重回帰分析

1. データ解析 第6回
2018年5月24日 八谷 大岳
1

2. 講義内容
6
数学の復習
機械学習の基礎

3. 内容：
7
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

4. 復習：回帰分析とは
8
 入力と出力の組のデータから、入力に対する出力を予測
する関係モデルを学習
 入力：説明変数
 スカラー（１変数）の場合：単回帰分析
 ベクトル（多変数）の場合：重回帰分析
 出力：目的変数
 実数スカラー
出力𝑦𝑦 ：収穫量
肥料の種類と量
雨量
入力𝑥𝑥
日照時間
関係モデルによる予測

5. 復習：単回帰分析の例
9
 人口とゴミ排出量のデータから、将来のゴミ排出量を予測
ゴミ排出量＝傾き Ｘ 人口 ＋ 切片 ＋ 残差
（説明変数）
100000 300000
50000
100000
150000
500000
人口
ゴ
ミ
排
出
量
傾き
切片
予測
残差
直線
（目的変数）

6. 復習：単回帰分析の定式化
 学習データ： 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
 単回帰モデル：回帰直線
 𝑦𝑦成分の誤差の二乗誤差和の最小化により、学習データの𝑦𝑦成分
の平均の点を通る直線 �𝑓𝑓𝑤𝑤∗,𝑏𝑏∗ 𝑥𝑥 を獲得
 最適な傾き𝑤𝑤∗
と切片𝑏𝑏∗
は、学習データの分散と共分散で求まる
10
i番目に観測された学習データ
𝑥𝑥𝑖𝑖
, 𝑦𝑦𝑖𝑖
�𝑓𝑓𝑤𝑤∗,𝑏𝑏∗ 𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑜𝑜
𝐸𝐸 𝑤𝑤, 𝑏𝑏 = ∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑓𝑓𝑤𝑤,𝑏𝑏 𝑥𝑥𝑖𝑖
2
𝑤𝑤∗, 𝑏𝑏∗ = argmin
𝑤𝑤,𝑏𝑏
𝐸𝐸 𝑤𝑤, 𝑏𝑏
𝑏𝑏∗
= �𝑦𝑦 −
S𝒙𝒙𝒙𝒙
S𝒙𝒙𝒙𝒙
̅𝑥𝑥= �𝑦𝑦 − 𝑤𝑤∗
̅𝑥𝑥𝑤𝑤∗
=
S𝒙𝒙𝒙𝒙
S𝒙𝒙𝒙𝒙
�𝑓𝑓𝑤𝑤,𝑏𝑏 𝑥𝑥 = 𝑤𝑤𝑤𝑤 + 𝑏𝑏

7. 内容：
11
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

8. 重回帰分析とは
12
 単回帰分析：説明変数が1個の回帰
 目的変数𝑦𝑦：スカラー
 説明変数𝑥𝑥：スカラー
 重回帰分析：説明変数が2個以上の回帰
 目的変数𝑦𝑦：スカラー
 説明変数𝒙𝒙：ベクトル 𝒙𝒙 = (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝐷𝐷)Τ
靴サイズ＝傾き Ｘ 身長 ＋ 切片 ＋ 残差
説明変数𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑏𝑏目的変数𝑦𝑦 𝜀𝜀
目的変数𝑦𝑦
靴サイズ＝傾き Ｘ 身長 ＋ 傾き Ｘ 体重 ＋ ... ＋ 切片 ＋ 残差
𝑤𝑤1 説明変数𝑥𝑥1 説明変数𝑥𝑥2𝑤𝑤2 𝑏𝑏 𝜀𝜀
直線
平面

9. 重回帰分析のデータの例
13
 説明変数が2個の場合：
標本番号 身長(x１) 体重(ｘ２) 靴サイズ(y)
1 162 44 24.0
2 165 48 24.5
3 168 53 25.5
4 160 45 22.5
5 158 45 23.0
6 153 43 22.0
7 158 45 23.0
8 168 50 24.0
9 157 52 23.0
10 154 42 23.0
11 170 48 25.0
12 157 45 23.5
(cm) (kg) (cm)
説明変数𝑥𝑥1 説明変数𝑥𝑥2 目的変数𝑦𝑦

