1. MAKALAH KALKULUS PEUBAH BANYAK
TUGAS MATA KULIA KALKULUS PEUBAH
BANYAK
DI SUSUN OLEH :
JELA AKBAR
SMESTER/PRODY:
4.C/MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN
MUHAMMADIYAH PAGARALAM
TAHUN AJARAN 2015 – 2016
2. KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas
nikmat dan karunia-Nya semata, akhirnya penulis dapat menyelesaikan makalah
yang berjudul “KALKULUS PEUBAH BANYAK.”
Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui
kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber
maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari
semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan
hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki.
Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang
bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.
Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga
Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Pagar alam, Agustus 2016
Penulis
3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................................
DAFTAR ISI ..................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN................................................................................
A. Latar Belakang................................................................................
B. Rumusan Masalah ..........................................................................
C. Tujuan Penulisan ...........................................................................
D. Manfaat Penulisan .........................................................................
BAB II PEMBAHASAN.................................................................................
A. Turunan.....................................................................................................
B. Vektor .....................................................................................................
C. Sistem Kordinat ......................................................................................
D. Integral Lipat .........................................................................................
1. Lipat Dua ................................................................................
2. Lipat Tiga ...............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada bab ini, kita menggeneralisasikan konsep Kalkulus Peubah
Banyak lebih lanjut lagi.Kita akan mempelajari materi-materi yang akan
di bahas materi yang di bahas ntara lain;
1. Fungsi Dengan Beberapa Variabel
2. Turunan Parsial Orde Tinggi
3. Integral Lipat Dua
4. penerapan Turunan Parsial
B. Rumusan Masalah
1. Apa Yang Dimaksud Dengan Fungsi Dengan Beberapa Variabel
2. Apa Yang Dimaksud Dengan Turunan Parsial Orde Tinggi
3. Apa Yang Dimaksud Dengan Integral Lipat Dua
4. Apa Yang Dimaksud Dengan Penarapan Turunan Parsial
5. C. Tujuan Penulisan
1. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Dengan Fungsi Dengan Beberapa
Variabel
2. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Turunan Parsial Orde Tinggi
3. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Integral Lipat Dua
4. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Penarapan Turunan Parsial
D. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui dan
memahami pengertian dari;
1. Fungsi Dengan Beberapa Variabel
2. Turunan Parsial Orde Tinggi
3. Integral Lipat Dua
4. penerapan Turunan Parsial
Dan mengetahui macam-macam sifat dari materi yang akan
disampaikan lebih lanjut lagi.
6. BAB II
PEMBAHASAN
A. Turunan
Turunan Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial)
dari y terhadap x dinotasikan dengan :
Rumus Turunan dan contoh
Jika dengan C dan n konstanta real, maka :
Jika y = C dengan
Jika y = f(x) + g(x) maka
Jika y = f(x).g(x) maka
10. Contoh Soal :
1. Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.
Pembahasan :
y'
=
d
y
=
d (sin 4x + cos
6x)
d
x
dx
y' = 4 cos 4x − 6 sin 6x.
11. 2. Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.
Pembahasan :
y'
=
d
y
=
d (6 sin 2x − 4 cos
x)
d
x
dx
y' = 12 cos 2x − (-4 sin x)
y' = 12 cos 2x + 4 sin x
3. Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.
Pembahasan :
y'
=
d
y
=
d (3x4 + sin 2x + cos
3x)
d
x
dx
y' = 12 x3 + 2 cos 2x − 3 sin 3x.
12. 4. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(π⁄6).
Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.
Maka turunan pertamanya adalah :
f '(x)
=
d
y = u'(x).v(x) +
u(x).v'(x)d
x
f '(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
f '(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
f '(π⁄6) = cos (π⁄6). cos 3(π⁄6) − 3 sin (π⁄6). sin 3(π⁄6)
f '(π⁄6) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
f '(π⁄6) = 0 − 3⁄2
f '(π⁄6) = -3⁄2
13. 5. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y
=
1 + cos
x
sin x
Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = 1 + cos x, maka u'(x) = -sin x
⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.
Maka turunan pertamanya adalah :
y'
=
d
y
=
u'(x).v(x) −
u(x).v'(x)
d
x
v2(x)
y'
=
-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos
x)
sin2 x
y'
=
-sin2 x − cos2 x − cos
x
sin2 x
y'
=
-(sin2 x + cos2 x) − cos
x
sin2 x
y'
=
-(1) − cos
x
1 − cos2 x
y'
=
-(1 + cos x)
(1 − cos x).(1 + cos
x)
y'
=
-1
1 − cos
x
y'
=
1
cos x −
1
14. Turunan Kedua
Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan .
Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Sifat Sifat Turunan
Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang
dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan
perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.
Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'
5. maka
Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)
15. f '(x) = u'(x) + v'(x)
Sifat 2 :
f(x) = u(x) - v(x)
f '(x) = u'(x) - v'(x)
Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)
f '(x)=c.u'(x)
16. Sifat 4 :
f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
17. Sifat 5
Karena
maka
sehingga
Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh
Contoh Soal :
1. Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f‘(x) = …
A. 4(2x – 1)(x + 3)
B. 2(2x – 1)(5x + 6)
C. (2x – 1)(6x + 5)
D. (2x – 1)(6x + 11)
E. (2x – 1)(6x + 7)
18. PEMBAHASAN :
INGAT : f(x) = u.v
f'(x) = u’v + uv’
misal : u(x) = (2x – 1)2 u'(x) = 2(2x – 1)(2)
v(x) = x + 2 v'(x) = 1
f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
= 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1
= 12x2 + 8x – 7
= (2x – 1)(6x + 7)
JAWABAN : E
2. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x)
= adalah f ‘(x), maka f‘(x) = …
A.
B.
C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
=
=
=
=
19. JAWABAN : A
3. Diketahui f(x) = , Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari
f(x), maka nilai f‘(2) = …
A. 0,1
B. 1,6
C. 2,5
D. 5,0
E. 7,0
PEMBAHASAN :
f(x) =
= (4x2+9)1/2
f'(x) = 1/2 (4x2+9)-1/2 (8x)
= 4x (4x2+9)-1/2
=
f'(2) =
=
= 1.6
20. JAWABAN : B
4. Diketahui f(x) = . Nilai f‘(4) = …
A. 1/3
B. 3/7
C. 3/5
D. 1
E. 4
PEMBAHASAN :
f(x) =
f'(x) =
misal : u(x) = 2x + 4 u'(x) = 2
v(x) = 1 + v'(x) = 1/2 x-1/2
f'(x) =
f'(4) =
=
=
=
= =
21. Persamaan Garis Singgung Kurva
Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis
singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang
disimbolkan dengan m, dimana :
gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka
untuk mencari gradien garisnya m=(y2-y1)/(x2-x1)
Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :
jika saling sejajar maka m1=m2
jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)
Persamaan Garis Singgung Kurva
Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1)
maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m =
f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga
persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika
diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan
persamaan
y-y1=m(x-x1)
22. Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk
mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan
persamaan
Contoh soal :
1. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432
cm2. Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang
rusuk persegi adalah … cm.
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 16
PEMBAHASAN :
misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.
Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)
432 = s2 + (4.s.t)
432 = s2 + 4ts
23. Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita
buat persamaan dalam variable s.
432 – s2 = 4ts
108/s – s/4 = t
Volume = v(x) = s2t
= s2(108/s – s/4)
= 108s – s3/4
Agar volume kotak maksimum maka :
v'(x) = 0
108 – 3s2/4 = 0
108 = 3s2/4
144 = s2
12 = s
JAWABAN : D
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?
Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 7x2 + 20 di titik
yang berabsis 2 ?
Jawab :
x = 2
y = x4 – 7x2 + 20 = y = 24 – 7.22 + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x3 – 14 x = 4.23 – 14.2 = 32 – 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x
24. 4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang
berordinat 18 ?
Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x3 + 10 = 18
x3 = 8
x = 2
m = y’ = 3x2 = 3.22 = 12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16
5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 5x2 + 10 di titik yang
berordinat 6 adalah
Jawab :
ordinat = 6
x4 – 5x2 + 10 = 6
x4 – 5x2 + 4 = 0
(x2 – 1)(x2 – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2
untuk x = -1
m = 4x3 – 10x = -4 + 10 = 6
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12
Untuk x = 1
m = 4x3 – 10x = 4 – 10 = -6
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -6(x – 1)
25. y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12
Untuk x = -2
m = 4x3 – 10x = 4(-2)3 – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18
Untuk x = 2
m = 4x3 – 10x = 4.23 – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18
Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x
– 18 dan y = 12x – 18
6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 – 20 yang sejajar dengan
garis y = 12x + 8 adalah
Jawab :
y = 3x4 – 20
y’ = 12x3
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m1 = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2)
adalah
m2 = m1 = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x3 = 12
x3 = 1
x = 1
maka y = 3x4 – 20 = 3 – 20 = – 17
Persamaan garis singgungnya adalah
26. y – y1 = m(x – x1)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29
7. Garis yang menyinggung kurva y = 12 – x4 dan tegak lurus dengan x –
32y = 48 mempunyai persamaan ….
Jawab :
y = 12 – x4
y’ = – 4x3
Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48
Garis ini memiliki gradien m1=1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m1.m2 = -1
(1/32)m2=-1
m2= -32
m2 ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x3 = -32
x3 = 8
x = 2
y = 12 – x4 = 12-24 = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60
27. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Tentunya kalian masih ingat dengan topik sebelumnya tentang menentukan
titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Pada topik ini, kalian akan
belajar tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum dan
nilai minimum.
Definisi 1 :
Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan x = c merupakan
anggota Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :
1. f(c) adalah nilai maksimum fungsi f pada Df jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x
di Df
2. f(c) adalah nilai minimum fungsi f pada Df jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x
di Df
3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum
atau minimum fungsi f di Df
Definisi 2 :
Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan interval (a,b) merupakan
himpunan bagian dari Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :
1. f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang
memuat c jika f(c)adalah nilai maksimum fungsi f pada (a,b)
2. f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang
memuat c jika f(c)adalah nilai minimum fungsi f pada (a,b)
3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika f(c) adalah nilai maksimum
lokal atau nilai minimum lokal fungsi f[/important
Lalu, kapan terjadi nilai ekstrim lokal?
