Uploaded byanasKhalaf4
559 views

ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022

This document is a comprehensive mathematical guide for sixth-grade students focusing on ordinary differential equations. It includes explanations of concepts, detailed steps for solving problems, and various examples to clarify methods of resolution. Additionally, it aims to enhance the understanding of those struggling with mathematics through clear and structured teaching.

Embed presentation

Download to read offline
‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الخامس‬ ‫الاعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
‫تقديم‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫اال‬ ‫و‬ ‫حيائي‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫التطبيقي‬ ‫المالزم‬ ‫الحديثة‬ ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ , ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫ل‬ ‫حل‬ ‫مسائل‬ ‫كل‬ ‫مواضيع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫ط‬ ‫وا‬ ‫وال‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫ت‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫تمارين‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫ال‬ ‫بعض‬ ‫تمارين‬ ‫اال‬ ‫ضافية‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫ل‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫لطلبة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬ ‫و‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫اختيار‬ ‫ا‬ ‫رسوم‬ ‫ضافة‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫هو‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬ ‫و‬ ‫لة‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫الطالب‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫كل‬ ‫طالب‬ ‫مجد‬ ‫و‬ ‫طموح‬ ‫ساع‬ ً‫ا‬‫ي‬ ‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ‫دافه‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫الصعوبات‬ ‫ف‬ ‫والتحديات‬ ‫أ‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫سأل‬ ‫له‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ " ‫ن‬‫ك‬ ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
Ordinary Differential Equations 1 ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ Ordinary Differential Equations  ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫التي‬ ‫تحتوي‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫مشتقة‬ ‫او‬ ‫أكثر‬ ‫للدالة‬ ‫المجهولة‬ ‫في‬ . ‫المعادلة‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬  :‫الرتبة‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫موجودة‬ ‫مشتقة‬ ‫اعلى‬ ‫وهي‬  :‫الدرجة‬ ‫و‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫مشتقة‬ ‫العلى‬ ‫مرفوع‬ ‫أس‬ ‫اكبر‬ ‫هي‬
Ordinary Differential Equations 2 ‫تمرين‬ 1 : : ‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بين‬ a) (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) + 𝟑𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ‫ا‬ ‫من‬ ‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫األولى‬ ‫لرتبة‬ b) 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 + 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟕 ‫م‬ ‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬ c) (𝒚́ ́ ́ )𝟑 − 𝟐𝒚́ + 𝟖𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ d) ( 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑)𝟐 − 𝟐 ( 𝒅𝒚 𝒅𝒙 ) 𝟓 + 𝟑𝒚 = 𝟎 ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ================ ================================== :‫مالحظة‬ ‫حل‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫هو‬ ‫اية‬ ‫عالقة‬ ‫بين‬ ‫متغيرات‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫بحيث‬ ‫ان‬ ‫هذه‬ ‫العالقة‬ : 1 - ‫خالية‬ ‫من‬ ‫المشتقة‬ 2 - ‫معرفة‬ ‫على‬ ‫فترة‬ ‫معينة‬ 3 - ‫تحقق‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ =================================================== ‫العالقة‬ ‫أن‬ ‫بين‬ :‫مثال‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒙 + 𝟑 … (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ال‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) ‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬ LHS = 𝒙𝒚́ = 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒚  : ‫بالتالي‬ ‫نقوم‬ ‫تفاضلية‬ ‫لمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫معادلة‬ ‫ان‬ ‫الثبات‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫الموجودة‬ ‫المشتقة‬ ‫بقدر‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نشتق‬  ‫في‬ ‫والمشتقة‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬ ‫االيمن‬ ‫ثم‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬  . ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ = ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ 2014 - 1
Ordinary Differential Equations 3 RHS = 𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟑) = 𝒙𝒚́ ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . ================ ================================= ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫التكامل‬ ) ‫ثوابت‬ ‫او‬ ( ‫ثابت‬ ‫على‬ ‫يحتوي‬ ‫الذي‬ ‫هوالحل‬ ‫اما‬ .‫عليه‬ ‫يحتوي‬ ‫فال‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬ :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬ 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 ‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫احد‬ 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒚, 𝒙 > 𝟎 :‫الحل‬ ‫للم‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫عادلة‬ 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 … . (𝟏) :‫وهي‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 . . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 ) = 𝒙(𝟏 + 𝐥𝐧|𝒙| − 𝟏) = 𝒙 𝐥𝐧|𝒙| 𝑹𝑯𝑺 = 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 = 𝒙 𝐥𝐧 |𝒙| = 𝑳𝑯𝑺 ========================================================== :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫بين‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . /‫الحل‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ⟹ 𝟐𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙 + 𝒂 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬  ‫بداللة‬ ‫ليس‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫هنا‬ ‫نالحظ‬ y ‫ب‬ ‫نقوم‬ ‫فال‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وتعويضهما‬ ‫معادلتين‬ ‫تكوين‬ .‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫مشابهة‬ ‫لتصبح‬ ‫وترتيبها‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫باشتقاق‬ ‫نقوم‬ ‫بل‬ 2014 - 2
Ordinary Differential Equations 4 ⟹ [𝟐 ( 𝟏 𝒚 ) 𝒚́ = 𝟏 ] (× 𝒚) ⟹ 𝟐𝒚́ = 𝒚 ⟹ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 ∴ ‫العالقة‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . =================================================== ‫تمرين‬ 9 : ‫ان‬ ‫بين‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . /‫الحل‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬ ⟹ 𝟏 𝒚 𝒚́ = 𝟐𝒙 (× 𝒚) ⟹ 𝒚́ = 𝟐𝒙𝒚 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝒚́ ) + 𝟐𝒚 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫المشت‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ ‫األولى‬ ‫قة‬ ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝟐𝒙𝒚) + 𝟐𝒚 ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 ∴ 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫تمثل‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . =================================================== ‫مثال‬ : ‫هل‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ‫؟‬ : ‫الحل‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  ‫نال‬ ‫حظ‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫اذا‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫على‬ ‫تحوي‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ . ‫الحل‬ 2011 - 1
Ordinary Differential Equations 5 ‫للمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫التفاضية‬ ‫المعادلة‬ = ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 . ================================================= = :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) = −𝟔𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒚́ ́ = −𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) − 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 (𝟐) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ف‬ ) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ي‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟒(𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 ) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 =================================================== ‫تمرين‬ 2 : ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ + 𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚́ ́ = − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚 = −𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 2015 - ‫ت‬
Ordinary Differential Equations 6 ‫تمرين‬ 3 : ‫ان‬ ‫برهن‬ ‫العالقة‬ 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 + 𝟗𝒔 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ s . 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟏) 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = −𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕(𝟑) + 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) = −𝟐𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟏𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 = −𝟐𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) − 𝟏𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 (𝟑) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫الم‬ ‫في‬ ) ‫التفاضلية‬ ‫عادلة‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒅 𝟐 𝒔 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟗𝒔 = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟗(𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 ) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================= ‫تم‬ ‫رين‬ 5 : ‫هل‬ 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐 ) . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒂𝒏 𝒙) = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 … . (𝟐) 2013 - ‫ت‬
Ordinary Differential Equations 7 ( ‫نعوض‬ 1 ) ( ‫و‬ 2 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) ‫العالقة‬ ‫ونستخدم‬ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐) = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================== ‫تمرين‬ 7 : ‫هل‬ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 ‫؟‬ :‫الحل‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫و‬ ‫األولى‬ ‫الثانية‬ ‫ل‬ ‫لمعادلة‬ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 . 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 … (𝟏) 𝒚(𝟏) + 𝒙𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚 + 𝒙𝒚́ = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ (𝟏) = −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ‫من‬ ‫وبالتعويض‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ 1 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒙𝒚 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ + 𝟐𝟓 𝒙𝒚 = 𝟎 ∴ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ً‫ال‬‫ح‬ ‫تمثل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 ‫النه‬ . ‫يحققها‬ =================================================== :‫مثال‬ ‫هل‬ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 ‫؟‬ :‫الحل‬ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ⟹ 𝟐𝒚𝒚́ = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 ⟹ [𝟐𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ (𝟐𝒚́ ) = 𝟔 + 𝟔𝒙] (÷ 𝟐) ⟹ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟑 + 𝟑𝒙 ⟹ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟑 ≠ 𝟓 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ≠ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ∴ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليس‬ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 . ‫يحققها‬ ‫ال‬ ‫النه‬ 2011 – 2, 2015 - 1
