3. Sistem persamaan linier-rev2 (1).pptx

Review Matriks dan SPL
Metode eliminasi Gauss
Faktorisasi LU
Metode Iterasi
PAM 252 Metode Numerik
Bab 3 Sistem Persamaan
Linier
Mahdhivan Syafwan
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas
Semester Genap 2016/2017
1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

matr
maa inier
ori
u
Me
Ben k-ben k kh us matri ersegi
Matriks simetrik
Matriks diagonal
Matriks identitas
Matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah
Matriks tridiagonal
Matriks Hessenberg (pentadiagonal)
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
tu tu us ks p

matr
maa inier
ori
u
Me
Ben k umum
Bentuk umum dari SPL:
a11x1
a21x1
.
+
+
a12x2
a22x2
.
+ · · ·
+
+ · · ·
+
a1nxn
a2nxn
.
= b 1
= b 2
.
.
an1x1
.
an2x2
.
annxn
.
= b n
+ + · · ·
+
Dalam bentuk matriks, SPL di atas dapat ditulis dengan
Ax = b,
dimana
A =
a11 a12 a1n
a2n
.
,
x1
x2
.
b =
b1
b2
.
.
· ·
·
· ·
·
a21
.
a22
.
x = ,
.
n1
.
a · ·
·
.
nn
.
x
.
a a b
n2 n n
... xn ]T
?
Bagaimana menentukan solusi untuk x = [x1 x2
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
tu

matr
maa inier
ori
u
Me
Tenta g olusi P
Ada tiga kemungkinan mengenai solusi SPL:
(a)
(b)
(c)
Tidak ada solusi
Tak-hingga solusi
Solusi tunggal
Tafsiran geometris:
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
n s S L

matr
maa inier
ori
u
Me
M k k fisien,matri en kap SPL d n OBE
Pada persamaan sebelumnya, A disebut matriks koefisien.
Matriks yang dibentuk oleh matriks A dengan penambahan
vektor kolom b disebut matriks lengkap dari SPL, yaitu
a11
a21
.
a12
a22
.
· ·
·
· ·
·
a1n
a2n
.
b1
b2
.
.
.
an1
.
an2
.
ann
.
bn
· ·
·
Operasi baris elementer (OBE):
Menukarkan dua buah baris
Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta tak-nol
Menambahkan k kali baris ke-i pada baris ke-j
Sifat: OBE tidak mengubah penyelesaian SPL.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
atri s oe ks l g , a

matr
maa inier
ori
u
Me
PL gi g
Bentuk umum dari SPL segitiga atas:
a11x1 + a12x2
a22x2
+ · · ·
+
+ · · ·
+
. . .
a1nx1
a2nx2
.
= b 1
= b 2
.
.
annxn
.
= b n
Matriks lengkap dari SPL segitiga atas:
a11 a12
a22
a1n
a2n
.
b1
b2
.
· ·
·
· ·
·
. . .
.
.
nn
.
a bn
Sifat: SPL segitiga atas mempunyai solusi tunggal jika dan hanya
jika setiap elemen diagonal dari matriks koefisiennya tidak nol, yaitu
akk = 0, k = 1, 2, ..., n.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
S se ti a atas

matr
maa inier
ori
u
Me
PL gi g c ntoh
Selesaikan SPL segitiga atas berikut:
4x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = 20
− 2x2 + 7x3 − 4x4 = − 7
6x3 + 5x4 = 4
3x4 = 60
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
S se ti a atas - o

matr
maa inier
ori
u
Me
PL gi g su u mun ur
Solusi dari SPL segitiga atas secara umum dapat dihitung sebagai
berikut:
xn = bn/ ann
xn−l
xn−2
=
=
.
(bn−l − an−l,nxn)/an−l,n−l
(bn−2 − (an−2,n−lxn−l + an−2,nxn))/an−2,n−2
.
n
X
i =k+l
xk = bk −
!
aki xi /akk
.
.
n
!
xl = bl −
X
ali xi / all
i =2
Proses perhitungan di atas dinamakan substitusi mundur, karena ...
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
S se ti a atas - bstit si d

matr
maa inier
ori
u
Me
Algor
i
m bsti mu du
Apa saja yang harus diperhatikan?
Dalam setiap iterasi, sebelum nilai xk dihitung, dilakukan
pemeriksaan terlebih dahulu terhadap elemen diagonal akk (proses
dihentikan jika ...)
Misalkan A˜ adalah matriks lengkap. Maka vektor b berada pada
kolom ke ... dari matriks A˜.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
t a su tusi n r

