Uploaded byanasKhalaf4
916 views

2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل

تتناول الوثيقة مادة التفاضل و تطبيقاتها في الصف السادس الأدبي للعام الدراسي 2021-2022. تحتوي على شرح شامل لمختلف مواضيع الرياضيات مع أمثلة وحلول توضيحية، تهدف لتسهيل الفهم للطلاب. تشمل أيضًا تمارين إضافية تساعد على تعزيز المهارات الرياضية للمستوى الضعيف.

Embed presentation

Download to read offline
1 / 114
2 / 114
3 / 114
4 / 114
5 / 114
Most read
6 / 114
7 / 114
8 / 114
Most read
9 / 114
Most read
10 / 114
11 / 114
12 / 114
13 / 114
14 / 114
15 / 114
16 / 114
17 / 114
18 / 114
19 / 114
20 / 114
21 / 114
22 / 114
23 / 114
24 / 114
25 / 114
26 / 114
27 / 114
28 / 114
29 / 114
30 / 114
31 / 114
32 / 114
33 / 114
34 / 114
35 / 114
36 / 114
37 / 114
38 / 114
39 / 114
40 / 114
41 / 114
42 / 114
43 / 114
44 / 114
45 / 114
46 / 114
47 / 114
48 / 114
49 / 114
50 / 114
51 / 114
52 / 114
53 / 114
54 / 114
55 / 114
56 / 114
57 / 114
58 / 114
59 / 114
60 / 114
61 / 114
62 / 114
63 / 114
64 / 114
65 / 114
66 / 114
67 / 114
68 / 114
69 / 114
70 / 114
71 / 114
72 / 114
73 / 114
74 / 114
75 / 114
76 / 114
77 / 114
78 / 114
79 / 114
80 / 114
81 / 114
82 / 114
83 / 114
84 / 114
85 / 114
86 / 114
87 / 114
88 / 114
89 / 114
90 / 114
91 / 114
92 / 114
93 / 114
94 / 114
95 / 114
96 / 114
97 / 114
98 / 114
99 / 114
100 / 114
101 / 114
102 / 114
103 / 114
104 / 114
105 / 114
106 / 114
107 / 114
108 / 114
109 / 114
110 / 114
111 / 114
112 / 114
113 / 114
114 / 114
‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الثالث‬ ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
‫تقديم‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫المالزم‬ ‫الحديثة‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫كل‬ ‫مواضيع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫ط‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫وات‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬ ‫ش‬ ‫خالل‬ ‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫رح‬ ‫ا‬ ‫رسوم‬ ‫ضافة‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬ ‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫لة‬ ‫حو‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫ل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ً‫ا‬‫ساعي‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ‫دافه‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫الصعوبات‬ ‫ف‬ ‫والتحديات‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫أسأل‬ ‫له‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ " ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫االمثلة‬ ‫بعض‬ ‫مع‬ ‫االشتقاق‬ ‫قواعد‬ 1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 ==================================== ====================== 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5𝑥4 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = −6𝑥−7 C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥) 1 2 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 (𝑥) 3 2 E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 ========================================================= 3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙)) 𝒏−𝟏 . 𝒈 ́ (𝒙) Ex. A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2 − 14𝑥)5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5(6𝑥2 − 14𝑥)4 (12𝑥 − 14) B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2 3 ⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2) 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 (21𝑥 + 2) −2 3 (21) = 7 √(21𝑥+2)2 3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉 ́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈 ́ (𝒙) Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7𝑥) ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3 − 10) ============================================================= 5) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒉(𝒙).𝒈 ́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉 ́ (𝒙) (𝒉(𝒙))𝟐 Ex. 𝒇(𝒙) = (𝒙)𝟑 𝟒−𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏) (𝟒−𝒙)𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫المشتقة‬ ‫رموز‬ 1. 𝒚́ = 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2. 𝒚́ ́ = 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 3. 𝒚́ ́ ́ = 𝒇 ́ ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 4. 𝒚(𝒏) = 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝒅(𝒏)𝒚 𝒅𝒙(𝒏) =========================================================== :‫مثال‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ‫فجد‬ 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 . :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥 =========================================================== :‫مثال‬ ‫اذا‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ 𝑦2 + 𝑥2 = 1 : ‫ان‬ ‫على‬ ‫فبرهن‬ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 . ‫ا‬ :‫لحل‬ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 = 0 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 + 1 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ). 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 0 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ========================================================== ‫تمرين‬ 1 ‫جد‬ : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 : ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙) 𝟏 𝟐, ∀𝒙 < 𝟐 Sol/ 𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥) 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 (−1) = − 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 (−1) = − 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 = −1 4√(2 − 𝑥)3 ========================================================== b. 𝒚 = 𝟐−𝒙 𝟐+𝒙 , 𝒙 ≠ −𝟐 Sol/ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1) (2 + 𝑥)2 = −4 (2 + 𝑥)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1) (2 + 𝑥)4 = −(−4) (4 + 2𝑥) (2 + 𝑥)4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 16 + 8𝑥 (2 + 𝑥)4 ========================================================== C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎 Sol/ 2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 = −5 (2𝑥 − 4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2) (2𝑥 − 4)2 = 10 (2𝑥 − 4)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2)) (2𝑥 − 4)4 = −40 (2𝑥 − 4)4 ========================== ========== =============== 2 ) ‫جد‬ 𝒇 ́ ́ ́ (𝟏) ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑 𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥) 1 2 𝑓 ́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 1 2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)− 1 2 𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 3 2(−2) = −4(6 − 2𝑥)− 3 2 𝑓 ⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)− 5 2(−2) = −12(6 − 2𝑥)− 5 2 𝑓 ⃛(1) = −12 √(6 − 2(1))5 = −12 √(4)5 = −12 √1024 = −12 32 = −3 8
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 𝑓 ́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2 sin 𝜋𝑥 𝑓 ⃛(𝑥) = −𝜋3 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓 ⃛(1) = −𝜋3 cos 𝜋(1) = −𝜋3 (−1) = 𝜋3 ======================================================== c. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝟐−𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟐 𝑓(𝑥) = 3 2 − 𝑥 = 3(2 − 𝑥)−1 𝑓 ́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2 ⟹ 𝑓 ́ ́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3 ⟹ 𝑓 ́ ́ ́ (𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4 𝑓 ́ ́ ́ (1) = 18(2 − 1)−4 = 18(1)−4 = 18 . ======================================================== ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐 𝒙) :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sec2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 = 2 tan 𝑥 (1 + tan2 𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2𝑦 (1 + y2 𝑥) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0 . :‫الحل‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥 𝑦́ ́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑦́ ́ ́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝑦(4) = 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ [3-2] ‫المعدالت‬ ‫المرتبطة‬ Independent Equations 𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔́(𝑡) 𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 ́(𝑡) 1 . ‫ارسم‬ ‫مخططا‬ ‫للمسألة‬ ‫وحدد‬ ‫المتغيرات‬ ‫والثوابت‬ ‫وضع‬ ‫لها‬ ‫الرموز‬ ‫وحدد‬ ‫العالقة‬ ‫الرئيسية‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫السؤال‬ . 2 . ‫حاول‬ ‫إيجاد‬ ‫عالقة‬ ‫أخرى‬ ‫بين‬ ‫المتغيرات‬ ‫لكي‬ ‫تقلل‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫المتغيرات‬ . 3 . ‫نشتق‬ ‫الطرفين‬ ‫بالنسبة‬ ‫للمتغير‬ t ‫الزمن‬ 4 . ‫عوض‬ ‫معطيات‬ ‫السؤال‬ ‫من‬ ‫المتغيرات‬ ‫بعد‬ ‫االشتقاق‬ . : ‫مثال‬ ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬ 2m ‫يتسرب‬ ‫بمعدل‬ ‫الماء‬ ‫منه‬ 0.4 𝒎𝟑 /𝒉 ‫زمن‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . t . 𝑽 = 𝑨 𝒉 = 𝟐𝟐 . 𝒉 = 𝟒𝒉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ −0.4 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ‫متغير‬ ‫تابع‬ ‫متغير‬ ‫مستقل‬ ‫لحل‬ ‫أي‬ ‫سؤال‬ ‫يتعلق‬ ‫بالمعدالت‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ y ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ x ‫(مرب‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ = ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫مساحة‬ )‫عة‬ × ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ = ‫االرتفاع‬ × ‫االرتفاع‬ ‫او‬ ‫نقصان‬ ‫او‬ ‫تسرب‬ ‫سالبة‬ ‫اشارة‬ ‫نضع‬ ‫ذوبان‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = −0.1 𝑚/ℎ ‫تمرين‬ 5 : ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يزداد‬ , ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫تتغير‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫ا‬ ‫بمعدل‬ ‫لقاعدة‬ 0.3 cm/s ‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫وارتفاعه‬ 0.5cm/s ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ 4cm ‫االرتفاع‬ ‫و‬ 3 cm . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫المربعة‬ ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ = x = ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 0.3 cm/s ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ A = 𝒙𝟐  = ‫االرتفاع‬ h ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫تناقص‬ = ‫االرتفاع‬ 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 0.5 cm/s -  ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ 𝑽 = 𝑨 . 𝒉 𝑉 = 𝑥2 . ℎ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 + 2𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3 /𝑠 :‫مثال‬ ‫صف‬ ‫مساحتها‬ ‫المعدن‬ ‫من‬ ‫مستطيلة‬ ‫يحة‬ 96 𝒄𝒎𝟐 ‫بمعدل‬ ‫طولها‬ ‫يتمدد‬ . 2 cm/s ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫عرضها‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫وذلك‬ ‫عرضها‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ 8 cm . = ‫المستطيل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ X = ‫وعرضه‬ Y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ? 𝐴 = 𝑥 𝑦 96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 = 96 8 = 12 X y ‫مجهول‬ ‫العرض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫الطول‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ × ‫العرض‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫وباتعويض‬ ‫الحجم‬ ‫تناقص‬ ‫معدل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (96) = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 8(2) ⟹ −16 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 16 12 = − 4 3 𝒄𝒎/𝒔 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬ 8cm ‫بالذوبان‬ ‫الجليد‬ ‫بدأ‬ ‫فاذا‬ ,‫مكعبا‬ ‫يبقى‬ ‫شكله‬ ‫بحيث‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬ ‫بمعدل‬ 6 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بسمك‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫السمك‬ ‫هذا‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫الحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ 1 cm . ‫الحل‬ / = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ , = ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫عند‬ x=1 ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ = ‫الجليد‬ ‫حجم‬ - ‫االاصلي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ 𝑉 = (8 + 2𝑥)3 − 83 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 3(8 + 2𝑥)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 0 −6 = 3(8 + 2(1))2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −6 = 3(10)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 300 (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 600 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −6 600 = −1 100 = −0.01 𝑐𝑚/𝑠 :‫مثال‬ ‫طوله‬ ‫سلم‬ 10m , ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫انزلق‬ ‫فاذا‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫غن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ 2m/s ‫بعد‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ 8m ‫جد‬ . ‫الحائط‬ ‫عن‬ 1 ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ) 2 . ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬ ) 8 cm 8+2x cm  ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ = ‫المكعب‬ ‫حجم‬ . ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ 8+2x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ Sol/  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫اذ‬ . ‫الطرف‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫ن‬ = ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ y = ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫اذن‬ . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫مطلوب‬ ...  ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ 𝜽 ‫قطرية‬ ‫نصف‬ ‫زاوية‬  ‫ونجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫نطبق‬ ‫لذا‬ ‫مثلث‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الرسم‬ ‫من‬ y ‫ن‬ ‫ثم‬ ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫المعاليم‬ ‫ونعوض‬ ‫شتق‬ 𝑥2 + 𝑦2 = 102 ⟹ 82 + 𝑦2 = 100 𝑦2 = 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (10) 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2(8)(2) + 2(6) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 12 = −8 3 𝑚/𝑠 ‫معدل‬ ‫انز‬ ‫الق‬ ‫الطرف‬ ‫العلوي‬ −8 3 𝑚/𝑠 . ‫الزاويه‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫اليجاد‬ ‫االن‬ 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ sin 𝜽 = 𝑦 10 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (sin 𝜽) = 1 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ cos 𝜽 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 𝑥 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 8 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ⟹ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ( 10 8 ) = −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتعويض‬ ‫عن‬ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝟏𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫تمرين‬ ‫فاذا‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫االعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫سلم‬ ‫الطرف‬ ‫انزلق‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ 2m/s ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫واالرض‬ ‫السلم‬ 𝜋 3 . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ x  ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ y  ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝒎/𝒔  ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 =? tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ tan 𝜋 3 = 𝑦 𝑥 ⟹ √3 = 𝑦 𝑥 … . (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠2 ⟹ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 2 √3 𝑚/𝑠 ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ 𝒙 𝒚 ( ‫عالقة‬ ‫من‬ 1 )
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 2 : ‫طواله‬ ‫عمود‬ 7.2 m ‫طوله‬ ‫رجل‬ ‫يتحرك‬ , ‫مصباح‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ 1.8 m ‫بسرعة‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ 30 m/min . ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , Sol/  :‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ x ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ = ‫العمود‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 m/min  = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ y = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫؟‬ =  ‫ل‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتقها‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫محصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ t ‫ثم‬ . ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫نعوض‬ .8 1.8 7.2 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ⟹ 1 4 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 30 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 ‫نحصل‬ ‫معدل‬ ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫لالسفل‬ ‫ورأسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬ 24cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 16cm ‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فيه‬ ‫يصب‬ 𝟓 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بينما‬ ‫بمعدل‬ ‫السائل‬ ‫منه‬ ‫يتسرب‬ 𝟏 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ 12 cm . : ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r = ‫ارتفاعه‬ ‫و‬ h  = ‫السائل‬ ‫حجم‬ v(t) ‫المخرو‬ ‫حجم‬ = ‫ط‬ 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉  = ‫القطر‬ 16 ⟸ ‫القطر‬ ‫نصف‬ r = 8  ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫نحصل‬ ‫العالقة‬ ‫في‬ ‫نطبقها‬ ‫عالقة‬ ‫على‬ . ‫االولى‬ tan 𝜃 = 𝑟 ℎ = 8 24 ⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 = 8 24 ℎ = 1 3 ℎ 𝑣 = 1 3 𝜋𝑟2 ℎ = 1 3 𝜋( 1 3 ℎ)2 ℎ = 1 3 ( 1 9 ) 𝜋ℎ3 = 1 27 𝜋ℎ3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 3( 1 27 )𝜋ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡  ‫معدل‬ ‫تغير‬ ‫حجم‬ ‫السائل‬ ‫في‬ ‫المخروط‬ = ‫معدل‬ ‫الصب‬ - ‫معدل‬ ‫التسرب‬ . 4 = 1 9 𝜋(12)2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 4 = 144 9 𝜋 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 4 16𝜋 = 1 4𝜋 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑 /𝒔
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ M ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫متحركة‬ ‫نقطة‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫ابتعادها‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ( 0 , 7 ‫يساوي‬ ) 0.2 unit/s ‫للنقطة‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫جد‬ . M ‫يكون‬ ‫عندما‬ x=4 . Sol/  ‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫نفرض‬ ( ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ 0 , 7 ‫و‬ ) M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔  ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2 − 10𝑥 + 49) 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 2 (𝑥2 − 10𝑥 + 49)− 1 2 (2𝑥 − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0.2 = 1 2 (42 − 10(4) + 49)− 1 2 (2(4) − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = 1 2 (25)− 1 2 (−2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = −(52)− 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ [0.2 = − 1 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] × −5 ∴ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠 ‫نعوض‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫نعوض‬ 𝒙 = 𝟒 , 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫لتكن‬ M ‫المكافىء‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫نقطة‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫النقطة‬ ‫احداثي‬ ‫جد‬ , M ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫البتعادها‬ ‫الزمني‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫ثلثي‬ ‫يساوي‬ M . Sol/  ‫النقط‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫ة‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫و‬ M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =?  ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ M = 𝒅𝒚 𝒅𝒕  ‫احداثي‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ M ‫عندما‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3 2 )2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 = √𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (2𝑦 − 2) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 (𝑦 − 1) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 = 3(𝑦 − 1) 4𝑦2 − 8𝑦 + 9 = 9𝑦2 − 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2 − 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0 5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 Or 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2 ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2) ‫وبتعويض‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫وبتعويض‬ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Y=0 ‫النقطة‬ ‫تتحرك‬ ‫لن‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ M ‫عن‬ ‫مبنعده‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫االخرى‬ ‫النقطة‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫وبتربيع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 4 : ‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫جد‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ x ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يساوي‬ y ‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ t . Sol/ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ x = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫والمعدل‬ y = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫لدينا‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ⟹ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏) (𝟐 − 𝒚)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎 𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔 ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬  ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬ (a,b) 3 ) f(a) = f(b) ‫قيمة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫الشروط‬ ‫لهذه‬ ‫الدالة‬ ‫تحقيق‬ ‫من‬ ‫التأكد‬ ‫بعد‬ c ‫كل‬ ‫مكان‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫الدالة‬ ‫باشتقاق‬ x ‫بـ‬ c ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ c . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متحققة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ c ‫الممكنة‬ a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟒) ‫كثير‬ ‫النها‬ . ‫الحدود‬ ‫ة‬ 3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟑 = −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓 𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 = 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f ‫ايجاد‬ ‫اليمكن‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ c . c) 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] −𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏) Sol/  ‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الغاية‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫لذا‬ ‫جهتين‬ ‫من‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 𝑳𝟏 ‫ا‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫والغاية‬ ‫ليسار‬ 𝑳𝟐 ‫ثم‬ ‫ان‬ ‫من‬ ‫نتحقق‬ 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . ‫ال‬ ‫ام‬ 𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)+ 𝒙𝟐 + 𝟏 = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟐 𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)− −𝟏 = −𝟏 ∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫غير‬ [−𝟒, 𝟐] . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝒂, 𝒃] ‫النها‬ ‫ثابتة‬ ‫دالة‬ . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝒂, 𝒃) . 3) 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) ∴ ‫الدالة‬ f ‫وقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ c ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫قيمة‬ ‫اية‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ (𝒂, 𝒃) . ‫تمرين‬ 1 : ‫اوجد‬ ‫قيمة‬ c :‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تعينها‬ ‫التي‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟑, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟑, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 − 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) . 3) 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝒇(𝟐) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 + (−𝟐) 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐 ) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟏 ∈ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 −𝟏 ∉ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏 c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑)𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏) (𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏) ‫تمرين‬ 6 : ‫مب‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫رول‬ ‫رهنة‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ c . a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2 Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒 = (−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒 = (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√ 𝟏 𝟑 = ± 𝟏 √𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟏) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫لالشت‬ ‫قابلة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫قاق‬ (−𝟏, 𝟒) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫على‬ ‫بالقسمة‬ 4 ‫للطرفين‬ ‫التكعيبي‬ ‫الجذر‬ ‫اخذ‬ ‫ثم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = 𝟑 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟒) d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟐𝝅] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟐𝝅) 3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 = −𝟏 𝟐 ‫تهمل‬ Cos ‫هي‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫وبالتالي‬ ‫والثالث‬ ‫الثاني‬ ‫الربعين‬ ‫في‬ ‫سالب‬ 𝝅 𝟑
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝝅 − 𝝅 𝟑 = 𝟐𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 + 𝝅 𝟑 = 𝟒𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅)  ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬  ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (a,b) ‫نجد‬ ‫اعاله‬ ‫الشرطين‬ ‫تحقق‬ ‫بعد‬ ‫قيمة‬ c : 3 ) ‫المم‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫ويساوي‬ ‫اس‬ ‫للدالة‬ f ‫عند‬ c : 𝒇 ́ (𝒄) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 5 ) )‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫(ميل‬ ‫القاعدة‬ ‫نطبق‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 ‫حيث‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫هي‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ** 𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎 ‫وبالتالي‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,7] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,7) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏) 𝟕 − (−𝟏) = ((𝟕)𝟐 − 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐 − 𝟔(−𝟏) + 𝟒) 𝟖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟖 = 𝟎 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕) b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ f ‫عند‬ ‫مستمرة‬ a ‫ان‬ ‫وبما‬ a ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫هي‬ [−𝟒, 𝟎] ‫اذن‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟒, 𝟎] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟒, 𝟎) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒙 𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒) 𝟎 − (−𝟒) = (√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔) 𝟒 = 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟏 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 𝟒𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 ⟹ 𝟓𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓 ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ال‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫مماس‬ ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ √𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎) −√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 . :‫تمرين‬ ‫على‬ ‫التالية‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬ ‫امكانية‬ ‫اختبر‬ ‫السبب‬ ‫ذكر‬ ‫مع‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترات‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐 = 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏 −𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐) 𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,5] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,5) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒉 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) 𝟓 − (−𝟏) = (𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐 − 𝟒(−𝟏) + 𝟓) 𝟔 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟎 ∴ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓) c) 𝒈(𝒙) = 𝟒 𝒙+𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ ‫مجال‬ : ‫االستمرارية‬ g ‫هو‬ R/{x=-2} ‫ان‬ ‫وبما‬ -2 ‫الفترة‬ ‫خارج‬ [−𝟏, 𝟐] ‫اذن‬ ‫الدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . 2 ) ‫ا‬ ‫لدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = ( 𝟒 𝟐 + 𝟐 ) − ( 𝟒 −𝟏 + 𝟐 ) 𝟑 = 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 ∴ 𝒈 ́ (𝒄) = −𝟏 ⟹ −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = −𝟏 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐 + 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐) Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒 ⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ‫الدالة‬ B ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫الن‬ ‫مستمرة‬ R . 2 ) : ‫االشتقاق‬ ‫قابلية‬ 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟑 𝑩 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏)− 𝟏 𝟑 ‫هو‬ ‫المشتقة‬ ‫مجال‬ R/{-1} ‫لكن‬ -1 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ (-2,7) ‫الدالة‬ ‫اذن‬ B . ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ** ‫مالحظة‬ :- ‫سوف‬ ‫نقوم‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫مسائل‬ . ‫التقريب‬ :‫مثال‬ ‫جد‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫تقريبا‬ ‫مناسبا‬ ‫للعدد‬ √𝟐𝟔 Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 25 ‫للعدد‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫اقرب‬ b=26 ℎ = 26 − 25 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝑥 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(25) = 1 2√25 = 1 2(5) = 0.1 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓 ́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬ 𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏) Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫للعدد‬ b=1.001 ℎ = 1.001 − 1 = 0.001 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)2 + 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 6(1) + 4 = 13 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓 ́(1) = 13 + 0.001(13) = 13.013 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫على‬ ‫عشرية‬ ‫مراتب‬ ‫لثالث‬ ‫ومقربا‬ ‫تقريبية‬ ‫وبصورة‬ ‫جد‬ , ‫ة‬ : ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫االقل‬ a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑 𝟓 + (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒 + 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 5 + 𝑥4 + 3 = 𝑥 3 5 + 𝑥4 + 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.98 ℎ = 0.98 − 1 = −0.02 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13 5 + 14 + 3 = 5 𝑓 ́(𝑥) = 3 5 𝑥− 2 5 + 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3 5 (1)− 2 5 + 4(1)3 = 3 5 + 4 = 23 5 = 4.6 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓 ́(1) = 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908 ∴ √(0.98)3 5 + (0.98)4 + 3 ≅ 4.908 b) √𝟕. 𝟖 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=7.8 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 7.8 − 8 = −0.2 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖 𝟑 = 2 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 1 3 (23)− 2 3 = 1 12 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓 ́(8) = 2 − 0.2 ( 1 12 ) = 2 − 0.0166 = 1.9834 ∴ √𝟕. 𝟖 𝟑 ≅ 1.9834 c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟒 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 16 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=17 ℎ = 17 − 16 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟐𝟒 ) 𝟏 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 4 𝑥− 3 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(16) = 1 2 (𝟒𝟐 )− 1 2 + 1 4 (𝟐𝟒 )− 3 4 = 1 2 ( 1 4 ) + 1 4 ( 1 8 ) = 1 8 + 1 32 = 5 32 = 0.156 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓 ́(16) = 6 + 1(0.156) = 6.156 ∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 ≅ 6.156 d) √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.125 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.120 ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟑 = 0.5 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.125) = 1 3 (0.53)− 2 3 = 1 3 ( 1 0.25 ) = 4 3 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓 ́(0.125) = 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335 ∴ √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 ≅ 0.493335 :‫تمرين‬ : ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫تقريبا‬ ‫جد‬ a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 2 (𝟖𝟐 )− 1 2 + 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 2 ( 1 8 ) + 1 3 ( 1 16 ) = 1 16 + 1 48 = 4 48 = 1 12 = 0.083 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 12 − 1(0.083) = 11.917 ∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 ≅ 11.917 b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥4 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=1.04 ℎ = 1.04 − 1 = 0.04 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)4 = 1 + 3 = 4 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 12(1)3 = 15 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓 ́(1) = 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6 ∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 ≅ 4.6 c) 𝟏 √𝟗 𝟑 Sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟏 √𝒙 𝟑 = 𝒙− 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫العدد‬ ‫من‬ b=9 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 9 − 8 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑 )− 𝟏 𝟑 = 1 2 𝑓 ́(𝑥) = − 1 3 𝑥− 4 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = − 1 3 (𝟐𝟑 )− 4 3 = − 1 3 ( 1 16 ) = − 1 48 ≅ −0.02 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓 ́(8) = 0.5 + 1(−0.02) = 0.48 ∴ 𝟏 √𝟗 𝟑 ≅ 0.48 d) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 Sol/ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 100 ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ ‫للعدد‬ b=101 ℎ = 101 − 100 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(100) = 1 100 = 0.01 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = −1 𝑥2 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(100) = −1 (100)2 = −0.0001 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓 ́(100) = 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099 ∴ 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗 e) √ 𝟏 𝟐 = √𝟎. 𝟓𝟎 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥 1 2 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.49 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.50 ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝒙 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.49) = 1 2√𝟎. 𝟒𝟗 = 1 2(0.7) = 10 14 ≅ 0.728 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓 ́(0.49) = 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728 ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ √ 𝟏 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ 9.98 cm ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬ . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑉(𝑥) = 𝑥3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 10 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=9.98 ℎ = 9.98 − 10 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3 = 1000 𝑉 ́ (𝑥) = 3𝑥2 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (10) = 3(10)2 = 300 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10) = 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3 :‫مثال‬ ‫ل‬ ‫تكن‬ 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 ‫تغيرت‬ ‫فاذا‬ x ‫من‬ 8 ‫الى‬ 8.06 ‫؟‬ ‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫فما‬ , Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2 3 = (𝑥) 2 3 𝑓 ́(𝑥) = 2 3 𝑥− 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 2 3 (23)− 1 3 = 1 3 = ℎ . 𝑓 ́(𝑎) = ℎ . 𝑓 ́(8) = 0.06 ( 1 3 ) = 0.02 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬ ‫الدالة‬ 𝒂 = 𝟖 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔 𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔 ‫التقريبي‬ ‫التغير‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫ي‬ ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫طالء‬ ‫راد‬ 10 cm ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ 0.15cm ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫اوجد‬ . ‫تقربية‬ / Sol ‫طالء‬ ‫بدون‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 ‫المطلي‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝑽 ́ (𝒂) = 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 3 : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ 6 cm ‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طليت‬ 0.1 cm . ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ Sol/ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫طالء‬ ‫بدون‬ 𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎 ‫الكر‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ة‬ ‫المطلي‬ ‫ة‬ 𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الدالة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒓) = 𝟒 𝟑 (𝟑)𝝅𝒓𝟐 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 4 : ‫حجمها‬ ‫كرة‬ 𝟖𝟒 𝛑 ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫جد‬ , . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒𝝅 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒 ( 𝟑 𝟒 ) = 𝒓𝟑 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑 𝟑 𝑟(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟒 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 3 ( 1 16 ) = 1 48 ≅ 0.021 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) = 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚 ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نستخدم‬ ‫الجذر‬ ‫لهذا‬ ‫تقريب‬ ‫واليجاد‬ ‫ة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 2.98 cm ‫حجمه‬ ‫فجد‬ . ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ Sol/  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ r = ‫وارتفاعه‬ x 𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑥 2 𝑉 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟑 𝝅( 𝑥 2 ) 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ∴ 𝑉(𝑥) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 3 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=2.98 ℎ = 2.98 − 3 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(3) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅(3) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝝅 = 𝟗 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉 ́ (𝑥) = 𝟑 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟐 = 𝟏 𝟒 𝝅𝑥𝟐 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (3) = 𝟑𝟐 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3) = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬ : ‫مالحظات‬  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬ x  ‫ق‬ ‫نضع‬ ‫يم‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ - - - - - ) :‫مثال‬ ‫وا‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ ‫لتناقص‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐 = 𝟎 ⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐 = 𝟗 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < −1} ‫و‬ {x: x > 3} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: −1 < x < 3} b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑√𝒙 𝟑 ‫ع‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬ ‫هنا‬ ‫ندما‬ x=0 ‫غير‬ ‫قيمة‬ ‫وهذه‬ ‫صفر‬ ‫سيكون‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ .) ‫حرج‬ ‫عدد‬ ( ‫معرفة‬ ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: x > 0} ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫لتكن‬ -2 ‫بين‬ ‫عدد‬ -1 ‫و‬ 3 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 3 ‫وليكن‬ 4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫النهاية‬ ‫العظمى‬ ‫والنهاية‬ ‫الصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ :  ‫الدال‬ ‫نشتق‬ ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫ة‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ - - - - - )  : ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نحدد‬ ( + + + ( ‫ثم‬ ) - - - ( , ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ) - - - ( ‫ثم‬ ) + + + ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫النهايات‬ ‫احداثيات‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫جد‬ : a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −) 𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟑(𝟎) 𝟐 − 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫مت‬ ‫تكون‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ناقصة‬ {𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫و‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟒} ‫النقطة‬ (2,20) ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫النقطة‬ (4,16) ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫عددبين‬ 2 ‫و‬ 4 ‫ول‬ ‫يكن‬ 3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 4 ‫وليكن‬ 5 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟗(𝟐)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟐) = 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑 − 𝟗(𝟒)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟒) = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫االن‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫قالب‬ :  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ونساوي‬ ‫للدالة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫مقعرة‬ )+++++(  ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المشتقة‬ ‫ت‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫محدبة‬ ( - - - - - )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬ :‫مثال‬ : ‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫ادرس‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹 ∴ ‫ا‬ ‫لدالة‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ R .
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫تكون‬ ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟎} ‫والدالة‬ f ‫تكون‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟎} ‫النقطة‬ (0,0) ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟎, 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 = 𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للمنحني‬ ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 2 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , 11 8 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟐( 𝟏 𝟐 ) + 𝟏 = 𝟐 𝟖 − 𝟑 𝟒 − 𝟔 + 𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟖
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للدوال‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ : ‫التالية‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 = 𝟏𝟐 ⟹ (+ ) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐} ‫النقط‬ (0, 0) ‫و‬ (2,16) ‫نقط‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) 𝟑 − (𝟎)𝟒 = 𝟎 𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ‫بين‬ ‫عدد‬ 2 ‫و‬ 0 ‫وليكن‬ 1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟎)‫غير‬ ‫معرفة‬ 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐 (−𝟏) 𝟑 = −𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐 (𝟏) 𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟎} ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ R/{0} . ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 (÷ −12) (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐 = −𝟒𝟖 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < −2} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟐} ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) < 𝟎 ⟹ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ −2 ‫وليكن‬ -3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -2 ‫وليكن‬ 0 ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 6 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹  ‫اختبار‬ ‫المشتقة‬ ‫الثانية‬ ‫لنقط‬ ‫النهايات‬ ‫العظمى‬ ‫والصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫قيم‬ ‫بتعويض‬ ‫وذلك‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ x ‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫االولى‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ : ‫ت‬  . ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  . ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  = ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 0 ‫المشتقة‬ ‫وتستخدم‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ ‫استخدام‬ ‫يصح‬ ‫فال‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫انها‬ ‫او‬ . ‫االولى‬ :‫مثال‬ ‫اختبا‬ ‫باستخدام‬ : ‫االتية‬ ‫للدوال‬ ‫المحلية‬ ‫النهايات‬ ‫جد‬ , ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ر‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ x=1 . 𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2) ‫الدالة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟖𝒙 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 + 8 = 0 ⟹ 𝒙𝟑 = −8 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐𝟒 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟐) = −𝟐𝟒 (−𝟐)𝟒 = −𝟐𝟒 𝟏𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-2 . 𝒇(−𝟐) = −𝟐 − 𝟒 (−𝟐)𝟐 = −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-1 . 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏)𝟐 − 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓 ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ (−1,5) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ x=3 . 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕 ⟹ (3,27) d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f = َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫االول‬ ‫المشتقة‬ ‫الختبار‬ ‫ونعود‬ ‫هنا‬ ‫تصح‬ ‫ال‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ . ‫ى‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ -2 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏) 𝟒 = 𝟒 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟏} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < −𝟏} ‫والنقطة‬ (-1,4) ‫نه‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫اية‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ a ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫علما‬ , x=1 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫ثم‬ , sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟏𝟑 = 0 𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 = −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑 = − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝑥 = −√ 𝟏 𝟐 𝟑 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫انقالب‬ x=1 2013 - 1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (−√ 𝟏 𝟐 𝟑 ) = 𝟐 − 𝟐 (− √ 𝟏 𝟐 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎 ∴ ‫الدالة‬ f ‫ت‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫متلك‬ 𝑥 = −√ 1 2 3 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫وال‬ ‫تمرين‬ 6 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 , . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 + 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 = −𝒂 𝟐 ⟹ 𝑥 = √ −𝒂 𝟐 3 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (√ −𝒂 𝟐 3 ) = 𝟐 − 𝟐𝒂 (√ −𝒂 𝟐 3 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟐𝒂 −𝒂 𝟐 = 2 + 4 = 6 > 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫لها‬ ‫وليس‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نساوي‬ ‫النهايات‬ ‫وجود‬ ‫لنختبر‬ ‫المشتقة‬ ‫قيمة‬ ‫ونجد‬ ‫بالصفر‬ ‫االولى‬ x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ ‫الثابتين‬ ‫قيمتي‬ ‫عين‬ a , b ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ x=-1 ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫ونهاية‬ x=2 . ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 ́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏) 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐) 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏) −𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐) −𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 = −9 6 = −3 2 𝟑 − 𝟐 ( −3 2 ) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ x=-1 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫تمت‬ ‫نهاية‬ ‫لك‬ ‫عند‬ ‫صغرى‬ x=2 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ a ‫في‬ ‫معادلة‬ 1 ... ‫نحصل‬ 2013 – 3 , 2012-1 ‫قيمتي‬ ‫وبتعويض‬ b,a ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ... ‫نحصل‬ ‫وبالمشتقة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , − 𝟏𝟑 𝟒 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ :‫مثال‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟏} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝐱: 𝐱. 𝟏} ‫المستقيم‬ ‫ويمس‬ 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ‫النقطة‬ ‫عن‬ (3,1) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟔( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟖 − 𝟑 = − 𝟏𝟑 𝟒 ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {x: x < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {x: x. 1} ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫فانها‬ x=1 2014-1
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟗 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟗 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 −𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑 + 𝒃(𝟑)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑) −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂 ⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑 𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏 ‫تمرين‬ 7 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ‫يمس‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ‫عن‬ ‫د‬ ‫النقطة‬ (2,-1) ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫للمنحني‬ ‫وكان‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . ‫نوع‬ ‫وما‬ .‫النهاية‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ‫ف‬ ) ( ‫ي‬ 2 ) ‫قيمتي‬ ‫بتعويض‬ a,b ( ‫في‬ 3 )
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 ⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐) 𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒃 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄 −𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫في‬ ) 2 ) ‫النقطة‬ (2,-1) ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫قيمتي‬ ‫نعوض‬ a , b ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫اذا‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬ ‫عند‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ∀𝐱 > 𝟏 ‫ومحدبة‬ ∀𝐱 < 𝟏 ‫وللدالة‬ f ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ (-1,5) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇(−𝟏) = 𝒂(−𝟏)𝟑 + 𝒃(−𝟏)𝟐 + 𝒄(−𝟏) 𝟓 = −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 … . (𝟏) 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟑𝒂(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(−𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟓 … . (𝟏) 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) 𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟓 … (𝟑) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟒) 𝟐𝒂 + 𝟑𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝟓𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 𝟑(𝟏) − 𝟐(−𝟑) + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟑 + 𝟔 + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟗 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫مقعرة‬ ∀x > 1 ‫ومحدبة‬ ∀x < 1 ‫فانها‬ ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫للدالة‬ f ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ (-1,5) 2012-3 , 2015-1 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ينتج‬ ) ‫نعوض‬ ( 4 ) ( ‫في‬ 3 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a ( ‫في‬ 4 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a,b ( ‫في‬ 2 )
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 , ‫متماسان‬ ‫عن‬ ‫د‬ ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫المنحني‬ f ‫وهي‬ (1,-11) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 ⟹ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟏𝟐 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟑𝒂(𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟏) + 𝒄 = 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 −𝟏𝟐 = 𝟑𝒂 + 𝟐 + 𝒄 … (𝟐) 𝟑𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) + 𝒄 = −𝟏𝟐 𝟑𝒂 − 𝟔𝒂 + 𝒄 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐….(𝟑) 𝒇(𝟏) = 𝒂(𝟏)𝟑 + 𝒃(𝟏)𝟐 + 𝒄(𝟏) ⟹ −𝟏𝟏 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 … (𝟒) −𝟏𝟏 = 𝒂 − 𝟑𝒂 + 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (1,-11) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫و‬ ) 3 ( ‫في‬ ) 4 ) 2013, 2014, 2017
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 = 𝟑(𝟏) − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = −𝟗 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 ‫تساوي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 8 ‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫ونقطة‬ x=1 . ‫فجد‬ ‫قيمة‬ a,b . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂 = −𝟔 ⟹ 𝒂 = −𝟏 ∴ 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = −𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟔(−𝟏) = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = −𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟔(𝟏) = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟑 + 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝒄 = −𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝒄 2015 – 2 , 2015-2 ‫خارجي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫اشا‬ ‫الختبار‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫رة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟖 = 𝟒 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 ‫تمرين‬ 4 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 6 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تمثل‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 ‫فجد‬ ‫قيمة‬ 𝒄 ∈ 𝑹 . ‫انقالبه‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المنحني‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟑(−𝟏)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟑(𝟑)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − − ) 𝒇(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐 − (𝟎)𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟔 ⟹ 𝒇(𝟏) = 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 + 𝟔 = 𝟖 2016 - 3 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫الختبار‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=0 ‫نق‬ ‫اذا‬ ‫هي‬ ‫المنحني‬ ‫انقالب‬ ‫طة‬ (1,8) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ..
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒎 = 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟏) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) ⟹ (𝒚 − 𝟖) = 𝟑(𝒙 − 𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 ‫تمرين‬ 1 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 ‫ان‬ ‫حيث‬ 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} , 𝒃 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫جد‬ . a : ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫أ‬ - ‫الدالة‬ f ‫ب‬ ‫محدبة‬ – ‫الدالة‬ f ‫مقعرة‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝒂 𝒇 ́ ́ (𝒙) < 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 < 𝟎 ⟹ 𝒂 = −𝟒 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 > 𝟎 ⟹ 𝒂 = 𝟖 ‫تمرين‬ 2 ‫لتكن‬ : (2,6) ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝒂 , 𝒃 ∈ 𝑹 . ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫وبين‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝒃)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝟐) = −𝟒(𝟐 − 𝒃)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ‫أ‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫اقل‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ ‫محدبة‬ 0 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} ‫ب‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ 0 ‫الدالة‬ f ‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تملك‬ x=2 ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ √(𝟐 − 𝒃)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝟐 − 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝟐 𝒇(𝟐) = 𝒂−(𝟐 − 𝟐)𝟒 ⟹ 𝒂 = 𝟔 𝒇(𝒙) = 𝟔−(𝒙 − 𝟐)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟑 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(−𝟖) = 𝟑𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟒(𝟑 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫وال‬ ‫نقطة‬ (2,6) ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (2,6) ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫الدالة‬ f ‫نعوض‬ ‫لذا‬ x=2 ‫و‬ f(2)=6 ‫و‬ b=2 ‫اشارة‬ ‫نختبر‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫لبيان‬ ‫االولى‬ ‫االمشتقة‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫ول‬ ‫يكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫رسم‬ ‫المخطط‬ ‫البياني‬ ‫للدالة‬ Graphing Function
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) ( :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ 0,0 . ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ) 3 ) ‫ن‬ ‫الدالة‬ :‫التناظر‬ ‫وع‬ f : ‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟓 = −(𝒙)𝟓 = −𝒇(𝒙) 4 ) . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :‫المحاذيات‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟓𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ‫ال‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ) .‫نهاية‬ ‫تمثل‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟎𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ) ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ . 𝒙 -2 -1 0 1 2 𝒚 = 𝒙𝟓 -32 -1 0 1 32
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑦 = 4 ⟹ (0,4) 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اهمال‬ ‫يمكن‬ ‫لذا‬ ‫العادية‬ ‫بالطرق‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اليمكن‬ x ‫واخذ‬ . ‫عنها‬ ‫بدال‬ ‫اضافية‬ ‫نقاط‬ 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑 − 𝟑(−𝒙)𝟐 + 𝟒 = −𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 ≠ 𝒇(𝒙) ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اذا‬ y . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫وال‬ 4 ) ‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 2} ‫في‬ ‫ومتناقصة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 2} 𝑓(0) = (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ (0,4) ‫وبالتالي‬ ( 4,0 ) ‫نقطة‬ .‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ 𝑓(2) = (𝟐)𝟑 − 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟒 = 𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ (2,0) ( ‫وبالتالي‬ 2,0 .‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} . 𝑓(1) = (𝟏)𝟑 − 𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟒 = 𝟏 − 𝟑 + 𝟒 = 𝟐 ⟹ (1,2)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫وبالتالي‬ (1,2) .‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ 𝒙 -1 0 1 2 3 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 0 4 2 0 4 :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟎) − 𝟏 𝟎 + 𝟏 = −𝟏 ⟹ 𝑦 = −1 ⟹ (0, −1)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟏 𝟑 ⟹ ( 𝟏 𝟑 , 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫م‬ ‫وال‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ع‬ 1 ‫لمجال‬ ‫ينتمي‬ ‫بينما‬ ‫الدالة‬ -1 . ‫الينتمي‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 − 𝟑𝒙 = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟑) = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟑 ⟹ 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟑 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟑) − (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟒 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏}
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟖(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫التملك‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫الن‬ -1 ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ . 𝒙 0 𝟏 𝟑 𝒚 -1 0
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒙𝟐+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟐 (−𝒙)𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒇(𝒙) ∴ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫المنحني‬ Y 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎 ≠ 𝟎 ∴ . ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒚𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟎 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙) − (𝒙𝟐 )(𝟐𝒙) (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < 0} f(0) = 0 ⟹ (0,0) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐(𝟐) − [𝟐𝒙(𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙)] (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 0 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 3𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝑥 = ±√ 1 3 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −1 √3 } ‫و‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1 √3 } . ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومقعرة‬ {𝑥: −1 √3 < 𝑥 < 1 √3 } 𝒇 (± 1 √3 ) = (± 1 √3 ) 𝟐 (± 1 √3 ) 𝟐 + 𝟏 = 1 3 1 3 + 𝟏 = 1 3 4 3 = 1 4 ∴ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ( 1 √3 , 1 4 ) ‫و‬ (− 1 √3 , 1 4 ) . 𝒙 0 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 1 4 1 4 ‫تمرين‬ : ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ ‫ات‬ ‫الد‬ :‫التالية‬ ‫وال‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 10 ⟹ (0,10)
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ (𝟓 + 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟓 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟑 ⟹ 𝒙 = −𝟑 𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −𝟑 𝟐 } ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 > −𝟑 𝟐 } f(0) = 𝟏𝟎 − 𝟑 ( −𝟑 𝟐 ) − ( −𝟑 𝟐 ) 𝟐 = 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟐 − 𝟗 𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟗 𝟒 = 𝟒𝟗 𝟒 ⟹ ( −𝟑 𝟐 , 𝟒𝟗 𝟒 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟐 < 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫في‬ . ‫مجالها‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 -5 2 0 −𝟑 𝟐 𝒚 0 0 10 49 4 b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 3 ⟹ (0,3)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = −𝟑 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = −𝟒 𝟐 = −𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > −2} ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −2} f(−2) = (−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) + 𝟑 = 𝟒 − 𝟖 + 𝟑 = −𝟏 ⟹ (−𝟐, −𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ . ‫مجالها‬ ‫في‬ 𝒙 0 -1 -3 -2 𝒚 3 0 0 -1 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫م‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫حور‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 2 ⟹ (0,2)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 = −1 ‫بالجذر‬ ⟹ 1 − 𝑥 = −1 ⟹ 𝑥 = 𝟐 ⟹ (2,0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝟏 − 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 2011-2, 2013-2, 2016-‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 1} . ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔(𝟏 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟏 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒙 0 2 1 𝒚 2 0 1 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥(𝟔 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝑥(√6 − 𝑥)(√6 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√6, ⟹ (0,0), (√6, 0), (−√6, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) ‫االشتقا‬ :‫ق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟐 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±√𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −√𝟐 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > √𝟐 } ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: −√𝟐 < 𝑥 < √𝟐 } f(−√𝟐 ) = 𝟔(−√𝟐 ) − (−√𝟐 ) 𝟑 = −𝟔√𝟐 + 𝟐√𝟐 = −𝟒√𝟐 ⟹ (−√𝟐 , −𝟒√𝟐 ) f(√𝟐 ) = 𝟔(√𝟐 ) − (√𝟐 ) 𝟑 = 𝟔√𝟐 − 𝟐√𝟐 = 𝟒√𝟐 ⟹ (√𝟐 , 𝟒√𝟐 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 𝒙 0 √𝟔 −√𝟔 √𝟐 −√𝟐 𝒚 0 0 0 𝟒√𝟐 −𝟒√𝟐 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{0} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : y ‫الن‬ 0 .‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : X ‫التوج‬ ‫النه‬ ‫ل‬ ‫قيمة‬ ‫د‬ x ‫تجعل‬ y=0 𝒚 ≠ 𝟎 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ :‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫الدالة‬ 𝒇(−𝒙) = − 𝟏 𝒙 = −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 = 𝟎  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟏 𝒙 ⟹ 𝒚𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟎
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{𝟎} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ ‫نهاية‬ . 𝒇 ́ (𝒙) = −(𝒙)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} . ‫التملك‬ ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ 0 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 -1 2 𝒚 -1 0.5
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ f) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y : 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = −𝟏 𝟏 = −𝟏 ⟹ (𝟎,−𝟏)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x : 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ :‫الن‬ ‫متناظرة‬ −𝟏 ∉ 𝒇‫مجال‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟏) = −𝟏 − 𝒚 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟏 2016 -2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫ا‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫لفترة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫التملك‬ -1 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 0 1 -2 -3 𝒚 -1 0 3 2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ g) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫التقا‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫طع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐(𝟐 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝒙𝟐 (√2 − 𝑥)(√2 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√2, ⟹ (0,0), (√2, 0), (−√2, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ y : ‫ألن‬ 𝒇(−𝒙) = 𝟐(−𝒙)𝟐 − (−𝒙)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏 − 𝒙𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 2012-2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: −1 < 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏} ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 𝟏} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < −1} f(−𝟏) = 𝟐(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (−𝟏, 𝟏) f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) f(𝟏) = 𝟐(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒙 = ± 𝟏 √𝟑 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: − 𝟏 √𝟑 𝑥 < 𝟏 √𝟑 } ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏 √𝟑 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < − 𝟏 √𝟑 } f ( 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐( 𝟏 √𝟑 )𝟐 − ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ ( 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) f (− 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐(− 𝟏 √𝟑 )𝟐 − (− 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ (− 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) 𝒙 0 √𝟐 −√𝟐 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 0 0 𝟓 𝟗 𝟓 𝟗 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫صغرى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ h) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏 𝒙𝟐+𝟏 i) 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟐 j) 𝒇(𝒙) = 𝟔 𝒙𝟐+𝟑
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬ ‫مسا‬ ‫لحل‬ :‫والصغى‬ ‫العظمى‬ ‫بالنهايات‬ ‫المتعلقة‬ ‫ئل‬  . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫او‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عبارة‬ ‫على‬ ‫عادة‬ ‫المسائل‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫يحوي‬  . ‫المتغيرات‬ ‫ونفرض‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫المسألة‬ ‫يوضح‬ ‫شكال‬ ‫نرسم‬  .‫المسألة‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫نعين‬  ‫م‬ ‫بعالقة‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫المتغيرات‬ ‫نربط‬ ‫ان‬ ‫نحاول‬ . ‫ا‬  . ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫لتصبح‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫في‬ ‫العالقة‬ ‫نعوض‬  ( , ‫النهايات‬ ‫انوع‬ ‫ونحدد‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نجد‬ ‫اكبر‬ |‫صغرى‬ ‫نهاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عظمى‬ ‫نعاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ) :‫مثال‬ . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫اضيف‬ ‫اذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = x ⟸ = ‫العدد‬ ‫مربع‬ 𝒙𝟐 . 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟏 ⟹ 𝒙 = − 𝟏 𝟐 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ∴ ‫هو‬ ‫العدد‬ − 1 2 . ‫الدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = − 𝟏 𝟐
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ = ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫صندوق‬ 12 cm ‫اربعة‬ ‫بقص‬ ‫وذلك‬ ‫اركانه‬ ‫من‬ ‫االبعاد‬ ‫متساوية‬ ‫صغيرة‬ ‫مربعات‬ ‫ا‬ ‫لهذه‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬ ‫ماهو‬ , ‫منها‬ ‫البارزة‬ ‫االجزاء‬ ‫ثني‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫العلبة‬ /‫الحل‬ = ‫المقطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ x ⟸ = ‫الصندوق‬ ‫اضالع‬ 12-2x, 12-2x, x ‫الصندوق‬ ‫حجم‬ V ‫الطول‬ = × ‫العرض‬ × ‫االرتفاع‬ 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙) 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)𝟐 = 𝒙(𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) = 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟐(𝟏𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ (𝟔 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 X=6 ‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غير‬ 12-2(6)=12-12=0 ‫فأن‬ ‫لذا‬ x=2 𝑽 ́ ́ (𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟐𝟒(𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 < 𝟎 𝑽(𝟐) = 𝟐(𝟏𝟐 − 𝟐(𝟐))𝟐 = 𝟐(𝟖)𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑 ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = 𝟐 ‫اذا‬ ‫هو‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 12 cm ‫ثم‬ , ‫كنسبة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝟑√𝟑 𝟒 . / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ , b = 2x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫لنجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫مبرهنة‬ ‫نستخدم‬ 𝑥2 + (ℎ − 12)2 = 144 𝑥2 + ℎ2 − 24ℎ + 144 = 144 𝑥2 = 24ℎ − ℎ2 ⟹ 𝒙 = √𝟐𝟒𝒉 − ℎ2 … (𝟏) ‫بما‬ ‫تمثل‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫المثلث‬ ‫بعدي‬ ‫ايجاد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫مسا‬ ‫القاعدة‬ ‫نصف‬ = ‫المثلث‬ ‫حة‬ × ‫االرتفاع‬ 𝐴(ℎ) = 1 2 𝑏ℎ = 1 2 (2𝑥)ℎ = 𝑥ℎ = 𝒉√𝟐𝟒𝒉 − ℎ 2 = √𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 𝟐√𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 ⟹ 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 = 0 ⟹ 𝟒ℎ 2 (18 − ℎ) = 0 ⟹ ℎ 2 = 0 𝑜𝑟 ℎ = 18 ℎ = 18 𝑐𝑚 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫الن‬ h ‫الجذر‬ ‫توحيد‬ ‫فيمكن‬ ‫موجبة‬ h=0 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 = √𝟐𝟒(𝟏𝟖) − (18) 2 = √𝟏𝟎𝟖 = 𝒙 = 𝟔√𝟑 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟔√𝟑) = 𝟏𝟐√𝟑 𝒄𝒎 𝑨𝟏 = 𝝅𝑟2 = 𝜋(12) 2 = 144 𝜋 𝑐𝑚2 𝑨𝟐 = 𝒙𝒉 = 𝟔√𝟑(18) = 108√𝟑 𝑐𝑚2 ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫الدائرةمساحة‬ = 𝑨𝟐 𝑨𝟏 = 108√𝟑 144 𝜋 = 𝟑√𝟑 𝟒𝝅 ========================================================= : ‫مثال‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫مسنتطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 24 cm ‫وارتفاعه‬ 18cm ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورين‬ ‫رأسين‬ ‫ان‬ ‫بحين‬ .‫ساقيه‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫الباقيين‬ ‫والرأسين‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ / ‫الحل‬ ‫نفرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬ = y , ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ = x ‫نفرض‬ ‫هي‬ ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ bcq ‫هي‬ ‫الصغير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ ‫نفرض‬ btr ‫المثلثان‬ bcq , btr ‫زواياهم‬ ‫لتساوي‬ ‫متشابهان‬ ‫نحصل‬ ‫التشابه‬ ‫ومن‬ . ‫المتناظرة‬ 𝑏𝑎 𝑏𝑞 = 𝑡𝑟 𝑐𝑞 ⟹ 18 − 𝑥 18 = 𝑦 24 ⟹ 𝒚 = 24(18 − 𝑥) 18 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 𝑥) … (1) 𝑨 = 𝒙 𝒚 ‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ ‫المساحتين‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫اليجاد‬ ‫رة‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ 2013 - 2 ‫و‬ 2015 - ‫ت‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨(𝒙) = 𝒙 ( 4 3 (18 − 𝑥)) = 4 3 (18𝑥 − 𝑥2) 𝑨 ́ (𝒙) = 4 3 (18 − 2𝑥) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 4 3 (18 − 2𝑥) = 0 × 𝟑 𝟒 ⟹ 2𝑥 = 18 ⟹ 𝒙 = 𝟗 𝒄𝒎 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 9)= 4 3 (9) = 12 𝑐𝑚 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> : ‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ومربع‬ ‫دائرة‬ ‫محيطي‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 60 cm ‫عن‬ ‫انه‬ ‫أثبت‬ . ‫مساحتي‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫دما‬ . ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫فان‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الشكلين‬ /‫الحل‬ = ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬ r = ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬ x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ : ‫المحيطين‬ ‫مجموع‬ ( 60 cm ) ‫المربع‬ ‫محيط‬ = ( 4 × )‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫الدائرة‬ ‫محيط‬ + ‫القطر‬ ‫(نصف‬ × 𝟐𝝅 ) 𝟒𝒙 + 𝟐𝝅𝒓 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟔𝟎 − 𝟒𝒙 𝟐𝝅 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙) … . . (𝟏) 𝑨(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒓𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + ( 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙))𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)) = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝝅 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ + ‫المربع‬ ‫مساحة‬ = ‫الدالة‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 )
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) = 𝟎 × 𝝅 ⟹ 𝟐𝝅𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝝅𝒙 − 𝟔𝟎 + 𝟒𝒙 = 𝟎 ∴ 𝟒𝒙 + 𝝅𝒙 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙( 𝝅 + 𝟒) = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟎 ( 𝝅 + 𝟒) … (𝟐) 𝒓 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐( 𝟔𝟎 ( 𝝅+𝟒) ))= 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 ( 𝝅+𝟒) ) = 𝟑𝟎 𝝅+𝟒 𝒄𝒎 ∴ 𝒙 = 𝟐𝒓 ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 𝑨 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 + 𝟏 𝝅 > 𝟎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> :‫مثال‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ y2 − x2 = 3 ‫بحيث‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقرب‬ ‫تكون‬ ( ‫للنقطة‬ 4 , 0 . ) /‫الحل‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ p(x,y) .‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ 𝐱𝟐 = 𝐲𝟐 − 𝟑 … (𝟏) 𝐬 = √(𝐱 − 𝟎)𝟐 + (𝐲 − 𝟒)𝟐 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝐲𝟐 − 𝟑 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ∴ 𝒔(𝒚) = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 𝒔́(𝒚) = 𝟒𝒚 − 𝟖 𝟐√𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ⟹ 𝒔́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟖 ⟹ 𝒚 = 𝟐 𝐱𝟐 = (𝟐)𝟐 − 𝟑 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = ±𝟏 ∴ ‫النقاط‬ (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐) ( ‫نعوض‬ 2 ( ‫في‬ ) 1 ) ‫ال‬ ‫اذا‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫دالة‬ ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ( ‫في‬ ‫نعوض‬ 1 ‫احداثي‬ ‫اليجاد‬ ) x
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫جد‬ = ‫مجموعهما‬ ‫موجبين‬ ‫عددين‬ 75 ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫االخر‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ‫احدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ . ‫يمكن‬ /‫الحل‬ ‫اال‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = ‫ول‬ x = ‫والثاني‬ y ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ = ‫العددين‬ ‫مجموع‬ : x+y = 75 ‫الدالة‬ = ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ : 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝒚 … (𝟏) 𝒇 = 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒇(𝒚) = 𝒚𝟐(𝟕𝟓 − 𝒚) = 𝟕𝟓𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 𝒇 ́ (𝒚) = 𝟏𝟓𝟎𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒚(𝟓𝟎 − 𝒚) = 𝟎 ∴ 𝒚 = 𝟎 𝒚 = 𝟓𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫قمة‬ y ‫الضرب‬ ‫معادلة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬ ‫هنا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 50
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫االسطوانة‬ = h 2 , = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ r ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ه‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ي‬ V 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐(𝟐𝒉) … . (𝟏) 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟒√𝟑 )𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 (𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝝅(𝟒𝟖 − 𝒉𝟐)(𝟐𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) = 𝟎 𝟑𝒉𝟐 = 𝟒𝟖 ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒉 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟑𝟐 𝒄𝒎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ال‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫مستطيل‬ 2x = ‫وعرضه‬ y ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫المطاوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ 2x . y : ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟒√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔(𝟐) ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫االسطوانة‬ 2012 - 3 2012 – 1 , 2013 - ‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 … (𝟏) 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 . √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟔𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ) √𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 ∴ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝟏𝟔= √𝟏𝟔 = 𝟒 ======================================================== ‫تمرين‬ : ‫ساقيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫جد‬ 𝟖√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ b = 2x ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ :‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫من‬ : 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟖√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟔𝟒(𝟐) ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒃. 𝒉 = 𝟏 𝟐 (𝟐𝒙)𝒉 = 𝒙𝒉 𝑨(𝒙) = 𝒙 . √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 = √𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫عند‬ ‫يكون‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫اذا‬ x=4 ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟔𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟖 ⟹ 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟖) = 𝟏𝟔 ∴ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝟔𝟒 = √𝟔𝟒 = 𝟖 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫اق‬ ‫جد‬ ‫مساحته‬ ‫لمستطيل‬ ‫محيط‬ ‫ل‬ 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 / ‫الحل‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬ x ,y ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫محيط‬ ‫اقل‬ 2(x+y) = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ : ‫هي‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ X . Y 𝟏𝟔 = 𝒙 . 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝒙 … (𝟏) 𝑺 = 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝑺(𝒙) = 𝟐 (𝒙 + 𝟏𝟔 𝒙 ) = 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 𝒙 𝑺 ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟑𝟐 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = ±𝟒 ‫عند‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ x=8 ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫دال‬ ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫ة‬ 2014 - ‫ت‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑺 = 𝟐(𝟒 + 𝟒) = 𝟏𝟔 𝒄𝒎 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫حجم‬ ‫جد‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ 𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫المخروط‬ = h 2 = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ , r ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫حجم‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫المخروط‬ V 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 … . (𝟏) 𝒓𝟐 + (𝒉 − 𝟑)𝟐 = (𝟑)𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝟔𝒉 + 𝟗 = 𝟗 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 )𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉𝟐 − 𝒉𝟑 ) ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ 2012 - 3 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫للمستطيل‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫للمستطيل‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫عند‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬ x=4
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟏𝟐𝒉 − 𝟑𝒉𝟐 ) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 𝝅𝒉(𝟏𝟐 − 𝟑𝒉) = 𝟎 𝟑𝒉 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 = 𝟔(𝟒) − (𝟒)𝟐 = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟖 ⟹ 𝒓 = √𝟖 𝒓 = 𝟐√𝟐 𝒄𝒎 ‫عند‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ h=4 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟖)(𝟒) = 𝟑𝟐 𝟑 𝝅 𝒄𝒎𝟑 =================================================================== ‫تمرين‬ : ( ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 8 , 6 ‫والذي‬ ) ‫في‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ . ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫االول‬ ‫الربع‬ /‫الحل‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ : ‫النقطة‬ p(x,0) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ x ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ = ‫والنقطة‬ q(0,y) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ = . :‫نحصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ 𝒂𝒃 𝒃𝒅 = 𝒆𝒄 𝒄𝒅 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟖 𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟖𝒙 𝒙 − 𝟔 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝒚 … . (𝟐) 𝑨(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒙 ( 𝟖 𝒙 − 𝟔 ) = 𝟒𝒙𝟐 𝒙 − 𝟔 ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الم‬ ‫الدالة‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ : ‫عتمدة‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟖𝒙(𝒙 − 𝟔) − 𝟒𝒙𝟐(𝟏) (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 (𝒙 − 𝟔)𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝒙 − 𝟏𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫تهمل‬ ⟹ 𝒚 = 𝟖(𝟏𝟐) 𝟏𝟐 − 𝟔 = 𝟗𝟔 𝟔 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 ∴ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ x ( ‫هي‬ 12,0 ‫محور‬ ‫ومع‬ ) y ( ‫هي‬ 0,16 . ) : ‫هي‬ ‫بنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒙 − 𝒙𝟏 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 − 𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟔 𝟏𝟐 − 𝟎 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 = −𝟏𝟔 𝟏𝟐 ⟹ 𝟏𝟐(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟏𝟔𝒙 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟒𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟑 𝒙 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ ‫فيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ x=12
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 ‫محور‬ ‫على‬ ‫االخران‬ ‫والرأسان‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫رأسان‬ ‫بحيث‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬ x ‫ثم‬ . ‫محيطه‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬  ‫هما‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ 2x ‫و‬ y  ‫مع‬ ‫المستطيل‬ ‫رؤوس‬ ‫احد‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫المنحني‬ f ‫هي‬ O . ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ / ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 (𝟏𝟐 − 𝒙𝟐) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟐) = 𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝒚 = 𝟏𝟐 − (𝟐)𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒕 ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒚) = 𝟐(𝟐(𝟐) + 𝟖) = 𝟖 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 2012 -2 , 2017 - ‫ت‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ o ‫نعوض‬ ‫اذا‬ , ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫المنحني‬ ‫معادلة‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫مساحة‬ ‫اعظم‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للمستطيل‬ x=2
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫يمكن‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ماهي‬ 8 cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 12 cm . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - = ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ h - = ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - : ‫المثلثان‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ - 𝒓 𝟔 = 𝟖 − 𝒉 𝟖 ⟹ 𝟔(𝟖 − 𝒉) = 𝟖𝒓 ⟹ 𝟖 − 𝒉 = 𝟖 𝟔 𝒓 ⟹ 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓 … (𝟏) 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … . (𝟐) 𝑽(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 (𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓) = 𝝅 (𝟖𝒓𝟐 − 𝟒 𝟑 𝒓𝟑 ) 𝑽 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟏𝟔𝒓 − 𝟒𝒓𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒓𝝅(𝟒 − 𝒓) = 𝟎 (÷ 𝟒𝝅) ⟹ 𝒓 = 𝟎 ‫يهمل‬ 𝒐𝒓 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 (𝟒) = 𝟖 − 𝟏𝟔 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎 ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ 6√𝟑 𝒄𝒎 . ‫القائمين‬ ‫اضالعه‬ ‫احد‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دوره‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ : - 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (6√𝟑) 𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔(𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐 … (𝟏) 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … (𝟐) 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐)𝝅𝒉 = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝝅 𝟑 (𝟑)(𝟑𝟔 − 𝒉𝟐) = 𝟎 ÷ 𝝅 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟔 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟕𝟐 = 𝟑√𝟖 𝒄𝒎 𝑽 = 𝟏 𝟑 (𝟕𝟐)𝝅(𝟔) = 𝟏𝟒𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟑 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫المخروط‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ارتف‬ ‫المخروط‬ ‫اع‬ 2011-1, 2014-1 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ h=6
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫سعتها‬ ‫االعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الشكل‬ ‫اسطوانية‬ ‫علبة‬ 125 𝝅𝒄𝒎𝟑 ‫عندم‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬ . ‫ا‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقل‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫العلبة‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫العلبة‬ ‫حجم‬ : - 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝟏𝟐𝟓𝝅 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 … .(𝟏) 𝑺 = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅𝒉 . .. (𝟐) 𝑺(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅 ( 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 ) = 𝝅(𝒓𝟐 + 𝟐𝟓𝟎 𝒓 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 = 𝟎 𝟐𝒓𝟑 − 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝒓𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 ⟹ 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 (𝟓) 𝟐 = 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 = 𝟓 𝒄𝒎 ‫للعلبة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫العلبة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ ‫ارتفاع‬ ‫حجم‬ ‫اقل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للعلبة‬ r=5
‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫فاذا‬ ‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬ ‫صناعته‬ ‫في‬ ‫المستخدمة‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ 𝟏𝟎𝟖𝒎𝟐 ‫حجمه‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ ‫الخزان‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬ , .‫الغطاء‬ ‫كامل‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ً‫ا‬‫علم‬ .. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫ا‬ ‫لخزان‬ = y - ‫الخزان‬ ‫عرض‬ = x - = ‫الخزان‬ ‫طول‬ 2x ( )‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫من‬ : ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫القاعدتين‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = 𝑺 = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒙)𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙. 𝒙) ⟹ 𝟏𝟎𝟖 = 𝟐𝒚(𝟐𝒙 + 𝒙) + 𝟒𝒙𝟐 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟓𝟒 = 𝒚(𝟑𝒙) + 𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 … .(𝟏) 𝑽 = 𝟐𝒙𝟐 . 𝒚 . .. (𝟐) 𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 ( 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 ) = 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟑 ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) = 𝟎 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 = 𝟗 ⟹ 𝒙 = 𝟑𝒎 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟑) = 𝟔 𝒎 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐(𝟗) 𝟑(𝟑) = 𝟑𝟔 𝟗 = 𝟒 𝒎 ‫الخزان‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الخزان‬ ‫عرض‬ ‫الخزان‬ ‫ارتفاع‬ ‫للخزان‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ x=3 ‫الخزان‬ ‫طول‬