Ordinary Differential Equations 8 ‫تمرين‬ 4 : ‫هل‬ ‫ان‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 ‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫لمعادلة‬ 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 ‫؟‬ /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟏 … (𝟐) 𝒚́ ́ = 𝟎 … (𝟑) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ) ( ‫و‬ 3 ) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 + 𝟑(𝟏) + 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟓 ≠ 𝒙 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليست‬ 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 . ================== =========================== ‫تمرين‬ 6 : ‫هل‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫لمعادل‬ ‫ة‬ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 ‫؟‬ /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 … (𝟏) [𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 𝒚́ = 𝟎] ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒚 𝒚́ = 𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ⟹ 𝒚 𝒚́ = −𝟐𝒙 ⟹ 𝒚́ = −𝟐𝒙 𝒚 … . (𝟐) 𝟐 + 𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ ( 𝒚́ ) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟎 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ( ‫نعوض‬ 2 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ) ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + ( −𝟐𝒙 𝒚 ) 𝟐 = 𝟎 ⟹ [𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 = 𝟎] × 𝒚𝟐 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) ( ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟏) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ‫تمث‬ ‫ل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 . ===================================================
Ordinary Differential Equations 9 :‫مثال‬ ‫أن‬ ‫بين‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬ 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 … (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 … (𝟑) ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نعوض‬ 𝒚 ‫و‬ 𝒚́ ‫و‬ 𝒚́ ́ : ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 + 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔(𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ) = 𝟔𝒆𝟐𝒙 + 𝟔𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔𝒆𝟐𝒙 − 𝟔𝒆−𝟑𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . ================================================== ‫تمرين‬ 8 : ‫أن‬ ‫بين‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬ 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝒂𝒆−𝒙 … (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نعوض‬ 𝒚 ‫و‬ 𝒚́ : ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ + 𝒚 = −𝒂𝒆−𝒙 + 𝒂𝒆−𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . 2012 – 3, 2013-1 2016 – 1, 2016-3, 2015-3
Ordinary Differential Equations 10 ‫الم‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫بعض‬ ‫التفاضلية‬ ‫عادالت‬  ‫متغيراتها‬ ‫تنفصل‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ : ً‫ال‬‫او‬ :‫بـ‬ ‫نقوم‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫لحل‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬ 𝒚́ ‫بدله‬ ‫نضع‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 .  ‫عزل‬ x ‫مع‬ dx ‫األيمن‬ ‫الطرف‬ ‫في‬ ‫و‬ y ‫مع‬ dy ‫األيسر‬ ‫الطرف‬ ‫في‬ .  . ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬ ==================== ============================= ======= :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓 . :‫الحل‬ [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙−𝟏 𝒚 . :‫الحل‬ ‫طرفين‬ ‫نضرب‬ × ‫وسطين‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 𝒅𝒚 = (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙
Ordinary Differential Equations 11 ⟹ ∫ 𝒚 𝒅𝒚 = ∫(𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ [ 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒄 ] × 𝟐 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄 ⟹ 𝒚 = ±√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒄𝟏 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ======== ================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 . :‫الحل‬ [𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 ========================================================== :‫مثال‬ ‫اوجد‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒚́ − 𝒙√𝒚 = 𝟎 ‫عندما‬ y=9 ‫و‬ x=2 . :‫الحل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙√𝒚 ⟹ [𝒅𝒚 = 𝒙 (𝒚) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙] ÷ (𝐲) 𝟏 𝟐 ⟹ (𝒚)− 𝟏 𝟐𝒅𝒚 = 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2016 - 1
Ordinary Differential Equations 12 ⟹ ∫(𝒚)− 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟐(𝒚) 𝟏 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬ ⟹ 𝟐(𝟗) 𝟏 𝟐 = (𝟐)𝟐 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟐(𝟑) = 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟔 𝒙𝟒 + 𝒙 𝟐 + 𝟒 ========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 ‫حيث‬ y=0 ‫عندما‬ x=0 . :‫الحل‬ [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 ] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒆𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝒆−𝒚𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − ∫ 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆𝟐𝒙 (𝟐) 𝒅𝒙 ⟹ − 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝒆𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐(𝟎) + 𝒄 ⟹ − 𝟏 = 𝟏 𝟐 (𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟏 − 𝟏 𝟐 = − 𝟑 𝟐 ⟹ [− 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐 ] (× −𝟏) ⟹ 𝒆−𝒚 = 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 ⟹ 𝟏 𝒆𝒚 = (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) 𝟐 ⟹ 𝒆𝒚 = 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) ‫ل‬ ‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬ c ‫نعوض‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫قيمت‬ x ‫و‬ y 𝒆𝒙+𝒚 = 𝒆𝒙 . 𝒆𝒚 ‫التكامالت‬ ‫داخل‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقات‬‫نوفر‬ ‫ل‬ ‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬ c ‫نعوض‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫قيمت‬ x ‫و‬ y ‫وباخذ‬ ln ‫للطرفي‬
Ordinary Differential Equations 13 ⟹ 𝒚 = 𝒍𝒏 | 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) | ========================================================== :‫مثال‬ ‫ال‬ ‫جد‬ ‫حل‬ ‫ل‬ ‫العام‬ ‫لمعادلة‬ ‫التفاضلية‬ (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚 . :‫الحل‬ [(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚] × 𝒅𝒙 ⟹ [(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟐𝒚𝒅𝒙] ÷ [𝟐𝒚, (𝒙 + 𝟏)] ⟹ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ ∫ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝟐𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄𝟏 ⟹ |𝒚| = 𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒚 = ±𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ================================================================== ‫تمرين‬ 1 : : ‫ات‬‫المتغت‬ ‫فصل‬ ‫بطريقة‬ ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫حل‬ a) 𝒚́ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 Sol [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙] × 𝒅𝒙 ⟹ [𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = −∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 (−𝒔𝒊𝒏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = −(− 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔−𝟐𝒙) + 𝒄 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2015 - 2
Ordinary Differential Equations 14 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒄 ========================================================== b) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝒙𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙(𝟑 − 𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝟐| = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟎 = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝟑 − 𝒚 = 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟑 − 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ========================================================== c) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) ⟹ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 ‫ي‬ ‫قيم‬ ‫وبتعويض‬ x ‫و‬ y Ln (1)=0 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ 2013 – 2, 2014-3
Ordinary Differential Equations 15 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = ∫(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚 − 𝟏| = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆𝒍𝒏 |𝒚−𝟏| = 𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 .𝒆𝒄 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 ∴ 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 d) (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒚́ = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Sol [(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 𝟑 + 𝟒𝒚𝟐 𝟐 − 𝒚 = 𝒙𝟑 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄 ⟹ [ 𝟏 𝟑 𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄] × 𝟑 ∴ 𝒚𝟑 + 𝟔𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝒄𝟏 ========================================================== e) 𝒚𝒚́ = 𝟒 √(𝟏 + 𝒚𝟐)𝟑 Sol [𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟒 (𝟏 + 𝒚𝟐) 𝟑 𝟐] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 (𝟐) 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟐 𝟐 (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬
Ordinary Differential Equations 16 ⟹ [− 𝟏 (𝟏+𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄] ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬⟹ 𝟏 𝟏+𝒚𝟐 = (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ⟹ 𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ∴ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄)𝟐 − 𝟏 ========================================================== f) 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟒 𝒚𝟒 = 𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚𝟒 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟒𝒄 ∴ 𝒚 = √𝟒𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 𝟒 ========================================================== g) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 , 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 = 𝟐𝒆𝟎 + 𝒄 ⟹ − 𝟒 𝟐 = 𝟐(𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟐 = −𝟒 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ 2013 - 3
Ordinary Differential Equations 17 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝟏 𝒚𝟐 = 𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ⟹ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ) ========================================================== ‫تمرين‬ 2 : ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلت‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬ : a) 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 Sol 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 ⟹ 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = −𝟒 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟒𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙|−𝟒 + 𝒍𝒏𝒆𝒄𝟏 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏(𝒙−𝟒.𝒆𝒄𝟏) ⟹ 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ⟹ 𝒚 = ±√ 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ========================================================= b) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 Sol 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ , 𝒄𝟐 = 𝒆𝒄𝟏, 𝒄𝟏 = 𝟒𝒄 . ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬
Ordinary Differential Equations 18 ⟹ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = −𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 | + 𝒍𝒏 𝒆𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 .𝒆𝒄) ⟹ 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝒄𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 ========================================================== c) 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = − 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ∴ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = 𝒄𝟏 − 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Sol 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 ‫ث‬ . ‫اختياري‬ ‫ابت‬ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 ‫ث‬ . ‫اختياري‬ ‫ابت‬ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏
Ordinary Differential Equations 19 ⟹ ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝒅𝒙 ∴ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 − 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝒄 ========================================================== e) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 Sol 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = 𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙) + 𝒄 ========================================================== f) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑𝒚𝟐+𝒆𝒚 Sol (𝟑𝒚𝟑 + 𝒆𝒚)𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟑𝒚𝟐 + 𝒆𝒚) 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 + 𝒆𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒚́ = 𝟎 Sol 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 2011 – 1, 2013 - ‫ت‬
Ordinary Differential Equations 20 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒆𝒙 .𝒆𝟐𝒚) ⟹ 𝒆−𝟐𝒚𝒅𝒚 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆−𝟐𝒚 (−𝟐)𝒅𝒚 = −∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝒆−𝟐𝒚 = −𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆−𝟐𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 ⟹ −𝟐𝒚 = 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| ∴ 𝒚 = − 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| 𝟐 ‫باخذ‬ ln ‫للطرفي‬
Ordinary Differential Equations 21 ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫المتغيرات‬ ‫فصل‬ ‫اليمكن‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫اس‬ ‫اعلى‬ ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬ ‫فنقوم‬ ( ‫لـ‬ X : ‫بالصورة‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بحيث‬ ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) ‫حد‬ ‫كل‬ ‫ويكون‬ 𝒚 𝒙 ً‫ال‬‫مث‬ ‫القورة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫فيها‬ ‫متجانسة‬ ‫هذه‬ ‫المعادلة‬ ‫غير‬ ‫متجانسة‬ ‫النه‬ ‫اليمكن‬ ‫كتابتها‬ : ‫بالصورة‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) ‫متجانسة‬
Ordinary Differential Equations 22 ‫ا‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫لحل‬ ‫لتالية‬ : ========================= ================================ :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒚́ = 𝟑𝒚𝟐−𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 ( 𝒚 𝒙 ) 𝟐 − 𝟏 𝟐 ( 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
Ordinary Differential Equations 23 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐−𝟏 𝟐𝒗 ‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒗𝟐 − 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏)| ⟹ 𝒙 = ±𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄(( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏) ∴ 𝒄 = ± 𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 ================================================== :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚+𝒙 𝒚−𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
Ordinary Differential Equations 24 ‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ −𝟐(𝒗 − 𝟏) 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒍𝒏|𝒄| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏|𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏|(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏)| − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏 𝟏 √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) ⟹ √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) = 𝟏 |𝒄𝒙| ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬ ⟹ 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 = 𝒄𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ∴ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒌 ========================================================== :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ (𝟑𝐱 − 𝐲)𝒚́ = 𝐱 + 𝐲 Sol ⟹ (𝟑𝐱 − 𝐲) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 + 𝐲 ⟹ (𝟑 𝐱 𝒙 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 𝒙 + 𝐲 𝒙 ⟹ (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 2013 - 2
Ordinary Differential Equations 25 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟑 − 𝐯 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −[(𝐯 − 𝟏) − 𝟐] (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − [(𝐯 − 𝟏)] (𝒗 − 𝟏)𝟐 − 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗 − 𝟏 𝒅𝒗 + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗−𝟏 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏|𝒗 − 𝟏| − 𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 − 𝟏| − 𝟐 𝒚 𝒙 − 𝟏 + 𝒄 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
Ordinary Differential Equations 26 ∴ 𝒍𝒏|𝒚 − 𝒙| = − 𝟐𝒙 𝒚 − 𝒙 + 𝒄 ========================================================== ‫مثال‬ ‫ال‬ ‫جد‬ : ‫حل‬ ‫ل‬ ‫العام‬ :‫التفاضلية‬ ‫لمعادلة‬ 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Sol ⟹ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝟏 + ( 𝐲 𝒙 ) 𝟐 ] ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟐 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
Ordinary Differential Equations 27 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟏 = − 𝟏 𝐯 − 𝟏 ⟹ 𝒗 − 𝟏 = − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝟐𝒄𝟏 ⟹ 𝒗 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ∴ 𝒚 = 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ========================================================== ‫تمرين‬ : ‫حل‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫التفاضلية‬ ‫االتية‬ : a) 𝒚́ = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫حيث‬ 𝒄𝟐 , 𝒄𝟏 . ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬ ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2012 – 2, 2013-1
Ordinary Differential Equations 28 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = − 𝒆−𝒗 + 𝒄 ∴ 𝐜 = 𝐥𝐧|𝐱| + 𝒆− 𝒚 𝒙 ========================================================== b) (𝒚𝟐 − 𝐱𝐲)𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ ( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ) 𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 ⟹ (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒗𝟐 − 𝒗) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2015 - 2
Ordinary Differential Equations 29 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟐 ‫المتغت‬ ‫بفصل‬ :‫ينتج‬ ‫ات‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒗−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝟏 𝒗 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ∴ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ========================================================== c) (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐝𝐱 + (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝒅𝒚 = −(𝒙 + 𝟐𝒚)𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝒙 + 𝟐𝒚) (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − ( 𝒙 𝒙 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 𝒙 𝒙 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙
Ordinary Differential Equations 30 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) − 𝒗(𝟐 + 𝟑𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝟏 − 𝟐𝒗 − 𝟐𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) = −𝟏 − 𝟒𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 (𝟐 + 𝟑𝒗) :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟐 + 𝟑𝒗 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐(𝟑𝒗 + 𝟐) 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒄| − 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒄 − 𝒙 = (𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏) 𝟏 𝟐 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
Ordinary Differential Equations 31 ⟹ [𝒄𝟐 − 𝟐𝒙𝒄 + 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏] × 𝒙𝟐 ∴ 𝒄𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 𝒄 + 𝒙𝟒 = 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝟐 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝟐𝒗 ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬ ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
Ordinary Differential Equations 32 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ −𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −𝒍𝒏|𝟏 − 𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 | −𝟏 + 𝒄 ======================================================== e) (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 + 𝐱𝐲𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 = −𝐱𝐲𝐝𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − −(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝐲 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐 𝒗 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
Ordinary Differential Equations 33 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏|𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐( 𝒚 𝒙 )𝟐 | − 𝟏 𝟒 + 𝒄 ========================================================== f) 𝒙𝟐 𝐲𝐝𝐱 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 )𝒅𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗(𝟏 + 𝒗𝟑 ) 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟒 𝟏 + 𝒗𝟑 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2016 - 1
Ordinary Differential Equations 34 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝟏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒗| = 𝒗−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 | = ( 𝒚 𝒙 )−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙. 𝒚 𝒙 | = 𝟏 𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟑 + 𝒄 ∴ 𝒍𝒏|𝒚| = 𝒙𝟑 𝟑𝒚𝟑 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒙( 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 ) = 𝐲 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 = 𝒚 𝒙 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙
Ordinary Differential Equations 35 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒗| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒗| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒙 | ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
Ordinary Differential Equations 36

