SlideShare a Scribd company logo
ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Μάθηµα 4.5:
Κύκλος HamiltonΚύκλος Hamilton
∆ηµήτρης Ψούνης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
1. Ορισµός
2. Πως δείχνουµε ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton
3. Πως δείχνουµε ότι ένα γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
∆. Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Νέοι Ορισµοί (Κύκλος Hamilton)
Ασκήσεις: Ερωτήσεις
Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης
Επίπεδο Β
Ασκήσεις: Εφαρµογές
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Ασκήσεις: Εφαρµογές
Επίπεδο Γ
Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
1. Ορισµός
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Άσκηση: Ποια από τα παρακάτω γραφήµατα περιέχουν κύκλο Hamilton;
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
1. Ορισµός
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Αν ξέρω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton, τότε θα πρέπει να σκέφτοµαι ότι το
γράφηµα µπορεί να απεικονισθεί στο επίπεδο ως εξής:
∆ηλαδή είναι καθαρός κύκλος που περιλαµβάνει όλες τις κορυφές του γραφήµατος
• Ο κύκλος αποτελείται από n ακµές.
• Το γράφηµα µπορεί να έχει και οσεσδήποτε επιπλέον ακµές
• Κάθε κορυφή έχει βαθµό τουλάχιστον 2
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
2. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Για να δείξω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton έχω 3 τρόπους:
1. Καταγράφοντας τον στο γράφηµα (δηλαδή καταγράφω την ακολουθία κορυφών
που συνδέονται µε διαδοχικές ακµές και δηµιουργούν τον κύκλο Hamilton
2. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Dirac:2. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Dirac:
1. «Αν κάθε κορυφή έχει βαθµό ≥ n/2 τότε το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton» (όπου
n>3 είναι το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος)
3. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Ore:
1. «Αν κάθε ζεύγος κορυφών έχει άθροισµα βαθµών ≥ n τότε το γράφηµα έχει κύκλο
Hamilton» (όπου n>3 είναι το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος)
Τα θεωρήµατα αυτά είναι αδύναµα (διότι δεν είναι ισοδυναµίες) άρα δεν θα τα δούµε συχνά να
χρησιµοποιούνται στην πράξη. Πρακτικά εξασφαλίζουν µία συνθήκη ύπαρξης του κύκλου Hamilton
εφόσον το γράφηµα έχει πολλές ακµές, που είναι και λογικό να υπάρχει κύκλος Hamilton.
Μέχρι σήµερα δεν έχει βρεθεί ένας αποδοτικός τρόπος (αλγόριθµος) εξέτασης του αν το γράφηµα
έχει κύκλο Hamilton. Το πρόβληµα είναι NP-Complete (βλέπε ΠΛΗ30)
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Για να δείξω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton έχω 4 πολύ απλά και προφανή
κριτήρια.
1. Το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο
2. Το γράφηµα περιέχει σηµείο κοπής
3. Το γραφηµα περιέχει γέφυρα3. Το γραφηµα περιέχει γέφυρα
4. Έστω µία κορυφή έχει βαθµό 1
5. ∆είχνοντας κατασκευαστικά ότι το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton
• Σε έναν κύκλο Hamilton όλες οι κορυφές έχουν βαθµό 2
• Αφαιρούµε διαδοχικά ακµές από κάθε κορυφή µε βαθµό > 2 µέχρι να αποκτήσει
βαθµό 2 µε όλους τους δυνατούς τρόπους
• Θα πρέπει σε κάθε περίπτωση αφαίρεσης ακµών να οδηγούµαστε ότι το
γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton.
Η απόδειξη ότι ένα γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton, ανήκει στην κατηγορία των αποδείξεων
εξαντλητικής περιπτωσιολογίας.
∆ηλαδή διακρίνουµε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για να αποκτήσει µία κορυφή βαθµό 2 και έπειτα
για κάθε µία από αυτές αποδεικνύουµε ότι δεν γίνεται να έχει κύκλο Hamilton.
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Παράδειγµα 1: Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton:
Έστω ότι το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton. Τότε στον κύκλο Hamilton κάθε κορυφή έχει βαθµό 2.
