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15.2 reti idrauliche-ii

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Mass and energy conservation for aqueducts networks. Variables entering the model are discussed and equations derived.

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15.2 reti idrauliche-ii

  1. 1. Riccardo Rigon Reti di distribuzione idrica Equazioni - II MRanzato-RetiIdricheRoncoall’Adige
  2. 2. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Per ogni nodo interno si può scrivere una equazione di conservazione della massa. In questo caso 1 2 3 3 3 i=1 Qi ai3 = 0 dove Qi è un componente del vettore colonna delle portate fluenti nei tratti: Conservazione della massa 2
  3. 3. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 3 Equazioni Conservazione della massa In notazione vettoriale, la precedente equazione si potrebbe scrivere: dove è la trasposta della matrice di incidenza (adiacenza)
  4. 4. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Ovvero: 1 2 3 3Q1 Q2 + Q3 = 0 Conservazione della massa 4 Se è il vettore colonna che corrisponde alle portate eventualmente fornite od emunte ai vari nodi.
  5. 5. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 5 Equazioni Conservazione della massa Se si assume che vi sia un emungimento, immissione di portata anche nel nodo 3, allora il vettore P diviene: Le prime tre equazioni risultano delle assegnazioni e renderebbero il sistema sovradeterminato. In genere non tutte queste portate sono assegnate e, in questo caso, le equazioni corrispondenti, vengono tolte dal sistema (con una riduzione del numero di colonne di A)
  6. 6. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Si ossservi che si è assunto che gli emungimenti avvengano ai nodi in questo caso nessuna equazione di conservazione è associata ai tratti, dove la portata si limita a fluire. 1 Q1 Il flusso di massa determina però una perdita di carico lungo la condotta Conservazione della massa 6
  7. 7. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni La rete in pressione è soggetta a consumi variabili durante il giorno e durante i mesi. Tuttavia per la progettazione delle reti, si assume che il moto delle condotte in pressione sia permanente con portata pari alla portata di progetto (generalmente la portata massima nel giorni di massimo consumo). Il moto inoltre si assume in regime turbolento, anche se è evidente che in alcuni tratti terminali il moto potrebbe essere di tipo laminare. 1 Q1 Conservazione della massa 7
  8. 8. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni La perdita di carico è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua fluente e si può allora calcolare con la formula di Darcy-Weisbach o Gaukler e Strickler (Manning nella letteratura anglosassone) Darcy-Weisbach Gaukler e Strickler Ji = v2 i K2 s i R 4/3 h i = 44/3 v2 i K2 s i D 4/3 i Ji = i v2 i 2gDi Dissipazione dell’energia 8
  9. 9. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Ovvero, in funzione delle portate: Darcy-Weisbach Gaukler e Strickler Ji = 2 i Q2 i g ⇥2 D3 i Dissipazione dell’energia 9 Ji = 10.2936 Q2 i K2 s i D 16/3 i
  10. 10. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 10
  11. 11. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni In generale, esprimendo la formule con coefficienti generici e in funzione della portata fluente Ji = bi D µ i Qi|Qi| 1 = 2 Dissipazione dell’energia 11 i dove bi dipende dalla formula di scabrezza che si usa
  12. 12. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Dunque la differenza di altezza piezometrica, Hi, tra due nodi successivi è espressa come hk = ⇤ h1 ... hn ⇥ ⌅ dove hk è una componente del vettore (colonna) dei carichi ai nodi Dissipazione dell’energia 12 Li è la lunghezza del tubo (del tratto) in esame
  13. 13. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Dissipazione dell’energia 1 2 3 3 1 2 4 Nel caso della rete ad albero in esame, abbiamo tre equazioni per i tratti: 13
  14. 14. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 14 Equazioni Dissipazione dell’energia Si osservi che le equazioni di dissipazione dell’energia si possono scrivere: se: sono vettori riga e se: sono vettori colonna con
  15. 15. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Che sommate all’equazione di continuità per il nodo interno (3) danno 4 equazioni, usando le ultime tre per calcolare le quote piezometriche assolute. 15 Q1 Q2 + Q3 = 0
  16. 16. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 16 Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Assumendo che Q3 sia assegnata dal fabbisogno idrico dell’utenza, la variabili da determinare rimangono con 4 equazioni utili. In dipendenza di altre condizioni del problema in esame potremo determinare due delle variabile scritte sopra e determinare le altre quattro risolvendo le equazioni a disposizione.
  17. 17. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 17 Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Ad esempio: se è assegnata Q2, anche Q1 risulta assegnata (dall’ equazione di continuità). Rimangono in gioco 4 variabili e tre equazioni. Se, per esempio, si assegna la quota del nodo intermedio, si possono determinare univocamente i diametri dei tubi da usare. Viceversa si potrebbe assegnare il diametro di un tubo e determinare le altre tre variabili.
  18. 18. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 18 Equazioni continuità In generale, si possono assegnare n equazioni di continuità, tante quante i nodi interni che possono essere scritte: o, in forma vettoriale
  19. 19. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 19 All together Le equazioni insieme risultato allora n+t
  20. 20. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 20 All together in forma matriciale dove D è la matrice diagonale contenente i diametri dei tubi, I la matrice diagonale e QT il vettore trasposto delle portate. Il numero di equazioni è n+t, il numero di variabili dipende dal problema in esame. Il sistema di equazioni è un sistema non lineare essendo le portate incognite.
  21. 21. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 21 Se i diametri delle tubazioni sono assegnati Allora il problema diventa un problema di verifica e le incognite che rimangono sono: le t portate lungo i tratti gli n carichi idraulici dei nodi interni Pertanto il sistema di equazioni è ben determinato

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