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Travel Times, Residence Times and IUH

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This shows how the problem of estimating the water budget can be seen as a probabilistic problem

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Travel Times, Residence Times and IUH

  1. 1. Riccardo Rigon L’idrogramma Istantaneo Unitario Preliminari TheGreatWaveoffKanagawa,Hokusai1823
  2. 2. Riccardo Rigon 2 Tempo di viaggio (travel time) Un po’ di definizioni
  3. 3. Riccardo Rigon 3 Tempo di viaggio (travel time) Un po’ di definizioni
  4. 4. Riccardo Rigon 4 Tempo di viaggio (travel time) Un po’ di definizioni
  5. 5. Riccardo Rigon 5 Volume d’acqua Precipitazioni Outflows Il bilancio di massa
  6. 6. Riccardo Rigon 6 injection time actual time Age-ranked functions
  7. 7. Riccardo Rigon 7 aged storage Total storage Age-ranked functions
  8. 8. Riccardo Rigon aged discharge 8 Age-ranked functions
  9. 9. Riccardo Rigon 9 aged input Age-ranked mass budget
  10. 10. Riccardo Rigon 10 Age-ranked mass budget Il bilancio idrologico si può fare seguendo i volumi entrati al tempo
  11. 11. Riccardo Rigon 11 (⇥) IUH: unitarietà
  12. 12. Riccardo Rigon 12 -4 -2 0 2 4 05101520 Delta function t density IUH: unitarietà
  13. 13. Riccardo Rigon 13 e’ la funzione impulso o “delta di Dirac” Dirac’s delta Se
  14. 14. Riccardo Rigon 14 Integrando sul tempo Age-ranked mass budget Definiamo il volume di precipitazione entrata al tempo ed uscita al tempo t
  15. 15. Riccardo Rigon 15 Allora: That’s so simple: “il volume di acqua presente all’interno del bacino precipitato (generato, iniettato), al tempo è uguale alla precipitazione caduta al tempo meno il volume di acqua (precipitata al tempo ) uscita Age-ranked mass budget
  16. 16. Riccardo Rigon 16 Si può osservare che e quindi la frazione sopra si può considerare una probabilità di superamento, condizionata su della quantità che rappresenta il tempo di residenza Forward probabilities
  17. 17. Riccardo Rigon 17 Allora è anche: Dunque: Forward probabilities
  18. 18. Riccardo Rigon 18 Forward probabilities Oppure, semplificando la notazione: Derivando l’espressione si ottiene l’identità
  19. 19. Riccardo Rigon 19 Ovvero Dunque la portata (o la somma degli outflows) si può ottenere dalla convoluzione della densità di probabilità dei tempi di residenza con le precipitazioni. Outflows
  20. 20. Riccardo Rigon 20 Nella teoria classica dell’ idrogramma istantaneo unitario La probabilità dei tempi di residenza è presa indipendente da : IUH

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