1. - 83 -
แผนการจัดการเรียนรูที่ 6
กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร
รหัสวิชา ค 33201 รายวิชา คณิตศาสตรเพิ่มเติม ชันมัธยมศึกษาปที่ 3
้ ภาคเรียนที่ 1
/ 2549
หนวยการเรียนรูที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม
หนวยยอยที่ 1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง
เวลา 2 ชั่วโมง ใชสอนระหวาง วันที.่ ..................................ครูผูสอน
......................................
…………………………………………………………………………………………
สาระที่ 4 : พีชคณิต
มาตรฐาน ค 4.1 : บอกวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยูในรูปดีกรีสองที่อยูในรูป
กําลังสองสมบูรณและนําไปใช
มาตรฐาน ค 4.2 : บอกวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณหรือใชทฤษฎีเศษเหลือได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
. 1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงที่มี สัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
3. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงที่มีสมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใชทฤษฎีเศษ
ั
เหลือ
จุดประสงคการเรียนรู
1. จุดประสงคการเรียนรู (ปลายทาง)
เพื่อใหนักเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
โดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
จุดประสงคนําทาง
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองได
2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณได
3. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีกําลังสองสมบูรณได

2. - 84 -
สาระการเรียนรู
สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง
A 2  B 2  ( A  B)( A  B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
และ  a   a เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย สามารถนําความรูนี้มาแยกตัวประกอบ
2
ของพหุนามที่เปนผลตางของกําลังสองได
สื่อ/อุปกรณ
1. แบบฝกทักษะเพิ่มเติมที่ 1
2. ใบความรูที่ 1 “ผลตางกําลังสอง”
3. ใบกิจกรรมที่ 1 “คณิตคิดเร็ว”
4. ใบกิจกรรมที่ 2 “ผลตางกําลังสองนาคิด”
5. ใบกิจกรรมที่ 3 “ผลตางกําลังสองของฉัน”
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูทบทวนความรูเ กี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทีเ่ คยเรียนมา
เชน การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลตางของกําลังสองและในรูปทีสามารถทําเปนกําลัง
่
สองสมบูรณได โดยเสริมดวยแบบฝกทักษะเพิ่มเติมที่ 1 ครูและนักเรียนทั้งชั้นเรียนรวมกันเฉลย
ความถูกตอง
2. ครูทบทวนเกี่ยวกับสมบัติบางประการของจํานวนจริงคือ
( a)2  a เมื่อ a  0
a b  ab เมื่อ a  0 และ b  0
a a
 เมื่อ a0 และ b0
b b
กอนใหความรูเ รื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลัง
สองและมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนจริง
1 2
3. การแยกตัวประกอบของพหุนาม เชน x 5 ในใบความรูที่ 1 “ผลตางของ
4
กําลังสอง” ครูอาจแนะนําวิธีทําอีกแบบดังนี้
1 2 1 2
x 5 = ( x  20)
4 4
= 1 ( x  20 )( x  20 )
4
1
= ( x  2 5 )( x  2 5 )
4
4. การแยกตัวประกอบของพหุนาม 8  ( x  3) 2 ในใบความรูที่ 1 “ผลตางของกําลัง

3. - 85 -
สอง” ตัวอยางที่ 3 ซึ่งมีการถอดวงเล็บ ครูควรควรย้ําและทบทวนถึงวิธีการเขาวงเล็บและถอด
วงเล็บดวย เพราะถาทําไมถูกตอง การคํานวณจะผิดพลาด ทําใหแยกตัวประกอบไดหรือแยกตัว
ประกอบไดไมถูกตอง ครูตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนทุกคน โดยนักเรียนทุกคนทําใบกิจกรรมที่
1 “คณิตคิดเร็ว” และรวมกันตรวจสอบความถูกตอง
5. ครูแบงนักเรียนเปนกลุม กลุมละ 4-6 คน พรอมกับแจกใบกิจกรรมที่ 2 “ผลตาง

กําลังสองนาคิด” ใหนักเรียนทุกคนแลว และใหนักเรียนในกลุมแตละคนในกลุมคิดหาคําตอบ และนํา

