‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬
–
‫التطبيقي‬
‫الفصل‬
‫الثالث‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
2021 - 2022
‫تقديم‬
‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫المالزم‬
‫الحديثة‬
‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬
‫كل‬
‫مواضيع‬
‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬
‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬
‫ط‬
‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫وات‬
‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬
‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬
‫ش‬ ‫خالل‬
‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫رح‬
‫ا‬
‫رسوم‬ ‫ضافة‬
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬
‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬
‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬
‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫لة‬
‫حو‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬
. ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫ل‬
‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬
‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬
ً‫ا‬‫ساعي‬ ‫طموح‬ ‫و‬
‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬
‫دافه‬
‫كل‬ ‫رغم‬
‫الصعوبات‬
‫ف‬ ‫والتحديات‬
‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫أسأل‬
‫له‬
‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬
"
‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬
."
‫الدكتور‬
‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬
07818192576
anasdhyiab@gmail.com
‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬
©
2021
.‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫االمثلة‬ ‫بعض‬ ‫مع‬ ‫االشتقاق‬ ‫قواعد‬
1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎
Ex.
A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓
́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓
́(𝑥) = 0
C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓
́(𝑥) = 0
====================================
======================
2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5
⟹ 𝑓
́(𝑥) = 5𝑥4
B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6
⟹ 𝑓
́(𝑥) = −6𝑥−7
C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
⟹ 𝑓
́(𝑥) = 12𝑥2
D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥)
1
2 ⟹ 𝑓
́(𝑥) =
1
2
(𝑥)
3
2
E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
+ 2𝑥2
− 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓
́(𝑥) = 12𝑥2
+ 4𝑥 − 16
=========================================================
3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙))
𝒏−𝟏
. 𝒈
́ (𝒙)
Ex.
A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2
− 14𝑥)5
⟹ 𝑓
́(𝑥) = 5(6𝑥2
− 14𝑥)4
(12𝑥 − 14)
B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2
3
⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2)
1
3
⟹ 𝑓
́(𝑥) =
1
3
(21𝑥 + 2)
−2
3 (21) =
7
√(21𝑥+2)2
3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉
́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈
́ (𝒙)
Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2
− 10𝑥)(7𝑥)
⟹ 𝑓
́(𝑥) = (4𝑥−2
− 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3
− 10)
=============================================================
5) 𝒇(𝒙) =
𝒈(𝒙)
𝒉(𝒙)
⟹ 𝒇
́ (𝒙) =
𝒉(𝒙).𝒈
́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉
́ (𝒙)
(𝒉(𝒙))𝟐
Ex. 𝒇(𝒙) =
(𝒙)𝟑
𝟒−𝒙
⟹ 𝒇
́ (𝒙) =
(𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏)
(𝟒−𝒙)𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫المشتقة‬ ‫رموز‬
1. 𝒚́ = 𝒇
́ (𝒙) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
2. 𝒚́
́ = 𝒇
́
́ (𝒙) =
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
3. 𝒚́
́
́ = 𝒇
́
́
́
(𝒙) =
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
4. 𝒚(𝒏)
= 𝒇(𝒏)(𝒙) =
𝒅(𝒏)𝒚
𝒅𝒙(𝒏)
===========================================================
:‫مثال‬
‫كانت‬ ‫اذا‬
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
‫فجد‬
𝒅𝟒𝒚
𝒅𝒙𝟒
.
:‫الحل‬
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
= 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
= 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥
===========================================================
:‫مثال‬
‫اذا‬
‫أن‬ ‫علمت‬
𝑦2
+ 𝑥2
= 1
: ‫ان‬ ‫على‬ ‫فبرهن‬
𝑦
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
.
‫ا‬
:‫لحل‬
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥 = 0
𝑦
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 1 = 0 ⟹ 𝑦
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
+ 1 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝑦
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
+
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
).
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 0 = 0
⟹ 𝑦
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
==========================================================
‫تمرين‬
1
‫جد‬ :
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
: ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙)
𝟏
𝟐, ∀𝒙 < 𝟐
Sol/
𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥)
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
(2 − 𝑥)−
1
2 (−1) = −
1
2
(2 − 𝑥)−
1
2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
1
4
(2 − 𝑥)−
3
2 (−1) = −
1
4
(2 − 𝑥)−
3
2 =
−1
4√(2 − 𝑥)3
==========================================================
b. 𝒚 =
𝟐−𝒙
𝟐+𝒙
, 𝒙 ≠ −𝟐
Sol/
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1)
(2 + 𝑥)2
=
−4
(2 + 𝑥)2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
(2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1)
(2 + 𝑥)4
=
−(−4) (4 + 2𝑥)
(2 + 𝑥)4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
=
16 + 8𝑥
(2 + 𝑥)4
==========================================================
C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎
Sol/
2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 =
−5
(2𝑥 − 4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2)
(2𝑥 − 4)2
=
10
(2𝑥 − 4)2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
(2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2))
(2𝑥 − 4)4
=
−40
(2𝑥 − 4)4
==========================
==========
===============
2
)
‫جد‬
𝒇
́
́
́
(𝟏)
‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑
𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥)
1
2
𝑓
́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)−
1
2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)−
1
2
𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)−
3
2(−2) = −4(6 − 2𝑥)−
3
2
𝑓
⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)−
5
2(−2) = −12(6 − 2𝑥)−
5
2
𝑓
⃛(1) =
−12
√(6 − 2(1))5
=
−12
√(4)5
=
−12
√1024
=
−12
32
=
−3
8
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙
𝑓
́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2
sin 𝜋𝑥
𝑓
⃛(𝑥) = −𝜋3
cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓
⃛(1) = −𝜋3
cos 𝜋(1) = −𝜋3
(−1) = 𝜋3
========================================================
c. 𝒇(𝒙) =
𝟑
𝟐−𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟐
𝑓(𝑥) =
3
2 − 𝑥
= 3(2 − 𝑥)−1
𝑓
́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2
⟹ 𝑓
́
́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3
⟹ 𝑓
́
́
́
(𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4
𝑓
́
́
́
(1) = 18(2 − 1)−4
= 18(1)−4
= 18
.
========================================================
‫تمرين‬
3
:
‫كانت‬ ‫اذا‬
𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
‫ان‬ ‫فبرهن‬
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
= 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐
𝒙)
:‫الحل‬
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sec2
𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2
𝑥 tan 𝑥
= 2 tan 𝑥 (1 + tan2
𝑥)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 2𝑦 (1 + y2
𝑥)
𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
sec2
𝑥 = 1 + tan2
𝑥
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
3
:
‫كانت‬ ‫اذا‬
𝑦 = 𝑥 sin 𝑥
‫ان‬ ‫فبرهن‬
𝑦(4)
− 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0
.
:‫الحل‬
𝑦 = 𝑥 sin 𝑥
𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥
𝑦́
́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥
𝑦́
́
́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥
𝑦(4)
= 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥
𝑦(4)
− 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
[3-2]
‫المعدالت‬
‫المرتبطة‬
Independent Equations
𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔́(𝑡)
𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓
́(𝑡)
1
.
‫ارسم‬
‫مخططا‬
‫للمسألة‬
‫وحدد‬
‫المتغيرات‬
‫والثوابت‬
‫وضع‬
‫لها‬
‫الرموز‬
‫وحدد‬
‫العالقة‬
‫الرئيسية‬
‫في‬
‫حل‬
‫السؤال‬
.
2
.
‫حاول‬
‫إيجاد‬
‫عالقة‬
‫أخرى‬
‫بين‬
‫المتغيرات‬
‫لكي‬
‫تقلل‬
‫من‬
‫عدد‬
‫المتغيرات‬
.
3
.
‫نشتق‬
‫الطرفين‬
‫بالنسبة‬
‫للمتغير‬
t
‫الزمن‬
4
.
‫عوض‬
‫معطيات‬
‫السؤال‬
‫من‬
‫المتغيرات‬
‫بعد‬
‫االشتقاق‬
.
: ‫مثال‬
‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬
2m
‫يتسرب‬
‫بمعدل‬ ‫الماء‬ ‫منه‬
0.4 𝒎𝟑
/𝒉
‫زمن‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ .
t
.
𝑽 = 𝑨 𝒉
= 𝟐𝟐
. 𝒉 = 𝟒𝒉
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4
𝑑ℎ
𝑑𝑡
⟹ −0.4 = 4
𝑑ℎ
𝑑𝑡
‫متغير‬
‫تابع‬
‫متغير‬
‫مستقل‬
‫لحل‬
‫أي‬
‫سؤال‬
‫يتعلق‬
‫بالمعدالت‬
‫المرتبطة‬
‫المعدل‬
‫الزمني‬
‫لتغير‬
y
‫المعدل‬
‫الزمني‬
‫لتغير‬
x
‫(مرب‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ = ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫مساحة‬
)‫عة‬
×
‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ = ‫االرتفاع‬
×
‫االرتفاع‬
‫او‬ ‫نقصان‬ ‫او‬ ‫تسرب‬
‫سالبة‬ ‫اشارة‬ ‫نضع‬ ‫ذوبان‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
∴
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0.1 𝑚/ℎ
‫تمرين‬
5
:
‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يزداد‬ , ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫تتغير‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬
‫ا‬
‫بمعدل‬ ‫لقاعدة‬
0.3 cm/s
‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫وارتفاعه‬
0.5cm/s
‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ,
‫القاعدة‬ ‫ضلع‬
4cm
‫االرتفاع‬ ‫و‬
3 cm
.
Sol/

: ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬

‫المربعة‬ ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
=
x
= ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
0.3
cm/s
‫القاعدة‬ ‫مساحة‬
A
=
𝒙𝟐

= ‫االرتفاع‬
h
‫معدل‬ ‫وبالتالي‬
‫تناقص‬
= ‫االرتفاع‬
𝒅𝒉
𝒅𝒕
=
0.5
cm/s -

‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬
𝑽 = 𝑨 . 𝒉
𝑉 = 𝑥2
. ℎ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑥2
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+ 2𝑥 . ℎ .
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3
/𝑠
:‫مثال‬
‫صف‬
‫مساحتها‬ ‫المعدن‬ ‫من‬ ‫مستطيلة‬ ‫يحة‬
96 𝒄𝒎𝟐
‫بمعدل‬ ‫طولها‬ ‫يتمدد‬ .
2 cm/s
‫تبقى‬ ‫بحيث‬
‫عرضها‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫وذلك‬ ‫عرضها‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬
8 cm
.
= ‫المستطيل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
X
= ‫وعرضه‬
Y
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ?
𝐴 = 𝑥 𝑦
96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 =
96
8
= 12
X
y
‫مجهول‬ ‫العرض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫الطول‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬
×
‫العرض‬
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫وباتعويض‬
‫الحجم‬ ‫تناقص‬ ‫معدل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦
⟹
𝑑
𝑑𝑡
(96) = 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ 0 = 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 8(2) ⟹ −16 = 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
16
12
= −
4
3
𝒄𝒎/𝒔
:‫مثال‬
‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬
8cm
‫بالذوبان‬ ‫الجليد‬ ‫بدأ‬ ‫فاذا‬ ,‫مكعبا‬ ‫يبقى‬ ‫شكله‬ ‫بحيث‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬
‫بمعدل‬
6 𝒄𝒎𝟑
/𝒔
‫بسمك‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
‫السمك‬ ‫هذا‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫الحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬
1 cm
.
‫الحل‬
/
= ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
x
‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ,
= ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
‫عند‬
x=1
‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ = ‫الجليد‬ ‫حجم‬
-
‫االاصلي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬
𝑉 = (8 + 2𝑥)3
− 83
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3(8 + 2𝑥)2
. 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 0
−6 = 3(8 + 2(1))2
. 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−6 = 3(10)2
. 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ −6 = 300 (2)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ −6 = 600
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
−6
600
=
−1
100
= −0.01 𝑐𝑚/𝑠
:‫مثال‬
‫طوله‬ ‫سلم‬
10m
, ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬
‫انزلق‬ ‫فاذا‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫غن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬
2m/s
‫بعد‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬
8m
‫جد‬ . ‫الحائط‬ ‫عن‬
1
‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ )
2
. ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬ )
8 cm
8+2x cm

‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ = ‫المكعب‬ ‫حجم‬
.
‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬
8+2x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
Sol/

= ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
x
‫اذ‬ .
‫الطرف‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫ن‬
= ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕

= ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
y
= ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫اذن‬ .
𝒅𝒚
𝒅𝒕
‫مطلوب‬ ...

‫ان‬ ‫نفرض‬
= ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬
𝜽
‫قطرية‬ ‫نصف‬ ‫زاوية‬

‫ونجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫نطبق‬ ‫لذا‬ ‫مثلث‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الرسم‬ ‫من‬
y
‫ن‬ ‫ثم‬
‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫المعاليم‬ ‫ونعوض‬ ‫شتق‬
𝑥2
+ 𝑦2
= 102
⟹ 82
+ 𝑦2
= 100
𝑦2
= 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥2
+ 𝑦2
) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(10)
2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0
⟹ 2(8)(2) + 2(6)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⟹ 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −32 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
−32
12
=
−8
3
𝑚/𝑠
‫معدل‬
‫انز‬
‫الق‬
‫الطرف‬
‫العلوي‬
−8
3
𝑚/𝑠
.
‫الزاويه‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫اليجاد‬ ‫االن‬
𝒅𝜽
𝒅𝒕
‫قانون‬ ‫نستخدم‬
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
‫المقابل‬
‫الوتر‬
sin 𝜽 =
𝑦
10
⟹
𝑑
𝑑𝑡
(sin 𝜽) =
1
10
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⟹ cos 𝜽
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
10
(
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
⟹
𝑥
10
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
10
(
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) ⟹
8
10
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
10
(
−8
3
) ⟹
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
10
(
−8
3
) (
10
8
)
=
−1
3
𝑟𝑎𝑑/𝑠
−1
3
𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴
‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫وبالتعويض‬
‫عن‬
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒙
𝟏𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫تمرين‬
‫فاذا‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫االعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫سلم‬
‫الطرف‬ ‫انزلق‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬
2m/s
‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
‫واالرض‬ ‫السلم‬
𝜋
3
.
Sol/

: ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬

‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬
x

‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬
y

‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟐 𝒎/𝒔

‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=?
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
⟹ tan
𝜋
3
=
𝑦
𝑥
⟹ √3 =
𝑦
𝑥
… . (1)
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑠2
⟹ 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0
⟹ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
−2𝑥
2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
2
√3
𝑚/𝑠
‫قانون‬ ‫من‬
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
‫المقابل‬
‫المجاور‬
‫على‬ ‫نحصل‬
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
𝒙
𝒚
( ‫عالقة‬ ‫من‬
1
)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
2
:
‫طواله‬ ‫عمود‬
7.2 m
‫طوله‬ ‫رجل‬ ‫يتحرك‬ , ‫مصباح‬ ‫نهايته‬ ‫في‬
1.8 m
‫بسرعة‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬
30 m/min
. ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ,
Sol/

:‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬

= ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬
x
‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬
‫عن‬ ‫الرجل‬
= ‫العمود‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
30 m/min

= ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬
y
= ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫وبالتالي‬
𝒅𝒚
𝒅𝒕
‫؟‬ =

‫ل‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتقها‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫محصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬
t
‫ثم‬
. ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫نعوض‬
.8
1.8
7.2
=
𝑥
𝑥 + 𝑦
⟹
1
4
=
𝑦
𝑥 + 𝑦
⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0
3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0 ⟹ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
3
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
3
. 30 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛
‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
30
‫نحصل‬
‫معدل‬
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫لالسفل‬ ‫ورأسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬
24cm
‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬
16cm
‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فيه‬ ‫يصب‬
𝟓 𝒄𝒎𝟑
/𝒔
‫بينما‬
‫بمعدل‬ ‫السائل‬ ‫منه‬ ‫يتسرب‬
𝟏 𝒄𝒎𝟑
/𝒔
‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ .
‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬
12 cm
.
: ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬

= ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
r
= ‫ارتفاعه‬ ‫و‬
h

= ‫السائل‬ ‫حجم‬
v(t)
‫المخرو‬ ‫حجم‬ =
‫ط‬
𝒗 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐
𝒉

= ‫القطر‬
16
⟸
‫القطر‬ ‫نصف‬
r
=
8

‫قانون‬ ‫من‬
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
‫المقابل‬
‫المجاور‬
‫نحصل‬
‫العالقة‬ ‫في‬ ‫نطبقها‬ ‫عالقة‬ ‫على‬
. ‫االولى‬
tan 𝜃 =
𝑟
ℎ
=
8
24
⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 =
8
24
ℎ =
1
3
ℎ
𝑣 =
1
3
𝜋𝑟2
ℎ =
1
3
𝜋(
1
3
ℎ)2
ℎ =
1
3
(
1
9
) 𝜋ℎ3
=
1
27
𝜋ℎ3
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 3(
1
27
)𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡

‫معدل‬
‫تغير‬
‫حجم‬
‫السائل‬
‫في‬
‫المخروط‬
=
‫معدل‬
‫الصب‬
-
‫معدل‬
‫التسرب‬
.
4 =
1
9
𝜋(12)2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
⟹ 4 =
144
9
𝜋
𝑑ℎ
𝑑𝑡
⟹
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
4
16𝜋
=
1
4𝜋
𝒄𝒎𝟑
/𝒔 ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫السائل‬ ‫عمق‬
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑
/𝒔
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫لتكن‬
M
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫متحركة‬ ‫نقطة‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫ابتعادها‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬
(
0
,
7
‫يساوي‬ )
0.2 unit/s
‫للنقطة‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫جد‬ .
M
‫يكون‬ ‫عندما‬
x=4
.
Sol/

‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
M
‫هي‬
x, y
.

‫نفرض‬
( ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬
0
,
7
‫و‬ )
M
‫هو‬
s

‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬
𝒅𝒔
𝒅𝒕
= 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔

‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2
𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2
𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2
− 10𝑥 + 49)
1
2
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
1
2
(𝑥2
− 10𝑥 + 49)−
1
2 (2𝑥 − 10)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
0.2 =
1
2
(42
− 10(4) + 49)−
1
2 (2(4) − 10)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ 0.2 =
1
2
(25)−
1
2 (−2)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ 0.2 = −(52)−
1
2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟹ [0.2 = −
1
5
𝑑𝑥
𝑑𝑡
] × −5
∴
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠
‫نعوض‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
‫نعوض‬
𝒙 = 𝟒 ,
𝒅𝒔
𝒅𝒕
= 𝟎. 𝟐
‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
3
:
‫لتكن‬
M
‫المكافىء‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫نقطة‬
𝒚 = 𝒙𝟐
‫النقطة‬ ‫احداثي‬ ‫جد‬ ,
M
‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫البتعادها‬ ‫الزمني‬
(𝟎,
𝟑
𝟐
)
‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫ثلثي‬ ‫يساوي‬
M
.
Sol/

‫النقط‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
‫ة‬
M
‫هي‬
x, y
.

‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
(𝟎,
𝟑
𝟐
)
‫و‬
M
‫هو‬
s

‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬
𝒅𝒔
𝒅𝒕
=?

‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
M
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕

‫احداثي‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
M
‫عندما‬
𝒅𝒔
𝒅𝒕
=
𝟐
𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 −
3
2
)2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 +
9
4
𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 +
9
4
= √𝑦2 − 2𝑦 +
9
4
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
(2𝑦 − 2)
2√𝑦2 − 2𝑦 +
9
4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⟹
2
3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
2 (𝑦 − 1)
2√𝑦2 − 2𝑦 +
9
4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2√𝑦2 − 2𝑦 +
9
4
= 3(𝑦 − 1)
4𝑦2
− 8𝑦 + 9 = 9𝑦2
− 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2
− 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0
5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0
Or 𝑦 = 2
⟹ 𝑥2
= 2 ⟹ 𝑥 = ±√2
⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2)
‫وبتعويض‬
𝒚 = 𝒙𝟐
‫وبتعويض‬
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
2
3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Y=0
‫النقطة‬ ‫تتحرك‬ ‫لن‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬
M
‫عن‬ ‫مبنعده‬ ‫القطع‬ ‫على‬
‫االخرى‬ ‫النقطة‬
‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫وبتربيع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
4
:
‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫جد‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖
‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬
‫لتغير‬ ‫الزمني‬
x
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يساوي‬
y
‫لـ‬ ‫بالنسبة‬
t
.
Sol/
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬
x
=
𝒅𝒙
𝒅𝒕
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫والمعدل‬
y
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
‫لدينا‬
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖
𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝟒
𝒅𝒙
𝒅𝒕
− 𝟖
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟎
∵
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
⟹ 𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝟒
𝒅𝒙
𝒅𝒕
− 𝟖
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎
⟹ 𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒕
(𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵
𝒅𝒙
𝒅𝒕
≠ 𝟎
⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏)
(𝟐 − 𝒚)𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖
𝒚𝟐
− 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐
+ 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖
𝟐𝒚𝟐
− 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐
− 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐
𝒚𝟐
− 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎
𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎
Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔
‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬

‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬
c
‫؟‬ ‫الممكنة‬
-
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬
f
: ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[a,b]
2
)
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬
(a,b)
3
)
f(a) = f(b)
‫قيمة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫الشروط‬ ‫لهذه‬ ‫الدالة‬ ‫تحقيق‬ ‫من‬ ‫التأكد‬ ‫بعد‬
c
‫كل‬ ‫مكان‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫الدالة‬ ‫باشتقاق‬
x
‫بـ‬
c
‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬
‫قيمة‬ ‫اليجاد‬
c
.
:‫مثال‬
‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متحققة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫بين‬
c
‫الممكنة‬
a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐
, 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[𝟎, 𝟒]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(𝟎, 𝟒)
‫كثير‬ ‫النها‬
. ‫الحدود‬ ‫ة‬
3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐
= 𝟒
𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐
= (−𝟐)𝟐
= 𝟒
∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄)
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟏, 𝟏]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟏, 𝟏)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐
− (−𝟏)𝟑
= −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓
𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐
− (𝟏)𝟑
= 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏
∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏)
∴
‫الدالة‬
f
‫ايجاد‬ ‫اليمكن‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬
c
.
c) 𝒇(𝒙) = {
𝒙𝟐
+ 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐]
−𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏)
Sol/

‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الغاية‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫لذا‬ ‫جهتين‬ ‫من‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
𝑳𝟏
‫ا‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫والغاية‬
‫ليسار‬
𝑳𝟐
‫ثم‬
‫ان‬ ‫من‬ ‫نتحقق‬
𝑳𝟏 = 𝑳𝟐
. ‫ال‬ ‫ام‬
𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦
𝒙 ⟶(−𝟏)+
𝒙𝟐
+ 𝟏 = (−𝟏)𝟐
+ 𝟏 = 𝟐
𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦
𝒙 ⟶(−𝟏)−
−𝟏 = −𝟏
∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫غير‬
[−𝟒, 𝟐]
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫وال‬
d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[𝒂, 𝒃]
‫النها‬
‫ثابتة‬ ‫دالة‬
.
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(𝒂, 𝒃)
.
3) 𝒇(𝒂) = 𝒌
𝒇(𝒃) = 𝒌
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃)
∴
‫الدالة‬
f
‫وقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
c
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫قيمة‬ ‫اية‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
(𝒂, 𝒃)
.
‫تمرين‬
1
:
‫اوجد‬
‫قيمة‬
c
:‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تعينها‬ ‫التي‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟑, 𝟑]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟑, 𝟑)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑
− 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎
𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑
− 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎
∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟗 ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐
− 𝟑)
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐
− 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐
= 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑)
b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 +
𝟐
𝒙
, 𝒙 ∈ [
𝟏
𝟐
, 𝟐]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[
𝟏
𝟐
, 𝟐]
‫الن‬
0
‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬
[
𝟏
𝟐
, 𝟐]
.
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(
𝟏
𝟐
, 𝟐)
‫الن‬
0
‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬
(
𝟏
𝟐
, 𝟐)
.
3) 𝒇 (
𝟏
𝟐
) = 𝟐 (
𝟏
𝟐
) +
𝟐
𝟏
𝟐
= 𝟏 + 𝟒 = 𝟓
𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) +
𝟐
𝟐
= 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
∴ 𝒇 (
𝟏
𝟐
) = 𝒇(𝟐)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐 +
(−𝟐)
𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐
)
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐
= 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐
= 𝟏
𝟏 ∈ (
𝟏
𝟐
, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏
−𝟏 ∉ (
𝟏
𝟐
, 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏
c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐
− 𝟑)𝟐
, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟏, 𝟏]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟏, 𝟏)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐
− 𝟑)𝟐
= (−𝟐)𝟐
= 𝟒
𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐
− 𝟑)𝟐
= (−𝟐)𝟐
= 𝟒
∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐
− 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐
− 𝟑) ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐
− 𝟑)
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐
− 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏)
(𝒄𝟐
− 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐
= 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏)
‫تمرين‬
6
:
‫مب‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بين‬
‫رول‬ ‫رهنة‬
‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬
c
.
a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒
, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟏, 𝟑]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
‫تهمل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟏, 𝟑)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒
= (−𝟐)𝟒
= 𝟏𝟔
𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒
= (𝟐)𝟒
= 𝟏𝟔
∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑
⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑
= 𝟎
⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑)
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟏, 𝟏]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟏, 𝟏)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑
− (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎
𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑
− (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎
∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏 ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐
− 𝟏
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐
= 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝒄 = ±√
𝟏
𝟑
= ±
𝟏
√𝟑
∈ (−𝟏, 𝟏)
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟏, 𝟒]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫لالشت‬ ‫قابلة‬
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫قاق‬
(−𝟏, 𝟒)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
‫على‬ ‫بالقسمة‬
4
‫للطرفين‬ ‫التكعيبي‬ ‫الجذر‬ ‫اخذ‬ ‫ثم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐
− 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒
𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐
− 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒
∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 =
𝟑
𝟐
∈ (−𝟏, 𝟒)
d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[𝟎, 𝟐𝝅]
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(𝟎, 𝟐𝝅)
3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑
𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑
∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅)
∴
‫الدالة‬
f
. ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
𝒇
́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎
⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐
⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎
𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅)
𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅)
Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 =
−𝟏
𝟐
‫تهمل‬
Cos
‫هي‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫وبالتالي‬ ‫والثالث‬ ‫الثاني‬ ‫الربعين‬ ‫في‬ ‫سالب‬
𝝅
𝟑
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒄 = 𝝅 −
𝝅
𝟑
=
𝟐𝝅
𝟑
∈ (𝟎, 𝟐𝝅)
𝒄 = 𝝅 +
𝝅
𝟑
=
𝟒𝝅
𝟑
∈ (𝟎, 𝟐𝝅)

‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬

‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬
‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬
c
‫؟‬ ‫الممكنة‬
-
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬
f
: ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[a,b]
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(a,b)
‫نجد‬ ‫اعاله‬ ‫الشرطين‬ ‫تحقق‬ ‫بعد‬
‫قيمة‬
c
:
3
)
‫المم‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬
‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫ويساوي‬ ‫اس‬
‫للدالة‬
f
‫عند‬
c
:
𝒇
́ (𝒄)
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂)
𝒃−𝒂
5
)
)‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫(ميل‬ ‫القاعدة‬ ‫نطبق‬
𝒇
́ (𝒄) =
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
𝒃 − 𝒂
‫حيث‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫هي‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ **
𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂)
‫ان‬ ‫اي‬
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎
‫وبالتالي‬
𝒇
́ (𝒄) = 𝟎
.
:‫مثال‬
‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬
c
.
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−1,7]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−1,7)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3
)
‫المماس‬ ‫ميل‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑)
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
𝒃 − 𝒂
=
𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏)
𝟕 − (−𝟏)
=
((𝟕)𝟐
− 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐
− 𝟔(−𝟏) + 𝟒)
𝟖
=
𝟏𝟏 − 𝟏𝟏
𝟖
= 𝟎
∴ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕)
b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎]
Sol/
1
)
:‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬
∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂)
‫ان‬ ‫اي‬
f
‫عند‬ ‫مستمرة‬
a
‫ان‬ ‫وبما‬
a
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫هي‬
[−𝟒, 𝟎]
‫اذن‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−𝟒, 𝟎]
.
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−𝟒, 𝟎)
.
3
)
‫المماس‬ ‫ميل‬
𝒇
́ (𝒙) =
−𝟐𝒙
𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́ (𝒄) =
−𝒄
√𝟐𝟓 − 𝒄𝟐
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
𝒃 − 𝒂
=
𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒)
𝟎 − (−𝟒)
=
(√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔)
𝟒
=
𝟓 − 𝟑
𝟒
=
𝟏
𝟐
∴ 𝒇
́ (𝒄) =
𝟏
𝟐
⟹
−𝒄
√𝟐𝟓 − 𝒄𝟐
=
𝟏
𝟐
⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐
𝟒𝒄𝟐
= 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐
⟹ 𝟓𝒄𝟐
= 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐
= 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓
‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫ال‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫مماس‬
‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
√𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎)
−√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 .
:‫تمرين‬
‫على‬ ‫التالية‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬ ‫امكانية‬ ‫اختبر‬
‫السبب‬ ‫ذكر‬ ‫مع‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترات‬
‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬
c
.
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−1,2]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−1,2)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3
)
‫المماس‬ ‫ميل‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏 ⟹ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐
− 𝟏
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
𝒃 − 𝒂
=
𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏)
𝟐 − (−𝟏)
=
𝟓 + 𝟏
𝟑
= 𝟐
∴ 𝒇
́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐
− 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐
= 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐
=
𝟑
𝟑
= 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏
−𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐)
𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏
b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓]
Sol/
1
)
‫الدالة‬
h
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−1,5]
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2
)
‫الدالة‬
h
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−1,5)
. ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3
)
‫المماس‬ ‫ميل‬
𝒉
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉
́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐)
‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬
𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂)
𝒃 − 𝒂
=
𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏)
𝟓 − (−𝟏)
=
(𝟓)𝟐
− 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐
− 𝟒(−𝟏) + 𝟓)
𝟔
=
𝟏𝟎 − 𝟏𝟎
𝟔
= 𝟎
∴ 𝒉
́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓)
c) 𝒈(𝒙) =
𝟒
𝒙+𝟐
, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐]
Sol/
1
)
‫الدالة‬ ‫مجال‬ : ‫االستمرارية‬
g
‫هو‬
R/{x=-2}
‫ان‬ ‫وبما‬
-2
‫الفترة‬ ‫خارج‬
[−𝟏, 𝟐]
‫اذن‬
‫الدالة‬
g
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬
[−1,2]
.
2
)
‫ا‬
‫لدالة‬
g
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
(−1,2)
.
3
)
‫المماس‬ ‫ميل‬
𝒈
́ (𝒙) =
−𝟒
(𝒙 + 𝟐)𝟐
⟹ 𝒉
́ (𝒄) =
−𝟒
(𝒄 + 𝟐)𝟐
4
)
‫الوتر‬ ‫ميل‬
𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂)
𝒃 − 𝒂
=
𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏)
𝟐 − (−𝟏)
=
(
𝟒
𝟐 + 𝟐
) − (
𝟒
−𝟏 + 𝟐
)
𝟑
=
𝟏 − 𝟒
𝟑
= −𝟏
∴ 𝒈
́ (𝒄) = −𝟏 ⟹
−𝟒
(𝒄 + 𝟐)𝟐
= −𝟏
(𝒄 + 𝟐)𝟐
= 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐
+ 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎
⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐)
Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒
⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐)
‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝟑
, 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕]
Sol/
1
)
:‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬
‫الدالة‬
B
‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫الن‬ ‫مستمرة‬
R
.
2
)
: ‫االشتقاق‬ ‫قابلية‬
𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝟑
= (𝒙 + 𝟏)
𝟐
𝟑
𝑩
́ (𝒙) =
𝟐
𝟑
(𝒙 + 𝟏)−
𝟏
𝟑
‫هو‬ ‫المشتقة‬ ‫مجال‬
R/{-1}
‫لكن‬
-1
‫للفترة‬ ‫ينتمي‬
(-2,7)
‫الدالة‬ ‫اذن‬
B
. ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
**
‫مالحظة‬
:-
‫سوف‬
‫نقوم‬
‫باستخدام‬
‫نتيجة‬
‫مبرهنة‬
‫القيمة‬
‫المتوسطة‬
‫في‬
‫حل‬
‫مسائل‬
. ‫التقريب‬
:‫مثال‬
‫جد‬
‫باستخدام‬
‫نتيجة‬
‫مبرهنة‬
‫القيمة‬
‫المتوسطة‬
‫تقريبا‬
‫مناسبا‬
‫للعدد‬
√𝟐𝟔
Sol/
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 25
‫للعدد‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫اقرب‬
b=26
ℎ = 26 − 25 = 1
𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑓
́(𝑥) =
1
2√𝑥
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(25) =
1
2√25
=
1
2(5)
= 0.1
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓
́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟓
‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬
𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏)
Sol/
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 5
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 1
‫اقرب‬
‫سهلة‬ ‫قيمة‬
‫للعدد‬
b=1.001
ℎ = 1.001 − 1 = 0.001
𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3
+ 3(1)2
+ 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13
𝑓
́(𝑥) = 3𝑥2
+ 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(1) = 3(1)2
+ 6(1) + 4 = 13
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓
́(1)
= 13 + 0.001(13) = 13.013
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
‫على‬ ‫عشرية‬ ‫مراتب‬ ‫لثالث‬ ‫ومقربا‬ ‫تقريبية‬ ‫وبصورة‬ ‫جد‬ , ‫ة‬
: ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫االقل‬
a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑
𝟓
+ (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒
+ 𝟑
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝑥3
5
+ 𝑥4
+ 3 = 𝑥
3
5 + 𝑥4
+ 3
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 1
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=0.98
ℎ = 0.98 − 1 = −0.02
𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13
5
+ 14
+ 3 = 5
𝑓
́(𝑥) =
3
5
𝑥−
2
5 + 4𝑥3
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(1) =
3
5
(1)−
2
5 + 4(1)3
=
3
5
+ 4 =
23
5
= 4.6
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓
́(1)
= 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908
∴ √(0.98)3
5
+ (0.98)4
+ 3 ≅ 4.908
b) √𝟕. 𝟖
𝟑
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝒙
𝟑
= 𝑥
1
3
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 8
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=7.8
‫الدالة‬
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
ℎ = 7.8 − 8 = −0.2
𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖
𝟑
= 2
𝑓
́(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3 ⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(8) =
1
3
(23)−
2
3 =
1
12
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓
́(8)
= 2 − 0.2 (
1
12
) = 2 − 0.0166 = 1.9834
∴ √𝟕. 𝟖
𝟑
≅ 1.9834
c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕
𝟒
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙
𝟒
= 𝒙
𝟏
𝟐 + 𝒙
𝟏
𝟒
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 16
‫اقرب‬
‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬
b=17
ℎ = 17 − 16 = 1
𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐
)
𝟏
𝟐 + (𝟐𝟒
)
𝟏
𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑓
́(𝑥) =
1
2
𝑥−
1
2 +
1
4
𝑥−
3
4
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(16) =
1
2
(𝟒𝟐
)−
1
2 +
1
4
(𝟐𝟒
)−
3
4 =
1
2
(
1
4
) +
1
4
(
1
8
)
=
1
8
+
1
32
=
5
32
= 0.156
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓
́(16)
= 6 + 1(0.156) = 6.156
∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕
𝟒
≅ 6.156
d) √𝟎. 𝟏𝟐
𝟑
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝒙
𝟑
= 𝑥
1
3
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 0.125
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=0.120
ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005
𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓
𝟑
= 0.5
𝑓
́(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3 ⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(0.125) =
1
3
(0.53)−
2
3 =
1
3
(
1
0.25
) =
4
3
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓
́(0.125)
= 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335
∴ √𝟎. 𝟏𝟐
𝟑
≅ 0.493335
:‫تمرين‬
: ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫تقريبا‬ ‫جد‬
a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑
𝟑
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙
𝟑
= 𝒙
𝟏
𝟐 + 𝒙
𝟏
𝟑
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 64
‫اقرب‬
‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬
b=63
ℎ = 63 − 64 = −1
𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐
)
𝟏
𝟐 + (𝟒𝟑
)
𝟏
𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐
𝑓
́(𝑥) =
1
2
𝑥−
1
2 +
1
3
𝑥−
2
3
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(64) =
1
2
(𝟖𝟐
)−
1
2 +
1
3
(𝟒𝟑
)−
2
3 =
1
2
(
1
8
) +
1
3
(
1
16
)
=
1
16
+
1
48
=
4
48
=
1
12
= 0.083
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓
́(64)
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
= 12 − 1(0.083) = 11.917
∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑
𝟑
≅ 11.917
b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑
+ 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒
Sol/
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥4
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 1
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=1.04
ℎ = 1.04 − 1 = 0.04
𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3
+ 3(1)4
= 1 + 3 = 4
𝑓
́(𝑥) = 3𝑥2
+ 12𝑥3
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(1) = 3(1)2
+ 12(1)3
= 15
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓
́(1)
= 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6
∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑
+ 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒
≅ 4.6
c)
𝟏
√𝟗
𝟑
Sol/
𝒇(𝒙) =
𝟏
√𝒙
𝟑 = 𝒙−
𝟏
𝟑
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 8
‫اقرب‬
‫سهلة‬ ‫قيمة‬
‫العدد‬ ‫من‬
b=9
‫الدالة‬
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
ℎ = 9 − 8 = 1
𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑
)−
𝟏
𝟑 =
1
2
𝑓
́(𝑥) = −
1
3
𝑥−
4
3
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(8) = −
1
3
(𝟐𝟑
)−
4
3 = −
1
3
(
1
16
) = −
1
48
≅ −0.02
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓
́(8)
= 0.5 + 1(−0.02) = 0.48
∴
𝟏
√𝟗
𝟑
≅ 0.48
d)
𝟏
𝟏𝟎𝟏
Sol/
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 100
‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
‫للعدد‬
b=101
ℎ = 101 − 100 = 1
𝑓(𝑎) = 𝑓(100) =
1
100
= 0.01
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑓
́(𝑥) =
−1
𝑥2
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(100) =
−1
(100)2
= −0.0001
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓
́(100)
= 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099
∴
𝟏
𝟏𝟎𝟏
≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗
e) √
𝟏
𝟐
= √𝟎. 𝟓𝟎
Sol/
𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥
1
2
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 0.49
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=0.50
ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01
𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7
𝑓
́(𝑥) =
1
2√𝒙
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(0.49) =
1
2√𝟎. 𝟒𝟗
=
1
2(0.7)
=
10
14
≅ 0.728
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓
́(0.49)
= 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
∴ √
𝟏
𝟐
≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖
:‫مثال‬
‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬
9.98 cm
‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬
. ‫المتوسطة‬
Sol/
𝑉(𝑥) = 𝑥3
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 10
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=9.98
ℎ = 9.98 − 10 = −0.02
𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3
= 1000
𝑉
́ (𝑥) = 3𝑥2
⟹ 𝑉
́ (𝑎) = 𝑉
́ (10) = 3(10)2
= 300
𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉
́ (𝑎)
∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10)
= 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3
:‫مثال‬
‫ل‬
‫تكن‬
𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐
𝟑
‫تغيرت‬ ‫فاذا‬
x
‫من‬
8
‫الى‬
8.06
‫؟‬ ‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫فما‬ ,
Sol/
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
= (𝑥)
2
3
𝑓
́(𝑥) =
2
3
𝑥−
1
3 ⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(8) =
2
3
(23)−
1
3 =
1
3
= ℎ . 𝑓
́(𝑎) = ℎ . 𝑓
́(8) = 0.06 (
1
3
) = 0.02
‫الدالة‬
‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬
‫الدالة‬ 𝒂 = 𝟖
𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔
𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔
‫التقريبي‬ ‫التغير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫ي‬
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫طالء‬ ‫راد‬
10 cm
‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬
0.15cm
‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫اوجد‬
. ‫تقربية‬
/
Sol
‫طالء‬ ‫بدون‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
‫المطلي‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑
𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑
𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑
𝑽
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
⟹ 𝑽
́ (𝒂) = 𝑽
́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐
= 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎
= 𝒉 . 𝑽
́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽
́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑
‫تمرين‬
3
:
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬
6 cm
‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طليت‬
0.1 cm
. ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫جد‬
Sol/
‫القطر‬ ‫نصف‬
‫طالء‬ ‫بدون‬
𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎
‫الكر‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫ة‬
‫المطلي‬
‫ة‬
𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏
𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏
𝑽(𝒓) =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑
‫الطالء‬ ‫سمك‬
‫الحجم‬
‫التقريبي‬
‫للطالء‬
‫الدالة‬
‫الطالء‬ ‫سمك‬
‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑽
́ (𝒓) =
𝟒
𝟑
(𝟑)𝝅𝒓𝟐
= 𝟒𝝅𝒓𝟐
⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐
= 𝟏𝟒𝟒𝝅
= 𝒉 . 𝑽
́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽
́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑
‫تمرين‬
4
:
‫حجمها‬ ‫كرة‬
𝟖𝟒 𝛑
‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫جد‬ ,
. ‫المتوسطة‬
Sol/
𝑽(𝒓) =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑
⟹ 𝟖𝟒𝝅 =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑
⟹ 𝟖𝟒 (
𝟑
𝟒
) = 𝒓𝟑
⟹ 𝒓𝟑
= 𝟔𝟑
⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑
𝟑
𝑟(𝑥) = √𝒙
𝟑
= 𝒙
𝟏
𝟑
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 64
‫اقرب‬
‫العدد‬ ‫من‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬
b=63
ℎ = 63 − 64 = −1
𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑
)
𝟏
𝟑 = 𝟒
𝑓
́(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3
⟹ 𝑓
́(𝑎) = 𝑓
́(64) =
1
3
(𝟒𝟑
)−
2
3 =
1
3
(
1
16
) =
1
48
≅ 0.021
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓
́(𝑎)
∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓
́(64)
= 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚
‫الحجم‬
‫التقريبي‬
‫للطالء‬
‫الدالة‬
‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نستخدم‬ ‫الجذر‬ ‫لهذا‬ ‫تقريب‬ ‫واليجاد‬
‫ة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
5
:
‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬
‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬
2.98 cm
‫حجمه‬ ‫فجد‬
. ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬
Sol/

= ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
r
= ‫وارتفاعه‬
x
𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 =
𝑥
2
𝑉 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐
𝒙 =
𝟏
𝟑
𝝅(
𝑥
2
)
𝟐
𝒙 =
𝟏
𝟏𝟐
𝝅𝑥𝟑
∴ 𝑉(𝑥) =
𝟏
𝟏𝟐
𝝅𝑥𝟑
‫ان‬ ‫نفرض‬
a = 3
‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬
b=2.98
ℎ = 2.98 − 3 = −0.02
𝑉(𝑎) = 𝑉(3) =
𝟏
𝟏𝟐
𝝅(3)
𝟑
=
𝟐𝟕
𝟏𝟐
𝝅 =
𝟗
𝟒
𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅
𝑉
́ (𝑥) =
𝟑
𝟏𝟐
𝝅𝑥𝟐
=
𝟏
𝟒
𝝅𝑥𝟐
⟹ 𝑉
́ (𝑎) = 𝑉
́ (3) =
𝟑𝟐
𝟒
𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅
𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉
́ (𝑎)
∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3)
= 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3
‫الدالة‬
‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬
: ‫مالحظات‬

‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬
x

‫ق‬ ‫نضع‬
‫يم‬
x
‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬

)+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬

‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬
-
-
-
-
-
)
:‫مثال‬
‫وا‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬
‫لتناقص‬
‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐
𝒇
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐
= 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐
= 𝟎
⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇
́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐
= −𝟏𝟓 ⟹ (− − −)
𝒇
́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐
= 𝟗 ⟹ (+ + +)
𝒇
́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐
= 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −)
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{x: x < −1}
‫و‬
{x: x > 3}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{x: −1 < x < 3}
b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐
𝟑
Sol/
𝒇
́ (𝒙) =
𝟐
𝟑√𝒙
𝟑
‫ع‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬ ‫هنا‬
‫ندما‬
x=0
‫غير‬ ‫قيمة‬ ‫وهذه‬ ‫صفر‬ ‫سيكون‬ ‫المقام‬ ‫الن‬
.) ‫حرج‬ ‫عدد‬ ( ‫معرفة‬
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{x: x < 0}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{x: x > 0}
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
-1
‫لتكن‬
-2
‫بين‬ ‫عدد‬
-1
‫و‬
3
‫وليكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
3
‫وليكن‬
4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫النهاية‬
‫العظمى‬
‫والنهاية‬
‫الصغرى‬
‫المحلية‬
‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬
:

