DOWNLOAD : https://hdartantonio.blogspot.com/
Explicació del procediment a seguir per comentar una obra pictòrica prenent com a base per exemplificar el procés les pintures seleccionades per l’examen de les PAU 2020. La presentació també inclou a les darreres diapositives un esquema resúm del guió a seguir per comentar una obra pictòrica, seguint els criteris establerts per l'exercici de les PAU 2020.
Per últim, cal tenir present que hi ha una part important dels continguts d'aquesta presentació que apareixen en forma d’animació, els qual sols podreu veure correctament si us descarregueu la presentació en el seu format original de PowerPoint..
Una mirada sobre l'art islàmic en general i l'art andalusí en particular, així com la seua emprempta en l'art romànic i gòtic peninsular. Tema fet per Pau Tobar per a l'alumnat d'Història de l'Art de 2n de Batxillerat.
DOWNLOAD : https://hdartantonio.blogspot.com/
Explicació del procediment a seguir per comentar una obra pictòrica prenent com a base per exemplificar el procés les pintures seleccionades per l’examen de les PAU 2020. La presentació també inclou a les darreres diapositives un esquema resúm del guió a seguir per comentar una obra pictòrica, seguint els criteris establerts per l'exercici de les PAU 2020.
Per últim, cal tenir present que hi ha una part important dels continguts d'aquesta presentació que apareixen en forma d’animació, els qual sols podreu veure correctament si us descarregueu la presentació en el seu format original de PowerPoint..
Una mirada sobre l'art islàmic en general i l'art andalusí en particular, així com la seua emprempta en l'art romànic i gòtic peninsular. Tema fet per Pau Tobar per a l'alumnat d'Història de l'Art de 2n de Batxillerat.
Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció.
Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra.
Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.
1. 1
Exercicis de selectivitat – Derivades (extrems i creixement)
1
a) Que la gràfica de ( )f x talli l’eix d’abscisses en 0x = i 1x = significa que (0) 0f = i
(1) 0f = , és a dir:
·0 ·0 ·0 0 0 0
·1 ·1 ·1 0 0 0
a b c d d d
a b c d a b c d a b c
+ + + = = =
⇒ ⇒
+ + + = + + + = + + =
(1)
Que la funció tingui un mínim en 0x = implica que '(0) 0f = , 2
'( ) 3 2f x ax bx c= + + , per tant:
3 ·0 2 ·0 0 0a b c c+ + = ⇒ = (2)
De (1) i (2) es dedueix: 0a b b a+ = ⇔ = − . Per tant la funció té la forma: 3 2
( )f x ax ax= −
Noteu que ha de ser 0a < , ja que si fos 0a > , com que la segona derivada és ''( ) 6 2f x ax a= − , es
compliria que ''(0) 6 ·0 2 2 0f a a a= − = − < i això
implicaria que en 0x = hi hauria un màxim en
comptes d’un mínim.
b) 2
'( ) 3 2f x ax ax= − s’anul·la per a 0x =
(mínim) i 2/3x = . Com que
''(2/3) 4 2 2 0f a a a= − = < , es dedueix que en
2/3x = hi ha un màxim.
''( ) 0 6 2 0 1/3f x ax a x= ⇔ − = ⇔ = ;
'''( ) 6 0f x a= ≠ , per tant, en 1/3x = hi ha una
inflexió.
2
1/3 2/3
2. 2
Observant el dibuix es veu que en l’interval (2, 3)
les tangents a la gràfica tenen pendent positiu, per
tant, 'f és positiva. Això també passa en l’interval
(5, 6) . En canvi, en l’interval (3, 5) la derivada ha
de ser negativa.
En els punts 3x = i 5x = la funció hi té extrems,
per tant, la derivada s’hi anul·la: '(3) '(5) 0f f= =
En el punt 4x = la funció hi té una inflexió i passa
de convexa a còncava; per tant la derivada passa
de decréixer a créixer i hi té, per tant, un mínim.