คําตอบที่ไดแลกเปลี่ยนตรวจสอบความถูกตอง สุมตัวแทนกลุมสงตัวแทนหนึ่งหรือสองคน นําเสนอ
คําตอบหนาชั้นเรียน ครูและนักเรียนชวยกันสรุปสาระสําคัญเกี่ยวกับการใชสูตรผลตางกําลังสอง
6. ใหนักเรียนแตละคนปฏิบัตกิจกรรมเปนรายบุคคลตามใบกิจกรรมที่ 3 “ผลตาง
ิ
กําลังสองของฉัน” เขียนแนวคิด/วิธีทําในการหาคําตอบ แลวใหเพื่อนนักเรียนในกลุมชวย

ตรวจสอบความถูกตอง จากนั้นใหนําเสนอผลงาน
การวัดและประเมินผล
1. วิธีการวัดและประเมินผลการเรียนรู
1) จากการทําใบกิจกรรม
2) สังเกตพฤติกรรมในการเรียนการสอน
3) การเขารวมกิจกรรม
2. เครื่องมือการวัดและประเมินผล
1) แบบประเมินการเสนอผลงาน
2) แบบสังเกตพฤติกรรมทางการเรียนการสอน
3) แบบประเมินการเขารวมกิจกรรมกลุม

4. - 86 -
แบบประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม
ชื่อกลุม........................................................ชื่อผูประเมิน............................................................
ใบกิจกรรมที.่ ................................เรื่อง........................................................................................
คําชี้แจง ใหผูประเมินใสตัวเลขลงในชองตามความเปนจริง
3 หมายถึง ดีมาก 2 หมายถึง พอใช 1 หมายถึง ควรปรับปรุง
ชื่อสมาชิก รวม รอย
1…………… 2…………… 3…………… 4……………. ละ
รายการ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
1. การมีสวนรวมใน
การวางแผน
2. การปฏิบัติตนตาม
บทบาทหนาที่
3. การใหความ
รวมมือในการ
ทํางาน
4. การแสดงความ
คิดเห็น
5. การยอมรับความ
คิดเห็นของผูอื่น
6. การเขารวม
กิจกรรมอยาง
สม่ําเสมอ
7. ความรับผิดชอบ
งานที่ไดรับ
มอบหมาย
รวม
รอยละ
เกณฑการประเมิน
ลงชื่อ..........................................ผู
ประเมิน
รอยละ 80 ขึ้นไป ระดับ ดีมาก
รอยละ 70-79 ระดับ ดี วันที่ประเมิน...............................................
รอยละ 60-69 ระดับ พอใช
ต่ํากวารอยละ 60 ระดับ ควรปรับปรุง

5. - 87 -
แบบประเมินแฟมผลงาน
ชื่อแฟม................................................................................................................................................
ชื่อนักเรียน...........................................................................................................................................
ไมถึง ถึงเกณฑ เหนือ คะแนน ขอเสนอแนะ
เกณฑ เกณฑที่ ที่ เกณฑที่ รวม
รายการประเมิน คาดหวัง คาดหวัง คาดหวัง
(1) (2) (3)
การจัดการ
- การสรางสรรค
- การประเมินตนเอง
- ความสมบูรณของรายการและ
นําเสนอ
ความประทับใจ
- การวางรูปแบบ
- ศิลป
-ความคิดสรางสรรค
หลักฐานแสดงความเขาใจ
- ความรูในเนื้อหาวิชา
- การสะทอนขอมูลยอนกลับ
- แนวคิดการประยุกตใช
รวม........................................คะแนน
เกณฑการใหคะแนน
ระดับ ดี (22-27 คะแนน)
ระดับ พอใช (16-21 คะแนน) ลงชื่อ..........................................ผูประเมิน
ระดับ ปรับปรุง (9-15 คะแนน) วันที.่ .......เดือน.........................พ.ศ. ..........