10. 重回帰分析のデータの例と目的
14
 重回帰分析の目的：データにあてはまる（超）平面を求めたい
 説明変数が2個の場合は平面、3個以上の場合は超平面
目的変数𝑦𝑦：靴サイズ

11. どんな平面がいいのか？ １
15
目的変数𝑦𝑦：靴サイズ
平面：𝑦𝑦 = 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏

12. どんな平面がいいのか？ ２
16
目的変数𝑦𝑦：靴サイズ
平面：𝑦𝑦 = 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏

13. どんな平面がいいのか？ ３
17
目的変数𝑦𝑦：靴サイズ
平面：𝑦𝑦 = 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏

14. 内容：
18
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

15. 重回帰問題の定式化
 入力（説明変数）𝒙𝒙：実数値ベクトル
 出力（目的変数）𝑦𝑦：実数値スカラー
 学習データ：
 重回帰モデル：重回帰式、超平面
 省略版：
19
𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝒙𝒙1, 𝑦𝑦1 , 𝒙𝒙2, 𝑦𝑦2 , … , 𝒙𝒙𝑁𝑁, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 = 𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝒘𝒘′ = (𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, … , 𝑤𝑤𝐷𝐷, 𝑏𝑏)Τ
�𝑓𝑓𝒘𝒘,𝑏𝑏 𝒙𝒙 = 𝒘𝒘Τ 𝒙𝒙 + 𝑏𝑏
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
偏回帰係数（学習するパラメータ）
𝒙𝒙′ = (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝐷𝐷, 1)Τ
�𝑓𝑓𝒘𝒘’ 𝒙𝒙’ = 𝒘𝒘′Τ 𝒙𝒙𝒙
𝑥𝑥2
𝑖𝑖
�𝑓𝑓𝒘𝒘,𝑏𝑏 𝑥𝑥 = �𝑓𝑓𝒘𝒘’ 𝒙𝒙’
𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖
𝑥𝑥1
𝑖𝑖
𝑦𝑦𝑖𝑖

16. 𝑖𝑖番目に観測された学習データ
𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖
�𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
 最もあてはまる超平面：Y軸成分の二乗誤差和を最小化
 偏微分を用いて、最適な𝒘𝒘′を求める
Y軸成分の二乗誤差和の最小化
20
= (𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ 𝒘𝒘′)Τ (𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ 𝒘𝒘′) 𝐗𝐗 =
𝑥𝑥1
1
𝑥𝑥2
1
⋮
𝑥𝑥𝐷𝐷
1
1
𝑥𝑥1
2
𝑥𝑥2
2
⋮
𝑥𝑥𝐷𝐷
2
1
⋯
⋯
⋮
⋯
⋯
𝑥𝑥1
𝑁𝑁
𝑥𝑥2
𝑁𝑁
⋮
𝑥𝑥𝐷𝐷
𝑁𝑁
1
𝒚𝒚 =
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
⋮
𝑦𝑦 𝑁𝑁
𝐷𝐷：説明変数の数
𝑁𝑁：データ数
𝐸𝐸 𝒘𝒘′ = �
𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
𝜀𝜀𝑖𝑖
二乗誤差和：
= ∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝒘𝒘′Τ 𝒙𝒙𝒙𝑖𝑖 2
行列・ベクトル表現
誤差𝜀𝜀𝑖𝑖

17. 演習1
21
1. 二乗誤差和の行列表現を和の記号を用いた表現に変形しなさい。
ただし、データ数𝑁𝑁 = 4、説明変数の数𝐷𝐷 = 2とする。
2. 偏微分を用いて二乗誤差和を最小化する𝒘𝒘′の式を求めなさい。
 Matrix Cookbookより
 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に
記載
𝐸𝐸 𝒘𝒘′ = (𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ 𝒘𝒘′)Τ (𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ 𝒘𝒘′)
(𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ
𝒘𝒘′)Τ
(𝒚𝒚 − 𝐗𝐗Τ
𝒘𝒘′) ∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖
− �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
𝐷𝐷：説明変数の数
𝑁𝑁：データ数𝐗𝐗 =
𝑥𝑥1
1
𝑥𝑥2
1
1
𝑥𝑥1
2
𝑥𝑥2
2
1
𝑥𝑥1
3
𝑥𝑥2
3
1
𝑥𝑥1
4
𝑥𝑥2
4
1
𝒚𝒚 =
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
𝑦𝑦4
𝒘𝒘𝒘 =
𝑤𝑤1
𝑤𝑤2
𝑏𝑏