La gràfica de '( )f x pot ser com la de la figura
3
a) 1 2
2 3
12
( ) 1 6 '( )
a
f x a x x f x
x x
− −
= + + ⇒ = − − Si en 3x = hi ha un extrem s’ha de complir:
'(3) 0f = , és a dir: 2 3
12
0 3 12 0
3 3
a
a− − = ⇒ − − = ⇒ 4a = −
b) 2 3
2 3 3 4 3 4
4 12 8 36 8 36 12
'( ) 4 12 ''( ) ''(3) 0
3 3 81
f x x x f x f
x x x x
− −
= − = − ⇒ = − + ⇒ = − + = > , per tant es
tracta d’un mínim relatiu.
4
a) Perquè hi hagi un extrem relatiu en 3x = s’ha de complir: '(3) 0f =
3 2
6 4
3 ( ) 2 3
'( )
x x x a x a
f x
x x
− + − −
= =
6 3
'(3) 0 0
81
a
f
− −
= ⇒ = ⇒ 2a = −
b) 4
2 6
'( )
x
f x
x
− +
= Si 3x < es compleix: '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent en ( , 3)−∞
Si 3x > es compleix: '( ) 0f x < , per tant ( )f x és decreixent en (3, )+∞
3 4 5
3. 3
3
2
( )
x
f x
x
−
= Com que
0
( )
x
lím f x
→
= ∞ , la funció té una asímptota vertical d’equació: 0x =
Com que ( ) 0
x
lím f x
→ ± ∞
= (grau del numerador més petit que el del denominador), la funció té una
asímptota horitzontal d’equació: 0y = (Les asímptotes són els eixos de coordenades)
5
( )
( ) ( )
22 2
2 2
(2 1)( 1) 66 2 7
'( ) ''( )
1 1 1
x x x xx x x x
f x f x
x x x
+ + − + −+ − + +
= ⇒ = =
+ + +
En els extrems de la funció la derivada s’anul·la. Busquem els punts singulars de ( )f x :
2
2 36
'( ) 0 0 6 0
21
x x
f x x x x
x
−+ −
= ⇔ = ⇒ + − = ⇔ =
+
Calculem la segona derivada en aquests punts:
( )
2
9 6 7 10
''( 3) 0
93
f
− +
− = = >
−
Per tant, la funció té un mínim relatiu en 3x = −
2
4 4 7 15
''(2) 0
2 4
f
+ +
= = > Per tant, la funció té un altre mínim relatiu en 2x =
6
Calculem la derivada de la funció: ( )2 2
' 4 2 ( ) 3 2 4y x x x a x a x= − + + = + −
Si la funció té un màxim relatiu en 1/3x = − , en aquest punt la derivada ha de valer 0 :
2
1 1 1 2
3 2 4 0 4 0
3 3 3 3
a
a
− + − − = ⇒ − − = ⇒
11
2
a = −
L’altre extrem (el mínim) s’ha de donar en l’altre punt en què la derivada s’anul·la:
2
' 3 11 4y x x= − − ; 2 411 121 48
' 0 3 11 4 0
1/36
y x x x
± +
= ⇔ − − = ⇔ = =
−
Per tant, l’abscissa del
mínim és 4x =
7
4. 4
a) 2 3
3 2(3 )
'( ) 1 ; ''( )
a a
f x f x
x x
− −
= − = En els punts en què la funció té extrems la derivada ha
de valer 0
2
2
3
'( ) 0 1 0 3 3
a
f x a x x a
x
−
= ⇔ − = ⇒ − = ⇒ = ± − (1)
Si 3a = la funció és: ( )f x x= (excepte per a 0x = ) i, per tant, no té extrems.
Si 3a > l’equació (1) no té solucions (radicand negatiu), per tant, la funció no té extrems.
Si 3a < l’equació (1) té dues solucions, una de positiva: 1 3x a= + − i una de negativa:
2 3x a= − − Es comprova que 1''( ) 0f x > i 2''( ) 0f x < , per tant la funció té un màxim en 2x i
un mínim en 1x
b) Si 3a = la funció coincideix amb la recta y x= (excepte en 0x = ) i, per tant és creixent en
tot el seu domini.
