Download to read offline
![;0
)98(log
)46(log
7,0
5
≥
+
+
x
x
−>
−>
≤
+
+
;
8
9
,
3
2
,0
88
36
х
х
х
х
x- 1
2
1
−
-+ +
x
x
8
1
1−
]
2
1
;
3
2
(:Ответ −−
>+
>+
≠+
≥
−+⋅−
−+⋅−
;098
046
,198
0
)198()17(0,
)146()15(
x
,х
x
,
х
х
3
2
−
Решим неравенство:](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-17-320.jpg)
![1
4
6
log 2
250
≤
− x
x,
−≠
≠
≠
<
≤
−−
⋅−
.2
,2
,0
,6
,0)
4
6
()125,0(
2
2
x
x
х
x
xх
x
( ] ( ) ( ) ( ).6;22;02;0-3;-:Ответ ∪∪∪−∞](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-31-320.jpg)
![;3
3
log
3
log 5
4
5 ≤
−
+
−
++
x
x
x
x
xx
−≠
−>
>
<
≤
−
+
;4
,5
;3
,0
,3
3
log3 5
x
x
x
х
x
x
x
( )
−≠
−>
>
<
≤
−−
−
⋅−+
;4
,5
;3
,0
,05
3
15
x
x
x
х
x
x
x
x
( ) [ ] ( ).;33;-1-5;-4-:Ответ ∞∪∪
.
3
log4
3
log4
3
log
то0
3
Т.к.
55
4
5
x
x
x
x
x
x
,
х
х
xxx
−
=
−
=
−
>
−
+++](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-33-320.jpg)
![;
7
1
log1
1
7
log 8
2
8
−
+
−≤
+
−
++
x
x
x
x
xx
;
1
7
log1
1
7
log2 88
+
−
+≤
+
−
++
x
x
x
x
xx
;01
1
7
log 8 ≤−
+
−
+
x
x
x
( )
−≠
−>
>
−<
≥
+
++
⋅+
;7
,8
;7
,1
,0
1
158
7
2
x
x
x
х
x
хx
x
( ) [ ] ( ).;75;-3-8;-7-:Ответ ∞∪∪](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-34-320.jpg)
![;0
3612
log 2
4
6 ≤
+−
−
xx
x
x
≠
≠−
>−
≤
−
−
;0
,16
,06
,0
6
log
2
6
х
х
х
х
х
х
;0
6
log
22
6 ≤
−
−
х
x
x
;0
6
log2
2
6 ≤
−
−
х
x
x
≠
≠
<
≤−
−
−−
;0
,5
,6
,0)1
6
)(16(
2
х
х
х
х
х
х
≠
≠
<
≤
−
−+
−
;0
,5
,6
,0)
6
6
)(5(
2
х
х
х
х
хх
х
[ ) ( ] ( ).6;52;0.3;0-:Ответ ∪∪x
+
x
2 5
5
-3
++
6
6
--
0](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-35-320.jpg)
![;0
3612
log 2
4
6 ≤
+−
−
xx
x
x
;0
6
log
22
6 ≤
−
−
х
x
x
≠
≠
<
≤+
−
−
−
−
;0
,5
,6
,0)1
6
)(1
6
)(5(
22
х
х
х
х
х
х
х
х
≠
≠
<
≤
−
−+−
;0
,5
,6
,0
)6(
)6)(5(
2
2
х
х
х
х
ххх
D<0, .062
хх >+−
Для тех, кто боится «модулей» -Для тех, кто боится «модулей» -
2 способ2 способ::
x
-
x
2 5
5
-3
++ --
0 6
6
≠
≠
<
≤
−
−+
−
+−
−
;0
,5
,6
,0)
6
6
)(
6
6
)(5(
22
х
х
х
х
хх
х
хх
х
[ ) ( ] ( ).6;52;0.3;0-:Ответ ∪∪](https://image.slidesharecdn.com/random-150128153034-conversion-gate02/85/slide-36-320.jpg)
Логарифмические Неравенства
- 1.
- 2.