Επιβάλλω η κορυφή v1 να έχει βαθµό 2. Πρέπει να αφαιρέσουµε µία ακµή και διακρίνω 3
περιπτώσεις:
1. Αφαιρώ την ακµή [v1,v4]. Τότε η κορυφή v4 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
2. Αφαιρώ την ακµή [v1,v5]. Τότε η κορυφή v5 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
3. Αφαιρώ την ακµή [v1,v3]. Τότε η κορυφή v3 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
Συνεπώς το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Παράδειγµα 2: Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton:
Έστω ότι το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton. Τότε στον κύκλο Hamilton κάθε κορυφή έχει βαθµό 2.
Επιβάλλω η κορυφή v4 να έχει βαθµό 2. Υπάρχουν 6 δυνατές περίπτωσεις:
1. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v6]. Τότε η κορυφή v1 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
2. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v5]. Τότε η κορυφή v1 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
B. Θεωρία
1. Κύκλος Hamilton
3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
(….συνέχεια…)
3. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v1
θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
4. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v6], [v4,v5]. Τότε η κορυφή v3
είναι σηµείο κοπής. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
5. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v6], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v2
θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
6. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v5], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v2
θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
Συνεπώς το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton
Αν σε µια περίπτωση δεν ήταν αποδείξιµο ότι δεν έχει κύκλο Hamilton, θα συνεχίζαµε επιβάλλοντας
µία άλλη κορυφή βαθµού>2 να έχει βαθµό 2, διακρίνοντας κατάλληλες υποπεριπτώσεις κ.ο.κ.
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
Ασκηση 1
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2008Β
Θεωρούµε την κλάση των απλών µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων µε τουλάχιστον 4 κορυφές που
έχουν κύκλο Hamilton και διατηρούν αυτή την ιδιότητα αν αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή τους.
α) Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα µε 6 κορυφές και 9 ακµές. Να αναφέρετε 2 διαφορετικούς
κύκλους Hamilton στο γράφηµα που κατασκευάσατε.
β) Έστω G ένα αυθαίρετα επιλεγµένο γράφηµα αυτής της κλάσης µε n κορυφές. Να δείξετε ότι το G
έχει τουλάχιστον 3n / 2 ακµές.
γ) Να δείξετε ότι για κάθε n ≥ 3, το Kn,n ανήκει σε αυτή την κλάση γραφηµάτων, δηλαδή συνεχίζει να
έχει κύκλο Hamilton ακόµη και αφού αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή του.
n,n
έχει κύκλο Hamilton ακόµη και αφού αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή του.
Λύση:
α) Το Κ3,3 είναι ένα τέτοιο γράφηµα. ∆ίνουµε το γράφηµα και δύο κύκλους Hamilton.
6
4
2
5
3
1
6
4
2
5
3
11 2
4
6
3
5
β) Κάθε κορυφή πρέπει να έχει βαθµό τουλάχιστον 3, διότι αν αφαιρέσουµε µια ακµή που
προσπίπτει σ’ αυτήν πρέπει να έχει βαθµό τουλάχιστον 2 ώστε να εξακολουθεί να υπάρχει και πάλι
κύκλος Hamilton. Άρα συνολικά έχουµε τουλάχιστον 3n ακµές κι επειδή κάθε ακµή µετριέται δύο
φορές, το πλήθος των ακµών πρέπει να είναι τουλάχιστον 3n/2
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
Ασκηση 1
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2008Β
γ) Το Kn,n έχει κύκλο Hamilton όπως φαίνεται παρακάτω.
5 6
3 4
21 1 2
43
65
2n-1 2n 2n-1 2n
Ο κύκλος Hamilton είναι (1, 2, 3, 4, ..., 2n-1, 2n, 1). Αν διαγραφεί µια ακµή που ανήκει στον αρχικό
κύκλο Hamilton, η {1, 2} για παράδειγµα, τότε µπορούµε να την «παρακάµψουµε»
χρησιµοποιώντας τη διαδροµή 1, 4, 3, 2, 5, και µετά ακολουθώντας τον αρχικό κύκλο Hamilton.
Έτσι προκύπτει ο κύκλος (1, 4, 3, 2, 5, 6, …, 2n-1, 2n, 1) που φαίνεται στο σχήµα.
1 2
43
65
2n-1 2n
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
Ασκηση 2
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2011Α
Σε ένα κατευθυντικό γράφηµα, ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι
που ξεκινά από µια κορυφή και ακολουθώντας την φορά των ακµών που χρησιµοποιεί,
καταλήγει σε κάποια άλλη αφού επισκεφτεί όλες τις κορυφές του γραφήµατος.