matr
maa inier
ori
u
Me
Algor
i
m bsti ma u ? pad P giti a bawah
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
R
e
S
u
vi
vi
bs
ew
ew
tit
s
us
ist
i
e
m
ik
s
m
un
pe
du
rs
r
a
dan m
n
l
aj
(SP L)
t a su tusi j ( a S L se g )

ma
ori pu
Me mi vers,
M de e m n Gauss - con h
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, selesaikan SPL
berikut ini:
− xl + x2
3xl − x2
− xl + 3x2
+ 2x3 = 1,
+ x3 = 1,
+ 4x3 = 1.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
eto li i asi to

ma
ori pu
Me mi vers,
Du hap ar pad m ode e m n Gau
Tahap eliminasi (maju),
yaitu mengubah SPL semula
menjadi SPL segitiga atas
melalui serangkaian OBE
(operasi ini tidak mengubah
solusi dari SPL semula).
1
Tahap substitusi mundur,
yaitu menyelesaikan SPL
segitiga atas yang terbentuk.
2
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
a ta bes a et li i asi ss

ma
ori pu
Me mi vers,
M de e m n Gauss - aha imi asi
Langkah pertama:
membuat agar elemen-elemen kolom pertama mulai baris ke-2, 3, ..., n
(yaitu a2l, a3l, ..., anl) menjadi nol.
all
a2l
al2
a22
.
aln al,n+l all al2
a22
.
aln al,n+l
a2n a2,n+ l
· ·
·
· ·
·
· ·
·
· ·
·
a2n a2,n+ l 0
∼
. . . . . .
. .
an2
. . .
0
.
an2
. .
anl · ·
·
ann an,n+l · ·
·
ann an,n+l
Catatan:
Notasi ∼ menyatakan bahwa proses yang dilakukan adalah melalui
serangkaian OBE.
Elemen-elemen pada kedua matriks lengkap di atas menggunakan
notasi yang sama, yaitu aij . Hal ini tidak berarti bahwa nilainya juga
sama. Pemakaian notasi yang sama ini ditujukan untuk keperluan
pada pemrograman komputer.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
eto li i asi t p el n

ma
ori pu
Me mi vers,
Langkah pertama - ilustrasi
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
all al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l all
0
al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l
a2l a2,n+l a2,n+l
a2l
a3l a3,n+l (b)2 ←(b)2− a (b)l a3l a3,n+l
ll
. .
. .
. .
. . . . . .
. .
.
an2
.
ann
. .
an2
.
ann
.
anl anl
· · · · · ·
an,n+l an,n+l
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
all al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l all
0
al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l
a2l a2,n+l a2,n+l
a3l
a3l a3,n+l (b)3 ←(b)3− a (b)l 0 a3,n+l
ll
. .
. .
. .
. . . . . .
. .
.
an2
.
ann
. .
an2
.
ann
.
anl anl
· · · · · ·
an,n+l an,n+l
.
.
.
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
all al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l all
0
al2
a22
a32
.
aln
a2n
a3n
.
al,n+l
a2l a2,n+l a2,n+l
anl
a3l a3,n+l (b)n ←(b)n − a (b)l 0 a3,n+l
ll
. .
. .
. .
. . . . . .
. .
.
an2
.
ann
. .
an2
.
ann
.
· · · · · ·
anl an,n+l 0 an,n+l
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll

ma
ori pu
Me mi vers,
Langkah pertama - algoritma
(b)2 ← (b)2 − a2l
(b)l
all
(b)3 ← (b)3 − a3l
(b)l
all
.
.
(b)n ← (b)n − anl
(b)l
all
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll

ma
ori pu
Me mi vers,
Langkah kedua: mengeliminasi kolom kedua dari matriks lengkap SPL.
(b)3 ←(b)3−
a32 (b)2
· · ·
· · ·
· · ·
.
· · ·
· · ·
· · ·
.
a22 (b)4
←(b)4−
a42 (b)2
all
0
al2
a22
a32
.
al3
a23
a33
aln
a2n
a3n
.
al,n+l
a2,n+l
all
0
al2
a22
0
.
al3
a23
a33
aln
a2n
a3n
.
al,n+l
a2,n+l
a22
0 a3,n+l 0 a3,n+l
. .
.
. .
.
. . . . . .
. .
.
.
an2
.
· · ·
.
ann
.
0
.
· · ·
.
ann
an2
0 an3 an,n+l 0 an3 an,n+l
(b)n ←(b)n − a (b)2
22
Langkah ke-3, 4, ..., n − 1: mengeliminasi kolom ke-3, 4, ..., n − 1 dari
matriks lengkap SPL.
Hasil akhir dari tahap eliminasi adalah suatu SPL segitiga atas. Solusi
SPL dapat diperoleh dengan menjalankan algoritma substitusi mundur.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll

ma
ori pu
Me mi vers,
M de e m n Gauss - algori m hap el minasi
→
Catatan: elemen pembagi pada tahap eliminasi, yaitu a[k, k]
dinamakan elemen penumpu (pivot).
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
eto li i asi t a ta i

ma
ori pu
Me mi vers,
Algor
i
m m de elim n Gauss
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
t a eto i asi

ma
ori pu
Me mi vers,
Kelemah n metod mi asi Gau & p a ka nya
Kelemahan metode eliminasi Gauss:
Proses eliminasi tidak dapat dilakukan jika elemen penumpu (pivot)
bernilai nol.
Jika nilai mutlak dari elemen pivot sangat kecil, maka pada realisasi
komputer akan menimbulkan perambatan galat pembulatan yang
besar.
Cara memperbaikinya?
Perlu dipilih elemen penumpu yang nilai mutlaknya besar.
Hal ini direalisasikan dengan melakukan pertukaran baris dan/atau
kolom pada matriks lengkap.
Pertukaran baris tidak mengubah solusi SPL.
Pertukaran kolom bagaimana?
Teknik pemilihan elemen penumpu ini dinamakan teknik penumpuan
(pivoting).
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
a e eli n ss erb i n

ma
ori pu
Me mi vers,
Beb pa ma m nik penumpu n
Penumpuan total
Elemen penumpu diambil dari max |aij |
k≤i ,j≤n
Memerlukan pertukaran baris dan/atau kolom
Penumpuan parsial
Elemen penumpu diambil dari max |aik |
k≤i ≤n
Hanya memerlukan pertukaran baris saja
Penumpuan parsial terskala
Elemen penumpu diambil dari max |aik /akk |
k≤i ≤n
Hanya memerlukan pertukaran baris saja
Elemen penumpu yang dipilih kemudian ditempatkan pada posisi
(k, k) dari matriks lengkap SPL.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
era ca tek a

ma
ori pu
Me mi vers,
El minasi Ga eng n p ump n p al - onto
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
i uss d a en ua arsi c h

ma
ori pu
Me mi vers,
El minasi Ga eng n p ump n p al - ori m
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
i uss d a en ua arsi alg t a?

ma
ori pu
Me mi vers,
El minasi Ga eng n p ump n p al - ori m
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
i uss d a en ua arsi alg t a

ma
ori pu
Me mi vers,
Beb pa SPL deng matri efi en sama
Pandang dua SPL berikut:
xl
2xl
4xl
− 3xl
+ 2x2 + x3
+ 4x3
+ 2x3
+ 3x3
+ 4x4
+ 3x4
+ x4
= l3
= 28
= 20
+ 2x2
+ x2 + 2x4 = 0
xl
2xl
4xl
− 3xl
+ 2x2 + x3
+ 4x3
+ 2x3
+ 3x3
+
+
+
+
4x4
3x4
x4
2x4
=
=
=
=
8
9
9
3
+ 2x2
+ x2
Matriks lengkap dari dua SPL tersebut dapat ditulis:
l
2
8
9 .
2
0
2
l
l
4
2
3
4
3
l
2
l3
28
20
6
4 9
− 3 3
Solusi dari masing-masing SPL dapat ditentukan dengan metode eliminasi Gauss.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
era an ks ko si

ma
ori pu
Me mi vers,
Ku s
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
i

ma
ori pu
Me mi vers,
Perhitung n dete mina d ar ori
Bukti. Lakukan ekspansi kofaktor berkali-kali sepanjang baris terakhir. ■
dengan konstanta k, maka det(B) = k det(A).
maka det(B) = − det(A).
(kolom) lain dari matriks A, maka det(B) = det(A).
Bukti. ...
Teorema (pengaruh OBE terhadap nilai determinan suatu matriks)
Misalkan A matriks berukuran n x n.
Jika B adalah matriks hasil dari perkalian suatu baris (kolom) matriks A
Jika B adalah matriks hasil dari pertukaran dua baris (kolom) matriks A,
Jika B adalah matriks hasil penambahan k kali baris (kolom) ke baris
Teorema (determinan matriks segitiga atas)
n
Jika A matriks segitiga atas berukuran n x n, maka det(A) =
Y
aii .
i =l
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
a r n - as te