- 3. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С РЕШЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ: а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей; б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений. Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства так сделать не получится: при переходеот логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
- 4. При 0 <a < 1 АЛГОРИТМ . ),()( ,0)( ,0)( > > > xgxf xg xf . ).()( ,0)( ,0)( < > > xgxf xg xf При а > 1
- 5. Решение: )14()42( loglog 33 xx−>− −>− >− >− xx x x 1442 014 042
- 6. Решение: )14()32( loglog 3 1 3 1 xx−>− −<− >− >− xx x x 1442 014 042
- 7. Решение: ≥−+ >−+ 16416 0416 2 xx хх 2 2 1 4)416( 2 2 1log −≤−+xx 16log 2 1 log4 2 1 4 2 1 == − − 16)416( loglog 2 1 2 2 1 ≤−+ xx 16416 2 ≥−+ xx 0)4( ≥− xx 40 ≤≤ x
- 8. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: )(log xfya= 0)( >xf by xg )(log= ≠ > .1)( ;0)( xg xg )(log )( xfy xg= > ≠ > .0)( ;1)( ;0)( xf xg xg № Формула Условия 1 2 3
- 9. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХРЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВНЕРАВЕНСТВ СПОМОЩЬЮ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
- 10. Суть метода рационализациидля решения логарифмических неравенств (метода замены множителя) состоит в том, что в ходе решения осуществляется переход от неравенства, содержащего логарифмические выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных неравенств).
- 11. ;0)(log >xfa Немножко теории… Рассмотримнеравенства: ;0)(log )( >xfxa число функция ;0)(log)(log >− xgxf aa 0)(log)(log )()( >− xgxf xaxa Для неравенств со знаками «< », «≥», «≤» – рассуждения аналогичные, поэтому ограничимся рассмотрением только данных неравенств.
- 15. .1,0,0)(log)(log ≠>>− aaxgxfaa ,0))()()(1( тогда,0)()(то,1Если >−− >>> xgxfa xgxfa .0))()()(1( значит,),()(0то,10Если >−− <<<< xgxfa xgxfa > > >−− ⇔ ⇔>− .0)( ,0)( ,0))()()(1( 0)(log)(log xg xf xgxfa xgxf aa Имеем : ,)(log)(log xgxf aa > Знак «сохраняется».
- 16. ;0)(log <xfa ;0)(log >xfa ;0)(log)(log>− xgxf aa )1)(()1( −⋅− xfa ;0)(log)(log <− xgxf aa ))()()(1( xgxfa −− При решении учитываем ограничения! )1)(()1( −⋅− xfa ))()()(1( xgxfa −−
- 17. ;0 )98(log )46(log 7,0 5 ≥ + + x x −> −> ≤ + + ; 8 9 , 3 2 ,0 88 36 х х х х x- 1 2 1 − -+ + x x 8 1 1− ] 2 1 ; 3 2 (:Ответ−− >+ >+ ≠+ ≥ −+⋅− −+⋅− ;098 046 ,198 0 )198()17(0, )146()15( x ,х x , х х 3 2 − Решим неравенство:
- 18.
- 19. ,0)(log)(log )()( >−xgxf xaxa .0))()(()1)((тогда ,0)()(то,1)(Если >−⋅− >>> xgxfxa xgxfxa ;0))()(()1)((тогда ),()(0то,1)(0Если >−⋅− <<<< xgxfxa xgxfxa Имеем: )(log)(log )()( xgxf xaxa > > > ≠ > >−− ⇔>− .0)( ,0)( ,1)( ,0)( ,0))()()(1)(( 0)(log)(log )()( xg xf xa xa xgxfxa xgxf xaxa
- 20. ;01log 2 32 <−+xx 1log 2 32 <+ xx Ограничения: > ≠+ >+ 0;x х х 2 ,132 ,032 ;0)32(loglog 32 2 32 <+− ++ xx xx ≠ −≠ −> .0 1 2 3 x ,х ,х Решим неравенство: ;1log 2 32 <+ xx
- 21.
- 22.
- 23.
- 24. ( ) ;0)12( 12 2 112 4 ≥ −− + + ⋅−−x x x x ;1 12 2 log 4 12 ≥ − + − x x x ( ) ;0 12 142 22 24 ≥ + +−+ ⋅− x xx x -1 ( ) ;0 12 34 1 24 ≥ + +− ⋅− x xx x ;0)12(log 12 2 log 12 4 12 ≥−− + + −− x x x xx
- 25. ±= ±= = = = = ≠ .х ,х ,х ;х ,х ,х функцииНули -х 3 1 1 3 1 1 :)2 2 1 1) .интерваловметодомРешаем 2 2 2 1 1 );3[:Ответ ∞ -+ х - х 2 1 −-13− 1 3 + +- ( ) ≠ > ≥ + +− ⋅− ;1 , 2 1 ;0 12 34 1 24 x х x xx x
- 26. 1 7 1 log)526(log :онеравенствРешить 6 49 1 ≥⋅− −xx ≠ < .5 , 5 26 x х Ограничения(ОДЗ) : ≠− >− >− ;16 ,06 ,0526 x x х ≠ < < ;5 ,6 , 5 26 x x х
- 27. ;17log)526(log 1 67 2≥⋅− − −− xx ;1 7 1 log)526(log 6 49 1 ≥⋅− −xx ;01 )6(log 1 2 )526(log 7 7 ≥− − ⋅ − x x ;,1)7log()526(log 2 1 67 ≥−⋅−− −xx ;0 )6(log2 )6(log)526(log ;0 )6(log2 )6(log2)526(log 7 2 77 7 77 ≥ − −−− ≥ − −−− x xx x xx )6(log2 7 x−
- 28.
