1. บทที่ 4
พาราโบลา (12 ชั่วโมง)
4.1 สมการของพาราโบลา (2 ชั่วโมง)
4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)
4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)
4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)
4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)
ในบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความรูเกี่ยวกับพาราโบลาและการเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการอยูในรูป
y = ax2
+ bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 เทานั้น เนื้อหาของบทนี้สวนใหญ
เสนอไวในรูปกิจกรรมที่ใหความรูเปนลําดับขั้นตอนของเนื้อหาที่สัมพันธ จากรูปอยางงายไปสูสมการของพารา
โบลา y = ax2
+ bx + c ดังที่ปรากฏในแตละหัวขอขางตน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรใหนัก
เรียนไดทํากิจกรรมทุกกิจกรรมตามลําดับ เพื่อใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณ เพื่อ
นําไปสูขอสรุปที่เปนลักษณะทั่วไปของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการในแตละกิจกรรมซึ่งเชื่อมโยงตอเนื่อง
กัน และสามารถนําความรูไปแกปญหาที่กําหนดใหได
ในการจัดการเรียนการสอนเรื่องนี้ ครูและนักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณเชิงกราฟหรือคอมพิวเตอรที่มี
โปรแกรมการเขียนกราฟ มาประกอบการเรียนการสอนเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ หาความสัมพันธระหวางสมการ
ของพาราโบลาและกราฟพาราโบลา ซึ่งจะชวยใหนักเรียนไดพบตัวอยางที่หลากหลายและหาขอสรุปไดเร็วขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได
2. บอกลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได

2. 51
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 สมการของพาราโบลา (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถบอกไดวาสมการที่กําหนดใหเปนหรือไมเปนสมการของพาราโบลา
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการนําเขาสูบทเรียน ครูอาจสนทนาใหนักเรียนสังเกตสิ่งแวดลอมและสิ่งกอสรางรอบตัวที่มี
ลักษณะเปนพาราโบลา เชน สายเคเบิ้ลที่ขึงโยงสะพานแขวน สายน้ําพุที่พุงขึ้นในชวงเวลาตาง ๆ ดังที่เสนอไวใน
บทนําของหัวขอนี้ จากนั้นจึงแนะนําลักษณะกราฟพาราโบลาในทางคณิตศาสตร ดังตัวอยางกราฟพาราโบลา
หงายและพาราโบลาคว่ําที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 94 และหนา 95 ซึ่งนักเรียนเคยพบมาแลวในหนังสือเรียน
สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 เรื่อง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว
ครูอาจใชการถามตอบและยกตัวอยางสมการเชิงเสนสองตัวแปร กราฟของสมการเชิงเสนสอง
ตัวแปร เปรียบเทียบกับสมการของพาราโบลาและกราฟพาราโบลาขางตน เพื่อโยงไปสูรูปของสมการของ
พาราโบลาและกราฟที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และ
a ≠ 0
2. กิจกรรม “ลองคิดดู” มีเจตนาใหนักเรียนตระหนักวา เมื่อเขียนสมการในรูป y = ax2
+ bx + c
ควรเขียน a ≠ 0 เสมอ เพราะถา a = 0 แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรซึ่งมีกราฟเปนเสนตรง
3. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” มีเจตนาใชเพื่อตรวจสอบความรูความเขาใจเกี่ยวกับสมการของ
พาราโบลาในขอ 1 ขอยอย 5) และขอยอย 6) ครูควรแนะนําใหนักเรียนเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูป
y = ax2
+ bx + c กอน แลวจึงระบุคา a, b และ c ดังตัวอยาง
กําหนดสมการ 2y = 3x – x2
– 5
เขียนเปน y = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
- x2
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
3
x + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
5
-
จะได a = 2
1- , b = 2
3 และ c = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
5
-

3. 52
4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 ได
2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 ได
3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 ได
4. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2
เมื่อ a > 0 และ a < 0 ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดเนื้อหาเกี่ยวกับพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 ซึ่งเปนสมการของ
พาราโบลาที่สามารถเขียนกราฟไดงาย ในกรณีนี้ครูชี้ใหนักเรียนเห็นวาเมื่อกําหนด a ≠ 0 จะแยกพิจารณา
สมการเปน 2 กรณี คือ เมื่อ a > 0 และ a < 0
2. กิจกรรม “กราฟของ y = x2
” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตลักษณะของกราฟของสม
การ y = ax2
เมื่อ a = 1 ในกิจกรรมนี้นักเรียนจะไดพบคําบางคําที่เกี่ยวของกับกราฟพาราโบลา ซึ่งไดแก แกน
สมมาตรของพาราโบลา จุดต่ําสุดของกราฟ จุดสูงสุดของกราฟ คาต่ําสุดของ y และคาสูงสุดของ y เพื่อใชคํา
เหลานี้ในกิจกรรมตอ ๆ ไป
นอกจากครูจะใหนักเรียนตอบคําถามที่กําหนดใวในกิจกรรมแลว ครูควรใหนักเรียนพิจารณากราฟ
และเกิดความรูสึกเชิงกราฟเชนในกรณี x > 0 เมื่อคา x เพิ่มขึ้นทีละ 1 คา y ที่เพิ่มขึ้นในแตละครั้งเปลี่ยน
แปลงเปนอยางไร หรือในกรณี x < 0 เมื่อคา x ลดลงทีละ 1 คา y ที่เพิ่มขึ้นในแตละครั้งเปลี่ยนแปลงเปน
อยางไร และมีผลทําใหลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = x2
เปนอยางไร ทั้งนี้เพื่อใชความรู
และขอสรุปที่ไดไปเปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = ax2
เมื่อ a > 0 ตอไป
3. กิจกรรม “กราฟของ y = ax2
เมื่อ a > 0” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษา สํารวจ สังเกตและ
เปรียบเทียบกราฟของสมการ y = ax2
เมื่อ a > 0 และ a มีคาตาง ๆ กัน เพื่อสรางขอความคาดการณที่นําไปสู
ขอสรุปลักษณะกราฟพาราโบลา y = ax2
เมื่อ a > 0 ครูอาจใหนักเรียนสังเกตคา a ในสมการ y = ax2
เมื่อ
a > 0 มีผลทําใหกราฟทั้งสามบานมากหรือบานนอยตางกันอยางไร แตไมควรนําประเด็นคําถามเกี่ยวกับการบาน
ของกราฟไปวัดผลและประเมินผล
4. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = -x2
” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
เมื่อ a < 0” เปน
กิจกรรมที่มีสาระในทํานองเดียวกันกับกิจกรรมที่กลาวมาแลวขางตน ครูอาจใหนักเรียนศึกษากันเปนกลุมและ
นําผลสรุปมาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียน หลังจากจบกิจกรรมนี้แลวนักเรียนควรบอกลักษณะสําคัญ ๆ ของกราฟ
y = ax2
เมื่อ a > 0 และกราฟ y = ax2
เมื่อ a < 0 ในแงที่มีลักษณะเหมือนกันและแตกตางกันได เชน บอก
ไดวากราฟมีแกน Y เปนแกนสมมาตรเหมือนกัน ถา a > 0 กราฟเปนพาราโบลาหงาย แตถา a < 0 กราฟเปน
พาราโบลาคว่ํา เปนตน

4. 53
5. สําหรับกิจกรรม “ภาพสะทอน” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวากราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ
y = ax2
และ y = -ax2
เมื่อ a > 0 ที่สัมประสิทธิ์ของ x2
ในสมการทั้งสองเปนจํานวนตรงขามกัน จะทําให
ไดกราฟทั้งสองเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน ครูอาจใหนักเรียนใชกระดาษลอก
ลายตรวจสอบกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 3x2
และ y = -3x2
วาเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกันหรือไม
หลังจากนั้นครูควรใชคําถามเชื่อมโยงความรูตอ เชน เมื่อกําหนดกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2
บน
ระนาบในระบบพิกัดฉาก นักเรียนจะเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -2x2
บนแกนคูเดียวกันใหไดรวด
เร็ว นักเรียนจะทําไดอยางไร ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนไดรูจักนําความรูเกี่ยวกับการสะทอนมาใชใหเปนประโยชน
6. สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ขอ 1 ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตคา x และคา y ในตารางวาการหาคูอันดับ
ที่สอดคลองกับสมการ คูอันดับแรกควรไดจากการแทนคา x ในสมการดวย 0 จะหาคา y ไดงายที่สุด และดวย
ความรูเกี่ยวกับแกนสมมาตรเมื่อแทนคา x ดวยจํานวนตรงขามกัน เชน 1 และ -1 จะได y เปนจํานวนเดียวกัน
นักเรียนควรใชความรูนี้มาชวยหาคา y เติมในตาราง ซึ่งจะไดคูอันดับที่สอดคลองกับสมการเร็วขึ้น
ในการเขียนกราฟพาราโบลาครูควรใหนักเรียนใชกระดาษกราฟ เพราะจะชวยใหเขียนกราฟไดรวด
เร็วและชัดเจน ในขั้นตนนี้ควรแนะนําใหนักเรียนกําหนดหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Y เปนหนวย
เดียวกัน ควรเขียนตารางแสดงคา x และ y ประกอบการเขียนกราฟดวย ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเลือกกําหนด
คา x เปนจํานวนเต็มที่เมื่อแทน x ในสมการแลวไดคา y เปนจํานวนเต็มดวย ทั้งนี้ควรคํานึงถึงความ
สะดวกในการเขียนกราฟดวย ครูควรย้ํากับนักเรียนเกี่ยวกับการเขียนกราฟวา เมื่อเขียนเสนผานระหวางจุด จะ
ตองพยายามเขียนใหเปนเสนโคงเรียบ
สําหรับแบบฝกหัดขอ 6 ตองการใหนักเรียนสามารถนําความรูและขอสรุปที่ไดจากแบบฝกหัดขอ
กอนหนามาวิเคราะหสมการที่กําหนดใหและอธิบายลักษณะสําคัญของกราฟพาราโบลาที่ได ครูควรใหความสําคัญ
กับกระบวนการเรียนรูกับนักเรียนโดยใหนักเรียนไดฝกเขียนกราฟ สังเกตลักษณะของกราฟพาราโบลาที่สัมพันธ
กันกับสมการแตละสมการที่กําหนดให เพื่อใหไดความคิดรวบยอดจนสามารถบอกลักษณะของกราฟจากสมการ
ไดโดยไมตองเขียนกราฟ
4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ได
2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ได
3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ได