Kalian dapat menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan nilai
ekstrim lokal.
28. Jika fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat x = c, maka
berlaku hubungan sebagai berikut :
1. Jika f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) < 0 untuk
semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal f
2. Jika f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) > 0 untuk
semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai minimum lokal f
3. Jika f'(x) pada selang (a,c) dan (c,b), maka f(c) bukan merupakan nilai
ekstrim lokal f
Agar lebih jelas, mari perhatikan gambar di bawah ini.
29. Apakah kalian sudah paham? Mari kita cermati beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1:
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 - x jika Df = { x | -1
≤ x ≤ 2} !
Penyelesaian :
Jika kita perhatikan, ternyata x = ¼ merupakan anggota Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2
}. Dengan demikian, untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
fungsi f pada Df, kita perlu mengetahui nilai f untuk x = -1 , x = ¼, dan x = 2.
30. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan
minimum dari
f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 } berturut-turut adalah f(2) =
6 dan f( ¼ ) = - 1/8.
31. Contoh 2 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 3x2 - 2x + 1 jika Df = { x
| 1 ≤ x ≤ 4 } !
Penyelesaian :
Oleh karena x = 1/3 bukan merupakan anggota Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 }, maka
untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita
cukup mengetahui nilai f untuk x = 1 dan x = 4.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan
minimum dari
f(x) = 3x2 – 2x + 1 dengan Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } berturut-turut adalah f(4) =
41 dan f(1) = 2.
32. Contoh 3 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = (x + 4)2 jika Df = { x | -4
≤ x ≤ 0 } !
Penyelesaian :
Oleh karena x = -4 merupakan batas kiri dari Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 }, maka
untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita
cukup mengetahui nilai f untuk x = -4 dan x = 0.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan
minimum dari
f(x) = (x + 4)2 dengan Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } berturut-turut adalah f(0) = 16
dan f(-4) = 0.
33. B. Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh
sebuah kapal bergerak dengan kecepatan sebesar 20 knot pada arah
30 derajat dari suatu pelabuhan. Dari pernyataan di atas dapat
dipahami bahwa kapal tersebut bergerak dengan kecepatan 20 knot
yang merupakan besaran, selain itu dijelaskan juga arah yang
ditempuh, yaitu 30 derajat dari pelabuhan.
Penggambaran vektor:
Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar
atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah
vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf
yang digaris bawah.
34. Macam-macam vektor:
Vektor Satuan : Vektor yang memiliki arah, meskipun hanya
bernilai satu.
Vektor Nol : Vektor yang titik awal dan akhirnya sama.
Vektor Negatif : Negatif sebagai penunjuk arahnya.
Vektor Posisi : Vektor yang menempati posisi pada bidang
kartesius.
35. Vektor Ortogonal: Vektor basis pada dimensi tiga.
Vektor Basis : Vektor yang menempati suatu kartesius.
Vektor Resultan : Vektor yang menjadi hasil dari semua vektor.
36. 1. Fungsi Vektor Secara Matematika
Secara matematisnya, dijelaskan dungsi dari vektor itu ialah sebagai
berikut:
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A,
maka A dinamakan suatu fungsi u yang dilambangkan dengan
A(u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i + A2(u)j + A3(u)k
Konsep fungsi ini dapat dengan mudah diperluas. Jadi kita untuk setiap titik (x, y,
z) dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A adalah fungsi dad (x, y, z) dan
dinyatakan dengan A(x, y, z) = A1(x, y, z)i + A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k.
Kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A(x,
y, z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu
vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Dengan cara yang sama
4(x, y, z) mendefinisikan suatu medan skalar karena mengaitkan
suatu skalar dengan setiap titik di suatu daerah.
Limit, kontinuitas dan turunan fungsi vektor mengikuti aturan yang
serupa untuk fungsi skalar yang bersangkutan. Pernyataan berikut
menunjukkan kesamaan yang ada.
1. Fungsi vektor A(u) dikatakan kontinu di u0 jika diberikan suatu
bilangan positif , kita dapat menentukan suatu bilangan positif .
Sehingga < bilamana < . Hal ini ekivalen dengan pernyataan =
A(u0).
2. Turunan dari A(u) didefinisikan sebagai dengan syarat limit ini
ada. Jika A(u)=A1(u)i+A2(u)j+A3(u)k ; maka, .
Konsep yang sama akan berlaku untuk turunan lebih tinggi seperti
dst.
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu
partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3)
dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan
vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air
dan sebagainya) dalam suatu ruangan.
37. Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor
disebut fungsi skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak
dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam
suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.
2. Fungsi Vektor Dalam Penerapan Sehari Hari
Dalam dunia manusia ini, memang tidak serta merta kita dapat
mlihat fungsi dari vektor tersebut. Namun, fungsi itu ada dan itulah
sebabnya mata pelajaran/mata kuliah ini tetap dipelajari. Fungsi-
fungsi tersebut antara lain yaitu:
1. Sarana transportasi darat, laut, maupun udara masing-masing
memiliki peluang yang sama untuk terjadinya kecelakaan. Apabila
kecelakaan teradi di tengah lautan lepas tentunya kapal yang
mengalami kerusakan hars dibawa ke pelabuhan terdekat untuk
segera diperbaiki. Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua
buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat sampai
ke pelabuhan yan dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap
stabil besar gaya yang dibutuhkan oleh masing-masing kapal
penarik dan sudut yang di bentuk oleh kawat baja harus
diperhitungkan dengan cermat.
2. Dalam Navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan
suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau
lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning System atau
GPS. Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi
walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat
tahu keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu vektor
sangat berperan penting dalam Navigasi contohnya vector yang
digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat
terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak
38. tersesat dalam melakukan penerbangan. Panel-panel instrument
navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk
sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian
pesawat. Pengecekan terhadap instrument sistem navigasi harus
seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang
menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu
menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju
bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak otoritas
penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan
sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam
Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam,
sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur.
Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah
kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang
diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai
penerbangan yang melanggar. Vektor menyatakan arah dan besar
suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi
penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk
keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan
vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga
menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat
dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara
bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.
3. Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan
gravis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat-
koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada
layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai
koordinat. Layar Monitor berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan
y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui
kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan
matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor
39. adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software
komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat
penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut
berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum
membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut
terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3
dimensional).
4. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh
tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya
dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.
5. Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan perahu yang
sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.
6. Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah
dari busurnya, sebenarnya arah gerak anak panah merupakan
penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua unjung busur tersebut.
7. Metode vektor juga diaplikasikan terhadap seseorang yang
sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang
sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali
layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan
lebih jelas karena ada pengaruh vektor.
8. Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang
miring menggunakan gaya vektor, sehingga anal tersebut tidak
jatuh dari bidang miring itu.
40. 9. Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer
navigasi.
3. Fungsi Vektor Secara Agamis
Lantas, bagaimana kaitannya dengan ilmu agama? Dimana
kaitannya Vektor dengan agama? Seperti yang kita tahu, vektor
selalu dimulai oleh sebuah titik yang disebut titik awal dan diakhiri
oleh sebuah titik lagi yaitu titik akhir. Oleh sebab itu, dikatakan
bahwa, kehidupan ini seperti sebuah vektor, dimulai dari sebuah
titik awal dan akan berakhir pada sebuah titik lagi, yaitu titik akhir.
Entah itu dua titik yang berbeda sehingga bisa kita katakan telah
terjadi perubahan dalam hidup tersebut, atau dua titik tersebut
adalah titik yang sama sehingga, dapat disimpulkan tidak ada
perubahan apapun dalam hidup tersebut. Hidup tersebut hanya
skedar menjalani apa yang telah terpampang didepan wajah tanpa
ada kemampuan atau kemauan untuk merubah hasil akhirnya.
Lalu, dari situ dapat kita tarik kesimpulan bahwa, vektor berfungsi
dalam hal ini. beberapa diantaranya yaitu:
1. Dengan mempelajari vektor, maka kita akan ditunjukan pada
kemuliaan Allah yang telah menciptakan alam semesta serta manusia
dengan begitu sempurnanya, menetapkan aturan-aturan yang begitu
sempurna serta dapat dijelaskan secara ilmiah. Dan semua itu tentunya
dapat kita lihat secara langsug maupun dengan mengkaji serta
mendalaminya.
41. 2. Allah SWT. melalui firman-firman-Nya serta bagaimana dijelaskan
dalam sunnah Rasul Nya, bahwa manusia sebagaimana vektor
diciptakan dengan adanya titik awal dan titik akhir yang tujuan hidup
manusia ini semata-mata adalah untuk beribadah kepada Allah.
3. Sebagaimana sebuah vektor sebagai suatu titik yang nantinya
membentuk garis, maka tentunya hal ini harus kita renungi bahwa
manusia sudah sepatutnya untuk memiliki tujuan hidup yang jelas.
Adapun inti dari hidup manusia adalah memiliki satu tujuan yaitu untuk
mendapatkan Ridho Allah SWT.
4. Dengan merenungi konsep limit serta turunan berarah, maka akan
makin menjadikan manusia untuk melakukan usaha mndekatkan diri
kepada Allah SWT . yakni diharapkan dengan merenungi serta
memahamivektor sebagi suatu besaran yang memiliki arah maka
manusia akan makin melakukan usaha-usaha untuk mendekatkan diri
kepada Allah SWT dengan memperbanyak amal-amal kenbaikan,
menghindari kemaksiatan, memperbanyak istighfar serta berdzikir
kepada Nya, kareana dengan bertambah banykanya seorang menyebut
asma Allah, niscaya dia akan selalu dalam pantauan Allah SWT.
42. C. Sistem Koordinat
1. . Membuat Denah Letak Benda
Untuk bisa menentukan suatu denah, kalian terlebih dahulu harus
memahami konsep skala dan perbandingan. Kemudian ketika membaca denah
kalian harus memperhatikan hal yang paling utama yaitu penunjuk arah.