More Related Content

PDF
ملزمة الرياضيات - السادس العلمي
byAhmed Mahdi
 
PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ ع...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 3 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات - السادس العلمي
byAhmed Mahdi
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ ع...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 3 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل 2017 ...
bymoeiraqi.org
 

What's hot

PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
byOnline
 
PDF
حلول جميع أسئلة فكر في كتاب الفيزياء
byAli Albtat
 
PPTX
Χορήγηση υγρών ενδοφλεβίως - εμπλουτισμός ορού
byCostasPanayotidis
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
المصفوفات.pdf
byEpraam E. Samir
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PPS
عرض تفصيلي في شان التغيبات و الرخص
byNash Galili
 
PPTX
Φυσιολογία της αναπνοής
byCostasPanayotidis
 
PDF
Critical Pressure pressure ulcer care in critically ill patients and hospital...
byGNEAUPP.
 
PDF
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
byDimitris Psounis
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
byChristos Loizos
 
PPTX
Τεταρτογενής Πρόληψη. Ένας ακόμη ρόλος για τον οικογενειακό ιατρό.
byVasileios G. Bampalis
 
PDF
Κεφάλαιο 5 Λυμένα Θέματα 1 ΚΡΟΥΣΕΙΣ.pdf
byΜαυρουδης Μακης
 
PDF
كتاب شرح أوتوكاد 2023.pdf
byssuser780b25
 
PPTX
Τοποθέτηση επιδέσμου και νάρθηκα
byCostasPanayotidis
 
PDF
Σχέδιο μαθήματος παραγράφου 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
byOnline
 
حلول جميع أسئلة فكر في كتاب الفيزياء
byAli Albtat
 
Χορήγηση υγρών ενδοφλεβίως - εμπλουτισμός ορού
byCostasPanayotidis
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
المصفوفات.pdf
byEpraam E. Samir
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
عرض تفصيلي في شان التغيبات و الرخص
byNash Galili
 
Φυσιολογία της αναπνοής
byCostasPanayotidis
 
Critical Pressure pressure ulcer care in critically ill patients and hospital...
byGNEAUPP.
 
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
byDimitris Psounis
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
byanasKhalaf4
 
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
byChristos Loizos
 
Τεταρτογενής Πρόληψη. Ένας ακόμη ρόλος για τον οικογενειακό ιατρό.
byVasileios G. Bampalis
 
Κεφάλαιο 5 Λυμένα Θέματα 1 ΚΡΟΥΣΕΙΣ.pdf
byΜαυρουδης Μακης
 
كتاب شرح أوتوكاد 2023.pdf
byssuser780b25
 
Τοποθέτηση επιδέσμου και νάρθηκα
byCostasPanayotidis
 
Σχέδιο μαθήματος παραγράφου 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Similar to 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل

PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
byanasKhalaf4
 
PPTX
مراجعة مركزة نهائية 2021
byRihan Rihan
 
PDF
lectااتتتتاارررررررررررررررررررررررررررر1.pdf
byHebaEng
 
PDF
6-1 Ch).uuhhy ueueuueueueueueueueuehhehehggpdf
byrsp8bpvxpg
 
PDF
Studyadz 3as-physique-c3-15-26
byContactStudya
 
PDF
ath fun i got lost at this website two times
byssuser51ab6a
 
PDF
16 enonce mathematiques_tlemcen_corrige
byAhmed Mesellem
 
PPTX
unit_02.pptx
byBahyAElagouz
 
PDF
المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية 3
byMohammad Karazeh
 
PDF
-4-تمارين الرياضيات للجدع مشترك علوم
byNajlaà Maslouhy
 
PDF
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
byMohammedKhodary4
 
PDF
6 enonce mathematiques_laghouat_corrige
byAhmed Mesellem
 
PDF
Example q research
byTahaniHMQ
 
PDF
الدليل-الإلكتروني-للآلة الحاسبة كاسيو .pdf
byKhalid Aboz
 
PPT
ادارة الازمات والمشكلات
byHeba Toukhi
 
PPT
ادارة الازمات والمشكلات
byHebah Toukhi
 
PDF
sample reliability- Ahmad MUHAMMD ATIYA
byAhmad Atiya
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
byanasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
byanasKhalaf4
 
مراجعة مركزة نهائية 2021
byRihan Rihan
 
lectااتتتتاارررررررررررررررررررررررررررر1.pdf
byHebaEng
 
6-1 Ch).uuhhy ueueuueueueueueueueuehhehehggpdf
byrsp8bpvxpg
 
Studyadz 3as-physique-c3-15-26
byContactStudya
 
ath fun i got lost at this website two times
byssuser51ab6a
 
16 enonce mathematiques_tlemcen_corrige
byAhmed Mesellem
 
unit_02.pptx
byBahyAElagouz
 
المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية 3
byMohammad Karazeh
 
-4-تمارين الرياضيات للجدع مشترك علوم
byNajlaà Maslouhy
 
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
byMohammedKhodary4
 
6 enonce mathematiques_laghouat_corrige
byAhmed Mesellem
 
Example q research
byTahaniHMQ
 
الدليل-الإلكتروني-للآلة الحاسبة كاسيو .pdf
byKhalid Aboz
 
ادارة الازمات والمشكلات
byHeba Toukhi
 
ادارة الازمات والمشكلات
byHebah Toukhi
 
sample reliability- Ahmad MUHAMMD ATIYA
byAhmad Atiya
 

Recently uploaded

PDF
Basics of Systematic Literature Search - Nasra Gathoni
bySystematic Reviews Network (SRN)
 
PDF
The Pity of War: Form, Fragment, and the Artificial Echo | Understanding War ...
byNidhi Pandya
 
PDF
DHA OPTOMETRY MCQ Question /HAAD/MOH.pdf
byAnmol Singh
 
PPTX
Role of the Uninstall Hook in Odoo 18 Module Cleanup
byCeline George
 
PPTX
Rectal Surgery in Senior Citiizens .pptx
byJohn Thanakumar
 
PDF
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
DOCX
TOXICITY AND ITS MANAGEMENT 6th sem unit 5, PHARMACOLOGY-III B. PHARMACY
byjagdeepsinghynr7
 
PDF
Ketogenic diet in Epilepsy in children..
bymirzasania0810
 
PDF
Nutrients & Role in Horticulture.pdf, Dr. Sharad Bisen Horticulture
bybisensharad
 
PDF
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
PPTX
15 December 2025 Education for human flourishing Michael Stevenson .pptx
byEduSkills OECD
 
PPTX
Vitamins and mineral deficiency , signs and symptoms associated with exercise
byvirupa chandrika reddy
 
PDF
Prescription Writing- Elements, Parts, and Exercises
byDr. Ishita Agarwal
 
PPTX
Campfens "The Data Qualify Challenge: Publishers, institutions, and funders r...
byNational Information Standards Organization (NISO)
 
PPTX
Unit I — Introduction to Anatomical Terms and Organization of the Human Body
byRAKESH SAJJAN
 
PDF
The Drift Principle: When Information Accelerates Faster Than Minds Can Compress
byReality Drift Archive
 
PDF
1ST APPLICATION FOR ANNULMENT (4)8787666.pdf
bykonstantinantountoum1
 
PDF
Principles and Practices of GST 2.0 Study material
bySri Ramakrishna College of Arts and science
 
PPTX
Cost of Capital - Cost of Equity, Cost of debenture, Cost of Preference share...
bySundar B N
 
PDF
Types of Vegetable Gardens, College of Agriculture Balaghat.pdf
bybisensharad
 
Basics of Systematic Literature Search - Nasra Gathoni
bySystematic Reviews Network (SRN)
 
The Pity of War: Form, Fragment, and the Artificial Echo | Understanding War ...
byNidhi Pandya
 
DHA OPTOMETRY MCQ Question /HAAD/MOH.pdf
byAnmol Singh
 
Role of the Uninstall Hook in Odoo 18 Module Cleanup
byCeline George
 
Rectal Surgery in Senior Citiizens .pptx
byJohn Thanakumar
 
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
TOXICITY AND ITS MANAGEMENT 6th sem unit 5, PHARMACOLOGY-III B. PHARMACY
byjagdeepsinghynr7
 
Ketogenic diet in Epilepsy in children..
bymirzasania0810
 
Nutrients & Role in Horticulture.pdf, Dr. Sharad Bisen Horticulture
bybisensharad
 
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
15 December 2025 Education for human flourishing Michael Stevenson .pptx
byEduSkills OECD
 
Vitamins and mineral deficiency , signs and symptoms associated with exercise
byvirupa chandrika reddy
 
Prescription Writing- Elements, Parts, and Exercises
byDr. Ishita Agarwal
 
Campfens "The Data Qualify Challenge: Publishers, institutions, and funders r...
byNational Information Standards Organization (NISO)
 
Unit I — Introduction to Anatomical Terms and Organization of the Human Body
byRAKESH SAJJAN
 
The Drift Principle: When Information Accelerates Faster Than Minds Can Compress
byReality Drift Archive
 
1ST APPLICATION FOR ANNULMENT (4)8787666.pdf
bykonstantinantountoum1
 
Principles and Practices of GST 2.0 Study material
bySri Ramakrishna College of Arts and science
 
Cost of Capital - Cost of Equity, Cost of debenture, Cost of Preference share...
bySundar B N
 
