Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
Similar to 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية (20)
More from anasKhalaf4
More from anasKhalaf4 (6)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
- 1. العلمي السادس للصف – الأحيائي الفصل الخامس الاعتيادية التفاضلية المعادلات دادعا الجبوري ذياب أنس الدكتور 2021 - 2022
- 2. تقديم بفرعيه العلمي السادس للصف الرياضيات ملزمة اال و حيائي سلسلة من واحدة هي التطبيقي المالزم الحديثة الرياضيات لمادة , على تحتوي وهي توضيحية خطوات ل حل مسائل كل مواضيع الرياضيات كتاب خ شرح مع ط وا وال لالمثلة الحل ت كما الوزارية االسألة الى واالشارة تمارين على تحتوي ال بعض تمارين اال ضافية الرياضات مادة تقديم هو الملزمة هذه من الغرض ان . ل من وذلك الرياضيات في الضعيف المستوى ذوي للطلبة حتى ومفهوم واضح باسلوب لطلبة الحل خطوات شرح خالل و الدقيق بالتفصل و للحل الطرق ابسط اختيار ا رسوم ضافة مباشرة لها المشابهة التمارين ثم االمثلة حل وتم كما . توضيحية ومخططات ذلك من والهدف هو من الطالب تركيز ابقاء األسأ من النوع هذا على ًاصب و لة يكون ان الطالب االسألة بكل ًاملم . النقطة هذه حول ترد ان يمكن التي الى هذه جهدي ثمرة اهدي كل طالب مجد و طموح ساع ًاي اه تحقيق الى دوما دافه كل رغم الصعوبات ف والتحديات أ وجل عز هللا سأل له , حياته في والنجاح التوفيق دوام له وأقول " نك ةمقلابلاايضرتلاوةمهاليلاعًامدو ." الدكتور خلف ذياب أنس 07818192576 anasdhyiab@gmail.com محفوظة الحقوق جميع © 2021 .المؤلف بموافقة اال العمل هذا طباعة اعادة او قص او تعديل يجوز ال
- 4. Ordinary Differential Equations 1 االعتيادية التفاضلية المعادالت Ordinary Differential Equations المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي تحتوي على واحدة مشتقة او أكثر للدالة المجهولة في . المعادلة التفاضلية المعادلة ودرجة رتبة :الرتبة . التفاضلية المعادلة في موجودة مشتقة اعلى وهي :الدرجة و . التفاضلية المعادلة في مشتقة العلى مرفوع أس اكبر هي
- 5. Ordinary Differential Equations 2 تمرين 1 : : االتية التفاضلية المعادالت من كل ودرجة رتبة بين a) (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) + 𝟑𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ا من األولى والدرجة األولى لرتبة b) 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 + 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟕 م األولى والدرجة الثانية الرتبة ن c) (𝒚́ ́ ́ )𝟑 − 𝟐𝒚́ + 𝟖𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 الثالثة والدرجة الثالثة الرتبة من d) ( 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑)𝟐 − 𝟐 ( 𝒅𝒚 𝒅𝒙 ) 𝟓 + 𝟑𝒚 = 𝟎 الثانية والدرجة الثالثة الرتبة من ================ ================================== :مالحظة حل المعادلة التفاضلية هو اية عالقة بين متغيرات المعادلة التفاضلية بحيث ان هذه العالقة : 1 - خالية من المشتقة 2 - معرفة على فترة معينة 3 - تحقق المعادلة التفاضلية =================================================== العالقة أن بين :مثال 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . /الحل للمعادلة االولى المشتقة نجد 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒙 + 𝟑 … (𝟐) ( نعوض 1 ( و ) 2 ال المعادلة في ) الطرفين من تفاضلية LHS = 𝒙𝒚́ = 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒚 : بالتالي نقوم تفاضلية لمعادلة حل هي معادلة ان الثبات التفاضلية المعادلة في الموجودة المشتقة بقدر الحل معادلة نشتق في والمشتقة الحل معادلة نعوض االيمن ثم االيسر الطرف من التفاضلية المعادلة . االيسر الطرف = االيمن الطرف يكون ان يجب 2014 - 1
- 6. Ordinary Differential Equations 3 RHS = 𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟑) = 𝒙𝒚́ ∴ العالقة 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 التفاضلية للمعادلة حل هي 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . ================ ================================= العام الحل التفاضلية للمعادلة التكامل ) ثوابت او ( ثابت على يحتوي الذي هوالحل اما .عليه يحتوي فال الخاص الحل :مثال ان اثبت 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 المعادلة حلول احد 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒚, 𝒙 > 𝟎 :الحل للم األولى المشتقة نجد عادلة 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 … . (𝟏) :وهي 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 . . (𝟐) ( نعوض 1 ( و ) 2 الطرفين من التفاضلية المعادلة في ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 ) = 𝒙(𝟏 + 𝐥𝐧|𝒙| − 𝟏) = 𝒙 𝐥𝐧|𝒙| 𝑹𝑯𝑺 = 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 = 𝒙 𝐥𝐧 |𝒙| = 𝑳𝑯𝑺 ========================================================== :مثال ان بين 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 للمعادلة ًالح 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . /الحل 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ⟹ 𝟐𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙 + 𝒂 الطرفين نشتق بداللة ليس الحل معادلة هنا نالحظ y ب نقوم فال . التفاضلية المعادلة في وتعويضهما معادلتين تكوين .التفاضلية للمعادلة مشابهة لتصبح وترتيبها الحل معادلة باشتقاق نقوم بل 2014 - 2
- 7. Ordinary Differential Equations 4 ⟹ [𝟐 ( 𝟏 𝒚 ) 𝒚́ = 𝟏 ] (× 𝒚) ⟹ 𝟐𝒚́ = 𝒚 ⟹ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 ∴ العالقة 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 للمعادلة حل هي 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . =================================================== تمرين 9 : ان بين 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 للمعادلة ًالح 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . /الحل 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 الطرفين نشتق ⟹ 𝟏 𝒚 𝒚́ = 𝟐𝒙 (× 𝒚) ⟹ 𝒚́ = 𝟐𝒙𝒚 األولى المشتقة ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝒚́ ) + 𝟐𝒚 الثانية المشتقة المشت من نعوض األولى قة ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝟐𝒙𝒚) + 𝟐𝒚 ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 ∴ 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ العالقة 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 تمثل للمعادلة ًالح 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . =================================================== مثال : هل 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ؟ : الحل 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 األولى المشتقة 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 الثانية المشتقة نال حظ لمعادلة الثانية المشتقة نجد ان يجب اذا , الثانية المشتقة على تحوي التفاضلية المعادلة ان . الحل 2011 - 1
- 8. Ordinary Differential Equations 5 للمعادلة الثانية المشتقة 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 التفاضية المعادلة = ∴ العالقة 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 للمعادلة حل هي التفاضلية 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 . ================================================= = :مثال ان برهن 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = 𝟎 . :الحل الحل لمعادلة الثانية المشتقة نجد y . 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) = −𝟔𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒚́ ́ = −𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) − 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 (𝟐) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟐) ( نعوض 1 ( و ) 2 ف ) التفاضلية المعادلة ي 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟒(𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 ) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 =================================================== تمرين 2 : ان برهن 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒚́ ́ + 𝒚 = 𝟎 . :الحل الحل لمعادلة الثانية المشتقة نجد y . 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚́ ́ = − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟐) ( نعوض 1 ( و ) 2 التفاضلية المعادلة في ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚 = −𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 2015 - ت
- 9. Ordinary Differential Equations 6 تمرين 3 : ان برهن العالقة 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 + 𝟗𝒔 = 𝟎 . :الحل الحل لمعادلة الثانية المشتقة نجد s . 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟏) 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = −𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕(𝟑) + 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) = −𝟐𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟏𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 = −𝟐𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) − 𝟏𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 (𝟑) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟐) ( نعوض 1 ( و ) 2 الم في ) التفاضلية عادلة 𝑳𝑯𝑺 = 𝒅 𝟐 𝒔 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟗𝒔 = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟗(𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 ) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================= تم رين 5 : هل 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒚́ ́ = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐 ) . :الحل الحل لمعادلة الثانية المشتقة نجد y . 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒂𝒏 𝒙) = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 … . (𝟐) 2013 - ت
- 10. Ordinary Differential Equations 7 ( نعوض 1 ) ( و 2 التفاضلية المعادلة في ) العالقة ونستخدم 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐) = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================== تمرين 7 : هل 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 ؟ :الحل المشتقة نجد و األولى الثانية ل لمعادلة 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 . 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 … (𝟏) 𝒚(𝟏) + 𝒙𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚 + 𝒙𝒚́ = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 األولى المشتقة 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ (𝟏) = −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 من وبالتعويض , الثانية المشتقة 1 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒙𝒚 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ + 𝟐𝟓 𝒙𝒚 = 𝟎 ∴ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ًالح تمثل التفاضلية للمعادلة 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 النه . يحققها =================================================== :مثال هل 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 ؟ :الحل 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ⟹ 𝟐𝒚𝒚́ = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 ⟹ [𝟐𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ (𝟐𝒚́ ) = 𝟔 + 𝟔𝒙] (÷ 𝟐) ⟹ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟑 + 𝟑𝒙 ⟹ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟑 ≠ 𝟓 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ االيمن الطرف ≠ االيسر الطرف ∴ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 التفاضلية للمعادلة ًالح ليس 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 . يحققها ال النه 2011 – 2, 2015 - 1
- 11. Ordinary Differential Equations 8 تمرين 4 : هل ان 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 ل ًالح لمعادلة 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 ؟ /الحل للمعادلة والثانية االولى المشتقة نجد 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟏 … (𝟐) 𝒚́ ́ = 𝟎 … (𝟑) ( نعوض 1 ( و ) 2 ) ( و 3 ) التفاضلية المعادلة في 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 + 𝟑(𝟏) + 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟓 ≠ 𝒙 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ العالقة 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 التفاضلية للمعادلة ًالح ليست 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 . ================== =========================== تمرين 6 : هل 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ل ًالح لمعادل ة 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 ؟ /الحل للمعادلة والثانية االولى المشتقة نجد 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 … (𝟏) [𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 𝒚́ = 𝟎] ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒚 𝒚́ = 𝟎 األولى المشتقة ⟹ 𝒚 𝒚́ = −𝟐𝒙 ⟹ 𝒚́ = −𝟐𝒙 𝒚 … . (𝟐) 𝟐 + 𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ ( 𝒚́ ) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟎 الثانية المشتقة ( نعوض 2 الثانية المشتقة في ) ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + ( −𝟐𝒙 𝒚 ) 𝟐 = 𝟎 ⟹ [𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 = 𝟎] × 𝒚𝟐 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) ( من نعوض 1 ) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟏) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ العالقة 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 تمث ل التفاضلية للمعادلة ًالح 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 . ===================================================
- 12. Ordinary Differential Equations 9 :مثال أن بين 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 التفاضلية للمعادلة ًالح هو 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . :الحل 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 … (𝟐) األولى المشتقة 𝒚́ ́ = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 … (𝟑) الثانية المشتقة نعوض 𝒚 و 𝒚́ و 𝒚́ ́ : التفاضلية المعادلة في 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 + 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔(𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ) = 𝟔𝒆𝟐𝒙 + 𝟔𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔𝒆𝟐𝒙 − 𝟔𝒆−𝟑𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ العالقة 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 التفاضلية للمعادلة حل هي 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . ================================================== تمرين 8 : أن بين 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 للمعادلة ًالح هو 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . :الحل 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝒂𝒆−𝒙 … (𝟐) األولى المشتقة نعوض 𝒚 و 𝒚́ : التفاضلية المعادلة في 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ + 𝒚 = −𝒂𝒆−𝒙 + 𝒂𝒆−𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ العالقة 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 التفاضلية للمعادلة حل هي 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . 2012 – 3, 2013-1 2016 – 1, 2016-3, 2015-3
- 13. Ordinary Differential Equations 10 الم حل طرق بعض التفاضلية عادالت متغيراتها تنفصل التي المعادالت : ًالاو :بـ نقوم التفاضلية المعادالت من النوع هذا لحل التفاضلية المعادلة في وجد اذا 𝒚́ بدله نضع 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . عزل x مع dx األيمن الطرف في و y مع dy األيسر الطرف في . . الطرفين نكامل ==================== ============================= ======= :مثال المعادلة حل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓 . :الحل [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ========================================================== :مثال المعادلة حل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙−𝟏 𝒚 . :الحل طرفين نضرب × وسطين 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 𝒅𝒚 = (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙
- 14. Ordinary Differential Equations 11 ⟹ ∫ 𝒚 𝒅𝒚 = ∫(𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ [ 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒄 ] × 𝟐 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄 ⟹ 𝒚 = ±√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒄𝟏 حيث 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 . اختياري ثابت ======== ================================================== :مثال المعادلة حل التفاضلية 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 . :الحل [𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 ========================================================== :مثال اوجد المعادلة حل التفاضلية 𝒚́ − 𝒙√𝒚 = 𝟎 عندما y=9 و x=2 . :الحل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙√𝒚 ⟹ [𝒅𝒚 = 𝒙 (𝒚) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙] ÷ (𝐲) 𝟏 𝟐 ⟹ (𝒚)− 𝟏 𝟐𝒅𝒚 = 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2016 - 1
- 15. Ordinary Differential Equations 12 ⟹ ∫(𝒚)− 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟐(𝒚) 𝟏 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 الطرفي بيع ر بت ⟹ 𝟐(𝟗) 𝟏 𝟐 = (𝟐)𝟐 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟐(𝟑) = 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟔 𝒙𝟒 + 𝒙 𝟐 + 𝟒 ========================================================== :مثال المعادلة حل التفاضلية 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 حيث y=0 عندما x=0 . :الحل [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 ] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒆𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝒆−𝒚𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − ∫ 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆𝟐𝒙 (𝟐) 𝒅𝒙 ⟹ − 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝒆𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐(𝟎) + 𝒄 ⟹ − 𝟏 = 𝟏 𝟐 (𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟏 − 𝟏 𝟐 = − 𝟑 𝟐 ⟹ [− 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐 ] (× −𝟏) ⟹ 𝒆−𝒚 = 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 ⟹ 𝟏 𝒆𝒚 = (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) 𝟐 ⟹ 𝒆𝒚 = 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) ل الختياري الثابت قيمة يجاد c نعوض ي ر قيمت x و y 𝒆𝒙+𝒚 = 𝒆𝒙 . 𝒆𝒚 التكامالت داخل الدوال مشتقاتنوفر ل الختياري الثابت قيمة يجاد c نعوض ي ر قيمت x و y وباخذ ln للطرفي
- 16. Ordinary Differential Equations 13 ⟹ 𝒚 = 𝒍𝒏 | 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) | ========================================================== :مثال ال جد حل ل العام لمعادلة التفاضلية (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚 . :الحل [(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚] × 𝒅𝒙 ⟹ [(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟐𝒚𝒅𝒙] ÷ [𝟐𝒚, (𝒙 + 𝟏)] ⟹ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ ∫ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝟐𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄𝟏 ⟹ |𝒚| = 𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒚 = ±𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 حيث 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 . اختياري ثابت ================================================================== تمرين 1 : : اتالمتغت فصل بطريقة التية التفاضلية المعادلت حل a) 𝒚́ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 Sol [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙] × 𝒅𝒙 ⟹ [𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = −∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 (−𝒔𝒊𝒏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = −(− 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔−𝟐𝒙) + 𝒄 باخذ e للطرفي 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2015 - 2
- 17. Ordinary Differential Equations 14 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒄 ========================================================== b) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝒙𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙(𝟑 − 𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝟐| = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟎 = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝟑 − 𝒚 = 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟑 − 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ========================================================== c) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) ⟹ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 ي قيم وبتعويض x و y Ln (1)=0 باخذ e للطرفي 2013 – 2, 2014-3
- 18. Ordinary Differential Equations 15 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = ∫(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚 − 𝟏| = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆𝒍𝒏 |𝒚−𝟏| = 𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 .𝒆𝒄 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 ∴ 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 d) (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒚́ = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Sol [(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 𝟑 + 𝟒𝒚𝟐 𝟐 − 𝒚 = 𝒙𝟑 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄 ⟹ [ 𝟏 𝟑 𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄] × 𝟑 ∴ 𝒚𝟑 + 𝟔𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝒄𝟏 ========================================================== e) 𝒚𝒚́ = 𝟒 √(𝟏 + 𝒚𝟐)𝟑 Sol [𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟒 (𝟏 + 𝒚𝟐) 𝟑 𝟐] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 (𝟐) 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟐 𝟐 (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄 باخذ e للطرفي حيث 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . اختياري ثابت
- 19. Ordinary Differential Equations 16 ⟹ [− 𝟏 (𝟏+𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄] الطرفي بيع ر بت⟹ 𝟏 𝟏+𝒚𝟐 = (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ⟹ 𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ∴ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄)𝟐 − 𝟏 ========================================================== f) 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟒 𝒚𝟒 = 𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚𝟒 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟒𝒄 ∴ 𝒚 = √𝟒𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 𝟒 ========================================================== g) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 , 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 = 𝟐𝒆𝟎 + 𝒄 ⟹ − 𝟒 𝟐 = 𝟐(𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟐 = −𝟒 حيث 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . اختياري ثابت 2013 - 3
- 20. Ordinary Differential Equations 17 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝟏 𝒚𝟐 = 𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ⟹ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ) ========================================================== تمرين 2 : التية التفاضلية للمعادلت العام الحل جد : a) 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 Sol 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 ⟹ 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = −𝟒 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟒𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙|−𝟒 + 𝒍𝒏𝒆𝒄𝟏 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏(𝒙−𝟒.𝒆𝒄𝟏) ⟹ 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ⟹ 𝒚 = ±√ 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ========================================================= b) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 Sol 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 باخذ e للطرفي حيث , 𝒄𝟐 = 𝒆𝒄𝟏, 𝒄𝟏 = 𝟒𝒄 . اختيارية ثوابت