5. 54
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูควรใหนักเรียนสังเกตสมการ y = ax2
+k เมื่อ
a ≠ 0 เปรียบเทียบกับสมการ y = ax2
เมื่อ a ≠ 0 เพื่อใหนักเรียนเห็นวาสมการ y = ax2
เปนสมการที่
สามารถเขียนอยูในรูปของสมการ y = ax2
+ k เมื่อ k = 0 นั่นเอง ดังนั้นขอสรุปเกี่ยวกับลักษณะของกราฟ
ของสมการ y = ax2
+ k จึงมีหลายอยางเหมือนกราฟของสมการ y = ax2
เชน มีแกนสมการเปนแกน Y
เหมือนกัน ลักษณะเปนพาราโบลาหงายหรือเปนพาราโบลาคว่ําเหมือนกัน กราฟจะบานมากหรือบานนอยก็
ขึ้นอยูกับคา a เชนเดียวกัน ดังนั้นในการพิจารณากราฟของสมการ y = ax2
+ k ในที่นี้จึงมุงพิจารณาที่คา k
เมื่อ k > 0 หรือ k < 0
2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
+ k, a > 0” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
+ k, a < 0”
ครูควรดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของกราฟที่กําหนดใหกับการเลื่อนขนานตาม
แนวแกน Y อาจใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายตรวจสอบความสัมพันธระหวางกราฟ เชน ลอกกราฟของสม
การ y = 2x2
แลวเลื่อนกราฟขึ้นหรือลงตามแนวแกน Y ดูวาเลื่อนไปทับกราฟของสมการ y = 2x2
+ 2 และ y
= 2x2
– 2 ไดสนิทหรือไม
หลังจากจบกิจกรรมทั้งสอง ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปลักษณะที่สําคัญของกราฟพาราโบลาที่
กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 และเชน จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ เพื่อนําความรูที่ไดไปใช
ตอไป
3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเขียนกราฟพาราโบลาในตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 วา จากสมการที่
โจทยกําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหลักษณะของกราฟในสวนสําคัญ ๆ กอน เพื่อใหการเขียนกราฟงายขึ้น จาก
ตัวอยางแสดงใหเห็นลักษณะของกราฟที่วิเคราะหไดดังในขอ 1 ถึงขอ 4 เมื่อทราบลักษณะที่สําคัญของกราฟแลว
จึงสรางตารางเพื่อกําหนดคา x ที่เหมาะสมและหาคา y ตอไป
ในการกําหนดคา x ในตารางจะสังเกตเห็นการนําหลักการที่แกน Y เปนแกนสมมาตรมากําหนด
จุดตาง ๆ ที่อยูขางเดียวกันของแกนสมมาตร โดยเริ่มกําหนดคูอันดับที่เปนพิกัดของจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของ
กราฟกอน แลวจึงกําหนดคา x ที่อยูทางซายหรือทางขวาของแกนสมมาตรเพียงดานเดียว เมื่อหาจุดที่มีคูอันดับ
สอดคลองกับสมการในตารางครบแลว ครูอาจใหนักเรียนชวยกันหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานี้ ซึ่งเปน
การใชแกนสมมาตรชวยในการหาจุดเหลานั้น
4. แบบฝกหัด 4.3 สําหรับขอ 1 ครูอาจชี้แนะใหนักเรียนใชหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Y
ตางกันได สําหรับขอ 2 มีเจตนาใหนักเรียนใชขอสรุปลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ
y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 มาวิเคราะหกราฟที่สอดคลองกับสมการที่กําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหไดโดยดู
ความสัมพันธที่คา a กับลักษณะกราฟที่เปนพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา และคา k กับจุดต่ําสุดหรือจุดสูง
สุดของกราฟที่สอดคลองกับสมการแตละสมการดวย