- 29. x +- + x [ ). 5 26 ;55;2:Ответ ∪ 5 26 2 5 5 ОДЗ ≠ < ≥ − −− .5 , 5 26 ,0 5 )5)(2( x х x xx
- 30. ( ) ;11log 2 2≤−xx ( ) ( )( ) −≠ ≠ ≠ ≤−−⋅− .1 ,1 ,0 ,011 222 x x х xxx ( ) ( ).;1 2 1 ;01;0-:Ответ ∞∪ ∪
- 31. 1 4 6 log 2 250 ≤ −x x, −≠ ≠ ≠ < ≤ −− ⋅− .2 ,2 ,0 ,6 ,0) 4 6 ()125,0( 2 2 x x х x xх x ( ] ( ) ( ) ( ).6;22;02;0-3;-:Ответ ∪∪∪−∞
- 32. ( ) ≠ > ≥++⋅− ; 3 1 ,0 ,093log23log3 33 x х xx 0927log 27 1 log33 ≥+⋅ xx ≠ > ≤− ; 3 1 ,0 ,013log3 x х x ( )( ) ≠ > ≤−− ; 3 1 ,0 ,03313 x х xx [ ).;1 3 1 0;:Ответ ∞∪
- 33. ;3 3 log 3 log 5 4 5 ≤ − + − ++ x x x x xx −≠ −> > < ≤ − + ;4 ,5 ;3 ,0 ,3 3 log3 5 x x x х x x x ( ) −≠ −> > < ≤ −− − ⋅−+ ;4 ,5 ;3 ,0 ,05 3 15 x x x х x x x x ( ) [ ] ( ).;33;-1-5;-4-:Ответ ∞∪∪ . 3 log4 3 log4 3 log то0 3 Т.к. 55 4 5 x x x x x x , х х xxx − = − = − > − +++
- 34. ; 7 1 log1 1 7 log 8 2 8 − + −≤ + − ++ x x x x xx ; 1 7 log1 1 7 log2 88 + − +≤ + − ++ x x x x xx ;01 1 7 log8 ≤− + − + x x x ( ) −≠ −> > −< ≥ + ++ ⋅+ ;7 ,8 ;7 ,1 ,0 1 158 7 2 x x x х x хx x ( ) [ ] ( ).;75;-3-8;-7-:Ответ ∞∪∪
- 35. ;0 3612 log 2 4 6 ≤ +− − xx x x ≠ ≠− >− ≤ − − ;0 ,16 ,06 ,0 6 log 2 6 х х х х х х ;0 6 log 22 6≤ − − х x x ;0 6 log2 2 6 ≤ − − х x x ≠ ≠ < ≤− − −− ;0 ,5 ,6 ,0)1 6 )(16( 2 х х х х х х ≠ ≠ < ≤ − −+ − ;0 ,5 ,6 ,0) 6 6 )(5( 2 х х х х хх х [ ) ( ] ( ).6;52;0.3;0-:Ответ ∪∪x + x 2 5 5 -3 ++ 6 6 -- 0
- 36. ;0 3612 log 2 4 6 ≤ +− − xx x x ;0 6 log 22 6≤ − − х x x ≠ ≠ < ≤+ − − − − ;0 ,5 ,6 ,0)1 6 )(1 6 )(5( 22 х х х х х х х х ≠ ≠ < ≤ − −+− ;0 ,5 ,6 ,0 )6( )6)(5( 2 2 х х х х ххх D<0, .062 хх >+− Для тех, кто боится «модулей» -Для тех, кто боится «модулей» - 2 способ2 способ:: x - x 2 5 5 -3 ++ -- 0 6 6 ≠ ≠ < ≤ − −+ − +− − ;0 ,5 ,6 ,0) 6 6 )( 6 6 )(5( 22 х х х х хх х хх х [ ) ( ] ( ).6;52;0.3;0-:Ответ ∪∪
- 37. На память… Выражение (множитель) внеравенстве (правая часть неравенства равна нулю!) На что меняем gf aa loglog − (помните, что f >0, g >0,a >0, a≠1) )()1( gfa −⋅− 1log −fa (помните, что f >0, ,a >0, a≠1) )()1( afa −⋅− falog (помните, что f >0, a >0 ,a≠1) )1()1( −⋅− fa Примечание: a – функция от х или число, f и g – функции от х.