- 21. Ordinary Differential Equations 18 ⟹ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = −𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 | + 𝒍𝒏 𝒆𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 .𝒆𝒄) ⟹ 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝒄𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 ========================================================== c) 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = − 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ∴ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = 𝒄𝟏 − 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Sol 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 باخذ e للطرفي حيث 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 ث . اختياري ابت 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 حيث 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 ث . اختياري ابت 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏
- 22. Ordinary Differential Equations 19 ⟹ ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝒅𝒙 ∴ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 − 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝒄 ========================================================== e) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 Sol 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = 𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙) + 𝒄 ========================================================== f) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑𝒚𝟐+𝒆𝒚 Sol (𝟑𝒚𝟑 + 𝒆𝒚)𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟑𝒚𝟐 + 𝒆𝒚) 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 + 𝒆𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒚́ = 𝟎 Sol 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 2011 – 1, 2013 - ت
- 23. Ordinary Differential Equations 20 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒆𝒙 .𝒆𝟐𝒚) ⟹ 𝒆−𝟐𝒚𝒅𝒚 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆−𝟐𝒚 (−𝟐)𝒅𝒚 = −∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝒆−𝟐𝒚 = −𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆−𝟐𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 ⟹ −𝟐𝒚 = 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| ∴ 𝒚 = − 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| 𝟐 باخذ ln للطرفي
- 24. Ordinary Differential Equations 21 المتجانسة التفاضلية المعادالت المتغيرات فصل اليمكن المعادالت من النوع هذا في اس اعلى على المعادلة بقسمة فنقوم ( لـ X : بالصورة تفاضلية معادلة على نحصل بحيث ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) حد كل ويكون 𝒚 𝒙 ًالمث القورة نفس له فيها متجانسة هذه المعادلة غير متجانسة النه اليمكن كتابتها : بالصورة 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) متجانسة
- 25. Ordinary Differential Equations 22 ا الخطوات نتبع المتجانسة التفاضلية المعادلت لحل لتالية : ========================= ================================ :مثال :التفاضلية المعادلة حل 𝒚́ = 𝟑𝒚𝟐−𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 ( 𝒚 𝒙 ) 𝟐 − 𝟏 𝟐 ( 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل )
- 26. Ordinary Differential Equations 23 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐−𝟏 𝟐𝒗 ينتج اتالمتغت بفصل : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒗𝟐 − 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏)| ⟹ 𝒙 = ±𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄(( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏) ∴ 𝒄 = ± 𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 ================================================== :مثال :التفاضلية المعادلة حل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚+𝒙 𝒚−𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 باخذ e للطرفي لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل )
- 27. Ordinary Differential Equations 24 ينتج اتالمتغت بفصل : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ −𝟐(𝒗 − 𝟏) 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒍𝒏|𝒄| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏|𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏|(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏)| − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏 𝟏 √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) ⟹ √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) = 𝟏 |𝒄𝒙| الطرفي بيع ر بت ⟹ 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 = 𝒄𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ∴ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒌 ========================================================== :مثال :التفاضلية المعادلة حل (𝟑𝐱 − 𝐲)𝒚́ = 𝐱 + 𝐲 Sol ⟹ (𝟑𝐱 − 𝐲) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 + 𝐲 ⟹ (𝟑 𝐱 𝒙 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 𝒙 + 𝐲 𝒙 ⟹ (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) باخذ e للطرفي لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙 2013 - 2
- 28. Ordinary Differential Equations 25 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟑 − 𝐯 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −[(𝐯 − 𝟏) − 𝟐] (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − [(𝐯 − 𝟏)] (𝒗 − 𝟏)𝟐 − 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗 − 𝟏 𝒅𝒗 + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗−𝟏 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏|𝒗 − 𝟏| − 𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 − 𝟏| − 𝟐 𝒚 𝒙 − 𝟏 + 𝒄 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙
- 29. Ordinary Differential Equations 26 ∴ 𝒍𝒏|𝒚 − 𝒙| = − 𝟐𝒙 𝒚 − 𝒙 + 𝒄 ========================================================== مثال ال جد : حل ل العام :التفاضلية لمعادلة 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Sol ⟹ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝟏 + ( 𝐲 𝒙 ) 𝟐 ] ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟐 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل )
- 30. Ordinary Differential Equations 27 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟏 = − 𝟏 𝐯 − 𝟏 ⟹ 𝒗 − 𝟏 = − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝟐𝒄𝟏 ⟹ 𝒗 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ∴ 𝒚 = 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ========================================================== تمرين : حل المعادالت من كال التفاضلية االتية : a) 𝒚́ = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 حيث 𝒄𝟐 , 𝒄𝟏 . اختيارية ثوابت نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) 2012 – 2, 2013-1
- 31. Ordinary Differential Equations 28 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = − 𝒆−𝒗 + 𝒄 ∴ 𝐜 = 𝐥𝐧|𝐱| + 𝒆− 𝒚 𝒙 ========================================================== b) (𝒚𝟐 − 𝐱𝐲)𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ ( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ) 𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 ⟹ (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒗𝟐 − 𝒗) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) 2015 - 2
- 32. Ordinary Differential Equations 29 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟐 المتغت بفصل :ينتج ات ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒗−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝟏 𝒗 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ∴ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ========================================================== c) (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐝𝐱 + (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝒅𝒚 = −(𝒙 + 𝟐𝒚)𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝒙 + 𝟐𝒚) (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − ( 𝒙 𝒙 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 𝒙 𝒙 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙
- 33. Ordinary Differential Equations 30 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) − 𝒗(𝟐 + 𝟑𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝟏 − 𝟐𝒗 − 𝟐𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) = −𝟏 − 𝟒𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 (𝟐 + 𝟑𝒗) :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟐 + 𝟑𝒗 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐(𝟑𝒗 + 𝟐) 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒄| − 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒄 − 𝒙 = (𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏) 𝟏 𝟐 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙
- 34. Ordinary Differential Equations 31 ⟹ [𝒄𝟐 − 𝟐𝒙𝒄 + 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏] × 𝒙𝟐 ∴ 𝒄𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 𝒄 + 𝒙𝟒 = 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝟐 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝟐𝒗 الطرفين بتربيع نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل )
- 35. Ordinary Differential Equations 32 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ −𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −𝒍𝒏|𝟏 − 𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 | −𝟏 + 𝒄 ======================================================== e) (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 + 𝐱𝐲𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 = −𝐱𝐲𝐝𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − −(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝐲 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐 𝒗 لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل )
- 36. Ordinary Differential Equations 33 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒗 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏|𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐( 𝒚 𝒙 )𝟐 | − 𝟏 𝟒 + 𝒄 ========================================================== f) 𝒙𝟐 𝐲𝐝𝐱 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 )𝒅𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗(𝟏 + 𝒗𝟑 ) 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟒 𝟏 + 𝒗𝟑 لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙 ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) 2016 - 1
- 37. Ordinary Differential Equations 34 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝟏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒗| = 𝒗−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 | = ( 𝒚 𝒙 )−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙. 𝒚 𝒙 | = 𝟏 𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟑 + 𝒄 ∴ 𝒍𝒏|𝒚| = 𝒙𝟑 𝟑𝒚𝟑 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒙( 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 ) = 𝐲 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 = 𝒚 𝒙 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙 نضع v بدل 𝒚 𝒙
- 38. Ordinary Differential Equations 35 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 :ينتج اتالمتغت بفصل ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒗| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒗| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒙 | ( من 1 ( و ) 2 :نحصل ) لكن 𝒗 = 𝒚 𝒙