6. 55
4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ได
2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k
เมื่อ a ≠ 0 ได
3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. การจัดกิจกรรมการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจดําเนินกิจกรรมทํานองเดียวกันกับหัวขอ 4.3 โดยเปรียบ
เทียบสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 กับสมการ y = ax2
+ k เมื่อ a ≠ 0 ที่อาจเขียนเปน
สมการ y = a(x – 0)2
+ k แลวใหนักเรียนเปรียบเทียบกราฟของสมการที่มีคา h = 0 และ h ≠ 0 วามีความ
แตกตางกันอยางไร
2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2
” มีเจตนาใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและสราง
ขอความคาดการณเพื่อหาขอสรุปวา เมื่อ h ≠ 0 ลักษณะของกราฟพาราโบลาจะเปนอยางไรโดยใหนักเรียนเห็น
กราฟของสมการ y = 2x2
หรือ y = 2(x – 0)2
เปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
และ
y = 2(x + 1)2
บนแกนคูเดียวกัน ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2
ไปตาม
แกน X เพื่อใหนักเรียนเห็นวาคา h ในสมการ y = a(x – h)2
เมื่อ a ≠ 0 บงบอกใหทราบถึงจุดต่ําสุดของกราฟ
อยางไร
3. สําหรับตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการวิเคราะหลักษณะที่สําคัญของกราฟ
ของสมการ y = a(x – h)2
เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 กอนเขียนกราฟ เพราะจะชวยใหการเขียนกราฟงายขึ้น
และรวดเร็วขึ้น ในการเขียนกราฟดังตัวอยางที่ 1 ถึงแมในตารางจะกําหนดคา x เปนจํานวนเต็มที่อยูทางขวาของ
แกนสมมาตร ครูควรชี้ใหเห็นวาเมื่อกําหนดจุดตามคูอันดับในตารางไดแลว นักเรียนอาจใชแกนสมมาตรเปนหลัก
ในการหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานั้น
4. ในการพิจารณากราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 และ k ≠ 0 ครูอาจ
ใหนักเรียนลองใชความรูที่ทราบแลวจากกราฟของสมการ y = ax2
+ k และ y = a(x – h)2
มาคาดการณลักษณะ
ที่สําคัญ ๆ ของกราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k วานาจะเปนอยางไร จากนั้นจึงใหตรวจสอบขอความคาดการณ
นั้น โดยพิจารณากราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
, y = 2(x – 1)2
+ 2 และ y = 2(x – 1)2
– 2 แลวจึงใหนักเรียน
ทํากิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k” เพื่อยืนยันขอความคาดการณของนักเรียน
ขอสรุปของกิจกรรมนี้เปนความรูหลักที่สําคัญของเรื่องกราฟพาราโบลา เมื่อนักเรียนพบเห็นสมการ
ของพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2
+ k นักเรียนควรจินตนาการลักษณะกราฟพาราโบลาดังกลาว
ในวงความคิดได ดังนั้นครูจึงควรใหนักเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะหลักษณะของกราฟ จากสมการของพารา
โบลาในรูปแบบตาง ๆ ใหมากพอดวย

7. 56
เมื่อนํา (-12
) ออกมานอกวงเล็บ จะตอง
นํา 3 ซึ่งเปนตัวประกอบรวมมาคูณดวย
5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ข ขอ 3 มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการเชื่อมโยงความรูเรื่องการแปลง
ทางเรขาคณิตกับการเลื่อนขนานและการสะทอนของกราฟพาราโบลา เพื่อใหนักเรียนไดพัฒนาความรูและมีความ
คิดยืดหยุนในการพิจารณากราฟ ครูอาจหาโจทยในลักษณะนี้ใหนักเรียนไดทําเพิ่มเติมอีกก็ได
4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได
2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2
+ bx + c
เมื่อ a ≠ 0 ได
3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนหัวขอนี้ นักเรียนจะตองใชความรูเรื่องสมการกําลังสองใน
บทที่ 3 เกี่ยวกับการทําบางสวนของสมการใหเปนกําลังสองสมบูรณ เพื่อเขียนสมการในรูป y = ax2
+ bx + c
เมื่อ a ≠ 0 ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2
+ k ตามตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 ครูควรย้ําวิธีการคํานวณบาง
ขั้นตอนที่นักเรียนพึงระมัดระวัง เชน
จากตัวอยางที่ 1 y = 3x2
– 6x + 1
= 3(x2
– 2x) + 1
= 3(x2
– 2x + 12
– 12
) + 1
= 3(x2
– 2x + 12
) – 3(12
) + 1
จากตัวอยางที่ 2 y = -2x2
– 12x – 17
= -2(x2
+ 6x) – 17
= -2(x2
+ 6x + 32
– 32
) – 17
= -2(x2
+ 6x + 32
) – (-2)(32
) – 17
2. ครูควรอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดไดวาเมื่อโจทย
กําหนดสมการในรูป y = ax2
+ bx + c เมื่อ a ≠ 0 มาให นักเรียนจะวิเคราะหลักษณะของกราฟที่กําหนดใหนี้
ไดโดยไมตองเขียนกราฟก็ตอเมื่อตองทําสมการนั้นใหอยูในรูป y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 กอนจึงจะบอก
จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟและแกนสมมาตรไดงาย เพื่อใหนักเรียนมีทักษะในเรื่องนี้ ครูอาจหาโจทยมาให
นักเรียนทําเพิ่มเติมไดอีก
ตัวประกอบรวมเปน -2 จึงตองเปลี่ยน
เครื่องหมายในวงเล็บจากลบเปนบวก
นํา -2 ซึ่งเปน
ตัวประกอบรวมมาคูณ

