1. 7 клас – завдання й розв’язки
1. Обчислітьзначеннявиразу:
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+
1
4 ∙ 5
+ ⋯+
1
2013 ∙ 2014
+
1
2014 ∙ 2015
Розв'язання
Кожний з доданків можна податиу вигляді різниці двох дробівіз чисельниками1, а
знаменниками– послідовниминатуральнимичислами від2 до 2015:
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+
1
4
−
1
5
…+
1
2013
−
1
2014
+
1
2014
−
1
2015
=
1
2
−
1
2015
=
2015−2
4030
=
2013
4030
2. Кути КОМта МОР – суміжні.ПроміньОА – бісектрисакутаКОМ, а проміньОСпроходитьміж
сторонамикута МОР.Доведіть,щопроміньОСє бісектрисоюкутаМОР,якщо кутАОС прямий.
Розв’язання
М С
А
К О Р
Нехайкут ∠КОМ=α,тоді ∠МОР=180° - α,оскількиці кутисуміжні.ОМ – бісектриса∠КОМ,
тоді ∠АОМ= 0,5 α. Якщо ∠АОС=90°,то ∠МОС= 90°-0,5 α.ПроміньОС проходитьміжсторонами
кутаМОР, отже ∠МОС+∠РОС=∠МОР, ∠РОС=∠МОР-∠МОС, ∠РОС=180° - α – (90°-0,5 α)=180° -
α - 90°+0,5 α= 90°-0,5 α =∠МОС. Оскільки∠РОС=∠МОС,тоОС – бісектриса.
3. Першазліва цифра шестизначногочисла – 1. Якщо цю цифру переставитинаостаннє місце,то
отримаємочисло, що утричі більше запопереднє.Знайдітьпочаткове число.
Розв’язання
Нехайшукане число: 1авсде. За умовоюзадачі маємо: авсде1=3∙ 1абсде.
Якщо авсде=х, томаємо рівняння:10х+1=3(10000+х). Звідки х = 42857.
Відповідь:42857
4. Туристи виїхалигірськоюдорогоюна велосипеднупрогулянкуо7.00 . Рухаючисьбеззупинок,
по рівнинних ділянках вониїхализі швидкістю20км/год, вгору – 15 км/год,а вниз – 30км/год.
О котрійгодині вони повернулися,якщоподолали водин біквідстань 40 км?
Розв’язання
Нехайшлях,що туристипроїхалирівнинноюділянкою,позначений - 𝑠1,вгору - 𝑠2, вниз - 𝑠3,.
Тоді час, витраченийтуристамина шлях в одну сторону задаватиметьсявиразом:
2𝑠1
20
+
𝑠2 + 𝑠3
15
+
𝑠3 + 𝑠2
30
=
6(𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3)
60
=
6 ∙ 40
60
= 4
Відповідь:11 год.
2. 5. Смужкупаперурозірвалина16 частин, потімоднуз частинокрозірвалище на 16 частин,
потімпродовжилитакужопераціюдалі.Чиможе на деякомуетапі загальнасума шматочків
паперудорівнювати2015?
Розв’язання
Якщо позначитикількістьоперацій буквою n,тона n+1 кроці шматочківпаперубуде 16+15n, оскільки
при розриванні одногошматочкуна 16 до загальної суми додається 15 нових шматочків.Тоді
спробуємознайтинатуральнийрозв’язокрівняння:16+15n=2015, 15n=2015-16, 15n=1999,
n=1999/15 – не є натуральнимчислом.Отже в результаті таких операційне можнаотримати2015
шматочківпаперу.
Відповідь:ні