‫الدال‬ ‫نشتق‬
‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫ة‬
x

‫قيم‬ ‫نضع‬
x
‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬

)+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬

( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
-
-
-
-
-
)

: ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نحدد‬
(
+ + +
( ‫ثم‬ )
-
-
-
( , ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ )
-
-
-
( ‫ثم‬ )
+ + +
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )

‫قيم‬ ‫نعوض‬
x
. ‫النهايات‬ ‫احداثيات‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫جد‬
:
a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐)
𝟐
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐)
𝒇
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2
𝒇
́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −)
𝒇
́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +)
𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐)
𝟐
= 𝟏
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 < 𝟐}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 > 𝟐}
‫والنقطة‬
(2,1)
. ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
2
‫لتكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
2
‫وليكن‬
3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐)
𝟐
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐)
𝒇
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2
𝒇
́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +)
𝒇
́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −)
𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐)
𝟐
= 𝟏
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 > 𝟐}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 < 𝟐}
‫والنقطة‬
(2,1)
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
2
‫لتكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
2
‫وليكن‬
3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟒𝒙
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒
𝒇
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2
𝒇
́ (𝟎) = 𝟑(𝟎)
𝟐
− 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +)
𝒇
́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐
− 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −)
𝒇
́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐
− 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +)
∴
‫الدالة‬
f
‫مت‬ ‫تكون‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ناقصة‬
{𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 < 𝟐}
‫و‬
{𝐱: 𝒙 > 𝟒}
‫النقطة‬
(2,20)
‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫النقطة‬
(4,16)
‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫محلية‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
2
‫لتكن‬
0
‫عددبين‬
2
‫و‬
4
‫ول‬
‫يكن‬
3
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
4
‫وليكن‬
5
𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒
𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑
− 𝟗(𝟐)𝟐
+ 𝟐𝟒(𝟐)
= 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎
𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑
− 𝟗(𝟒)𝟐
+ 𝟐𝟒(𝟒)
= 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬
‫االن‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬
‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫قالب‬
:

‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ونساوي‬ ‫للدالة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
x

‫قيم‬ ‫نضع‬
x
‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬

‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫الثانية‬
‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬
‫مقعرة‬
)+++++(

‫كان‬ ‫اذا‬
‫المشتقة‬ ‫ت‬
‫الثانية‬
‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬
‫محدبة‬
(
-
-
-
-
-
)

‫قيم‬ ‫نعوض‬
x
. ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
:‫مثال‬
: ‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫ادرس‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇
́
́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹
∴
‫ا‬
‫لدالة‬
f
‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬
R
.
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇
́
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
𝒇
́
́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −)
𝒇
́
́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +)
∴
‫الدالة‬
f
‫تكون‬
‫محدبة‬
‫الفترة‬ ‫في‬
{𝐱: 𝐱 < 𝟎}
‫والدالة‬
f
‫تكون‬
‫مقعرة‬
‫الفترة‬ ‫في‬
{𝐱: 𝒙 > 𝟎}
‫النقطة‬
(0,0)
‫نقطة‬ ‫هي‬
‫انقالب‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
0
‫وليكن‬
-1
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
0
‫وليكن‬
1
𝒙 = 𝟎,
𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑
= 𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫للمنحني‬ ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇
́
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔
2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 =
1
2
𝒇
́
́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −)
𝒇
́
́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +)
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 <
1
2
}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 >
1
2
}
‫النقطة‬
(
1
2
,
11
8
)
‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
1
2
‫وليكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
1
2
‫وليكن‬
1
𝒙 =
𝟏
𝟐
,
𝒇 (
𝟏
𝟐
) = 𝟐(
𝟏
𝟐
)𝟑
− 𝟑 (
𝟏
𝟐
)
𝟐
− 𝟏𝟐(
𝟏
𝟐
) + 𝟏
=
𝟐
𝟖
−
𝟑
𝟒
− 𝟔 + 𝟏 = −
𝟏𝟏
𝟖
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫للدوال‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬
: ‫التالية‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑
− 𝒙𝟒
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒙𝟑
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2
𝒇
́
́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏)
𝟐
= −𝟑𝟔 ⟹ (− )
𝒇
́
́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐
= 𝟏𝟐 ⟹ (+ )
𝒇
́
́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑)
𝟐
= −𝟑𝟔 ⟹ (− )
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 < 0}
‫و‬
{𝐱: 𝐱 > 𝟐}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐}
‫النقط‬
(0, 0)
‫و‬
(2,16)
‫نقط‬ ‫هي‬
‫انقالب‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
0
‫وليكن‬
-1
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
2
‫وليكن‬
3
𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐
𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎)
𝟑
− (𝟎)𝟒
= 𝟎
𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑
− (𝟐)𝟒
= 𝟏𝟔
‫بين‬ ‫عدد‬
2
‫و‬
0
‫وليكن‬
1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 +
𝟏
𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟎
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟏 −
𝟏
𝒙𝟐
𝒇
́
́(𝒙) =
𝟐
𝒙𝟑
⟹ 𝒇
́
́(𝟎)‫غير‬ ‫معرفة‬
𝒇
́
́ (−𝟏) =
𝟐
(−𝟏)
𝟑 = −𝟐 ⟹ (− )
𝒇
́
́ (𝟏) =
𝟐
(𝟏)
𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ )
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 < 0}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 > 𝟎}
‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬
R/{0}
.
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
0
‫وليكن‬
-1
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
0
‫وليكن‬
1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐)
𝟒
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐)
𝟑
𝒇
́
́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐
⟹ 𝒇
́
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐
= 0 (÷ −12)
(𝒙 + 𝟐)𝟐
= 0 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2
𝒇
́
́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐
= −𝟏𝟐 ⟹ (− )
𝒇
́
́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐
= −𝟒𝟖 ⟹ (− )
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 < −2}
‫و‬
{𝐱: 𝐱 > −𝟐}
‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙
𝒇
́
́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇
́
́(𝒙) < 𝟎 ⟹
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
−2
‫وليكن‬
-3
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
-2
‫وليكن‬
0
‫في‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬
R
‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟑
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑
+ 𝟔𝒙
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐
+ 6 ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹

‫اختبار‬
‫المشتقة‬
‫الثانية‬
‫لنقط‬
‫النهايات‬
‫العظمى‬
‫والصغرى‬
‫المحلية‬
‫قيم‬ ‫بتعويض‬ ‫وذلك‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
x
‫المشتقة‬ ‫من‬
‫االولى‬
‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬
: ‫ت‬

. ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬

. ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬

= ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
0
‫المشتقة‬ ‫وتستخدم‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ ‫استخدام‬ ‫يصح‬ ‫فال‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫انها‬ ‫او‬
. ‫االولى‬
:‫مثال‬
‫اختبا‬ ‫باستخدام‬
: ‫االتية‬ ‫للدوال‬ ‫المحلية‬ ‫النهايات‬ ‫جد‬ , ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ر‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1
𝒇
́
́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎
‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬
‫النقطة‬
x=1
.
𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐
− 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2)
‫الدالة‬
‫في‬ ‫مقعرة‬
R
‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
‫نقطة‬
‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 −
𝟒
𝒙𝟐
, 𝒙 ≠ 𝟎
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟏 +
𝟖𝒙
𝒙𝟒
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 +
𝟖
𝒙𝟑
= 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑
+ 8 = 0
⟹ 𝒙𝟑
= −8 ⟹ 𝑥 = −2
𝒇
́
́(𝒙) =
−𝟐𝟒
𝒙𝟒
⟹ 𝒇
́
́(−𝟐) =
−𝟐𝟒
(−𝟐)𝟒
=
−𝟐𝟒
𝟏𝟔
< 𝟎
‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬
x=-2
.
𝒇(−𝟐) = −𝟐 −
𝟒
(−𝟐)𝟐
= −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑)
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
− 𝟗𝒙
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑
𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇
́
́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎
‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬
x=-1
.
𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑
− 𝟑(−𝟏)𝟐
− 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓
‫نقطة‬
‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ (−1,5)
𝒇
́
́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎
‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬
x=3
.
𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑
− 𝟑(𝟑)𝟐
− 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕
⟹ (3,27)
d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏)
𝟒
Sol/
𝒇
́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑
= 𝟎 ÷ −𝟒
⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑
𝟑
= √𝟎
𝟑
⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1
𝒇
́
́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐
⟹ 𝒇
́
́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐
= 𝟎
‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
=
َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬
‫االول‬ ‫المشتقة‬ ‫الختبار‬ ‫ونعود‬ ‫هنا‬ ‫تصح‬ ‫ال‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬
. ‫ى‬
𝒇
́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑
= −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +)
𝒇
́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑
= −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −)
‫نقطة‬
‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫نقطة‬
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
-1
‫وليكن‬
-2
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
-1
‫وليكن‬
0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏)
𝟒
= 𝟒
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 > −𝟏}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 < −𝟏}
‫والنقطة‬
(-1,4)
‫نه‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫اية‬
:‫مثال‬
‫لتكن‬
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
+
𝒂
𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹
‫قيمة‬ ‫فجد‬
a
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ,
x=1
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫ثم‬ ,
sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 −
𝒂
𝒙𝟐
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟐 +
𝟐𝒂
𝒙𝟑
⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 +
𝟐𝒂
𝟏𝟑 = 0
𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1
∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
−
𝟏
𝒙
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 +
𝟏
𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 +
𝟏
𝒙𝟐
= 𝟎
⟹ 𝟐𝒙𝟑
= −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑
= −
𝟏
𝟐
⟹ 𝑥 = −√
𝟏
𝟐
𝟑
‫الدالة‬ ‫الن‬
f
‫نقطة‬ ‫تمتلك‬
‫عند‬ ‫انقالب‬
x=1
2013 - 1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐 −
𝟐
𝒙𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (−√
𝟏
𝟐
𝟑
) = 𝟐 −
𝟐
(− √
𝟏
𝟐
𝟑
)
𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎
∴
‫الدالة‬
f
‫ت‬
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫متلك‬
𝑥 = −√
1
2
3
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫وال‬
‫تمرين‬
6
:
‫لتكن‬
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
−
𝒂
𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹
,
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬
sol/
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 +
𝒂
𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 +
𝒂
𝒙𝟐
= 𝟎
⟹ 𝟐𝒙𝟑
+ 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑
=
−𝒂
𝟐
⟹ 𝑥 = √
−𝒂
𝟐
3
𝒇
́
́(𝒙) = 𝟐 −
𝟐𝒂
𝒙𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (√
−𝒂
𝟐
3
) = 𝟐 −
𝟐𝒂
(√
−𝒂
𝟐
3
)
𝟑 = 𝟐 −
𝟐𝒂
−𝒂
𝟐
= 2 + 4 = 6 > 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
0
‫للدالة‬ ‫فان‬
‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫لها‬ ‫وليس‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
‫نساوي‬ ‫النهايات‬ ‫وجود‬ ‫لنختبر‬
‫المشتقة‬
‫قيمة‬ ‫ونجد‬ ‫بالصفر‬ ‫االولى‬
x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
: ‫مثال‬
‫الثابتين‬ ‫قيمتي‬ ‫عين‬
a , b
‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬
𝑦 = 𝑥3
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥
‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
x=-1
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫ونهاية‬
x=2
. ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
sol/
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
+ 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃
𝒇
́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐
+ 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0
⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏)
𝒇
́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐
+ 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0
⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐)
𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏)
−𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐)
−𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 =
−9
6
=
−3
2
𝟑 − 𝟐 (
−3
2
) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
−
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
− 𝟔𝒙
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟔
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 =
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
‫الدالة‬ ‫الن‬
f
‫نهاية‬ ‫تمتلك‬
‫عند‬ ‫عظمى‬
x=-1
‫الدالة‬ ‫الن‬
f
‫تمت‬
‫نهاية‬ ‫لك‬
‫عند‬ ‫صغرى‬
x=2
‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬
a
‫في‬
‫معادلة‬
1
... ‫نحصل‬
2013 – 3 , 2012-1
‫قيمتي‬ ‫وبتعويض‬
b,a
‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬
... ‫نحصل‬ ‫وبالمشتقة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇
́
́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −)
𝒇
́
́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +)
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 <
1
2
}
‫والدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝒙 >
1
2
}
‫النقطة‬
(
1
2
, −
𝟏𝟑
𝟒
)
‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
:‫مثال‬
‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
‫الدالة‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄
‫مقعر‬
‫ة‬
‫الفترة‬ ‫في‬
{𝐱: 𝐱 < 𝟏}
‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝐱: 𝐱. 𝟏}
‫المستقيم‬ ‫ويمس‬
𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖
‫النقطة‬ ‫عن‬
(3,1)
‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ .
a,b,c
.
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟐𝒃𝒙
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃
⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎
𝒙 =
𝟏
𝟐
,
𝒇 (
𝟏
𝟐
) = (
𝟏
𝟐
)𝟑
−
𝟑
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
− 𝟔(
𝟏
𝟐
)
=
𝟏
𝟖
−
𝟑
𝟖
− 𝟑 = −
𝟏𝟑
𝟒
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
1
2
‫وليكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
1
2
‫وليكن‬
1
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬
{x: x < 1}
‫في‬ ‫ومحدبة‬
{x: x. 1}
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫فانها‬
x=1
2014-1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏)
𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟗 = 𝟎 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟗
𝒇
́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐
+ 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃
−𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐)
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄
⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑
+ 𝒃(𝟑)𝟐
+ 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑)
−𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂
⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏
𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑
𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏
‫تمرين‬
7
:
‫كان‬ ‫اذا‬
‫المستقيم‬
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕
‫يمس‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
‫عن‬
‫د‬
‫النقطة‬
(2,-1)
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫للمنحني‬ ‫وكان‬
𝒙 =
𝟏
𝟐
‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ .
a,b,c
.
‫نوع‬ ‫وما‬
.‫النهاية‬
sol/
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃
‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫الدالة‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬
(3,1)
‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇
́ (𝒙)
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
‫ف‬ )
( ‫ي‬
2
)
‫قيمتي‬ ‫بتعويض‬
a,b
( ‫في‬
3
)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒇
́ (
𝟏
𝟐
) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 (
𝟏
𝟐
) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏)
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑
𝒇
́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃
⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐)
𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏
⟹ 𝒃 = −𝟏
𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐
+ 𝒃(𝟐) + 𝒄
−𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄
𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏
⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏
⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
( ‫في‬ )
2
)
‫النقطة‬
(2,-1)
‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
‫قيمتي‬ ‫نعوض‬
a , b
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
0
‫اذا‬
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬
𝒙 =
𝟏
𝟐
‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫الدالة‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬
(3,1)
‫المستقيم‬ ‫ميل‬
‫المنحني‬ ‫ميل‬ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇
́ (𝒙)
‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬
‫عند‬
𝒙 =
𝟏
𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
5
:
‫كان‬ ‫اذا‬
‫ت‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙
‫مقعر‬
‫ة‬
∀𝐱 > 𝟏
‫ومحدبة‬
∀𝐱 < 𝟏
‫وللدالة‬
f
‫نقطة‬
‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
(-1,5)
‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ .
a,b,c
.
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙
𝒇(−𝟏) = 𝒂(−𝟏)𝟑
+ 𝒃(−𝟏)𝟐
+ 𝒄(−𝟏)
𝟓 = −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 … . (𝟏)
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄
𝒇
́ (−𝟏) = 𝟑𝒂(−𝟏)𝟐
+ 𝟐𝒃(−𝟏) + 𝒄
⟹ 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐)
−𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟓 … . (𝟏)
𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐)
𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟓 … (𝟑)
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃
⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎
⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟒)
𝟐𝒂 + 𝟑𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝟓𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝒂 = 𝟏
𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑
𝟑(𝟏) − 𝟐(−𝟑) + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟑 + 𝟔 + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟗
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫مقعرة‬
∀x > 1
‫ومحدبة‬
∀x < 1
‫فانها‬
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬
x=1
‫للدالة‬
f
‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
(-1,5)
2012-3 , 2015-1
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
‫ينتج‬ )
‫نعوض‬
(
4
)
( ‫في‬
3
)
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
a
( ‫في‬
4
)
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
a,b
( ‫في‬
2
)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
3
:
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙
𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 ,
‫متماسان‬
‫عن‬
‫د‬
‫نقطة‬
‫انقالب‬
‫المنحني‬
f
‫وهي‬
(1,-11)
‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ .
a,b,c
.
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃
⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎
⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏)
𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙
⟹ 𝒈
́ (𝒙) = −𝟏𝟐
𝒇
́ (𝟏) = 𝟑𝒂(𝟏)𝟐
+ 𝟐𝒃(𝟏) + 𝒄 = 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄
−𝟏𝟐 = 𝟑𝒂 + 𝟐 + 𝒄 … (𝟐)
𝟑𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) + 𝒄 = −𝟏𝟐
𝟑𝒂 − 𝟔𝒂 + 𝒄 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐….(𝟑)
𝒇(𝟏) = 𝒂(𝟏)𝟑
+ 𝒃(𝟏)𝟐
+ 𝒄(𝟏)
⟹ −𝟏𝟏 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 … (𝟒)
−𝟏𝟏 = 𝒂 − 𝟑𝒂 + 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒂 = 𝟏
𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬
x=1
‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫الدالة‬
f
‫النقطة‬ ‫عند‬
(1,-11)
‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬
𝒈
́ (𝒙) = 𝒇
́ (𝒙)
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
)
( ‫في‬
2
)
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
( ‫و‬ )
3
( ‫في‬ )
4
)
2013, 2014, 2017
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 = 𝟑(𝟏) − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = −𝟗
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
‫ل‬
‫لدالة‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒄
‫تساوي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
8
‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫ونقطة‬
x=1
.
‫فجد‬
‫قيمة‬
a,b
.
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒄
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟔
⟹ 𝒇
́
́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂 = −𝟔 ⟹ 𝒂 = −𝟏
∴ 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒄
𝒇
́ (𝒙) = −𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎
⟹ −𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎
𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐
𝒇
́ (−𝟏) = −𝟑(−𝟏)𝟐
+ 𝟔(−𝟏) = −𝟗 ⟹ ( − − −)
𝒇
́ (𝟏) = −𝟑(𝟏)𝟐
+ 𝟔(𝟏) = 𝟑 ⟹ ( + + + )
𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟑
+ 𝟑(𝟐)𝟐
+ 𝒄 = −𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝒄
2015 – 2 , 2015-2
‫خارجي‬
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬
x=1
‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬
0
‫و‬
2
‫اشا‬ ‫الختبار‬
‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫رة‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬
x=2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝟖 = 𝟒 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟖 − 𝟒 = 𝟒
‫تمرين‬
4
:
‫كان‬ ‫اذا‬
‫ت‬
6
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تمثل‬
‫ل‬
‫لدالة‬
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
+ 𝒄
‫فجد‬
‫قيمة‬
𝒄 ∈ 𝑹
. ‫انقالبه‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المنحني‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
sol/
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
+ 𝒄
𝒇
́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐
= 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝟐 − 𝒙) = 𝟎
𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐
𝒇
́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟑(−𝟏)𝟐
= −𝟗 ⟹ ( − − −)
𝒇
́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐
= 𝟑 ⟹ ( + + + )
𝒇
́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟑(𝟑)𝟐
= −𝟗 ⟹ ( − − − )
𝒇(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐
− (𝟎)𝟑
+ 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔
⟹ 𝒇
́
́(𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
+ 𝟔 ⟹ 𝒇(𝟏) = 𝟑(𝟏)𝟐
− (𝟏)𝟑
+ 𝟔 = 𝟖
2016 - 3
‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
f
‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬
x=1
‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬
0
‫و‬
2
‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫الختبار‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬
x=0
‫نق‬ ‫اذا‬
‫هي‬ ‫المنحني‬ ‫انقالب‬ ‫طة‬
(1,8)
‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ..
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒎 = 𝒇
́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐
= 𝟑
(𝒚 − 𝒚𝟏) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) ⟹ (𝒚 − 𝟖) = 𝟑(𝒙 − 𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓
‫تمرين‬
1
:
‫لتكن‬
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒃
‫ان‬ ‫حيث‬
𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} , 𝒃 ∈ 𝑹
‫قيمة‬ ‫جد‬ .
a
: ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫أ‬
-
‫الدالة‬
f
‫ب‬ ‫محدبة‬
–
‫الدالة‬
f
‫مقعرة‬
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒃
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 − 𝟔
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐𝒂
𝒇
́
́ (𝒙) < 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 < 𝟎 ⟹ 𝒂 = −𝟒
𝒇
́
́ (𝒙) > 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 > 𝟎 ⟹ 𝒂 = 𝟖
‫تمرين‬
2
‫لتكن‬ :
(2,6)
‫حرجة‬ ‫نقطة‬
‫الدالة‬ ‫لمنحني‬
𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬
𝒂 , 𝒃 ∈ 𝑹
. ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫وبين‬
sol/
𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒
𝒇
́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝒃)𝟑
⟹ 𝒇
́ (𝟐) = −𝟒(𝟐 − 𝒃)𝟑
= 𝟎 ÷ −𝟒
‫أ‬
-
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫اقل‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ ‫محدبة‬
0
𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖}
‫ب‬
-
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬
0
‫الدالة‬
f
‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تملك‬
x=2
‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
: ‫هي‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ √(𝟐 − 𝒃)𝟑
𝟑
= √𝟎
𝟑
⟹ 𝟐 − 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝟐
𝒇(𝟐) = 𝒂−(𝟐 − 𝟐)𝟒
⟹ 𝒂 = 𝟔
𝒇(𝒙) = 𝟔−(𝒙 − 𝟐)𝟒
𝒇
́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟑
𝒇
́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 − 𝟐)𝟑
= −𝟒(−𝟖) = 𝟑𝟐 ⟹ (+ + +)
𝒇
́ (𝟑) = −𝟒(𝟑 − 𝟐)𝟑
= −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −)
∴
‫الدالة‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬
{𝐱: 𝐱 > 𝟐}
‫و‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬
{𝐱: 𝒙 < 𝟐}
‫وال‬
‫نقطة‬
(2,6)
‫هي‬
. ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(2,6)
‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
‫الدالة‬
f
‫نعوض‬ ‫لذا‬
x=2
‫و‬
f(2)=6
‫و‬
b=2
‫اشارة‬ ‫نختبر‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫لبيان‬
‫االولى‬ ‫االمشتقة‬
‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬
2
‫ول‬
‫يكن‬
0
‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬
2
‫وليكن‬
3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫رسم‬
‫المخطط‬
‫البياني‬
‫للدالة‬
Graphing Function
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
( :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
0,0
. ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
3
)
‫ن‬
‫الدالة‬ :‫التناظر‬ ‫وع‬
f
: ‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬
∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟓
= −(𝒙)𝟓
= −𝒇(𝒙)
4
)
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :‫المحاذيات‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟓𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > 0}
( ‫وبالتالي‬
0,0
‫ال‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ )
.‫نهاية‬ ‫تمثل‬
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟎𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
‫الفترة‬ ‫في‬
{𝑥: 𝑥 > 0}
‫و‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
( ‫وبالتالي‬
0,0
)
‫نقطة‬
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
.
𝒙 -2 -1 0 1 2
𝒚 = 𝒙𝟓
-32 -1 0 1 32
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟒
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ (𝟎)𝟑
− 𝟑(𝟎)𝟐
+ 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑦 = 4 ⟹ (0,4)
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اهمال‬ ‫يمكن‬ ‫لذا‬ ‫العادية‬ ‫بالطرق‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اليمكن‬
x
‫واخذ‬
. ‫عنها‬ ‫بدال‬ ‫اضافية‬ ‫نقاط‬
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹:
𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑
− 𝟑(−𝒙)𝟐
+ 𝟒 = −𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟒 ≠ 𝒇(𝒙)
‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اذا‬
y
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫وال‬
4
)
‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹
𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > 2}
‫في‬ ‫ومتناقصة‬
{𝑥: 0 < 𝑥 < 2}
𝑓(0) = (𝟎)𝟑
− 𝟑(𝟎)𝟐
+ 𝟒 = 𝟒 ⟹ (0,4)
‫وبالتالي‬
(
4,0
)
‫نقطة‬
.‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
𝑓(2) = (𝟐)𝟑
− 𝟑(𝟐)𝟐
+ 𝟒 = 𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ (2,0)
( ‫وبالتالي‬
2,0
.‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ )
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎
⟹ 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫في‬ ‫مقعرة‬
‫الفترة‬
{𝑥: 𝑥 > 1}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 < 1}
.
𝑓(1) = (𝟏)𝟑
− 𝟑(𝟏)𝟐
+ 𝟒 = 𝟏 − 𝟑 + 𝟒 = 𝟐 ⟹ (1,2)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫وبالتالي‬
(1,2)
.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬
𝒙 -1 0 1 2 3
𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟒 0 4 2 0 4
:‫مثال‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R/{-1}
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹
𝟑(𝟎) − 𝟏
𝟎 + 𝟏
= −𝟏 ⟹ 𝑦 = −1 ⟹ (0, −1)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹
𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
= 𝟎 ⟹ 3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 =
𝟏
𝟑
⟹ (
𝟏
𝟑
, 𝟎)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
‫محور‬ ‫مع‬
y
‫م‬ ‫وال‬
‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ع‬
1
‫لمجال‬ ‫ينتمي‬
‫بينما‬ ‫الدالة‬
-1
. ‫الينتمي‬
4
)
:‫المحاذيات‬

)‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬
y=f(x)
:
𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏

‫االفقي‬ ‫المحاذي‬
x=f(y)
:
𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 − 𝟑𝒙 = −𝒚 − 𝟏
⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟑) = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙 =
−𝟏 − 𝒚
𝒚 − 𝟑
⟹ 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟑
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) =
(𝒙 + 𝟏)(𝟑) − (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟏)
(𝒙 + 𝟏)𝟐
=
𝟑𝒙 + 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟏
(𝒙 + 𝟏)𝟐
=
𝟒
(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝒇
́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏}
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬
{𝑥: 𝑥 < −1}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > −1}
. ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟐
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = −𝟖(𝒙 + 𝟏)−𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) > 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬
{𝑥: 𝑥 < −1}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 > −1}
.
‫الدالة‬ ‫لكن‬
‫التملك‬
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫الن‬
-1
‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬
.
𝒙 0
𝟏
𝟑
𝒚 -1 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐
𝒙𝟐+𝟏
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏
= 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐
= 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎
⟹ (𝟎, 𝟎)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) =
(−𝒙)𝟐
(−𝒙)𝟐 + 𝟏
=
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏
= 𝒇(𝒙)
∴
‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫المنحني‬
Y
4
)
:‫المحاذيات‬

)‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬
y=f(x)
:
𝒙𝟐
+ 𝟏𝟎 ≠ 𝟎
∴
. ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫االفقي‬ ‫المحاذي‬
x=f(y)
:
𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏
⟹ 𝒚𝒙𝟐
+ 𝒚 = 𝒚𝒙𝟐
⟹ 𝒚 = 𝟎
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) =
(𝒙𝟐
+ 𝟏)(𝟐𝒙) − (𝒙𝟐
)(𝟐𝒙)
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
=
𝟐𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟑
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
=
𝟐𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹
𝟐𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
= 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬
{𝑥: 𝑥 > 0}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
f(0) = 0 ⟹ (0,0)
𝒇
́
́ (𝒙) =
(𝒙𝟐
+ 𝟏)𝟐(𝟐) − [𝟐𝒙(𝟐)(𝒙𝟐
+ 𝟏)(𝟐𝒙)]
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒
=
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐 − 𝟖𝒙𝟐
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑
=
𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹
𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑
= 0 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
= 𝟎 ⟹ 3𝒙𝟐
= 𝟏 ⟹ 𝑥 = ±√
1
3
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫محدبة‬
‫الفترة‬ ‫في‬
{𝑥: 𝑥 <
−1
√3
}
‫و‬
‫الفترة‬
{𝑥: 𝑥 >
1
√3
}
.
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومقعرة‬
{𝑥:
−1
√3
< 𝑥 <
1
√3
}
𝒇 (±
1
√3
) =
(±
1
√3
)
𝟐
(±
1
√3
)
𝟐
+ 𝟏
=
1
3
1
3
+ 𝟏
=
1
3
4
3
=
1
4
∴
‫االنقالب‬ ‫نقط‬
(
1
√3
,
1
4
)
‫و‬
(−
1
√3
,
1
4
)
.
𝒙 0 −
𝟏
√𝟑
𝟏
√𝟑
𝒚 0
1
4
1
4
‫تمرين‬
:
‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
‫ات‬
‫الد‬
:‫التالية‬ ‫وال‬
a) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 10 ⟹ (0,10)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐
= 𝟎 ⟹ (𝟓 + 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 0
⟹ 𝑥 = −𝟓 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐
⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = −𝟑 − 𝟐𝒙
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟑 ⟹ 𝒙 =
−𝟑
𝟐
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫متزايدة‬
‫في‬
{𝑥: 𝑥 <
−𝟑
𝟐
}
‫و‬
‫في‬ ‫متناقصة‬
{𝑥: 𝑥 >
−𝟑
𝟐
}
f(0) = 𝟏𝟎 − 𝟑 (
−𝟑
𝟐
) − (
−𝟑
𝟐
)
𝟐
= 𝟏𝟎 +
𝟗
𝟐
−
𝟗
𝟒
= 𝟏𝟎 +
𝟏𝟖 − 𝟗
𝟒
=
𝟒𝟗
𝟒
⟹ (
−𝟑
𝟐
,
𝟒𝟗
𝟒
)
𝒇
́
́ (𝒙) = −𝟐 < 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫محدبة‬
‫في‬
. ‫مجالها‬
‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫عظمى‬
‫محلية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒙 -5 2 0
−𝟑
𝟐
𝒚 0 0 10
49
4
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟑
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 3 ⟹ (0,3)

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 0
⟹ 𝑥 = −𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = −𝟑
⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 =
−𝟒
𝟐
= −𝟐
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫متزايدة‬
‫في‬
{𝑥: 𝑥 > −2}
‫و‬
‫في‬ ‫متناقصة‬
{𝑥: 𝑥 < −2}
f(−2) = (−𝟐)𝟐
+ 𝟒(−𝟐) + 𝟑 = 𝟒 − 𝟖 + 𝟑 = −𝟏
⟹ (−𝟐, −𝟏)
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
. ‫مجالها‬ ‫في‬
𝒙 0 -1 -3 -2
𝒚 3 0 0 -1
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
c) 𝒇(𝒙) = (𝟏 − 𝒙)𝟑
+ 𝟏
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫م‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
‫حور‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 2 ⟹ (0,2)

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑
+ 𝟏 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑
= −1 ‫بالجذر‬ ⟹ 1 − 𝑥 = −1
⟹ 𝑥 = 𝟐 ⟹ (2,0)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐
= 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟐
= 𝟎
‫بالجذر‬ ⟹ 𝟏 − 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏
2011-2, 2013-2, 2016-‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫في‬ ‫متناقصة‬
{𝑥: 𝑥 < 1}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > 1}
. ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑
+ 𝟏 = 𝟏
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟔(𝟏 − 𝒙) ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟏
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
‫في‬
{𝑥: 𝑥 < 1}
‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 > 1}
f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑
+ 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏)
𝒙 0 2 1
𝒚 2 0 1
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
d) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑
= 𝟎 ⟹ 𝑥(𝟔 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝑥(√6 − 𝑥)(√6 + 𝑥) = 0
⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√6, ⟹ (0,0), (√6, 0), (−√6, 0)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
5
)
‫االشتقا‬
:‫ق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟑𝒙𝟐
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐 − 𝒙𝟐
) = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐
= 𝟐
‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±√𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫في‬ ‫متناقصة‬
{𝑥: 𝑥 < −√𝟐 }
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > √𝟐 }
‫في‬ ‫ومتزايدة‬
{𝑥: −√𝟐 < 𝑥 < √𝟐 }
f(−√𝟐 ) = 𝟔(−√𝟐 ) − (−√𝟐 )
𝟑
= −𝟔√𝟐 + 𝟐√𝟐 = −𝟒√𝟐
⟹ (−√𝟐 , −𝟒√𝟐 )
f(√𝟐 ) = 𝟔(√𝟐 ) − (√𝟐 )
𝟑
= 𝟔√𝟐 − 𝟐√𝟐 = 𝟒√𝟐
⟹ (√𝟐 , 𝟒√𝟐 )
𝒇
́
́ (𝒙) = −𝟔𝒙 ⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
‫في‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 > 0}
f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎)
𝒙 0 √𝟔 −√𝟔 √𝟐 −√𝟐
𝒚 0 0 0 𝟒√𝟐 −𝟒√𝟐
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫عظمى‬
‫محلية‬
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
e) 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R/{0}
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :
y
‫الن‬
0
.‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :
X
‫التوج‬ ‫النه‬
‫ل‬ ‫قيمة‬ ‫د‬
x
‫تجعل‬
y=0
𝒚 ≠ 𝟎
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
:‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫الدالة‬
𝒇(−𝒙) = −
𝟏
𝒙
= −𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬

)‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬
y=f(x)
:
𝒙 = 𝟎

‫االفقي‬ ‫المحاذي‬
x=f(y)
:
𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝟏
𝒙
⟹ 𝒚𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒙 =
𝟏
𝒚
⟹ 𝒚 = 𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = −
𝟏
𝒙𝟐
𝒇
́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{𝟎}
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬
‫نقاط‬ ‫والتوجد‬
‫نهاية‬
.
𝒇
́ (𝒙) = −(𝒙)−𝟐
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐(𝒙)−𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) > 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬
{𝑥: 𝑥 > 0}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 < 0}
.
‫التملك‬ ‫الدالة‬ ‫لكن‬
‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
0
. ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬
𝒙 -1 2
𝒚 -1 0.5
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
f) 𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R/{-1}
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
:
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒚 =
−𝟏
𝟏
= −𝟏 ⟹ (𝟎,−𝟏)

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
x
:
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟎)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫ليست‬ ‫الدالة‬
:‫الن‬ ‫متناظرة‬
−𝟏 ∉ 𝒇‫مجال‬
4
)
:‫المحاذيات‬

)‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬
y=f(x)
:
𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏

‫االفقي‬ ‫المحاذي‬
x=f(y)
:
𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟏) = −𝟏 − 𝒚
⟹ 𝒙 =
−𝟏 − 𝒚
𝒚 − 𝟏
⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟏
2016 -2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) =
(𝒙 + 𝟏)(𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝟏)
(𝒙 + 𝟏)𝟐
=
𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏
(𝒙 + 𝟏)𝟐
=
𝟐
(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝒇
́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏}
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬
{𝑥: 𝑥 < −1}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > −1}
. ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏)−𝟐
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟑
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) > 𝟎
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫ا‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬
‫لفترة‬
{𝑥: 𝑥 < −1}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 > −1}
‫الدالة‬ ‫لكن‬
‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫التملك‬
-1
. ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬
𝒙 0 1 -2 -3
𝒚 -1 0 3 2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
g) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
sol/
1
)
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
R
.
2
)
:‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬

‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
y
𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)

‫التقا‬
‫محور‬ ‫مع‬ ‫طع‬
x
𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
= 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐(𝟐 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝒙𝟐
(√2 − 𝑥)(√2 + 𝑥) = 0
⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√2, ⟹ (0,0), (√2, 0), (−√2, 0)
3
)
:‫التناظر‬ ‫نوع‬
‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬
y
: ‫ألن‬
𝒇(−𝒙) = 𝟐(−𝒙)𝟐
− (−𝒙)𝟒
= 𝟐𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
= 𝒇(𝒙)
4
)
:‫المحاذيات‬
. ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
5
)
:‫االشتقاق‬
𝒇
́ (𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑
𝒇
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏 − 𝒙𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝒙𝟐
= 𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎
‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎
2012-2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫في‬ ‫متناقصة‬
{𝑥: −1 < 𝑥 < 0}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 > 𝟏}
‫في‬ ‫ومتزايدة‬
{𝑥: 0 < 𝑥 < 𝟏}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 < −1}
f(−𝟏) = 𝟐(−𝟏)𝟐
− (−𝟏)𝟒
= 𝟐 − 𝟏 = 𝟏
⟹ (−𝟏, 𝟏)
f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎)
f(𝟏) = 𝟐(𝟏)𝟐
− (𝟏)𝟒
= 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏)
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐
⟹ 𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝟏 − 𝟑𝒙𝟐
) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑𝒙𝟐
= 𝟏
⟹ 𝒙𝟐
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝒙 = ±
𝟏
√𝟑
‫الدالة‬ ‫اذا‬
f
‫مقعرة‬
‫في‬
{𝑥: −
𝟏
√𝟑
𝑥 <
𝟏
√𝟑
}
‫في‬ ‫ومحدبة‬
{𝑥: 𝑥 >
𝟏
√𝟑
}
‫و‬
{𝑥: 𝑥 < −
𝟏
√𝟑
}
f (
𝟏
√𝟑
) = 𝟐(
𝟏
√𝟑
)𝟐
− (
𝟏
√𝟑
)
𝟒
=
𝟐
𝟑
−
𝟏
𝟗
=
𝟓
𝟗
⟹ (
𝟏
√𝟑
,
𝟓
𝟗
)
f (−
𝟏
√𝟑
) = 𝟐(−
𝟏
√𝟑
)𝟐
− (−
𝟏
√𝟑
)
𝟒
=
𝟐
𝟑
−
𝟏
𝟗
=
𝟓
𝟗
⟹ (−
𝟏
√𝟑
,
𝟓
𝟗
)
𝒙 0 √𝟐 −√𝟐 −
𝟏
√𝟑
𝟏
√𝟑
𝒚 0 0 0 𝟓
𝟗
𝟓
𝟗
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫صغرى‬
‫محلية‬
‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫عظمى‬
‫محلية‬
‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫عظمى‬
‫محلية‬
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
h) 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐−𝟏
𝒙𝟐+𝟏
i) 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟐
j) 𝒇(𝒙) =
𝟔
𝒙𝟐+𝟑
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫مسا‬ ‫لحل‬
:‫والصغى‬ ‫العظمى‬ ‫بالنهايات‬ ‫المتعلقة‬ ‫ئل‬

. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫او‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عبارة‬ ‫على‬ ‫عادة‬ ‫المسائل‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫يحوي‬

. ‫المتغيرات‬ ‫ونفرض‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫المسألة‬ ‫يوضح‬ ‫شكال‬ ‫نرسم‬

.‫المسألة‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫نعين‬

‫م‬ ‫بعالقة‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫المتغيرات‬ ‫نربط‬ ‫ان‬ ‫نحاول‬
. ‫ا‬

. ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫لتصبح‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫في‬ ‫العالقة‬ ‫نعوض‬

