pengertian Vektor, Vektor di ruang Dimensi dua, Operasi ruang Dimensi dua, Vektor di ruang dimensi tiga, Operasi Vektor di ruang dimensi tiga, Rumus perbandingan, Panjang Vektor(di ruang dimenis dua dan tiga), Perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, Proyeksi Orthogonal suatu vektor.
Presentasi pelajaran mat minat kelas 10 tentang vektor
Pengertian Vektor
Notasi Vektor
Panjang Vektor di R2
Proyeksi vector orthogonal
Vektor Satuan
Vektor Basis
Penjumlahan vector secara aljabar
pengertian Vektor, Vektor di ruang Dimensi dua, Operasi ruang Dimensi dua, Vektor di ruang dimensi tiga, Operasi Vektor di ruang dimensi tiga, Rumus perbandingan, Panjang Vektor(di ruang dimenis dua dan tiga), Perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, Proyeksi Orthogonal suatu vektor.
Presentasi pelajaran mat minat kelas 10 tentang vektor
Pengertian Vektor
Notasi Vektor
Panjang Vektor di R2
Proyeksi vector orthogonal
Vektor Satuan
Vektor Basis
Penjumlahan vector secara aljabar
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
1. 18. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB = b – a
B.
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
2. Sudut antara dua vektor
adalah θ
Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =
a1
a2
a
3
= a1i + a2j + a3k;
2
2
|a| = a 1 + a 2 + a 3
2
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a±b=
a1
a2
a
3
C. Dot Product
±
b1
b2
b
3
=
a 1 ± b1
a 2 ± b2
a ± b
3 3
; ka = k
a1
a2
a
3
=
ka1
ka 2
ka
3
2. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Apabila diketahui a =
a1
a2
a
3
dan b =
b1
b2
b
3
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos θ
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D.
Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada a
a ⋅b
|p| =
|a|
SOAL
1. UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –
4). Besar sudut ABC = …
a. π
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
a ⋅b
⋅a
p=
| a |2
PENYELESAIAN
b. π
2
c. π
3
d. π
6
e. 0
Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1,
2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v
mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh
vector u dan v adalah …
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
e. 120
204
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
3. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i
+ j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b
sama dengan …
a. 30º
b. 45º
c. 60º
d. 90º
e. 120º
Jawab : c
4. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v,
maka sudut antara vektor u dan v adalah …
a. 0°
b. 30°
c. 45°
d. 60°
e. 90°
Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i
– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. i – j + k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i – j + k
e. 6i – 8j + 6k
Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 46
Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i
– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
b. –4i + 4j – 8k
c. –2i + 2j – 4k
d. –i + 2j + 3k
e. –i + j – 2k
Jawab : e
7. UN 2010 PAKET A
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u,
AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v
205
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
4. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
adalah …
a. 3i – 6 j +
5
b. 3 5 i –
c.
d.
e.
12
5
6
5
k
j+
12
5
k
9
5 (5i – 2j + 4k)
27
45 (5i – 2j + 4k)
9
55 (5i – 2j + 4k)
Jawab : d
8. UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 1 (3i + j – 2k)
4
b.
c.
d.
3
14 (3i + j – 2k)
− 1 (3i + j – 2k)
7
3
− 14 (3i + j – 2k)
3
− 7 (3i + j – 2k)
e.
Jawab : c
SOAL
9. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC
wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal
vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k
b. i + 2j + 3k
c. 1 i + 2 j + k
3
3
d. –9i – 18j – 27k
e. 3i + 6j + 9k
PENYELESAIAN
Jawab : a
10. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 5, maka nilai x = …
a.
–7
b.
–6
c.
5
d.
6
e.
7
Jawab : e
206
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
5. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
11. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a.
–2 atau 6
b.
–3 atau 4
c.
–4 atau 3
d.
–6 atau 2
e.
2 atau 6
Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
b. –6i + 4j – 16k
c. –4i + 4j – 2k
d. –6i – 4j + 16k
e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
SOAL
13. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah
…
a.
2i – 4j + 2k
b.
2i – 4j – 2k
c.
2i + 4j – 2k
d.
i – 2j – k
e.
i + 2j – k
PENYELESAIAN
Jawab : c
14. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika
vektor a tegak lurus b maka vector
a–c=…
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
207
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
6. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
e. –62i – 23j –3k
Jawab : b
15. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P
membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3.
Panjang vektor PC adalah …
10
a.
b.
13
15
c.
d. 3 2
e. 9 2
Jawab : d
SOAL
16. UN 2004
Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan
q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada
p adalah 2, maka x adalah …
a. 5
6
b.
c.
d.
PENYELESAIAN
3
2
13
2
43
6
53
6
e.
Jawab : c
17. UN 2004
Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k,
dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
a.
2i – 4j + 2k
b.
2i + 4j – 2k
c.
d.
–2i + 4j – 2k
2i + 4j + 2k
e.
–2i + 4j + 2k
Jawab : e
18. UAN 2003
208
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
7. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
− 2
Diberikan vektor a = p dengan p ∈ Real
2 2
1
dan vektor b = 1 . Jika a dan b
2
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 12 7
4
b.
c.
d.
e.
5
2
5
4
5
14
2
7
7
7
7
7
Jawab : d
SOAL
19. UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
PENYELESAIAN
2
vektor v = − 3 terhadap vektor u =
4
209
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
8. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
− 1
2 , maka w = …
− 1
1
a. − 1
3
2
d. − 4
2
0
b. − 1
− 2
− 2
e. 4
− 2
0
c. 1
2
Jawab : d
20. EBTANAS 2002
Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …
a. 4
b. 2
c. 1
d. 1
2
e. 0
Jawab : c
21. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º.