More Related Content

PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
byanasKhalaf4
 
PDF
Amahmid 2 1_info_genetique_localisation_transmission_expression
bySvt Elyazami
 
PDF
Χημεία Α' Λυκείου - Θέματα ΟΕΦΕ (2006-2013) - Ερωτήσεις και απαντήσεις
byKats961
 
PDF
20141130 εργο ενεργεια 2009
bynmandoulidis
 
PDF
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 3
byDimitris Psounis
 
PDF
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
byDimitris Psounis
 
DOCX
να μετατρέψετε την ενεργητική σύνταξη σε παθητική ή το αντίστροφο και να αιτι...
byIoanna Kat
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
byanasKhalaf4
 
Amahmid 2 1_info_genetique_localisation_transmission_expression
bySvt Elyazami
 
Χημεία Α' Λυκείου - Θέματα ΟΕΦΕ (2006-2013) - Ερωτήσεις και απαντήσεις
byKats961
 
20141130 εργο ενεργεια 2009
bynmandoulidis
 
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 3
byDimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
byDimitris Psounis
 
να μετατρέψετε την ενεργητική σύνταξη σε παθητική ή το αντίστροφο και να αιτι...
byIoanna Kat
 

What's hot

PDF
تمارين القوانين الاحصائية ذ.امحاميد
bySvt Elyazami
 
PDF
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
小五語文知識工作紙：擴張句子（一）
bymiss wong
 
PDF
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
byChristos Loizos
 
PDF
Φύλλο εργασίες στις ρίζες πραγματικών αριθμών - Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Epanalipsi g gymnasiou
byChristos Loizos
 
PDF
ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
byIoannis Padiotis
 
PDF
θέματα και λύσεις θαλή 2015 2016
byChristos Loizos
 
PDF
Ενότητα 32
byAlexandra Gerakini
 
PDF
Γραπτή εξέταση στις Ανισώσεις α και β βαθμού Α΄ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Study4Exams_2016-17_Διαγώνισμα_02 (Ταλαντώσεις)
byDimitris Kontoudakis
 
PDF
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΧΗΜΕΙΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
byΒασίλης Μαντάς
 
PPTX
Βασικές Ασκήσεις για την κατανόηση των Αλγορίθμων.
byKbaios Kasapis
 
DOC
104 ερωτήσεις θεωρίας
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
ηλεκτρικο ρευμα γ γυμνασιου επαναληψη
byΜαυρουδης Μακης
 
DOC
φυσική γ΄γυμνασίου-2-ηλεκτρικό-ρεύμα
bySpiridon Rallis
 
PPT
ασκησεισ και λυσεισ για τισ εξετAσεισ γ γυμνασιου 4 (γεωμετρια)
by1ο Γυμνάσιο Ευόσμου (Συντακτική ομάδα)
 
PPTX
Ορισμοί και Ιδιότητες Άλγεβρας Α’ Λυκείου
byΧουρμούζης Μαργαρίτης
 
تمارين القوانين الاحصائية ذ.امحاميد
bySvt Elyazami
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
小五語文知識工作紙：擴張句子（一）
bymiss wong
 
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
byChristos Loizos
 
Φύλλο εργασίες στις ρίζες πραγματικών αριθμών - Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Epanalipsi g gymnasiou
byChristos Loizos
 
ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
byIoannis Padiotis
 
θέματα και λύσεις θαλή 2015 2016
byChristos Loizos
 
Ενότητα 32
byAlexandra Gerakini
 
Γραπτή εξέταση στις Ανισώσεις α και β βαθμού Α΄ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Study4Exams_2016-17_Διαγώνισμα_02 (Ταλαντώσεις)
byDimitris Kontoudakis
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΧΗΜΕΙΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
byΒασίλης Μαντάς
 
Βασικές Ασκήσεις για την κατανόηση των Αλγορίθμων.
byKbaios Kasapis
 
104 ερωτήσεις θεωρίας
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ηλεκτρικο ρευμα γ γυμνασιου επαναληψη
byΜαυρουδης Μακης
 
φυσική γ΄γυμνασίου-2-ηλεκτρικό-ρεύμα
bySpiridon Rallis
 
ασκησεισ και λυσεισ για τισ εξετAσεισ γ γυμνασιου 4 (γεωμετρια)
by1ο Γυμνάσιο Ευόσμου (Συντακτική ομάδα)
 
Ορισμοί και Ιδιότητες Άλγεβρας Α’ Λυκείου
byΧουρμούζης Μαργαρίτης
 

Similar to ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022

PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
byanasKhalaf4
 
PPTX
Math1_F24_Calculus_Lec_5_ExpFn_LogFn_HypFn1.pptx
bydanyalaknut
 
PPTX
download-1679883048969u.pptx
byAhmedalmahdi16
 
PDF
6-1 Ch).uuhhy ueueuueueueueueueueuehhehehggpdf
byrsp8bpvxpg
 
PDF
lectااتتتتاارررررررررررررررررررررررررررر1.pdf
byHebaEng
 
PDF
الحل العام للمعادلة المثلثية
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
PDF
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
byMohammedKhodary4
 
PPTX
unit_02.pptx
byBahyAElagouz
 
PPTX
Math1_F24_Calculus_Lec_4_InverseFn_InvTrigFn_Update.pptx
bydanyalaknut
 
PPTX
مراجعة مركزة نهائية 2021
byRihan Rihan
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
byanasKhalaf4
 
Math1_F24_Calculus_Lec_5_ExpFn_LogFn_HypFn1.pptx
bydanyalaknut
 
download-1679883048969u.pptx
byAhmedalmahdi16
 
6-1 Ch).uuhhy ueueuueueueueueueueuehhehehggpdf
byrsp8bpvxpg
 
lectااتتتتاارررررررررررررررررررررررررررر1.pdf
byHebaEng
 
الحل العام للمعادلة المثلثية
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
byMohammedKhodary4
 
unit_02.pptx
byBahyAElagouz
 
Math1_F24_Calculus_Lec_4_InverseFn_InvTrigFn_Update.pptx
bydanyalaknut
 
مراجعة مركزة نهائية 2021
byRihan Rihan
 

More from anasKhalaf4

PDF
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
byanasKhalaf4
 
PDF
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
PDF
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
byanasKhalaf4
 
PDF
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقي
byanasKhalaf4
 
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
byanasKhalaf4
 
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
byanasKhalaf4
 
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقي
byanasKhalaf4
 

Recently uploaded

PDF
Types of Artificial Intelligence: Capabilities and Functionality Explained
byARTHIDEVARANIP
 
PDF
BÀI GIẢNG POWERPOINT CHÍNH KHÓA PHIÊN BẢN AI TIẾNG ANH 6 CẢ NĂM, THEO TỪNG BÀ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
DOCX
COMMUNITY HEALTH NURSING OSCE CHECKLIST.docx
byGeetha S R
 
PPTX
Statistical Data Analysis using R Programming.pptx
byVETRISELVIP1
 
PPTX
bundle of care.pptx Priti Bala @ BRD med
bypritibala13
 
PDF
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY NĂNG LỰC SỐ MÔN TIẾNG ANH LỚP 12 CẢ NĂM - GLOBAL SUC...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PDF
Geography unit 7-Population-Distribution`.pdf
byzerihunbrook7
 
PDF
The Unique Wildlife of Ethiopia: From the Simien to the Bale Mountains
byfirtunagebremicheal
 
PDF
ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2026 MÔN TIẾNG ANH 2026...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PPTX
Weaving Threads: Mapping Practitioner Theses to Understand Professional Becom...
bySamuel Mann
 
PPTX
How to Manage Empty Location in Odoo 18 Inventory
byCeline George
 
PPTX
How to create Article in Odoo 18 Knowledge App
byCeline George
 
PPTX
ANTISEPTICS AND DISINFECTANTS CHAPTER NO.05.pptx
byGanu Gavade
 
PPTX
INSTRUCTIONAL MATERIALS IN TEACHING SCIENCE.pptx
byReclaMailyn1
 
PPTX
How to Create Opening Balance in Odoo 18
byCeline George
 
PPTX
Exploring car engine oil and lubricants purpose and functions
bymjb77ny
 
PDF
RPT FORM 1 English (2026 academic session) SMKTS.pdf
byWANAHMADAZIMIBINWANA
 
PPTX
How to Create SMS Marketing Campaigns in Odoo 18
byCeline George
 
PPTX
OXYGEN ADMINISTRATION/THERAPY ......pptx
byAneetaSharma15
 
PPTX
Contract Act 1872 - Sections 10, 11 13-by Judge Nazmul Hasan.pptx
by Judge Nazmul Hasan.
 