( , ‫النهايات‬ ‫انوع‬ ‫ونحدد‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نجد‬
‫اكبر‬ |‫صغرى‬ ‫نهاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬
‫عظمى‬ ‫نعاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬
)
:‫مثال‬
. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫اضيف‬ ‫اذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫العدد‬ ‫نفرض‬
=
x
⟸
= ‫العدد‬ ‫مربع‬
𝒙𝟐
.
𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒇
́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟏 ⟹ 𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝒇
́
́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎
∴
‫هو‬ ‫العدد‬
−
1
2
.
‫الدالة‬
‫الحرج‬ ‫العدد‬
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬
𝒙 = −
𝟏
𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
: ‫مثال‬
= ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫صندوق‬
12 cm
‫اربعة‬ ‫بقص‬ ‫وذلك‬
‫اركانه‬ ‫من‬ ‫االبعاد‬ ‫متساوية‬ ‫صغيرة‬ ‫مربعات‬
‫ا‬
‫لهذه‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬ ‫ماهو‬ , ‫منها‬ ‫البارزة‬ ‫االجزاء‬ ‫ثني‬ ‫ثم‬
‫؟‬ ‫العلبة‬
/‫الحل‬
= ‫المقطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
x
⟸
= ‫الصندوق‬ ‫اضالع‬
12-2x, 12-2x, x
‫الصندوق‬ ‫حجم‬
V
‫الطول‬ =
×
‫العرض‬
×
‫االرتفاع‬
𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)
𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)𝟐
= 𝒙(𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝒙𝟐
)
= 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙𝟑
𝑽
́ (𝒙) = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐
𝑽
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐
= 𝟎 ⟹ 𝟏𝟐(𝟏𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐) = 𝟎
⟹ (𝟔 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐
X=6
‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غير‬
12-2(6)=12-12=0
‫فأن‬ ‫لذا‬
x=2
𝑽
́
́ (𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟐𝟒(𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 < 𝟎
𝑽(𝟐) = 𝟐(𝟏𝟐 − 𝟐(𝟐))𝟐
= 𝟐(𝟖)𝟐
= 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑
‫الحرج‬ ‫العدد‬
‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬
𝒙 = 𝟐
‫اذا‬
‫هو‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
:‫مثال‬
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬
12 cm
‫ثم‬ ,
‫كنسبة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬
𝟑√𝟑
𝟒
.
/ ‫الحل‬
= ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬
h
‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ,
b
=
2x
‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫لنجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫مبرهنة‬ ‫نستخدم‬
𝑥2
+ (ℎ − 12)2
= 144
𝑥2
+ ℎ2
− 24ℎ + 144 = 144
𝑥2
= 24ℎ − ℎ2
⟹ 𝒙 = √𝟐𝟒𝒉 − ℎ2 … (𝟏)
‫بما‬
‫تمثل‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫المثلث‬ ‫بعدي‬ ‫ايجاد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬
‫مسا‬
‫القاعدة‬ ‫نصف‬ = ‫المثلث‬ ‫حة‬
×
‫االرتفاع‬
𝐴(ℎ) =
1
2
𝑏ℎ =
1
2
(2𝑥)ℎ = 𝑥ℎ
= 𝒉√𝟐𝟒𝒉 − ℎ
2
= √𝟐𝟒ℎ
3
− ℎ
4
𝑨
́ (𝒉) =
𝟕𝟐ℎ
2
− 4ℎ
3
𝟐√𝟐𝟒ℎ
3
− ℎ
4
⟹ 𝑨
́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟕𝟐ℎ
2
− 4ℎ
3
= 0
⟹ 𝟒ℎ
2
(18 − ℎ) = 0 ⟹ ℎ
2
= 0 𝑜𝑟 ℎ = 18
ℎ = 18 𝑐𝑚
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
)
‫الن‬
h
‫الجذر‬ ‫توحيد‬ ‫فيمكن‬ ‫موجبة‬
h=0
‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬
‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝒙 = √𝟐𝟒(𝟏𝟖) − (18)
2
= √𝟏𝟎𝟖 = 𝒙 = 𝟔√𝟑
𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟔√𝟑) = 𝟏𝟐√𝟑 𝒄𝒎
𝑨𝟏 = 𝝅𝑟2 = 𝜋(12)
2
= 144 𝜋 𝑐𝑚2
𝑨𝟐 = 𝒙𝒉 = 𝟔√𝟑(18) = 108√𝟑 𝑐𝑚2
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫الدائرةمساحة‬
=
𝑨𝟐
𝑨𝟏
=
108√𝟑
144 𝜋
=
𝟑√𝟑
𝟒𝝅
=========================================================
: ‫مثال‬
‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫مسنتطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬
24 cm
‫وارتفاعه‬
18cm
‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورين‬ ‫رأسين‬ ‫ان‬ ‫بحين‬
.‫ساقيه‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫الباقيين‬ ‫والرأسين‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫تقعان‬
/ ‫الحل‬
‫نفرض‬
‫المستطيل‬ ‫طول‬
=
y
,
‫المستطيل‬ ‫عرض‬
=
x
‫نفرض‬
‫هي‬ ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬
bcq
‫هي‬ ‫الصغير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ ‫نفرض‬
btr
‫المثلثان‬
bcq , btr
‫زواياهم‬ ‫لتساوي‬ ‫متشابهان‬
‫نحصل‬ ‫التشابه‬ ‫ومن‬ . ‫المتناظرة‬
𝑏𝑎
𝑏𝑞
=
𝑡𝑟
𝑐𝑞
⟹
18 − 𝑥
18
=
𝑦
24
⟹ 𝒚 =
24(18 − 𝑥)
18
⟹ 𝒚 =
4
3
(18 − 𝑥) … (1)
𝑨 = 𝒙 𝒚
‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ ‫المساحتين‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫اليجاد‬
‫رة‬
‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫هي‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬
2013
-
2
‫و‬
2015
-
‫ت‬
‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑨(𝒙) = 𝒙 (
4
3
(18 − 𝑥)) =
4
3
(18𝑥 − 𝑥2)
𝑨
́ (𝒙) =
4
3
(18 − 2𝑥) ⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹
4
3
(18 − 2𝑥) = 0 ×
𝟑
𝟒
⟹ 2𝑥 = 18 ⟹ 𝒙 = 𝟗 𝒄𝒎
⟹ 𝒚 =
4
3
(18 − 9)=
4
3
(9) = 12 𝑐𝑚
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
: ‫مثال‬
‫يساوي‬ ‫ومربع‬ ‫دائرة‬ ‫محيطي‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
60 cm
‫عن‬ ‫انه‬ ‫أثبت‬ .
‫مساحتي‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫دما‬
. ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫فان‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الشكلين‬
/‫الحل‬
= ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬
r
= ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬
x
‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
:
‫المحيطين‬ ‫مجموع‬
(
60 cm
)
‫المربع‬ ‫محيط‬ =
(
4
×
)‫الضلع‬ ‫طول‬
‫الدائرة‬ ‫محيط‬ +
‫القطر‬ ‫(نصف‬
×
𝟐𝝅
)
𝟒𝒙 + 𝟐𝝅𝒓 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒓 =
𝟔𝟎 − 𝟒𝒙
𝟐𝝅
=
𝟏
𝝅
(𝟑𝟎 − 𝟐𝒙) … . . (𝟏)
𝑨(𝒙) = 𝒙𝟐
+ 𝒓𝟐
𝝅
= 𝒙𝟐
+ (
𝟏
𝝅
(𝟑𝟎 − 𝟐𝒙))𝟐
𝝅 = 𝒙𝟐
+ 𝝅(
𝟏
𝝅𝟐
(𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)
= 𝒙𝟐
+ 𝝅(
𝟏
𝝅𝟐
(𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)) = 𝒙𝟐
+
𝟏
𝝅
(𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)
𝑨
́ (𝒙) = 𝟐𝒙 +
𝟏
𝝅
(−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) ⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
)
‫المستطيل‬ ‫عرض‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ + ‫المربع‬ ‫مساحة‬ = ‫الدالة‬
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝟐𝒙 +
𝟏
𝝅
(−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) = 𝟎 × 𝝅
⟹ 𝟐𝝅𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝝅𝒙 − 𝟔𝟎 + 𝟒𝒙 = 𝟎
∴ 𝟒𝒙 + 𝝅𝒙 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙( 𝝅 + 𝟒) = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙 =
𝟔𝟎
( 𝝅 + 𝟒)
… (𝟐)
𝒓 =
𝟏
𝝅
(𝟑𝟎 − 𝟐(
𝟔𝟎
( 𝝅+𝟒)
))=
𝟏
𝝅
(𝟑𝟎 −
𝟏𝟐𝟎
( 𝝅+𝟒)
) =
𝟑𝟎
𝝅+𝟒
𝒄𝒎
∴ 𝒙 = 𝟐𝒓 ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬
𝑨
́
́ (𝒙) = 𝟐 +
𝟏
𝝅
> 𝟎
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
:‫مثال‬
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬
y2
− x2
= 3
‫بحيث‬
‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقرب‬ ‫تكون‬
( ‫للنقطة‬
4
,
0
. )
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
p(x,y)
.‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬
𝐱𝟐
= 𝐲𝟐
− 𝟑 … (𝟏)
𝐬 = √(𝐱 − 𝟎)𝟐 + (𝐲 − 𝟒)𝟐 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔
= √𝐲𝟐 − 𝟑 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑
∴ 𝒔(𝒚) = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑
𝒔́(𝒚) =
𝟒𝒚 − 𝟖
𝟐√𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑
⟹ 𝒔́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎
⟹ 𝟒𝒚 = 𝟖 ⟹ 𝒚 = 𝟐
𝐱𝟐
= (𝟐)𝟐
− 𝟑 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = ±𝟏
∴ ‫النقاط‬ (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐)
( ‫نعوض‬
2
( ‫في‬ )
1
)
‫ال‬ ‫اذا‬
‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫دالة‬
( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬
1
)
‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬
( ‫في‬ ‫نعوض‬
1
‫احداثي‬ ‫اليجاد‬ )
x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫جد‬
= ‫مجموعهما‬ ‫موجبين‬ ‫عددين‬
75
‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫االخر‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ‫احدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬
. ‫يمكن‬
/‫الحل‬
‫اال‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬
= ‫ول‬
x
= ‫والثاني‬
y
‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
= ‫العددين‬ ‫مجموع‬ :
x+y
=
75
‫الدالة‬
= ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ :
𝒙 . 𝒚𝟐
𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝒚 … (𝟏)
𝒇 = 𝒙 . 𝒚𝟐
𝒇(𝒚) = 𝒚𝟐(𝟕𝟓 − 𝒚) = 𝟕𝟓𝒚𝟐
− 𝒚𝟑
𝒇
́ (𝒚) = 𝟏𝟓𝟎𝒚 − 𝟑𝒚𝟐
⟹ 𝒇
́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒚(𝟓𝟎 − 𝒚) = 𝟎
∴ 𝒚 = 𝟎
𝒚 = 𝟓𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓
( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬
1
)
‫قمة‬
y
‫الضرب‬ ‫معادلة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬ ‫هنا‬
f
‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
50
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬
𝟒√𝟑 𝒄𝒎
/ ‫الحل‬
‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬
‫االسطوانة‬
=
h
2
,
= ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬
r
‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫ه‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬
‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ي‬
V
𝑽 = 𝝅𝒓𝟐(𝟐𝒉) … . (𝟏)
𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
= (𝟒√𝟑 )𝟐
⟹ 𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
= 𝟏𝟔 (𝟑) ⟹ 𝒓𝟐
= 𝟒𝟖 − 𝒉𝟐
𝑽(𝒉) = 𝝅(𝟒𝟖 − 𝒉𝟐)(𝟐𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖𝒉 − 𝒉𝟑)
𝑽
́ (𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽
́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) = 𝟎
𝟑𝒉𝟐
= 𝟒𝟖 ⟹ 𝒉𝟐
= 𝟏𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒉 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 𝒄𝒎
𝒓𝟐
= 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟑𝟐 𝒄𝒎
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
‫تمرين‬
:
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬
𝟒√𝟐 𝒄𝒎
/ ‫الحل‬
‫ال‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
= ‫مستطيل‬
2x
= ‫وعرضه‬
y
‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫المطاوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬
= ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬
2x . y
: ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= (𝟒√𝟐 )
𝟐
⟹ 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟔(𝟐) ⟹ 𝒚𝟐
= 𝟑𝟐 − 𝒙𝟐
‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬
‫ارتفاع‬
‫االسطوانة‬
‫قطر‬ ‫نصف‬
‫االسطوانة‬
2012
-
3
2012
–
1
,
2013
-
‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 … (𝟏)
𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚
𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 . √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
𝑨
́ (𝒙) = 𝟐
𝟔𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑
𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
=
𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐
)
√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎
⟹ 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐) = 𝟎
⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬
⟹ 𝒙𝟐
= 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟒) = 𝟖
∴ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝟏𝟔= √𝟏𝟔 = 𝟒
========================================================
‫تمرين‬
:
‫ساقيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫جد‬
𝟖√𝟐 𝒄𝒎
/ ‫الحل‬
= ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
h
‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
b
=
2x
‫المثلث‬ ‫مساحة‬ :‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫من‬
:
𝒙𝟐
+ 𝒉𝟐
= (𝟖√𝟐 )
𝟐
⟹ 𝒙𝟐
+ 𝒉𝟐
= 𝟔𝟒(𝟐)
⟹ 𝒉𝟐
= 𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐
⟹ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 … . (𝟏)
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝒃. 𝒉 =
𝟏
𝟐
(𝟐𝒙)𝒉 = 𝒙𝒉
𝑨(𝒙) = 𝒙 . √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 = √𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬
1
)
‫عند‬ ‫يكون‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫اذا‬
x=4
‫المستطيل‬ ‫عرض‬
‫المستطيل‬ ‫طول‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑨
́ (𝒙) =
𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝒙𝟑
𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
=
𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐
)
𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎
⟹ 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐) = 𝟎
⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬
⟹ 𝒙𝟐
= 𝟔𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟖
⟹ 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟖) = 𝟏𝟔
∴ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝟔𝟒 = √𝟔𝟒 = 𝟖
==================================================
‫تمرين‬
:
‫اق‬ ‫جد‬
‫مساحته‬ ‫لمستطيل‬ ‫محيط‬ ‫ل‬
𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
/ ‫الحل‬
‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬
x ,y
‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬
= ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫محيط‬ ‫اقل‬
2(x+y)
= ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ : ‫هي‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
X . Y
𝟏𝟔 = 𝒙 . 𝒚 ⟹ 𝒚 =
𝟏𝟔
𝒙
… (𝟏)
𝑺 = 𝟐(𝒙 + 𝒚)
𝑺(𝒙) = 𝟐 (𝒙 +
𝟏𝟔
𝒙
) = 𝟐𝒙 +
𝟑𝟐
𝒙
𝑺
́ (𝒙) = 𝟐 −
𝟑𝟐
𝒙𝟐
= 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐
− 𝟑𝟐 = 𝟎
⟹ 𝟐𝒙𝟐
= 𝟑𝟐 ⟹ 𝒙𝟐
= 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = ±𝟒
‫عند‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
x=8
‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬
‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬
( ‫من‬ ‫بالتعويض‬
1
)
‫دال‬
‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫ة‬
2014
-
‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
⟹ 𝒙 = −𝟒
⟹ 𝒙 = 𝟒
⟹ 𝒚 =
𝟏𝟔
𝟒
= 𝟒
⟹ 𝑺 = 𝟐(𝟒 + 𝟒) = 𝟏𝟔 𝒄𝒎
==================================================
‫تمرين‬
:
‫حجم‬ ‫جد‬
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬
𝟑 𝒄𝒎
/ ‫الحل‬
‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬
‫المخروط‬
=
h
2
= ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ ,
r
‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬
‫حجم‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬
‫المخروط‬
V
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐
𝒉 … . (𝟏)
𝒓𝟐
+ (𝒉 − 𝟑)𝟐
= (𝟑)𝟐
⟹ 𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
− 𝟔𝒉 + 𝟗 = 𝟗 ⟹ 𝒓𝟐
= 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐
𝑽(𝒉) =
𝟏
𝟑
𝝅(𝟔𝒉 − 𝒉𝟐
)𝒉 =
𝟏
𝟑
𝝅(𝟔𝒉𝟐
− 𝒉𝟑
)
‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬
2012
-
3
‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬
‫للمستطيل‬ ‫االول‬ ‫البعد‬
‫للمستطيل‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬
‫عند‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬
x=4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑽
́ (𝒉) =
𝟏
𝟑
𝝅(𝟏𝟐𝒉 − 𝟑𝒉𝟐
) ⟹ 𝑽
́ (𝒉) = 𝟎 ⟹
𝟏
𝟑
𝝅𝒉(𝟏𝟐 − 𝟑𝒉) = 𝟎
𝟑𝒉 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎
𝒓𝟐
= 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐
= 𝟔(𝟒) − (𝟒)𝟐
= 𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟖 ⟹ 𝒓 = √𝟖
𝒓 = 𝟐√𝟐 𝒄𝒎
‫عند‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
h=4
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐
𝒉 =
𝟏
𝟑
𝝅(𝟖)(𝟒) =
𝟑𝟐
𝟑
𝝅 𝒄𝒎𝟑
===================================================================
‫تمرين‬
:
( ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
8
,
6
‫والذي‬ )
‫في‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬
. ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫االول‬ ‫الربع‬
/‫الحل‬
‫ان‬ ‫نفرض‬
:
‫النقطة‬
p(x,0)
‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫محور‬ ‫مع‬
x
‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ =
‫والنقطة‬
q(0,y)
‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬
‫محور‬ ‫مع‬
y
‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ =
.
:‫نحصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬
𝒂𝒃
𝒃𝒅
=
𝒆𝒄
𝒄𝒅
⟹
𝒚
𝒙
=
𝟖
𝒙 − 𝟔
⟹ 𝒚 =
𝟖𝒙
𝒙 − 𝟔
… . (𝟏)
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝒙 . 𝒚 … . (𝟐)
𝑨(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙 (
𝟖
𝒙 − 𝟔
) =
𝟒𝒙𝟐
𝒙 − 𝟔
‫قطر‬ ‫نصف‬
‫المخروط‬
‫ارتفاع‬
‫المخروط‬
‫نعوض‬
(
1
)
( ‫في‬
2
)
‫الم‬ ‫الدالة‬
‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ : ‫عتمدة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
𝑨
́ (𝒙) =
𝟖𝒙(𝒙 − 𝟔) − 𝟒𝒙𝟐(𝟏)
(𝒙 − 𝟔)𝟐
=
𝟖𝒙𝟐
− 𝟒𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟐
(𝒙 − 𝟔)𝟐
=
𝟒𝒙𝟐
− 𝟒𝟖𝒙
(𝒙 − 𝟔)𝟐
⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙𝟐
− 𝟒𝟖𝒙 = 𝟎
⟹ 𝟒𝒙(𝒙 − 𝟏𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟐
𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫تهمل‬
⟹ 𝒚 =
𝟖(𝟏𝟐)
𝟏𝟐 − 𝟔
=
𝟗𝟔
𝟔
= 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔
∴
‫محور‬ ‫مع‬ ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬
x
( ‫هي‬
12,0
‫محور‬ ‫ومع‬ )
y
( ‫هي‬
0,16
. )
: ‫هي‬ ‫بنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒙 − 𝒙𝟏
=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
⟹
𝒚 − 𝟏𝟔
𝒙 − 𝟎
=
𝟎 − 𝟏𝟔
𝟏𝟐 − 𝟎
⟹
𝒚 − 𝟏𝟔
𝒙
=
−𝟏𝟔
𝟏𝟐
⟹ 𝟏𝟐(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟏𝟔𝒙 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟒𝒙
⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 −
𝟒
𝟑
𝒙 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
: ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬
‫فيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫اذا‬
‫المستقيم‬
: ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬
x=12
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬
𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐
‫محور‬ ‫على‬ ‫االخران‬ ‫والرأسان‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫رأسان‬ ‫بحيث‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬
x
‫ثم‬
. ‫محيطه‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬

‫هما‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬
2x
‫و‬
y

‫مع‬ ‫المستطيل‬ ‫رؤوس‬ ‫احد‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬
‫المنحني‬
f
‫هي‬
O
.
‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ / ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚
𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 (𝟏𝟐 − 𝒙𝟐) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟑
𝑨
́ (𝒙) = 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐
⟹ 𝑨
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐
= 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝟒 − 𝒙𝟐
= 𝟎
⟹ 𝒙𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟐) = 𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕
𝒚 = 𝟏𝟐 − (𝟐)𝟐
= 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒕
‫المستطيل‬ ‫محيط‬ = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒚) = 𝟐(𝟐(𝟐) + 𝟖) = 𝟖 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕
2012 -2
,
2017
-
‫ت‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
o
‫نعوض‬ ‫اذا‬ , ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬
‫المنحني‬ ‫معادلة‬
‫االول‬ ‫البعد‬
‫الثاني‬ ‫البعد‬
‫مساحة‬ ‫اعظم‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫عند‬ ‫للمستطيل‬
x=2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫يمكن‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ماهي‬
8 cm
‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬
12 cm
.
/‫الحل‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬
-
= ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬
h
-
= ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
r
: ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
-
: ‫المثلثان‬ ‫تشابه‬ ‫من‬
-
𝒓
𝟔
=
𝟖 − 𝒉
𝟖
⟹ 𝟔(𝟖 − 𝒉) = 𝟖𝒓
⟹ 𝟖 − 𝒉 =
𝟖
𝟔
𝒓 ⟹ 𝒉 = 𝟖 −
𝟒
𝟑
𝒓 … (𝟏)
𝑽 = 𝒓𝟐
𝝅𝒉 … . (𝟐)
𝑽(𝒓) = 𝒓𝟐
𝝅 (𝟖 −
𝟒
𝟑
𝒓) = 𝝅 (𝟖𝒓𝟐
−
𝟒
𝟑
𝒓𝟑
)
𝑽
́ (𝒓) = 𝝅(𝟏𝟔𝒓 − 𝟒𝒓𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒓𝝅(𝟒 − 𝒓) = 𝟎 (÷ 𝟒𝝅)
⟹ 𝒓 = 𝟎 ‫يهمل‬
𝒐𝒓 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎
𝒉 = 𝟖 −
𝟒
𝟑
(𝟒) = 𝟖 −
𝟏𝟔
𝟑
=
𝟖
𝟑
= 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎
‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
‫نعوض‬
(
1
)
( ‫في‬
2
)
‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬
‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬
6√𝟑 𝒄𝒎
. ‫القائمين‬ ‫اضالعه‬ ‫احد‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دوره‬
/‫الحل‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬
-
‫ارتفاع‬
‫المخروط‬
=
h
-
‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫المخروط‬
=
r
: ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
-
‫من‬
‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬
:
-
𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
= (6√𝟑)
𝟐
⟹ 𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
= 𝟑𝟔(𝟑) ⟹ 𝒓𝟐
+ 𝒉𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒓𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐
… (𝟏)
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝒓𝟐
𝝅𝒉 … (𝟐)
𝑽(𝒉) =
𝟏
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐)𝝅𝒉 =
𝝅
𝟑
(𝟏𝟎𝟖𝒉 − 𝒉𝟑)
𝑽
́ (𝒉) =
𝝅
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒉) = 𝟎 ⟹
𝝅
𝟑
(𝟑)(𝟑𝟔 − 𝒉𝟐) = 𝟎 ÷ 𝝅
𝒉𝟐
= 𝟑𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟔 𝒄𝒎
𝒓𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟕𝟐 = 𝟑√𝟖 𝒄𝒎
𝑽 =
𝟏
𝟑
(𝟕𝟐)𝝅(𝟔) = 𝟏𝟒𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟑
‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫المخروط‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
‫نعوض‬
(
1
)
( ‫في‬
2
)
‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫ارتف‬
‫المخروط‬ ‫اع‬
2011-1, 2014-1
‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬
‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫عند‬
h=6
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫سعتها‬ ‫االعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الشكل‬ ‫اسطوانية‬ ‫علبة‬
125 𝝅𝒄𝒎𝟑
‫عندم‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬ .
‫ا‬
‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقل‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬
.
/‫الحل‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬
-
‫ارتفاع‬
‫العلبة‬
=
h
-
‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫العلبة‬
=
r
: ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
-
‫من‬
‫العلبة‬ ‫حجم‬
:
-
𝑽 = 𝒓𝟐
𝝅𝒉 ⟹ 𝟏𝟐𝟓𝝅 = 𝒓𝟐
𝝅𝒉
⟹ 𝒉 =
𝟏𝟐𝟓
𝒓𝟐
… .(𝟏)
𝑺 = 𝒓𝟐
𝝅 + 𝟐𝒓𝝅𝒉 . .. (𝟐)
𝑺(𝒓) = 𝒓𝟐
𝝅 + 𝟐𝒓𝝅 (
𝟏𝟐𝟓
𝒓𝟐
) = 𝝅(𝒓𝟐
+
𝟐𝟓𝟎
𝒓
)
⟹ 𝑺
́ (𝒓) = 𝝅(𝟐𝒓 −
𝟐𝟓𝟎
𝒓𝟐
) ⟹ 𝑺
́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒓 −
𝟐𝟓𝟎
𝒓𝟐
= 𝟎
𝟐𝒓𝟑
− 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝒓𝟑
− 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒓𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
⟹ 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎
𝒉 =
𝟏𝟐𝟓
(𝟓)
𝟐
=
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓
= 𝟓 𝒄𝒎
‫للعلبة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
‫نعوض‬
(
1
)
( ‫في‬
2
)
‫العلبة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫العلبة‬ ‫ارتفاع‬
‫حجم‬ ‫اقل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫عند‬ ‫للعلبة‬
r=5
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬
‫تمرين‬
:
‫فاذا‬ ‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬
‫صناعته‬ ‫في‬ ‫المستخدمة‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬
𝟏𝟎𝟖𝒎𝟐
‫حجمه‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ ‫الخزان‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬ ,
.‫الغطاء‬ ‫كامل‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ً‫ا‬‫علم‬ .. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬
/‫الحل‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬
-
‫ارتفاع‬
‫ا‬
‫لخزان‬
=
y
-
‫الخزان‬ ‫عرض‬
=
x
-
= ‫الخزان‬ ‫طول‬
2x
(
)‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬
‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
‫من‬
:
‫الكلية‬ ‫المساحة‬
‫القاعدتين‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ =
𝑺 = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒙)𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙. 𝒙) ⟹ 𝟏𝟎𝟖 = 𝟐𝒚(𝟐𝒙 + 𝒙) + 𝟒𝒙𝟐 (÷ 𝟐)
⟹ 𝟓𝟒 = 𝒚(𝟑𝒙) + 𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 =
𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐
𝟑𝒙
… .(𝟏)
𝑽 = 𝟐𝒙𝟐
. 𝒚 . .. (𝟐)
𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐
(
𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐
𝟑𝒙
) =
𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑
𝟑
⟹ 𝑽
́ (𝒙) =
𝟏
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) ⟹ 𝑽
́ (𝒙) = 𝟎 ⟹
𝟏
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) = 𝟎
𝟏𝟐𝒙𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒙𝟐
=
𝟏𝟎𝟖
𝟏𝟐
= 𝟗 ⟹ 𝒙 = 𝟑𝒎
⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟑) = 𝟔 𝒎
𝒚 =
𝟓𝟒 − 𝟐(𝟗)
𝟑(𝟑)
=
𝟑𝟔
𝟗
= 𝟒 𝒎
‫الخزان‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬
‫نعوض‬
(
1
)
( ‫في‬
2
)
‫الخزان‬ ‫عرض‬
‫الخزان‬ ‫ارتفاع‬
‫للخزان‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫عند‬
x=3
‫الخزان‬ ‫طول‬

