Gp alg b_themata_plus_lyseis

1. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 2
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΆΛΓΕΒΡΑ/ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 27 Απριλίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α1. ∆είξτε ότι για µια γωνία ω ισχύει 2 2
1ηµ ω συν ω+ = .
(15 µονάδες)
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α) Αν το πολυώνυµο P(x) έχει παράγοντα το (x-ρ) τότε P(ρ) 0= .
β) Για τη γωνία ω ισχύει πάντοτε ( )ηµ π ω ηµω− = − .
γ) Για τους θετικούς αριθµούς θ1 και θ2
1
1 2
2
ισχύει: ln ln ln
θ
θ θ
θ
 
= − 
 
.
δ) Αν σ’ ένα σύστηµα µε 2 εξισώσεις και 2 αγνώστους ισχύουν
D 0 και Dx=0 και Dy=0≠ , τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις.
ε) Η συνάρτηση
1
( )
x
f x
e
 
=  
 
είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
(2x5 µονάδες)
ΘΕΜΑ Β
Β1. ∆είξτε ότι
2
A( ) 2
( )
2
x x
x x
ηµ
π
εϕ εϕ π
= =
 
− + + 
 
.
(7 µονάδες)
Β2. ∆είξτε ότι η
( )
2
2 1
B( )
2 2
x x x
x
ηµ συν ηµ+ −
= = .
(6 µονάδες)
Β3. Να λυθεί η εξίσωση ( ) B( )x xΑ = .
(6 µονάδες)

2. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 2
Β4. Έστω η συνάρτηση ( ) A( ) ( ).f x x B x= − Βρείτε τη µέγιστη τιµή Μ, την ελάχιστη
τιµή ε καθώς και την περίοδο Τ της συνάρτησης f(x).
(6 µονάδες)
ΘΕΜΑ Γ
Έστω πολυώνυµο 5 4 3 2
( ) 2 3 7 ( 6) 7P x x x x x xλ µ= − − + + + + για το οποίο ισχύουν:
i) Το x είναι παράγοντας του P(x).
ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το (x+1) είναι 3.
Γ1. ∆είξτε ότι λ=2 και µ=0.
(6 µονάδες)
Γ2. Για λ=2 και µ=0,
i) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) µε το ( )2
2x − .
(7 µονάδες)
ii) Nα βρεθούν τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση του P(x) είναι πάνω
από την ευθεία 4y x= + .
(7 µονάδες)
Γ3. Έστω το πολυώνυµο:
5 4 3 2
( ) 2 (2 ) 7 ( 3 2 ) ( 6) ( 1)Q x x a x x a x xβ β κ κ= + + − + − + + + + − .
Βρείτε τους αριθµούς α, β και κ ώστε ( ) ( )P x Q x= για κάθε x∈ℝ.
(5 µονάδες)
ΘΕΜΑ ∆
Έστω οι συναρτήσεις
2
1
( 1)
( ) ln
x x
x
e e e e
f x
e e+
 − + +
=  
− 
και 2 1 1
( ) -4 3.x x
g x e e− −
= +
∆1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
(6 µονάδες)
∆2. Nα λυθεί η εξίσωση
5 3
ln
( )
e
e
g x e
+
=
(7 µονάδες)
∆3. Βρείτε τις τιµές του x ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) να µην
είναι πάνω από τον άξονα x x′ .
(6 µονάδες)
∆4. Να λύσετε την ανίσωση ( ) 6 4
( )f x e
e g x
e
−
≥ + .
(6 µονάδες)

3. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 5
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 27 Απριλίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 60
Α2. α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ
ΘΕΜΑ Β
Β1. 2 2
2 2 2
A( )x
x x x xx x
x x x x
συν ηµ συν ηµσϕ εϕ
ηµ συν ηµ συν
= = = =
++ +
2 2
2 2
2
1
x x x
x
x x
ηµ συν ηµ
ηµ
συν ηµ
= = =
+
.
Β2.
( )
2 2 2
22
( )
2
x x x xx x x
B x
ηµ συν ηµ συνηµ συν ηµ + ++ −
= =
2 x xηµ συν− 1
2 2
= .
Β3.
2 2
6
1
( ) ( ) 2 2 ή
2 6
2 2
6
x
A x B x x x
x
π
κπ
π
ηµ ηµ ηµ
π
π κπ
 
= + 
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ 
 
 = − +
 
12
ή
5
12
x
x
π
κπ
κ
π
κπ
 
= + 
 
⇔ ∈ 
 
 = +
 
ℤ

4. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 5
Β4. Η συνάρτηση ( )f x έχει τύπο:
1
( ) ( ) ( ) 2
2
f x A x B x xηµ= − = − .
Ισχύει
1 1 1
1 2 1 1 2 1
2 2 2
x xηµ ηµ− ≤ ≤ ⇔ − − ≤ − ≤ − ⇔
3 1
( ) .
2 2
f x⇔ − ≤ ≤
Άρα η ελάχιστη τιµή της είναι
3
2
− και η µέγιστη τιµή της είναι
1
2
.
Η περίοδος είναι
2
2
π
πΤ = = .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Αν x παράγοντας του P(x) τότε (0) 0 οπότε µ=0P = .
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε (x+1) είναι το 3 τότε:
( 1) 3 2 3 7 6 7 0 3 2P λ λ− = ⇔ − − + + + − + = ⇔ = .
Γ2. Για λ=2 και µ=0 έχουµε:
5 4 3 2
( ) 2 3 7 8 7P x x x x x x= − − + + .
Η διαίρεση γίνεται ως εξής:
5 4 3 2
5 3
4 3 2
4 2
3 2
3
2
2
2 3 7 8 7
2 4
-3 -3 8 7
3 6
3 2 7
3 -6
2
2 4
4
x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
− − + +
− +
+ +
+ −
− + +
+
+
+
+
H ταυτότητα της διαίρεσης είναι:
2 3 2
( ) ( 2)(2 3 3 2) 4P x x x x x x= − − − + + + .
2
3 2
2
2 3 3 2
x
x x x
−
− − +

5. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 5
Γ3. Πρέπει 2 3 2
( ) 4 ( 2)(2 3 3 2) 4 4P x x x x x x x x> + ⇔ − − − + + + > + ⇔
2 3 2
( 2)(2 3 3 2) 0x x x x⇔ − − − + > (Ι)
Πιθανές ακέραιες ρίζες του 3 3
( ) 2 3 3 2Q x x xχ = − − + είναι 1, 2± ± .
Με σχήµα Horner έχω:
Άρα 2
( ) ( 1)(2 5 2)Q x x x x= + − + .
Οπότε (Ι) 2 2
( 2)(2 5 2)( 1) 0x x x x⇔ − − + + >
Άρα ∆=25-16=9, 2
1
2
x =ր
ց
, 2
2 0 2x x− = ⇔ = ± .
Το πρόσηµο των παραγόντων του γινόµενου αλλά και του γινοµένου τους
φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
X 2− -1
1
2
2 2
x2
-2 + - - - + +
2
2 5 2x x− + + + + - - +
1x + - - + + + +
Γινόµενο - + - + - +
Άρα
1
( 2, 1) , 2 (2, )
2
x
 
∈ − − ∪ ∪ +∞ 
 
.
2 -3 -3 2 -1
-2 5 -2
2 -5 2 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0 0

6. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 5
Γ4. Πρέπει P(x)=Q(x)
5 4 3 2 5 4 3 2
2 3 7 8 7 2 (2 ) 7 ( 3 2 ) ( 6) 1x x x x x x a x x x xβ α β κ κ⇔ − − + + = + + − + − + + + + − ⇔
2 3
2
3 2 8
1
6 7
1
1 0
α β
α
α β
β
κ
κ
κ
+ = − 
= −  − + =   
⇔ ⇔ =   
+ =   =  − = 
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Ορίζεται αν 1 1
0 1 1 0x x
e e e e x x+ +
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠
και
( )
( )
( )2
1
1( 1)
0 0 0 0 1
1
x xx x x
x x
x x
e e ee e e e e e
e e e e x
e e e ee
+
− −− + + −
> ⇔ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >
− −
αφού για τον αριθµητή έχουµε:
( ) ( )
2 22 2
1 4 2 1 4 2 1 1 0e e e e e e e e∆ = + − ⋅ = + + − = − + = − > .
( ) ( )
1
1 1
και
2
e
x e e
e
+ ± −
=
ր
ց
οπότε γράφεται ( )x
e e− ( )1 .x
e −
Άρα πρέπει 0x ≠ και x > 1 δηλαδή A (1, ).f = +∞ Τότε απλοποιείται ως εξής:
( )
( )
( )1
( ) ln ln
1
x x x
x
e e e e e
f x
e ee
− − −
= =
−
.
∆2. H g(x) γράφεται:
2 2
2 1 1 4 4 3
( ) - 4 3 3 .
x x x x
x x e e e e e
g x e e
e e e
− − − +
= + = − + =
Άρα
5 3 2
ln 4 3 5 3
( )
e x x
e
e e e e
g x e
e e
+
− + +
= ⇔ = ⇔
2 2
4 3 5 3 4 5 0.x x x x
e e e e e e⇔ − + = + ⇔ − − =
Είναι
5 δεκτή
2 x
1 απορ.
4 6
( 4) 4 ( 5) 1 36 και e =
2 −
±
∆ = − − ⋅ − ⋅ =
ր
ց
.
Άρα 5 ln5 δεκτή.x
e x= ⇔ =
∆3. Αρκεί
2
1
( 1)
( ) 0 ln ln1
x ex
x
e e e
f x
e e+
− + +
≤ ⇔ ≤ ⇔
−
( )
( )
( )2
1
1( 1)
1 1 1
1
x xx x x
x x
e e ee e e e e e
e e e ee
+
− −− + + −
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
− −
x
e e e⇔ − ≤ ⇔ ln 2
2 ln 2x x e
e e e e x e≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

7. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2ΓΑ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 5 ΑΠΟ 5
Όµως x > 1 δηλαδή 1 ln 2x e< ≤ .
∆4.
2 2
( )
1
6 4 ( 1) 4 3 6 4
( )
x x x x
f x
x
e e e e e e e e e
e g x
e e e e e+
− − + + − + −
≥ + ⇔ ≥ + ⇔
−
2
2 24 3 6 4
4 3 6 4 5 6 0
x x x
x x x x xe e e e e e
e e e e e e e e
e e e
− − + −
⇔ ≥ + ⇔ − ≥ − + + − ⇔ − + ≥ ⇔
2
5 6 0ω ω− + ≥ όπου 0x
eω = >
2
Είναι ( 5) 4 1 6 25 24 1.∆ = − − ⋅ ⋅ = − =
3
2
5 1
Οπότε ω
2
±
=
ր
ց
Το πρόσηµο φαίνεται στο παρακάτω πίνακα:
ω 2 3
ω2
-5ω+6 + 0 - 0 +
Άρα 2 ή ω 3 2 ή 3 ln 2 ή x ln3.x x
e e xω ≤ ≥ ⇔ ≤ ≥ ⇔ ≤ ≥
Όµως 1 και ln 2 ln 1x e> < = οπότε επαληθεύεται µόνο για ln3x ≥ .