ma
ori pu
Me mi vers,
Perhitung n dete mina p nerap n, on oh, & g tma
Untuk menghitung determinan suatu matriks, lakukan serangkaian
OBE terhadap matriks tersebut sedemikian sehingga menjadi
matriks segitiga atas. Perhatikan perubahan nilai determinan
selama melakukan OBE.
Contoh. Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dengan
penumpuan parsial, tentukan determinan dari
1 2 1 4
3
2
4
0
2
1
4
2
3
.
1
2
− 3
Algoritmanya?
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
a r n - e a c t al ori

Ma SPL
Metode Ite mi
Perhitung n dete m na g tma
Masukan: n
a[i,j
]
Keluaran: d
Langkah-
Langkah:
1. f:=0
2. d:=1
ukuran matriks
i=1,2,…,n; j=1,2,…,n elemen-elemen
matriks
nilai determinan matriks
3. (*tahap eliminasi dengan
pivoting*)
untuk k=2,3,…,n
jika abs(a[k-1,k-1])<1e-15
maka “proses gagal”,
stop
untuk i=k,k+1,…,n
a[i,k-1]/a[k-1,k-1] uk
j=k-1,k,…,n
a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k-
1,j]
d:=d*a[k-1,k-
1];
4. d:=(-
1)^f*d*a[n,n];
p:=
unt
m:=k-1
untuk i=k,k+1,…,n
jika abs(a[i,k-1])>abs(a[m,k-1]) maka
m:=i jika m~=k-1
maka f:=f+1
untuk j=k-
1,k,…,n
s:=a[k-1,j]
a[k-1,j]:=a[m,j]
a[m,j]:=s
Rev
M
ie
et
w
ode el
F
tri
im
a
ks
in
kt
d
as
ori
an
i
sa
Ga
si
u
L
ra
ss
U
si
Re
Ta
Te
Pe
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
it
e
l
p
u
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
d
i
p
u
et
da
an
er
n al
na
go
n,
rit
i
m
nv
a
ers, dll
a r i n - al ori

ma
ori pu
Me mi vers,
Perhitung n vers
Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (eliminasi maju dan mundur):
A−l .
A I ∼ · · · ∼
I
[justifikasi!]
Contoh.
Algoritmanya?
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
a in

Re
Ta
Te
Pe
Metod Ga dan oritma
U mpua
ga ter an nv
Perhitung n nvers a g tma
Masukan: n
a[i,j]
Keluaran: b[i,j]
Langkah-Langkah:
1. (*tahap
ukuran matriks
i=1,2,…,n; j=1,2,…,n
i=1,2,…,n; j=1,2,…,n
elemen matriks
elemen invers matriks
3. (*tahap eliminasi mundur*)
untuk k=n-1,n-2,…,1
menggandengkan matriks
identitas*) abs(a[k+1,k+1])<1e-15
aka “proses gagal”, stop
i=k,k-1,…,1
untuk i=1,2,…,n
k j=n+1,n+2,…,2*n
ka i=j+n maka a[i,j]:=1 a[i,k+1]/a[k+1,k+1]
uk j=1,2,…,k+1
jikatidak a[i,j]:=0
a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k+1,j]
2. (*tahap eliminasi maju
pivoting*)
untuk k=2,3,…,n
dengan uk j=n+1,n+2,…,2*n
a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k+1,j]
4. (*tahap mendapatkan invers matriks*)
untuk i=1,2,…,n
k j=n+1,n+2,…,2*n
b[i,j-n]:=a[i,j]/a[i,i]
bs(a[k-1,k-1])<1e-15
a “proses gagal”, stop
i=k,k+1,…,n
a[i,k-1]/a[k-1,k-1] uk
j=k-1,k,…,2*n
a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k-1,j]
jika a
mak
untuk
p:=
unt
untu
m:=k-1
untuk i=k,k+1,…,n
jika abs(a[i,k-1])>abs(a[m,k-1]) maka m:=i
jika m~=k-1
untuk j=k-1,k,…,2*n
s:=a[k-1,j]
a[k-1,j]:=a[m,j]
a[m,j]:=s
jika
m
untuk
p:=
unt
unt
untu
ji
Revie w M
e
at
eli
F
M
ri
m
ak
et
ks
in
to
o
d
asi
ris
de
an
as
It
S
i
er
P
us
L
as
L
s
i
vie
ha
kn
rhi
w
p
ik
tu
eli
p
n
m
en
in
u
n
asi
de
n
mi
al
n
g
, i ers, dll
a i - l ori

