Документ содержит учебный материал по теме числовых неравенств, включая их определения, виды, свойства и основные методы решения. Обсуждаются линейные, квадратные, рациональные и иррациональные неравенства, а также использование различных техник, таких как метод интервалов и графический метод. Включает примеры заданий и ссылки на сборники для дальнейшего изучения.

1. Неравенства.Неравенства.
Учитель Бузецкая Т.В.Учитель Бузецкая Т.В.
Государственное бюджетное общеобразовательноеГосударственное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя школа 523 Санкт-Петербургаучреждение средняя школа 523 Санкт-Петербурга

2. 1). Определение1). Определение
2). Виды2). Виды
3). Свойства числовых неравенств3). Свойства числовых неравенств
4). Основные свойства неравенств4). Основные свойства неравенств
4). Типы4). Типы
5). Способы решения5). Способы решения

3. Запись видаЗапись вида
аа>>в или ав или а<<вв
называетсяназывается
неравенством.неравенством.

4. Неравенства вида аНеравенства вида а≥в,≥в,
а≤в называется ……а≤в называется ……
Неравенства вида аНеравенства вида а>>в,в,
аа<<в называется……в называется……

5. 1). Если а1). Если а>>в, то вв, то в<<а.а.
2).Если а2).Если а>>в, вв, в>>с, то ас, то а>>с.с.
3).3). Если аЕсли а>>в, с-любое число, тов, с-любое число, то
а+са+с>>в+с.в+с.
4).4). Если аЕсли а>>в, св, с>>х, тох, то а+са+с>>в+х.в+х.
5).5). Если аЕсли а>>в, св, с>>0, то0, то асас>>вс.вс.
6).6). Если аЕсли а>>в, св, с<<0, то0, то асас<<вс.вс.
7).7). Если аЕсли а>>о, со, с>>0,то0,то >> ..
8).8). Если аЕсли а>>о, со, с>>0, а0, а>>с, тос, то >>
n
à
n
à n
c
n
à n
ñ;

6. 1). Любой член1). Любой член
неравенства можнонеравенства можно
переносить из однойпереносить из одной
части неравенства вчасти неравенства в
другую, изменив его знакдругую, изменив его знак
на противоположный,на противоположный,
при этом знакпри этом знак
неравенства не меняется.неравенства не меняется.

7. 2).Обе части неравенства2).Обе части неравенства
можно умножить илиможно умножить или
разделить на одно и тожеразделить на одно и тоже
положительное число, приположительное число, при
этом знак неравенства неэтом знак неравенства не
изменится. Если это числоизменится. Если это число
отрицательное, то знакотрицательное, то знак
неравенства изменится нанеравенства изменится на
противоположное.противоположное.

8. ЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТНЫЕ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА

9. I).I).Линейное неравенство.Линейное неравенство.
1). х+41). х+4<<0; 2).2х+4≥6;0; 2).2х+4≥6;
хх<<-4; 2х≥-2;-4; 2х≥-2;
-4 х х≥-1;-4 х х≥-1;
Ответ: (-∞;-4).Ответ: (-∞;-4).
-1 х-1 х
Ответ:Ответ: [-1[-1;+∞).;+∞).

10. 1.Решить неравенства.1.Решить неравенства.
1). х+21). х+2≥2,5х-1;≥2,5х-1;
2).х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1)2).х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1)>>3;3;
3).3).
4).х4).х²²+х+х<<х(х-5)+2;х(х-5)+2;
5).5).
;4
2
53
3
82
≥
−
−
− xx
.2
9
210
10
29
≥
−
−
+ xx

11. 2.2.
Найдите наименьшие целые числа,Найдите наименьшие целые числа,
являющиеся решениями неравенствявляющиеся решениями неравенств
1.2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1)>0;
2.0,2(2х+2)-0,5(х-1)<2.
3.3.
Найдите наименьшие натуральные
числа, являющиеся решениями
неравенства
3х-3<1,5х+4.

