Μαθήματικά E΄τάξης: Σχέδια μαθήματος GeogebraMartaki Fani
Τρία σχέδια μαθήματος που υλοποιήθηκαν με τη βοήθεια εφαρμογών που καταστευάστηκαν στο λογισμικό geogebra.
Το πρώτο αφορά την περίμετρο και το εμβαδόν και βασίστηκε σε μια δικιά μου εφαρμογή. Το δεύτερο αφορά στα πολλαπλάσια και τους διαρέτες και βασίστηκε σε έτοιμη εφαρμογή. Το τρίτο αφορά το Ε.Κ.Π. και βασίστηκε σε έτοιμη εφαρμογή.
Μαθήματικά E΄τάξης: Σχέδια μαθήματος GeogebraMartaki Fani
Τρία σχέδια μαθήματος που υλοποιήθηκαν με τη βοήθεια εφαρμογών που καταστευάστηκαν στο λογισμικό geogebra.
Το πρώτο αφορά την περίμετρο και το εμβαδόν και βασίστηκε σε μια δικιά μου εφαρμογή. Το δεύτερο αφορά στα πολλαπλάσια και τους διαρέτες και βασίστηκε σε έτοιμη εφαρμογή. Το τρίτο αφορά το Ε.Κ.Π. και βασίστηκε σε έτοιμη εφαρμογή.
This document is a chapter from a Greek first year high school mathematics textbook. It covers the topics of positive and negative real numbers, absolute value, opposites, and comparing real numbers. Some key points covered include: defining positive and negative numbers, their placement on the number line; absolute value as the distance from zero; opposites having the same absolute value but different signs; and the absolute value of positive numbers being themselves and negatives being their opposites. Examples are provided to illustrate these concepts along with exercises for students to practice.
1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
10 Λυμένες Ασκήσεις στην Κινηματική απο τον Διονύση ΜάργαρηHOME
10 Λυμένες Ασκήσεις στην Κινηματική απο τον Διονύση Μάργαρη
Συγγραφέας: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr
Επιλογή Ασκήσεων και Επεξεργασία στον Η/Υ για το site www.lam-lab.com: Λάμπρος Αδάμ
Θέματα 2015-2016 της Γ γυμνασίου στα μαθηματικά από γυμνάσια της Δυτικής Θεσσαλονίκης, από εκπαιδευτικούς της (όπως αναφέρονται στο αρχείο). Συλλογή που έκανε ο τότε σχολικός σύμβουλος κ. Κώστας Μπουραζάνας.
This document is a chapter from a Greek first year high school mathematics textbook. It covers the topics of positive and negative real numbers, absolute value, opposites, and comparing real numbers. Some key points covered include: defining positive and negative numbers, their placement on the number line; absolute value as the distance from zero; opposites having the same absolute value but different signs; and the absolute value of positive numbers being themselves and negatives being their opposites. Examples are provided to illustrate these concepts along with exercises for students to practice.
1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
10 Λυμένες Ασκήσεις στην Κινηματική απο τον Διονύση ΜάργαρηHOME
10 Λυμένες Ασκήσεις στην Κινηματική απο τον Διονύση Μάργαρη
Συγγραφέας: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr
Επιλογή Ασκήσεων και Επεξεργασία στον Η/Υ για το site www.lam-lab.com: Λάμπρος Αδάμ
Θέματα 2015-2016 της Γ γυμνασίου στα μαθηματικά από γυμνάσια της Δυτικής Θεσσαλονίκης, από εκπαιδευτικούς της (όπως αναφέρονται στο αρχείο). Συλλογή που έκανε ο τότε σχολικός σύμβουλος κ. Κώστας Μπουραζάνας.
1) Διαίρει και Βασίλευε
1.1) Ο αλγόριθμος MergeSort (Ταξινόμηση με Συγχώνευση)
1.2) Ο αλγόριθμος QuickSort (Γρήγορη Ταξινόμηση)
1.3) Ο αλγόριθμος QuickSelect (Γρήγορη Επιλογή)
1.4) Ο αλγόριθμος Strassen για τον πολλαπλασιασμό πινάκων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγή
1.1) Είδη Προβλημάτων
1.2) Μοντέλα Υπολογισμού
2) Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας - SAT
2.1) Διατυπωση του προβλήματος
2.2) To SAT λύνεται σε ντετερμιιστικό εκθετικό χρόνο.
2.3) To SAT λύνεται σε ντετερμινιστικό πολυωνυμικό χρόνο?