Si 3a > la derivada és: 2 2
3 3
'( ) 1 1 0
a a
f x
x x
− −
= − = + > per a qualsevol 0x ≠ ; per tant, en
aquest cas la funció també és creixent en tot el seu domini.
Si 3a < ja hem vist que la funció té màxim i mínim, per tant en algun interval és decreixent.
8
a)
2
2 2
2 1 2/ 1
( )
2 1 2 1/ 2x x x
x x x
lím f x lím lím
x x→±∞ →±∞ →±∞
− −
= = =
+ +
Per tant, la funció té una asímptota horitzontal
(per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 1/ 2y =
Si té asímptota horitzontal ja no en pot tenir d’obliqües.
Com que el denominador de ( )f x no s’anul·la per a cap valor de x , tampoc no hi ha
asímptotes verticals.
b)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
(2 2) 2 1 4 2 4 2 2
'( )
2 1 2 1
x x x x x x x
f x
x x
− + − − + −
= =
+ +
( )
2
2
22
1/ 24 2 2 1 9
'( ) 0 0 2 1 0
142 1
x x
f x x x x
x
+ − − ±
= ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = =
−+
Noteu que el signe de la derivada només depèn del numerador ja que el denominador és
positiu per a qualsevol valor de x . És fàcil comprovar que:
Si 1x < − llavors '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent estrictament en ( , 1)−∞ −
Si 1 1/ 2x− < < llavors '( ) 0f x < , per tant ( )f x és decreixent estrictament en ( 1, 1/ 2)−
Si 1/ 2x > llavors '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent estrictament en (1/ 2, )+∞
Es dedueix que la funció té un màxim relatiu en 1x = − i un mínim relatiu en 1/ 2x =
5. 5
c) i d)
La funció ( )g x té màxim allà on ( )f x té mínim i viceversa. (Per a obtenir la gràfica de ( )g x cal
“girar” la de ( )f x respecte de l’eix d’abscisses i traslladar-la tres unitats cap a dalt.)
9
a) 2
'( ) 3 3 6f x x x= − − ; Els extems relatius es donen en punts en què la derivada val 0 :
2 2 2
'( ) 0 3 3 6 0 2 0
1
f x x x x x x
= ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =
−
(punts singulars)
''( ) 6 3f x x= − ; ''(2) 9 0f = > per tant hi ha un mínim relatiu en 2x =
''( 1) 9 0f − = − < per tant hi ha un màxim relatiu en 1x = −
3 23
(2) 2 ·2 6·2 3 13
2
f = − − − = − 3 23 1
( 1) ( 1) ·( 1) 6·( 1) 3
2 2
f − = − − − − − − =
b) Si la funció ( )f x tingués, per exemple,
quatre arrels (quatre punts en què
tallaria l’eix d’abscisses), com que és
contínua i derivable, entre cada dues
arrels hi hauria un extrem i n’hi hauria
tres com a mínim, en comptes dels
dos que hem trobat.
Que la funció té tres arrels es dedueix
del teorema de Bolzano:
( )f x és contínua en [ ]2, 1− − i
( 2) 0f − < i ( 1) 0f − > , per tant existeix un punt c entre 2− i 1− tal que ( ) 0f c = .