12. II)II).Квадратные неравенства..Квадратные неравенства.
Способы решения:Способы решения:
Графический
С применением
систем
неравенств
Метод
интервалов

13. 1.11.1).).Метод интерваловМетод интервалов
(для решения квадратного уравнения)(для решения квадратного уравнения)
ах²+вх+с>0
1). Разложим данный многочлен на множители,
т.е. представим в виде
а(х- )(х- )>0.
2).корни многочлена нанести на числовую ось;
3). Определить знаки функции в каждом из
промежутков;
4). Выбрать подходящие интервалы и записать
ответ.
1õ
2õ1õ

14. 062
≤−+õõ
xx²+x-6=0²+x-6=0; (х-2)(х+3)=0;; (х-2)(х+3)=0;
Ответ:Ответ: (-∞;-3)(-∞;-3)vv(2;+∞).(2;+∞).
.2;3 21 =−= xx

15. 1.Решение неравенства методом1.Решение неравенства методом
интервалов.интервалов.
1). х(х+7)≥0;
2).(х-1)(х+2)≤0;
3).х-х²+2<0;
4).-х²-5х+6>0;
5).х(х+2)<15.

16. Домашняя работа:Домашняя работа:
Сборник 1).стр. 109 № 128-131Сборник 1).стр. 109 № 128-131
Сборник 2).стр.111 №3.8-3.10;Сборник 2).стр.111 №3.8-3.10; 3.223.22;3.37-3.4;3.37-3.4

17. 1.2).Решение квадратных
неравенств графически
1). Определить направление ветвей1). Определить направление ветвей
параболы, по знаку первогопараболы, по знаку первого
коэффициента квадратичной функции.коэффициента квадратичной функции.
2).Найти корни соответствующего2).Найти корни соответствующего
квадратного уравнения;квадратного уравнения;
3).Построить эскиз графика и по нему3).Построить эскиз графика и по нему
определить промежутки, на которыхопределить промежутки, на которых
квадратичная функция принимаетквадратичная функция принимает
положительные или отрицательныеположительные или отрицательные

18. Пример:Пример:
хх²²+5х-6+5х-6≤0≤0
yy= х= х²²+5х-6 (квадратичная функция, график+5х-6 (квадратичная функция, график
парабола, а=1, ветви направлены вверх)парабола, а=1, ветви направлены вверх)
хх²²+5х-6=0; корни этого уравнения: 1 и -6.+5х-6=0; корни этого уравнения: 1 и -6.
уу
++ ++
-6-6 11 xx
Ответ:Ответ: [-6;1[-6;1].].

19. •Решите графически неравенства:Решите графически неравенства:
1).х1).х²²-3х-3х<<0;0;
2).х2).х²²-4х-4х>>0;0;
3).х3).х²²+2х≥0;+2х≥0;
4). -2х4). -2х²²+х+1≤0;+х+1≤0;
(0;3)(0;3)
(-(-∞;0)∞;0)UU(4;+∞)(4;+∞)
(-(-∞;-2∞;-2]U[]U[0;+∞)0;+∞)
(-(-∞;∞;-0-0,,5]U[15]U[1;+∞);+∞)

20. Домашнее задание:Домашнее задание:
Сборник 1).стр. 115 №176-179.Сборник 1).стр. 115 №176-179.
работы №47,45,42,17,12работы №47,45,42,17,12
(задание №5)(задание №5)
Сборник 2).стр. 116 № 4.4,4.5, 4.11.Сборник 2).стр. 116 № 4.4,4.5, 4.11.
работы №6, задание 13.работы №6, задание 13.

21. III).Рациональные неравенства вида
решают методом интервалов.
1) Раскладывают на линейные множители
числитель P(x) и знаменатель Q(x). Если это
удается, то дальше поступают так.
2) На числовую ось наносят корни всех
линейных множителей. На каждом из
промежутков, на которые эти точки
разбивают ось, дробь P(x)/ Q(x). сохраняет
знак
3) Определяют знак дроби на каждом
промежутке.
4) Записывают ответ.
)(
)(
xQ
xP

22. Сборник 1).стр. 109 №132Сборник 1).стр. 109 №132
Сборник 2). Стр. 112-113 № 3.20, 3.21,Сборник 2). Стр. 112-113 № 3.20, 3.21,
3.39-3.423.39-3.42

23. Системы неравенств.Системы неравенств.