8. 57
3. แบบฝกหัด 4.5 ขอ 2 ขอยอย 4) เปนคําถามทิ้งทายใหนักเรียนหาจุดตัดของกราฟบนแกน X ถาครู
เห็นสมควรที่จะเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยใชกราฟพาราโบลา ครูอาจให
ความรูเพิ่มเติมโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก็ได
4. สําหรับกิจกรรม “จานพาราโบลา” และ “สะพานแขวน” ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรู
เกี่ยวกับพาราโบลาไปใชในชีวิตจริง เปนการเชื่อมโยงสาระคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยาง
สิ่งตาง ๆ ที่อยูรอบตัวที่ใชประโยชนของพาราโบลาเพิ่มเติมอีกก็ได
5. สําหรับกิจกรรม “สูงแคไหน” และ “หาไดอยางไร” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเกี่ยวกับพาราโบ
ลาไปใชแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในกิจกรรมทั้งสองนี้ นักเรียนจะตองเขียนสมการที่
กําหนดให ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2
+ k เมื่อ a ≠ 0 กอน จะทําใหเห็นจุดสูงสุดของกราฟและชวยให
ตอบคําถามอื่น ๆ ไดงายขึ้น
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”
สมการเชิงเสนและมีกราฟเปนเสนตรง
คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”
1.
1) a = 1, b = 1 และ c = -6
2) a = -2, b = 0 และ c = 0
3) a = 1, b = 0 และ c = 9
4) a = 2
1- , b = 2 และ c = 0
5) a = 1 , b = 6 และ c = 9
6) a = -1, b = -1 และ c = 4
1-
2.
1) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2
+ bx + c ได
โดยที่ a = 1, b = 0 และ c = 0
2) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2
+ bx + c ได
โดยที่ a ≠ 0

9. 58
3) เปนสมการของพาราโบลา เพราะอยูในรูป y = ax2
+ bx + c
โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -1
4) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2
+ bx + c ได
โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = 1
5) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2
+ bx + c ได
โดยที่ a = -1, b = -2 และ c = -6
6) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2
+ bx + c ได
โดยที่ a ≠ 0
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = x2
”
1. พาราโบลาหงาย
2. 16
3. 16
4. 3 หรือ -3
5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร
6. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ
7. 0
8. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ
9. 0 ไดมาจากคา x เปน 0
10. ไมมี เพราะคา y เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไมสิ้นสุด
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
, a > 0”
1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
2. จุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0
3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานมาก แตถา a มีคามากกราฟจะบานนอย

10. 59
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = -x2
”
1. พาราโบลาคว่ํา
2. -9
3. -9
4. 4 หรือ -4
5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร
6. มีคาลดลงเรื่อย ๆ
7. 0
8. มีคาลดลงเรื่อย ๆ
9. 0 ไดมาจากคา x เปน 0
10. ไมมี เพราะคา y ลดลงเรื่อย ๆ ไมสิ้นสุด
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
, a < 0”
1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
2. จุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0
3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานนอย แตถา a มีคามากกราฟจะบานมาก
คําตอบกิจกรรม “ภาพสะทอน”
เปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน

11. 60
คําตอบแบบฝกหัด 4.2
1.
1)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2
x4
1 9
4
1 1
4
0 1
4
1 9
4
2)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2
x2
3 27
2
6 3
2
0 3
2
6 27
2
Y
X
2
2 4
6
60
-2
-2-4-6
4
-4
Y
X
2
2 4
6
60
-2
-2-4
-4
-6
4

12. 61
3)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2
x3
2- -6 -8
3 -2
3
0 -2
3 -8
3
-6
4)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2
x3
4- -12 -16
3 -4
3
0 -4
3 -16
3
-12
Y
2 4
4
60
-2
-2-4
-4
-6
2
X
-6
-12
-2
-4
-6
-8
-10
X
2 4 6 80-2-4-6-8
-14
Y

13. 62
2.
x -2 -1 0 1 2
y = 3x2
12 3 0 3 12
y = 21x3
4
3
1
3
0 1
3
4
3
1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ
3) 0 ทั้งสองสมการ
3.
x -2 -1 0 1 2
y = -4x2
-16 -4 0 -4 -16
y = 21- x4
-1 -1
4
0 -1
4
-1
Y
X
2
2 4
6
60
-2
-2-4-6
4
-4
Y
2 4
4
60
-2
-2-4
-4
-6
2
X
-6

