1) Προτασιακή Λογική 1.1) Προτασιακή Γλώσσα 1.2) Προτασιακοί Τύποι 1.2.1) Προτεραιότητα Συνδέσμων 1.2.2) Δενδροδιάγραμμα Τύπου 1.3) Αποτίμηση Τύπου 2) Χαρακτηρισμός Τύπων 2.1) Ταυτολογία 2.2) Αντίφαση 2,3) Ικανοποιήσιμος Τύπος 3) Κανονική Διαζευκτική Μορφή Μεθοδολογία - Ασκήσεις

1. ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Μάθηµα 2.1:
Προτασιακοί ΤύποιΠροτασιακοί Τύποι
∆ηµήτρης Ψούνης

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
1. Προτασιακή Γλώσσα
2. Προτασιακοί Τύποι
1. Προτεραιότητα Συνδέσµων
2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου
3. Αποτίµηση Τύπου
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
1. Ταυτολογία
2. Αντίφαση
3. Ικανοποιήσιµος Τύπος
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Γ.Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές

3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Η προτασιακή γλώσσα
Προτασιακοί τύποι και χαρακτηρισµοί τους
Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή Τύπου
Επίπεδο Β
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(-)
Επίπεδο Γ
(-)

4. B. Θεωρία
Μαθηµατική Λογική
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Η Μαθηµατική Λογική είναι η προσπάθεια να µοντελοποιήθουν µε
µαθηµατικά:
Η ανθρώπινη γλώσσα, και το συντακτικό της.
Ο τρόπος µε τον οποίο συνδυάζουµε επιχειρήµατα προκειµένου να
εξάγουµε συµπεράσµατα.
Προκειµένου να επιτευχθεί αυτός ο (δύσκολος) στόχος, κατασκευάζονται σε
στάδια γλώσσες που µπορούν να µοντελοποιήσουν ολοένα και πιο
περίπλοκες δοµές της συµπερασµατολογίας, αλλά και της περιγραφής του
κόσµου:
Η Προτασιακή Γλώσσα ( Γ0-Γλώσσα Βαθµού 0) είναι απλή λογική που
µοντελοποιεί προτάσεις που είναι Α(ληθείς) ή Ψ(ευδέις).
Η Γλώσσα της Κατηγορηµατικής Λογικής (Γ1-Γλώσσα Βαθµού 1) είναι
προχωρηµένη λογική που µπορεί να µοντελοποιήσει περίπλοκες
προτάσεις των µαθηµατικών.
….και πολλές ακόµη που είναι εκτός ύλης….

5. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
1. Προτασιακή Γλώσσα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

6. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬

7. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι (1.Προτεραιότητα συνδέσµων)
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Καθορίζεται προτεραιότητα των λογικών τελεστών, ώστε να µην είναι
αναγκαία η πλήρης παρενθετοποίηση των προτασιακών τύπων:
Παραδείγµατα:
1. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:
2. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:
3. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται ως
εξής:
qp ∧¬ ))(( qp ∧¬
rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→
rqqp ¬∨↔¬∧
( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧

8. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι (2.∆ενδροδιάγραµµα Τυπου)
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Η προτεραιότητα των λογικών συνδέσµων υποδεικνύεται και µε το
δενδροδιάγραµµα του τύπου που υποδεικνύει την προτεραιότητα των
λόγικών πράξεων.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να κατασκευαστεί το δενδροδιάγραµµα του τύπου: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
Πρακτικά στο δενδροδιάγραµµα σε κάθε µετάβαση «διώχνουµε» τον
λογικό σύνδεσµο µε την χαµηλότερη προτεραιότητα.
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→
p q¬ rp → q¬
qq p r

9. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Αποτίµηση των µεταβλητών είναι να αναθέσουµε τιµές Α (=αλήθεια) ή Ψ (=Ψέµα)
στις προτασιακές µεταβλητές ενός τύπου. Είναι δηλαδή µια συνάρτηση α που
δίνει τιµές στις προτασιακές µεταβλητές:
Η αποτίµηση ενός τύπου είναι η διαδικασία που εφαρµόζουµε προκειµένου να
καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση
},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa
Με µια αποτίµηση των µεταβλητών, µπορούµε να αποτιµήσουµε έναν
προτασιακό τύπο, µε βάση τον αληθοπίνακα των προτασιακών συνδέσµων:
καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση
των προτασιακών µεταβλητών.
Α Α Ψ Α Α Α Α
Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

10. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:
Α Α Ψ Α Α Α Α
Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:
Ο τύπος έχει την αντίθετη τιµή από τον τύπο
Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν
είναι Α αν έστω ένα από τα είναι Α
Ο τύπος είναι Α µόνο όταν
είναι Ψ αν έστω ένα από τα είναι Ψ
Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν (δηλαδή )
είναι Α σε κάθε άλλη περίπτωση και ισχύουν:
και
Ο τύπος είναι Α όταν (έχουν την ίδια τιµή)
είναι Ψ όταν (έχουν διαφορετική τιµή)
φ¬ φ
ψφ ∧ Α==ψφ
ψφ,
ψφ ∨ Ψ==ψφ
ψφ,
ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α
Α=→Ψ ... Α=Α→...
ψφ ↔ ψφ =
ψφ ≠

11. B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Με χρήση του πίνακα αλήθειας των προτασιακών συνδέσµων µπορούµε να
αποτιµήσουµε οποιονδήποτε προτασιακό τύπο, όταν έχουµε γνώση της
αποτίµησης των προτασιακών µεταβλητών:
Χρήσιµη θα φανεί η προτεραιότητα των τελεστών έτσι ώστε να κάνουµε
σωστά την σειρά των λογικών πράξεων:
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των
µεταβλητών:
Λύση:
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των
µεταβλητών:
Λύση:
rqqp ¬∨→¬∧
Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp
rqqp ¬∨→¬∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp
Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa

12. B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Ένας προτασιακός τύπος θα χαρακτηρίζεται:
Ταυτολογία: Αν είναι Αληθής για κάθε αποτίµηση
Αντίφαση: Αν είναι Ψευδής για κάθε αποτίµηση
Ικανοποιήσιµος: Αν υπάρχει αποτίµηση για την οποία είναι αληθής.

13. B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
1. Ταυτολογία
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ταυτολογία, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)
Ορισµός:
Ένας προτασιακός τύπος είναι ταυτολογία αν είναι αληθής για όλες τις
αποτιµήσεις των µεταβλητών.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ταυτολογία
Α’ τρόπος:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Συνεπώς είναι ταυτολογία
Β’ τρόπος: Παρατηρούµε ότι είναι πάντα Ψ, άρα ο τύπος είναι άρα είναι
πάντα αληθής
( ) qpp →¬∧
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
( ) qpp →¬∧qp
( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧
( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧
( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ
( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
( )pp ¬∧ ...→Ψ

14. B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
2. Αντίφαση
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι αντίφαση, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)
Ορισµός:
Ένας προτασιακός τύπος είναι αντίφαση αν είναι ψευδής για όλες τις
αποτιµήσεις των µεταβλητών.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι αντίφαση
Α’ τρόπος:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Συνεπώς είναι αντίφαση
Β’ τρόπος:
Αν p=Ψ, τότε ο τύπος είναι
Αν p=A, τότε ο τύπος είναι . ‘Αρα είναι αντίφαση.
( )pqp →¬∧
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
qp ( )pqp →¬∧
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α
( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ
( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
Ψ=∧Ψ ...
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q

15. B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
3. Ικανοποιήσιµος Τύπος
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ικανοποιήσιµος, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε τουλάχιστον µία γραµµή: Α(ληθής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
Ορισµός: Ένας προτασιακός τύπος είναι ικανοποιήσιµος αν είναι αληθής για
τουλάχιστον µία αποτίµηση των προτασιακών µεταβλητών.
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ικανοποιήσιµος
Λύση:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Άρα είναι ένας ικανοποιήσιµος τύπος (γιατί π.χ. ικανοποιείται µε την αποτίµηση p=A, q=A)
( )qpp →→
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
qp ( )qpp →→
( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp
Σηµαντικό! Κάθε ταυτολογία είναι ικανοποιήσιµος τύπος!