α) ∆ώστε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του K5 και βρείτε ένα κατευθυντικό
µονοπάτι Hamilton στο προκύπτον γράφηµα.
β) ∆είξτε µε επαγωγή στο ότι αν στο Kn δώσουµε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις
ακµές του, τότε στο κατευθυντικό γράφηµα που προκύπτει υπάρχει κατευθυντικόακµές του, τότε στο κατευθυντικό γράφηµα που προκύπτει υπάρχει κατευθυντικό
µονοπάτι Hamilton.
ΛΥΣΗ:
α) Ένας αυθαίρετος προσανατολισµός των ακµών του Κ5 φαίνεται παρακάτω.
Ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton είναι το
u1 u2
u3u4
u5
2 5 1 4 3
u u u u u− − − −
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
Ασκηση 2
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2011Α
β) Για 2n = προφανώς υπάρχει το κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton.
Έστω ότι στο πλήρες γράφηµα nK , 2n ≥ , αν δώσουµε αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του, υπάρχει κατευθυντικό
µονοπάτι Hamilton. Θεωρούµε το 1nK + και ένα αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του. Έστω u µια οποιαδήποτε
κορυφή του. Αν αφαιρεθεί η u , το γράφηµα που αποµένει είναι το (προσανατολισµένο) nK το οποίο σύµφωνα µε την
υπόθεση της επαγωγής έχει κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton p µε αρχή έστω την κορυφή x και πέρας την y . Αν υπάρχει
η ακµή ux (δηλ. αν η φορά της είναι από την u στην x ) τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton που αρχίζει µε την
u και µέσω της ux συνεχίζει µε το p . Παρόµοια, αν υπάρχει η ακµή yu τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton πουu και µέσω της ux συνεχίζει µε το p . Παρόµοια, αν υπάρχει η ακµή yu τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton που
αρχίζει µε το p και τελειώνει µε την u . Αποµένει λοιπόν να εξετάσουµε την περίπτωση όπου η φορά των ακµών µεταξύ
της u και της x είναι η xu και της u και της y , η uy . Σε αυτή την περίπτωση όµως (βλέπε σχήµα), µια και η φορά των
ακµών µεταξύ της u και των κορυφών του µονοπατιού αντιστρέφεται (ξεκινά µε ακµή προς την u και καταλήγει µε ακµή
από την u ), θα πρέπει αναγκαστικά να υπάρχουν στο p δύο διαδοχικές κορυφές v και w , µε ακµές vu και uw. Το
ζητούµενο µονοπάτι στο 1nK + λοιπόν ξεκινά µε την x και ακολουθεί το p µέχρι την v . Στη συνέχεια χρησιµοποιεί τις
ακµές vu και uw και τέλος το τελευταίο τµήµα του p από την w µέχρι την y .
∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Ένα µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι που περιέχει όλες τις κορυφές ενός
γραφήµατος. Να αποδειχθεί ότι εάν ένα γράφηµα περιέχει τρεις (3) κορυφές βαθµού 1
τότε το γράφηµα αυτό δεν περιέχει ένα µονοπάτι Hamilton.
∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Να αποδείξετε ότι κάθε γράφηµα που περιέχει κύκλο Hamilton δεν περιέχει σηµεία
κοπής (σηµεία αρθρώσεως)
∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Να βρείτε κύκλους Hamilton στα παρακάτω γραφήµατα:
Σχήµα 2.α Σχήµα 2.β
∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1.1. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα µε κύκλουςένα απλό γράφηµα µε κύκλους EulerEuler καικαι HamiltonHamilton, ο κύκλος, ο κύκλος EulerEuler έχειέχει
τουλάχιστον τόσες ακµές όσες ο κύκλοςτουλάχιστον τόσες ακµές όσες ο κύκλος HamiltonHamilton
2.2. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου HamiltonHamilton το γράφηµα πουτο γράφηµα που2.2. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου HamiltonHamilton το γράφηµα πουτο γράφηµα που
προκύπτει δεν έχει κύκλοπροκύπτει δεν έχει κύκλο HamiltonHamilton
3.3. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου EulerEuler το γράφηµα πουτο γράφηµα που
προκύπτει δεν έχει κύκλοπροκύπτει δεν έχει κύκλο EulerEuler
4.4. ToTo γράφηµα Κγράφηµα Κm,nm,n έχειέχει κύκλοκύκλο EulerEuler αν και µόνο αν τοαν και µόνο αν το m+nm+n είναι άρτιος αριθµόςείναι άρτιος αριθµός
∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες διατηρούνται όταν προσθέτουµε ακµές σε ένα
γράφηµα; ∆ηλαδή, για ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες ισχύει ότι αν G(V, E) είναι ένα
γράφηµα που έχει την ιδιότητα Π, και G'(V, E'), Ε ⊆ Ε', είναι ένα γράφηµα που προκύπτει
από το G µε την προσθήκη επιπλέον ακµών (όχι κορυφών), τότε το G' διατηρεί την
ιδιότητα Π.
