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- 1. I SISTEMI DI PRIMO GRADO TEORIATEORIA METODI DI RISOLUZIONEMETODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DEI PROBLEMIRISOLUZIONE DEI PROBLEMI MAPPAMAPPA
- 2. I SISTEMI TEORIA METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DEI PROBLEMI EQUAZIONI COME FUNZIONI EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA INSIEME DELLE SOLUZIONI Sistema determinato Sistema indeterminato Sistema impossibile Confronto Sostituzione Riduzione Cramer STRUTTURA Esempio geometrico Schema Esempio algebrico MAPPA
- 3. TEORIA Un equazione in due incognite (x e y) come 2x-y=3 è una proposizione aperta verificata da un’infinità di coppie: S={(4,5),(1,-1),…}
- 4. Un sistema di equazioni DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, considerate contemporaneamente. L’insieme delle soluzioni di un sistema è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni che lo compongono. Risolvere un sistema di equazioni vuol dire perciò trovare tutte le soluzioni che verificano tutte le equazioni che formano il sistema: Dobbiamo trovare quei valori di x e y che sono soluzioni di tutte le equazioni
- 5. In questa unità didattica consideriamo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado, tali sistemi sono detti sistemi lineari
- 6. INSIEME DELLE SOLUZIONIMETODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione. A seconda del suo insieme soluzione un sistema può essere: =+ =+ ''' cybxa cbyax TEORIA
- 7. Un sistema può essere: COMPATIBILE INCOMPATIBILE Determinato Indeterminato Impossibile Ammette 1 sola soluzione Ammette infinite soluzioni Non ammette soluzioni
- 8. OPPURE POSSIAMO DIRE CHE UN SISTEMA E’: Possibile se ammette soluzione (le sue equazioni sono compatibili) Impossibile se non ammette soluzione (le sue equazioni sono incompatibili)
- 9. Un sistema possibile si dice: Determinato se ammette una sola soluzione; Indeterminato se ammette infinite soluzioni.
- 10. Interpretazione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite Poiché ogni equazione lineare del sistema rappresenta graficamente una retta nel piano, risolvere graficamente un sistema significa trovare il punto di intersezione tra le due rette che rappresentano le equazioni date Non è sempre possibile determinare graficamente la soluzione di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite. Possono esserci, infatti, imprecisioni nel disegno, oppure le coordinate del punto di intersezione potrebbero non essere individuabili esattamente.
- 11. In generale si possono presentare tre diversi casi. Due rette nel piano possono, infatti, avere tre reciproche posizioni: •Rette incidenti => un punto in comune; •Rette parallele distinte => nessun punto in comune; •Rette parallele coincidenti => infiniti punti in comune. Corrispondentemente, poiché ogni equazione di primo grado in due incognite è rappresentata da una retta , un sistema di due equazioni di questo tipo può avere: •Una soluzione (x ; y); •Nessuna soluzione; il sistema è impossibile; •Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato
- 12. Rette incidenti 1 punto in comune Il sistema ha Una sola soluzione (x ; y) Un sistema con un numero finito e non nullo di soluzioni è anche detto sistema determinato. Un sistema lineare con una sola soluzione è quindi determinato. Non si deve confondere il caso di sistema non determinato con quello di sistema indeterminato. Un sistema non determinato può essere indeterminato o impossibile.
- 13. Rette parallele distinte Nessun punto in comune Il sistema Non ha soluzione; Il sistema è IMPOSSIBILE
- 14. Rette parallele coincidenti Infiniti punti in comune Il sistema ha Infinite soluzioni; Il sistema è INDETERMINATO
- 15. METODI DI RISOLUZIONE Elenco dei metodi di risoluzione: •Metodo del confronto •Metodo di sostituzione •Metodo di riduzione •Metodo di Cramer
- 16. sostituzione 1)Ricavare un’ incognita da una delle due equazioni 2)Sostituire l’espressione trovata per l’incognita nell’altra equazione; si ottiene una equazione in una sola incognita 3)Risolvere l’equazione in una sola incognita 4)Sostituire la soluzione dell’equazione trovata nell’espressione dell’incognita ancora da determinare; si ricava così la seconda incognita esempio
- 17. Metodo di sostituzione 11010 012912 =→= =−−− yy yy +=−+=−+= = 1343)1(4 1 x y Analizziamo il sistema: Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: −= =−− 34 0123 yx yx =+− =−− 034 0123 yx yx Scrivendo nell’altra equazione al posto di x l’espressione prima calcolata, svolgeremo l’equazione in y. ( ) 012343 =−−− yy Una volta calcolato il valore di y sostituiremo di nuovo il suddetto valore nell’equazione esplicitata in x. METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA TEORIA += += 1 1 x y
- 18. Metodo di sostituzione – esempio N. 2 −=− +−= =−+− +−= =−+− +−= =− =+ 58 32 1464 32 14)32(2 32 142 32 x xy xx xy xx xy xy xy = = = +−=+−= = +−= 8 5 4 7 8 5 3 4 5 3 8 5 *2 8 5 32 x y x y x xy
- 22. Confronto esempio Per risolvere un sistema col metodo del confronto occorre ricavare la stessa variabile da entrambe le equazioni, confrontare le due espressioni, e risolvere l’equazione che si ottiene, come capirai meglio seguendo l’esempio
- 24. Spiegheremo ancora il metodo del confronto con un esempio. Analizziamo il sistema: =−− =−+ 0142 02 yx yx Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: += −= 142 2 yx yx L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: 1422 +=− yy e risolverla come un’ equazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x. Metodo del confronto 123 −=y 4−=y −= += 4 42 y x METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA TEORIA −= += 4 6 y x
- 26. Riduzione esempio Il metodo di riduzione è anche detto metodo di sottrazione e addizione, perché richiede di sommare (o sottrarre) membro a membro le due equazioni. Moltiplico entrambe le equazioni per fattori non nulli, ottenuti dalla divisione del m.c.m. con i rispettivi coefficienti dell’incognita considerata, in modo che i coefficienti di tale variabili risultino opposti (cioè se le incognite hanno coefficienti discordi i fattori moltiplicativi saranno positivi se invece i coefficienti sono concordi i fattori moltiplicativi saranno discordi). Avendo i coefficienti opposti, sommare membro a membro; si ottiene così una equazione in una sola incognita. Risolvere l’equazione in una sola incognita. Sostituire il valore dell’incognita trovato nell’altra equazione, oppure risolvere l’altra procedendo con una nuova riduzione con lo stesso procedimento Dopo aver ordinato con lo stesso criterio entrambe le equazioni considero una delle incognite e calcolo il m.c.m. tra i coefficienti delle stesse.
- 27. Metodo di riduzione – esempio N.1 Sommo membro a membro L’equazione ottenuta dalla somma contiene solo x e può essere sostituita ad una qualsiasi (per esempio alla seconda) delle due equazioni Considero i coefficienti della y il m.c.m. è 2 ; 2:1=2 Moltiplico per 2 la prima equazione. 2:2=1 moltiplico per -1 la seconda ( meno perché sono concordi) = =+ = =+ −=+− =+ =− =+ 8 5 32 58 32 142 642 142 32 x xy x xy xy xy xy xy
- 28. Ricavo x, poi riparto col testo: questa volta considero i coefficienti della x il m.c.m. è 4; 4:2=2 moltiplico per 2 la prima equazione,:4=1 moltiplico per 1 la seconda (non cambio il segno perché i coefficienti della x sono discordi ): per poi ricavare y sommo membro a membro = = = =− =+ 8 5 4 7 ................ 74 142 642 x y y xy xy
- 29. Metodo di riduzione −= −= 2 11 1 x y esempio N. 2 : =−+− =+− 0742 0652 yx yx In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y. Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x. 01 0742 0652 =−− + =−+− =+−+ y yx yx Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema. 0112 055 0652 =+ + =+ =+−+ x y yx METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA TEORIA =+ =−− 0112 01 x y
- 30. =− =+ 1815 912 yx yx Procedo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 12 e 15 è 60, perciò moltiplico nel modo seguente: 4 5 − =− =+ 1815 912 yx yx −=+− =+ 72460 45560 yx yx 279 −=y 3−=y --------------------------- da cui esempio N. 3
- 31. =− =+ 1815 912 yx yx per eliminare la y non sono necessarie altre operazioni =− =+ 1815 912 yx yx ------------------------------- 2727 =x 1=x DA CUI Risultato: −= = 3 1 y x
- 33. Metodo di CramerPremessa In matematica si definisce determinante di una matrice (leggi: tabella) di 2 righe e 2 colonne la differenza tra il prodotto dei termini della diagonale principale e il prodotto dei termini della diagonale secondaria. Consideriamo un generico sistema lineare in 2 incognite (ordinato come nello schema): Se lo risolvessimo in funzione dei coefficienti letterali, otterremmo: Ossia: dove: = determinante dei coefficienti del sistema (cioè: 1 riga= coeff. 1 equazione, 2 riga = coeff. seconda equazione) x e y = determinanti ottenuti da quello dei coefficienti, sostituendo rispettivamente la colonna dei coefficienti di x e di y con quella dei termini noti. 111 =+ =+ cybxa cbyax baab caac y baab bccb x 11 11 11 11 ; − − = − − = ∆ ∆ = ∆ ∆ = y x y x Clicca qui se vuoi vedere un esempio risolto ∆ ∆ ∆ ∆
- 34. =+ =+ ''' cybxa cbyax y∆ 'a a y =∆ il cui valore si calcola così Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice e ricaviamo = ''b b a a ∆ 'a a =∆ '' ' baab b b −= (La linea indica la moltiplicazione) Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna a a’) con i termini noti dell’equazione (cioè c e c’): x∆ 'c c x =∆ '' ' bccb b b −= Ora per faremo la stessa cosa sostituendo in coefficienti di y (seconda colonna b b’) con i termini noti (c c’) e lasciando quelli di x nella prima colonna: '' ' caac c c −= Avremo quindi: ∆ ∆ = ∆ ∆ = y x y x ∆ x∆ = ''b b c c il cui valore si calcola così ∆ ∆ y∆ = ''c c a a il cui valore si calcola così
- 36. 2x + 3y = 12 3x - y = 7 2 3 3 -1 ∆ = 2·(-1) - 3·3 = -2 - 9 = -11 12 3 7 -1 = 12·(-1) - 3·7 = -12 - 21 = -33x∆ y∆ 2 12 3 7 = 2·(7) - 12·3 14 - 36 = -22 ∆ ∆ = ∆ ∆ = y x y x 3 11 33 = − − = 2 11 22 = − − = x = 3 y = 2 = = Quindi ottengo =
- 37. Esempio: 5x + y = 2 2x – y = -1 Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti: Δ= 5 1 2 -1 = -7 # 0 Si calcola Δx e Δy ottenuti sostituendo nel determinante D i termini noti rispettivamente nella prima e nella seconda colonna.Δx = 2 1 -1 -1 = -1 Δy = 5 2 2 -1 = -9 Le soluzioni del sistema sono: x= Δx /Δ = 1/7 y= Δy /Δ =9/7
- 38. Metodo di Cramer Questo non è un modo di risoluzione dei problemi ma un modo schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio: =+ =+ ''' cybxa cbyax Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il sistema: =+ =+ ''' ''' acyabxaa cabyaaxa Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione: ( ) '''' caacybaab −=⋅− continua… METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 39. continua… Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione: ( ) '''' caacxbaab −=⋅− Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo: ( ) ( ) −=⋅− −=⋅− '''' '''' caacybaab bccbxbaab e quindi − − = − − = '' '' '' '' baab caac y baab bccb x Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice: ''b b a a E con questo ricaviamo il : ∆ 'a a =∆ '' ' baab b b −= (La linea indica la moltiplicazione) Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna) con i termini noti dell’equazione: x∆ 'c c x =∆ '' ' bccb b b −= METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 40. Ora per faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y (seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima colonna: y∆ 'a a y =∆ '' ' caac c c −= Avremo quindi: ∆ ∆ = ∆ ∆ = y x y x Bisognerà poi discutere sul valore del per