1. 8 клас – завдання із розв’язаннями
1. Бічна сторона рівнобічній трапеції дорівнює меншій основі, а діагональ
трапеції дорівнюєбільшій основі. Визначте градусніміри кутів трапеції.
Розв’язання
В С
А К
АС=АК, отже ∠АСК=∠АКС=α, ∠ВСА=
АВ=ВС, отже ∠ВАС=∠ВСА=180°-2 α.
ОскількиВС і АК паралельні, то ∠ВСА=∠САК=180°-2 α, тоді
∠ВАК=∠ВАС+∠САК, ∠ВАК=360°-4 α.
∠ВАК=∠СКА=α, маємо:
360°-4 α=α,
α =72°,
∠ВАК=∠СКА=72°, ∠АВС=∠ВСК=108°
Відповідь: 108°, 72°
2. Банк купив 10000 акційпідприємства А і 20000 акційпідприємства В на
загальну суму 50 000 грн. Колиціна акцій підприємства А зросла на 25%, а
ціна акцій підприємства В упала на 10%, то банк продав усіакції за 52
000 грн. Яка початкова ціна акції кожного підприємства?
Розв’язання
Нехай початкова ціна акції підприємства А становить х грн.., а В – у грн.,
тоді акцій купилина суму
10000х+20000у=50000.
Після зміни цін загальна вартість акцій становила:
10000х1, 25+2000у0,9=52000.
Маємо систему рівнянь:
{
12500х + 18000у = 52000
10000х + 20000у = 50000
Х=2, у=1,5
Відповідь: 2 грн, 1,5 грн.
2. 3. Спростити вираз:
1
(а + 1)(а+ 2)
+
1
(а + 2) ∙ (а + 3)
+ ⋯+
1
(а + 2013) ∙ (а + 2014)
+
1
(а + 2014)∙ (а + 2015)
Розв’язання
Кожний з доданків можна податиу виглядірізниці двох дробів із
чисельниками 1, а знаменниками – послідовниминатуральними
числами:
1
а+1
−
1
а+2
+
1
а+2
−
1
а+3
+
1
а+3
−
1
а+4
+ ⋯+
1
а+2013
−
1
а+2014
+
1
а+2014
−
1
а+2015
=
1
а+1
−
1
а+2015
=
а+2015−(а+1)
4030
=
2014
(а+1)(а+2015)
4. При якому значенні параметра а система рівнянь:
{
|х| + |у| = 2;
у = а.
має один розв'язок? Запишіть відповідні розв1язки.
Розв’язання
1. Будуємо графік рівняння: |х| + |у| = 2, розкриваючимодулі .
2. Проводимо прямі у = а таким чином, щоб вони мали одну спільну
точку з графіком першого рівняння, такий варіант можливийпри у=2,
у=-2
3. Якщо а=2, розв’язок буде(0;2), якщо а=-2, розв’язок буде(0;2),
у
2
х
-2
3. 5. Дано відрізок OA. Із кінця відрізка A виходить 6 відрізків
AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,АВ6. Із кожноїточки Bi можуть виходити ще 6 нових
відрізків, або жодного нового відрізка і т.д. Чи може число вільних кінців
побудованихвідрізків дорівнювати 2016? (Під вільним кінцем відрізка
розуміють точку, що належить тільки одному відрізку).
Розв’язання. Якщо з кінця Bi відрізка проведено ще 6 відрізків, то
з’являються 6 нових вільних кінців, а один у точці Bi зникає. В результаті
кількість вільних кінців відрізків збільшується на 5 . Тому, якщо п’ятірки відрізків
проведено k разів, то кількість вільних кінців дорівнює 5k+1 із врахуванням
точки О. Прирівняємо 5k+1=2016, знайдемо k.
5k=2015, k=403. Отже на 403 кроці, матимемо 2016 кінців.
Відповідь: так, може.