Types of Vegetable Gardens, College of Agriculture Balaghat.pdf
bybisensharad
 

2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل

  • 1.
    ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الثالث‬ ‫التفاضل‬‫تطبيقات‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
  • 2.
    ‫تقديم‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫المالزم‬ ‫الحديثة‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫كل‬ ‫مواضيع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫ط‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫وات‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬ ‫ش‬ ‫خالل‬ ‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫رح‬ ‫ا‬ ‫رسوم‬ ‫ضافة‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬ ‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫لة‬ ‫حو‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫ل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ً‫ا‬‫ساعي‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ‫دافه‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫الصعوبات‬ ‫ف‬ ‫والتحديات‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫أسأل‬ ‫له‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ " ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
  • 3.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬
  • 4.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫االمثلة‬ ‫بعض‬ ‫مع‬ ‫االشتقاق‬ ‫قواعد‬ 1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 ==================================== ====================== 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5𝑥4 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = −6𝑥−7 C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥) 1 2 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 (𝑥) 3 2 E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 ========================================================= 3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙)) 𝒏−𝟏 . 𝒈 ́ (𝒙) Ex. A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2 − 14𝑥)5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5(6𝑥2 − 14𝑥)4 (12𝑥 − 14) B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2 3 ⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2) 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 (21𝑥 + 2) −2 3 (21) = 7 √(21𝑥+2)2 3
  • 5.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉 ́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈 ́ (𝒙) Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7𝑥) ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3 − 10) ============================================================= 5) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒉(𝒙).𝒈 ́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉 ́ (𝒙) (𝒉(𝒙))𝟐 Ex. 𝒇(𝒙) = (𝒙)𝟑 𝟒−𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏) (𝟒−𝒙)𝟐
  • 6.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫المشتقة‬ ‫رموز‬ 1. 𝒚́ = 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2. 𝒚́ ́ = 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 3. 𝒚́ ́ ́ = 𝒇 ́ ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 4. 𝒚(𝒏) = 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝒅(𝒏)𝒚 𝒅𝒙(𝒏) =========================================================== :‫مثال‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ‫فجد‬ 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 . :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥 =========================================================== :‫مثال‬ ‫اذا‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ 𝑦2 + 𝑥2 = 1 : ‫ان‬ ‫على‬ ‫فبرهن‬ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 . ‫ا‬ :‫لحل‬ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 = 0 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 + 1 = 0
  • 7.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ). 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 0 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ========================================================== ‫تمرين‬ 1 ‫جد‬ : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 : ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙) 𝟏 𝟐, ∀𝒙 < 𝟐 Sol/ 𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥) 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 (−1) = − 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 (−1) = − 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 = −1 4√(2 − 𝑥)3 ========================================================== b. 𝒚 = 𝟐−𝒙 𝟐+𝒙 , 𝒙 ≠ −𝟐 Sol/ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1) (2 + 𝑥)2 = −4 (2 + 𝑥)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1) (2 + 𝑥)4 = −(−4) (4 + 2𝑥) (2 + 𝑥)4
  • 8.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 16 + 8𝑥 (2 + 𝑥)4 ========================================================== C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎 Sol/ 2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 = −5 (2𝑥 − 4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2) (2𝑥 − 4)2 = 10 (2𝑥 − 4)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2)) (2𝑥 − 4)4 = −40 (2𝑥 − 4)4 ========================== ========== =============== 2 ) ‫جد‬ 𝒇 ́ ́ ́ (𝟏) ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑 𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥) 1 2 𝑓 ́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 1 2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)− 1 2 𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 3 2(−2) = −4(6 − 2𝑥)− 3 2 𝑓 ⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)− 5 2(−2) = −12(6 − 2𝑥)− 5 2 𝑓 ⃛(1) = −12 √(6 − 2(1))5 = −12 √(4)5 = −12 √1024 = −12 32 = −3 8
  • 9.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 𝑓 ́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2 sin 𝜋𝑥 𝑓 ⃛(𝑥) = −𝜋3 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓 ⃛(1) = −𝜋3 cos 𝜋(1) = −𝜋3 (−1) = 𝜋3 ======================================================== c. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝟐−𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟐 𝑓(𝑥) = 3 2 − 𝑥 = 3(2 − 𝑥)−1 𝑓 ́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2 ⟹ 𝑓 ́ ́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3 ⟹ 𝑓 ́ ́ ́ (𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4 𝑓 ́ ́ ́ (1) = 18(2 − 1)−4 = 18(1)−4 = 18 . ======================================================== ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐 𝒙) :‫الحل‬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sec2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 = 2 tan 𝑥 (1 + tan2 𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2𝑦 (1 + y2 𝑥) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
  • 10.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ‫ان‬ ‫فبرهن‬ 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0 . :‫الحل‬ 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥 𝑦́ ́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑦́ ́ ́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝑦(4) = 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
  • 11.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ [3-2] ‫المعدالت‬ ‫المرتبطة‬ Independent Equations 𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔́(𝑡) 𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 ́(𝑡) 1 . ‫ارسم‬ ‫مخططا‬ ‫للمسألة‬ ‫وحدد‬ ‫المتغيرات‬ ‫والثوابت‬ ‫وضع‬ ‫لها‬ ‫الرموز‬ ‫وحدد‬ ‫العالقة‬ ‫الرئيسية‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫السؤال‬ . 2 . ‫حاول‬ ‫إيجاد‬ ‫عالقة‬ ‫أخرى‬ ‫بين‬ ‫المتغيرات‬ ‫لكي‬ ‫تقلل‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫المتغيرات‬ . 3 . ‫نشتق‬ ‫الطرفين‬ ‫بالنسبة‬ ‫للمتغير‬ t ‫الزمن‬ 4 . ‫عوض‬ ‫معطيات‬ ‫السؤال‬ ‫من‬ ‫المتغيرات‬ ‫بعد‬ ‫االشتقاق‬ . : ‫مثال‬ ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬ 2m ‫يتسرب‬ ‫بمعدل‬ ‫الماء‬ ‫منه‬ 0.4 𝒎𝟑 /𝒉 ‫زمن‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . t . 𝑽 = 𝑨 𝒉 = 𝟐𝟐 . 𝒉 = 𝟒𝒉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ −0.4 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ‫متغير‬ ‫تابع‬ ‫متغير‬ ‫مستقل‬ ‫لحل‬ ‫أي‬ ‫سؤال‬ ‫يتعلق‬ ‫بالمعدالت‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ y ‫المعدل‬ ‫الزمني‬ ‫لتغير‬ x ‫(مرب‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ = ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫مساحة‬ )‫عة‬ × ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ = ‫االرتفاع‬ × ‫االرتفاع‬ ‫او‬ ‫نقصان‬ ‫او‬ ‫تسرب‬ ‫سالبة‬ ‫اشارة‬ ‫نضع‬ ‫ذوبان‬
  • 12.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = −0.1 𝑚/ℎ ‫تمرين‬ 5 : ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يزداد‬ , ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫تتغير‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫ا‬ ‫بمعدل‬ ‫لقاعدة‬ 0.3 cm/s ‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫وارتفاعه‬ 0.5cm/s ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ 4cm ‫االرتفاع‬ ‫و‬ 3 cm . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫المربعة‬ ‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ = x = ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 0.3 cm/s ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ A = 𝒙𝟐  = ‫االرتفاع‬ h ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫تناقص‬ = ‫االرتفاع‬ 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 0.5 cm/s -  ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ 𝑽 = 𝑨 . 𝒉 𝑉 = 𝑥2 . ℎ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 + 2𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3 /𝑠 :‫مثال‬ ‫صف‬ ‫مساحتها‬ ‫المعدن‬ ‫من‬ ‫مستطيلة‬ ‫يحة‬ 96 𝒄𝒎𝟐 ‫بمعدل‬ ‫طولها‬ ‫يتمدد‬ . 2 cm/s ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫عرضها‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫وذلك‬ ‫عرضها‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ 8 cm . = ‫المستطيل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ X = ‫وعرضه‬ Y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ? 𝐴 = 𝑥 𝑦 96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 = 96 8 = 12 X y ‫مجهول‬ ‫العرض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫الطول‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ × ‫العرض‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫وباتعويض‬ ‫الحجم‬ ‫تناقص‬ ‫معدل‬
  • 13.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (96) = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 8(2) ⟹ −16 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 16 12 = − 4 3 𝒄𝒎/𝒔 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬ 8cm ‫بالذوبان‬ ‫الجليد‬ ‫بدأ‬ ‫فاذا‬ ,‫مكعبا‬ ‫يبقى‬ ‫شكله‬ ‫بحيث‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬ ‫بمعدل‬ 6 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بسمك‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫السمك‬ ‫هذا‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫الحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ 1 cm . ‫الحل‬ / = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ , = ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫عند‬ x=1 ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ = ‫الجليد‬ ‫حجم‬ - ‫االاصلي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ 𝑉 = (8 + 2𝑥)3 − 83 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 3(8 + 2𝑥)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 0 −6 = 3(8 + 2(1))2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −6 = 3(10)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 300 (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 600 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −6 600 = −1 100 = −0.01 𝑐𝑚/𝑠 :‫مثال‬ ‫طوله‬ ‫سلم‬ 10m , ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫انزلق‬ ‫فاذا‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫غن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ 2m/s ‫بعد‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ 8m ‫جد‬ . ‫الحائط‬ ‫عن‬ 1 ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ) 2 . ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬ ) 8 cm 8+2x cm  ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ = ‫المكعب‬ ‫حجم‬ . ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫بالجليد‬ ‫المغطى‬ ‫المكعب‬ 8+2x
  • 14.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ Sol/  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ x ‫اذ‬ . ‫الطرف‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫ن‬ = ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫االسفل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕  = ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ y = ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫اذن‬ . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫مطلوب‬ ...  ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ 𝜽 ‫قطرية‬ ‫نصف‬ ‫زاوية‬  ‫ونجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫نطبق‬ ‫لذا‬ ‫مثلث‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الرسم‬ ‫من‬ y ‫ن‬ ‫ثم‬ ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫المعاليم‬ ‫ونعوض‬ ‫شتق‬ 𝑥2 + 𝑦2 = 102 ⟹ 82 + 𝑦2 = 100 𝑦2 = 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (10) 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2(8)(2) + 2(6) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 12 = −8 3 𝑚/𝑠 ‫معدل‬ ‫انز‬ ‫الق‬ ‫الطرف‬ ‫العلوي‬ −8 3 𝑚/𝑠 . ‫الزاويه‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫اليجاد‬ ‫االن‬ 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ sin 𝜽 = 𝑦 10 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (sin 𝜽) = 1 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ cos 𝜽 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 𝑥 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 8 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ⟹ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ( 10 8 ) = −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫وبالتعويض‬ ‫عن‬ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝟏𝟎
  • 15.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫تمرين‬ ‫فاذا‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫االعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫افقيه‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫سلم‬ ‫الطرف‬ ‫انزلق‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ 2m/s ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫واالرض‬ ‫السلم‬ 𝜋 3 . Sol/  : ‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ x  ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ y  ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝒎/𝒔  ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 =? tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ tan 𝜋 3 = 𝑦 𝑥 ⟹ √3 = 𝑦 𝑥 … . (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠2 ⟹ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 2 √3 𝑚/𝑠 ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ 𝒙 𝒚 ( ‫عالقة‬ ‫من‬ 1 )
  • 16.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 2 : ‫طواله‬ ‫عمود‬ 7.2 m ‫طوله‬ ‫رجل‬ ‫يتحرك‬ , ‫مصباح‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ 1.8 m ‫بسرعة‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ 30 m/min . ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , Sol/  :‫ان‬ ‫نفرض‬ , ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ x ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ ‫وبالتالي‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ = ‫العمود‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 m/min  = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ y = ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫وبالتالي‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫؟‬ =  ‫ل‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتقها‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫محصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ t ‫ثم‬ . ‫المجهول‬ ‫ونجد‬ ‫نعوض‬ .8 1.8 7.2 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ⟹ 1 4 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 30 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 ‫نحصل‬ ‫معدل‬ ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬
  • 17.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫لالسفل‬ ‫ورأسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬ 24cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 16cm ‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فيه‬ ‫يصب‬ 𝟓 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫بينما‬ ‫بمعدل‬ ‫السائل‬ ‫منه‬ ‫يتسرب‬ 𝟏 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ . ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ 12 cm . : ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫لحظة‬ ‫اية‬ ‫في‬  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r = ‫ارتفاعه‬ ‫و‬ h  = ‫السائل‬ ‫حجم‬ v(t) ‫المخرو‬ ‫حجم‬ = ‫ط‬ 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉  = ‫القطر‬ 16 ⟸ ‫القطر‬ ‫نصف‬ r = 8  ‫قانون‬ ‫من‬ 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫نحصل‬ ‫العالقة‬ ‫في‬ ‫نطبقها‬ ‫عالقة‬ ‫على‬ . ‫االولى‬ tan 𝜃 = 𝑟 ℎ = 8 24 ⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 = 8 24 ℎ = 1 3 ℎ 𝑣 = 1 3 𝜋𝑟2 ℎ = 1 3 𝜋( 1 3 ℎ)2 ℎ = 1 3 ( 1 9 ) 𝜋ℎ3 = 1 27 𝜋ℎ3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 3( 1 27 )𝜋ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡  ‫معدل‬ ‫تغير‬ ‫حجم‬ ‫السائل‬ ‫في‬ ‫المخروط‬ = ‫معدل‬ ‫الصب‬ - ‫معدل‬ ‫التسرب‬ . 4 = 1 9 𝜋(12)2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 4 = 144 9 𝜋 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 4 16𝜋 = 1 4𝜋 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑 /𝒔
  • 18.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ M ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫متحركة‬ ‫نقطة‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫ابتعادها‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ( 0 , 7 ‫يساوي‬ ) 0.2 unit/s ‫للنقطة‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫جد‬ . M ‫يكون‬ ‫عندما‬ x=4 . Sol/  ‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫نفرض‬ ( ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ 0 , 7 ‫و‬ ) M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔  ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2 − 10𝑥 + 49) 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 2 (𝑥2 − 10𝑥 + 49)− 1 2 (2𝑥 − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0.2 = 1 2 (42 − 10(4) + 49)− 1 2 (2(4) − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = 1 2 (25)− 1 2 (−2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = −(52)− 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ [0.2 = − 1 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] × −5 ∴ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠 ‫نعوض‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 ‫نعوض‬ 𝒙 = 𝟒 , 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
  • 19.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫لتكن‬ M ‫المكافىء‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫نقطة‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫النقطة‬ ‫احداثي‬ ‫جد‬ , M ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫البتعادها‬ ‫الزمني‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫ثلثي‬ ‫يساوي‬ M . Sol/  ‫النقط‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ ‫ة‬ M ‫هي‬ x, y .  ‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝟎, 𝟑 𝟐 ) ‫و‬ M ‫هو‬ s  ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =?  ‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ M = 𝒅𝒚 𝒅𝒕  ‫احداثي‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ M ‫عندما‬ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3 2 )2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 = √𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (2𝑦 − 2) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 (𝑦 − 1) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 = 3(𝑦 − 1) 4𝑦2 − 8𝑦 + 9 = 9𝑦2 − 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2 − 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0 5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 Or 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2 ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2) ‫وبتعويض‬ 𝒚 = 𝒙𝟐 ‫وبتعويض‬ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Y=0 ‫النقطة‬ ‫تتحرك‬ ‫لن‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ M ‫عن‬ ‫مبنعده‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫االخرى‬ ‫النقطة‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫وبتربيع‬
  • 20.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 4 : ‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫جد‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ x ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يساوي‬ y ‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ t . Sol/ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ x = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫والمعدل‬ y = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ‫لدينا‬ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ⟹ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏) (𝟐 − 𝒚)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎 𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔 ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
  • 21.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬  ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬ (a,b) 3 ) f(a) = f(b) ‫قيمة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫الشروط‬ ‫لهذه‬ ‫الدالة‬ ‫تحقيق‬ ‫من‬ ‫التأكد‬ ‫بعد‬ c ‫كل‬ ‫مكان‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫الدالة‬ ‫باشتقاق‬ x ‫بـ‬ c ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ c . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متحققة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ c ‫الممكنة‬ a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟒) ‫كثير‬ ‫النها‬ . ‫الحدود‬ ‫ة‬ 3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
  • 22.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟑 = −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓 𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 = 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f ‫ايجاد‬ ‫اليمكن‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ c . c) 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] −𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏) Sol/  ‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الغاية‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫لذا‬ ‫جهتين‬ ‫من‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 𝑳𝟏 ‫ا‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫والغاية‬ ‫ليسار‬ 𝑳𝟐 ‫ثم‬ ‫ان‬ ‫من‬ ‫نتحقق‬ 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . ‫ال‬ ‫ام‬ 𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)+ 𝒙𝟐 + 𝟏 = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟐 𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)− −𝟏 = −𝟏 ∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫غير‬ [−𝟒, 𝟐] . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝒂, 𝒃] ‫النها‬ ‫ثابتة‬ ‫دالة‬ . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝒂, 𝒃) . 3) 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌
  • 23.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) ∴ ‫الدالة‬ f ‫وقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ c ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫قيمة‬ ‫اية‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ (𝒂, 𝒃) . ‫تمرين‬ 1 : ‫اوجد‬ ‫قيمة‬ c :‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تعينها‬ ‫التي‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟑, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟑, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 − 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ‫الن‬ 0 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) . 3) 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
  • 24.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝒇(𝟐) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 + (−𝟐) 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐 ) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟏 ∈ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 −𝟏 ∉ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏 c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑)𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏) (𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏) ‫تمرين‬ 6 : ‫مب‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫رول‬ ‫رهنة‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ c . a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2 Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟑] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬
  • 25.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟑) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒 = (−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒 = (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟏] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟏, 𝟏) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√ 𝟏 𝟑 = ± 𝟏 √𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟏) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟏, 𝟒] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫لالشت‬ ‫قابلة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫قاق‬ (−𝟏, 𝟒) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ ‫على‬ ‫بالقسمة‬ 4 ‫للطرفين‬ ‫التكعيبي‬ ‫الجذر‬ ‫اخذ‬ ‫ثم‬