poter dar la soluzione. ∆ METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 41. Schema '' b b a a ≠ 0≠∆ ''' c c b b a a ≠= 000 =∆∧=∆∧=∆ yx DETERMINATO IMPOSSIBILE INDETERMINATO Rette incidenti Rette parallele Rette coincidenti ( )000 ≠∆∨≠∆∧=∆ yx ''' c c b b a a == (Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente) METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 42. Sistema di 3 equazioni a tre incognite: metodo di sostituzione esempio 1 x + y + z = 6 2x + y - z = 1 2x - 3y + z = -1 Scelgo di ricavare la z dalla prima equazione e sostituisco nella seconda e nella terza (al posto di z) z = 6 - x - y 2x + y - (6 - x - y) = 1 2x - 3y + 6 - x - y = -1 z = 6 - x - y 2x + y - 6 + x + y = 1 2x - 3y + 6 - x - y = -1 z = 6 - x - y 3x + 2y = 7 x - 4y = -7 z = 6 - x - y 3x + 2y = 7 x = 4y -7 ora ricavo la x dalla terza equazione
- 43. z = 4 – 1=3 y = 2 x = 1 sostituisco il valore della x trovato nella seconda equazione z = 6 - x - y 12y - 21 + 2y = 7 x = 4y -7 z = 6 - x - y 14y = 21 + 7 x = 4y -7 z = 6 - x - y 14y = 28 x = 4y -7 z = 6 - x - y y = 2 x = 4y -7 z = 6 - x - 2 y = 2 x = 4(2) -7 z = 4 - x y = 2 x = 8 -7=1 z = 3 y = 2 x = 1 z = 6 - x - y 3(4y - 7) + 2y = 7 x = 4y -7 sostituisco ad y il valore trovato
- 44. =++ −=−− −=−+ 1624 123 1032 zyx zyx zyx =++−−+ −=−+−−− +−−= 162)3102(4 1)3102(23 3102 zzxx zzxx zxyricavo y nella prima equazione e la sostituisco nelle altre due =++−− −=−−++ +−−= 16212408 162043 3102 zzxx zzxx zxy =+− −=− +−−= 56147 2177 3102 zx zx zxy divido per 7 la seconda e la terza equazione =+− −=− +−−= 82 3 3102 zx zx zxy ricavo x nella seconda equazione e lo sostituisco nella terza equazione =+−− −= +−−= 82)3( 3 3102 zz zx zxy ESEMPIO N.2
- 45. ricavo z nella terza equazione = −= +−−= 5 3 3102 z zx zxy Ottenuto il valore di una incognita lo sostituiamo nella seconda equazione nella quale l’altra incognita era stata messa in evidenza e poi risaliamo fino alla prima equazione, ottenendo le tre soluzioni, ossia i valori delle tre incognite x, y, z. = =−=−= +−−= 5 2253 3102 z zx zxy = = +−−=⋅+−⋅−= 5 2 15104531022 z x y = = = 5 2 1 z x y
- 46. Metodo di Cramer/Sarrus per i sistemi lineari di 3 equazioni e 3 incognite del tipo =++ =++ =++ '''''''' '''' dzcybxa dzcybxa dczbyax Risolvere un sistema significa determinare una terna di valori (x1 ,y1 ,z1) che verifichi ogni equazione
- 47. '''''' ''' cba cba cba =∆ '''''' ''' cbd cbd cbd x =∆ '''''' ''' cda cda cda y =∆ '''''' ''' dba dba dba z =∆ Diagonale principaleDiagonale secondaria Definisco , , , , I seguenti determinanti ∆ z∆x∆ y∆ Δx , Δy , Δz ottenuti sostituendo in Δ la colonna dei coefficienti dell’incognita corrispondente con la colonna dei termini noti
- 48. Regola di Cramer Dato un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, se il sistema ammette una sola (terna) soluzione che si ottiene da: 0≠∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = zyx zyx ,,
- 49. Regola di Sarrus per il calcolo del determinante 3x3:si copiano di fianco alle tre colonne iniziali le prime due e si effettuano le somme dei prodotti 1. dei numeri presenti nella diagonale principale e delle sue parallele 2. dei numeri presenti nella diagonale secondaria e delle sue parallele (con i risultati cambiati di segno) ==∆ '' ' '' ' '''''' ''' b b b a a a cba cba cba
- 50. '''''''''''''''''' cbabacacbbcaabccab −−−++ ==∆ '' ' '' ' '''''' ''' b b b a a a cba cba cba − − −
- 51. −=−+ =+− =+− 14 032 1552 zyx zyx zyx = + − − + + + −++ +−+ +−+ =∆ 4 1 5 1 2 2 141 312 552 +2 -15 +40 +5 -24 -10 = - 2 −−− Determino delta il determinante dei coefficienti delle incognite ∆ Calcolo il valore di mediante la regola di Sarrus ∆ E S E M P I O
- 55. x + y + z = 6 2x + y - z = 1 2x - 3y + z = -1 1 1 1 2 1 -1 2 -3 1 ∆ x∆ 6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1 y∆ 1 6 1 2 1 -1 2 -1 1 z∆ 1 1 6 2 1 1 2 -3 -1 ESEMPIO N.2
- 56. 1 1 1 2 1 -1 2 -3 1 1 1 2 1 2 -3 = +1 – 2 - 6 = -7 1 1 1 2 1 -1 2 -3 1 1 1 2 1 2 -3 = - 2 – 3 - 2 = -7 ∆ = -14 ∆
- 57. ∆ 6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1 6 1 1 1 -1 -3 = +6 +1 - 3 = +4 6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1 6 1 1 1 -1 -3 = +1 –18 -1 = -18 x∆ = -14 x∆
