Tugas terjemahan kalkulus BAB 11 Penerapan Integral Tertentu

1. PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU
Luas Wilayah di bawah Satu Kurva
Salah satu kemajuan utama kalkulus adalah kemampuan untuk menemukan area daerah
pesawat yang dibatasi oleh kurva. Geometri Euclidean mengembangkan formula dan
metode untuk menemukan area daerah pesawat yang dibatasi oleh segmen garis, namun
goyah saat dihadapkan pada daerah-daerah yang dibatasi oleh kurva.
Jika 𝑓 kontinu dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada [𝑎, 𝑏], saat itu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
adalah luas daerah yang
dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), sumbu 𝑥, dan garis 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏.
MASALAH Temukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu 𝑥, garis 𝑥 = 4 dan
𝑥 = 6, dan kurva 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥.
SOLUSI Fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 secara kontinu dan non negatif pada [4,6]
Dengan demikian, luas daerah yang ditentukan sama dengan ∫ (𝑥2
+ 2𝑥)
6
4
𝑑𝑥 =
[
𝑥3
3
+
2𝑥2
2
]
4
6
= 70
2
3
unit yang sama. Tentu saja solusi ini mengasumsikan, bahwa
semua pengukuran berada pada unit yang sama
MASALAH Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3. Sumbu 𝑥, garis
𝑥 = −2 dan 𝑥 = 1.
SOLUSI Fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3. secara kontinu dan non negatif pada
[−2,1] Dengan demikian, luas daerah yang ditentukan sama dengan ∫ (𝑥2
− 2𝑥 +
1
−2
3) 𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
−
2𝑥2
2
+ 3𝑥]
−2
1
= 15 unit yang sama.
MASALAH Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥. Sumbu 𝑥, garis 𝑥 = 0
dan 𝑥 =
𝜋
4
.
SOLUSI Fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥. secara kontinu dan non negatif pada [0,
𝜋
4
]
Dengan demikian, luas daerah yang ditentukan sama dengan ∫ (𝑡𝑎𝑛2
𝑥)
𝜋
4
0
𝑑𝑥 =
[tan 𝑥 − 𝑥]0
𝜋
4
= (1 −
𝜋
4
) unit yang sama.

2. MASALAH Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2
. Sumbu 𝑥, garis 𝑥 = 0
dan 𝑥 = 1.
SOLUSI Fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑥2
. secara kontinu dan non negatif pada [0,1]
Dengan demikian, luas daerah yang ditentukan sama dengan ∫ (𝑥2
)
1
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
]
0
1
=
1
3
unit yang sama.

3. LATIHAN 11.1
Temukan Daerah Wilayah yang Dibatasi oleh Kurva yang Ditunjukan
1. 𝑦 = 2𝑥2
+ 2𝑥 − 24; sumbu 𝑥; 𝑥 = 3; 𝑥 = 6
2. 𝑦 = sin 𝑥 ; sumbu 𝑥; 𝑥 =
𝜋
3
; 𝑥 =
2𝜋
3
3. 𝑦 = 8𝑥 − 2𝑥2
; sumbu 𝑥; 𝑥 = 1; 𝑥 = 3
4. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥; sumbu 𝑥; sumbu 𝑦; 𝑥 =
𝜋
4
5. 𝑦 = √4𝑥 + 4; sumbu 𝑥; sumbu 𝑦; 𝑥 = 8
6. 𝑦 = cos 𝑥; sumbu 𝑥; sumbu 𝑦; 𝑥 =
𝜋
6
Luas Wilayah di bawah Dua Kurva
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi kontinu dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) pada [𝑎, 𝑏] maka luas antara
dua kurva diberikan oleh ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
Seperti yang dapat anda lihat, masalah untuk menemukan luas diantara dua kurva
melibatkan intisari dasar yang dikembangkan pada bagian pertama bab ini.
MASALAH Temukan luas daerah tertutup oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥 dan 𝑦 = ℎ(𝑥) =
sin 𝑥. Sumbu 𝑥, garis 𝑥 =
𝜋
2
dan 𝑥 = 𝜋.
SOLUSI Baik 𝑓 dan ℎ bersifat kontinu dan non negatif pada [
𝜋
2
, 𝜋] dan 𝑓(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) pada
[
𝜋
2
, 𝜋]. Dengan demikian, luas daerah yang ditentukan diberikan oleh ∫ [(𝑥3
+
𝜋
𝜋 2⁄
𝑥) − sin 𝑥] 𝑑𝑥 = [
𝑥4
4
+
𝑥2
2
+ cos 𝑥]
𝜋 2⁄
𝜋
= [
𝜋4
4
+
𝜋2
2
− 1] − [
𝜋4
26
+
𝜋2
23
] = [
15𝜋4
64
+
3𝜋2
8
−
1] unit yang sama.