Types of Artificial Intelligence: Capabilities and Functionality Explained
byARTHIDEVARANIP
 
BÀI GIẢNG POWERPOINT CHÍNH KHÓA PHIÊN BẢN AI TIẾNG ANH 6 CẢ NĂM, THEO TỪNG BÀ...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
COMMUNITY HEALTH NURSING OSCE CHECKLIST.docx
byGeetha S R
 
Statistical Data Analysis using R Programming.pptx
byVETRISELVIP1
 
bundle of care.pptx Priti Bala @ BRD med
bypritibala13
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY NĂNG LỰC SỐ MÔN TIẾNG ANH LỚP 12 CẢ NĂM - GLOBAL SUC...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
Geography unit 7-Population-Distribution`.pdf
byzerihunbrook7
 
The Unique Wildlife of Ethiopia: From the Simien to the Bale Mountains
byfirtunagebremicheal
 
ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2026 MÔN TIẾNG ANH 2026...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
Weaving Threads: Mapping Practitioner Theses to Understand Professional Becom...
bySamuel Mann
 
How to Manage Empty Location in Odoo 18 Inventory
byCeline George
 
How to create Article in Odoo 18 Knowledge App
byCeline George
 
ANTISEPTICS AND DISINFECTANTS CHAPTER NO.05.pptx
byGanu Gavade
 
INSTRUCTIONAL MATERIALS IN TEACHING SCIENCE.pptx
byReclaMailyn1
 
How to Create Opening Balance in Odoo 18
byCeline George
 
Exploring car engine oil and lubricants purpose and functions
bymjb77ny
 
RPT FORM 1 English (2026 academic session) SMKTS.pdf
byWANAHMADAZIMIBINWANA
 
How to Create SMS Marketing Campaigns in Odoo 18
byCeline George
 
OXYGEN ADMINISTRATION/THERAPY ......pptx
byAneetaSharma15
 
Contract Act 1872 - Sections 10, 11 13-by Judge Nazmul Hasan.pptx
by Judge Nazmul Hasan.
 

ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022

  • 1.
    ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الخامس‬ ‫الاعتيادية‬‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
  • 2.
    ‫تقديم‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫اال‬ ‫و‬ ‫حيائي‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫التطبيقي‬ ‫المالزم‬ ‫الحديثة‬ ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ , ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫ل‬ ‫حل‬ ‫مسائل‬ ‫كل‬ ‫مواضيع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫ط‬ ‫وا‬ ‫وال‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫ت‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫تمارين‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫ال‬ ‫بعض‬ ‫تمارين‬ ‫اال‬ ‫ضافية‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫ل‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫لطلبة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬ ‫و‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫اختيار‬ ‫ا‬ ‫رسوم‬ ‫ضافة‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫هو‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬ ‫و‬ ‫لة‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫الطالب‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫كل‬ ‫طالب‬ ‫مجد‬ ‫و‬ ‫طموح‬ ‫ساع‬ ً‫ا‬‫ي‬ ‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ‫دافه‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫الصعوبات‬ ‫ف‬ ‫والتحديات‬ ‫أ‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫سأل‬ ‫له‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ " ‫ن‬‫ك‬ ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
  • 4.
    Ordinary Differential Equations1 ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ Ordinary Differential Equations  ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫التي‬ ‫تحتوي‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫مشتقة‬ ‫او‬ ‫أكثر‬ ‫للدالة‬ ‫المجهولة‬ ‫في‬ . ‫المعادلة‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬  :‫الرتبة‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫موجودة‬ ‫مشتقة‬ ‫اعلى‬ ‫وهي‬  :‫الدرجة‬ ‫و‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫مشتقة‬ ‫العلى‬ ‫مرفوع‬ ‫أس‬ ‫اكبر‬ ‫هي‬
  • 5.
    Ordinary Differential Equations2 ‫تمرين‬ 1 : : ‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بين‬ a) (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) + 𝟑𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ‫ا‬ ‫من‬ ‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫األولى‬ ‫لرتبة‬ b) 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 + 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟕 ‫م‬ ‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬ c) (𝒚́ ́ ́ )𝟑 − 𝟐𝒚́ + 𝟖𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ d) ( 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑)𝟐 − 𝟐 ( 𝒅𝒚 𝒅𝒙 ) 𝟓 + 𝟑𝒚 = 𝟎 ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ================ ================================== :‫مالحظة‬ ‫حل‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫هو‬ ‫اية‬ ‫عالقة‬ ‫بين‬ ‫متغيرات‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ ‫بحيث‬ ‫ان‬ ‫هذه‬ ‫العالقة‬ : 1 - ‫خالية‬ ‫من‬ ‫المشتقة‬ 2 - ‫معرفة‬ ‫على‬ ‫فترة‬ ‫معينة‬ 3 - ‫تحقق‬ ‫المعادلة‬ ‫التفاضلية‬ =================================================== ‫العالقة‬ ‫أن‬ ‫بين‬ :‫مثال‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒙 + 𝟑 … (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ال‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) ‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬ LHS = 𝒙𝒚́ = 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒚  : ‫بالتالي‬ ‫نقوم‬ ‫تفاضلية‬ ‫لمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫معادلة‬ ‫ان‬ ‫الثبات‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫الموجودة‬ ‫المشتقة‬ ‫بقدر‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نشتق‬  ‫في‬ ‫والمشتقة‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬ ‫االيمن‬ ‫ثم‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬  . ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ = ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ 2014 - 1
  • 6.
    Ordinary Differential Equations3 RHS = 𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟑) = 𝒙𝒚́ ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐 + 𝒚 . ================ ================================= ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫التكامل‬ ) ‫ثوابت‬ ‫او‬ ( ‫ثابت‬ ‫على‬ ‫يحتوي‬ ‫الذي‬ ‫هوالحل‬ ‫اما‬ .‫عليه‬ ‫يحتوي‬ ‫فال‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬ :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬ 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 ‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫احد‬ 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒚, 𝒙 > 𝟎 :‫الحل‬ ‫للم‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫عادلة‬ 𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 … . (𝟏) :‫وهي‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 . . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 ) = 𝒙(𝟏 + 𝐥𝐧|𝒙| − 𝟏) = 𝒙 𝐥𝐧|𝒙| 𝑹𝑯𝑺 = 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 = 𝒙 𝐥𝐧 |𝒙| = 𝑳𝑯𝑺 ========================================================== :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫بين‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . /‫الحل‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ⟹ 𝟐𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙 + 𝒂 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬  ‫بداللة‬ ‫ليس‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫هنا‬ ‫نالحظ‬ y ‫ب‬ ‫نقوم‬ ‫فال‬ . ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وتعويضهما‬ ‫معادلتين‬ ‫تكوين‬ .‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫مشابهة‬ ‫لتصبح‬ ‫وترتيبها‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫باشتقاق‬ ‫نقوم‬ ‫بل‬ 2014 - 2
  • 7.
    Ordinary Differential Equations4 ⟹ [𝟐 ( 𝟏 𝒚 ) 𝒚́ = 𝟏 ] (× 𝒚) ⟹ 𝟐𝒚́ = 𝒚 ⟹ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 ∴ ‫العالقة‬ 𝒍𝒏 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒂 ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎 . =================================================== ‫تمرين‬ 9 : ‫ان‬ ‫بين‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . /‫الحل‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬ ⟹ 𝟏 𝒚 𝒚́ = 𝟐𝒙 (× 𝒚) ⟹ 𝒚́ = 𝟐𝒙𝒚 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝒚́ ) + 𝟐𝒚 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫المشت‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ ‫األولى‬ ‫قة‬ ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒙(𝟐𝒙𝒚) + 𝟐𝒚 ⟹ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 ∴ 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐 + 𝒄 ‫تمثل‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒚 . =================================================== ‫مثال‬ : ‫هل‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ‫؟‬ : ‫الحل‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  ‫نال‬ ‫حظ‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫اذا‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫على‬ ‫تحوي‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ . ‫الحل‬ 2011 - 1
  • 8.
    Ordinary Differential Equations5 ‫للمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫التفاضية‬ ‫المعادلة‬ = ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐 ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 . ================================================= = :‫مثال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) = −𝟔𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒚́ ́ = −𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) − 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 (𝟐) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ف‬ ) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ي‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟒(𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 ) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 =================================================== ‫تمرين‬ 2 : ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ + 𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚́ ́ = − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚 = −𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 2015 - ‫ت‬
  • 9.
    Ordinary Differential Equations6 ‫تمرين‬ 3 : ‫ان‬ ‫برهن‬ ‫العالقة‬ 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 + 𝟗𝒔 = 𝟎 . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ s . 𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟏) 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = −𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕(𝟑) + 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) = −𝟐𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟏𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐 = −𝟐𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) − 𝟏𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 (𝟑) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟐) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫الم‬ ‫في‬ ) ‫التفاضلية‬ ‫عادلة‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒅 𝟐 𝒔 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟗𝒔 = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟗(𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 ) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================= ‫تم‬ ‫رين‬ 5 : ‫هل‬ 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚́ ́ = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐 ) . :‫الحل‬ ‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ y . 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒂𝒏 𝒙) = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 … . (𝟐) 2013 - ‫ت‬
  • 10.
    Ordinary Differential Equations7 ( ‫نعوض‬ 1 ) ( ‫و‬ 2 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ) ‫العالقة‬ ‫ونستخدم‬ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐) = 𝑹𝑯𝑺 ========================================================== ‫تمرين‬ 7 : ‫هل‬ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 ‫؟‬ :‫الحل‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫و‬ ‫األولى‬ ‫الثانية‬ ‫ل‬ ‫لمعادلة‬ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 . 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 … (𝟏) 𝒚(𝟏) + 𝒙𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚 + 𝒙𝒚́ = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ (𝟏) = −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ‫من‬ ‫وبالتعويض‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ 1 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒙𝒚 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́ ́ + 𝒚́ + 𝟐𝟓 𝒙𝒚 = 𝟎 ∴ 𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ً‫ال‬‫ح‬ ‫تمثل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ 𝒙𝒚́ ́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 ‫النه‬ . ‫يحققها‬ =================================================== :‫مثال‬ ‫هل‬ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 ‫؟‬ :‫الحل‬ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ⟹ 𝟐𝒚𝒚́ = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 ⟹ [𝟐𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ (𝟐𝒚́ ) = 𝟔 + 𝟔𝒙] (÷ 𝟐) ⟹ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟑 + 𝟑𝒙 ⟹ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟑 ≠ 𝟓 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ≠ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ∴ 𝒚𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليس‬ 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟓 . ‫يحققها‬ ‫ال‬ ‫النه‬ 2011 – 2, 2015 - 1
  • 11.
    Ordinary Differential Equations8 ‫تمرين‬ 4 : ‫هل‬ ‫ان‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 ‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫لمعادلة‬ 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 ‫؟‬ /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 … (𝟏) 𝒚́ = 𝟏 … (𝟐) 𝒚́ ́ = 𝟎 … (𝟑) ( ‫نعوض‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ) ( ‫و‬ 3 ) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 + 𝟑(𝟏) + 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟓 ≠ 𝒙 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليست‬ 𝒚́ ́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙 . ================== =========================== ‫تمرين‬ 6 : ‫هل‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫لمعادل‬ ‫ة‬ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 ‫؟‬ /‫الحل‬ ‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 … (𝟏) [𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 𝒚́ = 𝟎] ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒚 𝒚́ = 𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ⟹ 𝒚 𝒚́ = −𝟐𝒙 ⟹ 𝒚́ = −𝟐𝒙 𝒚 … . (𝟐) 𝟐 + 𝒚(𝒚́ ́ ) + 𝒚́ ( 𝒚́ ) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + (𝒚́ )𝟐 = 𝟎 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ( ‫نعوض‬ 2 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ) ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + ( −𝟐𝒙 𝒚 ) 𝟐 = 𝟎 ⟹ [𝟐 + 𝒚𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 = 𝟎] × 𝒚𝟐 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 𝒚́ ́ + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) ( ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐(𝟏) ⟹ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ‫تمث‬ ‫ل‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝒚𝟑 𝒚́ ́ = −𝟐 . ===================================================