18. 内容：
24
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

19. Pythonを用いた重回帰の実装例
25
 数値演算ライブラリNumpyを用いた重回帰分析の実装
 実行結果の例
詳細は次を参照：http://hirotaka-hachiya.hatenablog.com/entry/2017/12/06/173803
appendを用いて切片に対応する
値「1]を追加し行列𝐗𝐗を作成
matmul関数を用いた𝐗𝐗𝐗𝐗 𝚻𝚻
の演算
matmul関数を用いた𝐗𝐗𝐗𝐗の演算
inv関数を用いた 𝐗𝐗𝐗𝐗Τ −𝟏𝟏
𝐗𝐗𝐗𝐗の演算

20. Excelを用いた重回帰の実行例
26
 Excelでアドイン「分析ツール」を用いた重回帰分析の実行
データをExcelに入力
【重回帰分析の結果】
詳細は教科書p37または次を参照：https://tonari-it.com/excel-data-analysis-add-in
偏回帰係数
「データ」リボンの「データ分析」をクリック
「回帰分析」を選択し手順にしたい操作

21. 内容：
27
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

22. 重回帰分析を用いた予測
28
 A-Fのデータで重回帰式を求めて、Gの売上額を予測したい
売上額𝑦𝑦
(千万円)
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
A 8 5 6
B 9 5 8
C 12 7 10
D 11 5 12
E 13 8 12
F 17 12 12
G ? 17 14
営業所Ａ～Ｆにおける売上額𝑦𝑦、広告費𝑥𝑥1、セールスマン数𝑥𝑥2

23. 偏回帰係数の計算
29
 Pythonのコードを用いて、偏回帰係数𝒘𝒘′を求める。
 実行結果：[ 0.8627451 0.46078431 1.01960784]
 得られた重回帰式（平面）：
𝑦𝑦 = 0.86𝑥𝑥1 + 0.46𝑥𝑥2 + 1.02
numpyライブラリのインポート
説明変数𝒙𝒙の行列と
目的変数𝑦𝑦のベクトルを作成

24. 演習2
30
 新しい営業所Gの売り上げがいくらになるか予測しなさい。
 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の
一番上に記載
売上額𝑦𝑦
(千万円)
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
A 8 5 6
B 9 5 8
C 12 7 10
D 11 5 12
E 13 8 12
F 17 12 12
G ? 17 14
𝑦𝑦 = 0.86𝑥𝑥1 + 0.46𝑥𝑥2 + 1.02
営業所Ａ～Ｆにおける売上額𝑦𝑦、広告費𝑥𝑥1、セールスマン数𝑥𝑥2

25. 内容：
32
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

26. 説明変数と目的変数への影響分析
33
 説明変数の目的変数に対する影響力を調べたい
 偏回帰係数𝒘𝒘′と説明変数の積の単位は、目的変数𝑦𝑦と同じ
𝑦𝑦 = 0.86𝑥𝑥1 + 0.46𝑥𝑥2 + 1.02
売上額𝑦𝑦
(千万円)
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
A 8 5 6
B 9 5 8
C 12 7 10
D 11 5 12
E 13 8 12
F 17 12 12
売上額
(千万円)
広告費100万円使うと
売り上げが860万円増加
広告費𝑥𝑥1の単位：百万円
広告費𝑥𝑥1の係数：0.86（千万円）
セールスマン数𝑥𝑥2の単位：人
セールスマン数𝑥𝑥2の係数：0.46（千万円）
セールスマン１人増加で
売り上げ460万円増加
単位が𝑦𝑦と同じ
0.86𝑥𝑥1（千万円）：0.86（千万円/百万円） × 𝑥𝑥1（百万円）
0.46𝑥𝑥2（千万円）：0.46（千万円/人） × 𝑥𝑥2（人）