Anàlogament es pot raonar en els intervals (per exemple) [ ]1, 0− i [ ]2, 4
-1
1/2
( )f x
-1
1/2
( )g x
2-1
6. 6
10
a) Calculem-ne l’asímptota obliqua: y m x n= +
2
2
( )
1
x x
f x x
lím lím m
x x a x→±∞ →±∞
= = =
+
(pendent de l’asímptota)
( )
2
( )
x x x
x a x
lím f x mx lím x lím a n
x a x a→±∞ →±∞ →±∞
−
− = − = = − =
+ +
(ordenada a l’origen)
Per tant, l’asímptota (per la dreta i per l’esquerra) és: y x a= − . De l’enunciat es dedueix
que 2a = −
b)
2
( )
2
x
f x
x
=
−
Domini: }{ 2 0Dom f x x= ∈ − ≠ = { }2−
Interseccions amb eixos: (0) 0f = → (0, 0)
( ) 0 0 (0, 0)f x x= ⇒ = →
Creixement i extrems:
2 2
2 2
2 ( 2) 4
'( )
( 2) ( 2)
x x x x x
f x
x x
− − −
= =
− −
2
2
04
'( ) 0 0
4( 2)
x x
f x x
x
−
= ⇔ = ⇔ =
−
(punts singulars)
És fàcil comprovar que:
Si 0x < la derivada és positiva, per tant, la funció és creixent en ( , 0)−∞
Si 0 4x< < ( 0x ≠ ) la derivada és negativa, per tant, la funció és decreixent en (0, 2) i
(2, 4)
Si 4x > la derivada és positiva, per tant, la funció és creixent en (4, )+∞
Es dedueix que té un màxim relatiu en 0x = , i un mínim relatiu en 4x =
40
7. 7
11
a) Domini de ( )f x : { } { }2
8 0 0, 8Dom f x x x= ∈ − ≠ = −
Asímptotes verticals:
0
( )
x
lím f x
→
= ∞ i
8
( )
x
lím f x
→
= ∞ , per tant hi ha dues asímptotes
verticals d’equacions: 0x = i 8x =
Asímptotes horitzontals: ( ) 0
x
lím f x
→±∞
= (numerador de grau més petit que el denominador),
per tant hi ha una asímptota horitzontal (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 0y =
Com que n’hi ha d’horitzontals no n’hi pot haver d’obliqües.
b) Com que el numerador és positiu, el signe de la funció només depèn del denominador
2
8 (8 )x x x x− = −
És fàcil veure que:
Si 0x < el denominador és negatiu, per tant ( ) 0f x < en ( , 0)−∞
Si 0 8x< < el denominador és positiu, per tant ( ) 0f x > en (0, 8)
Si 8x > el denominador és negatiu, per tant ( ) 0f x < en (8, )+∞
c)
( )
22
2 8
'( )
8
x
f x
x x
−
=
−
Aquesta derivada s’anul·la en 4x = (punt singular). El seu signe
depèn del numerador (observeu que el denominador sempre és positiu)
Si 4x > la derivada és positiva, per tant ( )f x és creixent en (4, 8) i (8, )+∞
Si 4x < la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( , 0)−∞ i (0, 4)
Es dedueix que hi ha un mínim relatiu
en 4x =
4 80
0 4 8
8. 8
12
a) Asímptotes verticals (només poden estar en els punts en què s’anul·la el denominador):
1
( ' )
( )
( )x
per l esquerra
lím f x
per la dreta→−
−∞
=
+∞
, per tant hi ha una asímptota vertical d’equació: 1x = −
Asímptotes horitzontals:
2
( 1) 1
( )
1 (1 1/ ) 1 1/x x x x
x x x x x
lím f x lím lím lím
x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− − −
= = = = +∞
+ + +
Anàlogament: ( )
x
lím f x
→−∞
= −∞ per tant, no hi ha asímptotes horitzontals.