  • 12.
    Ordinary Differential Equations9 :‫مثال‬ ‫أن‬ ‫بين‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬ 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 … (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ 𝒚́ ́ = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 … (𝟑) ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نعوض‬ 𝒚 ‫و‬ 𝒚́ ‫و‬ 𝒚́ ́ : ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟒𝒆𝟐𝒙 + 𝟗𝒆−𝟑𝒙 + 𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝟑𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔(𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ) = 𝟔𝒆𝟐𝒙 + 𝟔𝒆−𝟑𝒙 − 𝟔𝒆𝟐𝒙 − 𝟔𝒆−𝟑𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆−𝟑𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒚́ ́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎 . ================================================== ‫تمرين‬ 8 : ‫أن‬ ‫بين‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬ 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . :‫الحل‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 … . (𝟏) 𝒚́ = −𝒂𝒆−𝒙 … (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نعوض‬ 𝒚 ‫و‬ 𝒚́ : ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ + 𝒚 = −𝒂𝒆−𝒙 + 𝒂𝒆−𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺 ∴ ‫العالقة‬ 𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙 ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ 𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 . 2012 – 3, 2013-1 2016 – 1, 2016-3, 2015-3
  • 13.
    Ordinary Differential Equations10 ‫الم‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫بعض‬ ‫التفاضلية‬ ‫عادالت‬  ‫متغيراتها‬ ‫تنفصل‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ : ً‫ال‬‫او‬ :‫بـ‬ ‫نقوم‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫لحل‬  ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬ 𝒚́ ‫بدله‬ ‫نضع‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 .  ‫عزل‬ x ‫مع‬ dx ‫األيمن‬ ‫الطرف‬ ‫في‬ ‫و‬ y ‫مع‬ dy ‫األيسر‬ ‫الطرف‬ ‫في‬ .  . ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬ ==================== ============================= ======= :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓 . :‫الحل‬ [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒄 ========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙−𝟏 𝒚 . :‫الحل‬ ‫طرفين‬ ‫نضرب‬ × ‫وسطين‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 𝒅𝒚 = (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙
  • 14.
    Ordinary Differential Equations11 ⟹ ∫ 𝒚 𝒅𝒚 = ∫(𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ [ 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒄 ] × 𝟐 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄 ⟹ 𝒚 = ±√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒄𝟏 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ======== ================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 . :‫الحل‬ [𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 ========================================================== :‫مثال‬ ‫اوجد‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒚́ − 𝒙√𝒚 = 𝟎 ‫عندما‬ y=9 ‫و‬ x=2 . :‫الحل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙√𝒚 ⟹ [𝒅𝒚 = 𝒙 (𝒚) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙] ÷ (𝐲) 𝟏 𝟐 ⟹ (𝒚)− 𝟏 𝟐𝒅𝒚 = 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2016 - 1
  • 15.
    Ordinary Differential Equations12 ⟹ ∫(𝒚)− 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟐(𝒚) 𝟏 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬ ⟹ 𝟐(𝟗) 𝟏 𝟐 = (𝟐)𝟐 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟐(𝟑) = 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟔 𝒙𝟒 + 𝒙 𝟐 + 𝟒 ========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫التفاضلية‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 ‫حيث‬ y=0 ‫عندما‬ x=0 . :‫الحل‬ [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙+𝒚 ] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒆𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝒆−𝒚𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − ∫ 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆𝟐𝒙 (𝟐) 𝒅𝒙 ⟹ − 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝒆𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐(𝟎) + 𝒄 ⟹ − 𝟏 = 𝟏 𝟐 (𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟏 − 𝟏 𝟐 = − 𝟑 𝟐 ⟹ [− 𝒆−𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐 ] (× −𝟏) ⟹ 𝒆−𝒚 = 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 ⟹ 𝟏 𝒆𝒚 = (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) 𝟐 ⟹ 𝒆𝒚 = 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) ‫ل‬ ‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬ c ‫نعوض‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫قيمت‬ x ‫و‬ y 𝒆𝒙+𝒚 = 𝒆𝒙 . 𝒆𝒚 ‫التكامالت‬ ‫داخل‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقات‬‫نوفر‬ ‫ل‬ ‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬ c ‫نعوض‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫قيمت‬ x ‫و‬ y ‫وباخذ‬ ln ‫للطرفي‬
  • 16.
    Ordinary Differential Equations13 ⟹ 𝒚 = 𝒍𝒏 | 𝟐 (𝟑 − 𝒆𝟐𝒙) | ========================================================== :‫مثال‬ ‫ال‬ ‫جد‬ ‫حل‬ ‫ل‬ ‫العام‬ ‫لمعادلة‬ ‫التفاضلية‬ (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚 . :‫الحل‬ [(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒚] × 𝒅𝒙 ⟹ [(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟐𝒚𝒅𝒙] ÷ [𝟐𝒚, (𝒙 + 𝟏)] ⟹ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ ∫ 𝒅𝒚 𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝟐𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄 ⟹ |𝒚| (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒄𝟏 ⟹ |𝒚| = 𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒚 = ±𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ================================================================== ‫تمرين‬ 1 : : ‫ات‬‫المتغت‬ ‫فصل‬ ‫بطريقة‬ ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫حل‬ a) 𝒚́ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 Sol [ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙] × 𝒅𝒙 ⟹ [𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 = −∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 (−𝒔𝒊𝒏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚 = −(− 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔−𝟐𝒙) + 𝒄 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ 𝒚́ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2015 - 2
  • 17.
    Ordinary Differential Equations14 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒄 ========================================================== b) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝒙𝒚 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙(𝟑 − 𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝟑 − 𝒚) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝟐| = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟎 = 𝟏 𝟐 (𝟏)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| = (𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝟑 − 𝒚 = 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟑 − 𝒆 (𝟏−𝒙𝟐) 𝟐 ========================================================== c) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) ⟹ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 ‫ي‬ ‫قيم‬ ‫وبتعويض‬ x ‫و‬ y Ln (1)=0 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ 2013 – 2, 2014-3
  • 18.
    Ordinary Differential Equations15 ⟹ ∫ 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝟏) = ∫(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚 − 𝟏| = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆𝒍𝒏 |𝒚−𝟏| = 𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 .𝒆𝒄 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 ∴ 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝟏𝒆 𝒙𝟐 𝟐 +𝒙 d) (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒚́ = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Sol [(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 𝟑 + 𝟒𝒚𝟐 𝟐 − 𝒚 = 𝒙𝟑 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄 ⟹ [ 𝟏 𝟑 𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄] × 𝟑 ∴ 𝒚𝟑 + 𝟔𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝒄𝟏 ========================================================== e) 𝒚𝒚́ = 𝟒 √(𝟏 + 𝒚𝟐)𝟑 Sol [𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟒 (𝟏 + 𝒚𝟐) 𝟑 𝟐] × 𝒅𝒙 ⟹ (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟑 𝟐 (𝟐) 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟐 𝟐 (𝟏 + 𝒚𝟐) − 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬
  • 19.
    Ordinary Differential Equations16 ⟹ [− 𝟏 (𝟏+𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄] ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬⟹ 𝟏 𝟏+𝒚𝟐 = (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ⟹ 𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄) 𝟐 ∴ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟒 𝒙 + 𝒄)𝟐 − 𝟏 ========================================================== f) 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟒 𝒚𝟒 = 𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒚𝟒 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟒𝒄 ∴ 𝒚 = √𝟒𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 𝟒 ========================================================== g) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 , 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏 𝟐 Sol 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒚𝟑 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 = 𝟐𝒆𝟎 + 𝒄 ⟹ − 𝟒 𝟐 = 𝟐(𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟐 = −𝟒 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟑𝒄 . ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ 2013 - 3
  • 20.
    Ordinary Differential Equations17 ⟹ 𝒚−𝟐 −𝟐 = 𝟐𝒆𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝟏 𝒚𝟐 = 𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ⟹ 𝒚 = √ 𝟏 (𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ) ========================================================== ‫تمرين‬ 2 : ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلت‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬ : a) 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 Sol 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒚𝟐 ⟹ 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 ⟹ 𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒚 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = −𝟒 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟒𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙|−𝟒 + 𝒍𝒏𝒆𝒄𝟏 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏(𝒙−𝟒.𝒆𝒄𝟏) ⟹ 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ⟹ 𝒚 = ±√ 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 𝟐 ========================================================= b) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 Sol 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ , 𝒄𝟐 = 𝒆𝒄𝟏, 𝒄𝟏 = 𝟒𝒄 . ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬
  • 21.
    Ordinary Differential Equations18 ⟹ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒅𝒚 = − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = −𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒙| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 | + 𝒍𝒏 𝒆𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 .𝒆𝒄) ⟹ 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝒄𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏 ========================================================== c) 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 Sol 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −∫ 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = − 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄 ∴ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 = 𝒄𝟏 − 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Sol 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝒆𝒄 ‫ث‬ . ‫اختياري‬ ‫ابت‬ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 ‫حيث‬ 𝒄𝟏 = 𝟐𝒄 ‫ث‬ . ‫اختياري‬ ‫ابت‬ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏
  • 22.
    Ordinary Differential Equations19 ⟹ ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝒅𝒙 ∴ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 − 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝒄 ========================================================== e) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 Sol 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = 𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙) + 𝒄 ========================================================== f) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑𝒚𝟐+𝒆𝒚 Sol (𝟑𝒚𝟑 + 𝒆𝒚)𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟑𝒚𝟐 + 𝒆𝒚) 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒚𝟑 + 𝒆𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒚́ = 𝟎 Sol 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 2011 – 1, 2013 - ‫ت‬
  • 23.
    Ordinary Differential Equations20 𝒆𝒙+𝟐𝒚 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒆𝒙 .𝒆𝟐𝒚) ⟹ 𝒆−𝟐𝒚𝒅𝒚 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 ∫ 𝒆−𝟐𝒚 (−𝟐)𝒅𝒚 = −∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ − 𝟏 𝟐 𝒆−𝟐𝒚 = −𝒆𝒙 + 𝒄 ⟹ 𝒆−𝟐𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏 ⟹ −𝟐𝒚 = 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| ∴ 𝒚 = − 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏| 𝟐 ‫باخذ‬ ln ‫للطرفي‬
  • 24.
    Ordinary Differential Equations21 ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫المتغيرات‬ ‫فصل‬ ‫اليمكن‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫اس‬ ‫اعلى‬ ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬ ‫فنقوم‬ ( ‫لـ‬ X : ‫بالصورة‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بحيث‬ ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) ‫حد‬ ‫كل‬ ‫ويكون‬ 𝒚 𝒙 ً‫ال‬‫مث‬ ‫القورة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫فيها‬ ‫متجانسة‬ ‫هذه‬ ‫المعادلة‬ ‫غير‬ ‫متجانسة‬ ‫النه‬ ‫اليمكن‬ ‫كتابتها‬ : ‫بالصورة‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇( 𝒚 𝒙 ) ‫متجانسة‬
  • 25.
    Ordinary Differential Equations22 ‫ا‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫لحل‬ ‫لتالية‬ : ========================= ================================ :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒚́ = 𝟑𝒚𝟐−𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 ( 𝒚 𝒙 ) 𝟐 − 𝟏 𝟐 ( 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
  • 26.
    Ordinary Differential Equations23 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟑𝒗𝟐 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐−𝟏 𝟐𝒗 ‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒗 𝒗𝟐 − 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒗𝟐 − 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏)| ⟹ 𝒙 = ±𝒄(𝒗𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄(( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏) ∴ 𝒄 = ± 𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 ================================================== :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚+𝒙 𝒚−𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒗 − 𝟏 ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
  • 27.
    Ordinary Differential Equations24 ‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ : ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝟏 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ −𝟐(𝒗 − 𝟏) 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒍𝒏|𝒄| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏|𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏|(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏)| − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏 𝟏 √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) ⟹ √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) = 𝟏 |𝒄𝒙| ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬ ‫بت‬ ⟹ 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏 = 𝒄𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ∴ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒌 ========================================================== :‫مثال‬ :‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ (𝟑𝐱 − 𝐲)𝒚́ = 𝐱 + 𝐲 Sol ⟹ (𝟑𝐱 − 𝐲) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 + 𝐲 ⟹ (𝟑 𝐱 𝒙 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐱 𝒙 + 𝐲 𝒙 ⟹ (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝐲 𝒙 (𝟑 − 𝐲 𝒙 ) ‫باخذ‬ e ‫للطرفي‬ ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 2013 - 2
  • 28.
    Ordinary Differential Equations25 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗 𝟑 − 𝐯 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟑 − 𝐯 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 − 𝐯 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −[(𝐯 − 𝟏) − 𝟐] (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − [(𝐯 − 𝟏)] (𝒗 − 𝟏)𝟐 − 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗 − 𝟏 𝒅𝒗 + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗−𝟏 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏|𝒗 − 𝟏| − 𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 − 𝟏| − 𝟐 𝒚 𝒙 − 𝟏 + 𝒄 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
  • 29.
    Ordinary Differential Equations26 ∴ 𝒍𝒏|𝒚 − 𝒙| = − 𝟐𝒙 𝒚 − 𝒙 + 𝒄 ========================================================== ‫مثال‬ ‫ال‬ ‫جد‬ : ‫حل‬ ‫ل‬ ‫العام‬ :‫التفاضلية‬ ‫لمعادلة‬ 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Sol ⟹ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝟏 + ( 𝐲 𝒙 ) 𝟐 ] ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝟐 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = + ∫ 𝟐 (𝒗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐 𝒅𝒗 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
  • 30.
    Ordinary Differential Equations27 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟏 = − 𝟏 𝐯 − 𝟏 ⟹ 𝒗 − 𝟏 = − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝟐𝒄𝟏 ⟹ 𝒗 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ∴ 𝒚 = 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐 ========================================================== ‫تمرين‬ : ‫حل‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫التفاضلية‬ ‫االتية‬ : a) 𝒚́ = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐲 𝒙 + 𝒆 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫حيث‬ 𝒄𝟐 , 𝒄𝟏 . ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬ ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2012 – 2, 2013-1
  • 31.
    Ordinary Differential Equations28 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒆𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = − 𝒆−𝒗 + 𝒄 ∴ 𝐜 = 𝐥𝐧|𝐱| + 𝒆− 𝒚 𝒙 ========================================================== b) (𝒚𝟐 − 𝐱𝐲)𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ ( 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ) 𝐝𝐱 + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝐝𝐲 = 𝟎 ⟹ (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (( 𝒚 𝒙 )𝟐 − 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −(𝒗𝟐 − 𝒗) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2015 - 2
  • 32.
    Ordinary Differential Equations29 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟐 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟐 ‫المتغت‬ ‫بفصل‬ :‫ينتج‬ ‫ات‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒗−𝟏 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝟏 𝒗 + 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ∴ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒙 𝒚 + 𝒄 ========================================================== c) (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐝𝐱 + (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝒅𝒚 = −(𝒙 + 𝟐𝒚)𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝒙 + 𝟐𝒚) (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − ( 𝒙 𝒙 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 𝒙 𝒙 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙
  • 33.
    Ordinary Differential Equations30 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐 𝒚 𝒙 ) (𝟐 + 𝟑 𝒚 𝒙 ) ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − (𝟏 + 𝟐𝒗) − 𝒗(𝟐 + 𝟑𝒗) (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝟏 − 𝟐𝒗 − 𝟐𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) = −𝟏 − 𝟒𝒗 − 𝟑𝒗𝟐 (𝟐 + 𝟑𝒗) ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = − 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 (𝟐 + 𝟑𝒗) :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟐 + 𝟑𝒗 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐(𝟑𝒗 + 𝟐) 𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒄| − 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏| 𝟏 𝟐 ⟹ 𝒄 − 𝒙 = (𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏) 𝟏 𝟐 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
  • 34.
    Ordinary Differential Equations31 ⟹ [𝒄𝟐 − 𝟐𝒙𝒄 + 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚 𝒙 + 𝟏] × 𝒙𝟐 ∴ 𝒄𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 𝒄 + 𝒙𝟒 = 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 ========================================================== d) 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝟐𝒙𝒚 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝒚 𝒙𝟐 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝟐 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 𝟐𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 + 𝒗𝟐 − 𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝟐𝒗 ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬ ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
  • 35.
    Ordinary Differential Equations32 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ −𝟐𝒗 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −𝒍𝒏|𝟏 − 𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 | −𝟏 + 𝒄 ======================================================== e) (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 + 𝐱𝐲𝐝𝐲 = 𝟎 Sol ⟹ (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 = −𝐱𝐲𝐝𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − (𝒚𝟐 − 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = − −(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) 𝐱𝐲 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒙𝟐) 𝐱𝐲 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − ( 𝒚 𝒙 )𝟐 𝐲 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐 𝒗 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ )
  • 36.
    Ordinary Differential Equations33 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟒 ∫ (−𝟒)𝒗 𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = − 𝟏 𝟒 𝒍𝒏|𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 | + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐( 𝒚 𝒙 )𝟐 | − 𝟏 𝟒 + 𝒄 ========================================================== f) 𝒙𝟐 𝐲𝐝𝐱 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 )𝒅𝒚 Sol ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 𝟏 + ( 𝒚 𝒙 )𝟑 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 𝟏 + 𝒗𝟑 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗(𝟏 + 𝒗𝟑 ) 𝟏 + 𝒗𝟑 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = −𝒗𝟒 𝟏 + 𝒗𝟑 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 2016 - 1
  • 37.
    Ordinary Differential Equations34 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 + 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒗𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟑 𝒗𝟒 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝟏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒗| = 𝒗−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏 | 𝒚 𝒙 | = ( 𝒚 𝒙 )−𝟑 𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙. 𝒚 𝒙 | = 𝟏 𝟑( 𝒚 𝒙 )𝟑 + 𝒄 ∴ 𝒍𝒏|𝒚| = 𝒙𝟑 𝟑𝒚𝟑 + 𝒄 ========================================================== g) 𝒙( 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 ) = 𝐲 Sol ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 = 𝒚 𝒙 ⟹ 𝐝𝐲 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙 ‫نضع‬ v ‫بدل‬ 𝒚 𝒙
  • 38.
    Ordinary Differential Equations35 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 … (𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 … (𝟐) 𝒗 + 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 − 𝒗 ⟹ 𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒗 :‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬ ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒊𝒏 𝒗 𝒅𝒗 ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒗| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒗| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒙 | ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) ‫لكن‬ 𝒗 = 𝒚 𝒙
  • 39.