Maka | 3a + 2b | = …
210
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
9. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
b.
c.
d.
e.
5
6
10
12
13
Jawab : b
22. EBTANAS 2002
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 (2 1 1)
3
b. –(2 1 1)
c.
d.
4
3 (2 1 1)
( 4 1 1)
3
e. (2 1 1)
Jawab : c
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011
Menentukan sudut antara dua vektor.
a = 6 , ( a – b ).( a + b )
6. Diketahui
=0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut
antara vektor a dan b adalah ….
π
π
2π
a.
c.
e.
3
6
3
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan
b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk
vektor a dan b sama dengan …
a. 30º
c. 60º
e. 120º
b. 45º
d. 90º
2. Diketahui vektor a =6 i −3 j −3 k ,
b = 2 i − j +3 k
dan
c = − i − 2 j +3 k . Besar sudut antara
5
vektor a dan b + c adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1500
0
0
b. 45
d. 90
3. Diketahui vektor a = i − 2 j + 2 k dan
b = −i + j . Besar sudut antara vektor a
dan b adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1350
0
0
b. 45
d. 120
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB =
2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah
vektor v, maka sudut antara vektor u dan v
adalah …
a. 0°
c. 45°
e. 90°
b. 30°
d. 60°
b = 9 ,
a = 2 ,
5. Diketahui
a + = 5 . Besar sudut antara vektor a
b
dan vektor b adalah ….
a. 450
c. 1200
e. 1500
0
0
b. 60
d. 135
b.
π
d.
π
4
2
7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan
C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a. π
c. π
e. 0
3
b. π
2
d. π
6
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2),
B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili
AB dan v mewakili AC , maka sudut
yang dibentuk oleh vector u dan v adalah
…
a. 30°
c. 60°
e. 120
b. 45°
d. 90°
9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k.
Jika a dan b membentuk sudut θ, maka nilai
sin θ = ....
a.
5
7
b.
2
7
c.
6
5
12
d.
6
7
6
e.
6
7
6
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k,
jika a dan b membentuk sudut θ,
maka tan θ = ... .
211
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
10. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
1
3
b.
3
14
5
5
c.
14
d.
14
1
5
e.
1
14
− 2
12. Diberikan vektor a = p dengan p ∈
2 2
1
Real dan vektor b = 1 . Jika a dan b
2
5
14
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i
+ 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor
a tegak lurus b maka vektor a – c = …
a. –58i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
b. –58i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
2
a. 12 7
c. 5 7
e. 7 7
4
4
b. 5
2
7
5
d. 14
7
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
c. –4 atau 3
e. 2 atau 6
b. –3 atau 4
d. –6 atau 2
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
vektor v =
2
− 3
4
terhadap vektor u =
− 1
2
− 1
,
maka w = …
212
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
11. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
1
− 1
3
c.
0
1
2
1
2
a.
1
3
−1
1
3
−
1
2
−1
1
2
−
b.
1
3
−1
e.
− 2
4
− 2
b.
2.
0
− 1
− 2
6.
b. –(2 1 1)
6
5
j+
b. 3 5 i –
2
− 4
2
c. 4 (2 1 1)
3
d. (
4
3
1
1
1
3
−1
12
5
6
5
k
j+
d.
12
5
k
e.
27
45
9
55
(5i – 2j + 4k)
(5i – 2j + 4k)
c. 9 (5i – 2j + 4k)
5
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2).
Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor
v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v
adalah …
a. –3i – 6j – 9k
d. –9i – 18j – 27k
b. i + 2j + 3k
e. 3i + 6j + 9k
1
2
c. 3 i + 3 j + k
8.
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3),
B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
d. –6i – 4j + 16k
b. –6i + 4j – 16k
e. 12i – 12j + 6k
c. –4i + 4j – 2k
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1),
B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor
AB terhadap AC adalah …
a. 2i – 4j + 2k
d. i – 2j – k
b. 2i – 4j – 2k
e. i + 2j – k
c. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 (2 1 1)
3
d. −
e.
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan
C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil
vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
a. 3i –
d.
1
1
c.
1
3
−1
e. (2 1 1)
1 1)
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector
b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. i – j + k
d. 2i – j + k
b. i – 3j + 2k
e. 6i – 8j + 6k
c. i – 4j + 4k
4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector
b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
d. –i + 2j + 3k
b. –4i + 4j – 8k
e. –i + j – 2k
c. –2i + 2j – 4k
5. Diketahui vektor a =i −2 j +k dan vektor
b =i + j −k . Proyeksi ortogonal vektor a
pada b adalah …
3.
a. 1 (3i + j – 2k)
4
3
d. − 14 (3i + j – 2k)
3
b. 14 (3i + j – 2k)
3
e. − 7 (3i + j – 2k)
1
c. − 7 (3i + j – 2k)
2
11. Panjang proyeksi vektor a =− i +8 j +4k
pada vektor b = pj +4k adalah 8. Maka nilai
p adalah ....
a. – 4
c. 3
e. 6
b. – 3
d. 4
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector
213
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
12. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7
c. 5
e. 7
b. –6
d. 6
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika
panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x
adalah …
a. 5
6
b.
3
2
c. 13
2
d.
e. 53
6
43
6
214
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com