Penunjuk arah pada denah biasanya digambarkan dengan bentuk panah
kemudian ada huruf U di bagian atasnya yang menunjukkan arah utara.
Biasanya juga diberi huruf S pada bagian bawah yang menunjukkan arah
selatan. Dengan demikian kalian dapat menentukan dua arah yang lainnya,
yaitu tangan kiri kita akan menunjukkan arah barat dan tangan kanan kita
akan menunjukkan arah timur.
Cara Membuat Denah Letak Benda atau Tempat
Untuk menggambar sebuah denah kita harus menentukan arah yang sesuai.
Pertama-tama tentukan arah utara karena biasanya arah utara yang
menentukan posisi suatu denah. Arah utara di gambarkan pada posisi
atas.1[1]
43. Perhatikan denah berikut ini.
Keterangan dari denah di atas adalah :
1. Kantor Pos 7. Pom Bensin
2. Rumah Joni 8. Halte
3. Terminal 9. Rumah Sakit
4. Rumah Andi 10. Rumah Adel
5. Pasar 11. Rumah Dani
6. Taman 12. Rumah Yuli
Dari denah tersebut, kita dapat memperoleh informasi :
1. Kantor Pos terletak disebelah barat rumah Joni.
2. Sebelah timur Pom bensin terdapat taman dan halte.
3. Rumah Adel dan rumah Dani terletak di selatan rumah sakit.
Latihan 1
Perhatikan denah di atas.
1. Pasar terletak disebelah …… rumah Andi.
2. Sebelah timur rumah Joni terdapat……
3. Halte terletak disebelah….. rumah Yuli.
44. Jawaban:
1. Pasar terletak disebelah barat rumah Andi.
2. Sebelah timur rumah Joni terdapat terminal.
3. Halte terletak disebelah utara rumah Yuli.
2. Mengenal Koordinat Posisi suatu Benda
Koordinat adalah bilangan yang dipakai untuk menunjukkan lokasi
suatu titik di garis permukaan atau ruang. Koordinat dapat memudahkan kita
dalam menemukan letak benda. 2[2]
a. Menentukan Posisi Benda dari Denah
Letak Suatu benda atau objek dapat digambarkan dengan menggunakan denah.
Selain denah, dapat juga digambarkan dengan menggunakan system
koordinat. Pada system koordinat, letak suatu benda/objek dinyatakan dalam
bentuk baris dan kolom.3[3]
Perhatikan gambar berikut.
45. Koordinat posisi buah-buahan :
a. Buah nanas terletak di (A, 2)
b. Buah lecy terletak di (B, 4)
c. Buah semangka terletak di (C, 1)
d. Buah anggur terletak di (D, 3)
e. Buah apel terletak di (E, 5)
f. Buah pisang terletak di (G, 4)
g. Buah strawberry terletak di (G, 2)
Latihan 2
Isilah titik-titik berikut ini sesuai gambar.
1. Mobil terletak di (…. , ….)
2. Kereta api terletak di (…. , ….)
3. Rumah sakit terletak di (…. , ….)
4. Masjid terletak di (…. , ….)
5. ………. terletak di (4, C)
6. ………. terletak di (7, D)
7. ………. terletak di (3, D)
8. ………. terletak di (5, E)
9. ………. terletak di (6, B)
10. ………. terletak di (8, A)
46. Jawaban:
1. (1, A) 6. Rumah
2. (1, C) 7. Pohon Kelapa
3. (2, E) 8. Bus
4. (3, B) 9. Kamera
5. Becak 10. Bola
b. Menentukan Letak Tempat atau Benda dari Peta
Letak atau lokasi dari suatu tempat terkadang juga bisa kita tentukan dengan
melihat peta. Posisi suatu tempat pada peta biasanya di tuliskan dengan
merujuk kepada garis bujur dan garis lintang.4[4]
Perhatikan contoh peta berikut ini :
Pada peta di atas, garis yang tegak lurus mewakili garis bujur, sementara garis
yang mendatar mewakili garis lintang. Sehingga letak tiap kota yang ada
dalam peta tersebut dapat dituliskan menjadi:
Kota Cilagon terletak di 105,50 BT dan 6,50 LS
Kota Jakarta terletak di 1070 BT dan 60 LS
Kota Bandung terletak di 1080 BT dan 70 LS
Kota Semarang terletak di 110,80 BT dan 6,20 LS
Kota Yogyakarta terletak di 1110 BT dan 80 LS
Kota Surabaya terletak di 112,90 BT dan 7,10 LS
47. Latihan 3
Perhatikan peta Kabupaten Ponorogo berikut ini.
Isilah titik-titik di bawah ini dengan tepat sesuai pada peta.
1. Kecamatan Jetis terletak di (…. , ….)
2. Kecamatan Jenangan terletak di (…. , ….)
3. Kecamatan Siman terletak di (…. , ….)
4. Kecamatan Sukorejo terletak di (…. , ….)
5. Kecamatan Pudak terletak di (…. , ….)
6. …………………. terletak di (D, 6)
7. …………………terletak di (J, 8)
8. …………………terletak di (C, 7)
9. …………………terletak di (G, 5)
10. ………………… terletak di (H, 7)
Jawaban:
1. (F, 7) 6. Kecamatan Balong
2. (H, 9) 7. Kecamatan Pulung
3. (G, 8) 8. Kecamatan Jambon
4. (E, 9) 9. Kecamatan Sambit
5. (M, 9) 10. Kecamatan Mlarak
48. 3. Menentukan Letak Titik dalam Sistem Koordinat
Cartesius
Sumbu diagram terdiri dari dua garis yang berpotongan tegak lurus.
