Praktikum ini membahas materi kalkulus yang meliputi fungsi, grafik fungsi, limit, kekontinuan, turunan fungsi, dan integral. Tujuannya agar mahasiswa dapat melakukan operasi hitung kalkulus menggunakan Mathematica dan mengembangkan kemampuan untuk operasi yang lebih kompleks. Materi praktikum meliputi pendefinisian fungsi, fungsi matematika, penyelesaian persamaan, grafik dua dan tiga dimensi, limit fungsi, kek
Dokumen tersebut membahas tentang faktorisasi bentuk-bentuk aljabar seperti ax ± ay, x^2 ± 2xy + y^2, x^2 - y^2, dan ax^2 + bx + c. Diberikan contoh penyelesaian soal faktorisasi dan latihan soal untuk mempraktikkan konsep yang dipelajari.
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Praktikum ini membahas materi kalkulus yang meliputi fungsi, grafik fungsi, limit, kekontinuan, turunan fungsi, dan integral. Tujuannya agar mahasiswa dapat melakukan operasi hitung kalkulus menggunakan Mathematica dan mengembangkan kemampuan untuk operasi yang lebih kompleks. Materi praktikum meliputi pendefinisian fungsi, fungsi matematika, penyelesaian persamaan, grafik dua dan tiga dimensi, limit fungsi, kek
Dokumen tersebut membahas tentang faktorisasi bentuk-bentuk aljabar seperti ax ± ay, x^2 ± 2xy + y^2, x^2 - y^2, dan ax^2 + bx + c. Diberikan contoh penyelesaian soal faktorisasi dan latihan soal untuk mempraktikkan konsep yang dipelajari.
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Dokumen tersebut membahas tentang materi pembagian suku banyak, termasuk cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian, serta metode substitusi dan Horner untuk menghitung nilai suku banyak. Juga dibahas tentang pembagian suku banyak dengan bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan.
Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.
Rangkuman materi mata pelajaran IPA kelas XI semester genap mencakup materi suku banyak, fungsi komposisi dan invers, limit fungsi, serta turunan fungsi dan aplikasinya.
Dalam modul ini, kita mempelajari :
Algoritma pembagian sukubanyak.
Derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
Sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.
Faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor.
Persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.
Teknik integral kalkulus membahas konsep integral sebagai fungsi invers dari turunan, rumus dasar integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri, serta penerapannya untuk menentukan persamaan kurva dan gerak. Dokumen ini memberikan contoh soal dan penyelesaian integral tak tentu, serta teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi elementer.
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
Limit fungsi dan kekontinuan. Dokumen ini membahas pengertian limit fungsi di satu titik secara intuitif dan matematis, serta hubungannya dengan kekontinuan fungsi. Juga dibahas tentang limit kiri, kanan, dan limit tak hingga.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi:
1. Definisi integral dan anti turunan
2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu
3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Mata kuliah Kalkulus 2 mencakup materi integral, metode integrasi, fungsi transenden, luas dan integral tertentu, volume benda putar, integral tak wajar, dan kalkulus geometri. Satuan acara mencakup pengertian integral, rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas, volume, dan integral tak wajar.
Bab 2 membahas konsep dasar kalkulus yaitu limit dan kontinuitas. Pembahasan mencakup masalah tangen dan luas, garis tangen, konsep limit secara intuitif dan definisi matematis, hukum-hukum limit, teorema limit termasuk trigonometri dan hukum apit, serta konsep kontinuitas.
Buku ini membahas konsep-konsep dasar kalkulus mulai dari fungsi real, turunan, integral, fungsi-fungsi transenden, teknik pengintegralan, barisan dan deret, persamaan diferensial biasa, kalkulus vektor, fungsi beberapa peubah, dan integral rangkap. Secara khusus membahas definisi turunan fungsi, rumus-rumus dasar turunan, serta contoh penerapannya dalam menentukan turunan berbagai fungsi.
Kalkulus melibatkan pengiraan kuantiti yang tidak diskrit menggunakan pembezaan dan pengamilan. Pembezaan mengukur kadar perubahan fungsi terhadap input. Aplikasi pentingnya termasuk pengoptimuman untuk mencari nilai maksimum atau minimum.
Dokumen tersebut membahas tentang materi pembagian suku banyak, termasuk cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian, serta metode substitusi dan Horner untuk menghitung nilai suku banyak. Juga dibahas tentang pembagian suku banyak dengan bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan.
Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.
Rangkuman materi mata pelajaran IPA kelas XI semester genap mencakup materi suku banyak, fungsi komposisi dan invers, limit fungsi, serta turunan fungsi dan aplikasinya.
Dalam modul ini, kita mempelajari :
Algoritma pembagian sukubanyak.
Derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
Sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.
Faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor.
Persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.
Teknik integral kalkulus membahas konsep integral sebagai fungsi invers dari turunan, rumus dasar integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri, serta penerapannya untuk menentukan persamaan kurva dan gerak. Dokumen ini memberikan contoh soal dan penyelesaian integral tak tentu, serta teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi elementer.
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
Limit fungsi dan kekontinuan. Dokumen ini membahas pengertian limit fungsi di satu titik secara intuitif dan matematis, serta hubungannya dengan kekontinuan fungsi. Juga dibahas tentang limit kiri, kanan, dan limit tak hingga.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi:
1. Definisi integral dan anti turunan
2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu
3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Mata kuliah Kalkulus 2 mencakup materi integral, metode integrasi, fungsi transenden, luas dan integral tertentu, volume benda putar, integral tak wajar, dan kalkulus geometri. Satuan acara mencakup pengertian integral, rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas, volume, dan integral tak wajar.
Bab 2 membahas konsep dasar kalkulus yaitu limit dan kontinuitas. Pembahasan mencakup masalah tangen dan luas, garis tangen, konsep limit secara intuitif dan definisi matematis, hukum-hukum limit, teorema limit termasuk trigonometri dan hukum apit, serta konsep kontinuitas.
Buku ini membahas konsep-konsep dasar kalkulus mulai dari fungsi real, turunan, integral, fungsi-fungsi transenden, teknik pengintegralan, barisan dan deret, persamaan diferensial biasa, kalkulus vektor, fungsi beberapa peubah, dan integral rangkap. Secara khusus membahas definisi turunan fungsi, rumus-rumus dasar turunan, serta contoh penerapannya dalam menentukan turunan berbagai fungsi.
Kalkulus melibatkan pengiraan kuantiti yang tidak diskrit menggunakan pembezaan dan pengamilan. Pembezaan mengukur kadar perubahan fungsi terhadap input. Aplikasi pentingnya termasuk pengoptimuman untuk mencari nilai maksimum atau minimum.
Dokumen tersebut membahasikan kesinambungan antara berbagai topik matematika seperti aljabar, geometri, trigonometri, statistik dan kebarangkalian dengan kalkulus. Ia menjelaskan bagaimana konsep-konsep dalam topik-topik tersebut saling berhubungan dan berkaitan dengan kalkulus, seperti penggunaan persamaan aljabar dalam pembezaan dan pengamiran, serta hubungan antara kecerunan dalam geometri, trigonometri dan
The document discusses Newton's Law of Cooling and its applications through differential equations.
- Newton's Law of Cooling states that the rate of change of an object's temperature is proportional to the difference between the object's temperature and the ambient temperature. This can be modeled as a first-order differential equation.
- The equation can be derived and solved using calculus techniques like separation of variables. The solution is an exponential decay function.
- Real-world applications include determining time of death from body temperature, designing efficient cooling systems for computer processors, and calculating heat transfer rates in devices like solar water heaters. Mathematical problems demonstrate using the law of cooling in investigations and engineering design.
System approach dalam pengajaran pembezaan untuk kursus matematik kejuruteraa...Ummi Azilla
Dokumen ini membahas penggunaan pendekatan sistem dalam pengajaran topik pembezaan untuk kursus matematika kejuruteraan. Pendekatan ini bertujuan untuk meningkatkan pemahaman siswa dengan menghubungkan konsep-konsep matematika ke sistem-sistem nyata yang relevan dengan bidang studi siswa. Hasil analisis ujian akhir menunjukkan penurunan capaian siswa dalam topik pembezaan, sehingga pendekatan sistem diusulkan
Model matematik yang digunakan untuk memodelkan pertumbuhan bunga matahari berdasarkan ketinggian ialah model persamaan logistik. Model ini memberikan persamaan P = 256/(1 + 13.22e-0.67t) dimana P mewakili ketinggian, t mewakili masa, dan nilai-nilai A, k, C didapati daripada proses penyelesaian masalah. Model ini sesuai untuk mewakili data sebenar berdasarkan perbandingan antara nilai-nilai yang di
Calculus has many applications in real life. It is used in fields like engineering, biology, science, economics and other areas. In engineering, calculus is used for building structures like skyscrapers and bridges and in robotics for determining how robotic parts will move with commands. It is also used in electrical and computer engineering for system design. In biology, calculus is applied to study ecosystem interactions and model drug concentrations in organisms. It also measures growth rates. Astronomy and space technology heavily rely on calculus. Economics uses calculus for functions, derivatives, and finding optimal solutions. Doctors and mapping also apply calculus. In summary, calculus has diverse real-world uses across many domains due to its ability to model
Ringkasan dokumen tersebut adalah sebagai berikut:
1. Dokumen tersebut membahas penggunaan blok pemikiran (thinking blocks) dalam mengajar konsep pembahagian di sekolah rendah dengan cara visual dan selanjar untuk meningkatkan pemahaman siswa.
2. Simulasi terhadap responden menunjukkan bahwa penggunaan thinking blocks dapat membantu menggambarkan masalah secara visual dan meningkatkan pemikiran kritis siswa.
3
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang sistem persamaan linier tiga variabel di kelas X semester 1. Pembelajaran dilakukan melalui pendekatan saintifik dengan model pembelajaran kooperatif tipe Think Pair Share dan metode diskusi berkelompok. Tujuannya agar siswa dapat menemukan konsep dan menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel.
Dokumen tersebut merupakan spesifikasi kurikulum untuk mata pelajaran Matematik Tambahan Tingkatan 5 yang diterbitkan oleh Kementerian Pelajaran Malaysia pada tahun 2013, yang menjelaskan tujuan, objektif, organisasi kandungan dan tajuk-tajuk yang diajar dalam kurikulum tersebut."
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
Dokumen tersebut membahas kesinambungan antara berbagai komponen matematika seperti algebra, geometri, trigonometri, statistik dan kebarangkalian dengan kalkulus. Komponen-komponen tersebut saling berkaitan karena konsep-konsep seperti fungsi, graf, dan kecerunan yang muncul dalam berbagai komponen. Kalkulus juga berkaitan dengan statistik dan kebarangkalian melalui pemboleh
1. Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri, termasuk pengertian sinus, cosinus, dan tangen, rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan, rumus sudut rangkap, hubungan fungsi trigonometri, dan grafik fungsi trigonometri.
2. Dijelaskan pula hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub, nilai maksimum dan minimum, serta persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.
3. Fungsi-fungsi trigonometri sepert
El documento presenta gráficas y ecuaciones de funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente. Muestra cómo varían las funciones al cambiar su amplitud y período, y cómo se pueden modificar mediante factores como k. También incluye gráficas de funciones compuestas formadas a partir de las funciones trigonométricas básicas.
Dokumen tersebut merupakan soal-soal dan jawaban mengenai kalkulus III yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III. Dokumen tersebut berisi daftar isi, barisan tak terhingga, deret tak terhingga, deret positif, deret kuasa dan operasi deret kuasa, deret Taylor dan Maclaurin, fungsi dua peubah atau lebih, turunan parsial, limit dan kekontinuan, dan aturan rantai.
Teks tersebut membahas tentang fungsi eksponen, persamaan dan pertidaksamaan eksponen, serta grafik fungsi eksponen. Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan bilangan ke bentuk ax, dimana a adalah bilangan pokok dan x adalah eksponen. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dapat diselesaikan dengan beberapa aturan tertentu. Grafik fungsi eksponen bergantung pada nilai bilangan pokoknya, di mana
Modul ini membahas tentang persamaan dan fungsi kuadrat, termasuk cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, rumus kuadratis, dan diskriminan. Diskusi juga mencakup jumlah, selisih, dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat serta menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan akar-akarnya.
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan penerapan turunan untuk menentukan karakteristik grafik fungsi seperti fungsi naik dan turun serta titik ekstrim.
Turunan fungsi dan grafik fungsi
1. Rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri serta contoh penyelesaiannya;
2. Aturan dalil rantai untuk mencari turunan fungsi komposisi;
3. Menentukan interval naik turun fungsi dan titik stasioner berdasarkan nilai turunan.
Bertambahnya jumlah penduduk menyebabkan kebutuhan perumahan juga bertambah. Turunan fungsi merupakan konsep awal kalkulus diferensial yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan laju pertumbuhan penduduk dan kebutuhan perumahan.
Dokumen tersebut membahas tentang polinomial dan operasi-operasi dasarnya, termasuk pembagian sukubanyak, teorema sisa, dan teorema faktor. Secara khusus, dibahas tentang algoritma pembagian sukubanyak, penentuan derajat hasil bagi dan sisa, serta penggunaan teorema untuk menentukan hasil bagi, sisa, dan akar-akar suatu persamaan polinomial.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat, mulai dari mendefinisikan persamaan kuadrat, menemukan konsepnya, menentukan akar-akar dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc, serta membahas tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat merupakan persamaan aljabar yang mengandung variabel pangkat dua. Terdapat tiga cara menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc.
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran persamaan kuadrat satu peubah, mulai dari definisi persamaan kuadrat, cara menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc, serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat pula contoh soal dan latihan untuk memperkuat pemahaman materi yang diajarkan.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, mulai dari sejarahnya, pengertian, metode penyelesaian, dan contoh soalnya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linier yang masing-masing mempunyai dua variabel dan pangkat satu, serta menjelaskan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan graf
1. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
1
Konsepkalkulus.
Tidakbanyak orang yang mengetahuiataupunpernahmendengar kata tersebut. Hal
sebaliknyaapabilakitatanyakankepadamahasiswa-mahasiswauniversiti
“apaitukalkulus?”,tentunyamerekamengenalnyasebagaipelajaran paling
memeningkansambilberkerutdahi. Dapatdifahamimemang,
keranakalkulusberorientasikandenganrumus.persamaan yang aneh yang
belumpernahdilihatketika di sekolahrendah.
Kalaudilihatdarisejarahnya,
kalkulussudahmunculribuantahunlalusejaksebelummasihisebagaikonsepdasar,
dimanabanyakbangsaYunani yang
mengembangkannyaterutamagolonganpemikirternamawaktuituseperti Archimedes, Zeno,
Phytagoras, dansebagainya.Kemudian, ilmu-
ilmuitudikembangkanlebihlanjutolehparapemikirasalEropahdanTimur Tengah. Selanjutnyahal-
halpentingdalamkonsepkalkulusakhirnyamulaidibukukanpadazaman Newton dan Leibniz,
namunpadamasatersebutterjadiperdebatansiapa yang mengusulkankalkuluspertamakalinya,
apakah Newton atau Leibniz?Inikerana, buku-bukuberkaitankalkulusdibukukanpadawaktu yang
hampirsama. Salah satubahagian yang dikenalpastidisebut “kalkulusdiferensial”
danbahagianlaindisebut “Kalkulus integral”.
Laluapaperbezaankeduapembahagiankalkulustersebut.
KalkulusIntegral
berkaitandenganluasdanisipadu.Bayangkanbagaimanaandamenentukanisipadusebuah
bola?Caranyadapatditentukanbegini;kitamulaidaribentuk yang paling sederhana yang
mudahdikira, misalnyapersegipanjang.
Sepertikitatahuuntukmenghitungluaspersegipanjangcukuppanjangdikalikandenganlebar.Lalubag
aimanauntukbentukbenda yang tidak rata tidaktepatdanjugamelengkung?.
Untukmenghitungbenda yang
lebihrumitsepertiinicukupdenganmemotongmodeltersebutdenganbanyakpersegipanjangsecarak
ecil-kecilan.Namunketikamelakukanini,
kitatidakakandapatberhasilsepenuhnyakarenaakanselaluadapotongandengansisimelengkung,
umumnya. Tapikunci
ideaadalahbahawajumlahbidangpotonganempatpersegipanjangakanmenjadisangatdekatperkira
anluassebenarnya. Dengan kata lainsemakinbanyakpotongan-potongan yang kitaperolehi,
2. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
2
semakindekat pula pendekatankitauntukmendapatluasmodel yang dimaksud. Dengankalkulus
Integral akanterjawab pula darimanaangka 4/3 padaisipadu bola.
KalkulusDiferensialberkaitandenganperubahansesaat. Samaseperti di atas,
bayangkanandamenaikikereta.Misalkanandainginmengetahuiposisiandasetiapsaatselamaperjal
anan. Padaakhirperjalanan, Andamenyedaribahawasetiapsaatselamaperjalanananda, meter
halajukenderaananda menunjukkanhalajukenderaananda. Dari
sinimunculpertanyaanapakahsayaselakupemandudapatmerekodhalajumenunjukkansetiapsaat?
Jawabannyaya, Andadapat,
dankalkulusdiferensialmenyediakansebuahmethoduntukmelakukanhalini.
Ideadasardarikalkulusdiferensialdaricontoh di atasadalahkitainginmenghitunghalaju yang
tercatat di meter halajupadakenderaanyang sedangdibawadenganlaju yang
samaatasseluruhjarak. Kemudian, denganmudahandadapatmenggunakanrumus:
halajusamadenganjarakdibagiwaktu.
Ternyatabiladikajikalkulusdekatsekalidengankehidupansehari-hari,
wajarlahkalkuluslahirdanberkembangmengikutiperadabanmanusia yang
membangundanmanusiasemakinbanyakmembangunkerananya.
Penggunaankalkulusdalamkehidupanseharian.
Kalkulusdigunakan di setiapcabangsainsfizik, sainskomputer, statistik, teknik, ekonomi,
perniagaan, kedoktoran, kependudukan, danbidang-bidanglainnya. Setiapkonsep di
mekanikaklasiksalingberhubunganmelaluikalkulus.Massadarisebuahbendadenganmassajenis
yang tidakdiketahui, momeninersiadarisuatuobjek,
danjumlahtenagadarisebuahobjekdapatditentukandenganmenggunakankalkulus.
Dalamsubdisiplinlistrikdanmagnetisma, kalkulusdapatdigunakanuntukmencari total
fluksdarisebuahmedanelektromagnetik . Contohsejarahlainnyaadalahpenggunaankalkulus di
hukumgerak Newton, dinyatakansebagailajuperubahan yang merujukpadaturunan:
Lajuperubahanmomentum darisebuahbendaadalahsamadenganhasilgaya yang
bekerjapadabendatersebutdenganarah yang sama.
3. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
3
Selaindariitu,rumusumumdarihukumkedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
menggunakanperumusankalkulusdiferensialkeranapercepatanbolehdinyatakansebagaiturunand
arikecepatan. Teorielektromagnetik
MaxwelldanteorirelativitasEinsteinjugadirumuskanmenggunakankalkulusdiferensial.
Terimakasihdiucapkankepadapensyarahpembimbing yang
telahbanyakmembeimbingsayadalammenyempurnakantugasaninitepatpadamasanya.Sebagaip
elajar yang menuntutdidalampengajianmatematik,
wajarsayakatanakanbahawakalkulusasasinibanyakmembantuparailmuwanmatematikdansaintis
kitamelakukankajian yang lebihmendalamwalaupunadatajuk-tajuk yang
sukaruntuksayafahamicarapenyelesaiannya.
Sepanjangmelakukantugasanini,
sayamengalamipelbagaibentukcabaranminda.Inikeranajujurnyabahawatugasaninisayatidakbole
haplikasikankepadamurid-muridsaya yang
masihmentahilmupengetahuannya.Tugasaninisesuaiuntuksayafahamdantahukepentingankalkul
usasasdalamkehidupansehariankita yang selamainidilingkaridenganteknologimaklumat,
teknologipembuatandanteknologimakanan.SemuanyaberkisarkankepadaMatematikdansainsse
mata-mata.
Akhirsekali, sayamengucapkanberbanyak-banyakterimakasihkepadarakan-rakan yang
sudiberkongsiilmupengetahuanketikamenyiapkantugasanini, sokonganahlikeluarga yang
tidakberbelahbahagiadisaatfikiranmulabercelarudengankiraan yang panjang, sertasesiapajua
yang membantusecaralangsungmahupuntidak.
SEKIAN, TERIMA KASIH,.
4. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
4
Soalan 1:
Diberifungsi f:x →2x + 5 danfg:x →13 – 2x. Carikan
a) Fungsi g(x)
fg(x) = f [ g (x) ]
13 – 2x = 2 [ g (x) ] + 5
13 – 2x - 5 = 2 [ g (x) ]
8 – 2x = 2 [ g (x) ]
–
= g (x)
= g (x)
4 – x = g (x)
Jadi, g (x) = 4 - x
5. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
5
b) Fungsigf(x)
gf (x) = g [ f (x) ]
= 4 – f (x)
= 4 – ( 2x + 5 )
= 4 – 2x – 5
= -1 – 2x
Jadi, gf (x) = -1 – 2x
c) Nilaigf(2)
Jikanilaigf (2), maka
gf (x) = -1 – 2x
gf (2) = -1 – 2 (2)
= -1 – 4
= -5
Hasilnyaadalah-5.
Soalan2 :
Diberifungsif : x → x + 3. Jikafungsigubahangfialahgf : x → x² + 6x + 4, carikan
a) Fungsi g (x)
6. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
6
gf (x) = g [ f (x) ]
x² + 6x + 4 = g [ x + 3 ]
y = x + 3 x = y – 3
g (y) = ( y – 3 )² + 6 ( y – 3 ) + 4
= (y² - 6y + 9 ) + 6y – 18 + 4
= y² - 6y + 6y + 9 – 18 + 4
= y² - 5
Jadi, g (x) = x² - 5
b) Nilai g² (0)
g² (x) = g g (x)
= g [ g (x) ]
= ( x – 5 )² - 5
= x² - 10x + 25 – 5
= x² - 10x + 20
g² (0) = 0² 10 (0) + 20
= 20
Jadi, nilainyaadalah20.
Soalan 3:
Diberifungsif : x → x + 4 , danfungsi g : x → , Carikan
a) (x)
7. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
7
(x) = y
f (y) = x
y + 4 = x
y = x – 4
Jadi, (x) = x – 4 .
b) Nilai g (3)
g (x) =
=
= – 4
=
Nilainyaadalah .
Soalan4 :
Diberif : x → dan fungsi songsang : x → carikan
a) Nilai h dannilai k
(x) =
y =
y ( 2 – x ) = 3x + 1
2y – xy – 1 = 3x
2y – 1 = 3x + xy
2y – 1 = x ( 3 + y )
= x
8. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
8
=
Jadi, nilaih = 2dannilaik = 1.
b) Nilai x dengankeadaan f (x) = 3
f (x) =
= 3
= 3 ( x + 3 )
= 3x + 9
= 9 + 1
= 10
= -10
Jadi, nilaix = -10 .
Soalan1 :
Bezakansetiapungkapanberikutterhadap
a)
=
=
b) ( 3x – 4 )²
= 2 (3x – 4) (3)
9. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
9
= 6 (3x – 4)
= 18x – 24
c) 3x²
u = 3x² v =
du = 6x dv =
= 15x² (x + 2)⁴ + 6x
d)
u = x² - 1
du = 2x
v = 4x + 1
dv = 4
=
=
=
=
10. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
10
e) (3x² - 1)
v =
du = 6x dv =
=
= (3x² - 1) + (6x)
f)
g)
h)
11. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
11
i)
Soalan2 :
Jika y = x² + 4x ,tunjukkanbahawa
4x² - 4x² - 8x + 8x
= 0
Soalan3 :
Jika tunjukkanbahawa
12. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
12
Soalan4 :
Carikanpersamaantangendangaris normal kepadalengkung y = x² - 8x + 12 dititik (5, -3).
Soalan1 :
Soalan2 :
15. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
15
Soalan7 :
Carikanluasarantau yang dibatasiolehlengkung dan paksi-x.
Apabila y = 0
x (x – 2)(x – 3) = 0
maka x = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = 0 atau x = 2 atau x = 3
jadi, lengkung y = x (x – 2)(x – 3) menyilangpaksi-x pada x = 0, x = 2 dan x = 3.
Luasrantau A
Luasrantau B =
16. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
16
Soalan8 :
Carikanluasrantau yang dibatasiolehlengkung dan garis lurus .
Mencarititik-titikpersilangan :
y = 3x ………………………………(1)
y = x (8 – x) ………………………..(2)
gantikan (1) dalam (2).
3x = x (8 – x)
= 8x - x²
x² - 5x = 0
x(x – 5)= 0
x = 0 atau x – 5 = 0
x = 5
Apabila x = 0, y = 0
17. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
17
Apabila x = 5, y = 3(5) = 15
Jadi, titik-titikpersilanganialah (0,0) dan (5,15).
Luasbentuk OABC
-------------------
Jadi, luasrantau yang dikehendaki = luasrantauberlorek
= luasbentuk OABC – luassegitiga OBC
Soalan9 :
Carikanisipadubongkahperkisaranapabilaluas yang dibatasiolehlengkung ,
diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-x.
X = 1 x = 2
18. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
18
Soalan10 :
Carikanisipadubongkahperkisaranapabilaluas yang dibatasiolehlengkung ,
diputarkan melalui empat suduttegakpadapaksi-y.
y = 2 y = 1 y = 3 y =
Isipadujanaan
19. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
19
Soalan11 :
Denganmenggunakankaedah gentian, carikan
1 et u = x² - 1
du = 2x dx
= x dx
20. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
20
Soalan12 :
Denganmenggunakankaedah integration by parts, carikan .
Soalan13 :
Cariluasrantau yang dibatasiolehlengkung dangarislurus .
21. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
21
Soalan 1:
Pecutansuatuzarah yang bergerakmengikutsatugarislurusadalahdiberioleh .
Diberibahawaapabila , carikan
(a) Halajuzarahituapabila t = 3s
(b) Sesaranzarahituapabila t = 2s
22. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
22
Soalan 2:
Satuzarahbergerakmengikutsatugarislurusdansesarannya, meter, darisatutitiktetap o
diberioleh , di mana ialahmasadalamsaatselepasmelalui o. Hitungkan.
(a) Halajuzarahituapabila t = 3s
(b) Pecutanzarahituapabila t = 4s
(c) Sesaranzarahituapabilazarahituberhentiseketika.