Diagwnisma_prosomoivshs_lykeio_Psychikou_2016

1. ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
Πέμπτη 14 Απριλίου 2016
ΘΕΜΑ Α (Μονάδες: 9+6+10=25)
Α1. Έστω μια συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν 𝑓′(𝑥) > 0
σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα
σε όλο το Δ.
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και να δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεία.
Α3. Να βρείτε ποιοι από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι είναι
ψευδείς.
1. Αν lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 για τα 𝑥 κοντά στο 𝑥 𝑜.
2. Αν η 𝑓: ℝ → ℝ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και 𝑓′′(𝑥 𝑜) ≠ 0, τότε το 𝛭(𝑥 𝑜, 𝑓(𝑥 𝑜))
αποκλείεται να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 𝑓.
3. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 είναι παραγωγίσιμη στο [0, +∞).
4. Κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο Δ.
5. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει 𝑓(𝑥) ≥ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ τότε
για οποιουσδήποτε 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ θα ισχύει ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
𝛽
𝛼
.
ΘΕΜΑ B (Μονάδες: 5+6+8+6=25)
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 𝑓 με σύνολο τιμών το ℝ, για την οποία ισχύει:
𝑒 𝑓(𝑥)
+ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ
Β1. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη.
Β2. Να υπολογίσετε την 𝑓−1
.
Αν 𝑓−1(𝑥) = 𝑒 𝑥
+ 𝑥 − 1, 𝑥 ∈ ℝ
B3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της 𝑓−1
.
Β4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑒
0
.

2. ΘΕΜΑ Γ (Μονάδες: 8+7+6+4=25)
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: (−1, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει:
𝑓′(𝑥) =
1
ln(𝑥 + 1)
−
𝑓(𝑥)
(x + 1)ln(𝑥 + 1)
, 𝑥 ∈ (−1,0) ∪ (0, +∞)
Γ1. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = {
𝑥
ln(𝑥+1)
, 𝑥 ∈ (−1,0) ∪ (0, +∞)
1, 𝑥 = 0
Γ2. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι γνήσια αύξουσα στο (−1, +∞) και να υπολογίσετε
το σύνολο τιμών της.
Γ3. Να λυθεί στο (0, +∞) η εξίσωση (2𝑥 + 1) 𝑥
= (𝑥2
+ 1)2
.
Γ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝜉 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 𝑓′(𝜉) =
1−𝑙𝑛2
𝑙𝑛2
.
ΘΕΜΑ Δ (Μονάδες: (3+5)+(3+5)+(6+3)=25)
Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥, 𝑥 > 0. Υλικό σημείο 𝛢(𝛼, 𝑙𝑛𝛼) κινείται πάνω στην
γραφική παράσταση της 𝑓. Αν (𝜀) είναι η εφαπτομένη της 𝐶𝑓 στο σημείο 𝛢 και 𝛼 > 𝑒
Δ1. να υπολογίσετε ως συνάρτηση του 𝛼:
(α). το σημείο τομής 𝛣 της (𝜀) με τον άξονα 𝑥′𝑥
(β). το εμβαδόν του χωρίου 𝛺 που περικλείεται από την ευθεία (𝜀), την 𝐶𝑓 και τον
άξονα 𝑥′𝑥.

3. Η τετμημένη 𝛼(𝑡) του σημείου Α και ο ρυθμός μεταβολής της 𝛼′(𝑡) ικανοποιεί τις
σχέσεις:
 𝛼′(𝑡) = 𝛼(𝑡)
 𝛼(2) = 𝑒2
Δ2. Να υπολογίσετε για τη χρονική στιγμή 𝑡1 = 2 𝑠𝑒𝑐 τους ρυθμούς μεταβολής:
(α). της τετμημένης του σημείου Β που η (𝜀) τέμνει τον άξονα 𝑥′𝑥
(β). της γωνίας ω που σχηματίζει η (𝜀) με τον άξονα 𝑥′𝑥.
(δίνεται ότι
1
𝜎𝜐𝜈2 𝑥
= 𝜀𝜑2
𝑥 + 1)
Δ3. Αν Γ η προβολή του σημείου Α στον άξονα 𝑥′𝑥
(α). να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση του σημείου Α ώστε η 𝐶𝑓 να χωρίζει
το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
(β). Αν 𝛼(𝑡2) η τετμημένη του Α, όταν η 𝐶𝑓 χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο
ισεμβαδικά χωρία, να αποδείξετε ότι 2 < 𝑡2 < 3.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες
Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα
Καλή τύχη
Επιμέλεια θεμάτων:
Βαλιάδης Κωνσταντίνος
Μπαμπουκλής Φώτιος
Χρόνης Νικόλαος