4. MASALAH Temukan luas daerah tertutup oleh garis 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. Sumbu 𝑥, dan kurva 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2
.
SOLUSI Memecahkan untuk persimpangan dua fungsi dengan menyamakan ungkapan
untuk mendapatkan 𝑥2
= −𝑥 + 1 atau 𝑥2
+ 𝑥 − 1 = 0. Solusi untuk persamaan
kuadrat ini adalah 𝑥 =
−1±√5
2
dan nilai pada interval [0,1] adalah 𝑥 =
√5−1
2
. Juga, 𝑓
mendominasi bila 𝑥 kurang dari nilai ini dan 𝑔 mendominasi ketika 𝑥 lebih besar
dari nilai ini sehingga yang ditentukan sama dengan ∫ [(−𝑥 + 1) − 𝑥2]𝑑𝑥 +
√5−1
2
0
∫ [𝑥2
− (−𝑥 + 1)]𝑑𝑥 = [
−𝑥2
2
+ 𝑥 −
𝑥3
3
]
0
√5−1
21
√5−1
2
+ [
𝑥3
3
+
𝑥3
2
− 𝑥]√5−1
2
1
= [−
(
√5−1
2
)
2
2
+
(
√5−1
2
) −
(
√5−1
2
)
3
3
] + [
1
3
+
1
2
− 1] − [
(
√5−1
2
)
3
3
+
(
√5−1
2
)
2
2
− (
√5−1
2
)] = 2 [−
(
√5−1
2
)
2
2
+
(
√5−1
2
) −
(
√5−1
2
)
3
3
] −
1
6
= 2 [−
(3−√5)
4
+ (
√5−1
2
) −
√5−2
3
] −
1
6
= 2 [−
3
4
−
1
2
+
2
3
+
√5
4
+
√5
2
−
√5
3
] −
1
6
= 2 [
5√5−7
12
] −
1
6
=
5√5−8
6
= 0.530057 unit yang sama.
MASALAH Temukan luas daerah diantara 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2 dan 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 antara 𝑥 = 0
dan 𝑥 = 1.
SOLUSI Fungsi 𝑓 dan 𝑔 bersifat kontinu pada [0,1]. Apalagi, dikarenakan 𝑥 ≥ 0, 𝑥2
+ 𝑥 +
1 > 0. Dengan demikian, 𝑥2
+ 2 > 1 − 𝑥 dan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Luas daerah yang
ditentukan adalah ∫ [(𝑥2
+ 2) − (1 − 𝑥)]
1
0
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥2
+ 𝑥 + 1]
1
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+
𝑥]
0
1
= [
1
3
+
1
2
+ 1] =
11
6
unit yang sama.
MASALAH Temukan luas daerah diantara 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2 dan 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 antara 𝑥 = 0
dan 𝑥 = 1.
SOLUSI Fungsi 𝑓 dan 𝑔 bersifat kontinu pada [0,1]. Apalagi, dikarenakan 𝑥 ≥ 0, 𝑥2
+ 𝑥 +
1 > 0. Dengan demikian, 𝑥2
+ 2 > 1 − 𝑥 dan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Luas daerah yang
ditentukan adalah ∫ [(𝑥2
+ 2) − (1 − 𝑥)]
1
0
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥2
+ 𝑥 + 1]
1
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+
𝑥]
0
1
= [
1
3
+
1
2
+ 1] =
11
6
unit yang sama.

5. MASALAH Menemukan daerah antara kurvay = 𝑥 − 1 dan 𝑦 = 2𝑥3
− 1 antara 𝑥 = 1 dan
𝑥 = 2
SOLUSI fungsi yang ditetapkan oleh 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 dan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
− 1 fungsi
kontinu. Selanjutnya, sejak 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 dikatakan bahwa𝑥 − 1 ≤ 1 dan 2𝑥3
−
1 ≥ 1 dan jadi 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Dengan demikian, sama dengan daerah tertentu
∫ [(2𝑥3
− 1) − (𝑥 − 1)]
2
1
𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥3
− 𝑥)
2
1
𝑑𝑥 = [
2𝑥4
4
+
𝑥2
2
]
1
2
= (8-2) - 0 =6 unit
yang sama.
MASALAH Temukan area dari wilayah yang dibatasi oleh grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3 + 2 and
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2.
SOLUSI Pertimbangkan 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (𝑥3
− 3 + 2) − ( 𝑥 + 2) = 𝑥3
− 4𝑥 =
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2). Ketika −2 ≤ 𝑥 ≤ 0, kamu punya 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0 atau
equivalen, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥); and when 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, kamu punya 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0
atau equivalen, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥).
Berdasarkan informasi ini, Anda tahu wilayah tertutup di dua daerah. dengan
demikian, daerah diberikan oleh jumlah dari dua integral yang mengikuti.
Area = ∫ [(𝑥3
− 3𝑥 + 2) − (𝑥 − 2)]
0
−2
𝑑𝑥 + ∫ [(𝑥3
− 2) − (𝑥32
0
− 3𝑥 + 2)]𝑑𝑥 =
∫ [(𝑥3
− 4𝑥)𝑑𝑥 + ∫ [(4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥 =
2
0
0
−2
[
𝑥4
4
+
4𝑥2
2
]
−2
0
+ [
4𝑥2
2
−
𝑥4
4
]
0
2
= 4 + 4 =
8 unit yang sama.

6. Latihan 11.2
Temukan Batas Luas Wilayah dengan Memberikan Kurva
1. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2
dan pada sumbu 𝑥
2. 𝑦 = 𝑥2
dan 𝑦 = 𝑥 + 2
3. 𝑦 = 𝑥2
dan 𝑦 = √𝑥
4. 𝑦 = (𝑥 + 1)3
dan 𝑦 = 𝑥 + 1
5. 𝑦 = 𝑥3
+ 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = −1; 𝑥 = 1
6. 𝑦 = 2𝑥 + 3; 𝑦 = 𝑥 + 6; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1
7. 𝑦 = 𝑒 𝑥
; 𝑦 = 𝑒; 𝑥 = 0
8. 𝑦 = 𝑥4
− 2𝑥3
− 𝑥2
+ 2𝑥 + 1; 𝑦 = 1; 𝑥 = −1; 𝑥 = 0
9. 𝑦 = 3 − 𝑥2
; 𝑦 = 1 − 𝑥; 𝑥 = −1; 𝑥 = 1
10. 𝑦 = 𝑥2
; 𝑦 = 1
Panjang Busur
Jika fungsi 𝑓 mempunyai pada [𝑎, 𝑏], kemudian panjang busur kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) diantara titik
(𝑎, 𝑓(𝑎))dan titik (𝑏, 𝑓(𝑏)) diberikan dengan rumus
Panjang busur = 𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Disamping itu, jika 𝑥 = ℎ(𝑦) dinyatakan sebagai fungsi 𝑦 dan ℎ′
kontinu pada interval [𝑐, 𝑑],
kemudian 𝐿 = ∫ √1 + [ℎ′(𝑦)]2𝑑
𝑐
𝑑𝑦.
MASALAH Temukan panjang busur kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 dari titik (1,1) ke titik (8,4)
SOLUSI Panjang busur yang ditentukan
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ √1 + [
2
3𝑋
1
3
]2
8
1
𝑑𝑥 = ∫ √1 +
4
9𝑋
2
3
8
1
𝑑𝑥
= ∫ √
9𝑋
2
3 + 4
9𝑋
2
3
8
1
𝑑𝑥 =
1
3
∫ √
9𝑋
2
3 + 4
𝑋
1
3
8
1
𝑑𝑥.
Sekarang, jika kamu mensubstitusi 𝑢 = 9𝑋
2
3 + 4 lalu transformasi integral
𝐿 =
1
18
∫ 𝑢
1
2
40
13
𝑑𝑢 =
1
18
[
2𝑢
3
2
3
]
13
40
=
1
27
(40
3
2 − 13
3
2) ≈ 7.6. integrasi yang lebih
sederhana dapat dicapai dengan pemecahan pertama 𝑥 dalam 𝑦 dan
menggunakan rumus yang tepat.

