1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА к.э.н., доцент
Голичева Н.Д.
Для студентов 1-ого курса всех направлений
Дисциплина «Математический анализ»

2. План
I. Понятие криволинейной трапеции
II. Определенный интеграл как предел
интегральной суммы
III. Вычисление площадей плоских фигур

3. Литература
• Высшая математика для экономистов:
Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко,
И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. Проф.
Н.Ш.Кремера. – 2-е изд.,перераб. и доп. –
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.( с.299-307)
• Практикум по высшей математике для
экономистов: Учеб. Пособие для
вузов/Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и
др.; Под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2002. (с.261-269)

4. Понятие криволинейной
трапеции
Определение. Фигура, ограниченная графиком
функции y=f (x ) (f(x)>=0), осью Ох, прямыми х=а,
х=b, называется криволинейной трапецией
относительно оси Ох.

5. Понятие криволинейной
трапеции
Определение. Фигура, ограниченная
графиком функции x=ϕ( y) (ϕ( y)≥0),
осью Оу, прямыми y=c, y=d , называется
криволинейной трапецией относительно
оси Оу.

6. II. Определенный интеграл как
предел интегральной суммы
Задача. Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции y=f (x ) (f(x)>=0) , осью Ох,
прямыми х=а, х=b.

7. II. Определенный интеграл как
предел интегральной суммы
Задача. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции y=f (x ) (f(x)>=0) , осью Ох, прямыми х=а, х=b.

8. (
b
S = ∫ f ( x)dx
a
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции y=f(x) (f(x)≥0), осью Ох, прямыми х=а, х=b, равна
определенному интегралу от а до b от функции у=f(x) .
В этом и заключается геометрический смысл определенного
интеграла.

9. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x
3
y =e , x =, x = , y =
3 0 0
Решение.
3 x x 3 3
S = ∫ e dx = 3e
3 3
= 3(e − e 0 ) = 3(e − 1) (кв.ед.)
3
0 0

10. b
2) Если функция у = f(x)≤0, то S = − ∫ f ( x)dx
a

11. 3)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x − 6 x + 5, y = 0
2
Решение.
5
S = − ∫ ( x 2 − 6 x + 5)dx =
1
1
x3
= ∫ ( x 2 − 6 x + 5)dx = ( − 3x 2 + 5 x) 5 =
1
5
3
1 125
= ( − 3 + 5) − ( − 75 + 25) =
3 3
32 2
= = 10 (кв. ед.)
3 3
(обратите внимание: при вычислении интеграла убрали минус, но
поменяли местами пределы интегрирования).

12. 3)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
y = x , y = , y = 0, x = 3
2
x Решение.
1 3 3 1
1 x 3 1
S = S1 + S 2 = ∫ x dx + ∫ dx =
2
+ ln x 1 = + ln 3 (кв.ед.)
0 1
x 3 0
3

13. 4)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x + x − 6, y = 2 − x
2

14. B
А
D
C

15. Вывод: если
А x ∈ [ a, b ]
B
f1 ( x) ≥ f 2 ( x)
b
S = ∫ ( f 1 ( x) − f 2 ( x))dx
a
C
D

16. 5)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x + x − 6, y = 2 − x
2
Решение.
Для того, чтобы найти пределы интегрирования,
решим систему
 y = x 2 + x − 6,  x1 = −4
 x = 2
y = 2 − x  2
Т.к. при
x ∈[−4;2] ,то
2 − x ≥ x 2 + x −2
2 2
S = ∫ (2 − x − ( x + x − 6))dx = ∫ (8 − 2 x − x 2 )dx =
2
−4 −4
2
x3 8 64
= (8 x − x − ) = (16 − 4 − ) − (−32 −16 + ) = 36 (кв. ед.)
2
3 −4 3 3

17. 5)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 1 − x, y = x + 1
2
Решение.
Рассмотрим интересующую нас площадь относительно оси Оу. Найдем пределы интегрирования, для
этого решим систему
x =1 − y
2
1− y2 ≥ y −1
 y = 1− x
2
 y = −2 , выразим х через у: , т.к.

 y = 1+ x
y =1
 x = y −1 y ∈ [ − 2;1]
1
S = ∫ ((1 − y 2 ) − ( y − 1))dy = 4,5 (кв. ед.)
−2
1
S = ∫ ((1 − y 2 ) − ( y − 1))dy = 4,5 (кв. ед.)
−2

18. ВОПРОСЫ?
1. Что называется криволинейной трапецией?
2. В чем заключается геометрический смысл
определенного интеграла?