14. 63
1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ
3) 0 ทั้งสองสมการ
4.
x -2 -1 0 1 2
y = 25x2
10 5
2
0 5
2
10
y = 25- x3 -20
3 -5
3
0 -5
3 -20
3
1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ
3) 0 ทั้งสองสมการ
5.
1) พาราโบลาหงาย พิจารณาไดจากคา a ซึ่ง a > 0
2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
3) จุด (0, 0) เปนจุดต่ําสุด
6.
1) พาราโบลาคว่ํา พิจารณาไดจากคา a ซึ่ง a < 0
2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
3) จุด (0, 0) เปนจุดสูงสุด
Y
2 4
4
60
-2
-2-4
-4
-6
2
X
-6

15. 64
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
+ k, a > 0”
1. ทับกันไดสนิท
2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
+ 2 คือจุด (0, 2) และคาต่ําสุดของ y เปน 2
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
คือจุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
– 2 คือจุด (0, -2) และคาต่ําสุดของ y เปน -2
4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
+ 2 อยูเหนือแกน X
และจุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
– 2 อยูใตแกน X
5. กราฟของสมการ y = 2x2
+ 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2
ตามแนว
แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = 2x2
– 2 เปนภาพที่ไดจาก
การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2
ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2
+ k, a < 0”
1. ทับกันไดสนิท
2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y
3. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2
+ 2 คือจุด (0, 2) และคาสูงสุดของ y เปน 2
จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2
คือจุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0
จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2
+ 2 คือจุด (0, -2) และคาสูงสุดของ y เปน -2
4. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2
+ 2 อยูเหนือแกน X
และจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2
– 2 อยูใตแกน X
5. กราฟของสมการ y = -2x2
+ 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2
ตามแนว
แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = -2x2
– 2 เปนภาพที่ไดจาก
การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2
ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย
แบบฝกหัด 4.3
1.
1) พิจารณากราฟของสมการ y = 5x2
+ 4
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, 4)

16. 65
3. แกน Y เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = 5x2
+ 4 ไดดังนี้
x 0 1 2
y = 5x2
+ 4 4 9 24
2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3x2
– 2
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, -2)
3. แกน Y เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -3x2
– 2 ไดดังนี้
x 0 1 2
y = -3x2
– 2 -2 -5 -14
X
2
4
6
8
10
12
2 4 6 80-2-4-6-8
Y

17. 66
3) พิจารณากราฟของสมการ y = - 21 23 +x
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, 2)
3. แกน Y เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = - 21 23 +x ไดดังนี้
x 0 1 2
y = - 21 23 +x 2 5
3
2
3
X2 4
4
60
-2
-2-4
-4
-6
2
-6
Y
-12
-10
X2 4 6 8-2-4-6-8
-2
-4
-6
-8
0
Y

18. 67
4) พิจารณากราฟของสมการ y = 21 - 14 x
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, -1)
3. แกน Y เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = 21 - 14 x ไดดังนี้
x 0 1 2
y = 21 - 14 x -1 3-4
0
2.
c1 เปนกราฟของสมการ y = 5x3
1 2
−
c2 เปนกราฟของสมการ y = 3x2
– 5
c3 เปนกราฟของสมการ y = -x2
+ 1
c4 เปนกราฟของสมการ y = 1x4
1- 2
+
Y
X
2
2 4
4
-6
60
-2
-2-4
-4
-6

19. 68
คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2
”
1. ทับกันไดสนิท
2. กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2
มีเสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร
กราฟของสมการ y = 2x2
มีเสนตรง x = 0 เปนแกนสมมาตร
กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร
3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2
คือจุด (0, -1)
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2
คือจุด (0, 0)
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
คือจุด (0, 1)
4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
อยูทางขวาของแกน Y
5. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2
อยูทางซายของแกน Y
6. กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2
ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย
กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2
เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2
ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย
7. กราฟของสมการ y = -2x2
มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 0)
กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2
มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 1)
กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2
มีจุดสูงสุดคือจุด (0, -1)
8. กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2
เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2
ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย
กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2
เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2
ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย
แบบฝกหัด 4.4 ก
1.
1) พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 1)2
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-1, 0)
3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

20. 69
เขียนกราฟของสมการ y = (x + 1)2
ไดดังนี้
x -1 0 1
y = (x + 1)2
0 1 4
2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3(x – 1)2
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (1, 0)
3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -3(x – 1)2
ไดดังนี้
x 1 2 3
y = -3(x – 1)2
0 -3 -12
Y
2
6
4
X2 4 60-2-4-6
8

21. 70
3) พิจารณากราฟของสมการ y = -4(x + 2)2
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 0)
3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -4(x + 2)2
ไดดังนี้
x -2 -1 0
y = -4(x + 2)2
0 -4 -16
-12
-2
-4
-6
-8
-10
X0 2 4 6 8-2-4-6-8
Y
-12
-2
-4
-6
-8
-10
X
2 4 60-2-4-6-8
Y