1.1. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο HamiltonHamilton»»1.1. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο HamiltonHamilton»»
2.2. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα είναιιδιότητα ότι «το γράφηµα είναι συνδεόµενο».συνδεόµενο».
3.3. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο EulerEuler».».
4.4. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής».ιδιότητα ότι «το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής».
∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 3
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Έστω απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε n≥2 κορυφές που έχει και κύκλο Hamilton
και κύκλο Euler.
1.1. Αν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµέςΑν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµές
του κύκλουτου κύκλου HamiltonHamilton το υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλοτο υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλο EulerEuler..
2.2. ΑνΑν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµέςκάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµές
του κύκλουτου κύκλου EulerEuler το υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλοτο υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλο HamiltonHamilton..
3.3. ΑνΑν αφαιρέσουµε µία ακµή του , τότε το υπολειπόµενο γράφηµα παύει να έχει καιαφαιρέσουµε µία ακµή του , τότε το υπολειπόµενο γράφηµα παύει να έχει και
κύκλοκύκλο EulerEuler και κύκλοκαι κύκλο HamiltonHamilton..
4.4. Αν ο κύκλοςΑν ο κύκλος HamiltonHamilton είναι άρτιος, το πλήθος των κορυφών τουείναι άρτιος, το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος είναιγραφήµατος είναι
άρτιο.άρτιο.
∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Κατασκευάστε 4 απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 6 κορυφών όπου:
1. Το πρώτο έχει κύκλο Hamilton και έχει κύκλο Euler
2. Το δεύτερο δεν έχει κύκλο Hamilton και έχει κύκλο Euler
3. Το τρίτο έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler
4. Το τέταρτο δεν έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler
∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Ένα τριµερές γράφηµα είναι ένα γράφηµα στο οποίο οι κόµβοι του διαµερίζονται σε τρία
σύνολα ανεξαρτησίας. Το Km,n,k είναι το τριµερές γράφηµα στο οποίο τα τρία σύνολα
ανεξαρτησίας Α,Β,Γ έχουν αντίστοιχα m,n και k κορυφές και στο οποίο κάθε κορυφή σε
κάθε σύνολο από τα Α,Β και Γ είναι συνδεδεµένη µε όλες τις άλλες κορυφές στα άλλα
δύο σύνολα.
1. ∆είξτε ότι το γράφηµα Κ2,4,6 έχει κύκλο Hamilton1. ∆είξτε ότι το γράφηµα Κ2,4,6 έχει κύκλο Hamilton
2. ∆είξτε ότι το Kn,2n,3n έχει κύκλο Hamilton.
∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 3
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
∆είξτε µε µαθηµατική επαγωγή ότι το γράφηµα Kn έχει κύκλο Hamilton για κάθε n≥3.
∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 4
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton:

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.8
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.5
 

Viewers also liked

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.5
 
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5

  • 1. ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Μάθηµα 4.5: Κύκλος HamiltonΚύκλος Hamilton ∆ηµήτρης Ψούνης
  • 2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 1. Ορισµός 2. Πως δείχνουµε ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton 3. Πως δείχνουµε ότι ένα γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton Γ. Λυµένες Ασκήσεις 2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton ∆. Ασκήσεις 1. Ασκήσεις Κατανόησης 2. Ερωτήσεις 3. Εφαρµογές
  • 3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος Επίπεδο Α Νέοι Ορισµοί (Κύκλος Hamilton) Ασκήσεις: Ερωτήσεις Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης Επίπεδο Β Ασκήσεις: Εφαρµογές 3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Ασκήσεις: Εφαρµογές Επίπεδο Γ Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
  • 4. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 1. Ορισµός 4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Άσκηση: Ποια από τα παρακάτω γραφήµατα περιέχουν κύκλο Hamilton;
  • 5. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 1. Ορισµός 5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton ∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Αν ξέρω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton, τότε θα πρέπει να σκέφτοµαι ότι το γράφηµα µπορεί να απεικονισθεί στο επίπεδο ως εξής: ∆ηλαδή είναι καθαρός κύκλος που περιλαµβάνει όλες τις κορυφές του γραφήµατος • Ο κύκλος αποτελείται από n ακµές. • Το γράφηµα µπορεί να έχει και οσεσδήποτε επιπλέον ακµές • Κάθε κορυφή έχει βαθµό τουλάχιστον 2
  • 6. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 2. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton 6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Για να δείξω ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Hamilton έχω 3 τρόπους: 1. Καταγράφοντας τον στο γράφηµα (δηλαδή καταγράφω την ακολουθία κορυφών που συνδέονται µε διαδοχικές ακµές και δηµιουργούν τον κύκλο Hamilton 2. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Dirac:2. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Dirac: 1. «Αν κάθε κορυφή έχει βαθµό ≥ n/2 τότε το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton» (όπου n>3 είναι το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος) 3. ∆είχνοντας ότι ισχύει τo θεώρηµα Ore: 1. «Αν κάθε ζεύγος κορυφών έχει άθροισµα βαθµών ≥ n τότε το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton» (όπου n>3 είναι το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος) Τα θεωρήµατα αυτά είναι αδύναµα (διότι δεν είναι ισοδυναµίες) άρα δεν θα τα δούµε συχνά να χρησιµοποιούνται στην πράξη. Πρακτικά εξασφαλίζουν µία συνθήκη ύπαρξης του κύκλου Hamilton εφόσον το γράφηµα έχει πολλές ακµές, που είναι και λογικό να υπάρχει κύκλος Hamilton. Μέχρι σήµερα δεν έχει βρεθεί ένας αποδοτικός τρόπος (αλγόριθµος) εξέτασης του αν το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton. Το πρόβληµα είναι NP-Complete (βλέπε ΠΛΗ30)
  • 7. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton 7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Για να δείξω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton έχω 4 πολύ απλά και προφανή κριτήρια. 1. Το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο 2. Το γράφηµα περιέχει σηµείο κοπής 3. Το γραφηµα περιέχει γέφυρα3. Το γραφηµα περιέχει γέφυρα 4. Έστω µία κορυφή έχει βαθµό 1 5. ∆είχνοντας κατασκευαστικά ότι το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton • Σε έναν κύκλο Hamilton όλες οι κορυφές έχουν βαθµό 2 • Αφαιρούµε διαδοχικά ακµές από κάθε κορυφή µε βαθµό > 2 µέχρι να αποκτήσει βαθµό 2 µε όλους τους δυνατούς τρόπους • Θα πρέπει σε κάθε περίπτωση αφαίρεσης ακµών να οδηγούµαστε ότι το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton. Η απόδειξη ότι ένα γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton, ανήκει στην κατηγορία των αποδείξεων εξαντλητικής περιπτωσιολογίας. ∆ηλαδή διακρίνουµε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για να αποκτήσει µία κορυφή βαθµό 2 και έπειτα για κάθε µία από αυτές αποδεικνύουµε ότι δεν γίνεται να έχει κύκλο Hamilton.
