![20Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko
4 TEOREMA DASAR
KALKULUS
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan
masalah
Kompetensi Dasar Memahami konsep dasar kalkulus
Indikator Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat
memahami
1. Memahami teorema dasar kalkulus
2. Memahami teorema kelinieran integral tentu
Contoh 1
Tunjukkan bahwa β« π ππ₯ = π(π β π)
π
π
Jawab
πΉ(π₯) = ππ₯ adalah suatu anti turunan dari π(π₯) = π, sehingga menurut teorema dasar
kalkulus
β« π ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) = ππ β ππ = π(π β π)
π
π
Contoh 2
Tunjukkan bahwa β« π₯ ππ₯ =
π2
2
β
π2
2
π
π
Teorema Dasar Kalkulus
Andaikan suatu f kontinu pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti keturunan dari f
β« π(π₯)ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π)
π
π
MATERI](https://image.slidesharecdn.com/p5teoremadasarkalkulus-191017050459/85/p6mengetik-equation-1-320.jpg)
![21Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko
Jawab
πΉ(π₯) = π₯2
2β adalah suatu anti turunan dari π(π₯) = π₯, sehingga menurut teorema dasar
kalkulus
β« π₯ ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) =
π2
2
β
π2
2
π
π
Contoh 3
Tentukan β« (2π₯ β 3π₯2) ππ₯
2
1
Jawab
β« (2π₯ β 3π₯2) ππ₯
2
1
= [
2π₯2
2
β
3π₯3
3
]
2
1
= (22
β 23) β (12
β 13) = β4 β 0 = β4
Contoh 4
Tentukan β« (6π₯2
β 4π₯ + 2) ππ₯
2
1
Jawab
β« (6π₯2
β 4π₯ + 2) ππ₯
2
1
= β« 6π₯2
ππ₯ β β« 4π₯ ππ₯
2
1
+ β« 2 ππ₯
2
1
2
1
Lambang πΉ(π) β πΉ(π) dapat kita tulis menjadi
πΉ(π) β πΉ(π) = [πΉ(π₯)] π
π
Teorema Kelinieran Integral Tentu
Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan andaikan k konstanta dan f + g
terintegralkan
(π’) β« ππ(π₯)ππ₯ =
π
π
π β« π(π₯)ππ₯
π
π
(π’π’) β« [π(π₯) + π(π₯)]ππ₯ =
π
π
β« π(π₯)ππ₯
π
π
+ β« π(π₯)ππ₯
π
π
(π’π’π’) β« [π(π₯) β π(π₯)]ππ₯ =
π
π
β« π(π₯)ππ₯
π
π
β β« π(π₯)ππ₯
π
π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
More Related Content
What's hot
Similar to P6_mengetik equation
Similar to P6_mengetik equation (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (15)
P6_mengetik equation
- 1. 20Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko 4 TEOREMA DASAR KALKULUS Standar Kompetensi Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar Memahami konsep dasar kalkulus Indikator Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami teorema dasar kalkulus 2. Memahami teorema kelinieran integral tentu Contoh 1 Tunjukkan bahwa β« π ππ₯ = π(π β π) π π Jawab πΉ(π₯) = ππ₯ adalah suatu anti turunan dari π(π₯) = π, sehingga menurut teorema dasar kalkulus β« π ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) = ππ β ππ = π(π β π) π π Contoh 2 Tunjukkan bahwa β« π₯ ππ₯ = π2 2 β π2 2 π π Teorema Dasar Kalkulus Andaikan suatu f kontinu pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti keturunan dari f β« π(π₯)ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) π π MATERI
- 2. 21Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko Jawab πΉ(π₯) = π₯2 2β adalah suatu anti turunan dari π(π₯) = π₯, sehingga menurut teorema dasar kalkulus β« π₯ ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) = π2 2 β π2 2 π π Contoh 3 Tentukan β« (2π₯ β 3π₯2) ππ₯ 2 1 Jawab β« (2π₯ β 3π₯2) ππ₯ 2 1 = [ 2π₯2 2 β 3π₯3 3 ] 2 1 = (22 β 23) β (12 β 13) = β4 β 0 = β4 Contoh 4 Tentukan β« (6π₯2 β 4π₯ + 2) ππ₯ 2 1 Jawab β« (6π₯2 β 4π₯ + 2) ππ₯ 2 1 = β« 6π₯2 ππ₯ β β« 4π₯ ππ₯ 2 1 + β« 2 ππ₯ 2 1 2 1 Lambang πΉ(π) β πΉ(π) dapat kita tulis menjadi πΉ(π) β πΉ(π) = [πΉ(π₯)] π π Teorema Kelinieran Integral Tentu Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan andaikan k konstanta dan f + g terintegralkan (π’) β« ππ(π₯)ππ₯ = π π π β« π(π₯)ππ₯ π π (π’π’) β« [π(π₯) + π(π₯)]ππ₯ = π π β« π(π₯)ππ₯ π π + β« π(π₯)ππ₯ π π (π’π’π’) β« [π(π₯) β π(π₯)]ππ₯ = π π β« π(π₯)ππ₯ π π β β« π(π₯)ππ₯ π π