  • 26.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = 𝟑 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟒) d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [𝟎, 𝟐𝝅] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (𝟎, 𝟐𝝅) 3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅) ∴ ‫الدالة‬ f . ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 = −𝟏 𝟐 ‫تهمل‬ Cos ‫هي‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫وبالتالي‬ ‫والثالث‬ ‫الثاني‬ ‫الربعين‬ ‫في‬ ‫سالب‬ 𝝅 𝟑
  • 27.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝝅 − 𝝅 𝟑 = 𝟐𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 + 𝝅 𝟑 = 𝟒𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅)  ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬  ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نبرهن‬ ‫كيف‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫وكيف‬ ‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ c ‫؟‬ ‫الممكنة‬ - ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫لنثبت‬ f : ‫التالية‬ ‫للشروط‬ ‫تحقيقها‬ ‫نختبر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [a,b] 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (a,b) ‫نجد‬ ‫اعاله‬ ‫الشرطين‬ ‫تحقق‬ ‫بعد‬ ‫قيمة‬ c : 3 ) ‫المم‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫ويساوي‬ ‫اس‬ ‫للدالة‬ f ‫عند‬ c : 𝒇 ́ (𝒄) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ ‫ايجاد‬ 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 5 ) )‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫(ميل‬ ‫القاعدة‬ ‫نطبق‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 ‫حيث‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫هي‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ** 𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎 ‫وبالتالي‬ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 . :‫مثال‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,7] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,7) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑) 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬
  • 28.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏) 𝟕 − (−𝟏) = ((𝟕)𝟐 − 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐 − 𝟔(−𝟏) + 𝟒) 𝟖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟖 = 𝟎 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕) b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂) ‫ان‬ ‫اي‬ f ‫عند‬ ‫مستمرة‬ a ‫ان‬ ‫وبما‬ a ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫هي‬ [−𝟒, 𝟎] ‫اذن‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−𝟒, 𝟎] . 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−𝟒, 𝟎) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒙 𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒) 𝟎 − (−𝟒) = (√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔) 𝟒 = 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟏 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 𝟒𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 ⟹ 𝟓𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓 ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ال‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫مماس‬ ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
  • 29.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ √𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎) −√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 . :‫تمرين‬ ‫على‬ ‫التالية‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬ ‫امكانية‬ ‫اختبر‬ ‫السبب‬ ‫ذكر‬ ‫مع‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترات‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬ c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐 = 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏 −𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐) 𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,5] . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 2 ) ‫الدالة‬ h ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,5) . ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬ 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒉 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
  • 30.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) 𝟓 − (−𝟏) = (𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐 − 𝟒(−𝟏) + 𝟓) 𝟔 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟎 ∴ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓) c) 𝒈(𝒙) = 𝟒 𝒙+𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) ‫الدالة‬ ‫مجال‬ : ‫االستمرارية‬ g ‫هو‬ R/{x=-2} ‫ان‬ ‫وبما‬ -2 ‫الفترة‬ ‫خارج‬ [−𝟏, 𝟐] ‫اذن‬ ‫الدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ [−1,2] . 2 ) ‫ا‬ ‫لدالة‬ g ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ (−1,2) . 3 ) ‫المماس‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 4 ) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = ( 𝟒 𝟐 + 𝟐 ) − ( 𝟒 −𝟏 + 𝟐 ) 𝟑 = 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 ∴ 𝒈 ́ (𝒄) = −𝟏 ⟹ −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = −𝟏 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐 + 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐) Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒 ⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐) ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬
  • 31.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕] Sol/ 1 ) :‫االستمرارية‬ ‫اختبار‬ ‫الدالة‬ B ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫الن‬ ‫مستمرة‬ R . 2 ) : ‫االشتقاق‬ ‫قابلية‬ 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟑 𝑩 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏)− 𝟏 𝟑 ‫هو‬ ‫المشتقة‬ ‫مجال‬ R/{-1} ‫لكن‬ -1 ‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ (-2,7) ‫الدالة‬ ‫اذن‬ B . ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬
  • 32.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ** ‫مالحظة‬ :- ‫سوف‬ ‫نقوم‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫مسائل‬ . ‫التقريب‬ :‫مثال‬ ‫جد‬ ‫باستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫مبرهنة‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫تقريبا‬ ‫مناسبا‬ ‫للعدد‬ √𝟐𝟔 Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 25 ‫للعدد‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫اقرب‬ b=26 ℎ = 26 − 25 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5 ‫الدالة‬
  • 33.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝑥 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(25) = 1 2√25 = 1 2(5) = 0.1 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓 ́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬ 𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏) Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫للعدد‬ b=1.001 ℎ = 1.001 − 1 = 0.001 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)2 + 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 6(1) + 4 = 13 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓 ́(1) = 13 + 0.001(13) = 13.013 ‫الدالة‬
  • 34.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫على‬ ‫عشرية‬ ‫مراتب‬ ‫لثالث‬ ‫ومقربا‬ ‫تقريبية‬ ‫وبصورة‬ ‫جد‬ , ‫ة‬ : ‫ياتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫االقل‬ a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑 𝟓 + (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒 + 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 5 + 𝑥4 + 3 = 𝑥 3 5 + 𝑥4 + 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.98 ℎ = 0.98 − 1 = −0.02 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13 5 + 14 + 3 = 5 𝑓 ́(𝑥) = 3 5 𝑥− 2 5 + 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3 5 (1)− 2 5 + 4(1)3 = 3 5 + 4 = 23 5 = 4.6 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓 ́(1) = 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908 ∴ √(0.98)3 5 + (0.98)4 + 3 ≅ 4.908 b) √𝟕. 𝟖 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=7.8 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
  • 35.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 7.8 − 8 = −0.2 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖 𝟑 = 2 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 1 3 (23)− 2 3 = 1 12 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓 ́(8) = 2 − 0.2 ( 1 12 ) = 2 − 0.0166 = 1.9834 ∴ √𝟕. 𝟖 𝟑 ≅ 1.9834 c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟒 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 16 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=17 ℎ = 17 − 16 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟐𝟒 ) 𝟏 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔 ‫الدالة‬
  • 36.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 4 𝑥− 3 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(16) = 1 2 (𝟒𝟐 )− 1 2 + 1 4 (𝟐𝟒 )− 3 4 = 1 2 ( 1 4 ) + 1 4 ( 1 8 ) = 1 8 + 1 32 = 5 32 = 0.156 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓 ́(16) = 6 + 1(0.156) = 6.156 ∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 ≅ 6.156 d) √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.125 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.120 ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟑 = 0.5 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.125) = 1 3 (0.53)− 2 3 = 1 3 ( 1 0.25 ) = 4 3 ‫الدالة‬
  • 37.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓 ́(0.125) = 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335 ∴ √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 ≅ 0.493335 :‫تمرين‬ : ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫تقريبا‬ ‫جد‬ a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 2 (𝟖𝟐 )− 1 2 + 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 2 ( 1 8 ) + 1 3 ( 1 16 ) = 1 16 + 1 48 = 4 48 = 1 12 = 0.083 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) ‫الدالة‬
  • 38.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ = 12 − 1(0.083) = 11.917 ∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 ≅ 11.917 b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥4 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 1 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=1.04 ℎ = 1.04 − 1 = 0.04 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)4 = 1 + 3 = 4 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 12(1)3 = 15 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓 ́(1) = 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6 ∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 ≅ 4.6 c) 𝟏 √𝟗 𝟑 Sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟏 √𝒙 𝟑 = 𝒙− 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 8 ‫اقرب‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫العدد‬ ‫من‬ b=9 ‫الدالة‬ ‫الدالة‬
  • 39.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ℎ = 9 − 8 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑 )− 𝟏 𝟑 = 1 2 𝑓 ́(𝑥) = − 1 3 𝑥− 4 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = − 1 3 (𝟐𝟑 )− 4 3 = − 1 3 ( 1 16 ) = − 1 48 ≅ −0.02 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓 ́(8) = 0.5 + 1(−0.02) = 0.48 ∴ 𝟏 √𝟗 𝟑 ≅ 0.48 d) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 Sol/ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 100 ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ ‫للعدد‬ b=101 ℎ = 101 − 100 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(100) = 1 100 = 0.01 ‫الدالة‬
  • 40.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑓 ́(𝑥) = −1 𝑥2 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(100) = −1 (100)2 = −0.0001 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓 ́(100) = 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099 ∴ 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗 e) √ 𝟏 𝟐 = √𝟎. 𝟓𝟎 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥 1 2 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 0.49 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=0.50 ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝒙 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.49) = 1 2√𝟎. 𝟒𝟗 = 1 2(0.7) = 10 14 ≅ 0.728 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓 ́(0.49) = 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728 ‫الدالة‬
  • 41.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ∴ √ 𝟏 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖 :‫مثال‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ 9.98 cm ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬ . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑉(𝑥) = 𝑥3 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 10 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=9.98 ℎ = 9.98 − 10 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3 = 1000 𝑉 ́ (𝑥) = 3𝑥2 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (10) = 3(10)2 = 300 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10) = 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3 :‫مثال‬ ‫ل‬ ‫تكن‬ 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 ‫تغيرت‬ ‫فاذا‬ x ‫من‬ 8 ‫الى‬ 8.06 ‫؟‬ ‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫فما‬ , Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2 3 = (𝑥) 2 3 𝑓 ́(𝑥) = 2 3 𝑥− 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 2 3 (23)− 1 3 = 1 3 = ℎ . 𝑓 ́(𝑎) = ℎ . 𝑓 ́(8) = 0.06 ( 1 3 ) = 0.02 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬ ‫الدالة‬ 𝒂 = 𝟖 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔 𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔 ‫التقريبي‬ ‫التغير‬
  • 42.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫ي‬ ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫طالء‬ ‫راد‬ 10 cm ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ 0.15cm ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫اوجد‬ . ‫تقربية‬ / Sol ‫طالء‬ ‫بدون‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 ‫المطلي‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ 𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝑽 ́ (𝒂) = 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 3 : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ 6 cm ‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طليت‬ 0.1 cm . ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ Sol/ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫طالء‬ ‫بدون‬ 𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎 ‫الكر‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ة‬ ‫المطلي‬ ‫ة‬ 𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫الدالة‬
  • 43.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒓) = 𝟒 𝟑 (𝟑)𝝅𝒓𝟐 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑 ‫تمرين‬ 4 : ‫حجمها‬ ‫كرة‬ 𝟖𝟒 𝛑 ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫جد‬ , . ‫المتوسطة‬ Sol/ 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒𝝅 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒 ( 𝟑 𝟒 ) = 𝒓𝟑 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑 𝟑 𝑟(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 64 ‫اقرب‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟒 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 3 ( 1 16 ) = 1 48 ≅ 0.021 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) = 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚 ‫الحجم‬ ‫التقريبي‬ ‫للطالء‬ ‫الدالة‬ ‫المتوسط‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نستخدم‬ ‫الجذر‬ ‫لهذا‬ ‫تقريب‬ ‫واليجاد‬ ‫ة‬
  • 44.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 2.98 cm ‫حجمه‬ ‫فجد‬ . ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ Sol/  = ‫المخروط‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ r = ‫وارتفاعه‬ x 𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑥 2 𝑉 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟑 𝝅( 𝑥 2 ) 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ∴ 𝑉(𝑥) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ‫ان‬ ‫نفرض‬ a = 3 ‫للعدد‬ ‫سهلة‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬ b=2.98 ℎ = 2.98 − 3 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(3) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅(3) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝝅 = 𝟗 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉 ́ (𝑥) = 𝟑 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟐 = 𝟏 𝟒 𝝅𝑥𝟐 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (3) = 𝟑𝟐 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3) = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3 ‫الدالة‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الحجم‬
  • 45.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬ : ‫مالحظات‬  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬ x  ‫ق‬ ‫نضع‬ ‫يم‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ - - - - - ) :‫مثال‬ ‫وا‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ ‫لتناقص‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐 = 𝟎 ⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
  • 46.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐 = 𝟗 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < −1} ‫و‬ {x: x > 3} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: −1 < x < 3} b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑√𝒙 𝟑 ‫ع‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬ ‫هنا‬ ‫ندما‬ x=0 ‫غير‬ ‫قيمة‬ ‫وهذه‬ ‫صفر‬ ‫سيكون‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ .) ‫حرج‬ ‫عدد‬ ( ‫معرفة‬ ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {x: x < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {x: x > 0} ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫لتكن‬ -2 ‫بين‬ ‫عدد‬ -1 ‫و‬ 3 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 3 ‫وليكن‬ 4
  • 47.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫النهاية‬ ‫العظمى‬ ‫والنهاية‬ ‫الصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ :  ‫الدال‬ ‫نشتق‬ ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫ونساويها‬ ‫ة‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  )+++++( ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬  ( ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ - - - - - )  : ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نحدد‬ ( + + + ( ‫ثم‬ ) - - - ( , ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ) - - - ( ‫ثم‬ ) + + + ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫النهايات‬ ‫احداثيات‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
  • 48.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫االتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫جد‬ : a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 49.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −) 𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫والنقطة‬ (2,1) . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 50.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟑(𝟎) 𝟐 − 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫مت‬ ‫تكون‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ناقصة‬ {𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫و‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟒} ‫النقطة‬ (2,20) ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫النقطة‬ (4,16) ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫لتكن‬ 0 ‫عددبين‬ 2 ‫و‬ 4 ‫ول‬ ‫يكن‬ 3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 4 ‫وليكن‬ 5 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟗(𝟐)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟐) = 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑 − 𝟗(𝟒)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟒) = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
  • 51.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫االن‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫اليجاد‬ :‫مالحظة‬ ‫االتي‬ ‫نتبع‬ ‫قالب‬ :  ‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫بالصفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ونساوي‬ ‫للدالة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ x  ‫قيم‬ ‫نضع‬ x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ‫منها‬ ‫واصغر‬ ‫اكبر‬ ‫قيم‬ ‫وناخذ‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬  ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫مقعرة‬ )+++++(  ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المشتقة‬ ‫ت‬ ‫الثانية‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫للدالة‬ ‫محدبة‬ ( - - - - - )  ‫قيم‬ ‫نعوض‬ x . ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ‫اليجاد‬ ‫االصلية‬ ‫الدالة‬ ‫في‬ :‫مثال‬ : ‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫ادرس‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹 ∴ ‫ا‬ ‫لدالة‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ R .
  • 52.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫تكون‬ ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟎} ‫والدالة‬ f ‫تكون‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝒙 > 𝟎} ‫النقطة‬ (0,0) ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟎, 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 = 𝟎
  • 53.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للمنحني‬ ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 2 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , 11 8 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟐( 𝟏 𝟐 ) + 𝟏 = 𝟐 𝟖 − 𝟑 𝟒 − 𝟔 + 𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟖
  • 54.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫للدوال‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ : ‫التالية‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 = 𝟏𝟐 ⟹ (+ ) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐} ‫النقط‬ (0, 0) ‫و‬ (2,16) ‫نقط‬ ‫هي‬ ‫انقالب‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) 𝟑 − (𝟎)𝟒 = 𝟎 𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ‫بين‬ ‫عدد‬ 2 ‫و‬ 0 ‫وليكن‬ 1
  • 55.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟎)‫غير‬ ‫معرفة‬ 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐 (−𝟏) 𝟑 = −𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐 (𝟏) 𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 0} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟎} ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ R/{0} . ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ -1 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 0 ‫وليكن‬ 1
  • 56.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 (÷ −12) (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐 = −𝟒𝟖 ⟹ (− ) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < −2} ‫و‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟐} ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) < 𝟎 ⟹ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ −2 ‫وليكن‬ -3 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -2 ‫وليكن‬ 0 ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬
  • 57.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 6 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹  ‫اختبار‬ ‫المشتقة‬ ‫الثانية‬ ‫لنقط‬ ‫النهايات‬ ‫العظمى‬ ‫والصغرى‬ ‫المحلية‬ ‫قيم‬ ‫بتعويض‬ ‫وذلك‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ x ‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫االولى‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ : ‫ت‬  . ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  . ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬  = ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 0 ‫المشتقة‬ ‫وتستخدم‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ ‫استخدام‬ ‫يصح‬ ‫فال‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫انها‬ ‫او‬ . ‫االولى‬ :‫مثال‬ ‫اختبا‬ ‫باستخدام‬ : ‫االتية‬ ‫للدوال‬ ‫المحلية‬ ‫النهايات‬ ‫جد‬ , ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ر‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫النقطة‬ x=1 . 𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2) ‫الدالة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ R ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
  • 58.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟖𝒙 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 + 8 = 0 ⟹ 𝒙𝟑 = −8 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐𝟒 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟐) = −𝟐𝟒 (−𝟐)𝟒 = −𝟐𝟒 𝟏𝟔 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-2 . 𝒇(−𝟐) = −𝟐 − 𝟒 (−𝟐)𝟐 = −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ x=-1 . 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏)𝟐 − 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓 ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
  • 59.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ (−1,5) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ x=3 . 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕 ⟹ (3,27) d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f = َ‫ا‬‫اذ‬ , ‫صفر‬ ‫االول‬ ‫المشتقة‬ ‫الختبار‬ ‫ونعود‬ ‫هنا‬ ‫تصح‬ ‫ال‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ . ‫ى‬ 𝒇 ́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ -2 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ -1 ‫وليكن‬ 0
  • 60.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏) 𝟒 = 𝟒 ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > −𝟏} ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 < −𝟏} ‫والنقطة‬ (-1,4) ‫نه‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫اية‬ :‫مثال‬ ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ a ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫علما‬ , x=1 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ ‫ثم‬ , sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟏𝟑 = 0 𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 = −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑 = − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝑥 = −√ 𝟏 𝟐 𝟑 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫انقالب‬ x=1 2013 - 1