- 58. 1 6 1 2 1 -1 2 -1 1 1 6 2 1 2 -1 = +1 -12 - 2 = -13 1 6 1 2 1 -1 2 -1 1 1 6 2 1 2 -1 = -2 –1 -12 = -15 y∆ = -28 y∆
- 59. 1 1 6 2 1 1 2 -3 -1 1 1 2 1 2 -3 = -1 +2 -36 = -35 1 1 6 2 1 1 2 -3 -1 1 1 2 1 2 -3 = - 12 +3 +2 = -7 z∆ = -42 z∆
- 62. '' b b a a ≠ METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA capire (senza risolverlo) se questo risulterà un sistema determinato è semplicissimo, basta controllare se si verifica la condizione a fianco TEORIA =+ =+ ''' cybxa cbyax Dato un sistema scritto nel seguente modo
- 63. ''' c c b b a a ≠= METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA TEORIA Dato un sistema scritto nel seguente modo =+ =+ ''' cybxa cbyax capire (senza risolverlo) se questo risulterà un sistema impossibile è semplicissimo, basta controllare se si verifica la condizione a fianco
- 64. ''' c c b b a a == METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA TEORIA Dato un sistema scritto nel seguente modo =+ =+ ''' cybxa cbyax capire (senza risolverlo) se questo risulterà un sistema indeterminato è semplicissimo, basta controllare se si verifica la condizione a fianco
- 65. Metodo grafico Consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le due equazioni che formano il sistema. Si ottengono: - due rette incidenti se il sistema è determinato; le coordinate del loro punto di intersezione sono le soluzioni del sistema; - due rette parallele se il sistema è impossibile (infatti, se le rette non hanno intersezione non si ha soluzione) - due rette coincidenti se il sistema è indeterminato (cioè è praticamente composto da due equazioni identiche) Clicca qui se vuoi vedere un esempio risolto
- 66. Metodo grafico - esempio =− =+ 1 42 yx xy Anzitutto occorre esplicitare y in entrambe le equazioni: −= +−= 1 2 2 xy x y x y1 y2 0 2 -1 2 1 1 4 0 3 soluzione grafica del sistema -2 -1 0 1 2 3 4 0 2 4 6 x y Costruiamo poi una tabella con alcuni valori di x e y corrispondenti nelle due equazioni: La soluzione del sistema è: x=2; y=1
- 68. RISOLUZIONE DI PROBLEMI Le equazioni sono usate per risolvere alcuni problemi: Metodo per la risoluzione Esempio in geometria Esempio pratico
- 69. Metodo per la risoluzione 1.1. 2.2. 3.3. Determinare l’obiettivoobiettivo del problema Individuare i datidati e trovare le eventuali relazionirelazioni fra essi Scegliere le incogniteincognite opportune e determinarne il dominio Elaborare e risolvere il sistemasistema ControllareControllare che i dati ottenuti corrispondano all’obiettivo del problema 4.4. 5.5. METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 70. Esempio geometrico TESTO: Un trapezio isoscele ha perimetro 32a. Ciascuno dei lati obliqui è 5/6 della somma delle basi; la differenza fra il doppio della base maggiore e la base minore è 12a. Calcola le misure dei lati del trapezio. DISEGNO: A CD B OBIETTIVO: misure dei lati .,, DCABAD DATI E RELAZIONI: e visto che il trapezio è isoscele: 2 12AB DC a− = ( )DCAB DCABa += −− 6 5 2 32 continua… METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO
- 71. METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA AB x DC y = = ( ) =− += −− aDCAB DCAB DCABa 122 6 5 2 32 INCOGNITE: SISTEMA: Risolvendo il sistema troviamo: CONTROLLO: SOLUZIONE: ay ax 4 8 = = a aaa ADap aDCaAB 10 2 8432 32 48 = −− =⇒= =∧= aDC aAB 4 8 = = aAD 10= ( ) =− += −− ayx yx yxa 122 6 5 2 32 ⇒ ASPETTO TEORICO
- 72. Esempio algebricoEsempio algebrico In un numero di 3 cifre la prima supera di 3 la metà della seconda; quest’ultima è il doppio della terza, che, a sua volta, supera di 5 la differenza fra le prime due. Qual è il numero? OBIETTIVO: numero x DATI E RELAZIONI: prima cifra=metà della seconda+3 seconda cifra= 2 volte la terza terza cifra=prima-seconda+5 INCOGNITE: seconda cifra=x 1 2 3 5 1 2 8 x x x x + − + = = SISTEMA METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DI PROBLEMI MAPPA ASPETTO TEORICO CONTROLLO: prima cifra= 8:2+3=7 seconda cifra=8 terza cifra=7-8+5=4 SOLUZIONE: il numero è 784