22. 71
4) พิจารณากราฟของสมการ y = (x – 3)2
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (3, 0)
3. เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = (x – 3)2
ไดดังนี้
x 3 4 5
y = (x – 3)2
0 1 4
2.
c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 5)2
c2 เปนกราฟของสมการ y = (x – 1)2
c3 เปนกราฟของสมการ y = (x + 3)2
c4 เปนกราฟของสมการ y = (x – 2)2
คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k”
1. ทับกันไดสนิท
2. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร
3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
+ 2 คือจุด (1, 2)
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
คือจุด (1, 0)
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
– 2 คือจุด (1, -2)
Y
2
6
4
X2 4 60-2-4-6
8

23. 72
4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
+ 2 อยูเหนือแกน X
จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2
– 2 อยูใตแกน X
5. กราฟของสมการ y = a(x – h)2
+ k เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = a(x – h)2
ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k > 0 และลงมาใตแกน X เปนระยะ
k หนวย เมื่อ k < 0
6. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2
มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 0)
กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2
+ 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 2)
กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2
– 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, -2)
7. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2
+ 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ
y = -2(x – 3)2
ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย
กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2
– 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ
y = -2(x – 3)2
ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย
แบบฝกหัด 4.4 ข
1.
1) พิจารณากราฟของสมการ y = 1
3(x – 1)2
– 2
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (1, -2)
3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = 1
3 (x – 1)2
– 2 ไดดังนี้
x 1 2 3
y = 1
3(x – 1)2
– 2 -2 5-3
2-3

24. 73
2) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2
– 3
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, -3)
3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2
– 3 ไดดังนี้
x -1 0 1
y = -(x + 1)2
– 3 -3 -4 -7
X
2
2 4
4
60
-2
-2-4-6-8
-4
Y
-12
-2
-4
-6
-8
-10
X2 4 60-2-4-6-8
Y

25. 74
3) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2
+ 3
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, 3)
3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2
+ 3 ไดดังนี้
x -1 0 1
y = -(x + 1)2
+ 3 3 2 -1
4) พิจารณากราฟของสมการ y = 1
5 (x + 2)2
+ 2
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-2, 2)
3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = 1
5(x + 2)2
+ 2 ไดดังนี้
x -2 -1 0
y =1
5 (x + 2)2
+ 2 2 11
5
14
5
2
-2
-4
X2 4 60-2-4-6-8
-6
-8
-10
Y

26. 75
2.
c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 4)2
– 1
c2 เปนกราฟของสมการ y = (x + 2)2
c3 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 4)2
c4 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 6)2
– 1
3.
1) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = 2 เปนเสนสะทอน
2) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = -1 เปนเสนสะทอน
3) แสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x – 2)2
– 5 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของ
กราฟของสมการ y = (x – 2)2
ลงมาตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย หรือ
กราฟของสมการ y = (x – 2)2
เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ
y = (x – 2)2
– 5 ขึ้นไปตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย
4) แสดงการสะทอนหรือการเลื่อนขนาน
ในกรณีแสดงการสะทอน มีแกน Y = 0 เปนเสนสะทอน
ในกรณีแสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x + 4)2
+ 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน
ของกราฟของสมการ y = (x – 4)2
+ 1 ไปทางซายมือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย
หรือกราฟของสมการ y = (x – 4)2
+ 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ
y = (x + 4)2
+ 1 ไปทางขวามือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย
แบบฝกหัด 4.5
1.
1) สมการ y = x2
+ 6x + 8
เขียนไดเปน y = (x + 3)2
– 1
พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 3)2
– 1
2
6
4
X2 4 60-2-4-6
Y

27. 76
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-3, -1)
3. เสนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = x2
+ 6x + 8 ไดดังนี้
x -3 -2 -1
y = (x + 3)2
– 1 -1 0 3
2) สมการ y = -x2
– 4x – 2
เขียนไดเปน y = -(x + 2)2
+ 2
พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 2)2
+ 2
1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 2)
3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร
4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
เขียนกราฟของสมการ y = -x2
– 4x – 2 ไดดังนี้
x -2 -1 0
y = -(x + 2)2
+ 2 2 1 -2
2
4
6
8
-2
2 4 60-2-4-6-8
10
Y
X

28. 77
2.
สมการ y = 2x2
+ 5x – 2 เขียนไดเปน y =
2
+
5 41
2 x 4 8−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1) กราฟเปนพาราโบลาหงาย
2) จุดต่ําสุดของกราฟคือจุด ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
8
41
-,4
5
-
3) เสนตรง x = 4
5- เปนแกนสมมาตร
4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
0,4
415-
และจุด ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
0,4
415-
สมการ y = -x2
+ 6x – 4 เขียนไดเปน y = -(x – 3)2
+ 5
1) กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา
2) จุดสูงสุดของกราฟคือจุด (3, 5)
3) เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร
4) กราฟตัดแกน X ที่จุด (3 20, 0+ ) และจุด (3 20, 0− )
Y
2
-2
-4
X2 4 60-2-4-6-8
-6
-8
-10