- 3. 22Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko = 6 β« π₯2 ππ₯ β 4 β« π₯ ππ₯ 2 1 + 2 β« 1 ππ₯ 2 1 2 1 = 6 [ π₯3 3 ] 2 1 β 4 [ π₯2 2 ] 2 1 + 2[π₯] 2 1 = 2(8 β 1) β 2(4 β 1) + 2(2 β 1) = 14 β 6 + 2 = 10 Contoh 5 Tentukan β« 2 π ππ2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ π 4β 0 Jawab Misal π’ = sin 2π₯ sehingga ππ’ = 2 cos 2π₯ ππ₯ β« π ππ2 2π₯ cos π₯ ππ₯ = β« π’ ππ’ = π’3 3 + β = [ π ππ3 2π₯ 3 ] 45 0 = 1 3 (π ππ3 90 β π ππ3 0) = 1 3 (1 β 0) = 1 3 Contoh 6 Tentukan β« [π₯2 + π₯ (π₯2 + 1)3] ππ₯ 1 0 Jawab β« [π₯2 + π₯ (π₯2 + 1)3] ππ₯ 1 0 = β« π₯2 ππ₯ + β« π₯(π₯2 + 1)3 ππ₯ 1 0 1 0 Untuk integral sebelah kiri tentunya dapat dengan mudah kita kerjakan, namun untuk integral sebelah kanan maka perlu kita selesaikan dengan menggunakan permisalan. Misal π’ = π₯2 + 1 sehingga ππ’ = 2π₯ ππ₯ akibatnya, 1 2 ππ’ = π₯ ππ₯, sehingga β« π₯(π₯2 + 1)3 ππ₯ 1 0 = 1 2 β« π’3 ππ’ = 1 2 π’4 4 + β = π’4 8 + β β« π₯2 ππ₯ + β« π₯(π₯2 + 1)3 ππ₯ 1 0 1 0 = [ π₯3 3 ] 1 0 + [ (π₯2 + 1)4 8 ] 1 0 = 1 3 (1 β 0) + 1 8 (16 β 1) = 1 3 + 1 7 8 = 2 5 24
- 4. 23Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko Latihan 1 Hitunglah integral tentu menggunakan teorema dasar kalkulus! β« π₯3 ππ₯ π π Jawab πΉ(π₯) = β― adalah anti turunan dari π(π₯) = π₯3 β« π₯3 ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π) = β― π π = .................................................................................................... Latihan 2 Hitunglah integral tentu menggunakan teorema kelinieran integral tentu! β« (4π₯3 + 4)ππ₯ 3 1 Jawab β« (4π₯3 + 4)ππ₯ 3 1 = β― β« 3 1 ππ₯ + β― β« 3 1 ππ₯ = .................................................................................................... = .................................................................................................... = .................................................................................................... Latihan 3 Hitunglah integral tentu berikut! β« cos π₯ sin π₯ ππ₯ π 4β 0 Jawab Misalkan u = ............... dan du = ................. β« cos π₯ sin π₯ ππ₯ = β― π 4β 0 = .................................................................................................... = .................................................................................................... LATIHAN TERBIMBING
- 5. 24Buku Kerja Kalkulus Lanjut STKIP YPM Bangko Soal no 1 β 4, gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung tiap integral tentu (lihat contoh 1-3). 1. β« (3π₯2 β 2π₯ + 3) 2 β1 ππ₯ 2. β« 2 π‘3 ππ‘ 3 1 3. β« (π¦2 + 1 π¦3 ) ππ¦ β2 β4 4. β« cos π₯ ππ₯ π 2β 0 Soal no 5 β 10, gunakan teorema dasar kalkulus dikombinasikan dengan aturan pangkat diperumum untuk menyelesaikan integral tentu yang diberikan (lihat contoh 4 dan 5) 5. β« (π₯2 + 1)10(2π₯)ππ₯ 1 0 6. β« (β π₯3 + 1) (3π₯2)ππ₯ 0 β1 7. β« (4π₯ + 3 + cos π₯)ππ₯ π 2β 0 8. β« (π₯2 + 2π₯)2 ππ₯ 1 0 9. β« (β π₯ + β2π₯ + 1) ππ₯ 4 0 10. β« (π1 3β β π₯1 3β ) ππ₯ 8π π LATIHAN MANDIRI