1. Методы решения
иррациональных
уравнений
Учитель: Ежова Валентина Васильевна

2. Содержание:
 Знакомство с иррациональными
уравнениями
 Методы решения иррациональных
уравнений
 Причины появления посторонних
корней
 Проверка корней
 Примеры решения
иррациональных уравнений
 Заключение

3. Знакомство с иррациональными
уравнениями
• Уравнения, которые содержат переменную
под знаком корня, называются
иррациональными.
• Примеры: =9
,
=16
где подкоренные выражения X и Y ≥0

4. Методы решения
иррациональных уравнений
• Существует два метода решения
иррациональных уравнений:
I. Возведение в степень
II. Введение новой
переменной

5. Причины появления
посторонних корней
• Посторонние корни могут появиться за счёт
возведения и левую и правую часть в чётную
степень, которые равны по
абсолютной величине, но одна из
них положительна, а другая
отрицательна.

6. Пример:
• . =3-2x <=>
<=> -7x+7= -12x+9 <=>
<=> -5x +2=0 <=>
<=> (2x-1)(x-2)=0
[ (отпадает)
Число 2 не удовлетворяет исходному уравнению,
т.к. 3-2*2=-1, а квадратный корень не может быть
отрицателен, т.е. 2- это посторонний корень
Ответ: x=0,5

7. Проверка корней
• Для того, чтобы устранить посторонние
корни, необходима проверка корней. После
проверки корней неудовлетворяющие
уравнению корни отпадают.

8. Пример:
• . = -x
• 128- =
=128
=64 |½
X =±8
-------------------------
проверка = =8
X=8 (отпадает)
X=-8
Ответ: х=-8

9. Примеры решения иррациональных
уравнений
1.
• + =2
Решение: 1) введём новую переменную
=y (условие у≥0)
+ =2
-1 + -1 =0
(Y-1)(y+1)( +1)+(y-1) ( +y+1) =0
(y-1)( + + +y+1+ +y+1)=0
т.к. выражение + +2у+2 не=0 =>
у-1=0
у=1
=1 Х=3
Ответ: х=3

10. 2.
• . 2 + =

11. Решение:
• Сначала возведём обе части уравнения в квадрат, а
затем упростим
4(1+2х)+4 +(1-2х)=1-2х+
4(1+2х)+4 - =0
(4 +4 - )=0
Произведение равно 0, когда один из
сомножителей равен 0. Рассмотрим 2
случая

12. I случай
=0 => 1+2х=0 => 2х=-1 => Х=-0,5
• .
II случай
4 +4 - =0 =>
3 +4 = -
Уравнение не имеет решения, т.к. левая
его часть всегда положительна (сумма
арифметических корней), а правая,
наоборот, всегда отрицательна,
поскольку для любого х верно >
Ответ: -0,5

14. Заключение
• Итак, чтобы решить
иррациональное уравнение:
2. Находим найти О.Д.З.
независимой переменной.
3. Пользуясь I или II методом
преобразуем уравнение.
4. Находим корни полученного
уравнения.
5. Проверим, являются ли найденные
корни корнями исходного
уравнения и исключаем
посторонние корни.

15. Список использованной
литературы:
• «Математика. Учебно-методическое
пособие» Ю.А.Гусман, А.О.Смирнов
• «Математика» В.Т. Лисичкин.
• «Алгебра и начала математического
анализа» учебник 10-11 класса.