29. 78
คําตอบกิจกรรม “จานพาราโบลา”
ควรวางอุปกรณรับความรอนไวที่โฟกัส
คําตอบกิจกรรม “สูงแคไหน”
1. 8 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 64 เมตร
2. 63 เมตร
3. ประมาณ 3.1 วินาที และ 12.9 วินาที
คําตอบแบบฝกหัด
1. 5 เมตร
2. 5 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 50 เมตร
3. ประมาณ 10.27 วินาที
คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”
1. ขอบเขตที่ดินมีลักษณะเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 25 × 25 เมตร2
2. ขนาด 15.5 × 15.5 เมตร2
3. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาด
p
4 ×
p
4 หนวย2
4. ขนาด 50 × 100 เมตร2
และไดพื้นที่ 5,000 ตารางเมตร

30. 79
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

31. 80
กิจกรรมเสนอแนะ 4.5
กิจกรรมนี้มีเจตนาเชื่อมโยงความรูเรื่องสมการกําลังสองกับพาราโบลา เพื่อใหเห็นวิธีการหาคํา
ตอบของสมการกําลังสองจากกราฟพาราโบลากับแกน X
แนวการจัดกิจกรรม
ครูใชคําถามและยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของคําตอบของสมการกําลังสอง โดยพิจารณา
จากจุดตัดของกราฟพาราโบลากับเสนตรง y = 0 หรือแกน X โดยใชคําถามตอเนื่องดังนี้
1. ถากําหนดสมการของกราฟพาราโบลาเปน y = 2x2
– 4x นักเรียนคิดวา y เทากับเทาใด จึงจะทํา
ให 2x2
– 4x = 0 [y = 0]
2. ถาสมการกําลังสองเปน 2x2
– 4x = 0 จํานวนใดเปนคําตอบของสมการนี้ [0 และ 2]
3. เสนตรง y = 0 เปนเสนตรงเดียวกันกับแกน X ใชหรือไม [ใช]
4. ใหนักเรียนพิจารณากราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2
– 4x กับเสนตรง y = 0 หรือแกน X
แลวตอบคําถามตอไปนี้
1) กราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใด [(0, 0) และ (2, 0)]
2) คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้งสองคือจํานวนใด [0 และ 2]
2 4 6-2-4-6
-2
2
4
6
8
10
X
Y
0
y = 2x2
– 4x
y = 0

32. 81
3) คา x ที่ไดในขอ 2) กับคําตอบของสมการ 2x2
– 4x = 0 สัมพันธกันอยางไร
[เปนจํานวนเดียวกัน]
4) นักเรียนสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสมการเปน 2x2
– 4x = 0 ไดโดยหาจุดตัด
ของกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2
+ 4x กับแกน X ใชหรือไม [ใช]
5. ครูใหความรูกับนักเรียนวาโดยทั่วไป เราสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่อยูในรูป
ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ไดโดยพิจารณาที่คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟ
ของสมการ y = ax2
+ bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 กับกราฟของเสนตรง y = 0 หรือ
แกน X
6. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นการหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสองคําตอบ
หนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบ โดยพิจารณาจากกราฟพาราโบลากับแกน X ดังตัวอยางตอไปนี้
จากกราฟขางตนจะสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองไดดังนี้
เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2
– 2x – 3 ตัดแกน X สองจุด คําตอบของสมการ
x2
– 2x – 3 = 0 จึงมี 2 คําตอบ คือ -1 และ 3
เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -x2
– 4x – 4 ตัดแกน X หนึ่งจุด คําตอบของสมการ
-x2
– 4x – 4 = 0 จึงมีคําตอบเดียว คือ -2
เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2
– 4x + 7 ไมตัดแกน X สมการ x2
– 4x + 7 = 0
จึงไมมีคําตอบ
-6
0 X-2-4-6-8
-2
-4
2
4
6
8
-8
2 4 6 8
y = -x2
– 4x – 4
y = x2
– 2x – 3
y = x2
– 4x + 7
Y

33. 82
7. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแลวหาคําตอบของสมการกําลังสองที่กําหนดให
1) -x2
+ x + 6 = 0
[-2 และ 3]
2) x2
– 6x + 9 = 0
[ 3]
3) -5x2
+ 2x – 1 = 0
[ไมมีคําตอบ]
8. ใหนักเรียนหาคําตอบของสมการกําลังสองตอไปนี้ โดยใชกราฟที่กําหนดให
1) 2x2
– 4 = 0
[ 2 และ - 2 ]
2) -x2
+ 10x – 25 = 0
[5]
3) -x2
– 10x – 27 = 0
[ไมมีคําตอบ]
4) x2
+ 8x + 19 = 0
[ไมมีคําตอบ]
-6
0 X-2-4-6-8
-2
-4
2
4
6
8
-8
2 4 6 8
Y
y = -x2
+ x + 6
y = -5x2
+ 2x – 1
y = x2
– 6x + 9
-6
0 X-2-4-6-8
-2
-4
2
4
6
8
-8
2 4 6 8
Yy = x2
+ 8x + 19
y = -x2
+ 10x – 25
y = 2x2
– 4
y = -x2
– 10x – 27