Параметричний метод вирівнювання геодезичних вимірів

1. Лекція № 2
Основи параметричного методу
вирівнювання.
МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ
ВИМІРЯНИХ ВЕЛИЧИН
ЗМ1 ПАРАМЕТРИЧНИЙ МЕТОД
ВИРІВНЮВАННЯ

2. Вибираємо необхідні невідомі Т1,…Тk, через які
виражають виміряні величини X1,…Xn у вигляді
функцій
Хі=fi(Т1,…Тk), і=1,2,..,n . (1)
Рівняння такого виду називають параметричними
рівняннями зв’язку.
Вибір необхідних невідомих параметрів –
важливий момент у даному способі вирівнювання,
оскільки від нього залежить степінь важкості
розв’язуваних рівнянь, а відповідно і об’єм
розрахунків.
Позначимо рівняння значень виміряних величин
через xi`=xi+vi, де vi – поправки до виміряних
величин х, а зрівнювані значення необхідних
невідомих – через t і запишемо xi+vi= fi(t1,…tk)
(2)
або vi= fi(t1,…tk)-xi, і=1,2,..,n . (3)
Тепер умову [pv2]=min можна представити у
вигляді
. (4)
   min
n 2
p f t ,...t - x =i i i1 k
i=1
Загальні особливості параметричного методу

3. У лівій частині виразу (4) невідомі величини t, тому його можна записати у вигляді
деякої функції F(t1,…tk), тобто F(t1,…tk)=min. (5)
Таким чином, розв’язок задачі вирівнювання по методу умовного екстремуму зведено
шляхом уведення необхідних невідомих Т до задачі на абсолютний екстремум. Для
цього потрібно скласти систему нелінійних рівнянь

 v
F
=0
t
, v=1,2,..k , (6)
із яких можуть бути отримані невідомі t1,…tk.
Однак, якщо рівняння (6) мають нелінійний вид, то їх розв'язок практично
неможливий. Тому задачу вирішують наступним чином.
Для параметрів tv знаходять наближені значення tv
0
, причому з такою точністю, щоби
можна було привести функції fi(t1,…tk)=xi+ vi до лінійного виду шляхом розкладання у
ряд Тейлора. Це дозволяє постійно слідувати завжди єдиному визначеному алгоритму
порядку розрахунків.

4. Представимо невідомі t1,…tk у вигляді
tv=tv
0+τv, (v=1,…k). (7)
де tv
0 – наближені значення, τv – невідомі поправки до них.
Підставивши ці значення tv у рівність (3), отримаємо (розклад у ряд
Тейлора)
vi
= fi(t1
0+ τ1,… tk
0+ τk) - xi , і=1,2,..,n . (8)
Розкладаючи функцію fi у ряд Тейлора, знаходимо
систему рівнянь
, і=1,2,..,n . (12)
Лінійні рівняння (12) є параметричними рівняннями поправок.
Якщо функції fi(t1,…tk) мають лінійний вид, то наближені
значення tv0 можна не розраховувати.
i1 i2 ik i+v = a τ + a τ ...a τ + li 1 2 k

5. Ураховуючи рівняння (12), умову [pv2
]=min можна записати так
n2 2pv p ( ) F( ,... ) min1i i1 i2 ik i k
i 1
 
  
   

= a τ +a τ +...a τ +l1 2 k . (13)
Задача розв’язується визначеною системою рівнянь

 v
=0,v=1,...k
τ
F
(14)
Візьмемо часткові похідні та прирівняємо їх нулю

 


n1
1 1 n n
v 1 1
vv
= 2p v +...+2p v =0
τ τ τ
F
. (15)
Скоротимо рівняння (15) на 2
 
n
i1 1
i 1
a v 0
2 



 i i
v
= p v = pa
τ
F
. (16)

6. Ураховуючи рівняння (12), знаходимо i

i1
1
v
= a
τ
, i

i2
2
v
= a
τ
, i
k


ik
v
= a
τ
,
налогічно рівнянню (16)      2 3 kv 0, v 0,..., v 0  pa pa pa .
Отже, отримані рівності
 
 
 
1
2
k
v 0
v 0
................
v 0


 


 
pa
pa
pa
(17).
Підставивши у рівняння (17) замість vi праві частини рівнянь поправок (12),
тримаємо k лінійних рівнянь з k невідомими τ1,…τk.
Перемноживши на piai1 і т.д. та просумувавши результати отримаємо

7.        
       
