Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika, meliputi konsep-konsep dasar seperti pernyataan, kalimat terbuka, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, pernyataan majemuk, tautologi, kontradiksi, ekuivalen, hubungan konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi, implikasi logis, kuantor universal dan eksistensial, serta silogisme.

1. LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah Contoh: a : 2 adalah bilangan genap (bernilai benar) b : 4 habis dibagi 3 (bernilai salah) Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaan dilambangkan dengan  (tau). Contoh: a: 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar,  (a)=B p : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah,  (p)=S Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.

2. B. KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah yang memuat peubah/variable, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar/salah) Contoh: 1. 2. itu adalah benda cair A. NEGASI Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang ~p Dan dibaca bukan p atau tidak benar p. Contoh: p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6 Tabel kebenaran Hubungan ingkaran pernyataan dengan komplemen himpunan S B B S p ~p p S

3. B. DISJUNGSI Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang: Dibaca p atau q Tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut: Kalimat untuk mengingat : “ anak – anak besok kalian harus membawa pensil atau pulpen ” Hubungan disjungsi pernyataan dengan gabungan dua himpunan B B B S B S B S B B S S q P

4. C. KONJUNGSI Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung atau. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang: Tabel kebenaran Dibaca p dan q Kalimat untuk mengingat : “ anak – anak besok kalian harus membawa buku dan pulpen ” Hubungan konjungsi pernyataan dengan irisan dua himpunan B S S S B S B S B B S S q P

6. E. BIIMPLIKASI Biimplikasi dari pernyataan-pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai berikut: dibaca : p jika dan hanya jika q Jika p maka q dan jika q maka p p syarat perlu dan cukup bagi q q syarat perlu dan cukup bagi p Tabel kebenaran Cara mengingat : + x − = − − x + = − − x − = + + x + = + Hubungan biimplikasi pernyataan dengan kesamaan dua himpunan B S S B B S B S B B S S q P

7. PERNYATAAN MAJEMUK Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Contoh pernyataan majemuk: 1. 2. Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari Untuk menentukan nilai kebenaran, biasanya menggunakan tabel kebenaran Jadi nilai kebenaran dari adalah B,B,B,S Atau ditulis: B B B S S B S B B B S B B B B S B S BS B B S S q P

8. Jadi nilai kebenaran dari adalah B,B,B,S Atau ditulis: B B B S B B S S B B S B S B S B B S B S B B B S B B S S Urutan pengerjaan dalam operasi LOGIKA dari yang paling kuat sampai yang terlemah P q) ~ (p ~ ,  , 

9. B B B S B B B B Tabel TAUTOLOGI Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh: Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk adalah sebuah tautologi KONTRADIKSI Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. B S B S B B S S q p Jadi pernyataan merupakan tautologi

10. Ekuivalen DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah

11. p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar (p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar ~(p V q) : (~p  ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah p  q : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah ~(p  q) =(p  ~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah

12. Pada disjungsi dan konjungsi berlaku sifat komutatif, asososiatif dan ditributif Sifat Komutatif Sifat Asosiatif Distributif konjungsi terhadap disjungsi Sifat Distributif Distibutif konjungsi terhadap disjungsi

13. . HUBUNGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DENGAN IMPLIKASI , maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu , disebut konvers dari implikasi , disebut invers dari implikasi , disebut kontraposisi dari implikasi Jika kita mempunyai sebuah implikasi ≡ ≡ Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya Konvers ekuivalen dengan invers B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B S B B B B S B B B S B ~p  ~q q  p ~q  ~p p  q ~q ~p q p

14. IMPLIKASI LOGIS P(x)  Q(x) Implikasi logis adalah implikasi dimana antara P(x) dengan Q(x) ada hubungannya Hubungan yang dimaksud yaitu tiap pengganti nilai x yang menyebabkan kalimat P(X) benar akan menyebabkan kalimat Q(X) benar juga Contoh 1. Jika x > 2, maka x 2 > 4 Implikasi diatas bernilai BENAR karena setiap kita mengambil nilai x > 2 maka pastilah x 2 > 4 Tapi jika arahnya dibalik maka kalimat tersebut menjadi salah 2. Jika x 2 > 4, maka x > 2 MENGAPA ??? 3. Jika x – 1 = 0, maka x 2 – 1 = 0 4. Jika x 2 – 1 = 0, maka x – 1 = 0 2 -2 2

15. KUANTOR UNIVERSAL Semua siswa Kelas X SMA Saint Peter pandai. Kata semua atau setiap merupakan kuantor universal (umum) Lambang dari kuator universal adalah: dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x) KUANTOR EKSISTENSIAL Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai. Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus) Misalkan: U=himpunan semua siswa SMA di Jakarta A=himpunan semua siswa SMA Saint Peter B=himpunan semua siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandai Pernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai”, dapat ditulis dengan lambang berikut: dibaca: Beberapa siswa SMA Saint Peter pandai, atau Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandai.

16. INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR p : Semua siswa Saint Peter rajin belajar ~p : Ada siswa Saint Peter yang tidak rajin belajar q : Ada siswa Saint Peter yang rumahnya di Kelapa Gading ~q : Semua siswa Saint Peter rumahnya tidak di Kelapa Gading r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang Contoh:

17. Penarikan kesimpulan SILLOGISME premis 1 premis 2 kesimpulan/konklusi Contoh: Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat ke sekolah premis 1 Jika saya tidak berangkat sekolah, maka ayah akan marah premis 2 Maka konklusinya adalah: Jika hari ini hujan, maka ayah akan marah Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis Kemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru ( kesimpulan/ konklusi ) Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasi Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar , maka konklusinya juga benar

18. Modus ponen premis 1 premis 2 kesimpulan/konklusi Contoh: Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah premis 1 Saya punya uang banyak premis 2 Maka konklusinya adalah Saya akan membeli rumah

19. Modus tolen premis 1 premis 2 kesimpulan/konklusi Contoh: Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu premis 1 Saya tidak datang ke pestamu premis 2 Maka konklusinya adalah Hari ini cuaca tidak cerah Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI