1. MATH
ASAS PEMBEZAAN
Pengenalan Kepada Pembezaan
1. Note Penting:
xn 
d
 nx n 1 }jika ia ungkapan x n maka bila beza kita akan tulis
d
dx dx
y  xn 
dy
 nx n 1 }jika ia persamaan y  x n maka bila beza kita akan tulis
dy
dx dx
f x   x n  f ' x   nx n1 } jika ia fungsi f x  x n
maka bila beza kita akan tulis f ' x 
Pembezaan Prinsip Pertama
1. Jika y  f x  , maka
 had f x  x   f x 
dy
dx x  0 x
2. Soalan Contoh
a. f x   x
f ' x   had
x  x   x
x  0 x
had x  x  x

x  0 x
had x

x  0 x
1
b. f  x   3x
 3x  x   3x 
f ' x  had
 
x  0  x 
had  3x  3x  3x 
  
x  0  x 
 had  3x 
x  0  x 
 
3
Dxsuki

2. MATH
c. f x   x 2
had  x  x   x 
2 2
f ' x    
x  0  x 
had  x  2 xx  x  x 
2 2 2
  
x  0  x 
 2 xx  x 2 
 had  
x  0  x 
2 xx x 2
 had 
x  0 x x
had
 x  0 2 x  x
had
 x  0 2 x  0
 2x
d. f x   2x 2
had  2x  x 2 2 x 2 
f ' x  
x  0 
 x 

 had 
 
 2 x 2  2 xx  x 2  2 x 2 

x  0  x 
 2 x 2  4 xx  2x 2  2 x 2 
 had  
x  0  x 
had 4 xx  2x 2

x  0 x
4 xx 2x 2
 had 
x  0 x x
had

x  0 4 x  2x
 had 4 x  20
x  0
 4x
Dxsuki

3. MATH
e. y  3x 2  x  1
dy

 
had 3x  x 2  x  x   1  3x 2  x  1
dx x  0 x
 had
2
 2

3 x  2 xx  x  x  x  1  3x 2  x  1
x  0 x
had 3x  6 xx  3x  x  x  1  3x  x  1
2 2 2

x  0 x
had 6 xx  3x  x
2
 x  0
x
6 xx 3x 2 x
 had  
x  0 x x x
 had 6 x  3x  1
x  0
6 x  30  1
had

x  0
 6x  1
f x  
1
f.
x
1 1

f ' x  
had x  x x
x  0 x
had x  x  x 

x  0 xx  x x 
 x
 had
x  0 x  xxx 
2
1
 had
x  0 x  xx
2
1
 had
x  0 x  x0
2
1
 2
x
Dxsuki

4. MATH
g. y x
dy had x  x  x

dx x  0 x
had x  x  x x  x  x
 x  0 
x x  x  x
had x  x  x


x  0 x x  x  x  Gunakan
x Konjugat
 had

x  0 x x  x  x 
1
 had
x  0 x  x  x
1
 had
x  0 x  0  x
1

x x
1

2 x
h. y  x 1
dy x  x   1  x 1
 had
dx x  0 x
had x  x   1  x 1  x  x   1  x 1
 
x  0 x  x  x   1  x 1
x  x  1  x  1
 had

x  0 x x  x  1  x  1 
1
 had
x  0 x  x  1  x  1 Gunakan
1 Konjugat
 had
x  0 x  0 1  x 1
1

2 x 1
3. Soalan Latihan :
1. y  5x 2 2. y  x2  x  3
3. 1 4. 1
y y 2
x2 3x
5. y  x 2  5x 6. y  2 x 2  3x  1
7. y  2x 8. y  x 1
Dxsuki

5. MATH
Pembezaan Fungsi Algebra
A) Petua Asas Pembezaan
y  xn dy
 nx n 1
dx
y  ax n dy
 anx n 1
dx
yk dimana k ialah pemalar dy
0
dx
Contoh Soalan
1. y  9x 2. y  t3
dy dy
9  3t 2
dx dt
3. y  3x 4 4. y  x5
  34 x 41
dy dy
 5 x 51
dx dx
 12x 4  5x 4
5. 7 2 6. 3
y x y
8 4x 2
dy 7 3 1 3
  2 x 2 1   2   x2
dx 8 4 x 4
7 dy 3
 x   2 x 21
4 dx 4
3 3
   x 3   3
2 2x
7. y5 8. 1
y
dy 2
0
dx dy
0
dx
Soalan Latihan :
1. x4 2. y7
3. y  3x 2 4. y  t5
5. 6.
f x  
7 5 6
y 4 x
3x 3
7. f x   7 3 8.
y
1
4x3
Dxsuki

6. MATH
B) Pembezaan Hasil Tambah
y uv dy du dv
 
dx dx dx
Contoh Soalan
1. y  2x 5  x 2  9 2. y  t 3  5t
dy d d 2 d dy d 3 d
 2 x5  x  9  t  5t
dx dx dx dx dx dx dx
 3t 31  51t 11
dy dy
 2  5 x 51  2 x 21  0
dx dt
 10 x 4  2 x  3t 2  5
 2 x5x 3  1
3. 3x 4  x 3  5 x 2 4. 9z  z 3
y y
2x 2 z
3x 4 x 3 5x 2 9z z 3
y 2  2  2  
2x 2x 2x z z
3 x 5 9 z 2
y  x2  
2 2 2 dy d d
 9  z2
dy 3 d 2 d x d 5 dz dz dz
 x   21
dx 2 dx dx 2 dx 2  0  2z
3 1  2z
  2 x 21  x11  0
2 2
1
 3x 
2
5. y  3x  2  kembangkan dulu
2 6.
 
2
y  x 2  2  kembangkan dulu
 9 x 2  12 x  4  x 4  4x 2  4
dy d d d dy d 4 d d
 9 x 2  12 x  4  x  4x 2  4
dx dx dx dx dx dx dx dx
 18x  12  4 x  8x
3
Soalan Latihan :
1. x 4  4x 2 2. z 15  2 z 4  4 z 3  z  6
3. 3x 2  x
6
4. t 5  4t 3  5
y y
2x 2 t3
5. 6.
f x   3  x 5 
3 2 7 1
y  7 x7
2x 5 4 14
7. y  2 x  3
2 8.

y  1 x2 
2
Dxsuki

7. MATH
C) Pembezaan Hasil Tolak
y  u v dy du dv
 
dx dx dx
Contoh Soalan
1. y  2x 2  x 3 2. y  5t  t 4  9
dy d d dy d d d
 2 x2  x3  5t  4t 4  9
dx dx dx dt dx dx dx
 2  2 x  2 x 31
21
dy
 5t 11  4t 41  0
 2x  2x 2 dt
 2 x1  x   5  4t 3
3. x 4  2 x 3  3x 2 4. 9z  z 3
y y
2x 2 z2
x4 2 x 3 3x 2 9z z 3
y 2  2  2  2  2
2x 2x 2x z z
1 x 3 9
y  x2    z
2 2 2 z
dy 1 d 2 1 d d 3 dy d d
 x  x  9 z 1  z
dx 2 dx 2 dx dx 2 dz dz dz
11
1 1
  2 x 21   1x11  0  1  9 z  z 11
2 2  9 z 2  1
1 9
 x   2 1
2 z
5. y  2  x   kembangkan dulu
2
 4  4x  x 2
dy d d d 2
 4  4x  x
dx dx dx dx
 4  2 x
 2x  2
Soalan Latihan :
1. 5 x 4  x 2 2.
y
x  2x  3
x
3. 3x  x
2 5 4. q  4q 3  5q
5
y y
2x 2 q3
5. 6.
f x   4  x 5  x f t   t 15  t 4  3  5 z  15
3 1 7 3 1
x 5 4 2 t
7. y  x  3x 
2 8.

y  1 x2 
2
Dxsuki

8. MATH
D) Pembezaan Hasil Darab
y  uv dy dv du
u v
dx dx dx
Contoh Soalan:
 Bagi soalan-soalan dibawah terdapat 2 cara untuk meyelesaikannya:
a) Kembangkan dan gunakan kaedah Pembezaan Hasil Tambah atau
Pembezaan Hasil Tolak
b) Gunakan kaedah Pembezaan Hasil Darab
 Dalam contoh soalan dibawah akan menggunakan kaedah Pembezaan Hasil Darab.
Tetapi dalam keadaan biasa boleh kembangkan dan selesaikan.
1. y  xx  1 2. y  2 x x  4 
ux v  x 1 u  2x v  x4
du dv du dv
1 1 2 1
dx dx dx dx
dy dv du dy dv du
 u v  u v
dx dx dx dx dx dx
 x1  x  11  2 x1  x  42
dy dy
dx dx
 x  x 1  2x  2x  8
 2x  1  4x  8
 4x  2
3. y  2 x  1x  3 4. 
y  x 2  2 3x  5 
u  2x  1 v  x3 u  x 2 2
v  3x  5
du dv du dv
2 1  2x 3
dx dx dx dx
dy dv du dy dv du
 u v  u v
dx dx dx dx dx dx
 2 x  11  x  32  x 2  23  3x  52 x 
dy dy
dx dx
 2x  1  2x  6  3x 2  6  6 x 2  10 x
 4x  5
 9 x 2  10 x  6
Soalan Latihan :
1. y  x 2 x  5 2. 
y  2x x 2  2 
3. y  x  43  x  4.  
y  x 2  2 3x  5
5. y  2 x  43  x  6.  
y  x 2  2 x 3x  5
Dxsuki

9. MATH
E) Pembezaan Hasil Bahagi
u du dv
y v u
v dy dx dx
 2
dx v
Contoh Soalan
1. x2
y
x 1
u  x2 v  x 1
du dv
 2x 1
dx dx
du dv
v u
dy
  dx 2 dx
dx v

x  12 x  x 2 1
x  12
2x 2  2x  x 2

x  12
x 2  2x

x  12
x x  2 

x  12
2. x2  2
y
3x  1
u  x2  2 v  3x  1
du dv
 2x 3
dx dx
du dv
v u
dy
  dx 2 dx
dx v

3x  12 x  x 2  23
3x  12
6 x 2  2 x  3x 2  6

3x  12
6 x 2  2 x  3x 2  6

3x  12
3x 2  2 x  6

3x  12
Dxsuki

10. MATH
3. 4x 2  1
y
x 4  5x
u  4x2  1 v  x 4  5x
du dv
 8x  4x3  5
dx dx
du dv
v u
dy
  dx 2 dx
dx v

x  5x 8x  4 x 2  14 x 3  5
4
x 4  5x2


8 x 5  40 x 2  16 x 5  20 x 2  4 x 3  5 
x 4
 5x 
2
8 x  40 x  16 x  20 x 2  4 x 3  5
5 2 5

x 4
 5x 
2
 8 x 5  4 x 3  20 x 2  5

x 4
 5x  2
8 x 5  4 x 3  20 x 2  5

x 4
 5x  2
4. x 2  9x
y
2x  3
u  x 2  9x v  2x  3
du dv
 2x 2
dx dx
du dv
v u
dy
  dx 2 dx
dx v

2 x  32 x  x 2  9 x 2
2 x  32
4 x 2  6 x  2 x 2  18 x 

2 x  32
4 x 2  6 x  2 x 2  18 x

2 x  32
2 x 2  24 x

2 x  32
2 x( x  12)

2 x  32
Dxsuki

11. MATH
Soalan Latihan :
1.
y
x4  5 2.
y
x  12 x 2  3  kembangkan dulu yg atas
x2  2 x2
3.
y
9 x 4.
y
2 x  32  kembangkan dulu yg atas
2x  3 2 x
F) Pembezaan Fungsi Gubahan (Petua Rantai)
y  f u  dy dy du
 *
u  g u  dx du dx
NOTA PENTING :
 Gunakan petua rantai @ fungsi gubahan nie adalah untuk persamaan yang
kuasanya > 2. (jika kuasa 2 maka persamaan itu perlu dikembangkan)
 Terdapat 2 cara untuk selesaikan persamaan yg ada kuasa > 2

Contoh : y  3x 2  2 6
o Gunakan petua rantai
katakan : u  3x 2  2 y  u6
du dy
 6x  6u 5
dx du
dy dy du
 *  PETUA RANTAI/ FUNGSI GUBAHAN
dx du dx
dy
  6u 5  6 x
dx
 
 36 x u 5
then gantikan balik nilai u tadi dgn nilai sebenar

 36 x 3x 2  2 
5
o Gunakan cara biasa (mesti tunjuk cara petua rantai dulu baru cara ini)
dy
dx
  
 6 3x 2  2
6 d
dx
3x 2  2 
2. then bezakan yang
 63x  2  6 x
1. bezakan kuasa  2 61 dalam kurungan
mula2 kuasa turunkan
dan kuasa -1
 36 x3x  2
2 5
 cara ini sesuai untuk selesaikan persamaan yang ada juga gunakan
cara Pembezaan Hasil Darab atau Pembezaan Hasil Bahagi :
3x  5
 Contoh soalan : y  3x 2  2  x  1 atau
5
y 
x3 2
 Akan diterangkan lebih lanjut selepas Petua Rantai

Dxsuki

12. MATH
Contoh Soalan PETUA RANTAI/FUNGSI GUBAHAN
1.

y  x3  3 5 2.

y  2 x 2  3x 
8
katakan u  x  3 , y  u katakan u  2 x  3x , y  u
3 5 2 8
du dy du dy
 3x 2  5u 4  4x  3  8u 7
dx du dx du
dy dy du dy dy du
 *  *
dx du dx dx du dx
 8u 7  4 x  3
dy dy
  5u 4  3x 2 
dx dx
 15x 2 u 4  gantikan balik nilai :
gantikan balik nilai : dy

 8 2 x 2  3x  4 x  3
7
dy
dx

 15 x 2 x 3  3
4
 dx
3.

y  2  x3  7 4.
y
1
maka 
y  5x 3  2 
5
katakan u  2  x , y  u
3 7 5x 3
2 
5
du dy katakan u  5x 3  2 , y  u 5
 3x 2  7u 6
dx du du dy
 15x 2  5u 6
dy dy du dx du
 *
dx du dx dy dy du
 *
dy dx du dx
  7u 6  3x 2
dx dy
  5u 6  15 x 2
 21x 2 u 6  dx
gantikan balik nilai :  75x 2 u 6 
dy

 21x 2 2  x 3 
6 gantikan balik nilai :
dx dy
dx

 75 x 2 5 x 3  2 
6
Soalan Latihan :
1. y  3x  5
11 2.

y  x2  2  5
3.

y  5 x 3  2 x 2  3x 
9 4.
y  4  2 x 3 15
5. 4 6. 12
 3   3x 5  x 3  2 x 2 
y    1 y 

 2x   x2 
7. 2 8. 1
y y

2  5x 2
6
 3x 4  2
9. 5 10. 1
y y

2 x  3  5x 2 
4
3
x 3  5x 
Dxsuki

13. MATH
Soalan Berkaitan Pembezaan – kuasa > 2
1. y  2 x  1 x 4  3
5
 
u  2 x  1 v  x4  3
5
 52 x  1  2
du dv
 4x 3
4
dx dx
 102 x  1
4
dy dv du
 u v
dx dx dx
dy
dx
 2 x  1  4 x 3  x 4  3102 x  1
5 4
 
 2 x  1 4 x 3 2 x  1  10x 4  3
4
 
 2 x  1 8x 4  4 x 3  10 x 4  30
4
 2 x  1 18x  4 x  30 Faktorkan
4 4 3
 2 x  1  29 x  2 x  15
4 4 3
 22 x  1 9 x  2 x  15
4 4 3
2.
 
y  2 x 3  3 3x  5
3 8

u  2x3  3  3
v  3x  5
8
 32 x 3  3  6 x 2  83x  5  3
du 2 dv 7
dx dx

 18x 2 2 x 3  2 
2
 243x  5
7
dy dv du
 u v
dx dx dx
dy
dx
 2 x 3  2  243x  5  3x  5 18 x 2 2 x 3  2
3 7 8 2
 

 2x 3  2 3x  5 2x  224  3x  518x 
2 7 3 2
 2 x  2 3x  5 48x  48  54 x  90 x 
3 2 7 3 3 2
 2 x  2 3x  5  x  90 x  48
3 2 7 3 2
102 Faktorkan
 2 x  2 3x  5 251x  45x  24
3 2 7 3 2
 22 x  2 3x  5 51x  45x  24
3 2 7 3 2
Dxsuki

14. MATH
3.
y
x  33
2 x 3
1 2
u  x  3
3

v  2x3  1 
2
 3x  3  1  22 x 3  1  6 x 2
du 2 dv
dx dx
 3x  3  12 x 2 2 x 3  1
2
du dv
v u
dy
  dx 2 dx
dx v
dy

2 x  12  3x  32  x  33  12 x 2 2 x 3  1
3
 
dx 2 x 3  14

 
3 2 x 3  1 x  3 2 x 3  1  x  34 x 2
2
  
2 x  1 3 4
32 x  1x  3 2 x  1  4 x  12 x 
3 2 3 3 2

2 x  1 3 4
32 x  1x  3 2 x  1  4 x  12 x 
3 2 3 3 2

2 x  1 3 4
3x  3  2 x  12 x  1
2 3 2

2 x  1 3 3
 3x  3 2 x  12 x  1
2 3 2

2 x  1 3 3
4.
y
3x 2
5  5
x 3
 1
8

u  3x 2  5 
5

v  x3 1  8
 53x 2  5  6 x  8x 3  1  3x 2
du 4 dv 7
dx dx

 30 x 3x 2  5  4

 24 x 2 x 3  1 
7
du dv
u v
dy
  dx 2 dx
dx v
dy x  1  30 x3x 2  5  3x 2  5  24 xx 3  1

3 8 4 5 7
 
dx x 3  116
Dxsuki

15. MATH

 
7
6 x x 3  1 3x 2  5 x  15  3x  54 4 3 2
x  1 3 16
6 xx  1 3x  5 5 x  5  12 x  20
3 7 2 4 3 2

x  1 3 16
6 xx  1 3x  5 5 x  5  12 x  20
3 7 2 4 3 2

x  1 3 16
6 x3x  5 5 x  12 x  25
2 4 3 2

x  1 3 9
Soalan Latihan :
1.

y  3x  5 5x 4  2
11
 5 2.

y  x 2  2 4  3x 2
5

7
3.
 3 
4
 2 x 5  3x 2 
7 4.
y
3x  18
y    1 
 

 2x   x2  3x 3
5.
y
5x  2 x  2 4 6.
y
x3
2  5x  2 6 5  2 x  4 6
Dxsuki

16. MATH
d2y d  dy 
G) Pembezaan peringkat kedua ditanda sbg yg bermakna  
dx 2
dx  dx 
 Pembezaan peringkat kedua atau peringkat tinggi ini mengkehendaki kita buat
pembezaan sebanyak 2 kali terhadap persamaan yang diberi
dy
 Mula-mula bezakan seperti biasa  (peringkat pertama) then persamaan yang
dx
d2y
telah dibezakan tadi bezakan sekali lagi 
dx 2
 Cth soalan
i. y  3x 2  2 x  1 ii. 2
f (t )  3
 2t 2  t
dy 1 
1 t
 6x   2x 2  0 f (t )  2t 3  2t 2  t
dx 2
f ' x  
d d d
 6t 4  4t  1
1

 6x  x 2
dx dx dx
4
 6t  4t  1
2 3
d y 1 
 6 x 2
dx 2
f ' ' x  
2 d d
24t  5  4
dx dx
5
 24t  4
iii. y  (2 x  1)( x  2)
 2x 2  4x  x  2
 2 x 2  3x  2
dy
 4x  3
dx
d2y
4
dx 2
Dapatkan nilai-nilai terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut apabila t = 2.
2
i. s  4t 2  3t  1 ii. s  3 3t  2 iii. s  5t 3  2t 2  t
3
Dxsuki

17. MATH
Pembezaan Fungsi Trigonometri
1. sin x d d
 sin x
dx dx
 kos x
2. kos x d d
 kos x
dx dx
  sin x
3. tan x d d
 tan x
dx dx
 sek 2 x
4. sin ax d d d
 sin ax  ax
dx dx dx
 kos ax  a
 a kos ax
5. kos ax d d d
 kos ax  ax
dx dx dx
  sin ax  a
 asin ax
6. tan ax d d d
 tan ax  ax
dx dx dx
 sek ax  a
2
 a sek 2 ax
7. sin ax  b
 sin ax  b   ax  b
d d d
dx dx dx
 kos ax  b  a 
 a kos ax  b 
8. kos ax  b 
kos ax  b   ax  b
d d d

dx dx dx
  sinax  b  a 
 a sin ax  b
9. tanax  b
tanax  b   ax  b
d d d

dx dx dx
 sek ax  b  a 
2
 a sek 2 ax  b
Dxsuki

18. MATH
Contoh Soalan
1. f x   sin x 2. f x   kos x
f ' x   kos x f ' x    sin x
3. tan x 4. y  sin 5x
d dy d d
 sek 2 x  sin 5 x  5 x
dx dx dx dx
 kos 5x  5
 5kos 5 x
5. f x   kos3x 6. y  tan 7 x
dy d d
f ' x  
d d
kos3x  3x  tan 7 x  7 x
dx dx dx dx dx
  sin 3x  3  sek 7 x  7
2
 3 sin 3x  7sek 2 7 x
7. y  5 sin 4 x 8. f x   2 tan 6 x
dy d d
f ' x   2 tan 6 x  6 x
d d
 5 sin 4 x  4 x
dx dx dx dx dx
 5kos 4 x  4  2sek 6 x  6
2
 20kos 4 x  12sek 2 6 x
Contoh Soalan
1. y  sin3x  1 2. f x   kos 5  3x 
kos3x  1  3x  1 f ' x   kos5  3x   5  3x 
dy d d d d

dx dx dx dx dx
 kos 3x  1  3   sin5  3x   3
 3kos3x  1  3 sin 5  3x 
3. y  2 tan2 x  3 4. 2
y  sin x
 2 tan2 x  3  2 x  3
d d d 5
dx dx dx dy d 2 d 2
 sin x  x
 2sek 2 x  3  2
2
dx dx 5 dx 5
 4sek 2 2 x  3 2
 kos x 
2
5 5
2 2
 kos x
5 5
Dxsuki

19. MATH
5.  1 
y  2kos1  x 
6. 
y  3 tan 2 x 2  5 
 2   3 tan2 x 2  5  2 x 2  5
dy d d
dy d  1  d  1  dx dx dx
 2 kos1  x   1  x 
dx dx  2  dx  2  
 3 sek 2 x  5  4 x
2 2

  1 
   sin1  x    
1  12 x sek 2 x  5
2
 2

 
  2  2
 1 
 sin1  x 
 2 
10. sin n x d d d d
 sin n x  sin x  x
dx dx dx dx
n 1
 n sin x kos x  1
1. Bezakan KUASA 
11. kosn x d d d d turunkan kuasa, kuasa -1
 kos n x  kos x  x
dx dx dx dx 2. Bezakan TRIGO
 n.kos x  sin x  1
n -1
3. Bezakan x atau dlm
 n kosn1 x sin x kurungan
12. tan n x d d d d
 tan n x  tan x  x
dx dx dx dx
n 1
 n tan  sek x  1
2
 n tan n1 x sek 2 x
Contoh Soalan
1. y  sin 2 2 x 2. f x   kos3 x
f ' x  
dy d d d d d d
 sin 2 x  sin x  x kos3 x  kos x  x
dx dx dx dx dx dx dx
 2 sin x  kos x  1  3kos x   sin x  1
2
 2 sin x  kos x  3kos2 x sin x
3. y  tan 2 3x 4. y  2 sin 3 5x
d d d d dy d d d
 tan 2 3x  tan 3x  3x  2 sin 3 5 x  sin 5 x  5 x
dx dx dx dx dx dx dx dx
 2 tan 3x  sek 3x  3
2
 2  3 sin 5x  kos 5x  5
2
 6 tan 3x sek 2 3x  30 sin 2 5x kos 5 x
Dxsuki

20. MATH
5. f x   2kos4 3x  1
f ' x   2 kos 4 3 x  1 kos3 x  1  3x  1
d d d
dx dx dx
 2  4kos3 3x  1   sin3x  1  3
 24kos3 3x  1sin3x  1
6.  
y  2 tan 3 2 x 2  1
 2 tan 3 2 x 2  1  tan2 x 2  1 2 x 2  1
dy d d d
dx dx dx dx
  
 2  3 tan 2 x  1  sek 2 x  1  4 x
2 2 2 2

   
 24 x tan 2 2 x 2  1 sek 2 2 x 2  1
13. sek x d
sek x  sek x tan x
dx
14. kosek x d
kosek x  kosek x kot x
dx
15. kot x d
kot x  kosek 2 x
dx
CONTOH SOALAN
1. y  sek 4 x
KAEDAH 1 (PETUA RANTAI) KAEDAH 2 (CARA MUDAH)
Katakan: y  sek 4 x
u  sek x y  sek 4 x dy d d d
 sek 4 x  sek x  x
du dx dx dx dx
 sek x tan x y  u4
dx  4sek 3 x  sek x tan x  1
dy
 4u 3  4 sek 4 tan x
du
dy dy du
 
dx du dx
dy
 4u 3  sek x tan x
dx
 4sek 3 x sek x tan x
 4 sek 4 tan x
Dxsuki

21. MATH
2. y  kosek 3 2 x
KAEDAH 1 (PETUA RANTAI) KAEDAH 2 (CARA MUDAH)
Katakan: y  kosek 3 2 x
u  kosek 2 x y  kosek 3 2 x dy d d d
 kosek 3 2 x  kosek2 x 2 x
du dx dx dx dx
 2kosek 2 xkot 2 x y  u3
dx  3kosek 2 2 x  kosek2 xkot2x  2
dy
 3u 2  6kosek 3 2 x kot 2 x
du
dy dy du
 
dx du dx
dy
 3u 2  2kosek 2 xkot 2 x
dx
 6u 2 kosek 2 x kot 2 x
 6 kosek 2 2 x  kosek 2 x kot 2 x
 6kosek 3 2 x kot 2 x
NOTE PENTING !!!
1. PEMBEZAAN dilaksanakan mengikut ARAHAN yang diberi.

2. CARA MUDAH bagi soalan seperti y  2 sin3 3x 2  1 ialah 
a. Letakkan 2 dihadapan
b. Bezakan kuasa  turunkan kuasa dan kuasa -1
c. Bezakan trigo (abaikan kuasanye)
d. Bezakan x atau yang dalam kurungan

y  2 sin 3 3x 2  1
dy
dx
d

 2 sin 3 3x 2  1
dx
d
dx
 
sin 3x 2  1
d
dx
 
3x 2  1 
  
 2  3 sin 3x  1  kos 3x  1  6 x
2 2 2


 36 x sin 2 3x 2  1 kos 3x  1
2

Dxsuki

22. MATH
3. Cara mudah diatas boleh digunakan tidak kira sama ada kena gunakan kaedah HASIL
TAMBAH, HASIL TOLAK, HASIL DARAB atau HASIL BAHAGI.
 
y  sin 2 3x 2kos5x 2 
u  sin 2 3x v  2kos5x 2
du dv
 2 sin 3x  kos3x  3  2   sin 5 x 2  10 x
dx dx
 6 sin 3xkos3x  20 x sin 5x 2
dy dv du
u v  gantikan/masukkan nilai
dx dx dx
dy
dx
    
 sin 2 3x  20 x sin 5 x 2  2kos5 x 2 6 sin 3xkos3x 
 20 x sin 2 3x sin 5 x 2  12 kos 5x 2 sin 3x kos 3 x
Contoh Soalan
Dengan menggunakan Teknik Pembezaan Fungsi Trigonometri, bezakan y terhadap x.
i. y  2 sin 2 (2 x 2  1)kos4 x ii. y  sek 4 x tan3 2 x
sin 3 5 x sek 5 x
iii. y iv. y
kot2 x 2 2kos3x
v. y  sin 3 4 x vi. y  kos6 2 x
vii. y  tan 2 3x viii. 
y  kos2 x 2  1 
2
2 tan 4 x
ix. y  3kos4 3z  1  sin 5 3z x. y

sin 4 2  x 2 
Dxsuki

23. MATH
Pembezaan Fungsi Logarithma
ln x  log e x
1. ln x d 1
ln x 
dx x
2. lnax  b d d
 lnax  b CARA MUDAH UTK INGAT !!!
dx dx 1. bezakan x atau yg dlm kurungan
a (letak diatas)

ax  b 2. buat garisan ‘per’
3. salin balik yg dlm kurungan
(letak dibwh garisan ‘per’)
Notes
a) lnxy   ln x  ln y
b) x
ln  ln x  ln y
y
c) ln xn  n ln x
d) ln x 2  lnxx 
 ln x  ln x
 2 ln x
Pembezaan Fungsi Eksponen
1. y  ex d x
e  ex CARA MUDAH UTK INGAT !!!
dx 1. bezakan kuasa
2. d ax
y  eax (letak didepan/sebelah kanan
e  ae ax tanda ‘=’)
dx 2. salin balik keseluruhan eksponen
3. d axb
y  eaxb tadi
e  ae axb
dx
Notes
a) xy
e  exey
b)
x yex
e  y
e
c) 1
e 1  x
e
Dxsuki

24. MATH
Contoh Soalan Logaritma
1. y  ln x 2. y  ln x 2
dy 1 dy 2 x
 
dx x dx x 2
2

x
3. y  ln 2 x y  ln 2 x
 ln 2  ln x ATAU dy 2

dy d d dx 2 x
 ln 2  ln x
dx dx dx 1

1 x
 0
x
1

x
4. 2 2
y  ln y  ln
x x
 ln 2  ln x ATAU y  ln 2 x 1
dy d d
 ln 2  ln x dy  2 x 2
dx dx dx 
dx 2 x 1
1
 0 2 2
x  2 
x x
1
 2 x
x  2 
x 2
1

x
5. y  ln 2 x  3 6. 
y  ln 2 x 3  3
dy 2 dy 6x
  3
dx 2 x  3 dx 2 x  3
Dxsuki

25. MATH
7.  
y  ln 3x 2 2 x  1 8.
y  ln
3x 2
 
 ln 3x 2  ln 2 x  1 2x  1
 ln 3x 2   ln 2 x  1
 ln 3x 2   ln 2 x  1
dy d d
 ln 3x 2   ln 2 x  1
dx dx dx dy d d
6x 2 dx dx dx
 2 
3x 2x  1 6x
 2 
2

6 x2 x  1  2 3x 2   3x 2x  1
 
3x 2 2 x  1 6 x2 x  1  23x 2 

12 x 2  6 x  6 x 2 3x 2 2 x  1

 
3 x 2 2 x  1 
12 x 2  6 x  6 x 2
18 x 2  6 x  
3x 2 2 x  1

 
3x 2 2 x  1 
6x 2  6x
6 x3x  1  
3x 2 2 x  1
 6 xx  1
 
3x 2 2 x  1 
 
3x 2 2 x  1
9. 
y  ln 2 x 3  3  2 10. y  ln 3x
 2 ln 2 x 3  3
1
 ln 3x 2
dy 6x 2 1
 2 3  ln 3x
dx 2x  3 2
12 x 2 dy 1 3
 3  
2x  3 dx 2 3x
1

2x
11. y  ln x  Petua rantai
2
ATAU u  ln x y  u2
 ln x   ln x
dy d 2 d
du 1 dy
dx dx dx   2u
1 dx x du
 2 ln x 
x
dy dy du

2 ln x  
x dx du dx
dy 1
 2u 
dx x
2u

x
2 ln x

x
Dxsuki

26. MATH
13. y  ln ln 2 x  14. y  ln 4 x
u  ln 2 x y  ln u 1
u  ln 4 x yu 2
du 1 dy 1
  du 1 dy 1  12
dx x du u   u
dx x du 2
dy dy du
  dy dy du
dx du dx  
dx du dx
dy 1 1
  dy 1 1
dx u x  1

dx 2u 2 x
1
 1
xu 
1 2x u

x ln x 1

2 x ln 4 x
15. 1
 3x  1  3
y  ln  2 
2 x 
1  3x  1 
 ln  
3  2  x2 

 ln 3x  1  ln 2  x 2
1
3
 
dy 1  d
dx 3  dx
d 
  ln 3x  1  ln 2  x 2   
dx 
1 3 2x 
  
3  3x  1 2  x 2 

 
1  3 2  x 2  2 x3x  1
 
3  3x  1 2  x 2

  
1  6  3x  6 x  2 x 
2 2
 
3  3x  12  x 2  

1  6  3x 2  6 x 2  2 x 
 
3  3x  1 2  x 2  


1   9x 2  2x  6 
 
 
3  3x  1 2  x 2  
 9x  2x  6
2


33x  1 2  x 2 
Dxsuki

27. MATH
Contoh Soalan Eksponen
1. y  ex 2. y  e 2x
dy dy
 ex  2e 2x
dx dx
3 2
4. 2
1
y  e 2x y  e 2x
dy 2 dy 2
 4e 2x  4e 2x 1
dx dx
5. y  3e 3x 6. y  e3x2y
dy y  e3x  e2y
 3  3e 3x
dx dy d 3x d 2y
 e  e
 9e 3x
dx dx dx
 3e 3x  2e 2y
 6e 3x2y
7. y  e3x2y 8. y  lne 2x
e 3x u  e2x y  lnu
y  2y du dy 1
e  2e 2x 
d 3x dx du u
e
dy dx
 dy dy du
dx d 2y  
e
dx dx du dx
3e 3x dy 1
 2y   2e 2x
2e dx u
3 2e 2x
 e 3x 2 y 
2 u
2e 2x
 2x
e
2
Dxsuki