2.4) Το SAT λύνεται σε μη ντετερμινιστικό πολυωνυμικό χρόνο.
2.5) Σύνοψη για το πρόβλημα SAT
3) Θεωρία Πολυπλοκότητας
3.1) Η κλάση P
3.2) Η κλάση NP
3.3) Η κλάση EXP
3.4) P ⊆푵NP푷⊆퐄EXP퐗퐏
3.5) NP-πληρότητα
4) NP-πληρότητα
4.1) Αποδείξεις NP-πληρότητας
4.2) Ιδιότητες NP-Complete προβλημάτων
4.3) Το ανοικτό πρόβλημα P=NP
4.4) Η κλάση NP-Complete
4.5) Ιεραρχία κλάσεων αν P ≠ NP푷
4.6) Ιεραρχία κλάσεων αν P = NP푷
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Κύκλος Hamilton
1.1) Ορισμός Κύκλου Hamilton
1.2) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton (κατασκευαστικές, θεώρημα Dirac, θεώρημα Ore)
1.3) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton (Απόδειξη εξαντλητικής περιπτωσιολογίας).
Ασκήσεις
1) Θεωρία
1.1) Κύκλος Ανάπτυξης Προγράμματος
1.1.1) Βήματα Δημιουργία ενός Προγράμματος
1.1.2) Κατέβασμα και εγκατάσταση του Dev-C++
1.2) Το πρώτο πρόγραμμα σε C
1.2.1) Περιγραφή του προγράμματος
1.2.2) Συγγραφή του προγράμματος
1.2.3) Μεταγλώττιση του προγράμματος
1.2.4) Σύνδεση των αρχείων
1.2.5) Εκτέλεση του προγράμματος
1.2.6) Λίγα λόγια για το πρόγραμμα
2) Ασκήσεις
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Οι πιθανότητες και η µοντελοποίηση τους µέσω της επίλυσης 2
συνδυαστικών προβληµάτων.
Τα ζάρια και η διαχείρισή τους για τον υπολογισµό µιας πιθανότητας.
Επίπεδο Β
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
(-)
Επίπεδο Γ
(-)
4. Β. Θεωρία
Πιθανότητες
Συνεπώς για να µετρήσουµε την πιθανότητα να συµβεί κάποιο γεγονός:
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
Ορισµός:
Αν υπάρχουν n ισοπίθανα ενδεχόµενα (συνήθως διαφορετικοί τρόποι) να
συµβεί ένα γεγονός, τότε η πιθανότητα να προκύψει ένα από αυτά είναι
1/n
Συνεπώς για να µετρήσουµε την πιθανότητα να συµβεί κάποιο γεγονός:
1. Μετράµε όλα τα ισοπίθανα ενδεχόµενα, έστω ότι είναι n
2. Μετράµε τα ενδεχόµενα να συµβεί το γεγονός, έστω ότι είναι m
Τότε η πιθανότητα να συµβεί το γεγονος είναι p=m/n
Ενώ στην συνήθη εκφώνηση «ποια η πιθανότητα να συµβεί ένα γεγονός όταν
ισχύει ένας περιορισµός»
1. Μετράµε τα ενδεχόµενα χωρίς τον περιορισµό, έστω ότι είναι n
2. Μετράµε τα ενδεχόµενα µε τον περιορισµό, έστω ότι είναι m
Τότε η πιθανότητα να συµβεί το γεγονος είναι p=m/n
5. Γ. Μεθοδολογία
1. Ζάρια
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ:
Προσοχή στα ΖΑΡΙΑ:
• Γνωρίζουµε ότι τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 21 (ως Συνδυασµοί Με Επανάληψη).
Ωστόσο αυτά δεν είναι ισοπίθανα ενδεχόµενα (Η ζαρια ασσόδυο µπορεί να έρθει µε 2
τρόπους: 1-2 και 2-1, ενώ η ζαριά εξάρες µε ένα τρόπο: 6-6)
• Τα ισοπίθανα ενδεχόµενα προκύπτουν από έναν απλό κανόνα γινοµένου ως 6*6=36 (δηλαδή
6 επιλογές για το 1ο ζάρι και 6 επιλογές για το 2ο ζάρι)
Παράδειγµα: Ποια η πιθανότητα να φέρω διπλές?
ΛΥΣΗ: Η πιθανότητα είναι 6/36=1/6
Παράδειγµα: Ποια η πιθανότητα να φέρω ασόδυο?
ΛΥΣΗ: Η πιθανότητα είναι 2/36=1/18
Παράδειγµα: Ποια η πιθανότητα να φέρω τουλάχιστον έναν άσσο?
ΛΥΣΗ: Η πιθανότητα είναι
6 επιλογές για το 1 ζάρι και 6 επιλογές για το 2 ζάρι)
Άρα γενικά όταν υπολογίζω πιθανότητα για ΖΑΡΙΑ πρέπει να δουλέψω µε απλό κανόνα
γινοµένου, δηλαδη σαν τα ζάρια να είναι διακεκριµένα
36
11
36
5566
=
⋅−⋅
6. Γ. Μεθοδολογία
2. Κληρώσεις
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ:
Συνήθης άσκηση είναι να γίνεται κλήρωση αριθµού µε επανατοποθέτηση
• Είναι σηµαντικό ΠΑΝΤΑ να δουλεύουµε µε απλό κανόνα γινοµένου (µε µία παύλα-θέση για
κάθε κλήρωση):
• Στον παρονοµαστή όλοι οι τρόποι
• Στον αριθµητη βάζω τους τρόπους που ικανοποιούν τον περιορισµό
Στο τελικό αποτέλεσµα ίσως να χρειαστεί κάποια απλή πράξη απλοποίησης των κλασµάτων.
Παράδειγµα: Γίνονται 2 κληρώσεις ενός αριθµού από το 1 εώς το 10
Α) Ποια η πιθανότητα να έρθει 5 στην 1η κλήρωση και άρτιος στην 2η κλήρωση
Β) Ποια η πιθανότητα να µην έρθει 3 σε καµία κλήρωση:
Στο τελικό αποτέλεσµα ίσως να χρειαστεί κάποια απλή πράξη απλοποίησης των κλασµάτων.
100
5
1010
51
=
⋅
⋅
100
81
1010
99
=
⋅
⋅
7. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
Θεωρούµε τα αποτελέσµατα της ταυτόχρονης ρίψης δύο ίδιων ζαριών (ένα ζάρι µπορεί
να φέρει 1, 2, 3, 4, 5, ή 6, όλα τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα). Ποιες από τις παρακάτω
προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο αριθµός των διαφορετικών αποτελεσµάτων είναι 36 .
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
2. Η πιθανότητα τουλάχιστον ένα ζάρι να φέρει 1 είναι ίση µε 11/36.
3. Η πιθανότητα τα δύο ζάρια να φέρουν το ίδιο αποτέλεσµα είναι ίση µε 1/6.
4. H πιθανότητα κάποιο ζάρι να φέρει 5 και το άλλο ζάρι να φέρει 6 είναι ίση µε 1/36.
8. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
Τέσσερις αριθµοί από το 0 µέχρι το 9 κληρώνονται τυχαία (και ισοπίθανα) από τέσσερις
διακεκριµένες κληρωτίδες. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο αριθµός των διαφορετικών αποτελεσµάτων της κλήρωσης είναι ίσος µε 410.
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
2. Υπάρχουν 104 – 94 διαφορετικά αποτελέσµατα όπου κληρώνεται τουλάχιστον ένα 0.
3. Υπάρχουν 94 διαφορετικά αποτελέσµατα όπου δεν κληρώνεται κανένα 0.
4. H πιθανότητα το άθροισµα των τεσσάρων αριθµών να είναι ίσο µε 1 είναι ίση µε
4/104.
9. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 3
Θεωρούµε δύο κληρώσεις ενός ακέραιου αριθµού από το 1 µέχρι το 10. Κάθε αριθµός
προκύπτει µε πιθανότητα 1/10 σε κάθε κλήρωση και τα αποτελέσµατα των δύο
κληρώσεων είναι ανεξάρτητα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες
όχι;
1.1. ΗΗ πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι περιττός αριθµός και στις δύο κληρώσεις είναιπιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι περιττός αριθµός και στις δύο κληρώσεις είναι
1/4.1/4.
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.7: Πιθανότητες
2.2. ΗΗ πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι άρτιος αριθµός σε τουλάχιστον µία από τις δύοπιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι άρτιος αριθµός σε τουλάχιστον µία από τις δύο
κληρώσεις είναι 3/4.κληρώσεις είναι 3/4.
3.3. ΗΗ πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι 10 και στις δύο κληρώσεις είναι 1/100.πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι 10 και στις δύο κληρώσεις είναι 1/100.
4. Η πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι 10 σε τουλάχιστον µία από τις δύο κληρώσεις
είναι 19/100.