Asímptotes obliqües: y m x n= +
( ) 1 (1 1/ ) 1 1/
1
1 (1 1/ ) 1 1/x x x x
f x x x x x
lím lím lím lím m
x x x x x→± ∞ →+∞ →+∞ →+∞
− − −
= = = = =
+ + +
(pendent de l’asímptota)
( )
2
2 2
( ) 2
1 1 1 1/x x x x
x x x
lím f x m x lím x lím lím n
x x x→± ∞ →+∞ →+∞ →+∞
− − −
− = − = = = − =
+ + +
(ordenada a l’origen)
Per tant, hi ha una asímptota obliqua (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 2y x= −
b) i c)
( )2 2
2 2
(2 1)( 1) 2 1
'( )
( 1) ( 1)
x x x x x x
f x
x x
− + − − + −
= =
+ +
Els extrems relatius es donen en punts en què
la derivada val 0 :
2
2
2
1 22 1 2 8
'( ) 0 0 2 1 0
( 1) 2 1 2
x x
f x x x x
x
− ++ − − ±
= ⇔ = ⇒ + − = ⇔ = =
+ − −
(punts singulars)
El signe de la derivada depèn del numerador (ja que el denominador és sempre positiu)
És fàcil veure que:
Si 1 2x < − − la derivada és positiva, per tant la funció és creixent en ( ), 1 2−∞ − −
Si 1 2 1 2x− − < < − + (excepte 1x = − ) la derivada és negativa, per tant la funció és
decreixent en ( )1 2 , 1− − − i
( )1, 1 2− − +
Si 1 2x > − + la derivada és positiva, per
tant la funció és creixent en
( )1 2 ,− + +∞
Es dedueix que ( )f x té un màxim en
1 2x = − − i un mínim en 1 2x = − +
9. 9
13
a) 2
'( ) 3 2 ''( ) 6 2f x x x f x x= + = + Els màxims i mínims es troben en punts en què la
derivada s’anul·la: 2 0
'( ) 0 3 2 0
2/3
f x x x x
= ⇔ + = ⇔ =
−
(punts singulars)
''(0) 2 0f = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 0x =
''( 2/3) 2 0f − = − < , per tant hi ha un màxim relatiu en 2/3x = −
(0)f b= 3 2
( 2/3) ( 2/3) ( 2/3)f b− = − + − + =
4
27
b+
b) Si 0b > la gràfica tallarà l’eix d’ordenades en el punt (0, )b , per sobre de l’origen
Si 0b = la gràfica passarà per l’origen de coordenades.
c) Perquè la gràfica en el màxim relatiu sigui
tangent a l’eix d’abscises s’ha de complir:
4
( 2/3) 0 0
27
f b− = ⇔ + = ⇔ 4/ 27b = −
d) A la vista de les gràfiques es dedueix que
si 0b = o 4/ 27b = − l’equació ( ) 0f x =
tindrà dues solucions (una de les quals
serà el màxim o el mínim). Si 0b > o
4/ 27b < − en tindrà només una i si
0
-2/3
0
-2/3
0-2/3
10. 10
4/ 27 0b− < < l’equació tindrà tres solucions.
14
a)
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 2 2
9 2 ( 5) 10 9 10 9
'( )
9 9 9
x x x x x x x
f x
x x x
− − + − − − + +
= = = −
− − −
( )
2
22
2 10·2 9 33
'(2)
252 9
f
+ +
= − = −
−
(pendent de la tangent) ;
2 5 7
(2)
4 9 5
f
+
= = −
−
Equació de la tangent: (2) '(2)( 2)y f f x− = − ⇔
7 33
( 2)
5 25
y x+ = − −
b) Domini: { } { }2
9 0 3, 3Dom f x x= ∈ − ≠ = − −
Asímptotes verticals: si n’hi ha han d’estar en els punts en què el denominador val 0 :
3
( ' )
( )
(x
per l esquerra
lím f x
per la dreta→−
+∞
=
−∞ 3
( )
( )
( ' )x
per la dreta
lím f x
per l esquerra→+
+∞
=
−∞
Per tant hi ha dues asímptotes verticals d’equacions: 3x = − i 3x =
Asímptota horitzontal: 2
5 (1 5/ ) 1 5/
( ) 0
9 ( 9/ ) 9/x x x x
x x x x
lím f x lím lím lím
x x x x x x→± ∞ →± ∞ →± ∞ →± ∞
+ + +
= = = =
− − −
Per tant hi
ha una asímptota horitzontal (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 0y =
Com que n’hi ha d’horitzontal no pot haver-n’hi d’obliqües.
c) Busquem els possibles màxims i mínims:
( )
2
2
22
910 9
'( ) 0 0 10 9 0
19
x x
f x x x x
x
−+ +
= ⇔ − = ⇒ + + = ⇔ =
−−
(punts singulars)
Es pot comprovar que:
Si 9x < − la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( , 9)−∞ −
Si 9 1x− < < − (excepte 3x = − ) la derivada és positiva, per tant ( )f x és creixent en
( 9, 3)− − i ( 3, 1)− −
Si 1x > − (excepte 3x = ) la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( 1, 3)− i
(3, )+ ∞
Es dedueix que ( )f x té un mínim relatiu en 9x = − i un màxim relatiu en 1x = −
–1 3– 9 – 3
11. 11
Observeu que el mínim és molt a
prop de l’eix d’abscisses, ja que
( 9) 0,06f − =
15
a) Si la tangent en 0x = és horitzontal, la derivada en aquest punt serà 0 .
