Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar himpunan dan operasi-operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, serta hasil kartesius dari dua atau lebih himpunan. Terdapat pula definisi, teorema dan contoh yang menjelaskan hubungan antar himpunan dan operasi-operasi tersebut.

1. BAB V
HIMPUNAN
5.1 Pendahuluan
Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal yang mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi matematika dengan tidak menyangkut dua konsep di atas. Walaupun dua pengertian tadi dapat diselidiki secara matematik aksiomatis, namun pada diktat ini dianggap bahwa pengertian-pengertian ini secara intuitif dapat ditangkap. Secara intuitif kita mengerti apa yang dimaksud dengan himpunan semua bilangan alam, himpunan Raja-raja yang masih hidup, dll. Apabila kita minta suatu anak kecil yang belum bisa berhitung untuk mengumpulkan bunga-bunga merah diantara bunga- bunga yang beraneka warna dan ia mampu mengerjakan maka dengan demikian ia memperlihatkan menangkap pengertian syarat keanggotaan.
Apabila elemen menjadi anggota suatu himpunan , maka fakta ini disajikan dengan notasi . Sedangkan ingkarannya yaitu bukan anggota disajikan .
Apabila banyaknya anggota suatu himpunan itu berhingga maka himpunan tersebut dapat disajikan dengan membuat daftar nama-nama anggota-anggotanya, sedangkan jka banyak anggotanya tak terhingga maka cara menyajikan himpunan itu dengan menuliskan syarat keangotaannya. Misalkan sari suatu semesta pembicaraan hendak dikumpulkan obyek-obyek yang memiliki sifat , maka himpunan itu disajikan dengan ( (
dan dibaca : himpunan semua sedemikian hingga mempunyai sifat .
Definisi 5.1.1 Dua himpunan dan disebut sama atau berhimpit jika dan hanya jika setiap anggota dari menjadi anggota dari dan sebaliknya. Jika ditulis dengan notasi matematika: ( .
Contoh 5.1.3 Jika { } { } maka .

2. Definsi 5.1.3 Himpunan dikatakan menjadi himpunan bagian dengan notasi jika dan hanya jika setiap anggota menjadi anggota . Jika ditulis dengan notasi matematik : ( .
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan , contohnya himpunan orang Indonesia yang pernah ke bulan.
Teorema 5.1.4 Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.
Bukti Ambil himpunan sembarang dan andaikan bukan himpunan bagian dari , hal berarti ada sedemikian hingga , kalimat terakhir ini pasti salah karena tidak mempunyai anggota. Sehingga pengandaian harus diingkar dan adalah himpunan bagian dari . Karena sembarang maka terbukti merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Bukti ini dapat juga dilihat dengan menggunakan implikasi material sebagai berikut:
Untuk membuktikan maka harus dibuktikan benarnya pernyataan dan karena anteseden selalu salah maka pernyataan tersebut selalu benar.
Definisi 5.1.5 Irisan dari dua himpunan dan dengan notasi adalah himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota sekaligus menjadi anggota , Notasi matematisnya: { }.
Apabila sedangkan maka dan disebut saling asing.
Definisi 5.1.6 Gabungan dan dengan notasi adalah himpunan yang anggota- anggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan atau . Notasi matematisnya:
{ }.
Definisi 5.1.7 Selisih dari dua himpunan dan dengan notasi , adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggota yang bukan anggota . Notasi matematisnya:
{ }.