2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل

  • 1.
    ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الثالث‬ ‫التفاضل‬‫تطبيقات‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
  • 2.
    ‫تقديم‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫المالزم‬ ‫الحديثة‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫كل‬ ‫مواضيع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫ط‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫وات‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬ ‫ش‬ ‫خالل‬ ‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫رح‬ ‫ا‬ ‫رسوم‬ ‫ضافة‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬ ‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫لة‬ ‫حو‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫ل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ً‫ا‬‫ساعي‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ‫دافه‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫الصعوبات‬ ‫ف‬ ‫والتحديات‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫أسأل‬ ‫له‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ " ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
  • 3.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬
  • 4.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫االمثلة‬ ‫بعض‬ ‫مع‬ ‫االشتقاق‬ ‫قواعد‬ 1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 ==================================== ====================== 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5𝑥4 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = −6𝑥−7 C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥) 1 2 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 (𝑥) 3 2 E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 ========================================================= 3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙)) 𝒏−𝟏 . 𝒈 ́ (𝒙) Ex. A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2 − 14𝑥)5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5(6𝑥2 − 14𝑥)4 (12𝑥 − 14) B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2 3 ⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2) 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 (21𝑥 + 2) −2 3 (21) = 7 √(21𝑥+2)2 3
  • 5.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉 ́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈 ́ (𝒙) Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7𝑥) ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3 − 10) ============================================================= 5) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒉(𝒙).𝒈 ́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉 ́ (𝒙) (𝒉(𝒙))𝟐 Ex. 𝒇(𝒙) = (𝒙)𝟑 𝟒−𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏) (𝟒−𝒙)𝟐
  • 6.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫المشتقة‬ ‫رموز‬ 1. 𝒚́ = 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2. 𝒚́ ́ = 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 3. 𝒚́ ́ ́ = 𝒇 ́ ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 4. 𝒚(𝒏) = 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝒅(𝒏)𝒚 𝒅𝒙(𝒏) =========================================================== :‫مثال‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ‫فجد‬ 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 . :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥 =========================================================== :‫مثال‬ ‫اذا‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ 𝑦2 + 𝑥2 = 1 : ‫ان‬ ‫على‬ ‫فبرهن‬ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 . ‫ا‬ :‫لحل‬ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 = 0 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 + 1 = 0
  • 7.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ). 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 0 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ========================================================== ‫تمرين‬ 1 ‫جد‬ : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 : ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙) 𝟏 𝟐, ∀𝒙 < 𝟐 Sol/ 𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥) 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 (−1) = − 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 (−1) = − 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 = −1 4√(2 − 𝑥)3 ========================================================== b. 𝒚 = 𝟐−𝒙 𝟐+𝒙 , 𝒙 ≠ −𝟐 Sol/ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1) (2 + 𝑥)2 = −4 (2 + 𝑥)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1) (2 + 𝑥)4 = −(−4) (4 + 2𝑥) (2 + 𝑥)4
  • 8.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 16 + 8𝑥 (2 + 𝑥)4 ========================================================== C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎 Sol/ 2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 = −5 (2𝑥 − 4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2) (2𝑥 − 4)2 = 10 (2𝑥 − 4)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2)) (2𝑥 − 4)4 = −40 (2𝑥 − 4)4 ========================== ========== =============== 2 ) ‫جد‬ 𝒇 ́ ́ ́ (𝟏) ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑 𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥) 1 2 𝑓 ́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 1 2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)− 1 2 𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 3 2(−2) = −4(6 − 2𝑥)− 3 2 𝑓 ⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)− 5 2(−2) = −12(6 − 2𝑥)− 5 2 𝑓 ⃛(1) = −12 √(6 − 2(1))5 = −12 √(4)5 = −12 √1024 = −12 32 = −3 8
  • 9.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 𝑓 ́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2 sin 𝜋𝑥 𝑓 ⃛(𝑥) = −𝜋3 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓 ⃛(1) = −𝜋3 cos 𝜋(1) = −𝜋3 (−1) = 𝜋3 ======================================================== c. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝟐−𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟐 𝑓(𝑥) = 3 2 − 𝑥 = 3(2 − 𝑥)−1 𝑓 ́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2 ⟹ 𝑓 ́ ́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3 ⟹ 𝑓 ́ ́ ́ (𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4 𝑓 ́ ́ ́ (1) = 18(2 − 1)−4 = 18(1)−4 = 18 . ======================================================== ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐 𝒙) :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sec2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 = 2 tan 𝑥 (1 + tan2 𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2𝑦 (1 + y2 𝑥) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
  • 10.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0 . :‫الحل‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥 𝑦́ ́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑦́ ́ ́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝑦(4) = 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
  • 11.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ [3-2] ‫المعدالت‬ ‫المرتبطة‬ Independent Equations 𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔́(𝑡) 𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 ́(𝑡) 1 . ‫ارسم‬ ‫مخططا‬ ‫للمسألة‬ ‫وحدد‬ ‫المتغيرات‬ ‫والثوابت‬ ‫وضع‬ ‫لها‬ ‫الرموز‬ ‫وحدد‬ ‫العالقة‬ ‫الرئيسية‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫السؤال‬ . 2 . ‫حاول‬ ‫إيجاد‬ ‫عالقة‬ ‫أخرى‬ ‫بين‬ ‫المتغيرات‬ ‫لكي‬ ‫تقلل‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫المتغيرات‬ . 3 . ‫نشتق‬ ‫الطرفين‬ ‫بالنسبة‬ ‫للمتغير‬ t ‫الزمن‬ 4 . ‫عوض‬ ‫معطيات‬ ‫السؤال‬ ‫من‬ ‫المتغيرات‬ ‫بعد‬ ‫االشتقاق‬ . : ‫مثال‬ ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬ 2m ‫يتسرب‬ ‫بمعدل‬ ‫الماء‬ ‫منه‬ 0.4 𝒎𝟑 /𝒉 ‫زمن‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . t . 𝑽 = 𝑨 𝒉 = 𝟐𝟐 . 𝒉 = 𝟒𝒉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ −0.4 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ‫متغير‬ ‫تابع‬ ‫متغير‬ ‫مستقل‬ ‫لحل‬ ‫أي‬ ‫سؤال‬ ‫يتعلق‬ ‫بالمعدالت‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ y ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ x ‫(مرب‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ = ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫مساحة‬ )‫عة‬ × ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ = ‫االرتفاع‬ × ‫االرتفاع‬ ‫او‬ ‫نقصان‬ ‫او‬ ‫تسرب‬ ‫سالبة‬ ‫اشارة‬ ‫نضع‬ ‫ذوبان‬
  • 12.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = −0.1 𝑚/ℎ ‫تمرين‬ 5 : ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يزداد‬ , ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫تتغير‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫ا‬ ‫بمعدل‬ ‫لقاعدة‬ 0.3 cm/s ‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫وارتفاعه‬ 0.5cm/s ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ 4cm ‫االرتفاع‬ ‫و‬ 3 cm . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫المربعة‬ ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ = x = ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 0.3 cm/s ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ A = 𝒙𝟐  = ‫االرتفاع‬ h ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫تناقص‬ = ‫االرتفاع‬ 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 0.5 cm/s -  ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ 𝑽 = 𝑨 . 𝒉 𝑉 = 𝑥2 . ℎ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 + 2𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3 /𝑠 :‫مثال‬ ‫صف‬ ‫مساحتها‬ ‫المعدن‬ ‫من‬ ‫مستطيلة‬ ‫يحة‬ 96 𝒄𝒎𝟐 ‫بمعدل‬ ‫طولها‬ ‫يتمدد‬ . 2 cm/s ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫عرضها‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫وذلك‬ ‫عرضها‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ 8 cm . = ‫المستطيل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ X = ‫وعرضه‬ Y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ? 𝐴 = 𝑥 𝑦 96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 = 96 8 = 12 X y ‫مجهول‬ ‫العرض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫الطول‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ × ‫العرض‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫وباتعويض‬ ‫الحجم‬ ‫تناقص‬ ‫معدل‬
  • 13.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (96) = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 8(2) ⟹ −16 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 16 12 = − 4 3 𝒄𝒎/𝒔 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬ 8cm ‫بالذوبان‬ ‫الجليد‬ ‫بدأ‬ ‫فاذا‬ ,‫مكعبا‬ ‫يبقى‬ ‫شكله‬ ‫بحيث‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬ ‫بمعدل‬ 6 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بسمك‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫السمك‬ ‫هذا‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫الحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ 1 cm . ‫الحل‬ / = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ , = ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫عند‬ x=1 ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ = ‫الجليد‬ ‫حجم‬ - ‫االاصلي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ 𝑉 = (8 + 2𝑥)3 − 83 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 3(8 + 2𝑥)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 0 −6 = 3(8 + 2(1))2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −6 = 3(10)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 300 (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 600 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −6 600 = −1 100 = −0.01 𝑐𝑚/𝑠 :‫مثال‬ ‫طوله‬ ‫سلم‬ 10m , ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫انزلق‬ ‫فاذا‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫غن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ 2m/s ‫بعد‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ 8m ‫جد‬ . ‫الحائط‬ ‫عن‬ 1 ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ) 2 . ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬ ) 8 cm 8+2x cm  ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ = ‫المكعب‬ ‫حجم‬ . ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ 8+2x
  • 14.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ Sol/  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫اذ‬ . ‫الطرف‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫ن‬ = ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ y = ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫اذن‬ . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫مطلوب‬ ...  ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ 𝜽 ‫قطرية‬ ‫نصف‬ ‫زاوية‬  ‫ونجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫نطبق‬ ‫لذا‬ ‫مثلث‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الرسم‬ ‫من‬ y ‫ن‬ ‫ثم‬ ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫المعاليم‬ ‫ونعوض‬ ‫شتق‬ 𝑥2 + 𝑦2 = 102 ⟹ 82 + 𝑦2 = 100 𝑦2 = 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (10) 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2(8)(2) + 2(6) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 12 = −8 3 𝑚/𝑠 ‫معدل‬ ‫انز‬ ‫الق‬ ‫الطرف‬ ‫العلوي‬ −8 3 𝑚/𝑠 . ‫الزاويه‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫اليجاد‬ ‫االن‬ 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ sin 𝜽 = 𝑦 10 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (sin 𝜽) = 1 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ cos 𝜽 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 𝑥 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 8 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ⟹ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ( 10 8 ) = −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتعويض‬ ‫عن‬ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝟏𝟎
  • 15.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫تمرين‬ ‫فاذا‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫االعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫سلم‬ ‫الطرف‬ ‫انزلق‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ 2m/s ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫واالرض‬ ‫السلم‬ 𝜋 3 . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ x  ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ y  ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝒎/𝒔  ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 =? tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ tan 𝜋 3 = 𝑦 𝑥 ⟹ √3 = 𝑦 𝑥 … . (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠2 ⟹ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 2 √3 𝑚/𝑠 ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ 𝒙 𝒚 ( ‫عالقة‬ ‫من‬ 1 )
  • 16.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 2 : ‫طواله‬ ‫عمود‬ 7.2 m ‫طوله‬ ‫رجل‬ ‫يتحرك‬ , ‫مصباح‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ 1.8 m ‫بسرعة‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ 30 m/min . ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , Sol/  :‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ x ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ = ‫العمود‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 m/min  = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ y = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫؟‬ =  ‫ل‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتقها‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫محصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ t ‫ثم‬ . ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫نعوض‬ .8 1.8 7.2 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ⟹ 1 4 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 30 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 ‫نحصل‬ ‫معدل‬ ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬
  • 17.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫لالسفل‬ ‫ورأسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬ 24cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 16cm ‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فيه‬ ‫يصب‬ 𝟓 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بينما‬ ‫بمعدل‬ ‫السائل‬ ‫منه‬ ‫يتسرب‬ 𝟏 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ 12 cm . : ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r = ‫ارتفاعه‬ ‫و‬ h  = ‫السائل‬ ‫حجم‬ v(t) ‫المخرو‬ ‫حجم‬ = ‫ط‬ 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉  = ‫القطر‬ 16 ⟸ ‫القطر‬ ‫نصف‬ r = 8  ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫نحصل‬ ‫العالقة‬ ‫في‬ ‫نطبقها‬ ‫عالقة‬ ‫على‬ . ‫االولى‬ tan 𝜃 = 𝑟 ℎ = 8 24 ⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 = 8 24 ℎ = 1 3 ℎ 𝑣 = 1 3 𝜋𝑟2 ℎ = 1 3 𝜋( 1 3 ℎ)2 ℎ = 1 3 ( 1 9 ) 𝜋ℎ3 = 1 27 𝜋ℎ3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 3( 1 27 )𝜋ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡  ‫معدل‬ ‫تغير‬ ‫حجم‬ ‫السائل‬ ‫في‬ ‫المخروط‬ = ‫معدل‬ ‫الصب‬ - ‫معدل‬ ‫التسرب‬ . 4 = 1 9 𝜋(12)2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 4 = 144 9 𝜋 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 4 16𝜋 = 1 4𝜋 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑 /𝒔
  • 18.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ M ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫متحركة‬ ‫نقطة‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫ابتعادها‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ( 0 , 7 ‫يساوي‬ ) 0.2 unit/s ‫للنقطة‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫جد‬ . M ‫يكون‬ ‫عندما‬ x=4 . Sol/  ‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫نفرض‬ ( ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ 0 , 7 ‫و‬ ) M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔  ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2 − 10𝑥 + 49) 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 2 (𝑥2 − 10𝑥 + 49)− 1 2 (2𝑥 − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0.2 = 1 2 (42 − 10(4) + 49)− 1 2 (2(4) − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = 1 2 (25)− 1 2 (−2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = −(52)− 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ [0.2 = − 1 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] × −5 ∴ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠 ‫نعوض‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫نعوض‬ 𝒙 = 𝟒 , 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
  • 19.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫لتكن‬ M ‫المكافىء‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫نقطة‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫النقطة‬ ‫احداثي‬ ‫جد‬ , M ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫البتعادها‬ ‫الزمني‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫ثلثي‬ ‫يساوي‬ M . Sol/  ‫النقط‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫ة‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫و‬ M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =?  ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ M = 𝒅𝒚 𝒅𝒕  ‫احداثي‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ M ‫عندما‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3 2 )2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 = √𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (2𝑦 − 2) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 (𝑦 − 1) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 = 3(𝑦 − 1) 4𝑦2 − 8𝑦 + 9 = 9𝑦2 − 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2 − 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0 5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 Or 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2 ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2) ‫وبتعويض‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫وبتعويض‬ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Y=0 ‫النقطة‬ ‫تتحرك‬ ‫لن‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ M ‫عن‬ ‫مبنعده‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫االخرى‬ ‫النقطة‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫وبتربيع‬
  • 20.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 4 : ‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫جد‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ x ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يساوي‬ y ‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ t . Sol/ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ x = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫والمعدل‬ y = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫لدينا‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ⟹ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏) (𝟐 − 𝒚)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎 𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔 ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
  • 21.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬  ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬ (a,b) 3 ) f(a) = f(b) ‫قيمة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫الشروط‬ ‫لهذه‬ ‫الدالة‬ ‫تحقيق‬ ‫من‬ ‫التأكد‬ ‫بعد‬ c ‫كل‬ ‫مكان‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫الدالة‬ ‫باشتقاق‬ x ‫بـ‬ c ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ c . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متحققة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ c ‫الممكنة‬ a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟒) ‫كثير‬ ‫النها‬ . ‫الحدود‬ ‫ة‬ 3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
  • 22.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟑 = −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓 𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 = 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f ‫ايجاد‬ ‫اليمكن‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ c . c) 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] −𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏) Sol/  ‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الغاية‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫لذا‬ ‫جهتين‬ ‫من‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 𝑳𝟏 ‫ا‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫والغاية‬ ‫ليسار‬ 𝑳𝟐 ‫ثم‬ ‫ان‬ ‫من‬ ‫نتحقق‬ 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . ‫ال‬ ‫ام‬ 𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)+ 𝒙𝟐 + 𝟏 = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟐 𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)− −𝟏 = −𝟏 ∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫غير‬ [−𝟒, 𝟐] . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝒂, 𝒃] ‫النها‬ ‫ثابتة‬ ‫دالة‬ . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝒂, 𝒃) . 3) 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌
  • 23.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) ∴ ‫الدالة‬ f ‫وقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ c ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫قيمة‬ ‫اية‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ (𝒂, 𝒃) . ‫تمرين‬ 1 : ‫اوجد‬ ‫قيمة‬ c :‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تعينها‬ ‫التي‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟑, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟑, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 − 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) . 3) 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
  • 24.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝒇(𝟐) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 + (−𝟐) 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐 ) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟏 ∈ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 −𝟏 ∉ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏 c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑)𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏) (𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏) ‫تمرين‬ 6 : ‫مب‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫رول‬ ‫رهنة‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ c . a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2 Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬
  • 25.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒 = (−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒 = (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√ 𝟏 𝟑 = ± 𝟏 √𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟏) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫لالشت‬ ‫قابلة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫قاق‬ (−𝟏, 𝟒) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫على‬ ‫بالقسمة‬ 4 ‫للطرفين‬ ‫التكعيبي‬ ‫الجذر‬ ‫اخذ‬ ‫ثم‬
  • 26.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = 𝟑 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟒) d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟐𝝅] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟐𝝅) 3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 = −𝟏 𝟐 ‫تهمل‬ Cos ‫هي‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫وبالتالي‬ ‫والثالث‬ ‫الثاني‬ ‫الربعين‬ ‫في‬ ‫سالب‬ 𝝅 𝟑
  • 27.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝝅 − 𝝅 𝟑 = 𝟐𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 + 𝝅 𝟑 = 𝟒𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅)  ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬  ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (a,b) ‫نجد‬ ‫اعاله‬ ‫الشرطين‬ ‫تحقق‬ ‫بعد‬ ‫قيمة‬ c : 3 ) ‫المم‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫ويساوي‬ ‫اس‬ ‫للدالة‬ f ‫عند‬ c : 𝒇 ́ (𝒄) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 5 ) )‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫(ميل‬ ‫القاعدة‬ ‫نطبق‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 ‫حيث‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫هي‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ** 𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎 ‫وبالتالي‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,7] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,7) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬
  • 28.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏) 𝟕 − (−𝟏) = ((𝟕)𝟐 − 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐 − 𝟔(−𝟏) + 𝟒) 𝟖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟖 = 𝟎 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕) b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ f ‫عند‬ ‫مستمرة‬ a ‫ان‬ ‫وبما‬ a ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫هي‬ [−𝟒, 𝟎] ‫اذن‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟒, 𝟎] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟒, 𝟎) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒙 𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒) 𝟎 − (−𝟒) = (√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔) 𝟒 = 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟏 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 𝟒𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 ⟹ 𝟓𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓 ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ال‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫مماس‬ ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
  • 29.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ √𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎) −√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 . :‫تمرين‬ ‫على‬ ‫التالية‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬ ‫امكانية‬ ‫اختبر‬ ‫السبب‬ ‫ذكر‬ ‫مع‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترات‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐 = 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏 −𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐) 𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,5] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,5) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒉 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
  • 30.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) 𝟓 − (−𝟏) = (𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐 − 𝟒(−𝟏) + 𝟓) 𝟔 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟎 ∴ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓) c) 𝒈(𝒙) = 𝟒 𝒙+𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ ‫مجال‬ : ‫االستمرارية‬ g ‫هو‬ R/{x=-2} ‫ان‬ ‫وبما‬ -2 ‫الفترة‬ ‫خارج‬ [−𝟏, 𝟐] ‫اذن‬ ‫الدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . 2 ) ‫ا‬ ‫لدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = ( 𝟒 𝟐 + 𝟐 ) − ( 𝟒 −𝟏 + 𝟐 ) 𝟑 = 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 ∴ 𝒈 ́ (𝒄) = −𝟏 ⟹ −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = −𝟏 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐 + 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐) Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒 ⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
  • 31.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ‫الدالة‬ B ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫الن‬ ‫مستمرة‬ R . 2 ) : ‫االشتقاق‬ ‫قابلية‬ 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟑 𝑩 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏)− 𝟏 𝟑 ‫هو‬ ‫المشتقة‬ ‫مجال‬ R/{-1} ‫لكن‬ -1 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ (-2,7) ‫الدالة‬ ‫اذن‬ B . ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬
  • 32.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ** ‫مالحظة‬ :- ‫سوف‬ ‫نقوم‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫مسائل‬ . ‫التقريب‬ :‫مثال‬ ‫جد‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫تقريبا‬ ‫مناسبا‬ ‫للعدد‬ √𝟐𝟔 Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 25 ‫للعدد‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫اقرب‬ b=26 ℎ = 26 − 25 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5 ‫الدالة‬
  • 33.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝑥 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(25) = 1 2√25 = 1 2(5) = 0.1 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓 ́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬ 𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏) Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫للعدد‬ b=1.001 ℎ = 1.001 − 1 = 0.001 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)2 + 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 6(1) + 4 = 13 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓 ́(1) = 13 + 0.001(13) = 13.013 ‫الدالة‬
  • 34.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫على‬ ‫عشرية‬ ‫مراتب‬ ‫لثالث‬ ‫ومقربا‬ ‫تقريبية‬ ‫وبصورة‬ ‫جد‬ , ‫ة‬ : ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫االقل‬ a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑 𝟓 + (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒 + 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 5 + 𝑥4 + 3 = 𝑥 3 5 + 𝑥4 + 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.98 ℎ = 0.98 − 1 = −0.02 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13 5 + 14 + 3 = 5 𝑓 ́(𝑥) = 3 5 𝑥− 2 5 + 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3 5 (1)− 2 5 + 4(1)3 = 3 5 + 4 = 23 5 = 4.6 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓 ́(1) = 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908 ∴ √(0.98)3 5 + (0.98)4 + 3 ≅ 4.908 b) √𝟕. 𝟖 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=7.8 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