3 2
'( ) 4 3 2 '(0)f x x a x b x c f c= + + + ⇒ = , per tant ha de ser 0c =
b) Si hi ha un extrem relatiu en 2x = − vol dir que '( 2) 0f − = , és a dir:
3 2
4( 2) 3 ( 2) 2 ( 2) 0 12 4 32a b a b− + − + − = ⇒ − = (1)
Si la gràfica talla l’eix d’abscisses en 1x = vol dir que (1) 0f = , és a dir: 8a b+ = − (2)
Resolem el sistema format per les equacions (1) i (2):
12 4 32
8
a b
a b
− =
⇔
+ = −
0
8
a
b
=
= −
c) Com a conseqüència dels resultats anteriors es dedueix que 4 2
( ) 8 7f x x x= − +
3
'( ) 4 16f x x x= − Busquem els possibles màxims i mínims:
3 2
0
'( ) 0 4 16 0 4 ( 4) 0 2
2
f x x x x x x
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −
(punts singulars)
2
''( ) 12 16f x x= − ; ''(0) 16 0f = − < , per tant hi ha un màxim relatiu en 0x =
2
''( 2) 12( 2) 16 32 0f − = − − = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 2x = −
2
''(2) 12(2) 16 32 0f = − = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 2x =
-3 3
-1-9
12. 12
Es dedueix que ( )f x és
decreixent en ( , 2)−∞ − i
en (0, 2) i és creixent en
( 2, 0)− i en (2, )+∞
(També es pot deduir
directament a partir del
signe de la derivada)
16
a) Domini: Com que la funció és la composició d’una exponencial i una polinòmica, i totes
dues tenen per domini , es dedueix que Dom f =
Interseccions amb els eixos: 0
(0) 1f e= = → (0, 1) (amb l’eix d’ordenades)
Com que una funció exponencial sempre és positiva, no hi ha intersecció amb l’eix
d’abscisses.
b) ( )
2
2
'( ) 2 2x x
f x e x− +
= − + Busquem els punts en què la derivada s’anul·la:
'( ) 0 2 2 0 1f x x x= ⇔ − + = ⇔ = (punt singular)
És clar que si 1x < la derivada és positiva i si 1x > la derivada és negativa, per tant la
funció és creixent en ( , 1)−∞ i decreixent en (1, )+∞ Es dedueix que té un màxim relatiu
en 1x =
D’asímptotes verticals no en té ja que la funció és contínua en tot el seu domini.
2
2
0x x
x
lím e e− + −∞
→+∞
= = , per tant té una asímptota horitzontal per la dreta d’equació:
0y =
2
2
0x x
x
lím e e− + −∞
→− ∞
= = , per tant l’asímptota anterior també ho és per l’esquerra.
Com que hi ha asímptotes horitzontals no n’hi pot haver d’obliqües.
(-2 , -9) (2 , 9)
(0 , 7)
13. 13
d) Noteu que, en
tractar-se d’una
exponencial, la funció és
positiva en tot el domini.
17
a) '( ) ( ) ( )x x x
f x e ax b ae e ax b a= + + = + + . Si la funció té un extrem en ( )3
3, e vol dir dues
coses:
3 3 3
3
3 1(3) (3 )
4 0'(3) 0 (4 ) 0
a bf e e a b e
a bf e a b
+ = = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ == + =
1
4
a
b
= −
=
b) ( ) ( 4)x
f x e x= − +
'( ) ( 3)x
f x e x= − +
''( ) ( 3) ( 2)x x x
f x e x e e x= − + − = − + 3
''(3) 0f e= − < , per tant es tracta d’un màxim
18
4 3 2 2 2 3 2 3 2
'( ) 30 60 30 30 ( 1) ; ''( ) 120 180 60 ; '''( ) 360 360 60f x x x x x x f x x x x f x x x= − + = − = − + = − +
Els pòssibles màxims i mínims han de trobar-se entre els punts que anul·len la derivada:
2 2 0
'( ) 0 30 ( 1) 0
1
f x x x x
= ⇔ − = ⇔ =
Noteu que '( ) 0f x > per a qualsevol valor de x , per tant, la funció és creixent en tot el seu
domini i no té extrems. En els punts 0x = i 1x = la segona derivada també s’anul·la però la
tercera no, per tant són punts d’inflexió.