  • 8. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton 8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Παράδειγµα 1: Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton: Έστω ότι το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton. Τότε στον κύκλο Hamilton κάθε κορυφή έχει βαθµό 2. Επιβάλλω η κορυφή v1 να έχει βαθµό 2. Πρέπει να αφαιρέσουµε µία ακµή και διακρίνω 3 περιπτώσεις: 1. Αφαιρώ την ακµή [v1,v4]. Τότε η κορυφή v4 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 2. Αφαιρώ την ακµή [v1,v5]. Τότε η κορυφή v5 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 3. Αφαιρώ την ακµή [v1,v3]. Τότε η κορυφή v3 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton Συνεπώς το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton
  • 9. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton 9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Παράδειγµα 2: Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton: Έστω ότι το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton. Τότε στον κύκλο Hamilton κάθε κορυφή έχει βαθµό 2. Επιβάλλω η κορυφή v4 να έχει βαθµό 2. Υπάρχουν 6 δυνατές περίπτωσεις: 1. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v6]. Τότε η κορυφή v1 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 2. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v5]. Τότε η κορυφή v1 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton
  • 10. B. Θεωρία 1. Κύκλος Hamilton 3. Πως δείχνω ότι ένα γράφηµα ∆ΕΝ έχει κύκλο Hamilton 10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton (….συνέχεια…) 3. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v1], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v1 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 4. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v6], [v4,v5]. Τότε η κορυφή v3 είναι σηµείο κοπής. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 5. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v6], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v2 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton 6. Αφαιρώ τις ακµές [v4,v5], [v4,v2]. Τότε η κορυφή v2 θα έχει βαθµό 1. ∆εν υπάρχει κ.Hamilton Συνεπώς το γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton Αν σε µια περίπτωση δεν ήταν αποδείξιµο ότι δεν έχει κύκλο Hamilton, θα συνεχίζαµε επιβάλλοντας µία άλλη κορυφή βαθµού>2 να έχει βαθµό 2, διακρίνοντας κατάλληλες υποπεριπτώσεις κ.ο.κ.
  • 11. Γ. Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2008Β Θεωρούµε την κλάση των απλών µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων µε τουλάχιστον 4 κορυφές που έχουν κύκλο Hamilton και διατηρούν αυτή την ιδιότητα αν αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή τους. α) Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα µε 6 κορυφές και 9 ακµές. Να αναφέρετε 2 διαφορετικούς κύκλους Hamilton στο γράφηµα που κατασκευάσατε. β) Έστω G ένα αυθαίρετα επιλεγµένο γράφηµα αυτής της κλάσης µε n κορυφές. Να δείξετε ότι το G έχει τουλάχιστον 3n / 2 ακµές. γ) Να δείξετε ότι για κάθε n ≥ 3, το Kn,n ανήκει σε αυτή την κλάση γραφηµάτων, δηλαδή συνεχίζει να έχει κύκλο Hamilton ακόµη και αφού αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή του. n,n έχει κύκλο Hamilton ακόµη και αφού αφαιρεθεί οποιαδήποτε ακµή του. Λύση: α) Το Κ3,3 είναι ένα τέτοιο γράφηµα. ∆ίνουµε το γράφηµα και δύο κύκλους Hamilton. 6 4 2 5 3 1 6 4 2 5 3 11 2 4 6 3 5 β) Κάθε κορυφή πρέπει να έχει βαθµό τουλάχιστον 3, διότι αν αφαιρέσουµε µια ακµή που προσπίπτει σ’ αυτήν πρέπει να έχει βαθµό τουλάχιστον 2 ώστε να εξακολουθεί να υπάρχει και πάλι κύκλος Hamilton. Άρα συνολικά έχουµε τουλάχιστον 3n ακµές κι επειδή κάθε ακµή µετριέται δύο φορές, το πλήθος των ακµών πρέπει να είναι τουλάχιστον 3n/2