6. - 88 -
บันทึกหลังสอน
ผลการเรียนรู
นักเรียนชั้น……………………………………………………………………………
………………………………………………………….………………………………………..
นักเรียนชั้น…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….
นักเรียนชั้น……………………………………………………………………………
………………………………………………………….………………………………………..
นักเรียนชั้น…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….
ปญหา / อุปสรรค
นักเรียนชั้น……………………………………………………………………………
………………………………………………………….………………………………………..
นักเรียนชั้น…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….
นักเรียนชั้น……………………………………………………………………………
………………………………………………………….………………………………………..
นักเรียนชั้น…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….
แนวทางแกปญหา และพัฒนา
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..

7. - 89 -
ขอคิดเห็นเพิ่มเติม (ถามี)
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
ลงชื่อ ผูสอน
(……………………………..)
………../…………./………..

8. - 90 -
ใบความรูที่ 1
“ผลตางของกําลังสอง”
สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง
A 2  B 2  ( A  B)( A  B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
และ  a   a เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย สามารถนําความรูนี้มาแยกตัวประกอบ
2
ของพหุนามที่เปนผลตางของกําลังสองได
ตัวอยางที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x 2  2
วิธีทํา x2  2 = x 2  ( 2 )2
= x  2 x  2 
ดังนั้น x 2  2 = x  2 x  2 
1 2
ตัวอยางที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x 5
4
2
1 2 1 
วิธีทํา x 5 =  x   ( 5)
2
4 2 
=  1 x  5  1 x  5 
  
2  2 
1 2  1  1 
ดังนั้น x  5 =  x  5  x  5 
4 2  2 
ตัวอยางที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 x  7 2  12
วิธทํา
ี = 2 x  72  2 3 
2
2 x  7 2  12
= [(2 x  7)  2 3 ][(2 x  7)  2 3 ]
ดังนั้น 2 x  7 2  12 = [(2 x  7)  2 3 ][(2 x  7)  2 3 ]

9. - 91 -
แบบฝกหัดทักษะที่ 1
จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1. 3x 2  x =………………………………………………
2. x  2x 2 =………………………………………………
3. 2 x( x  3)  3( x  3) =……………………………………………..
4. 3(2 x  1) 2  4(2 x  1) =…………………………………………….
5. x 2  4 x  5 =…………………………………………….
6. 2 x 2  5x  3 =…………………………………………….
7. a 2  a  2 =…………………………………………….
8. a 2  6a  9 =…………………………………………….
9. 4 x 2  4 x  1 =…………………………………………….
10. 4 y 2  20 y  25 =…………………………………………….
11. 14 y 2  y  3 =…………………………………………….
12. p 2  1 =…………………………………………….
13. 4 x 2  32 =…………………………………………….
14. 12a 2  27 =…………………………………………….
15. 81  49 x 2 =…………………………………………….
16. 9 x 2  121 =…………………………………………….
17. (2 x  1) 2  4 =…………………………………………….
18. ( x  3) 2  y 2 =…………………………………………….

10. - 92 -
ใบกิจกรรมที่ 1
“คณิตคิดเร็ว”
กิจกรรมรายบุคคลทั้งชั้นเรียน
จงแยกตัวประกอบ
1. x 2  3 =........................................................................................
2. x 2  7 =........................................................................................
3. 20  x 2 =........................................................................................
4. 18  x 2 =........................................................................................
3
5. x2  =........................................................................................
4
5
6. x2  =........................................................................................
36
1 2
7. x  15 =........................................................................................
9
25 2
8. x  24 =........................................................................................
16

11. - 93 -
ใบกิจกรรมที่ 2
“ผลตางกําลังสองนาคิด”
ตอนที่ 1 จงหาผลลัพธ
1. ( x  1) 2  6
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
2. ( x  3) 2  10
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. ( x  2) 2  27
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
4. 50  ( x  4) 2
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
5. 32  ( x  5) 2
.............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

12. - 94 -
6. (2 x  3) 2  24
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
ตอนที่ 2 กิจกรรมกลุม
1. ใหนักเรียนอภิปรายผลการปฏิบัติกจกรรมตอนที่ 1 เพื่อสรุปเปนผลงานกลุม แลวสง
ิ
ตัวแทนอยางนอย 2 คน นําเสนอหนาชั้นเรียน
2. หลังจากฟงการนําเสนอหนาชั้นเรียนของกลุมอื่น ๆ แลว นักเรียนมีขอสังเกตเพิ่มเติม
อะไรบางในตอนที่ 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

13. - 95 -
ใบกิจกรรมที่ 3
“ผลตางกําลังสองของฉัน”
จงหาผลลัพธ
1. (3x  2) 2  52
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……..
2. (5x  1) 2  48
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……..
3. 72  (4 x  3) 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……..