ma
ori pu
Me mi vers,
M difik elimina G uss un SPL ago
Perhatikan matriks SPL tridiagonal berikut:
bl
a2
xl
cl
b2
a3
dl
c2
b3 x2
d2
. . . = d3
.
x3
. .
. . .
. .
.
an
. .
l
cn−
bn xn dn
Pada SPL tersebut, banyak sekali koefisiennya yang bernilai nol.
Bagaimana algoritma yang paling efisien untuk mencari solusi SPL
tersebut? −→ TUGAS BACA!
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
R
e
Ta
Te
P
e
vi
ha
kn
rh
ew
p
ik
itu
el
p
n
im
en
ga
in
u
n
as
m
de
i
te
da
an
r
n al
na
g
o
n,
rit
in dll
o asi si a tuk tridi nal

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Defini akto asi U dan ke una nnya
Misalkan matriks koefisien A dari SPL Ax = b mempunyai faktorisasi LU.
Maka
Ax = b ⇔ (LU)x = b ⇔ L(Ux) = b.
Sekarang misalkan d = Ux. SPL segitiga bawah Ld = b dapat
diselesaikan dengan substitusi maju. Setelah d diperoleh, solusi x dapat
dicari dari SPL segitiga atas Ux = d dengan substitusi mundur.
Definisi (Faktorisasi LU/Segitiga)
Matriks nonsingular A dikatakan mempunyai faktorisasi LU (juga dikenal
dengan faktorisasi segitiga) jika ia dapat ditulis sebagai perkalian matriks
segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U, yaitu
A = LU.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
si f ris L g a

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
ustrasi
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
Il

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Beb pa enis ori LU
Secara umum faktorisasi LU tidak tunggal.
Agar hasilnya tunggal, biasanya dilakukan dengan memilih
matriks L dan U yang memiliki sifat tertentu.
Beberapa faktorisasi LU yang dikenal:
Faktorisasi/dekomposisi Doolitle, yaitu elemen diagonal utama
matriks L dipilih bernilai 1.
Faktorisasi/ dekomposisi Crout, yaitu elemen diagonal utama
matriks U dipilih bernilai 1.
Faktorisasi/dekomposisi Cholesky, yaitu matriks U dibuat
sama dengan LT jika A matriks simetris.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
era j fakt sasi

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
U
aktorisasi Dool tle den an elim na Gau - prose
Misalkan dari tahap eliminasi pada eliminasi Gauss diperoleh
· · ·
· · ·
· · ·
all al2 aln
a(l)
all
a2l
al2
a22
.
.
an2
aln
a(l)
· · ·
a2n 0 22
.
.
0
2n
.
A = ∼ · · · ∼ =
U,
.
.
. .
. . .
0 a(n−l)
· · ·
anl ann · · · nn
dimana a(k)
menyatakan elemen matriks A pada posisi (i , j) yang nilainya
ij
merupakan hasil dari OBE pada iterasi ke-k.
Meskipun tidak muncul secara langsung, matriks L juga dihasilkan dari proses
eliminasi ini, yaitu diberikan oleh
0 · · ·
l 0
l · · · 0
l2l
L = . . ,
.
.
ln2
. .
lnl · · · l
− l) (j − l)
dimana lij = a(j (0)
/ a dan a = ail [periksa!].
ij jj il
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
F L i g i si ss s

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
LU
aktorisasi Do tl eng n el minasi Gauss ori ma
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
F oli e d a i - alg t

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Perhitung n vers matri d & p nerap n
Diberikan sistem
1
0
0 0
1 0
Axl = , = , = ,
Ax . . . , Ax
. .
2 n
. .
. . .
0 0 1
dimana A adalah matriks berukuran n × n dan xl, x2, ..., xn adalah
vektor-vektor berukuran n × 1. Jika A dapat diinverskan, maka
A− l = [x x . . . x ]. [tunjukkan!]
l 2 n
Solusi xl, x2, ..., xn dapat ditentukan dengan menggunakan
faktorisasi LU. Karena sistem di atas memiliki matriks koefisien
yang sama, maka matriks L dan U cukup dihitung sekali.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
a in ks - asar teori e a

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Perhitung n vers matri a go itma
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
a in ks - l r