  • 12. Γ. Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2008Β γ) Το Kn,n έχει κύκλο Hamilton όπως φαίνεται παρακάτω. 5 6 3 4 21 1 2 43 65 2n-1 2n 2n-1 2n Ο κύκλος Hamilton είναι (1, 2, 3, 4, ..., 2n-1, 2n, 1). Αν διαγραφεί µια ακµή που ανήκει στον αρχικό κύκλο Hamilton, η {1, 2} για παράδειγµα, τότε µπορούµε να την «παρακάµψουµε» χρησιµοποιώντας τη διαδροµή 1, 4, 3, 2, 5, και µετά ακολουθώντας τον αρχικό κύκλο Hamilton. Έτσι προκύπτει ο κύκλος (1, 4, 3, 2, 5, 6, …, 2n-1, 2n, 1) που φαίνεται στο σχήµα. 1 2 43 65 2n-1 2n
  • 13. Γ. Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 2 13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2011Α Σε ένα κατευθυντικό γράφηµα, ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι που ξεκινά από µια κορυφή και ακολουθώντας την φορά των ακµών που χρησιµοποιεί, καταλήγει σε κάποια άλλη αφού επισκεφτεί όλες τις κορυφές του γραφήµατος. α) ∆ώστε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του K5 και βρείτε ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton στο προκύπτον γράφηµα. β) ∆είξτε µε επαγωγή στο ότι αν στο Kn δώσουµε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του, τότε στο κατευθυντικό γράφηµα που προκύπτει υπάρχει κατευθυντικόακµές του, τότε στο κατευθυντικό γράφηµα που προκύπτει υπάρχει κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton. ΛΥΣΗ: α) Ένας αυθαίρετος προσανατολισµός των ακµών του Κ5 φαίνεται παρακάτω. Ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton είναι το u1 u2 u3u4 u5 2 5 1 4 3 u u u u u− − − −
  • 14. Γ. Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 2 14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton 2011Α β) Για 2n = προφανώς υπάρχει το κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton. Έστω ότι στο πλήρες γράφηµα nK , 2n ≥ , αν δώσουµε αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του, υπάρχει κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton. Θεωρούµε το 1nK + και ένα αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του. Έστω u µια οποιαδήποτε κορυφή του. Αν αφαιρεθεί η u , το γράφηµα που αποµένει είναι το (προσανατολισµένο) nK το οποίο σύµφωνα µε την υπόθεση της επαγωγής έχει κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton p µε αρχή έστω την κορυφή x και πέρας την y . Αν υπάρχει η ακµή ux (δηλ. αν η φορά της είναι από την u στην x ) τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton που αρχίζει µε την u και µέσω της ux συνεχίζει µε το p . Παρόµοια, αν υπάρχει η ακµή yu τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton πουu και µέσω της ux συνεχίζει µε το p . Παρόµοια, αν υπάρχει η ακµή yu τότε στο 1nK + υπάρχει το µονοπάτι Hamilton που αρχίζει µε το p και τελειώνει µε την u . Αποµένει λοιπόν να εξετάσουµε την περίπτωση όπου η φορά των ακµών µεταξύ της u και της x είναι η xu και της u και της y , η uy . Σε αυτή την περίπτωση όµως (βλέπε σχήµα), µια και η φορά των ακµών µεταξύ της u και των κορυφών του µονοπατιού αντιστρέφεται (ξεκινά µε ακµή προς την u και καταλήγει µε ακµή από την u ), θα πρέπει αναγκαστικά να υπάρχουν στο p δύο διαδοχικές κορυφές v και w , µε ακµές vu και uw. Το ζητούµενο µονοπάτι στο 1nK + λοιπόν ξεκινά µε την x και ακολουθεί το p µέχρι την v . Στη συνέχεια χρησιµοποιεί τις ακµές vu και uw και τέλος το τελευταίο τµήµα του p από την w µέχρι την y .
  • 15. ∆. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 1 15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
  • 16. ∆. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 2 16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Ένα µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι που περιέχει όλες τις κορυφές ενός γραφήµατος. Να αποδειχθεί ότι εάν ένα γράφηµα περιέχει τρεις (3) κορυφές βαθµού 1 τότε το γράφηµα αυτό δεν περιέχει ένα µονοπάτι Hamilton.