3. Berikut diberikan beberapa contoh untuk memperjelas definisi-definisi di atas.
Contoh 5.1.9 Semesta pembicaraan { } { } { } maka { } { } { } { } dan { }.
Contoh 5.1.10 Semua himpunan bagian dari { } adalah = { } { } { } { } { } { } { }.
5.2 Aljabar Himpunan
Rumus-rumus berikut berlaku untuk setiap himpunan dan .
Teorema 5.2.11
dan Y maka
dan Y maka
Berturut-berturut disebut sifat reflektif, anty-symetris dan transitif dari inklusif .
Bukti: Langsung diturunkan dari definisi dari relasi .
Teorema 5.2.12
dan
( ( dan ( (
( ( ( dan ( ( (
berturut-turut disebut sifat indemponten, assosiatif dan distributif.
Bukti: Akan dibuktikan sifat distributive ( ( ( . Hal ini berarti harus ditunjukkan bahwa ( ( ( dan ( ( ( .
(i) Ambil sembarang a ( , berarti a atau a Jika a maka a dan a dan a , sehingga a ( ( , dan jika a maka a
dan a , jadi a dan a , sehingga a ( ( . Maka terbukti ( ( ( .

4. (ii) Ambil sembarang a ( ( berarti a ( dan ( . Jika a X, maka a ( ( . Jika a X, berarti a Y dan a Z. Jadi a ( , sehingga a ( . Dengan demikian terbukti ( ( ( .
Bukti sifat yang lain sebagai latihan.
Teorema 5.2.13. Y dan Y
dan
X dan jika dan hanya jika
Z dan Z jika dan hanya jika
Bukti: Langsung dari definisi.
Teorema 5.2.14. X jika dan hanya jika =Y jika dan jika =X.
Teorema 5.2.15. (X )o = Xo Yo dan (X Y)o = Xo Yo
Rumus ini disebut rumus de Morgan.
Bukti: Apabila a (X Y)o maka tidak benarlah bahwa sekaligus dalam X dan Y. Jadi pasti tidak dalam X atau tidak dalam Y (atau tidak dalam kedua-duanya). Yaitu a atau a , dengan kata lain a atau a Maka terbukti a ( a ϵ . Dengan cara yang sama akan didapat sebaliknya, sehingga terbukti teorema di atas.
Teorema 5.2.16 (
Bukti: Sebagai latihan
Teorema 5.2.18
5.3 Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan
Suatu pasangan berurutan tatu order pair (a,b) adalah himpunan yang terdiri atas dua anggota a dan b dengan urutan diperhatikan.

5. Definisi 5.3.20 Dua pasangan berurutan (a1,b1)≠(b,a) dan (a2,b2) dikatakan sama jhj a1=b1 dan a2 = b2.
Sehingga pada umumnya (a,b) (b,a).
Definisi 5.3.21 Hasil ganda kartesius dari dua himpunan kosong . Dalam pergandaan di atas faktor-faktornya boleh sama, yaitu { }
Apabila salah satu faktornya merupakan himpunan kosong maka didefinisikan sebagai himpunan . Dalam pergandaan di atas faktor-faktornya boleh sama, yaitu . Pada umumnya tidak sama dengan , hal ini dapat dilihat dengan contoh berikut.
Contoh 5.3.22 Jika { } dan { }, maka {( ( ( ( } sedangkan {( ( ( ( }, karena pada umumnya ( ( maka .
Hasil ganda kartesius tidak terbatas pada dua himpunan. Hasil ganda kartesius dari himpunan-himpunan adalah himpunan semua dengan notasi adalah himpunan semua himpunan- himpunan bagian dari .
Misalkan { } maka dengan memperhatikan bahwa dan { } sendiri merupakan himpunan bagian dari .
{ { } { } { } { } { } { } { }}
Definisi 5.3.23 Keluarga himpunan atau koleksi himpunan (family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga himpunan.
Dengan demikian himpunan kuasa merupakan contoh keluarga himpunan.
5.4 Soal Latihan
1. Buktikan:
2. Buktikan: .
3. Buktikan bahwa: ( .
4. Buktikan bahwa jika maka ( ( .
5. Sederhanakan: ( ( ( .

6. 6. Buktikan bahwa apabila dan merupakan himpunan-himpunan sedemikian hingga maka .
7. Buktikan: ( ( (
8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya:
( ( (