14. - 96 -
เอกสารเสริมสําหรับครู
สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง
A 2  B 2  ( A  B)( A  B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
และ  a   a เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย สามารถนําความรูนี้มาแยกตัวประกอบ
2
ของพหุนามที่เปนผลตางของกําลังสองได
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1
แบบฝกทักษะที่ 1
จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1. 3x 2  x = x(3x+1)
2. x  2x 2 = x(1-2x)
3. 2 x( x  3)  3( x  3) = (x-3)(2x+3)
4. 3(2 x  1) 2  4(2 x  1) = (2x-1)(6x+1)
5. x 2  4 x  5 = (x+5)(x-1)
6. 2 x 2  5x  3 = (2x-3)(x-1)
7. a 2  a  2 = (a – 2)( a +1)
8. a 2  6a  9 = (a+3)2
9. 4 x 2  4 x  1 = (2x-1)2
10. 4 y 2  20 y  25 = (2y-5)2
11. 14 y 2  y  3 = (7y-3)(2y+1)
12. p  1
2
= (p-1)(p+1)
13. 4 x 2  32 = (2x+3)(2x-3)
14. 12a 2  27 = 3(2a-3)(2a+3)
15. 81  49 x 2 = (9-7x)(9+7x)
16. 9 x 2  121 = (3x-1)(3x+11)
17. (2 x  1) 2  4 = (2x-3)(2x+1)
18. ( x  3) 2  y 2 = (x-y-3)(x+y-3)

15. - 97 -
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1 “คณิตคิดเร็ว”
จงแยกตัวประกอบ
1. x 2  3 =. ( x  3 )( x  3 )
2. x 2  7 = ( x  7 )( x  7 )
3. 20  x 2 = (2 5  x)(2 5  x)
4. 18  x 2 =. ( 3 20  x )( 20  x )
3 3 3
5. x2  = (x  )( x  )
4 2 2
6. x2 
5
= ( x  5 )( x  5 )
36 6 6
1 2 1 1
7. x  15 = ( x  15 )( x  15 )
9 3 3
25 2
8. x  24 = ( x  2 6 )( 5 x  2 6 ) .
5
16 4 4
เฉลยใบกิจกรรมที่ 2 “ผลตางกําลังสองนาคิด”
จงหาผลลัพธ
1. ( x  1) 2  6 = ( x  1  6 )( x  1  6 )
2. ( x  3) 2  10 = ( x  3  10 )( x  3  10 )
3. ( x  2) 2  27 = ( x  2  3 3 )( x  2  3 3 )
4. 50  ( x  4) 2 = (5 2  x  4)(5 2  x  4)
5. 32  ( x  5) 2 = (4 2  x  5)(4 2  x  5)
6. (2 x  3) 2  24 = (2 x  3  2 6 )(2 x  3  2 6 )
เฉลยใบกิจกรรมที่ 3 “ผลตางกําลังสองของฉัน”
จงหาผลลัพธ
1. (3x  2) 2  52 = (3 x  2) 2  (2 13 ) 2
= [(3 x  2)  2 13 ][(3x  2)  2 13 ]
= [3 x  2  2 13 ][3 x  2  2 13 ]
2. (5x  1) 2  48 = (5 x  1) 2  (4 3 ) 2
= [(5 x  1)  4 3 ][(5 x  1)  4 3 ]
= [5 x  1  4 3 ][5 x  1  4 3 ]
3. 72  (4 x  3) 2 = [6 2  ( x  3)][6 2  ( x  3)]
= [6 2  x  3][6 2  x  3]