1. МЕТОД ЗАМЕНЫ
МНОЖИТЕЛЕЙ
1 Выполнила: Позднякова Виктория 11 «А» класс
Руководитель: Митусова Светлана Викторовна.

2. ОСНОВНАЯ ИДЕЯ МЕТОДА
 Любое неравенство можно привести к виду:
 При работе с таким неравенством нас интересует
только знак любого множителя в числителе и
знаменателе, а не его абсолютная величина
 Поэтому любой множитель можно заменить на
другой: знакосовпадающий с ним в области
определения неравенства и имеющий в этой
области те же корни
 ВНИМАНИЕ! Замена множителя осуществляется
только когда требуется сравнить произведение с
нулем! 2

3. МОНОТОННОСТЬ
• Утверждение 1: функция f(x) строго
возрастающая, если большему значению X
соответствует большее значение У; для любых
двух значений t1 и t2 из области определения
функции верно:
• t1 – t2  f(t1) – f(t2)
• Утверждение 2: функция f(x) строго
убывающая, если большему значению Х
соответствует меньшее значение У; для любых
двух значений t1 и t2 из области определения
функции верно:
• t1 – t2  f(t2) – f(t1) 3

4. ДИСКРИМИНАНТЕ
• y = ax2 + bx + c, a > 0
• D < 0, D = b2 – 4ac  4ac > 0
•  a > 0, c > 0
х
• y = ax2 + bx + c, a < 0
• D < 0, D = b2 – 4ac  4ac > 0
• a < 0, c < 0
х
Следовательно, любой трехчлен ax + bx + c с
отрицательным дискриминантом можно
заменить на старший коэффициент или на
4
свободный член:
ax + bx + c  a  c

5. ФУНКЦИЯ Y = Xⁿ
 При х > 0 функция y = xⁿ
n = 2k возрастает 
  x – x  x ⁿ - x ⁿ
1 2 1 2
 При любом x функция
n = 2k – 1,
возрастает 
k N   x – x  x 2k-1 - x 2k-1
1 2 1 2
5

6. Отсюда:
x1 > x2  x12 > x22  √x1 > √x2;
x1 – x2  x12 - x22;
√x1 - √x2 x1 – x2, где x1, x2 ≥ 0
Т.к. lml ≥ 0 и lml2 = m2 ,
lx1l – lx2l  lx1l2 - lx2l2  x12 -
x22
6

7. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ И
ВЫЗЫВАЕМЫЕ ИМИ ЗАМЕНЫ
Убывает при 0 < a < 1
 Функция y = a t
Возрастает при a > 1
 at1 – at2 = (10lga)t1 – (10lga)t2 = 10t1lga – 10t2lga
at1 – at2  t1lga - t2lga
at1 – at2  (t1 - t2)lga
 Функция y = lgx – возрастающая, след.
x1 – x2  lgx1 – lgx2 (при соблюдении ОДЗ)
 Если x1 = а, x2 = 1, то a – 1  lga – lg1,
то есть lga  a – 1 7
at1 – at2  (t1 - t2)(a – 1)

8.  Аналогично:
 Отсюда:
8

9. ПРИМЕР №1
+ +
0 3
9
Ответ: (0; ] (3; + ).

10. ПРИМЕР №2
 ОДЗ: x – 1 > 0
ОДЗ: X > 1
x+1>0
x>0
+ +
0 1 2
10
Ответ: (1; 2].

11. ПРИМЕР №3
+ + +
-4 -1 0 1
11
Ответ: [-4; -1] {1}.

12. ПРИМЕР №4
+ +
-2,5 -1 1
+ + 12
-2 -1 2
Ответ: (-2,5; -2] (1; 2].

13. ВОЗМОЖНЫЕ ЗАМЕНЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
13

14. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! 
14