27. 説明変数の重要度の分析
34
 偏回帰係数の大きさは説明変数の単位に依存
 売り上げを予測するため、どの説明変数が重要であるか分からない
 偏回帰係数の代わりに標準偏回帰係数を算出し、
説明変数の重要度を求める
偏回帰係数の大きさ ≠ 説明変数の重要度
広告費のデータ単位 広告費の係数 大小 セールスマン数の係数
百万円 0.86 ＞ 0.46
十万円 0.086 ＜ 0.46

28. データの標準化
35
 説明変数𝑥𝑥𝑗𝑗ごとに、値から平均を引いて標準偏差で割る
 目的変数𝑦𝑦の値から平均を引いて標準偏差で割る
𝑥𝑥𝑗𝑗
𝑖𝑖
=
𝑥𝑥𝑗𝑗
𝑖𝑖
− �𝑥𝑥𝑗𝑗
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑗𝑗
𝑦𝑦𝑖𝑖 =
𝑦𝑦𝑖𝑖− �𝑦𝑦
𝑆𝑆𝑦𝑦
説明変数𝑥𝑥𝑗𝑗の𝑖𝑖番目の値
説明変数𝑥𝑥𝑗𝑗の標準偏差
説明変数𝑥𝑥𝑗𝑗の平均
目的変数𝑦𝑦の𝑖𝑖番目の値
目的変数𝑦𝑦の標準偏差
目的変数𝑦𝑦の平均

29. 標準偏回帰係数
36
 標準化したデータに対して重回帰分析をかけると、
標準偏回帰係数𝒘𝒘′
が得られる
 売り上げデータの重回帰式：
 標準偏回帰係数は-1から1の範囲で、-1または1に近いほど重要
 係数が大きい説明変数が、予測に重要な説明変数となる
𝑦𝑦 = 0.74𝑥𝑥1 + 0.36𝑥𝑥2 + 2.47 × 10−16
データの単位に依存しない標準偏回帰係数が得られる
売上額𝑦𝑦
(千万円)
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
A 8 5 6
B 9 5 8
C 12 7 10
D 11 5 12
E 13 8 12
F 17 12 12
広告費のスコア：0.74
セールスマン数のスコア： 0.36
「売上額」の予測において、「セールスマン
の数」より「広告費」の方が重要

30. 内容：
37
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

31. 回帰分析の精度分析
38
 決定係数：目的変数𝑦𝑦の偏差平方和に対する残差の二乗和の割合
 決定係数は0から1の範囲で、1に近いほど精度が高い
 決定係数の平方根𝑅𝑅を重相関係数と呼ぶ
 決定係数を用いる理由については、教科書P.102を参照
𝑅𝑅2
= 1 −
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝜀𝜀𝑖𝑖2
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦 2
= 1 −
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖− �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖− �𝑦𝑦
2 𝑖𝑖番目に観測された学習データ
𝒙𝒙𝑖𝑖
, 𝑦𝑦𝑖𝑖
�𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
残差𝜀𝜀𝑖𝑖
0.5未満：悪い、0.5以上：やや良い、0.8以上：非常に良い
偏差平方和：値と平均の差の二乗和

32. 決定係数を用いた精度評価の例
39
 実績値𝑦𝑦 ：実際の目標変数𝑦𝑦の値
 予測値�𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′ ：重回帰式を用いて予測した目標変数𝑦𝑦の値
 決定係数を求める
 決定係数が１に近いので、重回帰式がよく当てはまっている
売上額𝑦𝑦
(千万円)
実績値
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
売上額�𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′
(千万円)
予測値
A 8 5 6 8.1
B 9 5 8 9
C 12 7 10 11.7
D 11 5 12 10.9
E 13 8 12 13.4
F 17 12 12 16.9
𝑅𝑅2 = 1 −
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦 2
= 1 −
0.35
51.3
= 0.993

33. 演習3
40
 決定係数を求めて、重回帰式の精度を分析しなさい。
 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の
一番上に記載
売上額𝑦𝑦
(千万円)
実績値
広告費𝑥𝑥1
(百万円)
セールスマン数𝑥𝑥2
(人)
売上額𝑦𝑦
(千万円)
予測値
A 8 5 6 8.1
B 9 5 8 9
C 12 7 10 11.7
D 11 5 12 10.9
E 13 8 12 13.4
F 17 12 12 16.9
G 50 17 14 22.1
𝑅𝑅2
= 1 −
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦 2

34. 内容：
42
 単回帰分析の復習
 重回帰分析の基礎
 重回帰分析の例
 重回帰分析の定式化
 重回帰分析の実装
 重回帰分析の活用
 目的変数の予測
 説明変数の分析
 回帰分析の精度評価
 利用時の注意点

35. 重回帰分析の利用時の注意点
43
 必要なデータ数：
 パラメータ（𝒘𝒘、𝑏𝑏）の数より多いのが基本
 一般的にはパラメータ数の10倍が目安
 決定係数は説明変数が増えるほど1に近づく
 説明変数が多い場合は、自由度調整済み決定係数を用いる
Peter Peduzzi et al., 1995
�𝑅𝑅2 = 1 −
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖
− �𝑓𝑓𝒘𝒘′ 𝒙𝒙′𝑖𝑖
2
𝑁𝑁 − 𝐷𝐷 − 1
∑𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦 2
𝑁𝑁 − 1
𝐷𝐷：説明変数の数
𝑅𝑅2 = 1 −
0.35
51.3
= 0.993
自由度調整済み
決定係数
�𝑅𝑅2
= 1 −
0.35/(6 − 2 − 1)
51.3/(6 − 1)
= 0.989
決定係数
説明変数が多いほど厳しい評価

36. 重回帰分析の利用時の注意点 2
44
 説明変数間の1次従属性：多重共線性（マルチコ）
 説明変数間が１次従属の場合行列𝐗𝐗𝐗𝐗Τが正則でなくなり不安定になる
 線形モデルを用いる重回帰では非線形な関数を表現不可
𝒘𝒘′
= 𝐗𝐗𝐗𝐗Τ −𝟏𝟏
𝐗𝐗𝐗𝐗 𝒘𝒘′
= 𝐗𝐗𝐗𝐗Τ
+ 𝜆𝜆𝑰𝑰
−𝟏𝟏
𝐗𝐗𝐗𝐗
𝑰𝑰：単位行列
𝜆𝜆：スカラー
カーネルモデル
対策：行列 𝐗𝐗𝐗𝐗Τ の対角成分に小さい値を足すことにより正則化
カーネル関数を用いた関係モデル（カーネルモデル）に拡張

37. 課題 準備
45
 ExcelまたはPythonを用いて、以下の家賃データに対して
重回帰分析を行いなさい。
 データはmoodleからダウンロードしてください。
目的変数𝑦𝑦 ：家賃（円）
説明変数𝑥𝑥1 ：徒歩（分）
説明変数𝑥𝑥2 ：専有面積（平方m）

38. 課題
46
1. 家賃データに対する重回帰式の偏回帰係数（𝒘𝒘と𝑏𝑏）を
求めなさい。
2. 説明変数（徒歩、専有面積）の目的変数（家賃）への影響に
ついて考察しなさい。
3. 決定係数を求めて、重回帰分析の精度を評価しなさい。
4. 家賃データに対する重回帰式の標準偏回帰係数（𝒘𝒘と𝑏𝑏）を
求め、説明変数の重要度について考察しなさい。

39. レポートの提出方法
47
 演習レポート：
 タイトル「演習レポート」、日付・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載
 課題レポート ：
 タイトル「課題レポート」、出題日・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載
 2ページ以上になる場合は、ホッチキス留め
 A4サイズの用紙を使用
 一度に複数の課題レポートを提出する場合出題日ごとに別々に綴じる