Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20

6,574 views

Published on

Επιμέλεια: Ν. Σουρμπής και Γ. Βαρβαβούκας αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20

  1. 1. ΝΙΚΟΣ ΣΟΥΡΜΠΗΣ - Γ.ΒΑΡΒΑ∆ΟΥΚΑΣ 27/10/2019 Θέµα Α Α1) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι και συνεχής στο 0x . (Μονάδες 9) Α2) Να δοθεί ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο 0 fx A∈ . (Μονάδες 3) Α3) Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x τότε είναι και παραγωγίσιμη στο 0x ». Να απαντήσετε με Σ ή Λ και να αιτιολογήστε. (Μονάδες 1+2) Α4) Με βάση το διπλανό σχήμα να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις. α. Η f είναι αντιστρέψιμη. β. Η f έχει μέγιστη τιμή ( )1 1f = . γ. H εξίσωση ( )2019 1f x⋅ = έχει τουλάχιστον μια ρίζα. δ. ( ) ( )( ) ( )( )2 0 lim lim x x f x f x f f x+→+∞ → − = ε. H f έχει οριζόντια εφαπτομένη. (Μονάδες 10) x y 0 1 1 f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3
  2. 2. Θέµα Β Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 2 1x x f x e e= + + με πεδίο ορισμού [ )0,Α = +∞ . B1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και να βρείτε το σύνολο τιμών ( )f A . (Μονάδες 4) B2) Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( ) ( ) 2 1x g x e= + και ( )h x x= , με 0x ≥ να δείξετε ότι ισχύει goh f= . (Μονάδες 6) B3) Να δείξετε ότι η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση ( ) ( )1 2 ln 1f x x− = − με 4x ≥ (Μονάδες 8) Β4) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )1 lim x f x f x ηµ −→+∞ . (Μονάδες 7) Θέµα Γ Έστω η συνεχής συνάρτηση :f →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ότι : ( ) ( ) 2x x x f x e e f x e+ = + για κάθε x∈ℝ Γ1) Να δείξετε ότι ( )0 1f = . (Μονάδες 5) Γ2) Να δείξετε ότι ( ) x f x e= και να βρείτε το όριο: ( ) ( ) ( ) 2 lim 1 x x f x f x e f x ηµ − →+∞  +   −  (Μονάδες 5) Γ3) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f και η συνάρτηση ( ) 1 g x x = , x > 0 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο 0x . (Μονάδες 8) Γ4) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης g στο 0x σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 2 τ.μ. (Μονάδες 7) 07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3
  3. 3. Θέµα ∆ Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ ]3,7Α = με ( )4 0f = . Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )4 3g x f x= + έχει πεδίο ορισμού το [ ]0,1gΑ = και στη συνέχεια ότι έχει ένα μόνο κοινό σημείο ( )0 0,x yΜ με την ευθεία ε: y = x. (Μονάδες 10) Δ2) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( )2 2 2 2 7 4 4 3f x x f x xσυν ηµ− + > + + . (Μονάδες 5) Δ3) Με δεδομένο ότι ( ) ( )0 0 0 lim 2 h g x h g x h h→ + − − = − , να δείξετε ότι η συνάρτηση g και η ( ) 0 0 1x x x e xϕ − + = + − έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0x . (Μονάδες 5) Δ4) Να βρείτε το όριο ( ) ( )( )0 lim 2 ln x g x g x x+ →  −  . (Μονάδες 5) Ευχόµαστε επιτυχία 07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3

×