Garis yang mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. Titik
potong sumbu x dan y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol.
Pada sumbu x dan sumbu y terletak titik yang berjarak sama. Titik-titik
tersebut disesuaikan dengan bilangan cacah.
Pada sumbu x, dari titik 0 ke kanan dan seterusnya merupakan
bilangan positif, sedangkan dari titik 0 ke kiri dan seterusnya merupakan
bilangan negative. Pada sumbu y, dari titik 0 ke atas merupakan bilangan
positif dan dari titik 0 ke bawah merupakan bilangan negatif.
Setiap titik pada bidang kartesius dihubungkan dengan jarak tertentu
ke sumbu x yang disebut absis titik itu, sedangkan jarak tertentu ke sumbu y
disebut ordinat titik itu. Absis dan ordinat mewakili pasangan bilangan
(pasangan berurut) yang disebut koordinat. Penulisan koordinat ditulis dalam
tanda kurung. Koordinat x selalu ditulis terlebih dahulu, diikuti tanda koma
dan kemudian koordinat y.
Garis tegak lurus pada bidang kartesius, membagi bidang menjadi
empat bagian, yang dinamakan kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran
III, dan kuadran IV. Pada kuadran I, nilai x dan y positif, pada kuadran II nilai
x negatif dan nilai y positif, pada kuadran III nilai x negatif dan nilai y negatif,
dan pada kuadran IV nilai x positif dan nilai y negatif.5[5]
Letak titik pada bidang datar (koordinat) ditulis secara berpasangan
(x, y) dengan x adalah nilai yang terletak pada sumbu X dan y adalah nilai
yang terletak pada sumbu Y.6[6]
49. Dalam bidang koordinat di atas :
Titik A memiliki koordinat (3, 2), koordinat-x : 3, koordinat-y : 2
Titik B memiliki koordinat (-2, 4), koordinat-x : -2, koordinat-y : 4
Titik C memiliki koordinat (-3, -2), koordinat-x : -3, koordinat-y : -2
Titik D memiliki koordinat (5, -3), koordinat-x : 5, koordinat-y : -3
50. Latihan 4
a) Tuliskan koordinat letak titik-titik di bawah ini.
Jawaban :
Titik O(-3, 2)
Titik P (2, 4)
Titik Q(7, 1)
Titik R (3, -3)
Titik S (-5, -2)
Titik T (2, 1)
Titik U(-6, 4)
Titik V(-3, -4)
Titik W (5, -2)
Titik X(1, -4)
51. b) Tentukan letak titik-titik di bawah ini.
Titik A(2, 2) Titik F (-4, 2)
Titik B (3, 0) Titik G(3, -2)
Titik C (-3, -2) Titik H(-1, -3)
Titik D(1, -3) Titik I (-7, 3)
Titik E (-2, 1) Titik J (5, -4)
Jawaban :
52. (Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang
ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru,
dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.)
Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk
menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua
bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y
(ordinat) dari titik tersebut.
Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang
tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang
unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat
Gambar 1).
Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-
dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan
tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).
53. (Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah
yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan
lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.)
Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk
geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan
aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat
diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).
Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika
sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam
menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi
untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam
perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.
Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua
tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya
Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk
menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan,
dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu
dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain,
La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah
dikembangkannya.
Lihat koordinat untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem
koordinat polar
54. 4. Sistem koordinat dua dimensi
Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya
didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar
satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang
(bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal
diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan
sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut
ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu
lain bertegak lurus.)
Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi
label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan
setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam
grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem
koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan
nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y)
dan urutannya tidak dibalik-balik.
(Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah
yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada
arah panah tersebut.)
55. Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang
dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel
dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih
dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.
Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).
Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy
terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada
Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut
konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang
kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat
Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai
positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y
bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif,
dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif
(lihat tabel dibawah ini).
Kuadran nilai x nilai y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0
56. D. Integral Lipat
1. Integral Lipat Dua
Integral lanjutan yang akan kita bahas kali ini yaitu integral lipat
dua, sebuah integral lanjutan yang tak boleh kita lupakan. Untuk
menambah kecintaan kepada matematika tentunya kita harus memahami
berbagai konsep matematika termasuk integral yang pada kesempatan kali
ini dibahas integral lipat dua.
Integral lipat dua ini biasanya digunakan untuk menghitung luas.
Perhatikan penjelasan dibawah ini.
Integral untuk fungsi satu variabel kita membentuk suatu partisi dari
interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3,
4, ….n.
Dengan cara yang sama, kita definisikan untuk dua variabel. Misalkan
terdapat fungsi z=f(x,y) untuk daerah tertutup R dibidang xoy. Selanjutnya
daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing memiliki
luas A1, A2, A3,…,An. Dalam setiap sub daerah pilihlah suatu titik Pk(xk,
yk) dan bentuklah
57. Jika jumlah sub daerah makin besar hingga menuju tak hingga maka
integral lipat dari daerah R didefinisikan
Untuk menghitung integral lipat dua kita dapat menggunakan integral
berulang yang ditulis dalam bentuk
Baik kita menggunakan cara a atau cara b jika integralnya memberikan
hasil maka hasilnya akan sama.
58. Integral Lipat Dua Dengan Batas Persegi Panjang
Bentuk umum
Integral Lipat Dua Dengan Batas Bukan Persegi Panjang
Bentuk Umum
59. Aplikasi Integral Lipat Dua
Integral lipat dua dengan bentuk umum ∫∫f(x,y) dA biasanya digunakan
untuk menghitung luas. Luas dari suatu bidang dapat dipandang dengan
sustu integral lipat dua jika f(x,y)=1 sehingga integral lipat dua menjadi
contoh soal :
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y
Jawab :
60. 2. Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga merupakan perluasan konsep yang
berasal dari integral tunggal dan ganda yang meluas secara alami
ke integral lipat tiga. Pengembangan perhitungan pengintegralan
lipat tiga ∭ 𝑓 (x,y, z)dv dan suatu fiingsi 3 variabel bebas
R
Terhadap daerah tertentu R,bervolume v, dimana füngsi bernilai
tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan dari
integral tunggal dan lipa dua
Jika f(x,y,z) I maka integral menjadi ∭ 𝑓(x,y,z)dv = ∭ 𝑑𝑣
R R
dapat diartikan pengukuran volume daerah R.
dalam koordinat tegak lurus integral berganda menjadi
∭ 𝑓(x,y,z)dv = R
∫ ∫ ∫ ∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑧2(𝑥,𝑦)
𝑧1(𝑥,𝑦)
𝑧2(𝑥)
𝑧1(𝑥)
𝑦2
𝑦1
𝑏
𝑎
Dalam koordiat bola integral berganda menjadi
∭ 𝑓 (𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑑𝑣 =
R
∫ ∫ ∫ 𝑓
𝑧2(𝑟,𝜃)
𝑧1(𝑟,𝜃)
𝑟2(𝜃)
𝑟1(𝜃)
𝑏
𝑎
( 𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑 𝜃
Dalam koordinat Bola integral berganda menjadi
∭ 𝑓 (𝜌, 𝜃, ∅)𝑑𝑣 = ∭ 𝑓(𝜌, ∅, 𝜃)𝑑𝑣
R R
∭ 𝑓(𝜌sin ∅ cos 𝜃, 𝜌 sin ∅ sin 𝜃, 𝜌 cos∅lim 𝑖𝑡𝑦𝑎𝑛𝑔𝑐𝑜𝑐𝑜 𝑘
)𝜌2
sin ∅𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃
61. 6.1 Integral lipat 3 dalam koordinat kertesis
Z dv
dv = dz dy dx
dz = dy dx dz
dx = dx dz dy
dx
X dy
Gmabar 6.1.1
∭ 𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑣 = R
∫ ∫ ∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑧2(𝑥,𝑦)
𝑧1(𝑥,𝑦)
𝑦2(𝑥)
𝑦1 (𝑥)
𝑏
𝑎
Contoh 6.1.1
Hitung ∭ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Penyelesaian :
∭ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∬( 𝑥 + 𝑐1) 𝑑𝑦 𝑑𝑧
= ∫( (𝑥 + 𝑐1 )y+𝑐1)dz
= ∫( (𝑥𝑦 + 𝑐1 y+𝑐2)dz
=xyz+𝑐1yz+𝑐2z+𝑐3
62. Contoh 6.1.2
Hitung volume dad R yang dibatasi oleh silinder z = 4— bidang- bidang
x0, y 6, z 0 dan y= 0
penyelesaian
z V = ∭ 𝑑𝑣
R
4
y = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4−𝑥2
0
6
0
2
0
2 6 = ∫ ∫ 𝑧 ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
4−𝑥2
0
6
0
2
0
x = ∫ ∫ (4 − 𝑥2) 𝑑𝑦𝑑𝑥
6
0
2
0
V = ∫ ( 4− 𝑥2) 𝑦 ]
6
0
𝑑𝑥
2
0
V = 6 ∫ (4 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = 6(4𝑥 −
1
3
2
0
𝑥3
)]
2
0
V = 6 ⌊(8 −
8
3
) − 0⌋ = 6
16
3
= 32𝑠𝑣
dv
63. Contoh 6.1.3
Hitung volume dan R yang dibatasi oleh dua silinder z = 4
— x2 dan z2 = 4 — x dan bidang-bidang x = 0, y 0, z 0 dan y = 6
Penyelesaian:
z V = ∭ 𝑑𝑣
4 R
dv = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4−𝑥2
√4−𝑥2
6
0
2
0
= ∫ ∫ [(4− 𝑥2
)
6
0
2
0
− (√4 − 𝑥2 )]dydx
2 0 y
6
x
Gambar 6.1.c
V = ∫ [4 − 𝑥2
− ( √4 − 𝑥22
0
)y ]
6
0
dx
= ∫ (4 − 𝑥2
− √4 − 𝑥22
0
)dx
Miasal : x= 2sin 𝜃 untuk x = 2 sin 𝜃 = 2
dx = 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 sin 𝜃 = 1
untuk x = 0 maka 2sin 𝜃 = 0
sin 𝜃 = 0
𝜃 = 0
V=6 ∫ (4 − 𝑥2) 𝑑𝑥
2
0
- 6 ∫ √4− 𝑥22
0
dx
= 6 [( 4x-
1
3
𝑥3
]
2
0
- 6 ∫ 2 cos 𝜃 2cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
)
= 6 [( 8-
8
3
) − 0] − 24 ∫ cos2
𝜃𝑑𝜃
𝜋
2
0
64. = 32-24 ∫
1+cos 2𝜃
2
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= 32- 12 [ 𝜃 +
1
2
sin 2𝜃]
𝜋
2
0
= 32-12 [ (
𝜋
0
+ 0) − 0]
= (32-6 𝜋 )𝑠𝑣
Jadi volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 – 𝑥2
𝑧2
= 4 − 𝑥2
𝑑𝑖𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 − 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑥 = 0, 𝑦 = 6, 𝑦 =
0 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ( 326𝜋 ) 𝑠𝑣.
6.2. Interval Lipat Tiga Dalam Koordinat Silinder
Intergral lipat dari 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R
Berbentuk ∭ 𝑓 ( 𝑟, 𝜃. 𝑧 ) 𝑑𝑣 =
R
∫ ∫ 𝑓( 𝑟. 𝜃, 𝑧) 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑 𝜃
𝑟2(𝑟,𝜃)
𝑟1(𝑟,𝜃)
𝑏
𝑎
𝑧2 𝑟 ∆𝑟
v = ( r ∆𝜃 ) ∆ 𝑟 ∆ 𝑧
𝑧1 ∆𝑧 dv = r dv d 𝜃 𝑑𝑧
= r dv d𝑟 𝜃
r Sudat 𝜃 dihitung
𝜃2 mulai dari sb x positif
∆𝜃
𝜃1
ambar 6.2.a
65. Contoh 6.2.1
Dengan menggunakan koordinat silinder hitunglah volume dari
daerah R terletak di dalam 𝑟2
= 16 di atas z = 0 dan dibawah
2z =y !
Penyelesaian :
Z Daerah R adalah 2x volume yang terlipat
2z = y
Y V = 2∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑 𝜃
1
2
0
4
0
𝜋
2
0
0 4 Karena y =r sin 𝜃 𝑚𝑎𝑘𝑎;
X
Gambar 6.2.b
V = 2 ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑 𝜃 = 2 ∫ ∫ 𝑟𝑧 ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
1
2
r sin 𝜃
0
4
0
𝜋
2
0
sin 𝜃
0
4
1
2
𝑟
0
𝜋
2
0
= 2 ∫ ∫
1
2
4
0
1
2
𝜋
0
𝑟2
sin 𝜃 𝑑 𝑑𝜃 = ∫
1
3
1
2
𝜋
0
𝑟3
sin 𝜃 ]
4
0
d𝜃
=
64
3
∫ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
64
3
[- cos 𝜃 ]
𝜋
2
0
=
64
3
[0-(-1)] =
64
3
satuan volume
6.3 Interval Tiga Dalam Koordinat Bola Lipat
66. Dalam koordinat bola,integral lipat tiga dari fungsi
tiga variable bebas berbentuk:
∭ 𝑓 ( 𝜌,∅, 𝜃 ) 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑓 (𝜌
𝜌2(∅,𝜃)
𝜌1(∅.𝜃)
∅(𝜃)2
∅1
𝛽
𝛼
, ∅, 𝜃)𝜌2
sin ∅𝑑𝑝𝑑∅d𝜃
R
𝜃1 𝜃2
𝜌2 ∆∅
𝜌1 ∆∅
𝜃2
∆𝜃
𝜃1
Gambar 6.3.a
dv= ( 𝜌∆∅)( 𝜌𝑆𝑖𝑛∅∆𝜃)(∆𝜌) = 𝜌2
Sin ∅𝑑 𝜌𝑑 ∅𝑑 𝜃
Contoh 6.3.
Tentukan volume bola 𝜌 = 2𝑎 cos∅ yang ada dalam
Kerucut ∅ =
𝜋
4
!
Penyelesaian : V = 4 ∭ 𝑑𝑣
V = 4
∫ ∫ ∫ 𝑆𝑖𝑛∅𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃 =
4
3
2𝑎 cos∅
0
𝜋
4
0
𝜋
2
0
∫ ∫ 𝜌3
𝜋
4
0
𝜋
2
0
]
2 a cos∅
0
𝑆𝑖𝑛 ∅𝑑∅𝑑𝜃
=
4
3
∫ ∫ 8𝑎3
𝜋
4
0
𝜋
2
0
Cos3
∅Sin ∅𝑑∅𝑑𝜃
∅
𝜌 =
32
3
𝑎3
∫ ∫ cos3
∅𝑑(−cos∅)𝑑𝜃
𝜋
4
0
𝜋
2
0