  • 35.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 7.8 − 8 = −0.2 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖 𝟑 = 2 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 1 3 (23)− 2 3 = 1 12 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓 ́(8) = 2 − 0.2 ( 1 12 ) = 2 − 0.0166 = 1.9834 ∴ √𝟕. 𝟖 𝟑 ≅ 1.9834 c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟒 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 16 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=17 ℎ = 17 − 16 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟐𝟒 ) 𝟏 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔 ‫الدالة‬
  • 36.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 4 𝑥− 3 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(16) = 1 2 (𝟒𝟐 )− 1 2 + 1 4 (𝟐𝟒 )− 3 4 = 1 2 ( 1 4 ) + 1 4 ( 1 8 ) = 1 8 + 1 32 = 5 32 = 0.156 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓 ́(16) = 6 + 1(0.156) = 6.156 ∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 ≅ 6.156 d) √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.125 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.120 ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟑 = 0.5 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.125) = 1 3 (0.53)− 2 3 = 1 3 ( 1 0.25 ) = 4 3 ‫الدالة‬
  • 37.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓 ́(0.125) = 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335 ∴ √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 ≅ 0.493335 :‫تمرين‬ : ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫تقريبا‬ ‫جد‬ a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 2 (𝟖𝟐 )− 1 2 + 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 2 ( 1 8 ) + 1 3 ( 1 16 ) = 1 16 + 1 48 = 4 48 = 1 12 = 0.083 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) ‫الدالة‬
  • 38.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 12 − 1(0.083) = 11.917 ∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 ≅ 11.917 b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥4 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=1.04 ℎ = 1.04 − 1 = 0.04 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)4 = 1 + 3 = 4 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 12(1)3 = 15 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓 ́(1) = 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6 ∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 ≅ 4.6 c) 𝟏 √𝟗 𝟑 Sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟏 √𝒙 𝟑 = 𝒙− 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫العدد‬ ‫من‬ b=9 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
  • 39.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 9 − 8 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑 )− 𝟏 𝟑 = 1 2 𝑓 ́(𝑥) = − 1 3 𝑥− 4 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = − 1 3 (𝟐𝟑 )− 4 3 = − 1 3 ( 1 16 ) = − 1 48 ≅ −0.02 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓 ́(8) = 0.5 + 1(−0.02) = 0.48 ∴ 𝟏 √𝟗 𝟑 ≅ 0.48 d) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 Sol/ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 100 ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ ‫للعدد‬ b=101 ℎ = 101 − 100 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(100) = 1 100 = 0.01 ‫الدالة‬
  • 40.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = −1 𝑥2 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(100) = −1 (100)2 = −0.0001 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓 ́(100) = 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099 ∴ 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗 e) √ 𝟏 𝟐 = √𝟎. 𝟓𝟎 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥 1 2 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.49 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.50 ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝒙 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.49) = 1 2√𝟎. 𝟒𝟗 = 1 2(0.7) = 10 14 ≅ 0.728 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓 ́(0.49) = 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728 ‫الدالة‬
  • 41.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ √ 𝟏 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ 9.98 cm ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬ . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑉(𝑥) = 𝑥3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 10 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=9.98 ℎ = 9.98 − 10 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3 = 1000 𝑉 ́ (𝑥) = 3𝑥2 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (10) = 3(10)2 = 300 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10) = 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3 :‫مثال‬ ‫ل‬ ‫تكن‬ 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 ‫تغيرت‬ ‫فاذا‬ x ‫من‬ 8 ‫الى‬ 8.06 ‫؟‬ ‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫فما‬ , Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2 3 = (𝑥) 2 3 𝑓 ́(𝑥) = 2 3 𝑥− 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 2 3 (23)− 1 3 = 1 3 = ℎ . 𝑓 ́(𝑎) = ℎ . 𝑓 ́(8) = 0.06 ( 1 3 ) = 0.02 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬ ‫الدالة‬ 𝒂 = 𝟖 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔 𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔 ‫التقريبي‬ ‫التغير‬
  • 42.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫ي‬ ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫طالء‬ ‫راد‬ 10 cm ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ 0.15cm ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫اوجد‬ . ‫تقربية‬ / Sol ‫طالء‬ ‫بدون‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 ‫المطلي‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝑽 ́ (𝒂) = 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 3 : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ 6 cm ‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طليت‬ 0.1 cm . ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ Sol/ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫طالء‬ ‫بدون‬ 𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎 ‫الكر‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ة‬ ‫المطلي‬ ‫ة‬ 𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الدالة‬
  • 43.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒓) = 𝟒 𝟑 (𝟑)𝝅𝒓𝟐 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 4 : ‫حجمها‬ ‫كرة‬ 𝟖𝟒 𝛑 ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫جد‬ , . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒𝝅 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒 ( 𝟑 𝟒 ) = 𝒓𝟑 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑 𝟑 𝑟(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟒 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 3 ( 1 16 ) = 1 48 ≅ 0.021 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) = 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚 ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نستخدم‬ ‫الجذر‬ ‫لهذا‬ ‫تقريب‬ ‫واليجاد‬ ‫ة‬
  • 44.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 2.98 cm ‫حجمه‬ ‫فجد‬ . ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ Sol/  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ r = ‫وارتفاعه‬ x 𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑥 2 𝑉 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟑 𝝅( 𝑥 2 ) 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ∴ 𝑉(𝑥) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 3 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=2.98 ℎ = 2.98 − 3 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(3) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅(3) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝝅 = 𝟗 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉 ́ (𝑥) = 𝟑 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟐 = 𝟏 𝟒 𝝅𝑥𝟐 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (3) = 𝟑𝟐 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3) = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬
  • 45.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬ : ‫مالحظات‬  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬ x  ‫ق‬ ‫نضع‬ ‫يم‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ - - - - - ) :‫مثال‬ ‫وا‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ ‫لتناقص‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐 = 𝟎 ⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
  • 46.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐 = 𝟗 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < −1} ‫و‬ {x: x > 3} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: −1 < x < 3} b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑√𝒙 𝟑 ‫ع‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬ ‫هنا‬ ‫ندما‬ x=0 ‫غير‬ ‫قيمة‬ ‫وهذه‬ ‫صفر‬ ‫سيكون‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ .) ‫حرج‬ ‫عدد‬ ( ‫معرفة‬ ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: x > 0} ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫لتكن‬ -2 ‫بين‬ ‫عدد‬ -1 ‫و‬ 3 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 3 ‫وليكن‬ 4
  • 47.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫النهاية‬ ‫العظمى‬ ‫والنهاية‬ ‫الصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ :  ‫الدال‬ ‫نشتق‬ ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫ة‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ - - - - - )  : ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نحدد‬ ( + + + ( ‫ثم‬ ) - - - ( , ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ) - - - ( ‫ثم‬ ) + + + ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫النهايات‬ ‫احداثيات‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
  • 48.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫جد‬ : a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 49.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −) 𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 50.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟑(𝟎) 𝟐 − 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫مت‬ ‫تكون‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ناقصة‬ {𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫و‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟒} ‫النقطة‬ (2,20) ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫النقطة‬ (4,16) ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫عددبين‬ 2 ‫و‬ 4 ‫ول‬ ‫يكن‬ 3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 4 ‫وليكن‬ 5 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟗(𝟐)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟐) = 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑 − 𝟗(𝟒)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟒) = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
  • 51.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫االن‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫قالب‬ :  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ونساوي‬ ‫للدالة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫مقعرة‬ )+++++(  ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المشتقة‬ ‫ت‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫محدبة‬ ( - - - - - )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬ :‫مثال‬ : ‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫ادرس‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹 ∴ ‫ا‬ ‫لدالة‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ R .
  • 52.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫تكون‬ ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟎} ‫والدالة‬ f ‫تكون‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟎} ‫النقطة‬ (0,0) ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟎, 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 = 𝟎
  • 53.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للمنحني‬ ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 2 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , 11 8 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟐( 𝟏 𝟐 ) + 𝟏 = 𝟐 𝟖 − 𝟑 𝟒 − 𝟔 + 𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟖
  • 54.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للدوال‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ : ‫التالية‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 = 𝟏𝟐 ⟹ (+ ) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐} ‫النقط‬ (0, 0) ‫و‬ (2,16) ‫نقط‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) 𝟑 − (𝟎)𝟒 = 𝟎 𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ‫بين‬ ‫عدد‬ 2 ‫و‬ 0 ‫وليكن‬ 1
  • 55.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟎)‫غير‬ ‫معرفة‬ 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐 (−𝟏) 𝟑 = −𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐 (𝟏) 𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟎} ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ R/{0} . ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1
  • 56.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 (÷ −12) (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐 = −𝟒𝟖 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < −2} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟐} ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) < 𝟎 ⟹ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ −2 ‫وليكن‬ -3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -2 ‫وليكن‬ 0 ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
  • 57.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 6 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹  ‫اختبار‬ ‫المشتقة‬ ‫الثانية‬ ‫لنقط‬ ‫النهايات‬ ‫العظمى‬ ‫والصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫قيم‬ ‫بتعويض‬ ‫وذلك‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ x ‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫االولى‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ : ‫ت‬  . ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  . ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  = ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 0 ‫المشتقة‬ ‫وتستخدم‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ ‫استخدام‬ ‫يصح‬ ‫فال‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫انها‬ ‫او‬ . ‫االولى‬ :‫مثال‬ ‫اختبا‬ ‫باستخدام‬ : ‫االتية‬ ‫للدوال‬ ‫المحلية‬ ‫النهايات‬ ‫جد‬ , ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ر‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ x=1 . 𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2) ‫الدالة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
  • 58.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟖𝒙 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 + 8 = 0 ⟹ 𝒙𝟑 = −8 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐𝟒 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟐) = −𝟐𝟒 (−𝟐)𝟒 = −𝟐𝟒 𝟏𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-2 . 𝒇(−𝟐) = −𝟐 − 𝟒 (−𝟐)𝟐 = −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-1 . 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏)𝟐 − 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓 ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
  • 59.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ (−1,5) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ x=3 . 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕 ⟹ (3,27) d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f = َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫االول‬ ‫المشتقة‬ ‫الختبار‬ ‫ونعود‬ ‫هنا‬ ‫تصح‬ ‫ال‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ . ‫ى‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ -2 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ 0
  • 60.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏) 𝟒 = 𝟒 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟏} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < −𝟏} ‫والنقطة‬ (-1,4) ‫نه‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫اية‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ a ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫علما‬ , x=1 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫ثم‬ , sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟏𝟑 = 0 𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 = −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑 = − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝑥 = −√ 𝟏 𝟐 𝟑 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫انقالب‬ x=1 2013 - 1
  • 61.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (−√ 𝟏 𝟐 𝟑 ) = 𝟐 − 𝟐 (− √ 𝟏 𝟐 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎 ∴ ‫الدالة‬ f ‫ت‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫متلك‬ 𝑥 = −√ 1 2 3 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫وال‬ ‫تمرين‬ 6 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 , . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 + 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 = −𝒂 𝟐 ⟹ 𝑥 = √ −𝒂 𝟐 3 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (√ −𝒂 𝟐 3 ) = 𝟐 − 𝟐𝒂 (√ −𝒂 𝟐 3 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟐𝒂 −𝒂 𝟐 = 2 + 4 = 6 > 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫لها‬ ‫وليس‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نساوي‬ ‫النهايات‬ ‫وجود‬ ‫لنختبر‬ ‫المشتقة‬ ‫قيمة‬ ‫ونجد‬ ‫بالصفر‬ ‫االولى‬ x
  • 62.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ ‫الثابتين‬ ‫قيمتي‬ ‫عين‬ a , b ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ x=-1 ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫ونهاية‬ x=2 . ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 ́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏) 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐) 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏) −𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐) −𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 = −9 6 = −3 2 𝟑 − 𝟐 ( −3 2 ) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ x=-1 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫تمت‬ ‫نهاية‬ ‫لك‬ ‫عند‬ ‫صغرى‬ x=2 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ a ‫في‬ ‫معادلة‬ 1 ... ‫نحصل‬ 2013 – 3 , 2012-1 ‫قيمتي‬ ‫وبتعويض‬ b,a ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ... ‫نحصل‬ ‫وبالمشتقة‬
  • 63.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , − 𝟏𝟑 𝟒 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ :‫مثال‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟏} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝐱: 𝐱. 𝟏} ‫المستقيم‬ ‫ويمس‬ 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ‫النقطة‬ ‫عن‬ (3,1) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟔( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟖 − 𝟑 = − 𝟏𝟑 𝟒 ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {x: x < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {x: x. 1} ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫فانها‬ x=1 2014-1
  • 64.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟗 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟗 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 −𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑 + 𝒃(𝟑)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑) −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂 ⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑 𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏 ‫تمرين‬ 7 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ‫يمس‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ‫عن‬ ‫د‬ ‫النقطة‬ (2,-1) ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫للمنحني‬ ‫وكان‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . ‫نوع‬ ‫وما‬ .‫النهاية‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ‫ف‬ ) ( ‫ي‬ 2 ) ‫قيمتي‬ ‫بتعويض‬ a,b ( ‫في‬ 3 )
  • 65.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 ⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐) 𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒃 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄 −𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫في‬ ) 2 ) ‫النقطة‬ (2,-1) ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫قيمتي‬ ‫نعوض‬ a , b ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫اذا‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬ ‫عند‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐
  • 66.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ∀𝐱 > 𝟏 ‫ومحدبة‬ ∀𝐱 < 𝟏 ‫وللدالة‬ f ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ (-1,5) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇(−𝟏) = 𝒂(−𝟏)𝟑 + 𝒃(−𝟏)𝟐 + 𝒄(−𝟏) 𝟓 = −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 … . (𝟏) 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟑𝒂(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(−𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟓 … . (𝟏) 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) 𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟓 … (𝟑) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟒) 𝟐𝒂 + 𝟑𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝟓𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 𝟑(𝟏) − 𝟐(−𝟑) + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟑 + 𝟔 + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟗 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫مقعرة‬ ∀x > 1 ‫ومحدبة‬ ∀x < 1 ‫فانها‬ ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫للدالة‬ f ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ (-1,5) 2012-3 , 2015-1 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ينتج‬ ) ‫نعوض‬ ( 4 ) ( ‫في‬ 3 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a ( ‫في‬ 4 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a,b ( ‫في‬ 2 )
  • 67.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 , ‫متماسان‬ ‫عن‬ ‫د‬ ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫المنحني‬ f ‫وهي‬ (1,-11) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 ⟹ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟏𝟐 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟑𝒂(𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟏) + 𝒄 = 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 −𝟏𝟐 = 𝟑𝒂 + 𝟐 + 𝒄 … (𝟐) 𝟑𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) + 𝒄 = −𝟏𝟐 𝟑𝒂 − 𝟔𝒂 + 𝒄 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐….(𝟑) 𝒇(𝟏) = 𝒂(𝟏)𝟑 + 𝒃(𝟏)𝟐 + 𝒄(𝟏) ⟹ −𝟏𝟏 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 … (𝟒) −𝟏𝟏 = 𝒂 − 𝟑𝒂 + 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (1,-11) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫و‬ ) 3 ( ‫في‬ ) 4 ) 2013, 2014, 2017
  • 68.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 = 𝟑(𝟏) − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = −𝟗 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 ‫تساوي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 8 ‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫ونقطة‬ x=1 . ‫فجد‬ ‫قيمة‬ a,b . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂 = −𝟔 ⟹ 𝒂 = −𝟏 ∴ 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = −𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟔(−𝟏) = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = −𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟔(𝟏) = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟑 + 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝒄 = −𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝒄 2015 – 2 , 2015-2 ‫خارجي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫اشا‬ ‫الختبار‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫رة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=2
  • 69.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟖 = 𝟒 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 ‫تمرين‬ 4 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 6 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تمثل‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 ‫فجد‬ ‫قيمة‬ 𝒄 ∈ 𝑹 . ‫انقالبه‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المنحني‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟑(−𝟏)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟑(𝟑)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − − ) 𝒇(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐 − (𝟎)𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟔 ⟹ 𝒇(𝟏) = 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 + 𝟔 = 𝟖 2016 - 3 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫الختبار‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=0 ‫نق‬ ‫اذا‬ ‫هي‬ ‫المنحني‬ ‫انقالب‬ ‫طة‬ (1,8) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ..
  • 70.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒎 = 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟏) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) ⟹ (𝒚 − 𝟖) = 𝟑(𝒙 − 𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 ‫تمرين‬ 1 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 ‫ان‬ ‫حيث‬ 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} , 𝒃 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫جد‬ . a : ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫أ‬ - ‫الدالة‬ f ‫ب‬ ‫محدبة‬ – ‫الدالة‬ f ‫مقعرة‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝒂 𝒇 ́ ́ (𝒙) < 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 < 𝟎 ⟹ 𝒂 = −𝟒 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 > 𝟎 ⟹ 𝒂 = 𝟖 ‫تمرين‬ 2 ‫لتكن‬ : (2,6) ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝒂 , 𝒃 ∈ 𝑹 . ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫وبين‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝒃)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝟐) = −𝟒(𝟐 − 𝒃)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ‫أ‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫اقل‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ ‫محدبة‬ 0 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} ‫ب‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ 0 ‫الدالة‬ f ‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تملك‬ x=2 ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬
  • 71.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ √(𝟐 − 𝒃)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝟐 − 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝟐 𝒇(𝟐) = 𝒂−(𝟐 − 𝟐)𝟒 ⟹ 𝒂 = 𝟔 𝒇(𝒙) = 𝟔−(𝒙 − 𝟐)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟑 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(−𝟖) = 𝟑𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟒(𝟑 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫وال‬ ‫نقطة‬ (2,6) ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (2,6) ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫الدالة‬ f ‫نعوض‬ ‫لذا‬ x=2 ‫و‬ f(2)=6 ‫و‬ b=2 ‫اشارة‬ ‫نختبر‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫لبيان‬ ‫االولى‬ ‫االمشتقة‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫ول‬ ‫يكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 72.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫رسم‬ ‫المخطط‬ ‫البياني‬ ‫للدالة‬ Graphing Function
  • 73.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) ( :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ 0,0 . ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ) 3 ) ‫ن‬ ‫الدالة‬ :‫التناظر‬ ‫وع‬ f : ‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟓 = −(𝒙)𝟓 = −𝒇(𝒙) 4 ) . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :‫المحاذيات‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟓𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ‫ال‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ) .‫نهاية‬ ‫تمثل‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟎𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
  • 74.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ) ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ . 𝒙 -2 -1 0 1 2 𝒚 = 𝒙𝟓 -32 -1 0 1 32
  • 75.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑦 = 4 ⟹ (0,4) 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اهمال‬ ‫يمكن‬ ‫لذا‬ ‫العادية‬ ‫بالطرق‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اليمكن‬ x ‫واخذ‬ . ‫عنها‬ ‫بدال‬ ‫اضافية‬ ‫نقاط‬ 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑 − 𝟑(−𝒙)𝟐 + 𝟒 = −𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 ≠ 𝒇(𝒙) ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اذا‬ y . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫وال‬ 4 ) ‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2
  • 76.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 2} ‫في‬ ‫ومتناقصة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 2} 𝑓(0) = (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ (0,4) ‫وبالتالي‬ ( 4,0 ) ‫نقطة‬ .‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ 𝑓(2) = (𝟐)𝟑 − 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟒 = 𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ (2,0) ( ‫وبالتالي‬ 2,0 .‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} . 𝑓(1) = (𝟏)𝟑 − 𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟒 = 𝟏 − 𝟑 + 𝟒 = 𝟐 ⟹ (1,2)
  • 77.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫وبالتالي‬ (1,2) .‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ 𝒙 -1 0 1 2 3 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 0 4 2 0 4 :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟎) − 𝟏 𝟎 + 𝟏 = −𝟏 ⟹ 𝑦 = −1 ⟹ (0, −1)
  • 78.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟏 𝟑 ⟹ ( 𝟏 𝟑 , 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫م‬ ‫وال‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ع‬ 1 ‫لمجال‬ ‫ينتمي‬ ‫بينما‬ ‫الدالة‬ -1 . ‫الينتمي‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 − 𝟑𝒙 = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟑) = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟑 ⟹ 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟑 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟑) − (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟒 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏}
  • 79.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟖(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫التملك‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫الن‬ -1 ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ . 𝒙 0 𝟏 𝟑 𝒚 -1 0
  • 80.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒙𝟐+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟐 (−𝒙)𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒇(𝒙) ∴ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫المنحني‬ Y 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎 ≠ 𝟎 ∴ . ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
  • 81.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒚𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟎 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙) − (𝒙𝟐 )(𝟐𝒙) (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < 0} f(0) = 0 ⟹ (0,0) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐(𝟐) − [𝟐𝒙(𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙)] (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 0 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 3𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝑥 = ±√ 1 3 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 82.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −1 √3 } ‫و‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1 √3 } . ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومقعرة‬ {𝑥: −1 √3 < 𝑥 < 1 √3 } 𝒇 (± 1 √3 ) = (± 1 √3 ) 𝟐 (± 1 √3 ) 𝟐 + 𝟏 = 1 3 1 3 + 𝟏 = 1 3 4 3 = 1 4 ∴ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ( 1 √3 , 1 4 ) ‫و‬ (− 1 √3 , 1 4 ) . 𝒙 0 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 1 4 1 4 ‫تمرين‬ : ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ ‫ات‬ ‫الد‬ :‫التالية‬ ‫وال‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 10 ⟹ (0,10)
  • 83.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ (𝟓 + 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟓 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟑 ⟹ 𝒙 = −𝟑 𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −𝟑 𝟐 } ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 > −𝟑 𝟐 } f(0) = 𝟏𝟎 − 𝟑 ( −𝟑 𝟐 ) − ( −𝟑 𝟐 ) 𝟐 = 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟐 − 𝟗 𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟗 𝟒 = 𝟒𝟗 𝟒 ⟹ ( −𝟑 𝟐 , 𝟒𝟗 𝟒 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟐 < 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫في‬ . ‫مجالها‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬
  • 84.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 -5 2 0 −𝟑 𝟐 𝒚 0 0 10 49 4 b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 3 ⟹ (0,3)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = −𝟑 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
  • 85.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = −𝟒 𝟐 = −𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > −2} ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −2} f(−2) = (−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) + 𝟑 = 𝟒 − 𝟖 + 𝟑 = −𝟏 ⟹ (−𝟐, −𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ . ‫مجالها‬ ‫في‬ 𝒙 0 -1 -3 -2 𝒚 3 0 0 -1 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 86.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫م‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫حور‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 2 ⟹ (0,2)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 = −1 ‫بالجذر‬ ⟹ 1 − 𝑥 = −1 ⟹ 𝑥 = 𝟐 ⟹ (2,0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝟏 − 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 2011-2, 2013-2, 2016-‫ت‬
  • 87.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 1} . ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔(𝟏 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟏 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒙 0 2 1 𝒚 2 0 1 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
  • 88.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥(𝟔 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝑥(√6 − 𝑥)(√6 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√6, ⟹ (0,0), (√6, 0), (−√6, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) ‫االشتقا‬ :‫ق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟐 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±√𝟐
  • 89.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −√𝟐 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > √𝟐 } ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: −√𝟐 < 𝑥 < √𝟐 } f(−√𝟐 ) = 𝟔(−√𝟐 ) − (−√𝟐 ) 𝟑 = −𝟔√𝟐 + 𝟐√𝟐 = −𝟒√𝟐 ⟹ (−√𝟐 , −𝟒√𝟐 ) f(√𝟐 ) = 𝟔(√𝟐 ) − (√𝟐 ) 𝟑 = 𝟔√𝟐 − 𝟐√𝟐 = 𝟒√𝟐 ⟹ (√𝟐 , 𝟒√𝟐 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 𝒙 0 √𝟔 −√𝟔 √𝟐 −√𝟐 𝒚 0 0 0 𝟒√𝟐 −𝟒√𝟐 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 90.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{0} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : y ‫الن‬ 0 .‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : X ‫التوج‬ ‫النه‬ ‫ل‬ ‫قيمة‬ ‫د‬ x ‫تجعل‬ y=0 𝒚 ≠ 𝟎 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ :‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫الدالة‬ 𝒇(−𝒙) = − 𝟏 𝒙 = −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 = 𝟎  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟏 𝒙 ⟹ 𝒚𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟎
  • 91.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{𝟎} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ ‫نهاية‬ . 𝒇 ́ (𝒙) = −(𝒙)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} . ‫التملك‬ ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ 0 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 -1 2 𝒚 -1 0.5
  • 92.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ f) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y : 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = −𝟏 𝟏 = −𝟏 ⟹ (𝟎,−𝟏)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x : 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ :‫الن‬ ‫متناظرة‬ −𝟏 ∉ 𝒇‫مجال‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟏) = −𝟏 − 𝒚 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟏 2016 -2
  • 93.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫ا‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫لفترة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫التملك‬ -1 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 0 1 -2 -3 𝒚 -1 0 3 2
  • 94.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ g) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫التقا‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫طع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐(𝟐 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝒙𝟐 (√2 − 𝑥)(√2 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√2, ⟹ (0,0), (√2, 0), (−√2, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ y : ‫ألن‬ 𝒇(−𝒙) = 𝟐(−𝒙)𝟐 − (−𝒙)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏 − 𝒙𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 2012-2
  • 95.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: −1 < 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏} ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 𝟏} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < −1} f(−𝟏) = 𝟐(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (−𝟏, 𝟏) f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) f(𝟏) = 𝟐(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒙 = ± 𝟏 √𝟑 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: − 𝟏 √𝟑 𝑥 < 𝟏 √𝟑 } ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏 √𝟑 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < − 𝟏 √𝟑 } f ( 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐( 𝟏 √𝟑 )𝟐 − ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ ( 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) f (− 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐(− 𝟏 √𝟑 )𝟐 − (− 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ (− 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) 𝒙 0 √𝟐 −√𝟐 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 0 0 𝟓 𝟗 𝟓 𝟗 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫صغرى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
  • 96.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ h) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏 𝒙𝟐+𝟏 i) 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟐 j) 𝒇(𝒙) = 𝟔 𝒙𝟐+𝟑
  • 97.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬ ‫مسا‬ ‫لحل‬ :‫والصغى‬ ‫العظمى‬ ‫بالنهايات‬ ‫المتعلقة‬ ‫ئل‬  . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫او‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عبارة‬ ‫على‬ ‫عادة‬ ‫المسائل‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫يحوي‬  . ‫المتغيرات‬ ‫ونفرض‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫المسألة‬ ‫يوضح‬ ‫شكال‬ ‫نرسم‬  .‫المسألة‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫نعين‬  ‫م‬ ‫بعالقة‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫المتغيرات‬ ‫نربط‬ ‫ان‬ ‫نحاول‬ . ‫ا‬  . ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫لتصبح‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫في‬ ‫العالقة‬ ‫نعوض‬  ( , ‫النهايات‬ ‫انوع‬ ‫ونحدد‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نجد‬ ‫اكبر‬ |‫صغرى‬ ‫نهاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عظمى‬ ‫نعاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ) :‫مثال‬ . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫اضيف‬ ‫اذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = x ⟸ = ‫العدد‬ ‫مربع‬ 𝒙𝟐 . 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟏 ⟹ 𝒙 = − 𝟏 𝟐 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ∴ ‫هو‬ ‫العدد‬ − 1 2 . ‫الدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = − 𝟏 𝟐
  • 98.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ = ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫صندوق‬ 12 cm ‫اربعة‬ ‫بقص‬ ‫وذلك‬ ‫اركانه‬ ‫من‬ ‫االبعاد‬ ‫متساوية‬ ‫صغيرة‬ ‫مربعات‬ ‫ا‬ ‫لهذه‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬ ‫ماهو‬ , ‫منها‬ ‫البارزة‬ ‫االجزاء‬ ‫ثني‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫العلبة‬ /‫الحل‬ = ‫المقطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ x ⟸ = ‫الصندوق‬ ‫اضالع‬ 12-2x, 12-2x, x ‫الصندوق‬ ‫حجم‬ V ‫الطول‬ = × ‫العرض‬ × ‫االرتفاع‬ 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙) 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)𝟐 = 𝒙(𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) = 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟐(𝟏𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ (𝟔 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 X=6 ‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غير‬ 12-2(6)=12-12=0 ‫فأن‬ ‫لذا‬ x=2 𝑽 ́ ́ (𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟐𝟒(𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 < 𝟎 𝑽(𝟐) = 𝟐(𝟏𝟐 − 𝟐(𝟐))𝟐 = 𝟐(𝟖)𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑 ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = 𝟐 ‫اذا‬ ‫هو‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬
  • 99.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 12 cm ‫ثم‬ , ‫كنسبة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝟑√𝟑 𝟒 . / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ , b = 2x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫لنجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫مبرهنة‬ ‫نستخدم‬ 𝑥2 + (ℎ − 12)2 = 144 𝑥2 + ℎ2 − 24ℎ + 144 = 144 𝑥2 = 24ℎ − ℎ2 ⟹ 𝒙 = √𝟐𝟒𝒉 − ℎ2 … (𝟏) ‫بما‬ ‫تمثل‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫المثلث‬ ‫بعدي‬ ‫ايجاد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫مسا‬ ‫القاعدة‬ ‫نصف‬ = ‫المثلث‬ ‫حة‬ × ‫االرتفاع‬ 𝐴(ℎ) = 1 2 𝑏ℎ = 1 2 (2𝑥)ℎ = 𝑥ℎ = 𝒉√𝟐𝟒𝒉 − ℎ 2 = √𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 𝟐√𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 ⟹ 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 = 0 ⟹ 𝟒ℎ 2 (18 − ℎ) = 0 ⟹ ℎ 2 = 0 𝑜𝑟 ℎ = 18 ℎ = 18 𝑐𝑚 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫الن‬ h ‫الجذر‬ ‫توحيد‬ ‫فيمكن‬ ‫موجبة‬ h=0 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬
  • 100.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 = √𝟐𝟒(𝟏𝟖) − (18) 2 = √𝟏𝟎𝟖 = 𝒙 = 𝟔√𝟑 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟔√𝟑) = 𝟏𝟐√𝟑 𝒄𝒎 𝑨𝟏 = 𝝅𝑟2 = 𝜋(12) 2 = 144 𝜋 𝑐𝑚2 𝑨𝟐 = 𝒙𝒉 = 𝟔√𝟑(18) = 108√𝟑 𝑐𝑚2 ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫الدائرةمساحة‬ = 𝑨𝟐 𝑨𝟏 = 108√𝟑 144 𝜋 = 𝟑√𝟑 𝟒𝝅 ========================================================= : ‫مثال‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫مسنتطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 24 cm ‫وارتفاعه‬ 18cm ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورين‬ ‫رأسين‬ ‫ان‬ ‫بحين‬ .‫ساقيه‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫الباقيين‬ ‫والرأسين‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ / ‫الحل‬ ‫نفرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬ = y , ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ = x ‫نفرض‬ ‫هي‬ ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ bcq ‫هي‬ ‫الصغير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ ‫نفرض‬ btr ‫المثلثان‬ bcq , btr ‫زواياهم‬ ‫لتساوي‬ ‫متشابهان‬ ‫نحصل‬ ‫التشابه‬ ‫ومن‬ . ‫المتناظرة‬ 𝑏𝑎 𝑏𝑞 = 𝑡𝑟 𝑐𝑞 ⟹ 18 − 𝑥 18 = 𝑦 24 ⟹ 𝒚 = 24(18 − 𝑥) 18 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 𝑥) … (1) 𝑨 = 𝒙 𝒚 ‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ ‫المساحتين‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫اليجاد‬ ‫رة‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ 2013 - 2 ‫و‬ 2015 - ‫ت‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
  • 101.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨(𝒙) = 𝒙 ( 4 3 (18 − 𝑥)) = 4 3 (18𝑥 − 𝑥2) 𝑨 ́ (𝒙) = 4 3 (18 − 2𝑥) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 4 3 (18 − 2𝑥) = 0 × 𝟑 𝟒 ⟹ 2𝑥 = 18 ⟹ 𝒙 = 𝟗 𝒄𝒎 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 9)= 4 3 (9) = 12 𝑐𝑚 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> : ‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ومربع‬ ‫دائرة‬ ‫محيطي‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 60 cm ‫عن‬ ‫انه‬ ‫أثبت‬ . ‫مساحتي‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫دما‬ . ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫فان‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الشكلين‬ /‫الحل‬ = ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬ r = ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬ x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ : ‫المحيطين‬ ‫مجموع‬ ( 60 cm ) ‫المربع‬ ‫محيط‬ = ( 4 × )‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫الدائرة‬ ‫محيط‬ + ‫القطر‬ ‫(نصف‬ × 𝟐𝝅 ) 𝟒𝒙 + 𝟐𝝅𝒓 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟔𝟎 − 𝟒𝒙 𝟐𝝅 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙) … . . (𝟏) 𝑨(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒓𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + ( 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙))𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)) = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝝅 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ + ‫المربع‬ ‫مساحة‬ = ‫الدالة‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 )
  • 102.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) = 𝟎 × 𝝅 ⟹ 𝟐𝝅𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝝅𝒙 − 𝟔𝟎 + 𝟒𝒙 = 𝟎 ∴ 𝟒𝒙 + 𝝅𝒙 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙( 𝝅 + 𝟒) = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟎 ( 𝝅 + 𝟒) … (𝟐) 𝒓 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐( 𝟔𝟎 ( 𝝅+𝟒) ))= 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 ( 𝝅+𝟒) ) = 𝟑𝟎 𝝅+𝟒 𝒄𝒎 ∴ 𝒙 = 𝟐𝒓 ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 𝑨 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 + 𝟏 𝝅 > 𝟎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> :‫مثال‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ y2 − x2 = 3 ‫بحيث‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقرب‬ ‫تكون‬ ( ‫للنقطة‬ 4 , 0 . ) /‫الحل‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ p(x,y) .‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ 𝐱𝟐 = 𝐲𝟐 − 𝟑 … (𝟏) 𝐬 = √(𝐱 − 𝟎)𝟐 + (𝐲 − 𝟒)𝟐 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝐲𝟐 − 𝟑 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ∴ 𝒔(𝒚) = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 𝒔́(𝒚) = 𝟒𝒚 − 𝟖 𝟐√𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ⟹ 𝒔́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟖 ⟹ 𝒚 = 𝟐 𝐱𝟐 = (𝟐)𝟐 − 𝟑 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = ±𝟏 ∴ ‫النقاط‬ (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐) ( ‫نعوض‬ 2 ( ‫في‬ ) 1 ) ‫ال‬ ‫اذا‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫دالة‬ ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ( ‫في‬ ‫نعوض‬ 1 ‫احداثي‬ ‫اليجاد‬ ) x
  • 103.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫جد‬ = ‫مجموعهما‬ ‫موجبين‬ ‫عددين‬ 75 ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫االخر‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ‫احدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ . ‫يمكن‬ /‫الحل‬ ‫اال‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = ‫ول‬ x = ‫والثاني‬ y ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ = ‫العددين‬ ‫مجموع‬ : x+y = 75 ‫الدالة‬ = ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ : 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝒚 … (𝟏) 𝒇 = 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒇(𝒚) = 𝒚𝟐(𝟕𝟓 − 𝒚) = 𝟕𝟓𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 𝒇 ́ (𝒚) = 𝟏𝟓𝟎𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒚(𝟓𝟎 − 𝒚) = 𝟎 ∴ 𝒚 = 𝟎 𝒚 = 𝟓𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫قمة‬ y ‫الضرب‬ ‫معادلة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬ ‫هنا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 50
  • 104.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫االسطوانة‬ = h 2 , = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ r ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ه‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ي‬ V 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐(𝟐𝒉) … . (𝟏) 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟒√𝟑 )𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 (𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝝅(𝟒𝟖 − 𝒉𝟐)(𝟐𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) = 𝟎 𝟑𝒉𝟐 = 𝟒𝟖 ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒉 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟑𝟐 𝒄𝒎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ال‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫مستطيل‬ 2x = ‫وعرضه‬ y ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫المطاوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ 2x . y : ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟒√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔(𝟐) ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫االسطوانة‬ 2012 - 3 2012 – 1 , 2013 - ‫ت‬
  • 105.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 … (𝟏) 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 . √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟔𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ) √𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 ∴ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝟏𝟔= √𝟏𝟔 = 𝟒 ======================================================== ‫تمرين‬ : ‫ساقيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫جد‬ 𝟖√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ b = 2x ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ :‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫من‬ : 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟖√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟔𝟒(𝟐) ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒃. 𝒉 = 𝟏 𝟐 (𝟐𝒙)𝒉 = 𝒙𝒉 𝑨(𝒙) = 𝒙 . √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 = √𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫عند‬ ‫يكون‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫اذا‬ x=4 ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬
  • 106.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟔𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟖 ⟹ 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟖) = 𝟏𝟔 ∴ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝟔𝟒 = √𝟔𝟒 = 𝟖 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫اق‬ ‫جد‬ ‫مساحته‬ ‫لمستطيل‬ ‫محيط‬ ‫ل‬ 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 / ‫الحل‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬ x ,y ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫محيط‬ ‫اقل‬ 2(x+y) = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ : ‫هي‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ X . Y 𝟏𝟔 = 𝒙 . 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝒙 … (𝟏) 𝑺 = 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝑺(𝒙) = 𝟐 (𝒙 + 𝟏𝟔 𝒙 ) = 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 𝒙 𝑺 ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟑𝟐 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = ±𝟒 ‫عند‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ x=8 ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫دال‬ ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫ة‬ 2014 - ‫ت‬
  • 107.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑺 = 𝟐(𝟒 + 𝟒) = 𝟏𝟔 𝒄𝒎 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫حجم‬ ‫جد‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ 𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫المخروط‬ = h 2 = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ , r ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫حجم‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫المخروط‬ V 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 … . (𝟏) 𝒓𝟐 + (𝒉 − 𝟑)𝟐 = (𝟑)𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝟔𝒉 + 𝟗 = 𝟗 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 )𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉𝟐 − 𝒉𝟑 ) ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ 2012 - 3 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫للمستطيل‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫للمستطيل‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫عند‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬ x=4
  • 108.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟏𝟐𝒉 − 𝟑𝒉𝟐 ) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 𝝅𝒉(𝟏𝟐 − 𝟑𝒉) = 𝟎 𝟑𝒉 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 = 𝟔(𝟒) − (𝟒)𝟐 = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟖 ⟹ 𝒓 = √𝟖 𝒓 = 𝟐√𝟐 𝒄𝒎 ‫عند‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ h=4 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟖)(𝟒) = 𝟑𝟐 𝟑 𝝅 𝒄𝒎𝟑 =================================================================== ‫تمرين‬ : ( ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 8 , 6 ‫والذي‬ ) ‫في‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ . ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫االول‬ ‫الربع‬ /‫الحل‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ : ‫النقطة‬ p(x,0) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ x ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ = ‫والنقطة‬ q(0,y) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ = . :‫نحصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ 𝒂𝒃 𝒃𝒅 = 𝒆𝒄 𝒄𝒅 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟖 𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟖𝒙 𝒙 − 𝟔 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝒚 … . (𝟐) 𝑨(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒙 ( 𝟖 𝒙 − 𝟔 ) = 𝟒𝒙𝟐 𝒙 − 𝟔 ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الم‬ ‫الدالة‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ : ‫عتمدة‬
  • 109.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟖𝒙(𝒙 − 𝟔) − 𝟒𝒙𝟐(𝟏) (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 (𝒙 − 𝟔)𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝒙 − 𝟏𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫تهمل‬ ⟹ 𝒚 = 𝟖(𝟏𝟐) 𝟏𝟐 − 𝟔 = 𝟗𝟔 𝟔 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 ∴ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ x ( ‫هي‬ 12,0 ‫محور‬ ‫ومع‬ ) y ( ‫هي‬ 0,16 . ) : ‫هي‬ ‫بنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒙 − 𝒙𝟏 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 − 𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟔 𝟏𝟐 − 𝟎 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 = −𝟏𝟔 𝟏𝟐 ⟹ 𝟏𝟐(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟏𝟔𝒙 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟒𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟑 𝒙 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ ‫فيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ x=12
  • 110.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 ‫محور‬ ‫على‬ ‫االخران‬ ‫والرأسان‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫رأسان‬ ‫بحيث‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬ x ‫ثم‬ . ‫محيطه‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬  ‫هما‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ 2x ‫و‬ y  ‫مع‬ ‫المستطيل‬ ‫رؤوس‬ ‫احد‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫المنحني‬ f ‫هي‬ O . ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ / ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 (𝟏𝟐 − 𝒙𝟐) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟐) = 𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝒚 = 𝟏𝟐 − (𝟐)𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒕 ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒚) = 𝟐(𝟐(𝟐) + 𝟖) = 𝟖 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 2012 -2 , 2017 - ‫ت‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ o ‫نعوض‬ ‫اذا‬ , ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫المنحني‬ ‫معادلة‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫مساحة‬ ‫اعظم‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للمستطيل‬ x=2
  • 111.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫يمكن‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ماهي‬ 8 cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 12 cm . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - = ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ h - = ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - : ‫المثلثان‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ - 𝒓 𝟔 = 𝟖 − 𝒉 𝟖 ⟹ 𝟔(𝟖 − 𝒉) = 𝟖𝒓 ⟹ 𝟖 − 𝒉 = 𝟖 𝟔 𝒓 ⟹ 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓 … (𝟏) 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … . (𝟐) 𝑽(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 (𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓) = 𝝅 (𝟖𝒓𝟐 − 𝟒 𝟑 𝒓𝟑 ) 𝑽 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟏𝟔𝒓 − 𝟒𝒓𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒓𝝅(𝟒 − 𝒓) = 𝟎 (÷ 𝟒𝝅) ⟹ 𝒓 = 𝟎 ‫يهمل‬ 𝒐𝒓 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 (𝟒) = 𝟖 − 𝟏𝟔 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎 ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
  • 112.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ 6√𝟑 𝒄𝒎 . ‫القائمين‬ ‫اضالعه‬ ‫احد‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دوره‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ : - 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (6√𝟑) 𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔(𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐 … (𝟏) 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … (𝟐) 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐)𝝅𝒉 = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝝅 𝟑 (𝟑)(𝟑𝟔 − 𝒉𝟐) = 𝟎 ÷ 𝝅 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟔 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟕𝟐 = 𝟑√𝟖 𝒄𝒎 𝑽 = 𝟏 𝟑 (𝟕𝟐)𝝅(𝟔) = 𝟏𝟒𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟑 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫المخروط‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ارتف‬ ‫المخروط‬ ‫اع‬ 2011-1, 2014-1 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ h=6
  • 113.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫سعتها‬ ‫االعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الشكل‬ ‫اسطوانية‬ ‫علبة‬ 125 𝝅𝒄𝒎𝟑 ‫عندم‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬ . ‫ا‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقل‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫العلبة‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫العلبة‬ ‫حجم‬ : - 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝟏𝟐𝟓𝝅 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 … .(𝟏) 𝑺 = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅𝒉 . .. (𝟐) 𝑺(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅 ( 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 ) = 𝝅(𝒓𝟐 + 𝟐𝟓𝟎 𝒓 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 = 𝟎 𝟐𝒓𝟑 − 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝒓𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 ⟹ 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 (𝟓) 𝟐 = 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 = 𝟓 𝒄𝒎 ‫للعلبة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫العلبة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ ‫ارتفاع‬ ‫حجم‬ ‫اقل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للعلبة‬ r=5
  • 114.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫فاذا‬ ‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬ ‫صناعته‬ ‫في‬ ‫المستخدمة‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ 𝟏𝟎𝟖𝒎𝟐 ‫حجمه‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ ‫الخزان‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬ , .‫الغطاء‬ ‫كامل‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ً‫ا‬‫علم‬ .. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫ا‬ ‫لخزان‬ = y - ‫الخزان‬ ‫عرض‬ = x - = ‫الخزان‬ ‫طول‬ 2x ( )‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫من‬ : ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫القاعدتين‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = 𝑺 = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒙)𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙. 𝒙) ⟹ 𝟏𝟎𝟖 = 𝟐𝒚(𝟐𝒙 + 𝒙) + 𝟒𝒙𝟐 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟓𝟒 = 𝒚(𝟑𝒙) + 𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 … .(𝟏) 𝑽 = 𝟐𝒙𝟐 . 𝒚 . .. (𝟐) 𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 ( 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 ) = 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟑 ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) = 𝟎 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 = 𝟗 ⟹ 𝒙 = 𝟑𝒎 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟑) = 𝟔 𝒎 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐(𝟗) 𝟑(𝟑) = 𝟑𝟔 𝟗 = 𝟒 𝒎 ‫الخزان‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الخزان‬ ‫عرض‬ ‫الخزان‬ ‫ارتفاع‬ ‫للخزان‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ x=3 ‫الخزان‬ ‫طول‬