‬ ܴ dan ܽ ‫א‬ ܶ diperoleh,
݂ሺܽ‫ݎ‬ሻ ൌ ሺܽ‫ݎ‬ሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ ൅ ‫ܯ‬ሻ karena N ideal dan ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܰ serta
ሺ‫ݎ‬ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ berakibat ݂ሺܽ‫ݎ‬ሻ ൌ ൫ሺܽ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫ݎ‬ ൅ ‫ܯ‬ሻ൯ ‫א‬ ܰ.

20. tutur widodo : pend. matematika uns
18Lapangan Berhingga
Jadi, ܽ‫ݎ‬ ൌ ‫ܽݎ‬ ‫א‬ ܶ. Terbukti T ideal di R. Karena ‫ܯ‬ ‫ؿ‬ ܶ dan M ideal maksimal
serta ܶ ് ‫ܯ‬ berakibat ܶ ൌ ܴ.
Sekarang ambil sebarang ‫݌‬ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ berarti dapat ditulis ‫݌‬ ൌ ‫ݎ‬ ൅ ‫,ܯ‬ untuk suatu
‫ݎ‬ ‫א‬ ܴ ൌ ܶ. Jadi, ܰ ‫ד‬ ݂ሺ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ‫.݌‬ Sehingga ܴ
‫ܯ‬ൗ ‫ك‬ ܰ , padahal diketahui
pula ܰ ‫ك‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ . Jadi, terbukti ܴ
‫ܯ‬ൗ ൌ ܰ. Oleh karena itu, ideal di ܴ
‫ܯ‬ൗ hanya
{ M } dan ܴ
‫ܯ‬ൗ .
Sekarang kembali ke tujuan awal yaitu membuktikan setiap elemen tak nol di
ܴ
‫ܯ‬ൗ memiliki invers. Oleh karena itu, ambil sebarang ܽ ൌ ሺ‫ݎ‬ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬
ܴ
‫ܯ‬ൗ tetapi ܽ ് ‫.ܯ‬ ( Perhatikan, elemen nol atau elemen netral di ܴ
‫ܯ‬ൗ
adalah M ). Mudah dibuktikan bahwa ܹ ൌ ൛ܽ ‫כ‬ ‫ݔ‬ | ‫ݔ‬ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ ൟ adalah ideal di
ܴ
‫ܯ‬ൗ . Perhatikan pula bahwa,
ܽ ൌ ൫ܽ ‫כ‬ ሺ1ோ ൅ ‫ܯ‬ሻ൯ ‫א‬ ܹ. Jadi, ܹ ് ሼ‫ܯ‬ሽ, berarti ܹ ൌ ܴ
‫ܯ‬ൗ . Karena
ሺ1ோ ൅ ‫ܯ‬ሻ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ ൌ ܹ berarti 1ோ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ܽ ‫כ‬ ‫ݔ‬௢ untuk suatu ‫ݔ‬௢ ‫א‬ ܴ
‫ܯ‬ൗ . Dengan
kata lain, ‫ݔ‬௢ invers dari a.
Jadi, terbukti setiap elemen tak nol di ܴ
‫ܯ‬ൗ memiliki invers. Sebelumnya juga
telah dibuktikan ܴ
‫ܯ‬ൗ adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Sehingga terbukti ܴ
‫ܯ‬ൗ adalah lapangan.
Contoh :
Pada contoh dari lemma1.2.5, Ժ
2Ժൗ adalah suatu gelanggang. Tetapi karena 2Ժ
adalah ideal maksimal dari Ժ diperoleh Ժ
2Ժൗ merupakan lapangan.
Teorema 1.3.4 Daerah integral berhingga adalah lapangan.
(Herstein, 1990 : 127 )

21. tutur widodo : pend. matematika uns
19Lapangan Berhingga
Bukti :
Misalkan D adalah daerah integral berhingga dan |‫|ܦ‬ ൌ ݊. Misalkan pula
D ={d1, d2, d3, ... ,dn} dimana di = dj jika dan hanya jika i = j. Untuk
membuktikan D suatu lapangan harus ditunjukkan bahwa D memiliki elemen
satuan dan setiap elemen tak nol di D memiliki invers.
Ambil elemen x ് 0D ‫א‬ ‫.ܦ‬Perhatikan bahwa xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya ada
di D dan klaim bahwa semuanya berbeda. Andaikan ‫݀׌‬௜, ݀௝, ‫ד‬ ‫݀ݔ‬௜ ൌ ‫݀ݔ‬௝,
dengan ݅ ് ݆ diperoleh, ‫݀ݔ‬௜ െ ‫݀ݔ‬௝ ൌ 0஽ sehingga ‫ݔ‬൫ ݀௜ െ ݀௝൯ ൌ 0஽. Karena D
daerah integral dan ‫ݔ‬ ് 0D, maka haruslah di – dj = 0D atau di = dj. Timbul
kontradiksi karena i ് ݆, sehingga terbukti xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya
berbeda. Dengan kata lain, dapat ditulis D = { xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn }. Padahal
‫ݔ‬ ‫א‬ ‫,ܦ‬ sehingga ‫ݔ‬ ൌ ‫݀ݔ‬௜௢ untuk suatu ݀௜௢ ‫א‬ ‫.ܦ‬ Klaim bahwa ݀௜௢ adalah
elemen identitas dari D. Ambil sebarang elemen ܽ ‫א‬ ‫,ܦ‬ dapat ditulis
ܽ ൌ ‫݀ݔ‬௜ , untuk suatu ݀௜ ‫א‬ ‫.ܦ‬ Perhatikan, ܽ݀௜௢ ൌ ‫݀ݔ‬௜ ݀௜௢ ൌ ‫݀ݔ‬௜௢݀௜ ൌ ‫݀ݔ‬௜ ൌ ܽ
Karena D komutatif, diperoleh ܽ ൌ ܽ݀௜௢ ൌ ݀௜௢ܽ . Berarti ݀௜௢ adalah elemen
satuan di D.
Selanjutnya ditunjukkan setiap elemen taknol di D memiliki invers. Perhatikan
kembali bahwa ݀௜௢ ‫א‬ ‫ܦ‬ sehingga ݀௜௢ ൌ ‫݀ݔ‬௜, untuk suatu ݀௜ ‫א‬ ‫.ܦ‬ Jadi, ݀௜ adalah
invers dari x. Terbukti bahwa D adalah lapangan.
Definisi 1.3.5 ( Definisi Sublapangan Prima ) Sublapangan terkecil dari
lapangan F disebut sublapangan prima.
(Robinson, 2003 : 185)
Dengan kata lain sublapangan prima adalah irisan dari seluruh sublapangan yang
ada di F. Lapangan yang sama dengan sublapangan primanya disebut lapangan
prima.

22. tutur widodo : pend. matematika uns
20Lapangan Berhingga
Definisi 1.3.6 ( Definisi karakteristik gelanggang ) Misal R gelanggang, dan n
adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga ݊‫ݎ‬ ൌ 0ோ, ‫ݎ׊‬ ‫א‬ ܴ. Bilangan
terkecil n yang memenuhi sifat tersebut dinamakan karakteristik dari R, dan R
dikatakan memiliki karakteristik n. Apabila bilangan bulat positif yang demikian
tidak ada, dikatakan R memiliki karakteristik 0.
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Contoh :
Ժ adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 0, sedangkan Ժଶ adalah contoh
gelanggang dengan karakteristik 2.
Lemma 1.3.7 Jika R adalah gelanggang dengan karakteristik p, p bilangan
prima. Maka untuk setiap ߙ, ߚ ߳ ܴ ܾ݁‫ݑ݈݇ܽݎ‬ ሺߙ ൅ ߚሻ௣
ൌ ߙ௣
൅ ߚ௣
.
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Bukti :
Berdasarkan Binomial Newton didapat,
ሺߙ ൅ ߚሻ௣
ൌ ߙ௣
൅ ෍ ቀ
‫݌‬
݅
ቁ ߙ௣ି௜
ߚ௜
൅ ߚ௣
௣ିଵ
௜ୀଵ
Perhatikan, ൫௣
௜
൯ adalah bilangan bulat serta
ቀ
‫݌‬
݅
ቁ ൌ
‫.݌‬ ሺ‫݌‬ െ 1ሻ. ሺ‫݌‬ െ 2ሻ … ሺ‫݌‬ െ ݅ ൅ 1ሻ
݅. ሺ݅ െ 1ሻ. ሺ݅ െ 2ሻ … 2.1
Karena p bilangan prima dan 1 ൑ ݅ ൏ ‫݌‬ maka faktor p pada pembilang tidak
dapat dihilangkan. Dengan kata lain ൫௣
௜
൯ merupakan kelipatan p.

