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15.1 reti di distribuzione idrica - equazioni

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Here we present the equations that are used to verify aqueducts networks. It is the formal part where the equation are written properly trough the adjacency matrix, and proper vectorial notation.

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15.1 reti di distribuzione idrica - equazioni

  1. 1. Riccardo Rigon Reti di distribuzione idrica Equazioni MRanzato-RetiIdricheRoncoall’Adige
  2. 2. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 2 Sommario • Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto di vista matematico le reti di distribuzione idrica • Si vedranno le equazione di conservazione della massa e di dissipazione dell’energia nelle reti in pressione Scrivere le equazioni non significa risolverle!
  3. 3. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento ServizioAcquePubbliche-P.A.T. 3
  4. 4. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento ServizioAcquePubbliche-P.A.T. Sorgenti 4
  5. 5. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento ServizioAcquePubbliche-P.A.T.Adduzioni 5
  6. 6. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento ServizioAcquePubbliche-P.A.T. Serbatoio di testata 6
  7. 7. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento ServizioAcquePubbliche-P.A.T. R e t e d i distribuzione 7
  8. 8. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Topologia Torrino piezometrico Serbatoio di compenso Opera di presa Adduzione Distribuzione 8
  9. 9. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: • tratti • nodi • maglie 9
  10. 10. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: tratti nodi interni esterni maglie 10
  11. 11. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: • tratti • nodi • maglie 11
  12. 12. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 12 La rete precedente è una rete mista Questa è una rete aperta (ad albero)
  13. 13. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 13 Questa una rete a maglie chiuse Si dice maglia ciascun percorso chiuso che fa capo ad un nodo. La maglia è indipendente se non può essere ottenuta come combinazione di altre maglie. Nella figura sopra ci sono tre maglie indipendenti.
  14. 14. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete • Un tratto (o tronco) unisce due nodi (o vertici) 14
  15. 15. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete La relazione esistente tra il numero di tratti, t, il numero di maglie m ed il numero di nodi (vertici), n è: n + m t ⇥ 1 15
  16. 16. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Nella rete precedente ci sono • 28 tratti • 4 maglie (indipendenti) • 25 nodi (11 esterni, 14 interni) 16
  17. 17. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza Per descrivere matematicamente una rete si può procedere come segue, numerando i nodi (in rosso) e i tratti (in blu) 17 (o di adiacenza)
  18. 18. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza Nella teoria dei grafi la matrice di incidenza, A, di un grafo orientato, è la matrice aij di dimensioni t * n dove: n è il numero di nodi (vertici) e t è il numero di tratti. Se aij =1 il tronco i esce dal nodo (vertice) j; se aij =-1 il tronco i entra dal nodo (vertice) j; se aij = 0 il tronco i ed il vertice (nodo) j non sono collegati 18
  19. 19. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza a11 = 1 a23 = -1 11 32 2 1 a21 = 0 Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco uscente dal nodo di indice inferiore ed entrante nel nodo di indice superiore 19
  20. 20. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco uscente dal nodo di indice inferiore end entrante nel nodo di indice superiore (La somma dei numeri sulle righe deve essere uguale ad 0) 20
  21. 21. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 21 1 2 3 1 2 3 Una rete semplice nodo serbatoio nodo serbatoio nodo serbatoio Nei nodi serbatoio la piezometrica è fissata dalla quota del serbatoio
  22. 22. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon 22 1 2 3 1 2 3 Una rete semplice nodo interno Nel nodo interno la piezometrica NON è fissata, ma deve essere calcolata
  23. 23. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza della rete precedente La rete precedente si può numerare nel modo illustrato. A è la matrice di incidenza che la descrive 1 2 3 1 2 3 4 A = ⇤ 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ⇥ ⌅ 23
  24. 24. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza - II Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola colonna) 1 2 3 1 2 3 4A = ⇤ 1 | 1 0 0 1 | 0 1 0 1 | 0 0 1 ⇥ ⌅ 24
  25. 25. Reti di distribuzione idrica Riccardo Rigon La matrice di incidenza - II Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola colonna) 1 2 3 1 2 3 4 A = AI | AS ⇥ 25

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