       







1 1 1 1 2 2 1 k k 1
1 2 1 2 2 2 2 k k 2
1 k 1 2 k 2 k k k k
pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0
pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0
.................................................................................
pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0
. (18)
Для рівноточних вимірів р=1.
Рівняння (18) називаються нормальними рівняннями, вони представляють собою
истему k лінійних рівнянь з k невідомими. Розв'язком є значення поправок τv до
аближених значень потрібних невідомих.

8. Лінійна система нормальних рівнянь відрізняється
наступними особливостями:
1) по діагоналі, розташованої зліва вниз направо,
стоять коефіцієнти які завжди додатні: їх називають
квадратичними, а вказану діагональ – квадратичною;
2) інші, неквадратичні, коефіцієнти розташовані
симетрично відносно квадратичної діагоналі.
Отримавши поправки τ1,…τk, далі за допомогою
рівнянь поправок (12) знаходять поправки vi і після
того зрівнювані значення виміряних величин
xi
`=xi+vi і невідомих tv=tv
0+τv (7).
Для контролю можуть слугувати рівняння (2) –
xi+vi= fi(t1,…tk), і=1,2,..,n.

9. Матричне подання параметричного методу

10. Задачу зрівнювання параметричним
способом розв’язують у такій
послідовності.

13. Складання і розв’язок систем нормальних рівгянь при застосуванні
параметричного методу

15. Оцінка точності результатів при застосуванні
параметричного методу

16. кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових вим
овних рівнянь; д) кількості корелат.
Параметричне рівняння поправок має вигляд: , де – це:
істинне значення виміряної величини; б) урівноважене значення виміряної величин
ачення величини; г) параметр; д) нев’язка.
Кількість параметричних рівнянь поправок рівна:
кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових ви
раметрів; д) подвоєній кількості необхідних вимірів.
Врівноважене значення для величини Xi записується так: , де:
– виміряне значення величини Xi, – поправка до результату вимірювання ; б) – ви
личини Xi, – нев’язка; в) – середнє значення величини Xi, – поправка до результату
реднє значення величини Xi, – нев’язка; д) середнє значення величини Xi, – корелат
Врівноважене значення для параметра записується так: , де:
– виміряне значення параметра , – поправка до результату вимірювання; б) – істи
раметра , – поправка до результату вимірювання; в) – виміряне значення параметр
ближене значення параметра , – нев’язка; д) – наближене значення параметра , – п
ближеного значення.
Система параметричних рівнянь у лінійному вигляді записується так:
; б) ;
; г) ;
.

17. вектор параметрів; г) вектор поправок до наближених значень параметрів ; д) век
членів.
19. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа
L:
а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен
параметрів ; в) матриця наближених значень параметрів; г) вектор поправок до на
значень параметрів ; д) вектор вільних членів.
20. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа
V:
а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен
параметрів ; в) вектор поправок до результатів вимірювань; г) вектор поправок до
наближених значень параметрів ; д) вектор вільних членів.
21. Обернені ваги врівноважених параметрів знаходяться :
а) в першому рядку матриці нормальних рівнянь; б) в останньому стовпчику оберне
коефіцієнтів нормальних рівнянь; в) на головній діагоналі матриці нормальних рівн
головній діагоналі оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь; д) в першом
стовпчику матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь.

18. 1. Середня квадратична похибка одиниці ваги нерівноточного вимірювання "0.2 діагональні елементи
оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь дорівнюють
0,4
0,9
0,3
0,4
Q .
Чому дорівнює середня квадратична похибка третього врівноваженого параметра?
а) ±4.5″; б) ±7.0″; в) ±1.0″; г) ±11.0″; д) ±6.0″.