  • 17. ∆. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 3 17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Να αποδείξετε ότι κάθε γράφηµα που περιέχει κύκλο Hamilton δεν περιέχει σηµεία κοπής (σηµεία αρθρώσεως)
  • 18. ∆. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 4 18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Να βρείτε κύκλους Hamilton στα παρακάτω γραφήµατα: Σχήµα 2.α Σχήµα 2.β
  • 19. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 1 19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; 1.1. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα µε κύκλουςένα απλό γράφηµα µε κύκλους EulerEuler καικαι HamiltonHamilton, ο κύκλος, ο κύκλος EulerEuler έχειέχει τουλάχιστον τόσες ακµές όσες ο κύκλοςτουλάχιστον τόσες ακµές όσες ο κύκλος HamiltonHamilton 2.2. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου HamiltonHamilton το γράφηµα πουτο γράφηµα που2.2. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου HamiltonHamilton το γράφηµα πουτο γράφηµα που προκύπτει δεν έχει κύκλοπροκύπτει δεν έχει κύκλο HamiltonHamilton 3.3. ΣεΣε ένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλουένα απλό γράφηµα αν αφαιρεθεί µία ακµή ενός κύκλου EulerEuler το γράφηµα πουτο γράφηµα που προκύπτει δεν έχει κύκλοπροκύπτει δεν έχει κύκλο EulerEuler 4.4. ToTo γράφηµα Κγράφηµα Κm,nm,n έχειέχει κύκλοκύκλο EulerEuler αν και µόνο αν τοαν και µόνο αν το m+nm+n είναι άρτιος αριθµόςείναι άρτιος αριθµός
  • 20. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 2 20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες διατηρούνται όταν προσθέτουµε ακµές σε ένα γράφηµα; ∆ηλαδή, για ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες ισχύει ότι αν G(V, E) είναι ένα γράφηµα που έχει την ιδιότητα Π, και G'(V, E'), Ε ⊆ Ε', είναι ένα γράφηµα που προκύπτει από το G µε την προσθήκη επιπλέον ακµών (όχι κορυφών), τότε το G' διατηρεί την ιδιότητα Π. 1.1. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο HamiltonHamilton»»1.1. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο HamiltonHamilton»» 2.2. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα είναιιδιότητα ότι «το γράφηµα είναι συνδεόµενο».συνδεόµενο». 3.3. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλοιδιότητα ότι «το γράφηµα έχει κύκλο EulerEuler».». 4.4. ΗΗ ιδιότητα ότι «το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής».ιδιότητα ότι «το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής».
  • 21. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 3 21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Έστω απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε n≥2 κορυφές που έχει και κύκλο Hamilton και κύκλο Euler. 1.1. Αν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµέςΑν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµές του κύκλουτου κύκλου HamiltonHamilton το υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλοτο υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλο EulerEuler.. 2.2. ΑνΑν κάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµέςκάθε κορυφή του έχει βαθµό µεγαλύτερο του 2, τότε αν αφαιρέσουµε τις ακµές του κύκλουτου κύκλου EulerEuler το υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλοτο υπολειπόµενο γράφηµα συνεχίζει να έχει κύκλο HamiltonHamilton.. 3.3. ΑνΑν αφαιρέσουµε µία ακµή του , τότε το υπολειπόµενο γράφηµα παύει να έχει καιαφαιρέσουµε µία ακµή του , τότε το υπολειπόµενο γράφηµα παύει να έχει και κύκλοκύκλο EulerEuler και κύκλοκαι κύκλο HamiltonHamilton.. 4.4. Αν ο κύκλοςΑν ο κύκλος HamiltonHamilton είναι άρτιος, το πλήθος των κορυφών τουείναι άρτιος, το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος είναιγραφήµατος είναι άρτιο.άρτιο.
  • 22. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 1 22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Κατασκευάστε 4 απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 6 κορυφών όπου: 1. Το πρώτο έχει κύκλο Hamilton και έχει κύκλο Euler 2. Το δεύτερο δεν έχει κύκλο Hamilton και έχει κύκλο Euler 3. Το τρίτο έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler 4. Το τέταρτο δεν έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler
  • 23. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 2 23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Ένα τριµερές γράφηµα είναι ένα γράφηµα στο οποίο οι κόµβοι του διαµερίζονται σε τρία σύνολα ανεξαρτησίας. Το Km,n,k είναι το τριµερές γράφηµα στο οποίο τα τρία σύνολα ανεξαρτησίας Α,Β,Γ έχουν αντίστοιχα m,n και k κορυφές και στο οποίο κάθε κορυφή σε κάθε σύνολο από τα Α,Β και Γ είναι συνδεδεµένη µε όλες τις άλλες κορυφές στα άλλα δύο σύνολα. 1. ∆είξτε ότι το γράφηµα Κ2,4,6 έχει κύκλο Hamilton1. ∆είξτε ότι το γράφηµα Κ2,4,6 έχει κύκλο Hamilton 2. ∆είξτε ότι το Kn,2n,3n έχει κύκλο Hamilton.
  • 24. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 3 24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton ∆είξτε µε µαθηµατική επαγωγή ότι το γράφηµα Kn έχει κύκλο Hamilton για κάθε n≥3.
  • 25. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 4 25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton Αποδείξτε ότι το ακόλουθο γράφηµα δεν έχει κύκλο Hamilton: