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Travel Times, Residence Times and IUH - II

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This is an alternative (the old one) approach to show that travel times correspond to IUH

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Travel Times, Residence Times and IUH - II

  1. 1. Riccardo Rigon L’idrogramma Istantaneo Unitario Preliminari (un’alternativa) TheGreatWaveoffKanagawa,Hokusai1823
  2. 2. Riccardo Rigon 2 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH IUH: tempi di residenza
  3. 3. Riccardo Rigon 3 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH t1 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  4. 4. Riccardo Rigon 4 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH t2 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  5. 5. Riccardo Rigon 5 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH t3 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  6. 6. Riccardo Rigon 6 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH t4 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  7. 7. Riccardo Rigon 7 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH t5 Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  8. 8. Riccardo Rigon Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH 8 t1 t2 t3 t4 t5 IUH: tempi di residenza
  9. 9. Riccardo Rigon 9 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH v(t) = k vkIk(t) Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980 IUH: tempi di residenza
  10. 10. Riccardo Rigon 10 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH v(t) = k vkIk(t) Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino. Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo corrente, t. IUH: tempi di residenza
  11. 11. Riccardo Rigon 11 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere: dv dt = dP[T > t] dt = (t) IUH (t) La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la probabilità di superamento del tempo di residenza IUH: tempi di residenza
  12. 12. Riccardo Rigon 12 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere: dv dt = dP[T > t] dt = (t) IUH (t) IUH: tempi di residenza
  13. 13. Riccardo Rigon 13 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere: dv dt = dP[T > t] dt = (t) IUH (t) Variazione di volume (nel tempo) all’interno del bacino Ciò che entra - ciò che esce IUH: tempi di residenza
  14. 14. Riccardo Rigon 14 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere: dv dt = dP[T > t] dt = (t) IUH (t) Precipitazione efficace istantanea ed unitaria Portata in uscita corrispondente ad una precipitazione in entrata istantanea ed unitaria IUH: tempi di residenza
  15. 15. Riccardo Rigon 15 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Integrando risulta allora P[T > t] = t 0 (t)dt t 0 IUH (t)dt Ovvero P[T < t] = t 0 IUH (t)dt dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne spiega compiutamente la forma). IUH: tempi di residenza
  16. 16. Riccardo Rigon 16 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Integrando risulta allora P[T > t] = t 0 (t)dt t 0 IUH (t)dt Ovvero P[T < t] = t 0 IUH (t)dt dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne spiega compiutamente la forma). Questo vale 1 per definizione IUH: tempi di residenza
  17. 17. Riccardo Rigon 17 Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora pdf(t) = IUH(t) che è quanto volevamo dimostrare IUH: tempi di residenza

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