(1, 2.72)
14. 14
19
La funció étà definida i és contínua en { }3−
2 2 3 2 3 3 2 2
4 3 3 3
3 ( 3) 2( 3) 3 ( 3) 2 9 ( 9)
'( )
( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
x x x x x x x x x x x
f x
x x x x
− − − − − − −
= = = =
− − − −
Evidentment la derivada s’anul·la per a 0x = i 9x = (punts singulars, possibles màxims o
mínims).
Observeu que el numerador serà negatiu si 9x < i positiu si 9x > , i el denominador serà
negatiu si 3x < i positiu si 3x > (perquè és una potència imparella). Es dedueix:
Si 3x < serà '( ) 0f x > , per tant la funció serà creixent en ( , 3)−∞
Si 3 9x< < serà '( ) 0f x < , per tant la funció serà decreixent en (3, 9)
Si 9x > serà '( ) 0f x > , per tant la funció serà creixent en (9, )+∞
Es dedueix que hi ha un mínim relatiu en 9x = (En 3x = hi ha canvi de creixement, però no hi
ha extrem ja que la funció no hi està definida.)
20
a) En el punt 1x = la funció és discontínua. Si el numerador no s’anul·la en 1x = , la
discontinuïtat serà infinita. Si el numerador s’anul·la en 1x = la discontinuïtat pot ser evitable.
Perquè el numerador s’anul·li en 1x = ha de ser 2 0 2m m− = ⇔ =
Si 2m = :
1 1 1
2 2 2 2( 1)
2
1 1 1x x x
mx x x
lím lím lím
x x x→ → →
− − −
= = =
− − −
(disc. evitable)
Si 2m ≠ :
1
1 2 1 22 2
1 0 1 2 1 2x
si x i m o bé si x i mmx m
lím
x si x i m o bé si x i m
+ −
+ +→
+∞ → > → <− −
= = − −∞ → < → >
b) 2 2
( 1) ( 2) 2
'( )
( 1) ( 1)
m x mx m
f x
x x
− − − −
= =
− −
Perquè la derivada sigui positiva per a tot valor de x , el
numerador de la derivada ha de ser positiu: 2 0m− > ⇔ 2m <
15. 15
21
{ } { }1 0 1Dom f x x= ∈ − ≠ = −
Asímptotes verticals:
2
1 1
14 1 2
( )
1 0 1x x
si xx x
lím f x lím
x si x
−
+→ →
+∞ →− + −
= = = − − ∞ →
, per tant hi ha una
asímptota vertical d’equació: 1x =
Asímptotes horitzontals:
2
4 1 4 1/
( )
1 1 1/x x x
x x x x
lím f x lím lím
x x→±∞ →±∞ →±∞
− + − +
= = = ±∞
− −
Per tant no hi ha
asímptota horitzontal per cap costat.
Asímptotes obliqües: y mx n= +
2 2
2
( ) 4 1 1 4/ 1/
1
1 1/x x x
f x x x x x
lím lím lím m
x x x x→±∞ →±∞ →±∞
− + − +
= = = =
− −
(pendent de l’asímptota obliqua)
[ ]
2
4 1 3 1
( ) 3
1 1x x x
x x x
lím f x mx lím x lím n
x x→±∞ →±∞ →±∞
− + − +
− = − = = − =
− −
(ordenada a l’origen de l’asímptota)
Per tant hi ha asímptota obliqua (per l’esquerra i per la dreta) d’equació: 3y x= −