  • 61.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (−√ 𝟏 𝟐 𝟑 ) = 𝟐 − 𝟐 (− √ 𝟏 𝟐 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎 ∴ ‫الدالة‬ f ‫ت‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫متلك‬ 𝑥 = −√ 1 2 3 . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫وال‬ ‫تمرين‬ 6 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 , . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬ sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 + 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 = −𝒂 𝟐 ⟹ 𝑥 = √ −𝒂 𝟐 3 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (√ −𝒂 𝟐 3 ) = 𝟐 − 𝟐𝒂 (√ −𝒂 𝟐 3 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟐𝒂 −𝒂 𝟐 = 2 + 4 = 6 > 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫للدالة‬ ‫فان‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫لها‬ ‫وليس‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نساوي‬ ‫النهايات‬ ‫وجود‬ ‫لنختبر‬ ‫المشتقة‬ ‫قيمة‬ ‫ونجد‬ ‫بالصفر‬ ‫االولى‬ x
  • 62.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ ‫الثابتين‬ ‫قيمتي‬ ‫عين‬ a , b ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ x=-1 ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫ونهاية‬ x=2 . ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 ́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏) 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐) 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏) −𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐) −𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 = −9 6 = −3 2 𝟑 − 𝟐 ( −3 2 ) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ x=-1 ‫الدالة‬ ‫الن‬ f ‫تمت‬ ‫نهاية‬ ‫لك‬ ‫عند‬ ‫صغرى‬ x=2 ‫قيمة‬ ‫وبتعويض‬ a ‫في‬ ‫معادلة‬ 1 ... ‫نحصل‬ 2013 – 3 , 2012-1 ‫قيمتي‬ ‫وبتعويض‬ b,a ‫االصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ... ‫نحصل‬ ‫وبالمشتقة‬
  • 63.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 < 1 2 } ‫والدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝒙 > 1 2 } ‫النقطة‬ ( 1 2 , − 𝟏𝟑 𝟒 ) ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ :‫مثال‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝐱: 𝐱 < 𝟏} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝐱: 𝐱. 𝟏} ‫المستقيم‬ ‫ويمس‬ 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ‫النقطة‬ ‫عن‬ (3,1) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟔( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟖 − 𝟑 = − 𝟏𝟑 𝟒 ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 1 2 ‫وليكن‬ 1 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {x: x < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {x: x. 1} ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ ‫فانها‬ x=1 2014-1
  • 64.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟗 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟗 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 −𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑 + 𝒃(𝟑)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑) −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂 ⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑 𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏 ‫تمرين‬ 7 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ‫يمس‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ‫عن‬ ‫د‬ ‫النقطة‬ (2,-1) ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫للمنحني‬ ‫وكان‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . ‫نوع‬ ‫وما‬ .‫النهاية‬ sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ‫ف‬ ) ( ‫ي‬ 2 ) ‫قيمتي‬ ‫بتعويض‬ a,b ( ‫في‬ 3 )
  • 65.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒇 ́ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 ⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐) 𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒃 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄 −𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫في‬ ) 2 ) ‫النقطة‬ (2,-1) ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫قيمتي‬ ‫نعوض‬ a , b ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 0 ‫اذا‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐 ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (3,1) ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬ ‫عند‬ 𝒙 = 𝟏 𝟐
  • 66.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 5 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 ‫مقعر‬ ‫ة‬ ∀𝐱 > 𝟏 ‫ومحدبة‬ ∀𝐱 < 𝟏 ‫وللدالة‬ f ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ (-1,5) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇(−𝟏) = 𝒂(−𝟏)𝟑 + 𝒃(−𝟏)𝟐 + 𝒄(−𝟏) 𝟓 = −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 … . (𝟏) 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟑𝒂(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(−𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟓 … . (𝟏) 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … . . (𝟐) 𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟓 … (𝟑) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟒) 𝟐𝒂 + 𝟑𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝟓𝒂 = 𝟓 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 𝟑(𝟏) − 𝟐(−𝟑) + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟑 + 𝟔 + 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟗 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫مقعرة‬ ∀x > 1 ‫ومحدبة‬ ∀x < 1 ‫فانها‬ ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫للدالة‬ f ‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ (-1,5) 2012-3 , 2015-1 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ‫ينتج‬ ) ‫نعوض‬ ( 4 ) ( ‫في‬ 3 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a ( ‫في‬ 4 ) ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ a,b ( ‫في‬ 2 )
  • 67.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ 3 : ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 , ‫متماسان‬ ‫عن‬ ‫د‬ ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫المنحني‬ f ‫وهي‬ (1,-11) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬ . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 ⟹ 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟏𝟐 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟑𝒂(𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟏) + 𝒄 = 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 −𝟏𝟐 = 𝟑𝒂 + 𝟐 + 𝒄 … (𝟐) 𝟑𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) + 𝒄 = −𝟏𝟐 𝟑𝒂 − 𝟔𝒂 + 𝒄 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐….(𝟑) 𝒇(𝟏) = 𝒂(𝟏)𝟑 + 𝒃(𝟏)𝟐 + 𝒄(𝟏) ⟹ −𝟏𝟏 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 … (𝟒) −𝟏𝟏 = 𝒂 − 𝟑𝒂 + 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(𝟏) ⟹ 𝒃 = −𝟑 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬ ‫المستقيم‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫الدالة‬ f ‫النقطة‬ ‫عند‬ (1,-11) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ 𝒈 ́ (𝒙) = 𝒇 ́ (𝒙) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ( ‫و‬ ) 3 ( ‫في‬ ) 4 ) 2013, 2014, 2017
  • 68.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒄 = 𝟑𝒂 − 𝟏𝟐 = 𝟑(𝟏) − 𝟏𝟐 ⟹ 𝒄 = −𝟗 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 ‫تساوي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 8 ‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫ونقطة‬ x=1 . ‫فجد‬ ‫قيمة‬ a,b . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂 = −𝟔 ⟹ 𝒂 = −𝟏 ∴ 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = −𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟔(−𝟏) = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = −𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟔(𝟏) = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟑 + 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝒄 = −𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝒄 2015 – 2 , 2015-2 ‫خارجي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫االولى‬ ‫المشتقه‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫اشا‬ ‫الختبار‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫رة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=2
  • 69.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟖 = 𝟒 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 ‫تمرين‬ 4 : ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ت‬ 6 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تمثل‬ ‫ل‬ ‫لدالة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 ‫فجد‬ ‫قيمة‬ 𝒄 ∈ 𝑹 . ‫انقالبه‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المنحني‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ 𝒙(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 𝒇 ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟑(−𝟏)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − −) 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 ⟹ ( + + + ) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟑(𝟑)𝟐 = −𝟗 ⟹ ( − − − ) 𝒇(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐 − (𝟎)𝟑 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟔 ⟹ 𝒇(𝟏) = 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 + 𝟔 = 𝟖 2016 - 3 ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ f ‫عن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬ x=1 ‫من‬ ‫واكبر‬ ‫اصغر‬ ‫قيم‬ ‫ناخذ‬ 0 ‫و‬ 2 ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫الختبار‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ x=0 ‫نق‬ ‫اذا‬ ‫هي‬ ‫المنحني‬ ‫انقالب‬ ‫طة‬ (1,8) ‫المنحني‬ ‫ميل‬ = ‫المماس‬ ‫ميل‬ ..
  • 70.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒎 = 𝒇 ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟏) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) ⟹ (𝒚 − 𝟖) = 𝟑(𝒙 − 𝟏) ⟹ 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 ‫تمرين‬ 1 : ‫لتكن‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 ‫ان‬ ‫حيث‬ 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} , 𝒃 ∈ 𝑹 ‫قيمة‬ ‫جد‬ . a : ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫أ‬ - ‫الدالة‬ f ‫ب‬ ‫محدبة‬ – ‫الدالة‬ f ‫مقعرة‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒃 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝒂 𝒇 ́ ́ (𝒙) < 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 < 𝟎 ⟹ 𝒂 = −𝟒 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 > 𝟎 ⟹ 𝒂 = 𝟖 ‫تمرين‬ 2 ‫لتكن‬ : (2,6) ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝒂 , 𝒃 ∈ 𝑹 . ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫وبين‬ sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂−(𝒙 − 𝒃)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝒃)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝟐) = −𝟒(𝟐 − 𝒃)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ‫أ‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫اقل‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ ‫محدبة‬ 0 𝒂 ∈ {−𝟒, 𝟖} ‫ب‬ - ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫فان‬ 0 ‫الدالة‬ f ‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تملك‬ x=2 ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬
  • 71.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ √(𝟐 − 𝒃)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝟐 − 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝟐 𝒇(𝟐) = 𝒂−(𝟐 − 𝟐)𝟒 ⟹ 𝒂 = 𝟔 𝒇(𝒙) = 𝟔−(𝒙 − 𝟐)𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟑 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(−𝟖) = 𝟑𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟒(𝟑 − 𝟐)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) ∴ ‫الدالة‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫تكون‬ {𝐱: 𝐱 > 𝟐} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ {𝐱: 𝒙 < 𝟐} ‫وال‬ ‫نقطة‬ (2,6) ‫هي‬ . ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (2,6) ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫الدالة‬ f ‫نعوض‬ ‫لذا‬ x=2 ‫و‬ f(2)=6 ‫و‬ b=2 ‫اشارة‬ ‫نختبر‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫لبيان‬ ‫االولى‬ ‫االمشتقة‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫عدد‬ 2 ‫ول‬ ‫يكن‬ 0 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ 2 ‫وليكن‬ 3
  • 72.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫رسم‬ ‫المخطط‬ ‫البياني‬ ‫للدالة‬ Graphing Function
  • 73.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) ( :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ 0,0 . ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ) 3 ) ‫ن‬ ‫الدالة‬ :‫التناظر‬ ‫وع‬ f : ‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟓 = −(𝒙)𝟓 = −𝒇(𝒙) 4 ) . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ :‫المحاذيات‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟓𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ‫ال‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ) .‫نهاية‬ ‫تمثل‬ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟎𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0
  • 74.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ( ‫وبالتالي‬ 0,0 ) ‫نقطة‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ . 𝒙 -2 -1 0 1 2 𝒚 = 𝒙𝟓 -32 -1 0 1 32
  • 75.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑦 = 4 ⟹ (0,4) 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اهمال‬ ‫يمكن‬ ‫لذا‬ ‫العادية‬ ‫بالطرق‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اليمكن‬ x ‫واخذ‬ . ‫عنها‬ ‫بدال‬ ‫اضافية‬ ‫نقاط‬ 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑 − 𝟑(−𝒙)𝟐 + 𝟒 = −𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 ≠ 𝒇(𝒙) ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اذا‬ y . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫وال‬ 4 ) ‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫النها‬ ‫محاذيات‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2
  • 76.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 2} ‫في‬ ‫ومتناقصة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 2} 𝑓(0) = (𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒 = 𝟒 ⟹ (0,4) ‫وبالتالي‬ ( 4,0 ) ‫نقطة‬ .‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ 𝑓(2) = (𝟐)𝟑 − 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟒 = 𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ (2,0) ( ‫وبالتالي‬ 2,0 .‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} . 𝑓(1) = (𝟏)𝟑 − 𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟒 = 𝟏 − 𝟑 + 𝟒 = 𝟐 ⟹ (1,2)
  • 77.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫وبالتالي‬ (1,2) .‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نقطة‬ 𝒙 -1 0 1 2 3 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 0 4 2 0 4 :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟎) − 𝟏 𝟎 + 𝟏 = −𝟏 ⟹ 𝑦 = −1 ⟹ (0, −1)
  • 78.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟏 𝟑 ⟹ ( 𝟏 𝟑 , 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫م‬ ‫وال‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ع‬ 1 ‫لمجال‬ ‫ينتمي‬ ‫بينما‬ ‫الدالة‬ -1 . ‫الينتمي‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 − 𝟑𝒙 = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟑) = −𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟑 ⟹ 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟑 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟑) − (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟒 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏}
  • 79.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟖(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫التملك‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫الن‬ -1 ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ . 𝒙 0 𝟏 𝟑 𝒚 -1 0
  • 80.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒙𝟐+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟐 (−𝒙)𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒇(𝒙) ∴ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫المنحني‬ Y 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎 ≠ 𝟎 ∴ . ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
  • 81.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒚𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟎 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙) − (𝒙𝟐 )(𝟐𝒙) (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < 0} f(0) = 0 ⟹ (0,0) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐(𝟐) − [𝟐𝒙(𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟐𝒙)] (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 = 0 ⟹ 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 3𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝑥 = ±√ 1 3 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 82.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −1 √3 } ‫و‬ ‫الفترة‬ {𝑥: 𝑥 > 1 √3 } . ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومقعرة‬ {𝑥: −1 √3 < 𝑥 < 1 √3 } 𝒇 (± 1 √3 ) = (± 1 √3 ) 𝟐 (± 1 √3 ) 𝟐 + 𝟏 = 1 3 1 3 + 𝟏 = 1 3 4 3 = 1 4 ∴ ‫االنقالب‬ ‫نقط‬ ( 1 √3 , 1 4 ) ‫و‬ (− 1 √3 , 1 4 ) . 𝒙 0 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 1 4 1 4 ‫تمرين‬ : ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬ ‫ات‬ ‫الد‬ :‫التالية‬ ‫وال‬ a) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 10 ⟹ (0,10)
  • 83.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ (𝟓 + 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟓 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟑 ⟹ 𝒙 = −𝟑 𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < −𝟑 𝟐 } ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 > −𝟑 𝟐 } f(0) = 𝟏𝟎 − 𝟑 ( −𝟑 𝟐 ) − ( −𝟑 𝟐 ) 𝟐 = 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟐 − 𝟗 𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟗 𝟒 = 𝟒𝟗 𝟒 ⟹ ( −𝟑 𝟐 , 𝟒𝟗 𝟒 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟐 < 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫محدبة‬ ‫في‬ . ‫مجالها‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬
  • 84.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 -5 2 0 −𝟑 𝟐 𝒚 0 0 10 49 4 b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 3 ⟹ (0,3)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 0 ⟹ 𝑥 = −𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = −𝟑 ⟹ (−𝟓, 𝟎) , (𝟐, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
  • 85.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = −𝟒 𝟐 = −𝟐 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫متزايدة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 > −2} ‫و‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −2} f(−2) = (−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) + 𝟑 = 𝟒 − 𝟖 + 𝟑 = −𝟏 ⟹ (−𝟐, −𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ . ‫مجالها‬ ‫في‬ 𝒙 0 -1 -3 -2 𝒚 3 0 0 -1 ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 86.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ c) 𝒇(𝒙) = (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫م‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫حور‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 2 ⟹ (0,2)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟑 = −1 ‫بالجذر‬ ⟹ 1 − 𝑥 = −1 ⟹ 𝑥 = 𝟐 ⟹ (2,0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟑(𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 (÷ −𝟑) ⟹ (𝟏 − 𝒙)𝟐 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝟏 − 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 2011-2, 2013-2, 2016-‫ت‬
  • 87.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 1} . ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔(𝟏 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔(𝟏 − 𝒙) = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟏 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 1} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 1} f(1) = (𝟏 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒙 0 2 1 𝒚 2 0 1 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
  • 88.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ d) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝑥(𝟔 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝑥(√6 − 𝑥)(√6 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√6, ⟹ (0,0), (√6, 0), (−√6, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(−𝒙) & 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) ‫االشتقا‬ :‫ق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟐 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±√𝟐
  • 89.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: 𝑥 < −√𝟐 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > √𝟐 } ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: −√𝟐 < 𝑥 < √𝟐 } f(−√𝟐 ) = 𝟔(−√𝟐 ) − (−√𝟐 ) 𝟑 = −𝟔√𝟐 + 𝟐√𝟐 = −𝟒√𝟐 ⟹ (−√𝟐 , −𝟒√𝟐 ) f(√𝟐 ) = 𝟔(√𝟐 ) − (√𝟐 ) 𝟑 = 𝟔√𝟐 − 𝟐√𝟐 = 𝟒√𝟐 ⟹ (√𝟐 , 𝟒√𝟐 ) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟔𝒙 = 𝟎 (÷ −𝟔) ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: 𝑥 < 0} ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) 𝒙 0 √𝟔 −√𝟔 √𝟐 −√𝟐 𝒚 0 0 0 𝟒√𝟐 −𝟒√𝟐 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
  • 90.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ e) 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{0} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : y ‫الن‬ 0 .‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ : X ‫التوج‬ ‫النه‬ ‫ل‬ ‫قيمة‬ ‫د‬ x ‫تجعل‬ y=0 𝒚 ≠ 𝟎 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ :‫ألن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫الدالة‬ 𝒇(−𝒙) = − 𝟏 𝒙 = −𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 = 𝟎  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟏 𝒙 ⟹ 𝒚𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟎
  • 91.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{𝟎} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ ‫نهاية‬ . 𝒇 ́ (𝒙) = −(𝒙)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ {𝑥: 𝑥 > 0} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 < 0} . ‫التملك‬ ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ 0 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 -1 2 𝒚 -1 0.5
  • 92.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ f) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R/{-1} . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y : 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = −𝟏 𝟏 = −𝟏 ⟹ (𝟎,−𝟏)  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ x : 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟎) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ :‫الن‬ ‫متناظرة‬ −𝟏 ∉ 𝒇‫مجال‬ 4 ) :‫المحاذيات‬  )‫العمودي(الشاقولي‬ ‫المحاذي‬ y=f(x) : 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −𝟏  ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ x=f(y) : 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝒚𝒙 + 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒙(𝒚 − 𝟏) = −𝟏 − 𝒚 ⟹ 𝒙 = −𝟏 − 𝒚 𝒚 − 𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟏 2016 -2
  • 93.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝟏) (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = 𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒇 ́ (𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑹/{−𝟏} ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫من‬ ‫لكل‬ ‫متزايدة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > −1} . ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫والتوجد‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏)−𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)−𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫ا‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫لفترة‬ {𝑥: 𝑥 < −1} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > −1} ‫الدالة‬ ‫لكن‬ ‫الن‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫التملك‬ -1 . ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫الينتمي‬ 𝒙 0 1 -2 -3 𝒚 -1 0 3 2
  • 94.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ g) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 sol/ 1 ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ R . 2 ) :‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬  ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ y 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ (0,0)  ‫التقا‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫طع‬ x 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐(𝟐 − 𝒙𝟐) = 0 ⟹ 𝒙𝟐 (√2 − 𝑥)(√2 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝟎 𝒐𝒓 𝒙 = ±√2, ⟹ (0,0), (√2, 0), (−√2, 0) 3 ) :‫التناظر‬ ‫نوع‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ y : ‫ألن‬ 𝒇(−𝒙) = 𝟐(−𝒙)𝟐 − (−𝒙)𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝒇(𝒙) 4 ) :‫المحاذيات‬ . ‫نسبية‬ ‫ليست‬ ‫الدالة‬ ‫الن‬ ‫محاذيات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ 5 ) :‫االشتقاق‬ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏 − 𝒙𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫بالجذر‬ ⟹ 𝒙 = ±𝟏 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 2012-2
  • 95.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫في‬ ‫متناقصة‬ {𝑥: −1 < 𝑥 < 0} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏} ‫في‬ ‫ومتزايدة‬ {𝑥: 0 < 𝑥 < 𝟏} ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < −1} f(−𝟏) = 𝟐(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (−𝟏, 𝟏) f(0) = 𝟎 ⟹ (𝟎, 𝟎) f(𝟏) = 𝟐(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟒 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ⟹ (𝟏, 𝟏) 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟎 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒙 = ± 𝟏 √𝟑 ‫الدالة‬ ‫اذا‬ f ‫مقعرة‬ ‫في‬ {𝑥: − 𝟏 √𝟑 𝑥 < 𝟏 √𝟑 } ‫في‬ ‫ومحدبة‬ {𝑥: 𝑥 > 𝟏 √𝟑 } ‫و‬ {𝑥: 𝑥 < − 𝟏 √𝟑 } f ( 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐( 𝟏 √𝟑 )𝟐 − ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ ( 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) f (− 𝟏 √𝟑 ) = 𝟐(− 𝟏 √𝟑 )𝟐 − (− 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟗 = 𝟓 𝟗 ⟹ (− 𝟏 √𝟑 , 𝟓 𝟗 ) 𝒙 0 √𝟐 −√𝟐 − 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝒚 0 0 0 𝟓 𝟗 𝟓 𝟗 ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫صغرى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫عظمى‬ ‫محلية‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
  • 96.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ h) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏 𝒙𝟐+𝟏 i) 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟐 j) 𝒇(𝒙) = 𝟔 𝒙𝟐+𝟑
  • 97.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬ ‫مسا‬ ‫لحل‬ :‫والصغى‬ ‫العظمى‬ ‫بالنهايات‬ ‫المتعلقة‬ ‫ئل‬  . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫او‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عبارة‬ ‫على‬ ‫عادة‬ ‫المسائل‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫يحوي‬  . ‫المتغيرات‬ ‫ونفرض‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫المسألة‬ ‫يوضح‬ ‫شكال‬ ‫نرسم‬  .‫المسألة‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫نعين‬  ‫م‬ ‫بعالقة‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫المتغيرات‬ ‫نربط‬ ‫ان‬ ‫نحاول‬ . ‫ا‬  . ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫لتصبح‬ ‫االرتباط‬ ‫دالة‬ ‫في‬ ‫العالقة‬ ‫نعوض‬  ( , ‫النهايات‬ ‫انوع‬ ‫ونحدد‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نجد‬ ‫اكبر‬ |‫صغرى‬ ‫نهاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫عظمى‬ ‫نعاية‬ = ‫يمكن‬ ‫ما‬ ) :‫مثال‬ . ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫اضيف‬ ‫اذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = x ⟸ = ‫العدد‬ ‫مربع‬ 𝒙𝟐 . 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 = −𝟏 ⟹ 𝒙 = − 𝟏 𝟐 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ∴ ‫هو‬ ‫العدد‬ − 1 2 . ‫الدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = − 𝟏 𝟐
  • 98.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ : ‫مثال‬ = ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫صندوق‬ 12 cm ‫اربعة‬ ‫بقص‬ ‫وذلك‬ ‫اركانه‬ ‫من‬ ‫االبعاد‬ ‫متساوية‬ ‫صغيرة‬ ‫مربعات‬ ‫ا‬ ‫لهذه‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬ ‫ماهو‬ , ‫منها‬ ‫البارزة‬ ‫االجزاء‬ ‫ثني‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫العلبة‬ /‫الحل‬ = ‫المقطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ x ⟸ = ‫الصندوق‬ ‫اضالع‬ 12-2x, 12-2x, x ‫الصندوق‬ ‫حجم‬ V ‫الطول‬ = × ‫العرض‬ × ‫االرتفاع‬ 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙) 𝑽(𝒙) = 𝒙(𝟏𝟐 − 𝟐𝒙)𝟐 = 𝒙(𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) = 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟐(𝟏𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ (𝟔 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟐 X=6 ‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غير‬ 12-2(6)=12-12=0 ‫فأن‬ ‫لذا‬ x=2 𝑽 ́ ́ (𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟐𝟒(𝟐) = −𝟗𝟔 + 𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 < 𝟎 𝑽(𝟐) = 𝟐(𝟏𝟐 − 𝟐(𝟐))𝟐 = 𝟐(𝟖)𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑 ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬ 𝒙 = 𝟐 ‫اذا‬ ‫هو‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬
  • 99.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ :‫مثال‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 12 cm ‫ثم‬ , ‫كنسبة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ 𝟑√𝟑 𝟒 . / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ , b = 2x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫لنجد‬ ‫فيثاغورس‬ ‫مبرهنة‬ ‫نستخدم‬ 𝑥2 + (ℎ − 12)2 = 144 𝑥2 + ℎ2 − 24ℎ + 144 = 144 𝑥2 = 24ℎ − ℎ2 ⟹ 𝒙 = √𝟐𝟒𝒉 − ℎ2 … (𝟏) ‫بما‬ ‫تمثل‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫المثلث‬ ‫بعدي‬ ‫ايجاد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫مسا‬ ‫القاعدة‬ ‫نصف‬ = ‫المثلث‬ ‫حة‬ × ‫االرتفاع‬ 𝐴(ℎ) = 1 2 𝑏ℎ = 1 2 (2𝑥)ℎ = 𝑥ℎ = 𝒉√𝟐𝟒𝒉 − ℎ 2 = √𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 𝟐√𝟐𝟒ℎ 3 − ℎ 4 ⟹ 𝑨 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟕𝟐ℎ 2 − 4ℎ 3 = 0 ⟹ 𝟒ℎ 2 (18 − ℎ) = 0 ⟹ ℎ 2 = 0 𝑜𝑟 ℎ = 18 ℎ = 18 𝑐𝑚 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫الن‬ h ‫الجذر‬ ‫توحيد‬ ‫فيمكن‬ ‫موجبة‬ h=0 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬
  • 100.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝒙 = √𝟐𝟒(𝟏𝟖) − (18) 2 = √𝟏𝟎𝟖 = 𝒙 = 𝟔√𝟑 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟔√𝟑) = 𝟏𝟐√𝟑 𝒄𝒎 𝑨𝟏 = 𝝅𝑟2 = 𝜋(12) 2 = 144 𝜋 𝑐𝑚2 𝑨𝟐 = 𝒙𝒉 = 𝟔√𝟑(18) = 108√𝟑 𝑐𝑚2 ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫الدائرةمساحة‬ = 𝑨𝟐 𝑨𝟏 = 108√𝟑 144 𝜋 = 𝟑√𝟑 𝟒𝝅 ========================================================= : ‫مثال‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫مسنتطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 24 cm ‫وارتفاعه‬ 18cm ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورين‬ ‫رأسين‬ ‫ان‬ ‫بحين‬ .‫ساقيه‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫الباقيين‬ ‫والرأسين‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ / ‫الحل‬ ‫نفرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬ = y , ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ = x ‫نفرض‬ ‫هي‬ ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ bcq ‫هي‬ ‫الصغير‬ ‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ ‫نفرض‬ btr ‫المثلثان‬ bcq , btr ‫زواياهم‬ ‫لتساوي‬ ‫متشابهان‬ ‫نحصل‬ ‫التشابه‬ ‫ومن‬ . ‫المتناظرة‬ 𝑏𝑎 𝑏𝑞 = 𝑡𝑟 𝑐𝑞 ⟹ 18 − 𝑥 18 = 𝑦 24 ⟹ 𝒚 = 24(18 − 𝑥) 18 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 𝑥) … (1) 𝑨 = 𝒙 𝒚 ‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ ‫المساحتين‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫اليجاد‬ ‫رة‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ 2013 - 2 ‫و‬ 2015 - ‫ت‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬
  • 101.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨(𝒙) = 𝒙 ( 4 3 (18 − 𝑥)) = 4 3 (18𝑥 − 𝑥2) 𝑨 ́ (𝒙) = 4 3 (18 − 2𝑥) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 4 3 (18 − 2𝑥) = 0 × 𝟑 𝟒 ⟹ 2𝑥 = 18 ⟹ 𝒙 = 𝟗 𝒄𝒎 ⟹ 𝒚 = 4 3 (18 − 9)= 4 3 (9) = 12 𝑐𝑚 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> : ‫مثال‬ ‫يساوي‬ ‫ومربع‬ ‫دائرة‬ ‫محيطي‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 60 cm ‫عن‬ ‫انه‬ ‫أثبت‬ . ‫مساحتي‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫دما‬ . ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫فان‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الشكلين‬ /‫الحل‬ = ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬ r = ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬ x ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ : ‫المحيطين‬ ‫مجموع‬ ( 60 cm ) ‫المربع‬ ‫محيط‬ = ( 4 × )‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫الدائرة‬ ‫محيط‬ + ‫القطر‬ ‫(نصف‬ × 𝟐𝝅 ) 𝟒𝒙 + 𝟐𝝅𝒓 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟔𝟎 − 𝟒𝒙 𝟐𝝅 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙) … . . (𝟏) 𝑨(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒓𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + ( 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙))𝟐 𝝅 = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) = 𝒙𝟐 + 𝝅( 𝟏 𝝅𝟐 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐)) = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝝅 (𝟗𝟎𝟎 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙𝟐) 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ + ‫المربع‬ ‫مساحة‬ = ‫الدالة‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 )
  • 102.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝝅 (−𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙) = 𝟎 × 𝝅 ⟹ 𝟐𝝅𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝝅𝒙 − 𝟔𝟎 + 𝟒𝒙 = 𝟎 ∴ 𝟒𝒙 + 𝝅𝒙 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙( 𝝅 + 𝟒) = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟎 ( 𝝅 + 𝟒) … (𝟐) 𝒓 = 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟐( 𝟔𝟎 ( 𝝅+𝟒) ))= 𝟏 𝝅 (𝟑𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 ( 𝝅+𝟒) ) = 𝟑𝟎 𝝅+𝟒 𝒄𝒎 ∴ 𝒙 = 𝟐𝒓 ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ 𝑨 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 + 𝟏 𝝅 > 𝟎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> :‫مثال‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬ y2 − x2 = 3 ‫بحيث‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقرب‬ ‫تكون‬ ( ‫للنقطة‬ 4 , 0 . ) /‫الحل‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ p(x,y) .‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ 𝐱𝟐 = 𝐲𝟐 − 𝟑 … (𝟏) 𝐬 = √(𝐱 − 𝟎)𝟐 + (𝐲 − 𝟒)𝟐 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝐲𝟐 − 𝟑 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ∴ 𝒔(𝒚) = √𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 𝒔́(𝒚) = 𝟒𝒚 − 𝟖 𝟐√𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 ⟹ 𝒔́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟖 ⟹ 𝒚 = 𝟐 𝐱𝟐 = (𝟐)𝟐 − 𝟑 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = ±𝟏 ∴ ‫النقاط‬ (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐) ( ‫نعوض‬ 2 ( ‫في‬ ) 1 ) ‫ال‬ ‫اذا‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫دالة‬ ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ( ‫في‬ ‫نعوض‬ 1 ‫احداثي‬ ‫اليجاد‬ ) x
  • 103.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫جد‬ = ‫مجموعهما‬ ‫موجبين‬ ‫عددين‬ 75 ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫االخر‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ‫احدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ . ‫يمكن‬ /‫الحل‬ ‫اال‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬ = ‫ول‬ x = ‫والثاني‬ y ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ = ‫العددين‬ ‫مجموع‬ : x+y = 75 ‫الدالة‬ = ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ : 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝒚 … (𝟏) 𝒇 = 𝒙 . 𝒚𝟐 𝒇(𝒚) = 𝒚𝟐(𝟕𝟓 − 𝒚) = 𝟕𝟓𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 𝒇 ́ (𝒚) = 𝟏𝟓𝟎𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 ⟹ 𝒇 ́(𝒚) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒚(𝟓𝟎 − 𝒚) = 𝟎 ∴ 𝒚 = 𝟎 𝒚 = 𝟓𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟓 − 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫قمة‬ y ‫الضرب‬ ‫معادلة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫النها‬ ‫تهمل‬ ‫هنا‬ f ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ 50
  • 104.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫االسطوانة‬ = h 2 , = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ r ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫ه‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ي‬ V 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐(𝟐𝒉) … . (𝟏) 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟒√𝟑 )𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 (𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝝅(𝟒𝟖 − 𝒉𝟐)(𝟐𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝝅(𝟒𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) = 𝟎 𝟑𝒉𝟐 = 𝟒𝟖 ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒉 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟑𝟐 𝒄𝒎 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ‫تمرين‬ : ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝟒√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ال‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ = ‫مستطيل‬ 2x = ‫وعرضه‬ y ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫المطاوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ 2x . y : ‫فيثاغورس‬ ‫قانون‬ ‫من‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟒√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔(𝟐) ⟹ 𝒚𝟐 = 𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫االسطوانة‬ 2012 - 3 2012 – 1 , 2013 - ‫ت‬
  • 105.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 … (𝟏) 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 . √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟔𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ) √𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟏𝟔 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟒) = 𝟖 ∴ 𝒚 = √𝟑𝟐 − 𝟏𝟔= √𝟏𝟔 = 𝟒 ======================================================== ‫تمرين‬ : ‫ساقيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫جد‬ 𝟖√𝟐 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ = ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ h ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ b = 2x ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ :‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫من‬ : 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = (𝟖√𝟐 ) 𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟔𝟒(𝟐) ⟹ 𝒉𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒃. 𝒉 = 𝟏 𝟐 (𝟐𝒙)𝒉 = 𝒙𝒉 𝑨(𝒙) = 𝒙 . √𝟏𝟐𝟖 − 𝒙𝟐 = √𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ( ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫نعوض‬ 1 ) ‫عند‬ ‫يكون‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫اذا‬ x=4 ‫المستطيل‬ ‫عرض‬ ‫المستطيل‬ ‫طول‬
  • 106.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 = 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟐√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝟔𝟒 − 𝒙𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟎 ‫يهمل‬ ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟔𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟖 ⟹ 𝒃 = 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟖) = 𝟏𝟔 ∴ 𝒉 = √𝟏𝟐𝟖 − 𝟔𝟒 = √𝟔𝟒 = 𝟖 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫اق‬ ‫جد‬ ‫مساحته‬ ‫لمستطيل‬ ‫محيط‬ ‫ل‬ 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 / ‫الحل‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬ x ,y ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ , ‫محيط‬ ‫اقل‬ 2(x+y) = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ : ‫هي‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ X . Y 𝟏𝟔 = 𝒙 . 𝒚 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝒙 … (𝟏) 𝑺 = 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝑺(𝒙) = 𝟐 (𝒙 + 𝟏𝟔 𝒙 ) = 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 𝒙 𝑺 ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟑𝟐 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 = ±𝟒 ‫عند‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ x=8 ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ( ‫من‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ‫دال‬ ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫ة‬ 2014 - ‫ت‬
  • 107.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ⟹ 𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟒 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 𝟒 = 𝟒 ⟹ 𝑺 = 𝟐(𝟒 + 𝟒) = 𝟏𝟔 𝒄𝒎 ================================================== ‫تمرين‬ : ‫حجم‬ ‫جد‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ 𝟑 𝒄𝒎 / ‫الحل‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫المخروط‬ = h 2 = ‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ , r ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫حجم‬ ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫المخروط‬ V 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 … . (𝟏) 𝒓𝟐 + (𝒉 − 𝟑)𝟐 = (𝟑)𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝟔𝒉 + 𝟗 = 𝟗 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 )𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟔𝒉𝟐 − 𝒉𝟑 ) ‫فيثاغورس‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬ 2012 - 3 ‫ممكن‬ ‫غير‬ ‫النه‬ ‫يهمل‬ ‫للمستطيل‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫للمستطيل‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫عند‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬ x=4
  • 108.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟏𝟐𝒉 − 𝟑𝒉𝟐 ) ⟹ 𝑽 ́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 𝝅𝒉(𝟏𝟐 − 𝟑𝒉) = 𝟎 𝟑𝒉 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟔𝒉 − 𝒉𝟐 = 𝟔(𝟒) − (𝟒)𝟐 = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟖 ⟹ 𝒓 = √𝟖 𝒓 = 𝟐√𝟐 𝒄𝒎 ‫عند‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ h=4 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 = 𝟏 𝟑 𝝅(𝟖)(𝟒) = 𝟑𝟐 𝟑 𝝅 𝒄𝒎𝟑 =================================================================== ‫تمرين‬ : ( ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 8 , 6 ‫والذي‬ ) ‫في‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ . ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫االول‬ ‫الربع‬ /‫الحل‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ : ‫النقطة‬ p(x,0) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ x ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ = ‫والنقطة‬ q(0,y) ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ ‫محور‬ ‫مع‬ y ‫الكبير‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ = . :‫نحصل‬ ‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ 𝒂𝒃 𝒃𝒅 = 𝒆𝒄 𝒄𝒅 ⟹ 𝒚 𝒙 = 𝟖 𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟖𝒙 𝒙 − 𝟔 … . (𝟏) 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝒚 … . (𝟐) 𝑨(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒙 ( 𝟖 𝒙 − 𝟔 ) = 𝟒𝒙𝟐 𝒙 − 𝟔 ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الم‬ ‫الدالة‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ : ‫عتمدة‬
  • 109.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟖𝒙(𝒙 − 𝟔) − 𝟒𝒙𝟐(𝟏) (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 (𝒙 − 𝟔)𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙(𝒙 − 𝟏𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒐𝒓 𝒙 = 𝟎 ‫تهمل‬ ⟹ 𝒚 = 𝟖(𝟏𝟐) 𝟏𝟐 − 𝟔 = 𝟗𝟔 𝟔 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 ∴ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ x ( ‫هي‬ 12,0 ‫محور‬ ‫ومع‬ ) y ( ‫هي‬ 0,16 . ) : ‫هي‬ ‫بنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒙 − 𝒙𝟏 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 − 𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟔 𝟏𝟐 − 𝟎 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟔 𝒙 = −𝟏𝟔 𝟏𝟐 ⟹ 𝟏𝟐(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟏𝟔𝒙 (÷ 𝟒) ⟹ 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟔) = −𝟒𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟑 𝒙 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ ‫فيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫اذا‬ ‫المستقيم‬ : ‫هي‬ ‫مثلث‬ ‫اصغر‬ ‫يصنع‬ ‫الذي‬ x=12
  • 110.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬ 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 ‫محور‬ ‫على‬ ‫االخران‬ ‫والرأسان‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫رأسان‬ ‫بحيث‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬ x ‫ثم‬ . ‫محيطه‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬  ‫هما‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ 2x ‫و‬ y  ‫مع‬ ‫المستطيل‬ ‫رؤوس‬ ‫احد‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫المنحني‬ f ‫هي‬ O . ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ / ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ 𝑨 = 𝟐𝒙 . 𝒚 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙 (𝟏𝟐 − 𝒙𝟐) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 ⟹ 𝑨 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟔) ⟹ 𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟐) = 𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝒚 = 𝟏𝟐 − (𝟐)𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒕 ‫المستطيل‬ ‫محيط‬ = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒚) = 𝟐(𝟐(𝟐) + 𝟖) = 𝟖 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒕 2012 -2 , 2017 - ‫ت‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ o ‫نعوض‬ ‫اذا‬ , ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫المنحني‬ ‫معادلة‬ ‫االول‬ ‫البعد‬ ‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫مساحة‬ ‫اعظم‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للمستطيل‬ x=2
  • 111.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫يمكن‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫ماهي‬ 8 cm ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬ 12 cm . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - = ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ h - = ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - : ‫المثلثان‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ - 𝒓 𝟔 = 𝟖 − 𝒉 𝟖 ⟹ 𝟔(𝟖 − 𝒉) = 𝟖𝒓 ⟹ 𝟖 − 𝒉 = 𝟖 𝟔 𝒓 ⟹ 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓 … (𝟏) 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … . (𝟐) 𝑽(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 (𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒓) = 𝝅 (𝟖𝒓𝟐 − 𝟒 𝟑 𝒓𝟑 ) 𝑽 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟏𝟔𝒓 − 𝟒𝒓𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒓𝝅(𝟒 − 𝒓) = 𝟎 (÷ 𝟒𝝅) ⟹ 𝒓 = 𝟎 ‫يهمل‬ 𝒐𝒓 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟖 − 𝟒 𝟑 (𝟒) = 𝟖 − 𝟏𝟔 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎 ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
  • 112.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬ 6√𝟑 𝒄𝒎 . ‫القائمين‬ ‫اضالعه‬ ‫احد‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دوره‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫المخروط‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫المخروط‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫فيثاغورس‬ ‫نظرية‬ : - 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = (6√𝟑) 𝟐 ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔(𝟑) ⟹ 𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐 … (𝟏) 𝑽 = 𝟏 𝟑 𝒓𝟐 𝝅𝒉 … (𝟐) 𝑽(𝒉) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝒉𝟐)𝝅𝒉 = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖𝒉 − 𝒉𝟑) 𝑽 ́ (𝒉) = 𝝅 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝒉𝟐) ⟹ 𝑽́ (𝒉) = 𝟎 ⟹ 𝝅 𝟑 (𝟑)(𝟑𝟔 − 𝒉𝟐) = 𝟎 ÷ 𝝅 𝒉𝟐 = 𝟑𝟔 ⟹ 𝒉 = 𝟔 𝒄𝒎 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐 ⟹ 𝒓 = √𝟕𝟐 = 𝟑√𝟖 𝒄𝒎 𝑽 = 𝟏 𝟑 (𝟕𝟐)𝝅(𝟔) = 𝟏𝟒𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟑 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫ذكر‬ ‫النه‬ / ‫المخروط‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ارتف‬ ‫المخروط‬ ‫اع‬ 2011-1, 2014-1 ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ h=6
  • 113.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫سعتها‬ ‫االعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الشكل‬ ‫اسطوانية‬ ‫علبة‬ 125 𝝅𝒄𝒎𝟑 ‫عندم‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬ . ‫ا‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقل‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ . /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫العلبة‬ = h - ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ = r : ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ - ‫من‬ ‫العلبة‬ ‫حجم‬ : - 𝑽 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝟏𝟐𝟓𝝅 = 𝒓𝟐 𝝅𝒉 ⟹ 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 … .(𝟏) 𝑺 = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅𝒉 . .. (𝟐) 𝑺(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝅 + 𝟐𝒓𝝅 ( 𝟏𝟐𝟓 𝒓𝟐 ) = 𝝅(𝒓𝟐 + 𝟐𝟓𝟎 𝒓 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝝅(𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 ) ⟹ 𝑺 ́ (𝒓) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒓 − 𝟐𝟓𝟎 𝒓𝟐 = 𝟎 𝟐𝒓𝟑 − 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝒓𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 ⟹ 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 𝒉 = 𝟏𝟐𝟓 (𝟓) 𝟐 = 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 = 𝟓 𝒄𝒎 ‫للعلبة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫العلبة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫العلبة‬ ‫ارتفاع‬ ‫حجم‬ ‫اقل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ ‫للعلبة‬ r=5
  • 114.
    ‫التفاضل‬ ‫تطبيقات‬ :‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ .‫د‬ ‫تمرين‬ : ‫فاذا‬ ‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬ ‫صناعته‬ ‫في‬ ‫المستخدمة‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ 𝟏𝟎𝟖𝒎𝟐 ‫حجمه‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ ‫الخزان‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬ , .‫الغطاء‬ ‫كامل‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ً‫ا‬‫علم‬ .. ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ /‫الحل‬ : ‫ان‬ ‫نفرض‬ - ‫ارتفاع‬ ‫ا‬ ‫لخزان‬ = y - ‫الخزان‬ ‫عرض‬ = x - = ‫الخزان‬ ‫طول‬ 2x ( )‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫يساوي‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫من‬ : ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫القاعدتين‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = 𝑺 = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝒙)𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙. 𝒙) ⟹ 𝟏𝟎𝟖 = 𝟐𝒚(𝟐𝒙 + 𝒙) + 𝟒𝒙𝟐 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟓𝟒 = 𝒚(𝟑𝒙) + 𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 … .(𝟏) 𝑽 = 𝟐𝒙𝟐 . 𝒚 . .. (𝟐) 𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 ( 𝟓𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙 ) = 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝟑 ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) ⟹ 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟐) = 𝟎 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 ⟹ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 = 𝟗 ⟹ 𝒙 = 𝟑𝒎 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟑) = 𝟔 𝒎 𝒚 = 𝟓𝟒 − 𝟐(𝟗) 𝟑(𝟑) = 𝟑𝟔 𝟗 = 𝟒 𝒎 ‫الخزان‬ ‫حجم‬ : ‫هي‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫نعوض‬ ( 1 ) ( ‫في‬ 2 ) ‫الخزان‬ ‫عرض‬ ‫الخزان‬ ‫ارتفاع‬ ‫للخزان‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عند‬ x=3 ‫الخزان‬ ‫طول‬