7. MASALAH Temukan panjang busur𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 dari titik (1,1) ke titik (8,4)
SOLUSI Panjang busur yang ditentukan
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ √1 + [
2
3𝑋
1
3
]2
8
1
𝑑𝑥 = ∫ √1 +
4
9𝑋
2
3
8
1
𝑑𝑥
= ∫ √
9𝑋
2
3 + 4
9𝑋
2
3
8
1
𝑑𝑥 =
1
3
∫ √
9𝑋
2
3 + 4
𝑋
1
3
8
1
𝑑𝑥.
Sekarang, jika kamu mensubstitusi 𝑢 = 9𝑋
2
3 + 4 lalu transformasi integral
𝐿 =
1
18
∫ 𝑢
1
2
40
13
𝑑𝑢 =
1
18
[
2𝑢
3
2
3
]
13
40
=
1
27
(40
3
2 − 13
3
2) ≈ 7.6. integrasi yang lebih
sederhana dapat dicapai dengan pemecahan pertama 𝑥 dalam 𝑦 dan
menggunakan rumus yang tepat.
MASALAH Temukan panjang busur𝑓(𝑥) =
2
3
(1 + 𝑥2)
3
2 antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 3
SOLUSI 𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
∫ √1 + [(1 + 𝑥2)
3
2
(2𝑥)]2 𝑑𝑥 =
3
0
∫ √1 + 4𝑥2 + 4𝑥4 𝑑𝑥 =
3
0
∫ √(1 + 2𝑥2)
3
0
2 dx
=
∫ (1 + 2𝑥2)𝑑𝑥 =
3
0
[
𝑥+2𝑢3
3
]
0
3
= 21
MASALAH Temukan panjang busur𝑥2
= 1 − 𝑒 𝑦
antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 =
1
2
SOLUSI Pertama, Selesaikan 𝑦 dalam hal 𝑥 untuk mendapat 𝑦 = 𝐼𝑛(1 − 𝑥2). Lalu
Masukan rumusnya.
Untuk Mendapatkan
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ √1 +
(−2𝑥)2
(1−𝑥2)
1/2
0
𝑑𝑥 = ∫ √
𝑥4+2𝑥2+1
(1−𝑥2)
1/2
0
𝑑𝑥 =
∫ √
(𝑥2+1)2
(1−𝑥2)2
𝑑𝑥 =
1/2
0
∫
2𝑥2+1
1−𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ (
2
1−𝑥2
− 1) 𝑑𝑥 =
1/2
0
1/2
0
[𝐼𝑛 |
𝑥+1
𝑥−1
| − 𝑥]
1
2
𝑜
= 𝐼𝑛 3 −
1
2

8. Latihan 11.3
Temukan Panjang Busur dari Kurva yang Ditunjukkan pada Interval
yang Diberikan
1. 𝑦 =
𝑥2
2
antara 𝑥 = −√3 and 𝑥 = 0
2. 𝑦 = 4 −
4𝑥
9
antara 𝑥 dan 𝑦 dicegat
3. 𝑦 =
(𝑥2+2)
3
2
3
pada [0,3]
4. 6𝑥𝑦 = 𝑦4
+ 3 dari 𝑦 = 1 ke 𝑦 = 2
5. 𝑦 =
𝑥4
4
+
1
8𝑥2
pada [1,2]
6. 𝑦 =
√ 𝑥(3𝑥−1)
3
pada [1,4]
7. 𝑦 = 𝐼𝑛 𝑥 pada [1, √3]
8. 𝑦 =
𝑥3
3
+
1
4𝑥
pada [1,3]
9. 𝑦2
=
𝑥(𝑥−3)2
9
; panjang yang diinginkan ada di kuadran pertama pada [1,3]
10. 𝑦 = 2(𝑥 − 1)
3
2 pada [1,
17
9
]