23. tutur widodo : pend. matematika uns
21Lapangan Berhingga
Hal ini berakibat ∑ ൫௣
௜
൯ߙ௣ି௜
ߚ௜௣ିଵ
௜ୀଵ merupakan kelipatan p. Karena p karakteristik
dari R diperoleh ∑ ൫௣
௜
൯ߙ௣ି௜
ߚ௜௣ିଵ
௜ୀଵ ൌ 0ோ. Oleh karena itu, ሺߙ ൅ ߚሻ௣
ൌ ߙ௣
൅ ߚ௣
.
Contoh :
Di Ժଷ diperoleh, ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଷ
ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ 3‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ 1ଷ
.
Teorema 1.3.8 Lapangan prima dengan karakteristik p ≠ 0 isomorphic dengan
Ժ௣.
(Robinson, 2003 : 186)
Bukti :
Ambil sebarang lapangan prima F dengan karakteristik p ≠ 0.
Konstruksi homomorphisma,
߮ ‫׷‬ Ժ ՜ ‫ܨ‬
dengan definisi ߮ሺ݊ሻ ൌ ݊1ி, ‫݊׊‬ ‫א‬ Ժ.
Perhatikan bahwa ߮ሺ݊ሻ ൌ 0ி, jika dan hanya jika ݊ adalah kelipatan p. Sehingga
Ker(߮) = pԺ , berdasarkan teorema 1.2.8 diperoleh
Im(߮ሻ ؆ Ժ
‫݌‬Ժൗ ൌ Ժ௣
Jadi, Ժ௣ isomorphic dengan Im(߮ሻ sublapangan dari F. Tetapi F lapangan prima
sehingga terbukti F = Im(߮ሻ ؆ Ժ௣.
1.4 Ruang Vektor
Definisi 1.4.1( Definisi bergantung linier dan bebas linier ) Diberikan ruang
vektor V. Himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } subset V disebut bergantung linier
jika terdapat scalar ߣଵ, ߣଶ, … . , ߣ௡ yang tidak semuanya nol, sedemikian
sehingga
ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡ ൌ 0௏

24. tutur widodo : pend. matematika uns
22Lapangan Berhingga
Apabila himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } tidak bergantung linier, maka himpunan
S = { v1, v2, . . . .vn } disebut bebas linier.
(Herstein, 1990 : 178)
Definisi 1.4.2 ( Definisi merentang / spanning ) Himpunan S = {v1, v2, . . . .vn}
subset ruang vektor V disebut merentang V, dinotasikan V = span( S ) jika untuk
setiap ‫ݔ‬ ‫א‬ ܸ dapat dinyatakan dalam bentuk ‫ݔ‬ ൌ ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡,
dengan ߣଵ, ߣଶ, … . , ߣ௡ suatu scalar.
(Herstein, 1990 : 179)
Definisi 1.4.3( Definisi basis ) Himpunan S = {v1,v2, . . . .vn} subset ruang vektor
V disebut basis dari V jika S bebas linier dan S merentang V.
(Herstein, 1990 : 180)
Lemma 1.4.4 Apabila {v1, v2, . . . ,vn } adalah basis dari V maka untuk setiap
‫ݒ‬ ߳ ܸ , penyajian ‫ݒ‬ ൌ ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡ ݀݁݊݃ܽ݊ ߣ௜ ‫ݎ݈ܽܽ݇ݏ‬
adalah tunggal (unik).
(Herstein, 1990 : 178)
Bukti :
Andaikan ‫ݒ׌‬ Ԗ ܸ, dimana penyajian ‫ݒ‬ ൌ ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡ tidak
tunggal. Katakanlah ‫ݒ‬ ൌ ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡
dan
‫ݒ‬ ൌ ߤଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߤଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߤ௡. ‫ݒ‬௡,
dimana terdapat ݅ ߳ ሼ1, 2, … , ݊ሽ, sehingga ߣ௜ ് ߤ௜. Selanjutnya diperoleh
0௏ ൌ ‫ݒ‬ െ ‫ݒ‬ ൌ ሺߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡ሻ െ ሺߤଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߤଶ. ‫ݒ‬ଶ … . ൅ ߤ௡. ‫ݒ‬௡ሻ
ൌ ሺߣଵ െ ߤଵሻ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ሺߣଶ െ ߤଶሻ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ሺߣ௡ െ ߤ௡ሻ. ‫ݒ‬௡

25. tutur widodo : pend. matematika uns
23Lapangan Berhingga
Padahal terdapat ݅ ߳ ሼ1,2, … , ݊ሽ, sehingga ߣ௜ െ ߤ௜ ് 0, hal ini kontradiksi
dengan kenyataan bahwa {v1, v2, . . . .vn } basis dari V.
Jadi, terbukti penyajian ‫ݒ‬ ൌ ߣଵ. ‫ݒ‬ଵ ൅ ߣଶ. ‫ݒ‬ଶ ൅ … . ൅ ߣ௡. ‫ݒ‬௡ tunggal.
Definisi 1.4.5( Definisi dimensi ) Dimensi ruang vektor V adalah cacah
banyaknya elemen himpunan basisnya. Dimensi ruang vektor V dinotasikan
݀݅݉௏.
(Herstein. 1990 : 181)
Contoh :
Misal ruang vektor V dengan basis ܵ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿሽ maka diperoleh ݀݅݉௏ ൌ 3.
1.5 Perluasan Lapangan
Definisi 1.5.1( Definisi perluasan lapangan ) Misalkan F dan E suatu lapangan
dengan operasi yang sama. E disebut perluasan lapangan dari F jika ‫ܨ‬ ‫ك‬ ‫.ܧ‬
(Robinson, 2003 : 186)
Cara pandang lain yang berguna dalam belajar teori lapangan yaitu
andaikan terdapat suatu homomorphisma yang injektif dari lapangan A ke
lapangan B, katakanlah
߮ ‫׷‬ ‫ܣ‬ ื ‫ܤ‬
diperoleh ‫ܣ‬ ؆ ‫݉ܫ‬ ሺ ߮ሻ ‫ك‬ ‫.ܤ‬
Untuk selanjutnya dapat diasumsikan A sublapangan dari B, anggapan ini muncul
dikarenakan A dapat digantikan oleh ‫݉ܫ‬ ሺ ߮ሻ ‫ك‬ ‫.ܤ‬ Sehingga dapat dianggap B
perluasan lapangan dari A. Dengan demikian, berdasarkan bukti teorema 1.3.8
diperoleh setiap lapangan dengan karakteristik ‫݌‬ ് 0 merupakan perluasan

26. tutur widodo : pend. matematika uns
24Lapangan Berhingga
lapangan dari Ժ௣. Untuk keperluan analisis, lapangan B dapat pula dipandang
sebagai ruang vektor atas A dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang ada
di B.
Definisi 1.5.2 ( Derajat perluasan lapangan ) Misalkan E perluasan lapangan
dari F. Derajat E atas F adalah dimensi dari E sebagai ruang vektor atas F.
Derajat E atas F dinotasikan dengan [E: F]. Apabila [E: F] berhingga, maka E
disebut perluasan berhingga dari F.
(Herstein, 1996 :191)
Teorema 1.5.3 Jika K adalah perluasan berhingga dari lapangan L dan L
adalah perluasan berhingga dari lapangan F, maka K adalah perluasan
berhingga dari lapangan F dan
ሾ‫:ܭ‬ ‫ܨ‬ሿ ൌ ሾ‫:ܭ‬ ‫ܮ‬ሿሾ‫:ܮ‬ ‫ܨ‬ሿ
(Fraleigh, 2000 : 389)
Bukti :
Misalkan ሼܽ௜| ݅ ൌ 1, 2, … , ݊ሽ adalah basis dari ruang vektor K atas L dan
൛ܾ௝| ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟ adalah basis dari ruang vektor L atas F. Apabila bisa
ditunjukkan bahwa ൛ܽ௜ܾ௝| ݅ ൌ 1,2,3, … , ݊ dan ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟ adalah basis dari
ruang vektor K atas F maka bukti selesai.
Untuk itu ambil sebarang ߛ ‫א‬ ‫,ܭ‬ ߛ dapat dinyatakan
ߛ ൌ ߤଵܽଵ ൅ ߤଶܽଶ ൅ ‫ڮ‬ ൅ ߤ௡ܽ௡ dengan ߤ௜ ‫א‬ ‫ܮ‬
Akan tetapi ߤ௜ dapat dinyatakan ߤ௜ ൌ ∑ ߤ௜௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ dengan ߤ௜௝ ‫א‬ ‫.ܨ‬ Sehingga
ߛ ‫א‬ ‫ܭ‬ dapat dinyatakan,

27. tutur widodo : pend. matematika uns
25Lapangan Berhingga
ߛ ൌ ෍ ߤଵ௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽଵ ൅ ෍ ߤଶ௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽଶ ൅ ‫ڮ‬ ൅ ෍ ߤ௡௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽ௡
ߛ ൌ ෍ ෍ ߤ௜௝ܽ௜ܾ௝
௠
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ
Jadi, ൛ܽ௜ܾ௝| ݅ ൌ 1,2,3, … , ݊ dan ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟmerentang K. Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa ൛ܽ௜ܾ௝| ݅ ൌ 1,2,3, … , ݊ dan ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟ bebas linier.
Andaikan ∑ ∑ ܿ௜௝ܽ௜ܾ௝
௠
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ ൌ 0௄ . Dalam penyajian lain,
෍ ܿଵ௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽଵ ൅ ෍ ܿଶ௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽଶ ൅ ‫ڮ‬ ൅ ෍ ܿ௡௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ܽ௡ ൌ 0௄
Karena ሼܽ௜| ݅ ൌ 1, 2, … , ݊ሽ basis dari K atas L, dan ∑ ܿ௜௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ ‫א‬ ‫ܮ‬ maka
berakibat untuk setiap i, berlaku
෍ ܿ௜௝ܾ௝
௠
௝ୀଵ
ൌ 0௅
Dengan argumentasi yang sama, karena ൛ܾ௝| ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟ adalah basis dari
ruang vektor L atas F maka berakibat ܿ௜௝ ൌ 0ி untuk setiap i = 1,2,…, n dan
j = 1,2,…, m. Jadi, ൛ܽ௜ܾ௝| ݅ ൌ 1,2,3, … , ݊ dan ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟbebas linier. Oleh
karena itu, ൛ܽ௜ܾ௝| ݅ ൌ 1,2,3, … , ݊ dan ݆ ൌ 1,2,3, … , ݉ൟ membentuk basis dari
ruang vektor K atas F. Sehingga K merupakan perluasan berhingga dari
lapangan F. Dan
ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ ൌ ݊݉ ൌ ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫ܮ‬ሿሾ‫ܮ‬ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ
Teorema terbukti.

28. tutur widodo : pend. matematika uns
26Lapangan Berhingga
1.6 Suku Banyak (Polinomial)
Untuk selanjutnya, simbol ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ menyatakan gelanggang polinomial atas
lapangan ‫,ܨ‬ kecuali apabila dikatakan lain.
Definisi 1.6.1( Definisi polinomial monic ) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ disebut polinomial
monic jika koefisien tak nol dari pangkat tertinggi dari x adalah 1.
(Herstein, 1996 : 157)
Contoh :
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଷ
െ 8‫ݔ‬ ൅ 9 merupakan polinomial monic, sedangkan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ݔ‬ଷ
െ
8‫ݔ‬ ൅ 9 bukan polinomial monic.
Definisi 1.6.2( Definisi daerah integral utama ) Misalkan ‫ܨ‬ suatu gelanggang.
‫ܨ‬ disebut daerah integral utama jika untuk setiap ideal I di ‫ܨ‬ berlaku
‫ܫ‬ ൌ ‫ۄݐۃ‬ ൌ ሼ‫|ݔݐ‬ ‫ݔ‬ ‫א‬ ‫ܨ‬ሽ, untuk suatu ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫.ܨ‬
(Fraleigh, 2000 : 332)
Teorema 1.6.3 ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ merupakan daerah integral utama.
(Herstein, 1990 :156 )
Bukti :
Ambil sebarang ideal ‫ܫ‬ di ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ. Akan ditunjukkan bahwa ‫ܫ‬ ൌ ‫݉ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ untuk suatu
݉ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ.
Jika ‫ܫ‬ ൌ ሼ 0 ሽ maka jelas ‫ܫ‬ ൌ ‫.ۄ0ۃ‬ Oleh karena itu andaikan ‫ܫ‬ ് ሼ 0 ሽ. Selanjutnya,
ambil sebarang ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ dan pilih polinomial taknol ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ sedemikian

29. tutur widodo : pend. matematika uns
27Lapangan Berhingga
hingga deg൫݉ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൑ deg൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ , ‫݂׊‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Berdasarkan algoritma pembagian
Euclid diperoleh,
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ሻ. ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ dengan ݄ሺ‫ݔ‬ሻ, ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ dan degሺ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൏
deg ሺ݉ሺ‫ݔ‬ሻሻ atau ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0. Perhatikan pula, ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ െ ݉ሺ‫ݔ‬ሻ. ݄ሺ‫ݔ‬ሻ karena
‫ܫ‬ ideal di ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berakibat ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫.ܫ‬ Selain itu karena deg൫݉ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൑ deg൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ,
‫݂׊‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܫ‬ berakibat ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 yang berarti ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ሻ. ݄ሺ‫ݔ‬ሻ. Jadi, ݉ሺ‫ݔ‬ሻ
adalah pembangun dari I atau ‫ܫ‬ ൌ ‫݉ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫.ۄ‬ Terbukti ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ adalah daerah integral
utama.
Definisi 1.6.4 ( Definisi polinomial tak tereduksi ) Polinomial ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
disebut tak tereduksi (irreducible) jika p(x) berderajat positif dan ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ tidak dapat
dinyatakan sebagai perkalian antara dua polinomial berderajat positif. Dengan
kata lain, jika ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽሺ‫ݔ‬ሻܾሺ‫ݔ‬ሻ maka ܽሺ‫ݔ‬ሻ konstan atau ܾሺ‫ݔ‬ሻkonstan.
(Herstein, 1996 : 159 )
Contoh :
‫ݔ‬ଶ
൅ 1 merupakan polinomial tak tereduksi di Թሾ‫ݔ‬ሿ tetapi tereduksi di ԧሾ‫ݔ‬ሿ.
Teorema 1.6.5 Jika ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ tak tereduksi maka ideal ‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ yaitu
ideal yang dibangun oleh ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah ideal maksimal dari ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ.
(Herstein, 1996 : 160 )
Bukti :
Misalkan M = ‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ . Untuk menunjukkan M ideal maksimal dari ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, harus
ditunjukkan jika N ideal dari ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ sedemikian sehingga ‫ܯ‬ ‫ك‬ ܰ maka
ܰ ൌ ‫ܯ‬ atau ܰ ൌ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ.

30. tutur widodo : pend. matematika uns
28Lapangan Berhingga
Karena ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ adalah daerah integral utama, maka
ܰ ൌ ‫݂ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫,ۄ‬ untuk suatu ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ. Perhatikan pula bahwa ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܯ‬ ‫ك‬ ܰ,
sehingga ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݃ሺ‫ݔ‬ሻ, ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ. Karena ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ tak tereduksi berakibat
݂ሺ‫ݔ‬ሻ konstan atau ݃ሺ‫ݔ‬ሻ konstan.
Jika ݃ሺ‫ݔ‬ሻ konstan maka ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽ, untuk suatu ܽ ‫א‬ ‫.ܨ‬ Berarti
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. ܽ atau ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ. ܽିଵ
. Berarti ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫,ܯ‬ berakibat ܰ ‫ك‬ ‫.ܯ‬
Karena ‫ܯ‬ ‫ك‬ ܰ serta ܰ ‫ك‬ ‫ܯ‬ maka ‫ܯ‬ ൌ ܰ.
Jika ݂ሺ‫ݔ‬ሻ konstan maka ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫,ݐ‬ untuk suatu ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫.ܨ‬ Sehingga ‫.ݐ‬ ‫ݐ‬ିଵ
ൌ 1ி ‫א‬ ܰ
Oleh karena itu, untuk setiap ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berlaku 1ி. ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ܰ.
( Karena N ideal dari F [x] ). Jadi, N = F[x]. Terbukti bahwa
M = ‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ideal maksimal dari ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ.
Teorema 1.6.6 Misalkan polinomial ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n. Maka ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
memiliki paling banyak n akar di sebarang perluasan lapangan dari F.
(Herstein, 1996 : 209)
Bukti :
Akan dibuktikan teorema ini dengan induksi matematika.
Untuk n = 1, maka dapat ditulis ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽ‫ݔ‬ ൅ ܾ, dengan ܽ, ܾ ‫א‬ ‫ܨ‬ dan ܽ ് 0ி.
Sehingga satu – satunya akar dari ݂ሺ‫ݔ‬ሻ adalah െܾܽିଵ
‫א‬ ‫.ܨ‬
Asumsikan pernyataan benar untuk ݊ ൌ ݇. Akan ditunjukkan pernyataan juga
benar untuk ݊ ൌ ݇ ൅ 1. Ambil polinomial ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat k +1. Apabila
݂ሺ‫ݔ‬ሻ tidak memiliki akar di sebarang perluasan lapangan ‫ܭ‬ dari ‫ܨ‬ maka
pernyataan terbukti. Oleh karena itu, andaikan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ memiliki akar. Katakanlah
ܽ ‫א‬ ‫ܭ‬ adalah akar dari ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Sehingga dapat ditulis ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ݃ሺ‫ݔ‬ሻ,
dengan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܭ‬ሾ‫ݔ‬ሿ dan ݀݁݃ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݇.

31. tutur widodo : pend. matematika uns
29Lapangan Berhingga
Perhatikan bahwa untuk sebarang ߚ ‫א‬ ‫ܭ‬ akar dari ݂ሺ‫ݔ‬ሻ maka ߚ ൌ ܽ atau ߚ akar
dari ݃ሺ‫ݔ‬ሻ karena 0௄ ൌ ݂ሺߚሻ ൌ ሺߚ െ ܽሻ݃ሺߚሻ. Padahal berdasarkan assumsi ݃ሺ‫ݔ‬ሻ
memiliki paling banyak k akar. Jadi, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ memiliki paling banyak k +1 akar .
Dengan kata lain pernyataan benar untuk ݊ ൌ ݇ ൅ 1.
Berdasarkan prinsip induksi matematika teorema terbukti.
Teorema 1.6.7 Misalkan F suatu lapangan dan f (x) adalah polinomial
berderajat n di F[x]. Maka terdapat perluasan lapangan K atas F dimana f (x)
memiliki akar dan ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ ൑ ݊.
(Herstein, 1996 : 211)
Bukti :
Perhatikan bahwa f (x) dapat dinyatakan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ dengan
‫݌‬ሺ ‫ݔ‬ሻ polinomial tak tereduksi di F [x] dan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ. Jika a adalah akar dari
p(x) di suatu perluasan lapangan F maka a juga akar dari f (x), karena
݂ሺܽሻ ൌ ‫݌‬ሺܽሻ. ݃ሺܽሻ ൌ 0. ݃ሺܽሻ ൌ 0. Jadi untuk membuktikan teorema ini, cukup
dengan mencari suatu perluasan lapangan dari F dimana p(x) memiliki akar.
Karena p(x) tak tereduksi maka ‫ܯ‬ ൌ ‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ adalah ideal maksimal dari F [x],
sehingga ‫ܭ‬ ൌ
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫ܯ‬ൗ adalah lapangan. Kita klaim bahwa ‫ܭ‬ adalah perluasan
lapangan yang dicari. Tetapi, ‫ܨ‬ ‫م‬ ‫.ܭ‬ Untuk itu konstruksi homomorphisma ߰
dari F [x] ke K sebagai berikut :
߰ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ ื ‫ܭ‬
yaitu ߰൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ܯ‬
Sehingga didapat, ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߰ሻ ൌ ൛݂ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ| ߰൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ 0௄ ൌ ‫ܯ‬ൟ
ൌ ሼ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ| ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ܯ‬ ൌ 0௄ ൌ ‫ܯ‬ሽ
ൌ ሼ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ| ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ߳ ‫ܯ‬ሽ ൌ ‫ܯ‬

32. tutur widodo : pend. matematika uns
30Lapangan Berhingga
Perhatikan bahwa M adalah ideal yang dibangun oleh p(x), sehingga setiap elemen
tak nol di M pasti memiliki derajat lebih besar atau sama dengan p(x), sehingga
‫ܨ‬ ‫ת‬ ‫ܯ‬ ൌ ሼ0ሽ. Dari sini lebih jauh bisa diperoleh apabila homomorphisma ߰ di
atas dibatasi dari F ke ‫݉ܫ‬ ሺ߰ሻ di ‫ܭ‬ saja maka akan menjadi suatu isomorphisma.
Maka ‫ܨ‬ ؆ ‫݉ܫ‬ ሺ߰ሻ ‫ك‬ ‫.ܭ‬ Sehingga dengan relasi isomorphisma ini, bisa
dikatakan bahwa K adalah perluasan lapangan dari F.
Misalkan, ߰ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ‫ܯ‬ ൌ ܽ ߳ ‫.ܭ‬ Dengan sifat homomorphisma dari ߰, bisa
diperoleh untuk setiap ݃ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, berlaku ߰ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݃ሺܽሻ. Karena
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, maka ߰ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫݌‬ሺܽሻ padahal ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܯ‬ ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߰ሻ sehingga
߰ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫݌‬ሺܽሻ ൌ 0௄. Dengan kata lain ܽ ߳ ‫ܭ‬ adalah akar dari p(x). Jadi,
‫ܭ‬ ൌ
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫ܯ‬ൗ adalah lapangan yang kita cari.
Selanjutnya tinggal dibuktikan bahwa K terbatas. Perhatikan untuk setiap
݄ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ dengan algoritma pembagian diperoleh,
݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ,
dengan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ, ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ dan ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 atau ݀݁݃൫‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൏ ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ
sehingga, ߰ሺ݄ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ߰൫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ൌ ߰൫‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯߰൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൅ ߰൫‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ൌ ‫݌‬ሺܽሻ݃ሺܽሻ ൅ ‫ݎ‬ሺܽሻ ൌ ‫ݎ‬ሺܽሻ
Ambil sebarang ݇ ‫א‬ ‫,ܭ‬ maka terdapat ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, sehingga
݇ ൌ ߰ሺ݉ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫ݎ‬ሺܽሻ. Jika dimisalkan ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫,ݐ‬ karena ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 atau
݀݁݃ሺ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൏ ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ maka ሼ1௄, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … . . , ܽ௧ିଵሽ merentang K. Akan
dibuktikan bahwa ሼ1௄, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … . . , ܽ௧ିଵሽ bebas linier.
Andaikan ߣ଴1௄ ൅ ߣଵ ܽ ൅ ߣଶܽଶ
൅ ߣଷ ܽଷ
൅ … . . ൅ ߣ௧ିଵܽ௧ିଵ
ൌ 0௄ dengan ߣ௜ ‫א‬ ‫,ܨ‬
misalkan pula ‫ݏ‬ሺܽሻ ൌ ߣ଴1௄ ൅ ߣଵ ܽ ൅ ߣଶܽଶ
൅ ߣଷ ܽଷ
൅ … . . ൅ ߣ௧ିଵܽ௧ିଵ
ൌ 0௄.
Maka diperoleh ߰ሺ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫ݏ‬ሺܽሻ ൌ 0௄. Jadi, ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߰ሻ ൌ ‫.ܯ‬ Karena
݀݁݃ሺ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൏ ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ sedang elemen tak nol di M memiliki derajat lebih besar
atau sama dengan derajat ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ maka diperoleh

33. tutur widodo : pend. matematika uns
31Lapangan Berhingga
‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߣ଴.1ி ൅ ߣଵ. ‫ݔ‬ ൅ ߣଶ.‫ݔ‬ଶ
൅ ߣଷ ‫ݔ‬ଷ
൅ … . . ൅ ߣ௧ିଵ‫ݔ‬௧ିଵ
ൌ 0ிሾ௫ሿ, sehingga
ߣ଴ ൌ ߣଵ ൌ ߣଶ ൌ ߣଷ ൌ … . . ൌ ߣ௧ିଵ ൌ 0F. Jadi, ሼ1௄, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … . . , ܽ௧ିଵሽ bebas
linier yang berarti menjadi basis dari K.
Sehingga terbukti ሾ‫:ܭ‬ ‫ܨ‬ሿ ൌ ‫ݐ‬ ൌ ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൑ ݀݁݃ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݊.
Teorema 1.6.8 Diketahui polinomial ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n. Maka terdapat
perluasan lapangan K atas F dengan derajat paling besar n! dimana f (x)
memiliki n akar.
(Herstein, 1996 : 212)
Bukti :
Akan dibuktikan teorema ini dengan cara induksi.
Untuk n = 1, bisa dimisalkan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߙ ൅ ߚ‫,ݔ‬ dengan ߙ, ߚ ߳ ‫ܨ‬ dan ߚ ് 0
sehingga akar dari ݂ adalah െ ߙߚିଵ
߳ ‫.ܨ‬ Jadi, pilih K = F sehingga [K : F] = 1 =
1!
Andaikan pernyataan benar untuk ݊ ൌ ݇ akan ditunjukkan pernyataan juga benar
untuk ݊ ൌ ݇ ൅ 1. Oleh karena itu, ambil sebarang polinomial ݂ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
berderajat k +1. Berdasarkan teorema 1.6.7 terdapat perluasan lapangan K1 atas
F dengan ሾ‫ܭ‬ଵ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ ൑ ݇ ൅ 1 sehingga f memiliki akar, katakanlah a adalah akar
dari f di K1. Berarti dapat ditulis ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, dengan ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ߳ ‫ܭ‬ଵሾ‫ݔ‬ሿ. dan
݀݁݃ሺ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݇. Berdasarkan asumsi, terdapat perluasan lapangan K atas K1
sehingga q(x) memiliki k akar dan ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫1ܭ‬ሿ ൑ ݇! Jadi, f (x) memiliki k + 1 akar
di K dan ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ ൌ ሾ‫ܭ‬ ‫׷‬ ‫ܭ‬ଵሿ. ሾ‫ܭ‬ଵ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሿ ൑ ݇! ሺ݇ ൅ 1ሻ ൌ ሺ݇ ൅ 1ሻ!. Sehingga
teorema terbukti.
Lemma 1.6.9 Jika ‫݈ܽ݅݉݋݈݊݅݋݌‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ memiliki akar ganda ( multiple
root ) maka ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݀ܽ݊ ݂ᇱ
ሺ‫ݔ‬ሻ memiliki faktor yang sama. ( f’ merupakan turunan
pertama dari f ).

34. tutur widodo : pend. matematika uns
32Lapangan Berhingga
(Herstein, 1990 : 233)
Bukti :
Andaikan a adalah akar ganda dari f, maka diperoleh
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ௠
‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, dimana ݉ ൐ 1. Sehingga,
݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ௠ିଵ
‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ௠
‫ݍ‬ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ܽሻ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
Jadi, f dan f’ bersama – sama memiliki faktor (x – a). Lemma terbukti.
Akibat. Jika F adalah lapangan dengan karakteristik ‫݌‬ ് 0 maka polinomial
‫ݔ‬௣೙
െ ‫ݔ‬ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, ݊ ൒ 1 semua akarnya berbeda.
(Herstein, 1990 : 234)
Bukti :
Misalkan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬௣೙
െ ‫ݔ‬ , maka ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݌‬௡
‫ݔ‬௣೙ି ଵ
െ 1 ൌ െ1
sehingga ݂ dan ݂Ԣ saling prima. Berdasarkan kontraposisi dari lemma 1.6.9 ݂
tidak memiliki akar ganda atau dengan kata lain semua akarnya berbeda.

35. tutur widodo : pend. matematika uns
33Lapangan Berhingga
2. Pembahasan
2.1 Pengertian Lapangan Berhingga
Definisi 2.1.1 Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut
lapangan berhingga.
(Herstein, 1996 : 221 )
Sebelum pembahasan lebih jauh tentang lapangan berhingga, berikut diberikan
contoh lapangan berhingga yang paling sederhana dan sudah cukup dikenal.
Teorema 2.1.2 Himpunan Ժ௡ merupakan lapangan jika dan hanya jika n adalah
bilangan prima.
(Rudolf Lidl, 1994 : 14)
Bukti :
֜ Andaikan n bukan bilangan prima , maka n = a. b dengan 1 < a, b < n.
Karena Ժ௡ suatu lapangan maka setiap elemen tak nol di Ժ௡ memiliki invers.
Padahal [b] elemen di Ժ௡ berarti terdapat [c] di Ժ௡ sehingga [b][c] = [1] atau
ܾ. ܿ ‫ؠ‬ 1 ሺ݉‫݀݋‬ ݊ሻ. Lebih lanjut diperoleh bahwa ܽ. ܾ. ܿ ‫ؠ‬ ܽ ሺ݉‫݀݋‬ ݊ሻ
Karena n = a.b, berarti ܽ. ܾ ‫ؠ‬ 0 ሺ ݉‫݀݋‬ ݊ሻ sehingga 0 ‫ؠ‬ ܽ ሺ݉‫݀݋‬ ݊ሻ.
Padahal 1 < a < n. Timbul kontradiksi, sehingga haruslah n bilangan prima.
ู Diketahui bahwa n bilangan prima. Ժ௡ sendiri merupakan gelanggang
komutatif. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Ժ௡ daerah integral. Untuk setiap
[a], [b] anggota Ժ௡ andaikan [a][b] = [ab] = [0] berarti ab = nk, untuk suatu
bilangan bulat k. Karena n prima maka n membagi a atau n membagi b. Jadi, [a] =
[0] atau [b] = [0].
Sehingga terbukti Ժ௡ daerah integral. Berdasarkan teorema 1.3.3, Ժ௡ adalah
lapangan. Dalam kasus ini karena elemen Ժ௡ berhingga maka Ժ௡ suatu lapangan
berhingga.

36. tutur widodo : pend. matematika uns
34Lapangan Berhingga
2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga
Teorema 2.2.1 Karakteristik dari lapangan berhingga adalah berupa bilangan
prima.
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Bukti :
Ambil sebarang lapangan berhingga F. Misalkan |F| = n.
Perhatikan himpunan { 1F, 2.1F, 3.1F, . . . ., (n + 1).1F} kelipatan dari 1F yang
semuanya termuat di F. Karena F hanya terdiri dari n elemen, berarti terdapat
bilangan bulat k, m dimana 1 ≤ k < m ≤ (n +1) sedemikian sehingga k.1F = m.1F
atau (m – k ).1F = 0F. Selanjutnya, untuk sebarang ܽ ‫א‬ ‫ܨ‬ berlaku
(m- k). ܽ = (m – k ).1F.ܽ = 0F.ܽ = 0F. Karena m – k > 0, maka F memiliki
karakteristik berupa bilangan bulat positif. Katakanlah karakteristik dari F adalah
p, karena F memuat elemen tak nol maka p ≥ 2. Andaikan p bukan prima, berarti
p = x.y dengan 1 < x, y < p.
Perhatikan bahwa, 0F = p.1F = (x.y).1F = (x.1F).(y.1F). Padahal, F adalah lapangan
yang berarti juga suatu daerah integral. Sehingga haruslah x.1F = 0F atau y.1F = 0F.
Selanjutnya, untuk sebarang ܽ ‫א‬ ‫ܨ‬ berlaku
x. ܽ = x.1F. ܽ = 0F.ܽ = 0F atau y. ܽ = y.1F. ܽ = 0F.ܽ = 0F. Hal ini kontradiksi
dengan fakta bahwa p karakteristik dari F. Sehingga terbukti p prima.
Teorema 2.2.2 Jika F adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka
F memuat pn
elemen dengan n suatu bilangan bulat positif.
(J.A. Gallian, 1990 : 309)
Bukti :
Karena F merupakan lapangan berhingga dengan karakteristik p maka F
merupakan perluasan lapangan dari Ժ௣. Jadi, pandang F sebagai ruang vektor atas
Ժ௣. Karena F berhingga maka dimensi F juga hingga, katakanlah ݀݅݉ி ൌ ݊.
Misalkan pula ሼ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௡ሽ basis dari F. Perhatikan pula bahwa setiap ‫ݒ‬ ‫א‬
‫,ܨ‬ dapat dinyatakan sebagai

37. tutur widodo : pend. matematika uns
35Lapangan Berhingga
‫ݒ‬ ൌ ߤଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ߤଶ‫ݔ‬ଶ ൅ … , ൅ ߤ௡ ‫ݔ‬௡, ߤ௜ ߳ Ժ௣
dan penyajian ini tunggal. Jadi, banyak elemen dari F adalah ‫݌‬௡
.
Teorema di atas menyatakan bahwa banyaknya elemen dari lapangan
berhingga berupa bilangan prima atau pangkat dari bilangan prima. Akan tetapi,
untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n belum ada jaminan
ditemukan lapangan berhingga F yang banyak elemennya pn
. Namun, teorema
berikut memberikan jaminan lapangan berhingga tersebut ada.
Teorema 2.2.3 Untuk setiap p dan n, dengan p bilangan prima dan n bilangan
bulat positif terdapat lapangan berhingga yang memuat elemen sebanyak pn
.
(Herstein, 1996 : 226)
Bukti :
Perhatikan polinomial ‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ ‫א‬ Թሾ‫ݔ‬ሿ, dengan ݉ ൌ ‫݌‬௡
. Berdasarkan teorema
1.6.8 terdapat perluasan lapangan K dimana ‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ memiliki m akar, atau
dengan kata lain ‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ dapat difaktorkan menjadi
‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ܽଵሻሺ‫ݔ‬ െ ܽଶሻሺ‫ݔ‬ െ ܽଷሻ … … ሺ‫ݔ‬ െ ܽ௠ሻ
Sehingga ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … … , ܽ௠ adalah akar- akar dari ‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ dan semuanya di K.
Berdasarkan akibat lemma 1.6.9 semua akar tersebut berbeda.
Jadi ܽ௜ ൌ ܽ௝ ฻ ݅ ൌ ݆. Selanjutnya perhatikan himpunan ‫ܣ‬ ൌ ሼ ܽ ߳ ‫ܭ‬ |ܽ௠
ൌ ܽሽ
yaitu himpunan akar – akar dari ‫ݔ‬௠
െ ‫ݔ‬ . Akan ditunjukkan bahwa A adalah
lapangan.
Perhatikan bahwa 0௄
௠
ൌ 0௄, serta 1௄
௠
ൌ 1௄. Jadi, 0௄ dan 1௄ anggota A. Berarti
‫ܣ‬ ് ߶.
Berikutnya ambil sebarang ܽ, ܾ ‫א‬ ‫,ܣ‬ diperoleh :
0௄ ൌ 0௄
௠
ൌ ሺܾ െ ܾሻ௠
ൌ ܾ௠
൅ ሺെܾሻ௠
. Jadi, ሺെܾሻ௠
ൌ െܾ௠
ൌ െܾ.
sehingga diperoleh pula ሺܽ െ ܾሻ௠
ൌ ܽ௠
൅ ሺെܾሻ௠
ൌ ܽ ൅ ሺെܾሻ ൌ ܽ െ ܾ
Jadi, ܽ െ ܾ ‫א‬ ‫.ܣ‬

38. tutur widodo : pend. matematika uns
36Lapangan Berhingga
Demikian pula, ሺܾܽሻ௠
ൌ ܽ௠
ܾ௠
ൌ ܾܽ. Sehingga ܾܽ ‫א‬ ‫.ܣ‬
Sampai sejauh ini, telah dibuktikan bahwa A suatu gelanggang. Karena K
lapangan maka ‫ܣ‬ ‫ك‬ ‫ܭ‬ adalah gelanggang komutatif . Selain itu 1௄ juga anggota
A. Jadi, tinggal ditunjukkan bahwa setiap invers perkalian dari elemen tak nol di A
juga ada di A.
Perhatikan,
1௄ ൌ 1௄
௠
ൌ ሺܽ. ܽିଵሻ௠
ൌ ܽ௠ሺܽିଵሻ௠
. Jadi, ܽ௠ሺܽିଵሻ௠
ൌ 1௄ atau
ሺܽିଵሻ௠
ൌ ሺܽ௠ሻିଵ
ൌ ܽିଵ
. Sehingga, ܽିଵ
‫א‬ ‫.ܣ‬
Terbukti bahwa A adalah lapangan dengan pn
elemen.
Teorema terbukti.
Teorema 2.2.3 di atas memberikan jaminan adanya lapangan berhingga
untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n yang kita ambil. Untuk
selanjutnya, lapangan berhingga F yang memuat q elemen dapat pula dinotasikan
dengan GF(q) yaitu Galois Field yang memuat q elemen. Khususnya untuk Ժ௣
dapat dinotasikan dengan ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬ሻ.
Definisi 2.2.4 Diketahui lapangan berhingga GF(q) dan didefinisikan GF(q) *
yaitu himpunan elemen – elemen tak nol di GF(q), ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
ൌ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻሼ0ீிሺ௤ሻሽ.
Elemen ߙ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
disebut elemen primitive apabila ߙ membangun GF(q)*
yaitu ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
ൌ ൛ߙ௜
| ݅ ‫א‬ Ժൟ ൌ ‫ۄߙۃ‬
(Fraleigh, 2000 : 408)
Teorema 2.2.5 Untuk setiap lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ, ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
terhadap
operasi perkalian di ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ merupakan group siklik.
(Herstein, 1996 : 223)

39. tutur widodo : pend. matematika uns
37Lapangan Berhingga
Bukti :
Berdasarkan teorema 1.6.6 diperoleh untuk setiap persamaan ‫ݔ‬ௗ
ൌ 1ீிሺ௤ሻ di
‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ terdapat paling banyak d solusi, dengan d sebarang bilangan bulat positif.
Demikian pula karena ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
‫ؿ‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ maka persamaan ‫ݔ‬ௗ
ൌ 1ீிሺ௤ሻ juga
memiliki paling banyak d solusi di ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
, hal ini juga berlaku khususnya bagi d
yang membagi habis |GF(q)*|.
Jadi, berdasarkan teorema 1.1.5 dapat disimpulkan bahwa ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
adalah group
siklik.
Lemma 2.2.6 Misalkan F perluasan lapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ dan ߙ ‫א‬ ‫.ܨ‬ Maka
ߙ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ jika dan hanya jika ߙ௤
ൌ ߙ.
(Fraleigh, 2000 : 408)
Bukti :
ฺ Misalkan ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, ‫ݔ‬ଷ, … , ‫ݔ‬௤ିଵ merupakan elemen – elemen di ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
yang
semuanya berbeda. Ambil sebarang elemen ߙ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ‫כ‬
maka diperoleh
ߙ‫ݔ‬ଵ, ߙ‫ݔ‬ଶ, ߙ‫ݔ‬ଷ, … , ߙ‫ݔ‬௤ିଵ dan klaim semuanya berbeda. Andaikan terdapat
݅, ݆ untuk 1 ൑ ݅, ݆ ൑ ‫ݍ‬ െ 1 dengan ݅ ് ݆ sedemikian sehingga ߙ‫ݔ‬௜ ൌ ߙ‫ݔ‬௝.
Apabila kedua ruas kita kalikan dengan ߙିଵ
diperolah ‫ݔ‬௜ ൌ ‫ݔ‬௝. Kontradiksi
dengan fakta bahwa ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, ‫ݔ‬ଷ, … , ‫ݔ‬௤ semuanya berbeda. Klaim terbukti.
Dari sini diperoleh,
ሼ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, ‫ݔ‬ଷ, … , ‫ݔ‬௤ିଵሽ ൌ ሼߙ‫ݔ‬ଵ, ߙ‫ݔ‬ଶ, ߙ‫ݔ‬ଷ, … , ߙ‫ݔ‬௤ିଵሽ yang berakibat
‫ݔ‬ଵ. ‫ݔ‬ଶ. ‫ݔ‬ଷ. … . ‫ݔ‬௤ିଵ ൌ ߙ‫ݔ‬ଵ. ߙ‫ݔ‬ଶ. ߙ‫ݔ‬ଷ. … . ߙ‫ݔ‬௤ିଵ
‫ݔ‬ଵ. ‫ݔ‬ଶ. ‫ݔ‬ଷ. … . ‫ݔ‬௤ିଵ ൌ ߙ௤ିଵ
ሺ‫ݔ‬ଵ. ‫ݔ‬ଶ. ‫ݔ‬ଷ. … . ‫ݔ‬௤ିଵሻ
ߙ௤ିଵ
ൌ 1ீிሺ௤ሻ
ߙ௤
ൌ ߙ

40. tutur widodo : pend. matematika uns
38Lapangan Berhingga
Jadi,untuk setiap elemen ߙ tak nol di GF(q) belaku ߙ௤
ൌ ߙ. Sedangkan untuk
elemen 0ீிሺ௤ሻ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ sendiri juga pasti berlaku ሺ0ீிሺ௤ሻሻ௤
ൌ 0ீிሺ௤ሻ.
Sehingga untuk setiap elemen ߙ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ berlaku ߙ௤
ൌ ߙ.
֚ Berdasarkan bukti di atas diperoleh bahwa setiap elemen ߙ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ
merupakan penyelesaian dari persamaan ‫ݔ‬௤
ൌ ‫.ݔ‬ Padahal persamaan ‫ݔ‬௤
ൌ ‫ݔ‬
memiliki solusi paling banyak sejumlah q. Jadi, untuk setiap elemen ߙ yang
memenuhi kesamaan ߙ௤
ൌ ߙ pasti merupakan anggota ‫ܨܩ‬ሺ‫ݍ‬ሻ.
2.3. Sublapangan
Teorema 2.3.1 Diketahui lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ. Untuk setiap bilangan
bulat m yang membagi n terdapat tepat satu sublapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ yang
berorder ‫݌‬௠
.
(Gallian, 1990 : 313)
Bukti :
Karena m membagi n diperoleh,
ሺ‫݌‬௡
െ 1ሻ ൌ ሺ‫݌‬௠
െ 1ሻሺ‫݌‬௡ି௠
൅ ‫݌‬௡ିଶ௠
൅ ‫ڮ‬ ൅ ‫݌‬௠
൅ 1ሻ
Dengan kata lain, ‫݌‬௠
െ 1 membagi ‫݌‬௡
െ 1. Dengan assumsi yang sama
diperoleh polinomial ‫ݔ‬௣೘ିଵ
െ 1 membagi polinomial ‫ݔ‬௣೙ିଵ
െ 1. Ini berarti
setiap akar dari ‫ݔ‬൫‫ݔ‬௣೘ିଵ
െ 1൯ ൌ ‫ݔ‬௣೘
െ ‫ݔ‬ juga merupakan akar dari
‫ݔ‬൫‫ݔ‬௣೙ିଵ
െ 1൯ ൌ ‫ݔ‬௣೙
െ ‫.ݔ‬ Padahal berdasarkan lemma 2.2.6 himpunan semua
akar dari ‫ݔ‬௣೘
െ ‫ݔ‬ adalah ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠
ሻ, demikian pula himpunan semua akar dari
‫ݔ‬௣೙
െ ‫ݔ‬ adalah ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ. Jadi, ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠
ሻ merupakan sublapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ.
Selanjutnya hanya tinggal ditunjukkan ketunggalan dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠
ሻ. Andaikan
terdapat dua sublapangan berbeda dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ, katakanlah A dan B yang berorder
‫݌‬௠
. Hal ini berakibat polinomial ‫ݔ‬௣೘
െ ‫ݔ‬ memiliki akar lebih dari ‫݌‬௠
yang

41. tutur widodo : pend. matematika uns
39Lapangan Berhingga
kontradiksi dengan fakta bahwa ‫ݔ‬௣೘
െ ‫ݔ‬ memiliki paling banyak ‫݌‬௠
akar. Jadi,
haruslah A = B.
Berdasarkan teorema di atas, lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ. memiliki sublapangan
yaitu ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠భሻ, ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠మሻ, . . . , ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠೔ሻ dengan syarat ݉௜ membagi habis ݊.
Sebagai contoh dapat diperhatikan diagram berikut,
Berdasar teorema 2.3.1 dan contoh diagram di atas, secara natural akan muncul
pertanyaan apakah tidak ada sublapangan lain dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ selain ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠భሻ,
‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠మሻ, . . . , ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠೔ሻ. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan sifat
isomorphisma di lapangan berhingga dan akan dibahas kemudian.
2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga ࡳࡲሺ࢖࢔
ሻ
Sejauh ini telah dipelajari beberapa sifat dari lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ.
Berikutnya akan diberikan salah satu alternatif mengkonstruksi lapangan
berhingga berdasarkan teorema 1.6.8 dan 2.2.3 yang telah dipelajari sebelumnya.
Pertama, diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang modulo dan kongruensi
di F[x].
‫ܨܩ‬ሺ2଺
ሻ
‫ܨܩ‬ሺ2ଶ
ሻ
‫ܨܩ‬ሺ2ሻ
‫ܨܩ‬ሺ2ଷ
ሻ
: memiliki sublapangan

42. tutur widodo : pend. matematika uns
40Lapangan Berhingga
Definisi 2.4.1 Polinomial ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ disebut kongruen dengan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ modulo
݂ሺ‫ݔ‬ሻ jika dan hanya jika terdapat polinomial ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ sedemikian hingga
݄ሺ‫ݔ‬ሻ െ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݈ሺ‫ݔ‬ሻ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
Ditulis ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ؠ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻሺ݉‫݀݋‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ.
(http://zaki.math.web.id)
Berdasarkan definisi di atas, ݄ሺ‫ݔ‬ሻ dan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ dikatakan kongruen modulo ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
jika ݄ሺ‫ݔ‬ሻ dan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Sama
seperti pengertian kongruensi pada bilangan bulat, dengan relasi modulo ini dapat
dibentuk klas- klas ekuivalensi sebagai berikut,
Definisi 2.4.2 Untuk suatu polinomial ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, klas ekuivalensi yang
memuat ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ ialah
ሾ݃ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൌ ሼ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ| ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ؠ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ሺ݉‫݀݋‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻሽ
yaitu himpunan semua polinomial yang kongruen dengan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ modulo ݂ሺ‫ݔ‬ሻ.
Operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut,
ሾ݃ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൅ ሾ݄ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൌ ሾ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݄ሺ‫ݔ‬ሻሿ
dan
ሾ݃ሺ‫ݔ‬ሻሿ. ሾ݄ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൌ ሾ݃ሺ‫ݔ‬ሻ. ݄ሺ‫ݔ‬ሻሿ
(http://zaki.math.web.id)
Akhirnya, untuk mengkonstruksi ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ bisa memanfaatkan gelanggang Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
dan polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n, yaitu
‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ ൌ
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘
yaitu himpunan semua polinomial di Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ yang berderajat kurang dari n.

43. tutur widodo : pend. matematika uns
41Lapangan Berhingga
Sebagai contoh,
Untuk membangun ‫ܨܩ‬ሺ4ሻ ൌ ‫ܨܩ‬ሺ2ଶሻ, dapat memanfaatkan gelanggang Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ
dan polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1 ‫א‬ Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ .
Sehingga,
‫ܨܩ‬ሺ4ሻ ൌ
Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ൌ ሼሾ0ሿ, ሾ1ሿ, ሾ‫ݔ‬ሿ, ሾ‫ݔ‬ ൅ 1ሿሽ
Seperti telah dijelaskan di atas, untuk mengkonstruksi ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ bisa memanfaatkan
gelanggang Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ dan polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n. Lalu
pertanyaan yang muncul, apakah untuk sebarang bilangan asli n selalu terdapat
polinomial tak tereduksi berderajat n di Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ . Teorema berikut memberi
jawaban pertanyaan tersebut,
Teorema 2.4.3 Untuk sebarang lapangan berhingga ‫ܨ‬ ൌ ‫ܨܩ‬ሾ‫݌‬௧ሿ dan sebarang
bilangan asli n, terdapat polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n.
(Fraleigh, 2000 :410)
Bukti :
Berdasarkan teorema 2.2.3 terdapat lapangan berhingga K yang memuat ‫݌‬௧௡
elemen. Karena t membagi tn maka F merupakan sublapangan dari K. Dengan
kata lain, K adalah perluasan lapangan dari F.
Apabila K dipandang sebagai ruang vektor atas F, sedangkan K memiliki ‫݌‬௧௡
elemen dan F memiliki ‫݌‬௧
elemen maka ݀݅݉௄ ൌ ݊. Selain itu K* merupakan
group siklik, katakanlah ܽ ‫א‬ ‫ܭ‬ merupakan elemen primitive dari K. Selanjutnya
didefinisikan homomorphisma ߮௔ ‫׷‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ ՜ ‫ܭ‬ yaitu
߮௔ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݂ሺܽሻ
Akan dibuktikan ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ ൌ ‫.ܭ‬
Ambil sebarang ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫ܭ‬ maka t dapat dinyatakan

44. tutur widodo : pend. matematika uns
42Lapangan Berhingga
‫ݐ‬ ൌ ܾଵ݇ଵ ൅ ܾଶ݇ଶ ൅ ܾଷ݇ଷ ൅ ‫ڮ‬ ൅ ܾ௡݇௡ dengan ܾ௜ ‫א‬ ‫ܨ‬ dan ݇௜ basis dari ‫.ܭ‬
Karena a adalah elemen primitive dari K* maka untuk setiap i berlaku ݇௜ ൌ ܽ௥೔.
Jadi, ‫ݐ‬ ൌ ܾଵܽ௥భ ൅ ܾଶܽ௥మ ൅ ܾଷܽ௥య ൅ ‫ڮ‬ ൅ ܾ௡ܽ௥೙ ൌ ݂ሺܽሻ untuk suatu ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ.
Sehingga ‫ݐ‬ ‫א‬ ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ atau ‫ܭ‬ ‫ك‬ ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ. Karena ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ ‫ك‬ ‫ܭ‬ dan ‫ܭ‬ ‫ك‬ ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ
diperoleh ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ ൌ ‫.ܭ‬
Perhatikan pula bahwa ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߮௔ሻ merupakan ideal dari F [x]. Padahal F [x]
merupakan daerah integral utama, sehingga terdapat polinomial tak nol ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ sedemikian sehingga ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߮௔ሻ ൌ ‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫.ۄ‬ Dari sini diperoleh ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ
merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga ‫݌‬ሺܽሻ ൌ 0.
Klaim bahwa ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n yang dicari.
Pertama, dibuktikan bahwa ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ merupakan polinomial tak tereduksi. Andaikan
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ dapat direduksi, misalkan ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݃ሺ‫ݔ‬ሻ dengan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ dan
0 ൏ deg൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ , deg൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൏ deg ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ. Diperoleh ݂ሺܽሻ݃ሺܽሻ ൌ ‫݌‬ሺܽሻ ൌ 0.
Karena F [x] daerah integral berakibat ݂ሺܽሻ ൌ 0 atau ݃ሺܽሻ ൌ 0. Kontradiksi
dengan fakta bahwa ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ merupakan polinomial berderajat minimal di F [x]
sedemikian hingga ‫݌‬ሺܽሻ ൌ 0. Jadi, terbukti ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah polinomial tak tereduksi
di F [x].
Kedua, ditunjukkan bahwa deg൫‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݊. Untuk itu perhatikan himpunan
ܶ ൌ ሼ1, ܽ, ܽଶ
, ܽଷ
, … . . , ܽ௡ሽ ‫ؿ‬ ‫ܭ‬ , karena K berdimensi n berakibat T tidak bebas
linier. Berarti terdapat ܾ௜ ് 0 ‫א‬ ‫ܨ‬ sedemikian hingga ܾ௢ ൅ ܾଵܽ ൅ ܾଶܽଶ
൅ ‫ڮ‬ ൅
ܾ௡ܽ௡
ൌ 0. Jadi, terdapat polinomial taknol ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܾ௢ ൅ ܾଵ‫ݔ‬ ൅ ܾଶ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ڮ‬ ൅ ܾ௡‫ݔ‬௡
di F [x] dimana ݂ሺܽሻ ൌ 0. Karena ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ merupakan polinomial berderajat minimal
di F [x] sedemikian hingga ‫݌‬ሺܽሻ ൌ 0 maka diperoleh ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൑ ݊.
Andaikan ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫ݓ‬ ൏ ݊ . Karena ‫݉ܫ‬ሺ߮௔ሻ ൌ ‫ܭ‬ maka diperoleh
‫ܭ‬ ؆
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ . Diketahui pula |‫|ܭ‬ ൌ ‫݌‬௧௡
sehingga ቮ
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ቮ ൌ ‫݌‬௧௡
.

45. tutur widodo : pend. matematika uns
43Lapangan Berhingga
Perhatikan pula bahwa anggota dari
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ adalah polinomial berderajat
kurang dari w di F [x]. Jadi,untuk setiap ‫ݒ‬ ‫א‬
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ dapat di sajikan
‫ݒ‬ ൌ ሾܾ௢ ൅ ܾଵ‫ݔ‬ ൅ ܾଶ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ڮ‬ ൅ ܾ௪‫ݔ‬௪ିଵሿ dengan ܾ௜ ‫א‬ ‫.ܨ‬ Karena |‫|ܨ‬ ൌ ‫݌‬௧
maka
kemungkinan banyaknya elemen di
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ yaitu
ቮ
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ቮ ൌ ‫݌‬௧௪
൏ ‫݌‬௧௡
Timbul kontradiksi karena diketahui ቮ
‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ቮ ൌ ‫݌‬௧௡
. Jadi, tidak mungkin
݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫ݓ‬ ൏ ݊. Oleh karena itu, diperoleh ݀݁݃ሺ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݊.
Sehingga terbukti, ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n.
Dengan adanya teorema di atas memberikan jaminan yang pasti bahwa
cara mengkonstruksi lapangan berhingga yang dikemukan di depan dapat
diterapkan untuk membangun sebarang lapangan berhingga berorder ‫݌‬௡
yang
diminta. Sedangkan bagaimana cara menemukan polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ
tersebut tidak dikemukan pada makalah ini. Pembaca dapat mencari referensi lain
untuk keperluan tersebut.
2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to
Isomorphisma)
Teorema berikut akan menunjukkan bahwa setiap lapangan berhingga yang
berorder sama saling isomorphic.

46. tutur widodo : pend. matematika uns
44Lapangan Berhingga
Teorema 2.5.1 Jika K dan L adalah lapangan berhingga yang berorder sama
maka K dan L isomorphic.
(Herstein, 1996 : 228)
Bukti :
Misalkan |‫|ܭ‬ ൌ |‫|ܮ‬ ൌ ‫݌‬௡
. Telah diketahui bahwa Ժ௣ merupakan sublapangan dari
K dan L . Sehingga K dan L adalah perluasan lapangan dari Ժ௣. Misalkan pula
ߙ ‫א‬ ‫ܭ‬‫כ‬
merupakan elemen primitive dari K* dan ߚ ‫א‬ ‫ܮ‬‫כ‬
adalah elemen primitive
dari L*.
Konstruksi homomorphisma ߮ఈ ݀ܽ݊ ߮ఉ yaitu
߮ఈ: Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ ՜ ‫ܭ‬
dengan definisi, ߮ఈሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݂ሺߙሻ, untuk setiap ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
serta,
߮ఉ: Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ ՜ ‫ܮ‬
dengan definisi, ߮ఉሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ݃ሺߚሻ, untuk setiap ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ.
Analog dengan bukti teorema 2.4.3, diperoleh ‫݉ܫ‬ሺ߮ఈሻ ൌ ‫ܭ‬ dan ‫݉ܫ‬൫߮ఉ൯ ൌ ‫ܮ‬
serta ‫ݎ݁ܭ‬ሺ߮ఈሻ ൌ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ dengan ‫݌‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ adalah polinomial tak tereduksi
berderajat n di Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ. Juga diperoleh ‫ݎ݁ܭ‬൫߮ఉ൯ ൌ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ dengan ‫݌‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ adalah
polinomial tak tereduksi berderajat n di Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ.
Jadi, ‫ܭ‬ ൌ ‫݉ܫ‬ሺ߮ఈሻ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ serta ‫ܮ‬ ൌ ‫݉ܫ‬൫߮ఉ൯ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ .
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ .
Perhatikan bahwa,
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ ൌ ൛݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫݂|ۄ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ dan ݀݁݃൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൏ ݊ൟ

47. tutur widodo : pend. matematika uns
45Lapangan Berhingga
dan
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ൌ ൛݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫݃|ۄ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ dan ݀݁݃൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൏ ݊ൟ
Konstruksi pemetaan ߰ ‫׷‬
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ ՜
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘
dengan definisi, ߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫.ۄ‬
Perhatikan, untuk sebarang ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫,ۄ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ‫א‬
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘
berlaku,
߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ ൌ ߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
ൌ ߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ ൅ ߰ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
serta,
߰൫ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ. ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ൯ ൌ ߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
ൌ ൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൯. ൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൯
ൌ ߰ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ. ߰ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
Sehingga ߰ merupakan suatu homomorphisma.
Selanjutnya perlu dibuktikan bahwa ߰ bijektif,
Ambil sebarang ‫ݐ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ߳
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ maka pasti terdapat
‫ݓ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ߳
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ sedemikian sehingga ߰ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ ‫.ݐ‬
Terbukti ߰ surjektif.

48. tutur widodo : pend. matematika uns
46Lapangan Berhingga
Untuk sebarang ‫ݐ‬ଵ, ‫ݐ‬ଶ ‫א‬
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘
‫ݐ‬ଵ, ‫ݐ‬ଶ dapat dinyatakan sebagai berikut
‫ݐ‬ଵ ൌ ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ߰ሺ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
dan
‫ݐ‬ଶ ൌ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ߰ሺ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ሻ
andaikan ‫ݐ‬ଵ ൌ ‫ݐ‬ଶ akan ditunjukkan ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫.ۄ‬
Perhatikan,
‫ݐ‬ଵ ൌ ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ‫ݐ‬ଶ
berakibat ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ െ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ ‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
tetapi diketahui pula bahwa ݀݁݃൫݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ െ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൏ ݀݁݃൫‫݌‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ൯ sehingga didapat
݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ െ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 yang berakibat ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ.
Sehingga jelas bahwa ݂ଵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬ ൌ ݂ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫.ۄ‬ Jadi, ߰ injektif.
Karena ߰ injektif sekaligus surjektif maka ߰ bijektif. Dengan kata lain, ߰ adalah
suatu isomorphisma.
Jadi, terbukti bahwa
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ .
Oleh karena itu,
‫ܭ‬ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఈሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬
൘ ؆
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ఉሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ ؆ ‫ܮ‬
berarti ‫ܭ‬ ؆ ‫.ܮ‬ Teorema terbukti.
Teorema di atas memberikan bukti bahwa sebarang lapangan berhingga
yang berorder sama saling isomorphic. Dengan kata lain, dengan memanfaatkan
relasi isomorphima ini kita dapat mengambil satu lapangan berhingga saja sebagai
representasi lapangan berhingga lain yang berorder sama. Oleh karena itu,
penulisan lapangan berhingga berorder ‫݌‬௡
dengan simbol ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ cukup
beralasan.

49. tutur widodo : pend. matematika uns
47Lapangan Berhingga
Berikut dengan memanfaatkan fakta di atas akan dibuktikan jika H sublapangan
berorder ‫݌‬௠
dari lapangan berhingga ‫ܨ‬ ൌ ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ maka m membagi n.
Berdasarkan teorema 2.5.1, H isomorphic dengan ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠
ሻ, sehingga
݊ ൌ ሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬ሻሿ ൌ ሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻሿሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬ሻሿ
ൌ ሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻሿ. ݉
karena ሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻሿ merupakan dimensi dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ sebagai ruang vektor
atas ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻ maka ሾ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ: ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠ሻሿ ‫א‬ Ժା
. Jadi, terbukti m membagi n.
Pada bagian akhir dari makalah ini, diberikan contoh lapangan berhingga dan
pembahasan mengenai elemen primitive dan sublapangannya.
Contoh 1. Lapangan berhingga berorder 9 (ࡳࡲሺ૜૛
ሻ)
Untuk mengkonstruksi ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ kita memanfaatkan gelanggang Ժଷሾ‫ݔ‬ሿ dan
polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 1 ‫א‬ Ժଷሾ‫ݔ‬ሿ.
Jadi, ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ ൌ
Ժଷሾ‫ݔ‬ሿ
‫ݔۃ‬ଶ ൅ 1‫ۄ‬
൘ ൌ ሼ0, 1, 2, ‫,ݔ‬ ‫ݔ‬ ൅ 1, ‫ݔ‬ ൅ 2, 2‫,ݔ‬ 2‫ݔ‬ ൅ 1, 2‫ݔ‬ ൅ 2ሽ
Catatan: tanpa mengurangi arti dan untuk menyederhanakan penulisan, tanda
[…] pada tiap elemen anggota ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ dihilangkan.
Untuk operasi penjumlahan pada ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ menggunakan modulo 3 sedangkan
operasi perkaliannya menggunakan modulo ሺ‫ݔ‬ଶ
൅ 1ሻ.
Contoh:
2‫ݔ‬ ൅ ሺ2‫ݔ‬ ൅ 1ሻ ൌ 4‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ ‫ݔ‬ ൅ 1
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻሺ2‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଶ
൅ 4‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ 4‫ݔ‬ ൅ 2ሺ‫ݔ‬ଶ
൅ 1ሻ ൌ 4‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬
Kita juga bisa menggunakan hubungan ‫ݔ‬ଶ
ൌ െ1 ൌ 2. Sebagai contoh,
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻሺ2‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଶ
൅ 4‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ 4 ൅ 4‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ 6 ൅ 4‫ݔ‬ ൌ 4‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬
Selanjutnya akan dicari elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ. Perhatikan bahwa, ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ*
membentuk group siklik berorder 8. Karena order dari tiap elemen di ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ*
membagi 8 maka untuk mencari elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ* cukup mencari
elemen ܽ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ* dengan sifat
ܽଶ
് 1 dan ܽସ
് 1 .

50. tutur widodo : pend. matematika uns
48Lapangan Berhingga
Kita mulai dengan x, diperoleh ‫ݔ‬ଶ
ൌ െ1 ൌ 2 dan ‫ݔ‬ସ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
. ‫ݔ‬ଶ
ൌ 2.2 ൌ 4 ൌ 1.
Jadi, x bukan elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ.
Sekarang dicoba untuk ‫ݔ‬ ൅ 1, diperoleh
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ 2 ൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ 2‫ݔ‬ ് 1
dan ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻସ
ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶ
ൌ 2‫.ݔ‬ 2‫ݔ‬ ൌ 4‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬ ് 1
Jadi, ‫ݔ‬ ൅ 1 adalah elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ*. Perhatikan tabel dibawah ini !
Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan
‫ݔ‬ ൅ 1 ‫ݔ‬ ൅ 1
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶ 2‫ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଷ 2‫ݔ‬ ൅ 1
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻସ 2
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻହ 2‫ݔ‬ ൅ 2
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ଺ ‫ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ଻ ‫ݔ‬ ൅ 2
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ଼ 1
Berdasarkan teorema 1.1.4 selain ‫ݔ‬ ൅ 1 elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ* yaitu
ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ3 ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 1, ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ5 ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 2 dan ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ7 ൌ ‫ݔ‬ ൅ 2
Sublapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ yaitu ‫ܨܩ‬ሺ9ሻ sendiri dan
‫ܨܩ‬ሺ3ሻ ൌ ሼ0ሽ‫ڂ‬ሼ‫ۃ‬ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻସ‫ۄ‬ሽ ൌ ሼ0ሽ‫ڂ‬ሼ‫ۄ2ۃ‬ሽ ൌ ሼ0, 1, 2ሽ
Contoh 2. Lapangan berhingga berorder 16 (ࡳࡲሺ૛૝
ሻ)
Untuk mengkonstruksi ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ dapat memanfaatkan gelanggang Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ dan
polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ସ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1 ‫א‬ Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ.
Jadi,
‫ܨܩ‬ሺ16ሻ ൌ
Ժଶሾ‫ݔ‬ሿ
‫ݔۃ‬ସ ൅ ‫ݔ‬ ൅ 1‫ۄ‬൘ ൌ ൜
ܽ‫ݔ‬ଷ
൅ ܾ‫ݔ‬ଶ
൅ ܿ‫ݔ‬ ൅ ݀ ൅ ‫ݔۃ‬ସ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1‫ۄ‬
dengan ܽ, ܾ, ܿ, ݀ ‫א‬ Ժଶ
ൠ
Atau tanpa mengurangi arti dapat ditulis,
‫ܨܩ‬ሺ16ሻ ൌ ሼܽ‫ݔ‬ଷ
൅ ܾ‫ݔ‬ଶ
൅ ܿ‫ݔ‬ ൅ ݀|ܽ, ܾ, ܿ, ݀ ‫א‬ Ժଶሽ

51. tutur widodo : pend. matematika uns
49Lapangan Berhingga
Analog dengan contoh 1, akan dicari elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ*. Karena
|‫ܨܩ‬ሺ16ሻ‫כ‬| ൌ 15 berakibat elemen primitive di ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ* yaitu ܽ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ*
memiliki sifat ܽଷ
് 1 dan ܽହ
് 1 .
Kita coba untuk elemen ‫ݔ‬ ‫א‬ ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ*. Jelas bahwa ‫ݔ‬ଷ
് 1 sedangkan
‫ݔ‬ହ
ൌ ‫ݔ‬ସ
. ‫ݔ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ് 1
Jadi, x merupakan elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ*.
Perhatikan tabel di bawah ini!
Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan
‫ݔ‬ ‫ݔ‬
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଷ
‫ݔ‬ଷ
‫ݔ‬ସ ‫ݔ‬ ൅ 1
‫ݔ‬ହ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬
‫ݔ‬଺
‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬଻
‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1
‫ݔ‬଼
‫ݔ‬ଶ
൅ 1
‫ݔ‬ଽ
‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬
‫ݔ‬ଵ଴
‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1
‫ݔ‬ଵଵ
‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬
‫ݔ‬ଵଶ
‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1
‫ݔ‬ଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ 1
‫ݔ‬ଵସ
‫ݔ‬ଷ
൅ 1
‫ݔ‬ଵହ 1
Sublapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ selain ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ sendiri ada dua yaitu
‫ܨܩ‬ሺ2ሻ ൌ ሼ0ሽ‫ڂ‬ሼ‫ݔۃ‬ଵହ‫ۄ‬ሽ ൌ ሼ0, 1ሽ
dan
‫ܨܩ‬ሺ4ሻ ൌ ሼ0ሽ‫ڂ‬ሼ‫ݔۃ‬ହ‫ۄ‬ሽ ൌ ሼ0ሽ‫ڂ‬ሼ‫ݔ‬ହ
, ‫ݔ‬ଵ଴
, 1ሽ ൌ ሼ0,1, ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫,ݔ‬ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1ሽ

52. tutur widodo : pend. matematika uns
50Lapangan Berhingga
Sedangkan elemen primitive dari ‫ܨܩ‬ሺ16ሻ* selain x yaitu
a. ‫ݔ‬ଶ
b. ‫ݔ‬ସ
ൌ ‫ݔ‬ ൅ 1
c. ‫ݔ‬଻
ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 1
d. ‫ݔ‬଼
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 1
e. ‫ݔ‬ଵଵ
ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬
f. ‫ݔ‬ଵଷ
ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ ‫ݔ‬ଶ
൅ 1
g. ‫ݔ‬ଵସ
ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ 1
Demikian pembahasan tentang lapangan berhingga yang penulis kemukakan
pada makalah kali ini. Apabila pembaca tertarik terhadap materi ini, dapat
mencari referensi lain yang lebih lengkap dari buku – buku tentang aljabar
abstrak.

53. tutur widodo : pend. matematika uns
51
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Lapangan berhingga ialah lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga.
2. Lapangan berhingga memiliki sifat- sifat sebagai berikut :
a. Karakteristik dari lapangan berhingga berupa bilangan prima.
b. Untuk sebarang lapangan berhingga F, berlaku |‫|ܨ‬ ൌ ‫݌‬௡
dengan p adalah
bilangan prima dan n berupa bilangan bulat positif.
c. Untuk sebarang bilangan prima p dan sebarang bilangan bulat positif n
terdapat lapangan berhingga F sedemikian sehingga |‫|ܨ‬ ൌ ‫݌‬௡
.
d. Himpunan elemen – elemen taknol dari suatu lapangan berhingga F
membentuk group siklik, terhadap operasi perkalian di F.
e. Jika A dan B adalah sebarang lapangan berhingga yang berorder sama,
yaitu |‫|ܣ‬ ൌ |‫|ܤ‬ maka ‫ܣ‬ ؆ ‫.ܤ‬
3. Lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௠
ሻ merupakan sublapangan dari ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ jika dan
hanya jika m membagi habis n.
4. Untuk mengkonstruksi lapangan berhingga ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡
ሻ dapat memanfaatkan
gelanggang Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ dan polinomial tak tereduksi ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ berderajat n,
yaitu ‫ܨܩ‬ሺ‫݌‬௡ሻ ൌ
Ժ௣ሾ‫ݔ‬ሿ
‫݌ۃ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ۄ‬൘ .
B. Saran
Bagi pembaca maupun teman – teman Pendidikan Matematika UNS
yang tertarik dengan materi yang dibahas pada makalah ini serta berminat untuk
dijadikan bahan seminar, bisa mempelajari lebih lanjut mengenai Galois Field dan
terapannya. Selain itu dapat pula belajar lebih jauh tentang polinomial tak
tereduksi terutama mengenai cara pengujiannya.

54. tutur widodo : pend. matematika uns
52
LAMPIRAN
Pada bagian pembahasan disebutkan mengenai Fungsi Euler. Berikut akan
dijelaskan tentang fungsi tersebut.
Definisi Fungsi Euler. Misalkan n bilangan bulat positif. Banyaknya bilangan
bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n serta relatif prima terhadap n
dilambangkan dengan ߶ሺ݊ሻ. Fungsi ߶ selanjutnya disebut Fungsi Euler.
Contoh,
Bilangan – bilangan 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 relatif prima terhadap 20. Jadi,
߶ሺ20ሻ ൌ 8.
Teorema. Untuk setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n berlaku
෍ ߶ሺ݀ሻ ൌ ݊.
ௗ
௡ൗ
Bukti :
Perhatikan barisan bilangan rasional berikut,
1
݊
,
2
݊
,
3
݊
, … ,
݊
݊
Jelas barisan tersebut terdiri dari n suku. Selanjutnya buat barisan baru dengan
cara mereduksi masing- masing suku barisan di atas menjadi bentuk paling
sederhana ( tiap suku barisan baru berbentuk
௔
௕
dengan FPB(a, b) = 1). Dengan
demikian, barisan baru tersebut tetap terdiri dari n suku dan penyebut dari tiap
sukunya merupakan pembagi n. Pehatikan pula, untuk setiap d yang membagi n
terdapat suku yang penyebutnya adalah d.
Jadi untuk setiap d yang membagi n, ߶ሺ݀ሻ adalah banyaknya suku di barisan baru
yang penyebutnya adalah d. Oleh karena itu, jika kita menghitung
෍ ߶ሺ݀ሻ
ௗ
௡ൗ