16. B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Ορισµός:
Ένας τύπος είναι σε κανονική διαζευκτική µορφή (Κ∆Μ), αν είναι της µορφής:
όπου κάθε ψi είναι της µορφής:
Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών
nψψψ ∨∨∨ ...21
1 2
... mi i ix x x∧ ∧ ∧
Κάθε τύπος γράφεται σε κανονική διαζευκτική µορφή µε την εξής διαδικασία:
Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών

17. B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Βήµα 1: Κατασκευή Αληθοπίνακα
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η Κ.∆.Μ. του τύπου:
Λύση:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
( )rqp →¬→
Α Α Α
Α Α Ψ
qp ( )rqp →¬→r
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
Ο πίνακας αληθεύει στην 2η, την 5η, την 6η, την 7η και την 8η γραµµή.
Α Α Ψ
Α Ψ Α
Α Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α
Ψ Ψ Ψ
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

18. B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Βήµατα 2-3: Εξαγωγή Κανονικής ∆ιαζευκτικής Μορφής
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(…συνέχεια…)
Γράφουµε κάθε γραµµή που αληθεύει ο τύπος σαν σύζευξη:
• Η 2η γραµµή:
• Η 5η γραµµή:
• Η 6η γραµµή:
rqp ¬∧∧
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧∧¬
• Η 6 γραµµή:
• Η 7η γραµµή:
• Η 8η γραµµή:
Συνεπώς η κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου είναι:
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧¬∧¬
rqp ¬∧¬∧¬
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧
( )rqp →¬→

19. Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

20. Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

21. Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

22. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
1. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=A, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ
2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
)( qrpp ¬→↔¬∧
2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=Ψ, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ
)()( rqqp ∧¬∨∧¬

23. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να κατασκευάσετε τον πίνακα αλήθειας των τύπων:
Α)
Β)
)()(1 qpqp ∨↔∧=φ
))(()(2 ppqpp →→→→=φ
Γ)
Και µε βάση τον πίνακα αλήθειας να εξετάσετε για κάθε τύπο, αν είναι
ταυτολογία, αντίφαση ή ικανοποιήσιµος.
)()(3 qrrp →∨¬∧=φ

24. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να εξετάσετε αν ο ακόλουθος τύπος είναι ταυτολογία, αντίφαση ή
ικανοποιήσιµος κατασκευάζοντας τον πίνακα αλήθείας του:
( )rqp →→=1φ

25. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να βρείτε την κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου:
qpqp ∧→∨=1φ

26. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Οι παρακάτω τύποι είναι ταυτολογίες.
1. 1 2 1( )p p p∨ →
2.
3.
4.
1 1 2( )p p p→ ∨
1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧
1 1 2( )p p p→ →

27. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2 είναι προτασιακές µεταβλητές
1.1. Ο τύποςΟ τύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία
2.2. ΟΟ τύποςτύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
1 2 1( )p p p∨ →
1 2 1( )p p p∧ →2.2. ΟΟ τύποςτύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
3.3. Ο τύποςΟ τύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
4.4. ΟΟ τύποςτύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία
1 2 1( )p p p∧ →
1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨
( )212 ppp →→

28. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(Α) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις είναι τύποι της ΠΛ:
i) (p → ¬q) → (p¬q)
ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q
iii) p → (¬q → r ∨ q)
iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))
v) p → q → r
vi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)
(Β) Ποιές από τις εκφράσεις του ερωτήµατος 1 που είναι τύποι, είναι της
µορφής: i) φ → ψ, ii) φ → (ψ → χ). Σε κάθε µια από τις περιπτώσεις, εξηγείστε
ποιοι είναι οι αντίστοιχοι υποτύποι φ, χ, ψ.

29. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Βρείτε µία αποτίµηση που να ικανοποιεί την πρόταση
ΑιτιολογήστεΑιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.
3 3 1 1 1 2 1 2 3 4
1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5
(( ) ) (( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p
∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →
∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬
ΑιτιολογήστεΑιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.