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Con h 1
Tentukan matriks dekomposisi LU yang memenuhi
0 all
0 0
al2 al3
1 3
8
3
6 1 0
1
m32
A = 4
− 2
− 1 = m2l
m3l
a22
0
a23
a33
= LU
5 1 0
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
to

ori U?
ak LU
ori gan eli
Me hitun
Con h 2
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
A
p
Be
Fa
A
p
a
be
kt
lik
it
ra
ori
as
u
f
p
sa
i
a
k a
j si
fa
t
en
L
kt
is
U
ori
sa
f
D
sa
si
oo
si
L
to
li
L
ris
tle
U:
as
d
p
i
en
er ga
mi
n
na
in
si
ve
G
rs
a
m
us
at
s
riks
to

eidel
ori
Me
M de asi
Alternatif metode untuk menyelesaikan SPL (dan juga SPNL).
Metode iteratif dimulai dengan sebuah tebakan awal,
kemudian digunakan suatu metode sistematis untuk
memperoleh barisan yang diharapkan konvergen ke solusi yang
ingin dicari.
Metode iteratif untuk SPL: metode Jacobi dan metode
Gauss-Seidel.
Metode iteratif untuk SPNL: metode substitusi berturutan dan
metode Newton-Raphson (kasus multivariat) [tidak dipelajari].
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
Met ode Jacobi vs Gau ss-S
eto iter ?

eidel
ori
Me
ustrasi
Figure : (a) Metode Gauss-Seidel, (b) Metode Jacobi
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
Il

eidel
ori
Me
M de J obi
Diberikan SPL berikut:
a11x1
a21x1
.
+
+
a12x2
a22x2
.
+ . . . +
+ . . . +
a1nxn
a2nxn
.
= b 1
= b 2
.
.
an1x1
.
an2x2
.
annxn
.
= b n
+ + . . . +
Rumus iterasi dari metode Jacobi:
= bi − / aii , i = 1, 2, ..., n.
n
X
j=1,j=i
x (k+1) (k)
aij xj
i
Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi.
T
Ambil tebakan awal x =
p
x (0)
x (0)
i
x (0)
. . . .
n
1 2
,
x (k+1)
− x (k), < e.
,
Kriteria penghentian iterasi: max
,
i i
1<i <n
, ,
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
eto ac

eidel
ori
Me
Algor
i
m m de J ob
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
t a eto ac i

eidel
ori
Me
M de Gau S
Diberikan SPL berikut:
a11x1
a21x1
.
+
+
a12x2
a22x2
.
+ . . . +
+ . . . +
a1nxn
a2nxn
.
= b 1
= b 2
.
.
an1x1
.
an2x2
.
annxn
.
= b n
+ + . . . +
Rumus iterasi dari metode Gauss-Seidel:
i −1 n
x (k+1) (k+1) (k)
X X
= bi − aij xj − aij xj /aii , i = 1, 2, ..., n.
i
j=1 j=i +1
Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi.
T
Ambil tebakan awal x =
p
x (0)
x (0)
i
x (0)
. . . .
n
1 2
,
x (k+1)
− x (k), < e.
,
Kriteria penghentian iterasi: max
,
i i
1<i <n
, ,
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
eto ss- eidel

eidel
ori
Me
Algor
i
m m de Gau Sei
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
t a eto ss- del

eidel
ori
Me
Kek nverg nan meto e Jac bi an Gauss-Sei el
Metode Jacobi dan Gauss-Seidel tidak selalu konvergen.
Syarat cukup agar kedua metode tersebut konvergen adalah matriks
koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, yaitu
n
X
j=1,j=i
Sebelum metode Jacobi dan Gauss-Seidel digunakan, lakukan dulu
pemeriksaan apakah matriks koefisien A bersifat dominan kuat
secara diagonal.
Salah satu cara agar matriks koefisien A bersifat dominan kuat
secara diagonal adalah dengan menukarkan baris-baris dari SPL
tersebut.
Bila proses penukaran baris tidak berhasil membuat matriks
koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, maka metode
laii l > laij l, i = 1, 2, ..., n.
Jacobi dan Gauss-Seidel biasanya tidak dapat digunakan.
Rev
M
ie
et
w
od
M
e
a
el
F
tri
im
ak
ks
in
t
to
d
as
de
an
i
sa
I
S
Ga
si
te
P
us
L
ra
L
s
U
si
o e d o d d

3. Sistem persamaan linier-rev2 (1).pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 3. Sistem persamaan linier-rev2 (1).pptx

Similar to 3. Sistem persamaan linier-rev2 (1).pptx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

3. Sistem persamaan linier-rev2 (1).pptx