24. 1). Содержащие линейные неравенства.1). Содержащие линейные неравенства.
2). Содержащие квадратное(рациональное)2). Содержащие квадратное(рациональное)
неравенство и линейное неравенство.неравенство и линейное неравенство.
3). Содержащие квадратные неравенства.3). Содержащие квадратные неравенства.
4). Двойное неравенство, которое решается с4). Двойное неравенство, которое решается с
помощью систем.помощью систем.
5). Неравенства с модулем5). Неравенства с модулем

25. 1). 5х+11). 5х+1>6 5x>5 x>1>6 5x>5 x>1
2x-4<3 ; 2x<7 ; x<3,5.2x-4<3 ; 2x<7 ; x<3,5.
1 3,5 x1 3,5 x
Ответ: (1;3,5).Ответ: (1;3,5).
Задания:Задания:
Сборник 1). Стр. 111№139-142Сборник 1). Стр. 111№139-142
стр. 170-172 № 711-766стр. 170-172 № 711-766
Сборник 2).стр. 110 № 3.4-3.7Сборник 2).стр. 110 № 3.4-3.7

26. 2). х2). х²²-1-1>0 (x-1)(x+1)>0>0 (x-1)(x+1)>0
x+4<0; x<-4;x+4<0; x<-4;
+ - ++ - +
-4 -1 1 x-4 -1 1 x
Ответ: (-∞;-4).Ответ: (-∞;-4).
Задания:Задания:
Сборник 1).стр. 111 № 143-145Сборник 1).стр. 111 № 143-145
Сборник 2). Стр. 112-113 №3.24, 3.25Сборник 2). Стр. 112-113 №3.24, 3.25

27. 3). х3). х²²-4-4>0>0
x²-3x+5<0.x²-3x+5<0.
Решаем каждое квадратное неравенство вРешаем каждое квадратное неравенство в
отдельности. Изображаем решения наотдельности. Изображаем решения на
числовой прямой и смотрим пересечениячисловой прямой и смотрим пересечения
этих решений. Записываем ответ.этих решений. Записываем ответ.
Задания:Задания:
Сборник 1). Стр. 111 № 146-147Сборник 1). Стр. 111 № 146-147
Сборник 2).стр. 113, 115 № 3.27, 3.29,Сборник 2).стр. 113, 115 № 3.27, 3.29,
3.47, 3.483.47, 3.48

28. 4). -124). -12<x-1<1<x-1<1
x-1<1 x<2x-1<1 x<2 Ответ: (-11;2).Ответ: (-11;2).
x-1>-12; x>-11.x-1>-12; x>-11.
Задания:Задания:
Сборник 1).стр. 109 № 126-127, 134,Сборник 1).стр. 109 № 126-127, 134,
стр. 172 №783-790стр. 172 №783-790
Сборник 2). Стр. 111 №3.9Сборник 2). Стр. 111 №3.9

29. 5).5).|| 3х-23х-2|<10|<10
3x-2>-10 x>3x-2>-10 x>
3x-2<10; x<4.3x-2<10; x<4.
Ответ: ( ;4).Ответ: ( ;4).
3
2
2−
3
2
2−

30. Литература.Литература.
1).Кузнецова Л.В.1).Кузнецова Л.В.
«Сборник заданий для проведения письменного экзамена по«Сборник заданий для проведения письменного экзамена по
алгебре» «Дрофа», 2007 годалгебре» «Дрофа», 2007 год
2). Кузнецова Л.В.2). Кузнецова Л.В.
«Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в«Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в
9 классе» «Просвещение», 2010 год9 классе» «Просвещение», 2010 год
3).Лысенко Ф.Ф. «Алгебра 9 класс тематические тесты для3).Лысенко Ф.Ф. «Алгебра 9 класс тематические тесты для
подготовки к ГИА 2010» «Легион –М» 2009 годподготовки к ГИА 2010» «Легион –М» 2009 год
4). Лысенко Ф.Ф. «Подготовка к итоговой аттестации 2010»4). Лысенко Ф.Ф. «Подготовка к итоговой аттестации 2010»
2009 год2009 год